Définition La racine carréed’un nombre positifa est le nombre positif qui, élevé au carré, est égal à a. On le note a et on a (a)2=a.
Remarque : Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier. Les 12 premiers carrés parfaits sont les suivants :
a
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
J'applique Consigne : Obtenez à la calculatrice 16 et 1,44. Comment justifier ces résultats ? Correction : 16=4 et 1,44=1,2. En effet 42=16. De plus, 122=144 donc 1,22=1,44.
Remarques :
Certaines racines carrées n’ont ni valeur décimale, ni valeur fractionnaire. Ces nombres sont appelés irrationnels. Par exemple, 2 est un nombre irrationnel.
Si a<b alors a<b . On peut donc approcher la valeur d’une racine carrée en l’encadrant par des racines connues. Par exemple, 62<42<72 , donc 6<42<7.
B. Le théorème de Pythagore
Théorème Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Les deux autres côtés sont appelés côtés adjacents à l’angle droit.
J'applique Consigne : Appliquez la formule du théorème au triangle DEF rectangle en D. Correction : EF2=DE2+DF2
C. Longueur d'un côté
1. Calcul de la longueur de l'hypoténuse
Méthode Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait les longueurs CA et CB des deux côtés adjacents à l’angle droit, on peut calculer la longueur de lʼhypoténuse. AB2=CA2+CB2 donc AB=CA2+CB2.
J'applique Consigne : Le triangle ABC est rectangle en C, BC = 4 cm et AC = 3 cm. Calculez la longueur AB. Correction : Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore : AB2=CA2+CB2 donc AB2=42+32 donc AB2=16+9 donc AB2=25 donc AB=25 donc AB=5 La longueur AB vaut 5 cm.
Dans l’expression, il ne faut pas oublier de respecter les règles de priorité suivantes :
On calcule d’abord les carrés ;
Puis on calcule la somme ;
Enfin, on trouve la valeur de la racine.
2. Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit
Méthode Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait la longueur AB de l’hypoténuse et la longueur CA d’un côté adjacent à l’angle droit, on peut calculer la longueur BC de lʼautre côté adjacent à lʼangle droit. AB2=CA2+BC2 donc BC2=AB2−CA2 donc BC=AB2−CA2 .
J'applique Consigne : Calculez la longueur du troisième côté de ce triangle.
Correction : Dans le triangle KLM rectangle en K, on applique le théorème de Pythagore. LM2=KM2+KL2 donc 82=KM2+62 donc KM2=82−62 donc KM2=64−36 donc KM2=28 donc KM=28 donc KM≈5,3 La longueur KM est environ égale à 5,3 cm.
D. Réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque du théorème du Pythagore Dans un triangle ABC, si l’égalité AB2=CA2+CB2 est vérifiée, alors le triangle est rectangle en C.
Remarque : Si cette égalité n’est pas vérifiée dans le cas où [AB] est le plus grand côté, alors le triangle n’est pas rectangle en C.
J'applique Consigne : Le triangle SET tel que ET = 13 cm, SE = 5 cm et ST = 12 cm est-il rectangle ? Correction : On sait que [ET] est le plus grand côté et que ET2=132=169. SE2+ST2=52+122=25+144=169 On constate que ET2=SE2+ST2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SET est rectangle en S.