Maths autrement : Les secrets de racine carrée de 2
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Maths autrement : Les secrets de racine carrée de 2
Vous savez construire un segment de longueur 2 cm : c’est la diagonale d’un carré de 1 cm de côté. Mais savez-vous que nous ne pouvons écrire la racine carrée de 2 ni sous la forme d’un nombre décimal ni sous la forme d’une fraction ? On dit que c’est un nombre irrationnel. Déjà vers 1 700 avant J.-C., les Babyloniens ont essayés d’en avoir une valeur approchée. Leur méthode géométrique de détermination des racines carrées aurait inspiré Héron d’Alexandrie (Ier siècle après J.-C.). Héron d’Alexandrie est un savant grec qui a mis au point plusieurs machines avec des mécaniques assez complexes. On lui attribue aussi une formule permettant de déterminer l’aire d’un triangle sans connaitre de hauteur.
Héron d’Alexandrie
Étape 1 : Nombre irrationnel
Supposons que 2 soit un nombre rationnel, on peut donc l’écrire sous la forme d’une fraction irréductible ba , avec a et b premiers entre eux (n’ayant que 1 comme diviseur commun). On a donc 2=ba.
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Démontrez que a2=2b2.
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Quels peuvent être les chiffres des unités du carré d’un nombre entier ? Puisque a2 est le double de b2 , quel est son chiffre des unités ?
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Avec quelle hypothèse de départ est-ce contradictoire ?
Étape 2 : Approximation par la méthode de Héron
La méthode de Héron est une méthode pour extraire une racine carrée, c’est-à-dire pour en donner une valeur approchée. Prenons un nombre entier n positif.
1
Démontrez que nn=n.
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On considère un nombre a compris entre 0 et n. Montrez que a≤n≤an.
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Ouvrez un document dans un tableur. En B1, indiquez le nombre n dont vous voulez extraire la racine carrée et en A2 rentrez une première approximation a, par exemple à l’unité.
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Dans la cellule B2, saisissez une formule donnant le quotient de n par a.
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Dans la cellule A3, saisissez une formule qui calcule la moyenne des deux nombres de la ligne 2.
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Tirez ces formules vers le bas pour obtenir de meilleures approximations.