Vous savez construire un segment de longueur $\sqrt{2}$ cm : c’est la diagonale d’un carré de 1 cm de côté. Mais savez-vous que nous ne pouvons écrire la racine carrée de 2 ni sous la forme d’un nombre décimal ni sous la forme d’une fraction ? On dit que c’est un nombre irrationnel. Déjà vers 1 700 avant J.-C., les Babyloniens ont essayés d’en avoir une valeur approchée. Leur méthode géométrique de détermination des racines carrées aurait inspiré Héron d’Alexandrie (I^er siècle après J.-C.). 
Héron d’Alexandrie est un savant grec qui a mis au point plusieurs machines avec des mécaniques assez complexes. On lui attribue aussi une formule permettant de déterminer l’aire d’un triangle sans connaitre de hauteur.

Étape 1 : Nombre irrationnel

Supposons que $\sqrt{2}$ soit un nombre rationnel, on peut donc l’écrire sous la forme d’une fraction irréductible $\frac{a}{b}$ , avec $a$ et $b$ premiers entre eux (n’ayant que 1 comme diviseur commun). On a donc $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$.

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Démontrez que $a^2=2b^2$.

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Quels peuvent être les chiffres des unités du carré d’un nombre entier ? Puisque $a^2$ est le double de $b^2$ , quel est son chiffre des unités ?

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Avec quelle hypothèse de départ est-ce contradictoire ?

Étape 2 : Approximation par la méthode de Héron

La méthode de Héron est une méthode pour extraire une racine carrée, c’est-à-dire pour en donner une valeur approchée. Prenons un nombre entier $n$ positif.

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Démontrez que $\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}$.

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On considère un nombre $a$ compris entre $0$ et $\sqrt{n}$. Montrez que $a\le \sqrt{n}\le \frac{n}{a}$.

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Ouvrez un document dans un tableur. En B1, indiquez le nombre $n$ dont vous voulez extraire la racine carrée et en A2 rentrez une première approximation $a$, par exemple à l’unité.

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Dans la cellule B2, saisissez une formule donnant le quotient de $n$ par $a$.

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Dans la cellule A3, saisissez une formule qui calcule la moyenne des deux nombres de la ligne 2.

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Tirez ces formules vers le bas pour obtenir de meilleures approximations.

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