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J'apprends
P.350-352

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Mathématiques - J'apprends


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A. Racine carré


  Définition
La racine carrée d’un nombre positif  est le nombre positif qui, élevé au carré, est égal à . On le note et on a .

Remarque : Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier. Les 12 premiers carrés parfaits sont les suivants :
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

  J'applique
Consigne :
Obtenez à la calculatrice et . Comment justifier ces résultats ?
Correction : 
et .
En effet . De plus, donc .

Remarques : 

  • Certaines racines carrées n’ont ni valeur décimale, ni valeur fractionnaire. Ces nombres sont appelés irrationnels. Par exemple, est un nombre irrationnel. 
  • Si alors . On peut donc approcher la valeur d’une racine carrée en l’encadrant par des racines connues. Par exemple, , donc .

B. Le théorème de Pythagore


  Théorème
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Les deux autres côtés sont appelés côtés adjacents à l’angle droit.
c416inf191-01
  J'applique
Consigne : 
Appliquez la formule du théorème au triangle DEF rectangle en D.
Correction : 

C. Longueur d'un côté


1. Calcul de la longueur de l'hypoténuse

  Méthode
Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait les longueurs CA et CB des deux côtés adjacents à l’angle droit, on peut calculer la longueur de lʼhypoténuse.
   
donc .
c416inf192-01
  J'applique
Consigne :
Le triangle ABC est rectangle en C, BC = 4 cm et AC = 3 cm. Calculez la longueur AB.
Correction : Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore :
donc
donc
donc
donc
donc
La longueur AB vaut 5 cm.

Dans l’expression, il ne faut pas oublier de respecter les règles de priorité suivantes :
  • On calcule d’abord les carrés ; 
  • Puis on calcule la somme ; 
  • Enfin, on trouve la valeur de la racine.

2. Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit

  Méthode
Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait la longueur AB de l’hypoténuse et la longueur CA d’un côté adjacent à l’angle droit, on peut calculer la longueur BC de lʼautre côté adjacent à lʼangle droit.

donc
donc .
c416inf193-01
  J'applique
Consigne : 
Calculez la longueur du troisième côté de ce triangle.
c416inf194-01
Correction : Dans le triangle KLM rectangle en K, on applique le théorème de Pythagore.

donc
donc
donc
donc 
donc
donc 
La longueur KM est environ égale à 5,3 cm.

D. Réciproque du théorème de Pythagore


  Réciproque du théorème du Pythagore
Dans un triangle ABC, si l’égalité   est vérifiée, alors le triangle est rectangle en C.

Remarque : Si cette égalité n’est pas vérifiée dans le cas où [AB] est le plus grand côté, alors le triangle n’est pas rectangle en C.

  J'applique
Consigne : 
Le triangle SET tel que ET = 13 cm, SE = 5 cm et ST = 12 cm est-il rectangle ?
Correction : On sait que [ET] est le plus grand côté et que .

On constate que .
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SET est rectangle en S.