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3. Applications géométriques
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COURS 3


3
Applications géométriques




A
Démontrer avec les nombres complexes


Propriété

Soient A\text{A} et B\text{B} deux points d’affixe respective zAz_\mathrm{A} et zBz_\mathrm{B} dans le plan complexe.
La distance AB\text{AB} est égale à AB=zBzA=zAzB\mathrm{AB}=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}\right|.

Remarques

Calculer des distances permet de démontrer qu’un triangle est rectangle, qu’un point appartient à un cercle, à la médiatrice d’un segment, etc.

DÉMONSTRATION

Dans un repère orthonormé, AB=(xBxA)2+(yByA)2\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}} =(xBxA)+(yByA)i=\left|\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right) \mathrm{i}\right|
=(xB+iyB)(xA+iyA)=\left|\left(x_{\mathrm{B}}+\mathrm{i} y_{\mathrm{B}}\right)-\left(x_{\mathrm{A}}+\mathrm{i} y_{\mathrm{A}}\right)\right| =zBzA=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|.

Propriétés

Soient A\text{A} et B\text{B} deux points d’affixe respective zAz_\mathrm{A} et zBz_\mathrm{B} dans le plan complexe.
1. L’ensemble (E)(\mathrm{E}) des points M\text{M} du plan d’affixe zz vérifiant zzA=zzB\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z-z_{\mathrm{B}}\right| est la médiatrice du segment [AB][\mathrm{AB}].
2. Si rr est un nombre réel strictement positif, alors l’ensemble (E)(\mathrm{E}^{\prime}) des points M\text{M} du plan d’affixe zz vérifiant zzA=r\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r est le cercle de centre A\text{A} et de rayon rr.

DÉMONSTRATION

1. M(E)zzA=zzBAM=BMM\mathrm{M} \in(\mathrm{E}) \Leftrightarrow\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z-z_{\mathrm{B}}\right| \Leftrightarrow \mathrm{AM}=\mathrm{BM} \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient à la médiatrice de [AB][\mathrm{AB}].
2. M(E)zzA=rAM=rM\mathrm{M} \in\left(\mathrm{E}^{\prime}\right) \Leftrightarrow\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r \Leftrightarrow \mathrm{AM}=r \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient au cercle de centre A\text{A} et de rayon rr.

Propriétés

Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points deux à deux distincts d’affixe respective zAz_\mathrm{A}, zBz_\mathrm{B} et zCz_\mathrm{C}.
1. (u ; AB)=arg(zBzA)+k×2π(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).
2. (AB ; AC)=arg(zCzAzBzA)+k×2π(\overrightarrow{\mathrm{AB}} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\arg \left(\dfrac{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}\right)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).

Remarque

Calculer des mesures d’angles orientés permet de démontrer le parallélisme ou l’orthogonalité de droites, l’alignement de points, etc.

DÉMONSTRATION

1. On sait que AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour affixe zBzAz_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}. On considère le point M\text{M} d’affixe zBzAz_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}.
Alors OM=AB\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} d'où (u;AB)=(u;OM)+k×2π(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).
On a donc (u;OM)=arg(zBzA)+k×2π(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k^{\prime} \times 2 \pi (kZk^{\prime} \in \mathbb{Z}).
On obtient bien (u;AB)=(u;OM)+k×2π=arg(zBzA)+k×2π(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})+k \times 2 \pi=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k^{\prime \prime} \times 2 \pi (kZk^{\prime \prime} \in \mathbb{Z}).

2. D’après la relation de Chasles sur les angles orientés, on a :
(AB;AC)=(AB;u)+(u;AC)+k×2π(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\,; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\,; \overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{AC}})+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z})
=(u;AB)+(u;AC)+k×2π=-(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})+(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z})
=arg(zCzA)arg(zBzA)+k×2π=arg(zCzAzBzA)+k×2π=\arg \left(z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}\right)-\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k \times 2 \pi=\arg \left(\dfrac{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}\right)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).

