Applications géométriques

Dans un repère orthonormé, $\mathrm{AB}=\sqrt{{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)}^2+{\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)}^2}$ $=\left|\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)\mathrm{i}\right|$
$=\left|\left(x_{\mathrm{B}}+\mathrm{i}{y}_{\mathrm{B}}\right)-\left(x_{\mathrm{A}}+\mathrm{i}{y}_{\mathrm{A}}\right)\right|$ $=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|$.

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux points d'affixe respective $z_{\mathrm{A}}$ et $z_{\mathrm{B}}$ dans le plan complexe.
1. L'ensemble $(\mathrm{E})$ des points $\text{M}$ du plan d'affixe $z$ vérifiant $\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z-z_{\mathrm{B}}\right|$ est la médiatrice du segment $[\mathrm{AB}]$.
2. Si $r$ est un nombre réel strictement positif, alors l'ensemble $({\mathrm{E}}^{\prime })$ des points $\text{M}$ du plan d'affixe $z$ vérifiant $\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r$ est le cercle de centre $\text{A}$ et de rayon $r$.

1. $\mathrm{M}\in (\mathrm{E})\iff \left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z-z_{\mathrm{B}}\right|\iff \mathrm{AM}=\mathrm{BM}\iff \mathrm{M}$ appartient à la médiatrice de $[\mathrm{AB}]$.
2. $\mathrm{M}\in \left({\mathrm{E}}^{\prime }\right)\iff \left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r\iff \mathrm{AM}=r\iff \mathrm{M}$ appartient au cercle de centre $\text{A}$ et de rayon $r$.

1. On sait que $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ a pour affixe $z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}$. On considère le point $\text{M}$ d'affixe $z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}$.
Alors $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ d'où $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{AB}})=(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{OM}})+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
On a donc $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{OM}})=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k^{\prime }\times 2\pi$ ($k^{\prime }\in \mathbb{Z}$).
On obtient bien $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{AB}})=(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{OM}})+k\times 2\pi =\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k^{\prime \prime }\times 2\pi$ ($k^{\prime \prime }\in \mathbb{Z}$).

2. D'après la relation de Chasles sur les angles orientés, on a :
$(\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}})=(\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{AC}})+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)
$=-(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{AB}})+(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{AC}})+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)
$=\arg \left(z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}\right)-\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k\times 2\pi =\arg \left(\frac{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}\right)+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points d'affixe respective $a=-1-\mathrm{i}$, $b=3$ et $c=-2+3\mathrm{i}$. Déterminer la nature du triangle $\text{ABC}$.

Voir exercice

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p. 75.

Voir activité

C

p. 51 pour le point 1.. Le point 2. est admis.