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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
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Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
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Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
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Ch. 10
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Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
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Trigonométrie
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Livret algorithmique et programmation
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Dossier brevet
Chapitre 16
Problèmes résolus
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39Des triangles rectangles
✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème
✔ Je décompose un problème en sous-problèmes pour le simplifier et le résoudre
Les triangles MHP et MNH sont rectangles en H, les points N, H et P sont alignés, MN = 1,5 cm ; NH = 0,9 cm et HP = 1,6 cm.
Calculez l'aire du triangle MNP.
✔ Je décompose un problème en sous-problèmes pour le simplifier et le résoudre
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Calculez l'aire du triangle MNP.
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Méthode 1
Pour calculer l'aire du triangle, on détermine la longueur d'une hauteur et celle de la base correspondante, puis on utilise la formule de l'aire d'un triangle quelconque.
Corrigé 1
- \text{NP} = 0\text{,}9 + 1\text{,}6 = 2\text{,}5
[NP] mesure 2,5 cm. - Dans le triangle MNH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
\text{MN}^2 = \text{NH}^2 + \text{MH}^2
1\text{,}52 = 0\text{,}9^2 + \text{MH}^2
2\text{,}25 = 0\text{,}81 + \text{MH}^2
\text{MN}^2 = 2\text{,}25 - 0\text{,}81
\text{MN}^2 = 1\text{,}44
\text{MN} = \sqrt{1\text{,}44}
\text{MN} = 1\text{,}2
- A_{\text{MNP}} = \text{NP} \times \text{MH} \div 2 = 2,5 \times 1,2 \div 2 = 1\text{,}5
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Méthode 2
Pour calculer l'aire d'un triangle, on démontre qu'il est rectangle à l'aide de la réciproque du théorème de Pythagore. On peut ensuite déterminer son aire avec la formule de l'aire d'un triangle rectangle.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M.
Corrigé 2
- Dans le triangle MHP rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
\text{MP}^2 = \text{HP}^2 + \text{MH}^2
\text{MP}^2 =1\text{,}6^2 + 1\text{,}2^2
\text{MP}^2 = 2\text{,}56 + 1\text{,}44
\text{MP}^2 = 4
\text{MP} = \sqrt{4}
\text{MP} = 2
- Dans le triangle MNP, [NP] est le plus grand côté et {\text{NP}^2 = (\text{NH} + \text{HP})^2}
\text{NP}^2 = (0\text{,}9 + 1,6)^2
\text{MP}^2 = 2\text{,}5^2
\text{MP}^2 = 6\text{,}25
et \text{MP}^2 + \text{MN}^2 = 4 + 2\text{,}25 = 6\text{,}25
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M.
- A_{\text{MNP}} = \text{MN} \times \text{MP} \div 2
= 1\text{,}5 \times 2 \div 2
= 1\text{,}5
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