ABCD est un carré de côté 10 cm et AE = 2,5 cm. Le point F est le milieu de [AD].
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Calculez l’aire du triangle ECF.
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Méthode 1
On détermine la longueur des trois côtés du triangle, puis on démontre que le triangle est rectangle. On en calcule alors l’aire avec la formule du triangle rectangle.
Corrigé 1
Dans le triangle AEF rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :
EF2=AE2+AF2 EF2=2,52+52=6,25+25=31,25 EF=31,25
Dans le triangle CDF rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore :
FC2=DF2+DC2 FC2=52+102=25+100=125 FC=125
Dans le triangle EBC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore :
Le segment [EF] mesure 31,25 cm, [FC] = 125 cm et [EC] = 156,25 cm.
Dans le triangle ECF, [EC] est le plus grand côté et EC2 = 156,25.
CF2+FE2=125+31,25=156,25 On constate que EC2=CF2+FE2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ECF est rectangle en F.
AECF=FE×FC÷2=31,25×125÷2
AECF=31,25.
L’aire du triangle ECF est égale à 31,25 cm2.
Méthode 2
Pour calculer l’aire d’une forme géométrique inscrite dans une autre forme géométrique, on calcule l’aire totale de cette dernière puis on lui enlève l’aire des formes autres que celle dont on cherche l’aire.
Corrigé 2
AABCD=10×10=100 L’aire du carré ABCD est égale à 100 cm2.
AEF est rectangle en A, EBC en B et CDF en D.
AF=10÷2=5 cm AAEF=2,5×5÷2=6,25 Donc l’aire du triangle AEF est égale à 6,25 cm2.
EB=10−2,5=7,5 cm AEBC=7,5×10÷2=37,5 L’aire du triangle EBC est égale à 37,5 cm2.
DF=10÷2=5 cm ACDF=5×10÷2=25 L’aire du triangle CDF est égale à 25 cm2.
AECF=100−(6,25+37,5+25)=100−68,75 AECF=31,25
L’aire du triangle ECF est égale à 31,25 cm2.
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Exercice 42 : Dans un trapèze.
Dans le trapèze BCDE ci-contre, les longueurs BC = 6 cm et BE = 2,5 cm.Aire du trapèze : A=(B+b)×h÷2.
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Calculez l’aire de ce trapèze.
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