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  Définition
La racine carrée d’un nombre positif $a$ est le nombre positif qui, élevé au carré, est égal à $a$. On le note $\sqrt{a}$ et on a $(\sqrt{a}{)}^2=a$.

Remarque : Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier. Les 12 premiers carrés parfaits sont les suivants :

  J'applique
Consigne : Obtenez à la calculatrice $\sqrt{16}$ et $\sqrt{1\text{,}44}$. Comment justifier ces résultats ?
Correction : 
$\sqrt{16}=4$ et $\sqrt{1\text{,}44}=1\text{,}2$.
En effet $4^2=16$. De plus, $12^2=144$ donc $1\text{,}{2}^2=1\text{,}44$.

Remarques : 

• Certaines racines carrées n’ont ni valeur décimale, ni valeur fractionnaire. Ces nombres sont appelés irrationnels. Par exemple, $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel. 
• Si $a<b$ alors $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ . On peut donc approcher la valeur d’une racine carrée en l’encadrant par des racines connues. Par exemple, $6^2<42<7^2$ , donc $6<\sqrt{\text{42}}<7$.

  Théorème
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Les deux autres côtés sont appelés côtés adjacents à l’angle droit.

  J'applique
Consigne : Appliquez la formule du théorème au triangle DEF rectangle en D.
Correction : ${\text{EF}}^2={\text{DE}}^2+{\text{DF}}^2$

1. Calcul de la longueur de l'hypoténuse

  Méthode
Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait les longueurs CA et CB des deux côtés adjacents à l’angle droit, on peut calculer la longueur de lʼhypoténuse.
  ${\text{AB}}^2={\text{CA}}^2+{\text{CB}}^2$ 
donc $\text{AB}=\sqrt{{\text{CA}}^2+{\text{CB}}^2}$.

  J'applique
Consigne : Le triangle ABC est rectangle en C, BC = 4 cm et AC = 3 cm. Calculez la longueur AB.
Correction : Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore : ${\text{AB}}^2={\text{CA}}^2+{\text{CB}}^2$
donc ${\text{AB}}^2=4^2+3^2$
donc ${\text{AB}}^2=16+9$
donc ${\text{AB}}^2=25$
donc $\text{AB}=\sqrt{25}$
donc $\text{AB}=5$
La longueur AB vaut 5 cm.

Dans l’expression, il ne faut pas oublier de respecter les règles de priorité suivantes :

• On calcule d’abord les carrés ; 
• Puis on calcule la somme ; 
• Enfin, on trouve la valeur de la racine.

2. Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit

  Méthode
Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait la longueur AB de l’hypoténuse et la longueur CA d’un côté adjacent à l’angle droit, on peut calculer la longueur BC de lʼautre côté adjacent à lʼangle droit.
${\text{AB}}^2={\text{CA}}^2+{\text{BC}}^2$
donc ${\text{BC}}^2={\text{AB}}^2-{\text{CA}}^2$
donc $\text{BC}=\sqrt{{\text{AB}}^2-{\text{CA}}^2}$ .

  J'applique
Consigne : Calculez la longueur du troisième côté de ce triangle.

Correction : Dans le triangle KLM rectangle en K, on applique le théorème de Pythagore.
${\text{LM}}^2={\text{KM}}^2+{\text{KL}}^2$
donc $8^2={\text{KM}}^2+6^2$
donc ${\text{KM}}^2=8^2-6^2$
donc ${\text{KM}}^2=64-36$
donc ${\text{KM}}^2=28$
donc $\text{KM}=\sqrt{28}$
donc $\text{KM}\approx 5\text{,}3$
La longueur KM est environ égale à 5,3 cm.

  Réciproque du théorème du Pythagore
Dans un triangle ABC, si l’égalité ${\text{AB}}^2={\text{CA}}^2+{\text{CB}}^2$  est vérifiée, alors le triangle est rectangle en C.

Remarque : Si cette égalité n’est pas vérifiée dans le cas où [AB] est le plus grand côté, alors le triangle n’est pas rectangle en C.

  J'applique
Consigne : Le triangle SET tel que ET = 13 cm, SE = 5 cm et ST = 12 cm est-il rectangle ?
Correction : On sait que [ET] est le plus grand côté et que ${\text{ET}}^2=13^2=169$.
${\text{SE}}^2+{\text{ST}}^2=5^2+12^2=25+144=169$
On constate que ${\text{ET}}^2={\text{SE}}^2+{\text{ST}}^2$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SET est rectangle en S.