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Maths autrement : Les secrets de racine carrée de 2
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Mathématiques - Les maths autrement


Maths autrement : Les secrets de racine carrée de 2





Vous savez construire un segment de longueur cm : c’est la diagonale d’un carré de 1 cm de côté. Mais savez-vous que nous ne pouvons écrire la racine carrée de 2 ni sous la forme d’un nombre décimal ni sous la forme d’une fraction ? On dit que c’est un nombre irrationnel. Déjà vers 1 700 avant J.-C., les Babyloniens ont essayés d’en avoir une valeur approchée. Leur méthode géométrique de détermination des racines carrées aurait inspiré Héron d’Alexandrie (Ier siècle après J.-C.). 
Héron d’Alexandrie est un savant grec qui a mis au point plusieurs machines avec des mécaniques assez complexes. On lui attribue aussi une formule permettant de déterminer l’aire d’un triangle sans connaitre de hauteur.

Héron d’Alexandrie

Héron d’Alexandrie
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Étape 1 : Nombre irrationnel

Supposons que soit un nombre rationnel, on peut donc l’écrire sous la forme d’une fraction irréductible  , avec et premiers entre eux (n’ayant que 1 comme diviseur commun). On a donc .

1
Démontrez que .



2
Quels peuvent être les chiffres des unités du carré d’un nombre entier ? Puisque est le double de , quel est son chiffre des unités ?



3
Avec quelle hypothèse de départ est-ce contradictoire ?



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Étape 2 : Approximation par la méthode de Héron

La méthode de Héron est une méthode pour extraire une racine carrée, c’est-à-dire pour en donner une valeur approchée. Prenons un nombre entier positif.

1
Démontrez que .



2
On considère un nombre compris entre et . Montrez que .



3
Ouvrez un document dans un tableur. En B1, indiquez le nombre dont vous voulez extraire la racine carrée et en A2 rentrez une première approximation , par exemple à l’unité.



4
Dans la cellule B2, saisissez une formule donnant le quotient de par .



5
Dans la cellule A3, saisissez une formule qui calcule la moyenne des deux nombres de la ligne 2.



6
Tirez ces formules vers le bas pour obtenir de meilleures approximations.



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