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Problèmes résolus
P.358

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Mathématiques - Problèmes résolus


Problèmes résolus




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Exercice 39 : Des triangles rectangles.

Graphique lié à l'exercice 1
Les triangles MHP et MNH sont rectangles en H, les points N, H et P sont alignés, MN = 1,5 cm ; NH = 0,9 cm et HP = 1,6 cm.

1
Calculez l’aire du triangle MNP.

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Méthode 1

Pour calculer l’aire du triangle, on détermine la longueur d’une hauteur et celle de la base correspondante, puis on utilise la formule de l’aire d’un triangle quelconque.

Corrigé 1

  • NP=0,9+1,6=2,5\text{NP} = 0\text{,}9 + 1\text{,}6 = 2\text{,}5
    [NP] mesure 2,5 cm.
  • Dans le triangle MNH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
    MN2 =NH2+MH2\text{MN}^2 = \text{NH}^2 + \text{MH}^2
    1,52=0,92+MH21\text{,}52 = 0\text{,}9^2 + \text{MH}^2
    2,25=0,81+MH22\text{,}25 = 0\text{,}81 + \text{MH}^2
    MN2=2,250,81\text{MN}^2 = 2\text{,}25 - 0\text{,}81
    MN2=1,44\text{MN}^2 = 1\text{,}44
    MN=1,44\text{MN} = \sqrt{1\text{,}44}
    MN=1,2\text{MN} = 1\text{,}2
Le segment [MH] mesure 1,2 cm.
  • AMNP=NP×MH÷2=2,5×1,2÷2=1,5\text{A}_{\text{MNP}} = \text{NP} \times \text{MH} \div 2 = 2,5 \times 1,2 \div 2 = 1\text{,}5
L’aire du triangle MNP est égale à 1,5 cm2.

Méthode 2

Pour calculer l’aire d’un triangle, on démontre qu’il est rectangle à l’aide de la réciproque du théorème de Pythagore. On peut ensuite déterminer son aire avec la formule de l’aire d’un triangle rectangle.

Corrigé 2

  • Dans le triangle MHP rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore :
    MP2 =HP2+MH2\text{MP}^2 = \text{HP}^2 + \text{MH}^2 
    MP2 =1,62+1,22\text{MP}^2 =1\text{,}6^2 + 1\text{,}2^2
    MP2 =2,56+1,44\text{MP}^2 = 2\text{,}56 + 1\text{,}44
    MP2 =4\text{MP}^2 = 4
    MP=4\text{MP} = \sqrt{4}
    MP=2\text{MP} = 2
Le segment [MP] mesure 2 cm.
  • Dans le triangle MNP, [NP] est le plus grand côté et NP2 = (NH+HP)2\text{NP}^2 = (\text{NH} + \text{HP})^2
    NP2 =(0,9+1,6)2\text{NP}^2 = (0\text{,}9 + 1,6)^2
    MP2 =2,52\text{MP}^2 = 2\text{,}5^2
    MP2 =6,25\text{MP}^2 = 6\text{,}25
    et MP2+ MN2=4+2,25=6,25\text{MP}^2 + \text{MN}^2 = 4 + 2\text{,}25 = 6\text{,}25
On constate que NP2 =MN2 +MP2\text{NP}^2 = \text{MN}^2 +\text{MP}^2.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M.
  • AMNP=MN× MP÷2\text{A}_{\text{MNP}} = \text{MN} \times \text{MP} \div 2
    =1,5×2÷2= 1\text{,}5 \times 2 \div 2
    =1,5= 1\text{,}5
L’aire du triangle MNP est égale à 1,5 cm2.
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Exercice 40 : Lʼaire dʼun losange.

Le côté du losange IJKL mesure 5 cm et sa diagonale [IK] mesure 4,2 cm.

1
Calculez l’aire du losange.
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 1</stamp> L'aire d'un losange.



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