Application et méthode - 6

Énoncé

Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points d’affixe respective a=1ia=-1-\mathrm{i}, b=3b=3 et c=2+3ic=-2+3 \mathrm{i}.
Déterminer la nature du triangle ABC\text{ABC}.

Méthode

On calcule le nombre complexe baca\dfrac{b-a}{c-a}, puis son module et un de ses arguments.

On conclut en fonction des valeurs obtenues :
  • si le module est 11, alors AB=AC\mathrm{AB}=\mathrm{AC} ;
  • si un argument est π-\pi ou π\pi, à 2π2\pi près, alors les points sont alignés ;
  • si un argument est π2-\dfrac{\pi}{2} ou π2\dfrac{\pi}{2}, à 2π2\pi près, alors les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (AC)(\mathrm{AC})sont perpendiculaires.

Solution


On calcule : baca=4+i1+4i=i\dfrac{b-a}{c-a}=\dfrac{4+\mathrm{i}}{-1+4 \mathrm{i}}=-\mathrm{i}.
Donc baca=1baca=1ABAC=1AB=AC\left|\dfrac{b-a}{c-a}\right|=1 \Leftrightarrow \dfrac{|b-a|}{|c-a|}=1 \Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=1 \Leftrightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}.
On en déduit que le triangle ABC\text{ABC} est isocèle en A\text{A}. De plus,
arg(baca)=π2+k×2π(AC ; AB)=π2+k×2π\arg \left(\dfrac{b-a}{c-a}\right)=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi \Leftrightarrow(\overrightarrow{\mathrm{AC}} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).
Le triangle est donc isocèle rectangle en A\text{A}.

Pour s'entraîner : exercices 39, 40 et 41 p. 67

B
Racines nn‑ièmes de l’unité


Définition

On appelle cercle unité, et on note U\mathbb{U}, l’ensemble des nombres complexes de module 11.
On a donc U={zC,z=1}\mathbb{U}=\{z \in \mathbb{C},|z|=1\}.

Remarque

zUz \in \mathbb{U} signifie que le point M(z)\mathrm{M}(z) appartient au cercle trigonométrique. Autrement dit, zUθRz \in \mathbb{U} \Leftrightarrow \exists \theta \in \mathbb{R}, z=eiθz=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}.
On a 0U0 \notin \mathbb{U}.

Propriété

On considère deux nombres complexes zz et zz^{\prime} dans U\mathbb{U}. On a zzUz z^{\prime} \in \mathbb{U} et zzU\dfrac{z}{z^{\prime}} \in \mathbb{U}.

Remarque

Ces propriétés traduisent la stabilité de U\mathbb{U} par produit et passage à l’inverse.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
124
p. 75
.

Définition

Pour nNn \in \mathbb{N}^{*}, on appelle racines n\boldsymbol{n}‑ièmes de l’unité les solutions de l’équation complexe zn=1z^{n}=1.

Propriétés

1. On a Un={e2iπkn,kN,0kn1}\mathbb{U}_{n}=\{\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi k}{n}}}, k \in \mathbb{N}, 0 \leqslant k \leqslant n-1\}. Un\mathbb{U}_{n} est composé d’exactement nn éléments.
2. Si n3n \geqslant 3, alors les points dont les affixes sont les racines nn‑ièmes de l’unité forment un polygone régulier à nn côtés.

NOTATION

On note Un\mathbb{U}_n l’ensemble des racines nn‑ièmes de l’unité.

DÉMONSTRATION

Voir activité
C
p. 51
pour le point 1.. Le point 2. est admis.

Exemple

D’après l’activité
C
, U1={1}\mathbb{U}_{1}=\{1\}, U2={1;1}\mathbb{U}_{2}=\{-1\,; 1\}, U3={1;j;j2}\mathbb{U}_{3}=\left\{1\,; \mathrm{j}\,; \mathrm{j}^{2}\right\}, avec j=e2iπ3j=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}}, et U4={1;i;1;i}\mathbb{U}_{4}=\{-1\,; \mathrm{i}\,; 1\,; \mathrm{i}\}.

Racines n‑ièmes de l’unité
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