Soient A et B deux points d'affixe respective zA et zB dans le plan complexe.
La distance AB est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣.
Remarque
Calculer des distances permet de démontrer qu'un triangle est rectangle, qu'un point appartient à un cercle, à la médiatrice d'un segment, etc.
Démonstration
Dans un repère orthonormé, AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2=∣(xB−xA)+(yB−yA)i∣ =∣(xB+iyB)−(xA+iyA)∣=∣zB−zA∣.
Propriétés
Soient A et B deux points d'affixe respective zA et zB dans le plan complexe.
1. L'ensemble (E) des points M du plan d'affixe z vérifiant ∣z−zA∣=∣z−zB∣ est la médiatrice du segment [AB].
2. Si r est un nombre réel strictement positif, alors l'ensemble (E′) des points M du plan d'affixe z vérifiant ∣z−zA∣=r est le cercle de centre A et de rayon r.
Démonstration
1.M∈(E)⇔∣z−zA∣=∣z−zB∣⇔AM=BM⇔M appartient à la médiatrice de [AB].
2.M∈(E′)⇔∣z−zA∣=r⇔AM=r⇔M appartient au cercle de centre A et de rayon r.
Propriétés
Soient A, B et C trois points deux à deux distincts d'affixe respective zA, zB et zC.
1.(u;AB)=arg(zB−zA)+k×2π (k∈Z).
2.(AB;AC)=arg(zB−zAzC−zA)+k×2π (k∈Z).
Remarque
Calculer des mesures d'angles orientés permet de démontrer le parallélisme ou l'orthogonalité de droites, l'alignement de points, etc.
Démonstration
1. On sait que AB a pour affixe zB−zA. On considère le point M d'affixe zB−zA.
Alors OM=AB d'où (u;AB)=(u;OM)+k×2π (k∈Z).
On a donc (u;OM)=arg(zB−zA)+k′×2π (k′∈Z).
On obtient bien (u;AB)=(u;OM)+k×2π=arg(zB−zA)+k′′×2π (k′′∈Z).
2. D'après la relation de Chasles sur les angles orientés, on a : (AB;AC)=(AB;u)+(u;AC)+k×2π (k∈Z) =−(u;AB)+(u;AC)+k×2π (k∈Z) =arg(zC−zA)−arg(zB−zA)+k×2π=arg(zB−zAzC−zA)+k×2π (k∈Z).
Application et méthode - 6
Énoncé
Soient A, B et C trois points d'affixe respective a=−1−i, b=3 et c=−2+3i.
Déterminer la nature du triangle ABC.
Méthode
On calcule le nombre complexe c−ab−a, puis son module et un de ses arguments.
On conclut en fonction des valeurs obtenues :
si le module est 1, alors AB=AC ;
si un argument est −π ou π, à 2π près, alors les points sont alignés ;
si un argument est −2π ou 2π, à 2π près, alors les droites (AB) et (AC)sont perpendiculaires.
Solution
On calcule : c−ab−a=−1+4i4+i=−i.
Donc ∣∣∣∣∣c−ab−a∣∣∣∣∣=1⇔∣c−a∣∣b−a∣=1⇔ACAB=1⇔AB=AC.
On en déduit que le triangle ABC est isocèle en A.
De plus, arg(c−ab−a)=−2π+k×2π⇔(AC;AB)=−2π+k×2π (k∈Z).
Le triangle est donc isocèle rectangle en A.
Pour n∈N∗, on appelle racines n‑ièmes de l'unité les solutions de l'équation complexe zn=1.
Propriétés
1. On a Un={en2iπk,k∈N,0⩽k⩽n−1}. Un est composé d'exactement n éléments.
2. Si n⩾3, alors les points dont les affixes sont les racines n‑ièmes de l'unité forment un polygone r égulier à n côtés.
Notation
On note Un l'ensemble des racines n‑ièmes de l'unité.