Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 16
J'apprends
Théorème de pythagore
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ARacine carré
J'approfondis
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Définition
La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif qui, élevé au carré, est égal à a. On le note \sqrt{a} et on a (\sqrt{a})^2= a.
Exercices n° p. 354
| a | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
| \sqrt{a} | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
J'applique
Consigne :
Obtenez à la calculatrice \sqrt{16} et \sqrt{1\text{,}44}. Comment justifier ces résultats ?
Correction :
\sqrt{16} = 4 et \sqrt{1\text{,}44} = 1\text{,}2.
En effet 4^2 = 16. De plus, 12^2 = 144 donc 1\text{,}2^2 = 1\text{,}44.
Obtenez à la calculatrice \sqrt{16} et \sqrt{1\text{,}44}. Comment justifier ces résultats ?
Correction :
\sqrt{16} = 4 et \sqrt{1\text{,}44} = 1\text{,}2.
En effet 4^2 = 16. De plus, 12^2 = 144 donc 1\text{,}2^2 = 1\text{,}44.
Remarque :
- Certaines racines carrées n'ont ni valeur décimale, ni valeur fractionnaire. Ces nombres sont appelés irrationnels. Par exemple, \sqrt{2} est un nombre irrationnel.
- Si a alors \sqrt{a}\sqrt{b} . On peut donc approcher la valeur d'une racine carrée en l'encadrant par des racines connues. Par exemple, 6^2 42 7^2 , donc 6\sqrt{\text{42}} 7 .
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BLe théorème de Pythagore
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Théorème
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Les deux autres côtés sont appelés côtés adjacents à l'angle droit.
Exercices n° p. 353-354
J'applique
Consigne :
Appliquez la formule du théorème au triangle \text{DEF} rectangle en \text{D}.
Correction :
\text{EF}^2 = \text{DE}^2 + \text{DF}^2
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CLongueur d'un côté
J'approfondis
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1 Calcul de la longueur de l'hypoténuse
Méthode
Dans un triangle \text{ABC} rectangle en \text{C} dont on connait les longueurs \text{CA} et \text{CB} des deux côtés adjacents à l'angle droit, on peut calculer la longueur de lʼhypoténuse.
\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2
donc \text{AB} = \sqrt{\text{CA}^2 + \text{CB}^2}.
\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2
donc \text{AB} = \sqrt{\text{CA}^2 + \text{CB}^2}.
Exercices n° p. 354-357
J'applique
Consigne :
Le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{C}, \text{BC = 4~cm} et \text{AC = 3~cm}. Calculez la longueur \text{AB}.
Correction :
Dans le triangle \text{ABC} rectangle en \text{C}, on applique le théorème de Pythagore : \text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2
donc \text{AB}^2 = 4^2 + 3^2
donc \text{AB}^2 = 16 + 9
donc \text{AB}^2 = 25
donc \text{AB} = \sqrt{25}
donc \text{AB} = 5
La longueur \text{AB} vaut \text{5~cm}.
Attention
Dans l'expression, il ne faut pas oublier de respecter les règles de priorité suivantes :
- On calcule d'abord les carrés ;
- Puis on calcule la somme ;
- Enfin, on trouve la valeur de la racine.
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2 Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit
Méthode
Dans un triangle \text{ABC} rectangle en \text{C} dont on connait la longueur \text{AB} de l'hypoténuse et la longueur \text{CA} d'un côté adjacent à l'angle droit, on peut calculer la longueur \text{BC} de lʼautre côté adjacent à lʼangle droit.
\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{BC}^2
donc \text{BC}^2 = \text{AB}^2 - \text{CA}^2
donc \text{BC} = \sqrt {\text{AB}^2 - \text{CA}^2} .
\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{BC}^2
donc \text{BC}^2 = \text{AB}^2 - \text{CA}^2
donc \text{BC} = \sqrt {\text{AB}^2 - \text{CA}^2} .
Exercices n° p. 354-357
J'applique
Consigne :
Calculez la longueur du troisième côté de ce triangle.
Calculez la longueur du troisième côté de ce triangle.
Correction :
Dans le triangle \text{KLM} rectangle en \text{K}, on applique le théorème de Pythagore.
\text{LM}^2 = \text{KM}^2 + \text{KL}^2
donc 8^2 = \text{KM}^2 + 6^2
donc \text{KM}^2 = 8^2 - 6^2
donc \text{KM}^2 = 64 - 36
donc \text{KM}^2 = 28
donc \text{KM} = \sqrt{28}
donc \text{KM} \approx 5\text{,}3
La longueur \text{KM} est environ égale à \text{5,3~cm}.
Dans le triangle \text{KLM} rectangle en \text{K}, on applique le théorème de Pythagore.
\text{LM}^2 = \text{KM}^2 + \text{KL}^2
donc 8^2 = \text{KM}^2 + 6^2
donc \text{KM}^2 = 8^2 - 6^2
donc \text{KM}^2 = 64 - 36
donc \text{KM}^2 = 28
donc \text{KM} = \sqrt{28}
donc \text{KM} \approx 5\text{,}3
La longueur \text{KM} est environ égale à \text{5,3~cm}.
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DRéciproque du théorème de Pythagore
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Réciproque du théorème du Pythagore
Dans un triangle \text{ABC}, si l'égalité \text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2 est vérifiée, alors le triangle est rectangle en C.
Exercices n° p. 356-357
J'applique
Consigne :
Le triangle \text{SET} tel que \text{ET = 13~cm}, \text{SE = 5~cm} et \text{ST = 12~cm} est-il rectangle ?
Correction :
On sait que \text{[ET]} est le plus grand côté et que \text{ET}^2 = 13^2 = 169.
\text{SE}^2 + \text{ST}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169
On constate que \text{ET}^2 = \text{SE}^2 + \text{ST}^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \text{SET} est rectangle en \text{S}.
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