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Les triangles MHP et MNH sont rectangles en H, les points N, H et P sont alignés, MN = 1,5 cm ; NH = 0,9 cm et HP = 1,6 cm.
Calculez l'aire du triangle MNP.

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Méthode 1

Pour calculer l'aire du triangle, on détermine la longueur d'une hauteur et celle de la base correspondante, puis on utilise la formule de l'aire d'un triangle quelconque.

Corrigé 1

\text{NP} = 0\text{,}9 + 1\text{,}6 = 2\text{,}5
[NP] mesure 2,5 cm.
Dans le triangle MNH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
\text{MN}^2 = \text{NH}^2 + \text{MH}^2
1\text{,}52 = 0\text{,}9^2 + \text{MH}^2
2\text{,}25 = 0\text{,}81 + \text{MH}^2
\text{MN}^2 = 2\text{,}25 - 0\text{,}81
\text{MN}^2 = 1\text{,}44
\text{MN} = \sqrt{1\text{,}44}
\text{MN} = 1\text{,}2

Le segment [MH] mesure 1,2 cm.

A_{\text{MNP}} = \text{NP} \times \text{MH} \div 2 = 2,5 \times 1,2 \div 2 = 1\text{,}5

L'aire du triangle MNP est égale à 1,5 cm².

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Méthode 2

Pour calculer l'aire d'un triangle, on démontre qu'il est rectangle à l'aide de la réciproque du théorème de Pythagore. On peut ensuite déterminer son aire avec la formule de l'aire d'un triangle rectangle.

Corrigé 2

Dans le triangle MHP rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
\text{MP}^2 = \text{HP}^2 + \text{MH}^2 \text{MP}^2 =1\text{,}6^2 + 1\text{,}2^2\text{MP}^2 = 2\text{,}56 + 1\text{,}44
\text{MP}^2 = 4
\text{MP} = \sqrt{4}
\text{MP} = 2

Le segment [MP] mesure 2 cm.

Dans le triangle MNP, [NP] est le plus grand côté et {\text{NP}^2 = (\text{NH} + \text{HP})^2}\text{NP}^2 = (0\text{,}9 + 1,6)^2\text{MP}^2 = 2\text{,}5^2\text{MP}^2 = 6\text{,}25
et \text{MP}^2 + \text{MN}^2 = 4 + 2\text{,}25 = 6\text{,}25

On constate que \text{NP}^2 = \text{MN}^2 +\text{MP}^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M.

A_{\text{MNP}} = \text{MN} \times \text{MP} \div 2
= 1\text{,}5 \times 2 \div 2
= 1\text{,}5

L'aire du triangle MNP est égale à 1,5 cm².

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