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Maths autrement : Les secrets de racine carrée de 2
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Mathématiques - Les maths autrement


Maths autrement : Les secrets de racine carrée de 2





Vous savez construire un segment de longueur 2\sqrt{2} cm : c’est la diagonale d’un carré de 1 cm de côté. Mais savez-vous que nous ne pouvons écrire la racine carrée de 2 ni sous la forme d’un nombre décimal ni sous la forme d’une fraction ? On dit que c’est un nombre irrationnel. Déjà vers 1 700 avant J.-C., les Babyloniens ont essayés d’en avoir une valeur approchée. Leur méthode géométrique de détermination des racines carrées aurait inspiré Héron d’Alexandrie (Ier siècle après J.-C.). 
Héron d’Alexandrie est un savant grec qui a mis au point plusieurs machines avec des mécaniques assez complexes. On lui attribue aussi une formule permettant de déterminer l’aire d’un triangle sans connaitre de hauteur.

Héron d’Alexandrie

Héron d’Alexandrie
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Étape 1 : Nombre irrationnel

Supposons que 2\sqrt{2} soit un nombre rationnel, on peut donc l’écrire sous la forme d’une fraction irréductible ab\dfrac{a}{b} , avec aa et bb premiers entre eux (n’ayant que 1 comme diviseur commun). On a donc 2= ab\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}.

1
Démontrez que a2=2b2a^2 = 2b^2.



2
Quels peuvent être les chiffres des unités du carré d’un nombre entier ? Puisque a2a^2 est le double de b2b^2 , quel est son chiffre des unités ?



3
Avec quelle hypothèse de départ est-ce contradictoire ?



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Étape 2 : Approximation par la méthode de Héron

La méthode de Héron est une méthode pour extraire une racine carrée, c’est-à-dire pour en donner une valeur approchée. Prenons un nombre entier nn positif.

1
Démontrez que nn=n\dfrac{n}{ \sqrt{n}} = \sqrt{n}.



2
On considère un nombre aa compris entre 00 et n\sqrt{n}. Montrez que annaa \leq \sqrt{n} \leq \dfrac{n}{a}.



3
Ouvrez un document dans un tableur. En B1, indiquez le nombre nn dont vous voulez extraire la racine carrée et en A2 rentrez une première approximation aa, par exemple à l’unité.



4
Dans la cellule B2, saisissez une formule donnant le quotient de nn par aa.



5
Dans la cellule A3, saisissez une formule qui calcule la moyenne des deux nombres de la ligne 2.



6
Tirez ces formules vers le bas pour obtenir de meilleures approximations.



100% Numérique

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