Mathématiques Cycle 4

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 17
J'apprends

Agrandissements - Réductions

12 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Agrandissements et réductions

Je perfectionne
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

1
Propriétés des agrandissements - réductions

Propriétés
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k > 0 :
  • Les longueurs sont multipliées par k ; 
  • Les angles sont conservés ; 
  • La perpendicularité et le parallélisme sont conservés.

(1) : agrandissement de rapport 2
(2) : réduction de rapport \frac{1}{2}
Placeholder pour Schéma d'un agrandissement et d'une réductionSchéma d'un agrandissement et d'une réduction
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Exercices n°  p. 376 - 377.
Remarques :
  • Si k > 1, alors on a un agrandissement. 
  • Si 0 \lt k \lt 1, alors on a une réduction.

J'applique

Consigne :
Le losange EBGF est une réduction du losange ABCD. On sait que AB = 14 cm et EB = 7 cm. 
Quel est le rapport de réduction ?
Losange ABCD avec sa réduction EBGF.
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Correction :
Le losange EBGF est une réduction du losange ABCD, donc leurs longueurs sont proportionnelles. On note k le coefficient de proportionnalité :
k = \dfrac{\text{EB}}{\text{AB}} = \dfrac{7}{14} = 0\text{,}5
Le losange EBGF est une réduction de rapport 0,5 du losange ABCD.


Consigne :
C est un cône de rayon 2 cm. Après une réduction de rapport 0,75, on obtient un cône C'. Quel est le rayon de la base de C' ?

Correction :
Soit r le rayon de la base du cône C et r' celui de la base de C'.
C' est une réduction de rapport 0,75 de C donc :
r' = r \times 0\text{,}75
r' = 2 \times 0\text{,}75 = 1\text{,}5
Le rayon du cône C' mesure 1,5 cm.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

2
Effets sur les périmètres et aires

Propriétés
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k > 0 :
  • La longueur d'un segment est multipliée par k ; 
  • L'aire d'une surface est multipliée par k^2 ; 
  • Le volume d'un solide est multiplié par k^3.

J'applique

Consigne :
P est une pyramide de hauteur 4 cm et de volume 20 cm3. Par une réduction, on obtient une pyramide P' de hauteur 3 cm. Quel est son volume ?

Correction :
  • Calcul du rapport de réduction : 
    k = \dfrac{\text{hauteur de }P'}{\text{hauteur de }P} = \dfrac{3}{4} = 0\text{,}75

  • Calcul du volume de P' :
    20 \times k^3 = 20 \times 0\text{,}75^3 = 8\text{,}4375
    La pyramide P' a un volume d'environ 8,44 cm3.


Consigne :
a.  ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculez son aire.
b. IJK est un agrandissement du triangle ABC de rapport 3. Quelle est son aire ?

Correction :
  a. \text{Aire}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6
Donc ABC a une aire de 6 cm2.
b. Les aires sont multipliées par 32.
\text{Aire}_{\text{IJK}} = \text{Aire}_{\text{ABC}} \times 3^2 = 6 \times 3^2 = 54
Donc IJK a une aire de 54 cm2.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Énoncé du théorème de Thalès

Je perfectionne
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

1
Énoncé du théorème

Théorème
(BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors

\dfrac{\text{A{\color{#5BA49B}M}}}{\text{A{\color{#5F3E82}B}}}=\dfrac{\text{A{\color{#5BA49B}N}}}{\text{A{\color{#5F3E82}C}}}=\dfrac{\text{{\color{#5BA49B}MN}}}{\text{{\color{#5F3E82}BC}}}.
Placeholder pour Schéma illustrant le coursSchéma illustrant le cours
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Exercices n°  p. 374.
Remarque : Dans une configuration de Thalès, les longueurs des deux triangles formés sont proportionnelles. Les quotients définis par le théorème sont égaux au coefficient de proportionnalité : k = \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}. Chaque triangle est donc un agrandissement ou une réduction de lʼautre de rapport k.

