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Thème 1 : Nombres et calculs

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Ch. 1
Arithmétique

Ch. 2
Nombres relatifs

Ch. 3
Nombres fractionnaires

Ch. 4
Calcul littéral

Ch. 5
Équations et inéquations

Ch. 6
Proportionnalité

Ch. 7
Puissances

Thème 2 : Organisation et gestion de données

Ch. 8
Statistiques

Ch. 9
Probabilités

Ch. 10
Fonctions

Thème 3 : Grandeurs et mesures

Ch. 11
Grandeurs et mesures

Thème 4 : Espace et géométrie

Ch. 12
Transformations dans le plan

Ch. 13
Triangles

Ch. 14
Angles et droites parallèles

Ch. 15
Géometrie dans l'espace

Ch. 16
Théorème de pythagore

Ch. 17
Agrandissements - réductions

Ch. 18
Trigonométrie

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Chapitre 16

Problèmes résolus

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41
Un carré

✔ J'envisage plusieurs méthode de résolution
✔ Je comprends la modélisation numérique ou géométrique d'une situation

ABCD

est un carré de côté

10 cm

AE = 2,5 cm

. Le point

F

est le milieu de

[AD]

Schéma géométrique : carré ABCD contenant un triangle CEF. Exercice de démonstration de propriétés géométriques.

Calculez l'aire du triangle $ECF$ .

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Méthode 1

On détermine la longueur des trois côtés du triangle, puis on démontre que le triangle est rectangle. On en calcule alors l'aire avec la formule du triangle rectangle.

Corrigé 1

Dans le triangle $AEF$ rectangle en $A$ , on applique le théorème de Pythagore :

EF^{2} = AE^{2} + AF^{2}

EF^{2} = 2, 5^{2} + 5^{2} = 6, 25 + 25 = 31, 25

EF = 31, 25

Dans le triangle $CDF$ rectangle en $D$ , on applique le théorème de Pythagore :

FC^{2} = DF^{2} + DC^{2}

FC^{2} = 5^{2} + 1 0^{2} = 25 + 100 = 125

FC = 125

Dans le triangle $EBC$ rectangle en $B$ , on applique le théorème de Pythagore :

EC^{2} = EB^{2} + BC^{2}

EC^{2} = 7, 5^{2} + 1 0^{2} = 56, 25 + 100 = 156, 25

EC = 156, 25

.

Le segment

[EF]

mesure

31, 25

cm

[FC]

125

cm

[EC] =

156, 25

cm

Dans le triangle $ECF$ , $[EC]$ est le plus grand côté et $EC2$ $= 156,25$ .

CF^{2} + FE^{2} = 125 + 31, 25 = 156, 25

On constate que

EC^{2} = CF^{2} + FE^{2}

.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

ECF

est rectangle en

F

$A_{ECF} = FE \times FC \div 2 = 31, 25 \times 125 \div 2$

A_{ECF} = 31, 25

.

L'aire du triangle $ECF$ est égale à $31,25 cm$ $^{2}$ .

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Méthode 2

Pour calculer l'aire d'une forme géométrique inscrite dans une autre forme géométrique, on calcule l'aire totale de cette dernière puis on lui enlève l'aire des formes autres que celle dont on cherche l'aire.

Corrigé 2

$A_{ABCD} = 10 \times 10 = 100$
L'aire du carré $ABCD$ est égale à $100 cm$ ².
$AEF$ est rectangle en $A$ , $EBC$ en $B$ et $CDF$ en $D$ .

$AF = 10 \div 2 = 5$ $cm$
$A_{AEF} = 2, 5 \times 5 \div 2 = 6, 25$
Donc l'aire du triangle $AEF$ est égale à $6,25 cm^{2}$ .
$EB = 10 - 2, 5 = 7, 5$ $cm$
$A_{EBC} = 7, 5 \times 10 \div 2 = 37, 5$
L'aire du triangle $EBC$ est égale à $37,5 cm^{2}$ .
$DF = 10 \div 2 = 5$ $cm$
$A_{CDF} = 5 \times 10 \div 2 = 25$
L'aire du triangle $CDF$ est égale à $25 cm^{2}$ .

$A_{ECF} = 100 - (6, 25 + 37, 5 + 25) = 100 - 68, 75$
$A_{ECF} = 31, 25$

L'aire du triangle $ECF$ est égale à $31,25 cm$ ².

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42
Problème similaire
Dans un trapèze

✔ Je structure mon raisonnement

Dans le trapèze

BCDE

suivant, les longueurs

BC = 6 cm

BE = 2,5 cm

Coup de pouce

Aire du trapèze :

A = (B + b) \times h \div 2

Calculez l'aire de ce trapèze.

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Ch. 8Statistiques

Ch. 9Probabilités

Ch. 10Fonctions

Ch. 11Grandeurs et mesures

Ch. 12Transformations dans le plan

Ch. 13Triangles

Ch. 14Angles et droites parallèles

Ch. 15Géometrie dans l'espace

Ch. 16Théorème de pythagore

Ch. 17Agrandissements - réductions

Ch. 18Trigonométrie

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Problèmes résolus

41Un carré

42Problème similaireDans un trapèze

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