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3. Applications géométriques
P.60-61

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COURS 3


3
Applications géométriques




A
Démontrer avec les nombres complexes


Propriété

Soient et deux points d’affixe respective et dans le plan complexe.
La distance est égale à .

Remarques

Calculer des distances permet de démontrer qu’un triangle est rectangle, qu’un point appartient à un cercle, à la médiatrice d’un segment, etc.

DÉMONSTRATION

Dans un repère orthonormé,
.

Propriétés

Soient et deux points d’affixe respective et dans le plan complexe.
1. L’ensemble des points du plan d’affixe vérifiant est la médiatrice du segment .
2. Si est un nombre réel strictement positif, alors l’ensemble des points du plan d’affixe vérifiant est le cercle de centre et de rayon .

DÉMONSTRATION

1. appartient à la médiatrice de .
2. appartient au cercle de centre et de rayon .

Propriétés

Soient , et trois points deux à deux distincts d’affixe respective , et .
1. ().
2. ().

Remarque

Calculer des mesures d’angles orientés permet de démontrer le parallélisme ou l’orthogonalité de droites, l’alignement de points, etc.

DÉMONSTRATION

1. On sait que a pour affixe . On considère le point d’affixe .
Alors d'où ().
On a donc ().
On obtient bien ().

2. D’après la relation de Chasles sur les angles orientés, on a :
()
()
().

Application et méthode - 6

Énoncé

Soient , et trois points d’affixe respective , et .
Déterminer la nature du triangle .

Méthode

On calcule le nombre complexe , puis son module et un de ses arguments.

On conclut en fonction des valeurs obtenues :
  • si le module est , alors  ;
  • si un argument est ou , à près, alors les points sont alignés ;
  • si un argument est ou , à près, alors les droites et sont perpendiculaires.

Solution


On calcule : .
Donc .
On en déduit que le triangle est isocèle en . De plus,
().
Le triangle est donc isocèle rectangle en .

Pour s'entraîner : exercices 39, 40 et 41 p. 67

B
Racines ‑ièmes de l’unité


Définition

On appelle cercle unité, et on note , l’ensemble des nombres complexes de module .
On a donc .

Remarque

signifie que le point appartient au cercle trigonométrique. Autrement dit, , .
On a .

Propriété

On considère deux nombres complexes et dans . On a et .

Remarque

Ces propriétés traduisent la stabilité de par produit et passage à l’inverse.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
124
p. 75
.

Définition

Pour , on appelle racines ‑ièmes de l’unité les solutions de l’équation complexe .

Propriétés

1. On a . est composé d’exactement éléments.
2. Si , alors les points dont les affixes sont les racines ‑ièmes de l’unité forment un polygone régulier à côtés.

NOTATION

On note l’ensemble des racines ‑ièmes de l’unité.

DÉMONSTRATION

Voir activité
C
p. 51
pour le point 1.. Le point 2. est admis.

Exemple

D’après l’activité
C
, , , , avec , et .

Racines n‑ièmes de l’unité
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