  

J'applique

Consigne :
Dans les deux configurations suivantes, les droites colorées sont parallèles. Quels sont les quotients égaux ?
a.
Un triangle IJK où A se trouve sur IJ et B sur KI
Le zoom est accessible dans la version Premium.
b.
Les droites EM et FN se coupent en G
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Correction :
a. \dfrac{\text{IA}}{\text{IJ}} = \dfrac{\text{IB}}{\text{IK}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{JK}}

b. \dfrac{\text{GF}}{\text{GN}} = \dfrac{\text{GE}}{\text{GM}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{MN}}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

2
Utilisation du théorème de Thalès

Méthode
Pour déterminer une longueur manquante dans une configuration de Thalès, on écrit dʼabord les quotients égaux et on calcule ensuite la longueur manquante par proportionnalité.

Exercices n°  p. 375 - 376.
Aide
On peut utiliser un tableau de proportionnalité ou directement lʼégalité des produits en croix.

J'applique

Consigne :
Les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A. Les droites (BD) et (EC) sont parallèles. Calculez AE et BD. (Les unités sont en cm.)

Correction :
  • On identifie la configuration de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A et les droites (BD) et (EC) sont parallèles.

  • On applique le théorème, d'après le théorème de Thalès \dfrac{\text{AD}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{BD}}{\text{EC}}.

  • On remplace par les longueurs connues : \dfrac{2\text{,}8}{\text{AE}} = \dfrac{3\text{,}5}{10\text{,}5} = \dfrac{\text{BD}}{15}.
  • On écrit lʼégalité des produits en croix : 3\text{,}5 \times \text{AE} = 10\text{,}5 \times 2\text{,}8 d'où \text{AE} = \dfrac{10\text{,}5 \times 2\text{,}8}{3\text{,}5} = 8\text{,}4.
    Donc [AE] mesure 8,4 cm.
    De même, 10\text{,}5 \times \text{BD} = 3\text{,}5 \times 15 donc \text{BD} = \dfrac{15 \times 3\text{,}5}{10\text{,}5} = 5. Donc [BD] mesure 5 cm.
Les droites DE et BC se coupent en A. AB = 3,5 AC = 10,5, AD = 2,8, EC = 15.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

C
La réciproque du théorème de Thalès

Je perfectionne
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

1
Énoncé de la réciproque

Réciproque du théorème
Les points M, A, B et N, A, C sont alignés dans le même ordre.

Si \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Placeholder pour Deux droites NC et MB se coupent en IDeux droites NC et MB se coupent en I
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Exercices n°  p. 376.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

2
Utilisation de la réciproque

Méthode
Les droites (MN) et (AB) sont-elles parallèles ?
  • On étudie la configuration. Les points O, M, A et O, N, B sont alignés dans le même ordre. 

  • On calcule séparément les quotients \dfrac{\text{OM}}{\text{OA}}  et \dfrac{\text{ON}}{\text{OB}}.
  • On compare. 
    • Si \dfrac{\text{OM}}{\text{OA}}=\dfrac{\text{ON}}{\text{OB}}, on utilise la réciproque du théorème de Thalès et on conclut que les droites (AB) et (MN) sont parallèles. 

    • Si \dfrac{\text{OM}}{\text{OA}} \ne \dfrac{\text{ON}}{\text{OB}}, l'égalité de Thalès n'est pas vérifiée. On conclut que les droites (AB) et (MN) ne sont pas parallèles.
Exercices n°  p. 376.

J'applique

Consigne :
Les droites (AN) et (BM) sont sécantes en I. On a IA = 6 cm, IB = 8 cm, IM = 6 cm et IN = 4,5 cm.
Les droites (AB) et (MN) sont-elles parallèles ?

Correction :
Les points A, I, N et B, I, M sont alignés dans le même ordre.

\dfrac{\text{IN}}{\text{IA}} = \dfrac{4\text{,}5}{6} = \dfrac{3}{4} et \dfrac{\text{IM}}{\text{IB}} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} donc \dfrac{\text{IN}}{\text{IA}} = \dfrac{\text{IM}}{\text{IB}}

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (MN) sont parallèles.
Deux droites AN et BM se coupent en I
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.