Les triangles MHP et MNH sont rectangles en H, les points N, H et P sont alignés, MN = 1,5 cm ; NH = 0,9 cm et HP = 1,6 cm.
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Calculez l’aire du triangle MNP.
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Méthode 1
Pour calculer l’aire du triangle, on détermine la longueur d’une hauteur et celle de la base correspondante, puis on utilise la formule de l’aire d’un triangle quelconque.
Corrigé 1
NP=0,9+1,6=2,5 [NP] mesure 2,5 cm.
Dans le triangle MNH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore : MN2=NH2+MH2 1,52=0,92+MH2 2,25=0,81+MH2 MN2=2,25−0,81 MN2=1,44 MN=1,44 MN=1,2
Le segment [MH] mesure 1,2 cm.
AMNP=NP×MH÷2=2,5×1,2÷2=1,5
L’aire du triangle MNP est égale à 1,5 cm2.
Méthode 2
Pour calculer l’aire d’un triangle, on démontre qu’il est rectangle à l’aide de la réciproque du théorème de Pythagore. On peut ensuite déterminer son aire avec la formule de l’aire d’un triangle rectangle.
Corrigé 2
Dans le triangle MHP rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore : MP2=HP2+MH2 MP2=1,62+1,22 MP2=2,56+1,44 MP2=4 MP=4 MP=2
Le segment [MP] mesure 2 cm.
Dans le triangle MNP, [NP] est le plus grand côté et NP2=(NH+HP)2 NP2=(0,9+1,6)2 MP2=2,52 MP2=6,25 et MP2+MN2=4+2,25=6,25
On constate que NP2=MN2+MP2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M.
AMNP=MN×MP÷2 =1,5×2÷2 =1,5
L’aire du triangle MNP est égale à 1,5 cm2.
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Exercice 40 : Lʼaire dʼun losange.
Le côté du losange IJKL mesure 5 cm et sa diagonale [IK] mesure 4,2 cm.
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Calculez l’aire du losange.
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