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  Définition
La racine carrée d’un nombre positif $a$ est le nombre positif qui, élevé au carré, est égal à $a$. On le note $\sqrt{a}$ et on a $(\sqrt{a})^2= a$.

Remarque : Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier. Les 12 premiers carrés parfaits sont les suivants :

  J'applique
Consigne : Obtenez à la calculatrice $\sqrt{16}$ et $\sqrt{1\text{,}44}$. Comment justifier ces résultats ?
Correction : 
$\sqrt{16} = 4$ et $\sqrt{1\text{,}44} = 1\text{,}2$.
En effet $4^2 = 16$. De plus, $12^2 = 144$ donc $1\text{,}2^2 = 1\text{,}44$.

Remarques : 

• Certaines racines carrées n’ont ni valeur décimale, ni valeur fractionnaire. Ces nombres sont appelés irrationnels. Par exemple, $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel. 
• Si $a < b$ alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ . On peut donc approcher la valeur d’une racine carrée en l’encadrant par des racines connues. Par exemple, $6^2 < 42 < 7^2$ , donc $6 < \sqrt{\text{42}} < 7$.

  Théorème
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Les deux autres côtés sont appelés côtés adjacents à l’angle droit.

  J'applique
Consigne : Appliquez la formule du théorème au triangle DEF rectangle en D.
Correction : $\text{EF}^2 = \text{DE}^2 + \text{DF}^2$

1. Calcul de la longueur de l'hypoténuse

  Méthode
Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait les longueurs CA et CB des deux côtés adjacents à l’angle droit, on peut calculer la longueur de lʼhypoténuse.
  $\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2$ 
donc $\text{AB} = \sqrt{\text{CA}^2 + \text{CB}^2}$.

  J'applique
Consigne : Le triangle ABC est rectangle en C, BC = 4 cm et AC = 3 cm. Calculez la longueur AB.
Correction : Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore : $\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2$
donc $\text{AB}^2 = 4^2 + 3^2$
donc $\text{AB}^2 = 16 + 9$
donc $\text{AB}^2 = 25$
donc $\text{AB} = \sqrt{25}$
donc $\text{AB} = 5$
La longueur AB vaut 5 cm.

Dans l’expression, il ne faut pas oublier de respecter les règles de priorité suivantes :

• On calcule d’abord les carrés ; 
• Puis on calcule la somme ; 
• Enfin, on trouve la valeur de la racine.

2. Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit

  Méthode
Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait la longueur AB de l’hypoténuse et la longueur CA d’un côté adjacent à l’angle droit, on peut calculer la longueur BC de lʼautre côté adjacent à lʼangle droit.
$\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{BC}^2$
donc $\text{BC}^2 = \text{AB}^2 - \text{CA}^2$
donc $\text{BC} = \sqrt {\text{AB}^2 - \text{CA}^2}$ .

  J'applique
Consigne : Calculez la longueur du troisième côté de ce triangle.

Correction : Dans le triangle KLM rectangle en K, on applique le théorème de Pythagore.
$\text{LM}^2 = \text{KM}^2 + \text{KL}^2$
donc $8^2 = \text{KM}^2 + 6^2$
donc $\text{KM}^2 = 8^2 - 6^2$
donc $\text{KM}^2 = 64 - 36$
donc $\text{KM}^2 = 28$
donc $\text{KM} = \sqrt{28}$
donc $\text{KM} \approx 5\text{,}3$
La longueur KM est environ égale à 5,3 cm.

  Réciproque du théorème du Pythagore
Dans un triangle ABC, si l’égalité $\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2$  est vérifiée, alors le triangle est rectangle en C.

Remarque : Si cette égalité n’est pas vérifiée dans le cas où [AB] est le plus grand côté, alors le triangle n’est pas rectangle en C.

  J'applique
Consigne : Le triangle SET tel que ET = 13 cm, SE = 5 cm et ST = 12 cm est-il rectangle ?
Correction : On sait que [ET] est le plus grand côté et que $\text{ET}^2 = 13^2 = 169$.
$\text{SE}^2 + \text{ST}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
On constate que $\text{ET}^2 = \text{SE}^2 + \text{ST}^2$.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SET est rectangle en S.