Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 16
J'apprends

Théorème de pythagore

A
Racine carré

J'approfondis
Définition
La racine carrée d'un nombre positif  est le nombre positif qui, élevé au carré, est égal à . On le note et on a .

Exercices n°  p. 354
Remarque :  carrée est un nombre entier. Les 12 premiers carrés parfaits sont les suivants :
0149162536496481100121144
0123456789101112

J'applique

Consigne :
Obtenez à la calculatrice et . Comment justifier ces résultats ?

Correction :
et .
En effet . De plus, donc .

Remarque : 
  • Certaines racines carrées n'ont ni valeur décimale, ni valeur fractionnaire. Ces nombres sont appelés irrationnels. Par exemple, est un nombre irrationnel. 
  • Si alors . On peut donc approcher la valeur d'une racine carrée en l'encadrant par des racines connues. Par exemple, , donc .

B
Le théorème de Pythagore

J'approfondis
Théorème
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Les deux autres côtés sont appelés côtés adjacents à l'angle droit.

Graphique d'un triangle rectangle
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Exercices n°  p. 353-354

J'applique

Consigne :
Appliquez la formule du théorème au triangle rectangle en .

Correction :

C
Longueur d'un côté

J'approfondis

1
Calcul de la longueur de l'hypoténuse

Méthode
Dans un triangle rectangle en dont on connait les longueurs et des deux côtés adjacents à l'angle droit, on peut calculer la longueur de lʼhypoténuse.
   

donc .

Graphique d'un triangle ABC
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Exercices n°  p. 354-357

J'applique

Consigne :
Le triangle est rectangle en , et . Calculez la longueur .

Correction :
Dans le triangle rectangle en , on applique le théorème de Pythagore :
donc
donc
donc
donc
donc
La longueur vaut .

Dans l'expression, il ne faut pas oublier de respecter les règles de priorité suivantes :
  • On calcule d'abord les carrés ; 
  • Puis on calcule la somme ; 
  • Enfin, on trouve la valeur de la racine.
Attention

2
Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit

Méthode
Dans un triangle rectangle en dont on connait la longueur de l'hypoténuse et la longueur d'un côté adjacent à l'angle droit, on peut calculer la longueur de lʼautre côté adjacent à lʼangle droit.


donc
donc .
Triangle ABC rectangle en C
Le zoom est accessible dans la version Premium.


Exercices n°  p. 354-357

J'applique

Consigne :
Calculez la longueur du troisième côté de ce triangle.
Triangle KLM rectagle en K
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Correction :
Dans le triangle rectangle en , on applique le théorème de Pythagore.

donc
donc
donc
donc
donc
donc
La longueur est environ égale à .

D
Réciproque du théorème de Pythagore

J'approfondis
Réciproque du théorème du Pythagore
Dans un triangle , si l'égalité   est vérifiée, alors le triangle est rectangle en C.

Exercices n°  p. 356-357
Remarque :  Si cette égalité n'est pas vérifiée dans le cas où est le plus grand côté, alors le triangle n'est pas rectangle en .

J'applique

Consigne :
Le triangle tel que , et est-il rectangle ?

Correction :
On sait que est le plus grand côté et que .

On constate que .
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en .

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