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1. Propriétés des triangles usuels

a. Décalquer les figures suivantes et les recopier sur le cahier. 
b. Coder chaque figure en utilisant les instruments de mesure (règle graduée et équerre).
c. Repérer à l’œil nu les axes de symétrie et les tracer pour chaque figure.
d. Regrouper ces figures dans plusieurs catégories, en fonction des observations précédentes. Des figures pourront éventuellement appartenir à plusieurs catégories.
e. Expliquer le choix des catégories. Les élèves de la classe ont-ils tous choisi les mêmes catégories ?
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► Un triangle est un polygone formé de trois points (les sommets) et de trois côtés. On le désigne souvent par ses sommets.

Remarque ▸ Un triangle a trois angles, BAC^\widehat{\text{BAC}}, CBA^\widehat{\text{CBA}} et ACB^\widehat{\text{ACB}}.
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A. Triangle rectangle

► Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit.  
On dit que le triangle ABC est rectangle en A. Cela permet de savoir où est l’angle droit !
 
Remarque ▸ Il ne peut y avoir qu’un seul angle droit dans un triangle.
Remarque ▸ Ce n’est pas parce qu’un triangle est rectangle qu’il a un (ou des) axes de symétrie.
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Nommer tous les triangles rectangles que l’on peut construire avec les sommets A, B, C, D, E et F. 

On repère les angles droits : ils sont situés sur les points D et B.
Pour le sommet D, on peut construire le triangle BCD, rectangle en D.
Pour le sommet B, on peut construire :
le triangle BCA, rectangle en B ;
le triangle BEA, rectangle en B ;
le triangle BCF, rectangle en B ;
le triangle BEF, rectangle en B.
Refaire : Repérer des triangles rectangles.

B. Triangle isocèle

a. En utilisant un logiciel de géométrie dynamique, construire un triangle ABC tel que AB = AC.
b. Tracer la médiatrice de [BC]. Que remarque-t-on ?
c. Afficher les mesures des angles ABC^\widehat{\text{ABC}} et ACB^\widehat{\text{ACB}}. Que remarque-t-on ?
d. Les propriétés remarquées sont-elles conservées quand on déforme le triangle ?
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Définition : Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés de longueurs égales.
On dit que le triangle ABC est isocèle en A. Cela veut dire que AB = AC !

Propriété : Un triangle ABC isocèle en A possède un axe de symétrie : c’est la médiatrice de [BC].

Remarque ▸ Un triangle isocèle peut parfois posséder plus d’un axe de symétrie, dans ce cas, c’est un triangle équilatéral, mais jamais moins.
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► Dans la symétrie par rapport à la droite rouge, A est le symétrique de A et C est le symétrique de B.
Donc l’angle BCA^\widehat{\text{BCA}} est le symétrique de l’angle ABC^\widehat{\text{ABC}}.
On sait que la symétrie conserve les angles.
On a donc par symétrie : ABC^=BCA^\widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{BCA}}.

► Un triangle isocèle possède deux côtés égaux et deux angles égaux.
► Si un triangle possède deux angles égaux, alors il est isocèle !
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Repérer les triangles isocèles dans cette figure et prouver que CDE^=DEC^\widehat{\text{CDE}} = \widehat{\text{DEC}}.
On repère les segments de même longueur : AB = AC et CD = CE.
Donc ABC est isocèle en A et CDE est isocèle en C.
Dans le triangle CDE (isocèle en C), les deux angles qui n’ont pas C comme sommet sont égaux.

Donc CDE^=DEC^\widehat{\text{CDE}} = \widehat{\text{DEC}}.
Refaire : Repérer des triangles isocèles.

C. Triangle équilatéral

► Un triangle équilatéral est un triangle qui possède trois côtés de même longueur : il est isocèle en chacun de ses sommets.

Propriété : Un triangle équilatéral possède toujours trois axes de symétrie : ce sont les médiatrices de chaque côté.
Dans ce triangle équilatéral ABC, les trois droites rouges sont les axes de symétrie du triangle.
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Montrer que CAB^=BCA^\widehat{\text{CAB}} = \widehat{\text{BCA}}.
Le triangle ABC est isocèle en B.
Dans un triangle isocèle en B, les deux angles dont le sommet n’est pas B sont égaux.

Ainsi CAB^=BCA^\widehat{\text{CAB}} = \widehat{\text{BCA}}.
Refaire : Étudier les angles d’un triangle équilatéral.
► Propriété : Les trois angles d’un triangle équilatéral ABC sont égaux. 

CAB^=ABC^=ACB^\widehat{\text{CAB}} = \widehat{\text{ABC}} = \widehat{\text{ACB}}
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