Agrandissements - Réductions

Remarques :

• Si k > 1, alors on a un agrandissement. 
• Si 0 \lt k \lt 1, alors on a une réduction.

J'applique

Correction :
Le losange EBGF est une réduction du losange ABCD, donc leurs longueurs sont proportionnelles. On note k le coefficient de proportionnalité :
k = \dfrac{\text{EB}}{\text{AB}} = \dfrac{7}{14} = 0\text{,}5
Le losange EBGF est une réduction de rapport 0,5 du losange ABCD.


Consigne :
C est un cône de rayon 2 cm. Après une réduction de rapport 0,75, on obtient un cône C'. Quel est le rayon de la base de C' ?

Correction :
Soit r le rayon de la base du cône C et r' celui de la base de C'.
C' est une réduction de rapport 0,75 de C donc :
r' = r \times 0\text{,}75
r' = 2 \times 0\text{,}75 = 1\text{,}5
Le rayon du cône C' mesure 1,5 cm.

Consigne :
P est une pyramide de hauteur 4 cm et de volume 20 cm³. Par une réduction, on obtient une pyramide P' de hauteur 3 cm. Quel est son volume ?

Correction :

• Calcul du rapport de réduction : 
  k = \dfrac{\text{hauteur de }P'}{\text{hauteur de }P} = \dfrac{3}{4} = 0\text{,}75


• Calcul du volume de P' :
  20 \times k^3 = 20 \times 0\text{,}75^3 = 8\text{,}4375
  La pyramide P' a un volume d'environ 8,44 cm³.

Consigne :
a.  ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculez son aire.
b. IJK est un agrandissement du triangle ABC de rapport 3. Quelle est son aire ?

Correction :
  a. \text{Aire}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6
Donc ABC a une aire de 6 cm².
b. Les aires sont multipliées par 3².
\text{Aire}_{\text{IJK}} = \text{Aire}_{\text{ABC}} \times 3^2 = 6 \times 3^2 = 54
Donc IJK a une aire de 54 cm².

Remarque : Dans une configuration de Thalès, les longueurs des deux triangles formés sont proportionnelles. Les quotients définis par le théorème sont égaux au coefficient de proportionnalité : k = \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}. Chaque triangle est donc un agrandissement ou une réduction de lʼautre de rapport k.

  

J'applique

Consigne :
Dans les deux configurations suivantes, les droites colorées sont parallèles. Quels sont les quotients égaux ?
Correction :
a. \dfrac{\text{IA}}{\text{IJ}} = \dfrac{\text{IB}}{\text{IK}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{JK}}

b. \dfrac{\text{GF}}{\text{GN}} = \dfrac{\text{GE}}{\text{GM}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{MN}}

Correction :

• On identifie la configuration de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A et les droites (BD) et (EC) sont parallèles.


• On applique le théorème, d'après le théorème de Thalès \dfrac{\text{AD}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{BD}}{\text{EC}}.


• On remplace par les longueurs connues : \dfrac{2\text{,}8}{\text{AE}} = \dfrac{3\text{,}5}{10\text{,}5} = \dfrac{\text{BD}}{15}.
• On écrit lʼégalité des produits en croix : 3\text{,}5 \times \text{AE} = 10\text{,}5 \times 2\text{,}8 d'où \text{AE} = \dfrac{10\text{,}5 \times 2\text{,}8}{3\text{,}5} = 8\text{,}4.
  Donc [AE] mesure 8,4 cm.
  De même, 10\text{,}5 \times \text{BD} = 3\text{,}5 \times 15 donc \text{BD} = \dfrac{15 \times 3\text{,}5}{10\text{,}5} = 5. Donc [BD] mesure 5 cm.

Consigne :
Les droites (AN) et (BM) sont sécantes en I. On a IA = 6 cm, IB = 8 cm, IM = 6 cm et IN = 4,5 cm.
Les droites (AB) et (MN) sont-elles parallèles ?

Correction :
Les points A, I, N et B, I, M sont alignés dans le même ordre.

\dfrac{\text{IN}}{\text{IA}} = \dfrac{4\text{,}5}{6} = \dfrac{3}{4} et \dfrac{\text{IM}}{\text{IB}} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} donc \dfrac{\text{IN}}{\text{IA}} = \dfrac{\text{IM}}{\text{IB}}

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (MN) sont parallèles.