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3. Applications géométriques

P.60-61

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COURS 3

3
Applications géométriques

A
Démontrer avec les nombres complexes

Propriété

Soient

A

B

deux points d’affixe respective

z_{A}

z_{B}

dans le plan complexe.
La distance

AB

est égale à

A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣ = ∣ z_{A} - z_{B} ∣

Remarques

Calculer des distances permet de démontrer qu’un triangle est rectangle, qu’un point appartient à un cercle, à la médiatrice d’un segment, etc.

DÉMONSTRATION

Dans un repère orthonormé,

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

= ∣ (x_{B} - x_{A}) + (y_{B} - y_{A}) i ∣

= ∣ (x_{B} + i y_{B}) - (x_{A} + i y_{A}) ∣

= ∣ z_{B} - z_{A} ∣

Propriétés

Soient

A

B

deux points d’affixe respective

z_{A}

z_{B}

dans le plan complexe.
1. L’ensemble

(E)

des points

M

du plan d’affixe

z

vérifiant

∣ z - z_{A} ∣ = ∣ z - z_{B} ∣

est la médiatrice du segment

[A B]

.
2. Si

r

est un nombre réel strictement positif, alors l’ensemble

(E^{'})

des points

M

du plan d’affixe

z

vérifiant

∣ z - z_{A} ∣ = r

est le cercle de centre

A

et de rayon

r

DÉMONSTRATION

M \in (E) \Leftrightarrow ∣ z - z_{A} ∣ = ∣ z - z_{B} ∣ \Leftrightarrow A M = B M \Leftrightarrow M

appartient à la médiatrice de

[A B]

.
2.

M \in (E^{'}) \Leftrightarrow ∣ z - z_{A} ∣ = r \Leftrightarrow A M = r \Leftrightarrow M

appartient au cercle de centre

A

et de rayon

r

Propriétés

Soient

A

B

C

trois points deux à deux distincts d’affixe respective

z_{A}

z_{B}

z_{C}

.
1.

(u; A B) = ar g (z_{B} - z_{A}) + k \times 2 π

(

k \in Z

).
2.

(A B; A C) = ar g (\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}) + k \times 2 π

(

k \in Z

Remarque

Calculer des mesures d’angles orientés permet de démontrer le parallélisme ou l’orthogonalité de droites, l’alignement de points, etc.

DÉMONSTRATION

1. On sait que

A B

a pour affixe

z_{B} - z_{A}

. On considère le point

M

d’affixe

z_{B} - z_{A}

.
Alors

O M = A B

d'où

(u; A B) = (u; O M) + k \times 2 π

(

k \in Z

).
On a donc

(u; O M) = ar g (z_{B} - z_{A}) + k^{'} \times 2 π

(

k^{'} \in Z

).
On obtient bien

(u; A B) = (u; O M) + k \times 2 π = ar g (z_{B} - z_{A}) + k^{''} \times 2 π

(

k^{''} \in Z

).

2. D’après la relation de Chasles sur les angles orientés, on a :

(A B; A C) = (A B; u) + (u; A C) + k \times 2 π

(

k \in Z

)

= - (u; A B) + (u; A C) + k \times 2 π

(

k \in Z

)

= ar g (z_{C} - z_{A}) - ar g (z_{B} - z_{A}) + k \times 2 π = ar g (\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}) + k \times 2 π

(

k \in Z

Application et méthode - 6

Énoncé

Soient

A

B

C

trois points d’affixe respective

a = - 1 - i

b = 3

c = - 2 + 3 i

.
Déterminer la nature du triangle

ABC

Méthode

On calcule le nombre complexe

\frac{b - a}{c - a}

, puis son module et un de ses arguments.

On conclut en fonction des valeurs obtenues :

si le module est $1$ , alors $A B = A C$ ;
si un argument est $- π$ ou $π$ , à $2 π$ près, alors les points sont alignés ;
si un argument est $- \frac{π}{2}$ ou $\frac{π}{2}$ , à $2 π$ près, alors les droites $(A B)$ et $(A C)$ sont perpendiculaires.

Solution

On calcule :

\frac{b - a}{c - a} = \frac{4 + i}{- 1 + 4 i} = - i

.
Donc

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{b - a}{c - a} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 \Leftrightarrow \frac{∣ b - a ∣}{∣ c - a ∣} = 1 \Leftrightarrow \frac{A B}{A C} = 1 \Leftrightarrow A B = A C

.
On en déduit que le triangle

ABC

est isocèle en

A

. De plus,

ar g (\frac{b - a}{c - a}) = - \frac{π}{2} + k \times 2 π \Leftrightarrow (A C; A B) = - \frac{π}{2} + k \times 2 π

(

k \in Z

).
Le triangle est donc isocèle rectangle en

A

Pour s'entraîner : exercices 39, 40 et 41 p. 67

B
Racines $n$ ‑ièmes de l’unité

Définition

On appelle cercle unité, et on note

U

, l’ensemble des nombres complexes de module

1

.
On a donc

U = {z \in C, ∣ z ∣ = 1}

Remarque

z \in U

signifie que le point

M (z)

appartient au cercle trigonométrique. Autrement dit,

z \in U \Leftrightarrow \exists θ \in R

z = e^{i θ}

.
On a

0 \in / U

Propriété

On considère deux nombres complexes

z

z^{'}

dans

U

. On a

z z^{'} \in U

\frac{z}{z ^{'}} \in U

Remarque

Ces propriétés traduisent la stabilité de

U

par produit et passage à l’inverse.

DÉMONSTRATION

Voir exercice 124
p. 75.

Définition

Pour

n \in N^{*}

, on appelle racines $n$ ‑ièmes de l’unité les solutions de l’équation complexe

z^{n} = 1

Propriétés

1. On a

U_{n} = {e^{\frac{2 i π k}{n}}, k \in N, 0 ⩽ k ⩽ n - 1}

U_{n}

est composé d’exactement

n

éléments.
2. Si

n ⩾ 3

, alors les points dont les affixes sont les racines

n

‑ièmes de l’unité forment un polygone régulier à

n

côtés.

NOTATION

On note

U_{n}

l’ensemble des racines

n

‑ièmes de l’unité.

DÉMONSTRATION

Voir activité C
p. 51 pour le point 1.. Le point 2. est admis.

Exemple

D’après l’activité C
,

U_{1} = {1}

U_{2} = {- 1; 1}

U_{3} = {1; j; j^{2}}

, avec

j = e^{\frac{2 i π}{3}}

, et

U_{4} = {- 1; i; 1; i}

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3Applications géométriques

ADémontrer avec les nombres complexes

Remarques

DÉMONSTRATION

DÉMONSTRATION

Remarque

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 6

Énoncé

Méthode

Solution

BRacines n‑ièmes de l’unité

Remarque

Remarque

DÉMONSTRATION

DÉMONSTRATION

3
Applications géométriques

A
Démontrer avec les nombres complexes

B
Racines $n$ ‑ièmes de l’unité