Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 17

Problèmes résolus

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Voici ce que lʼon sait de cinq villes localisées aux points D, E, F, G et H.

Je modélise une situation à l'aide d'un schéma, d'un tableau ou d'un arbre
Je reconnais une situation de proportionnalité

  • DF = 6 km, DH = 11 km, DE = 8 km et GE = 4 km.
  • D, E et H sont alignées dans cet ordre.
  • F, E et G sont alignées dans cet ordre.
  • (DF) est parallèle à (GH).

Calculez la distance séparant F de E (arrondie au mètre près), puis celle entre H et G.
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Méthode 1
Quand il faut calculer des longueurs dans un énoncé qui met en jeu des droites parallèles et des points alignés, il peut être intéressant de faire un schéma pour déterminer s'il est possible d'appliquer le théorème de Thalès.

Corrigé 1
  • On fait un schéma :
  • Les droites (DF) et (GH) sont parallèles donc, d'après le théorème de Thalès :
    \dfrac{\text{EH}}{\text{DE}} = \dfrac{\text{EG}}{\text{EF}} = \dfrac{\text{GH}}{\text{DF}}.
    Donc : \dfrac{3}{8} = \dfrac{4}{\text{EF}} = \dfrac{\text{GH}}{6}.
  • Calcul de EF :
    \dfrac{3}{8} = \dfrac{4}{\text{EF}}

    donc \text{EF} = 4 \times 8 \div 3 \approx 10\text{,}667
    F se trouve à environ 10,667 km de E.
  • Calcul de GH :
    \dfrac{3}{8} = \dfrac{\text{GH}}{6}

    donc \text{GH} = 6 \times 3 \div 8 = 2\text{,}25
    H se trouve à 2,25 km de G.
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Méthode 2
Quand il est demandé dans un énoncé de calculer la longueur d'un côté d'un triangle dont on connait une réduction, on sait que leurs côtés sont proportionnels deux à deux. On peut alors tracer un tableau de proportionnalité et en déduire la longueur du côté recherché.

Corrigé 2
Les droites (DF) et (GH) sont parallèles et les droites (FG) et (DH) sont sécantes en E.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès. Les longueurs proportionelles des triangles EGH et EFD sont :

Triangle EGHEHEGGH
Triangle EFDDEEFDF

Triangle EGH  3 4GH
Triangle EFD  8 EF6

  • On passe des valeurs du triangle EGH à celles du triangle EFD en divisant par 0,375. 
  • On le vérifie en calculant le coefficient de proportionnalité : 3 \div 8 = 0\text{,}375.
  • Donc EF = 4 \div 0\text{,}375 \approx 10\text{,}667
    F se trouve à environ 10,667 km de E.
  • GH = 6 \times 0\text{,}375 = 2\text{,}25
    H se trouve à 2,25 km de G.
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Problème similaire
Appareil photo.

Graphique lié à l'exercice 1
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Les plus anciens modèles d'appareils photos ne sont qu'une boite au fond de laquelle une plaque argentique est frappée par la lumière passant par un simple trou.La boite est profonde de 15 cm. L'homme se tient à 5,4 m de l'appareil.

Quelle est la taille du personnage pris en photo ?
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