Problèmes résolus

Exercice 41 : Un carré.

ABCD est un carré de côté 10 cm et AE = 2,5 cm. Le point F est le milieu de [AD].

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Calculez l’aire du triangle ECF.

On détermine la longueur des trois côtés du triangle, puis on démontre que le triangle est rectangle. On en calcule alors l’aire avec la formule du triangle rectangle.

• Dans le triangle AEF rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :

${\text{EF}}^2={\text{AE}}^2+{\text{AF}}^2$
${\text{EF}}^2=2\text{,}{5}^2+5^2=6\text{,}25+25=31\text{,}25$
$\text{EF}=\sqrt{31\text{,}25}$

• Dans le triangle CDF rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore :

${\text{FC}}^2={\text{DF}}^2+{\text{DC}}^2$
${\text{FC}}^2=5^2+10^2=25+100=125$
$\text{FC}=\sqrt{125}$

• Dans le triangle EBC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore :

${\text{EC}}^2={\text{EB}}^2+{\text{BC}}^2$
${\text{EC}}^2=7\text{,}{5}^2+10^2=56\text{,}25+100=156\text{,}25$
$\text{EC}=\sqrt{156\text{,}25}$.

Le segment [EF] mesure $\sqrt{31,25}$ cm, [FC] = $\sqrt{125}$ cm et [EC] = $\sqrt{156,25}$ cm.

• Dans le triangle ECF, [EC] est le plus grand côté et EC2 = 156,25.

${\text{CF}}^2+{\text{FE}}^2=125+31\text{,}25=156\text{,}25$
On constate que ${\text{EC}}^2={\text{CF}}^2+{\text{FE}}^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ECF est rectangle en F.

• $A_{\text{ECF}}=\text{FE}\times \text{FC}÷2=\sqrt{31\text{,}25}\times \sqrt{125}÷2$

$A_{\text{ECF}}=31\text{,}25$.

L’aire du triangle ECF est égale à 31,25 cm${}^2$.

Pour calculer l’aire d’une forme géométrique inscrite dans une autre forme géométrique, on calcule l’aire totale de cette dernière puis on lui enlève l’aire des formes autres que celle dont on cherche l’aire.

• $A_{\text{ABCD}}=10\times 10=100$
  L’aire du carré ABCD est égale à 100 cm².
• AEF est rectangle en A, EBC en B et CDF en D.
• $\text{AF}=10÷2=5$ cm
  $A_{\text{AEF}}=2,5\times 5÷2=6\text{,}25$
  Donc l’aire du triangle AEF est égale à 6,25 cm².
• $\text{EB}=10-2\text{,}5=7\text{,}5$ cm
  $A_{\text{EBC}}=7\text{,}5\times 10÷2=37\text{,}5$
  L’aire du triangle EBC est égale à 37,5 cm².
• $\text{DF}=10÷2=5$ cm
  $A_{\text{CDF}}=5\times 10÷2=25$
  L’aire du triangle CDF est égale à 25 cm2.
• $A_{\text{ECF}}=100-(6\text{,}25+37\text{,}5+25)=100-68\text{,}75$
  $A_{\text{ECF}}=31\text{,}25$

L’aire du triangle ECF est égale à 31,25 cm².

Exercice 42 : Dans un trapèze.

Dans le trapèze BCDE ci-contre, les longueurs BC = 6 cm et BE = 2,5 cm.Aire du trapèze : $A=(B+\text{b})\times \text{h}÷2$.

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Calculez l’aire de ce trapèze.