Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs

Ch. 1

Arithmétique

Ch. 2

Nombres relatifs

Ch. 3

Nombres fractionnaires

Ch. 4

Calcul littéral

Ch. 5

Équations et inéquations

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Puissances

Thème 2 : Organisation et gestion de données

Ch. 8

Statistiques

Ch. 9

Probabilités

Ch. 10

Fonctions

Thème 3 : Grandeurs et mesures

Ch. 11

Grandeurs et mesures

Thème 4 : Espace et géométrie

Ch. 12

Transformations dans le plan

Ch. 13

Triangles

Ch. 14

Angles et droites parallèles

Ch. 15

Géometrie dans l'espace

Ch. 16

Théorème de pythagore

Ch. 17

Agrandissements - réductions

Ch. 18

Trigonométrie

Annexes

Livret algorithmique et programmation

Pistes EPI

Dossier brevet

Chapitre 16

Problèmes résolus

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39
Des triangles rectangles

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème
✔ Je décompose un problème en sous-problèmes pour le simplifier et le résoudre

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Les triangles MHP et MNH sont rectangles en H, les points N, H et P sont alignés, MN = 1,5 cm ; NH = 0,9 cm et HP = 1,6 cm.
Calculez l'aire du triangle MNP.

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Méthode 1

Pour calculer l'aire du triangle, on détermine la longueur d'une hauteur et celle de la base correspondante, puis on utilise la formule de l'aire d'un triangle quelconque.

$NP = 0, 9 + 1, 6 = 2, 5$
[NP] mesure 2,5 cm.
Dans le triangle MNH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
$MN^{2} = NH^{2} + MH^{2}$
$1, 52 = 0, 9^{2} + MH^{2}$
$2, 25 = 0, 81 + MH^{2}$
$MN^{2} = 2, 25 - 0, 81$
$MN^{2} = 1, 44$
$MN = 1, 44$
$MN = 1, 2$

Le segment [MH] mesure 1,2 cm.

$A_{MNP} = NP \times MH \div 2 = 2, 5 \times 1, 2 \div 2 = 1, 5$

L'aire du triangle MNP est égale à 1,5 cm².

Corrigé 1

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Méthode 2

Pour calculer l'aire d'un triangle, on démontre qu'il est rectangle à l'aide de la réciproque du théorème de Pythagore. On peut ensuite déterminer son aire avec la formule de l'aire d'un triangle rectangle.

Dans le triangle MHP rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
$MP^{2} = HP^{2} + MH^{2}$ $MP^{2} = 1, 6^{2} + 1, 2^{2}$ $MP^{2} = 2, 56 + 1, 44$
$MP^{2} = 4$
$MP = 4$
$MP = 2$

Le segment [MP] mesure 2 cm.

Dans le triangle MNP, [NP] est le plus grand côté et $NP^{2} = (NH + HP)^{2}$ $NP^{2} = (0, 9 + 1, 6)^{2}$ $MP^{2} = 2, 5^{2}$ $MP^{2} = 6, 25$
et $MP^{2} + MN^{2} = 4 + 2, 25 = 6, 25$

On constate que

NP^{2} = MN^{2} + MP^{2}

.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M.

$A_{MNP} = MN \times MP \div 2$
$= 1, 5 \times 2 \div 2$
$= 1, 5$

L'aire du triangle MNP est égale à 1,5 cm².

Corrigé 2

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Lʼaire dʼun losange

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Le côté du losange IJKL mesure 5 cm et sa diagonale [IK] mesure 4,2 cm.

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Calculez l'aire du losange.

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