Problèmes résolus

Exercice 39 : Des triangles rectangles.

Les triangles MHP et MNH sont rectangles en H, les points N, H et P sont alignés, MN = 1,5 cm ; NH = 0,9 cm et HP = 1,6 cm.

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Calculez l’aire du triangle MNP.

Pour calculer l’aire du triangle, on détermine la longueur d’une hauteur et celle de la base correspondante, puis on utilise la formule de l’aire d’un triangle quelconque.

• $\text{NP} = 0\text{,}9 + 1\text{,}6 = 2\text{,}5$
  [NP] mesure 2,5 cm.
• Dans le triangle MNH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
  $\text{MN}^2 = \text{NH}^2 + \text{MH}^2$
  $1\text{,}52 = 0\text{,}9^2 + \text{MH}^2$
  $2\text{,}25 = 0\text{,}81 + \text{MH}^2$
  $\text{MN}^2 = 2\text{,}25 - 0\text{,}81$
  $\text{MN}^2 = 1\text{,}44$
  $\text{MN} = \sqrt{1\text{,}44}$
  $\text{MN} = 1\text{,}2$

Le segment [MH] mesure 1,2 cm.

• $\text{A}_{\text{MNP}} = \text{NP} \times \text{MH} \div 2 = 2,5 \times 1,2 \div 2 = 1\text{,}5$

L’aire du triangle MNP est égale à 1,5 cm².

Pour calculer l’aire d’un triangle, on démontre qu’il est rectangle à l’aide de la réciproque du théorème de Pythagore. On peut ensuite déterminer son aire avec la formule de l’aire d’un triangle rectangle.

• Dans le triangle MHP rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
  $\text{MP}^2 = \text{HP}^2 + \text{MH}^2$ 
  $\text{MP}^2 =1\text{,}6^2 + 1\text{,}2^2$
  $\text{MP}^2 = 2\text{,}56 + 1\text{,}44$
  $\text{MP}^2 = 4$
  $\text{MP} = \sqrt{4}$
  $\text{MP} = 2$

Le segment [MP] mesure 2 cm.

• Dans le triangle MNP, [NP] est le plus grand côté et $\text{NP}^2 = (\text{NH} + \text{HP})^2$
  $\text{NP}^2 = (0\text{,}9 + 1,6)^2$
  $\text{MP}^2 = 2\text{,}5^2$
  $\text{MP}^2 = 6\text{,}25$
  et $\text{MP}^2 + \text{MN}^2 = 4 + 2\text{,}25 = 6\text{,}25$

On constate que $\text{NP}^2 = \text{MN}^2 +\text{MP}^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M.

• $\text{A}_{\text{MNP}} = \text{MN} \times \text{MP} \div 2$
  $= 1\text{,}5 \times 2 \div 2$
  $= 1\text{,}5$

L’aire du triangle MNP est égale à 1,5 cm².

Exercice 40 : Lʼaire dʼun losange.

Le côté du losange IJKL mesure 5 cm et sa diagonale [IK] mesure 4,2 cm.

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Calculez l’aire du losange.