Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Cours 3

Applications géométriques

A
Démontrer avec les nombres complexes

Propriété
Soient et deux points d'affixe respective et dans le plan complexe.
La distance est égale à .

Remarque

Calculer des distances permet de démontrer qu'un triangle est rectangle, qu'un point appartient à un cercle, à la médiatrice d'un segment, etc.
Démonstration
Dans un repère orthonormé,
.
Propriétés
Soient et deux points d'affixe respective et dans le plan complexe.
1. L'ensemble des points du plan d'affixe vérifiant est la médiatrice du segment .
2. Si est un nombre réel strictement positif, alors l'ensemble des points du plan d'affixe vérifiant est le cercle de centre et de rayon .
Démonstration
1. appartient à la médiatrice de .
2. appartient au cercle de centre et de rayon .
Propriétés
Soient , et trois points deux à deux distincts d'affixe respective , et .
1. ().
2. ().

Remarque

Calculer des mesures d'angles orientés permet de démontrer le parallélisme ou l'orthogonalité de droites, l'alignement de points, etc.
Démonstration
1. On sait que a pour affixe . On considère le point d'affixe .
Alors d'où ().
On a donc ().
On obtient bien ().

2. D'après la relation de Chasles sur les angles orientés, on a :
()
()
().
Application et méthode - 6
Énoncé
Soient , et trois points d'affixe respective , et . Déterminer la nature du triangle .

Méthode

On calcule le nombre complexe , puis son module et un de ses arguments.

On conclut en fonction des valeurs obtenues :
  • si le module est , alors  ;
  • si un argument est ou , à près, alors les points sont alignés ;
  • si un argument est ou , à près, alors les droites et sont perpendiculaires.
Solution
On calcule : .
Donc .
On en déduit que le triangle est isocèle en . De plus,
().
Le triangle est donc isocèle rectangle en .

Pour s'entraîner
Exercices , et p. 67.

B
Racines ‑ièmes de l'unité

Définition
On appelle cercle unité, et on note , l'ensemble des nombres complexes de module .
On a donc .

Remarque

signifie que le point appartient au cercle trigonométrique. Autrement dit, , . On a .
Propriété
On considère deux nombres complexes et dans . On a et .

Remarque

Ces propriétés traduisent la stabilité de par produit et passage à l'inverse.
Démonstration
Voir exercice p. 75.
Définition
Pour , on appelle racines ‑ièmes de l'unité les solutions de l'équation complexe .
Propriétés
1. On a . est composé d'exactement éléments.
2. Si , alors les points dont les affixes sont les racines ‑ièmes de l'unité forment un polygone régulier à côtés.

Notation

On note l'ensemble des racines ‑ièmes de l'unité.
Démonstration
Voir activité p. 51 pour le point 1.. Le point 2. est admis.
Exemple
D'après l'activité , , , , avec , et .
Racines n‑ièmes de l'unité
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