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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Cours 3
Applications géométriques
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ADémontrer avec les nombres complexes
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Propriété
Soient \text{A} et \text{B} deux points d'affixe respective z_\mathrm{A} et z_\mathrm{B} dans le plan complexe.
La distance \text{AB} est égale à \mathrm{AB}=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}\right|.
La distance \text{AB} est égale à \mathrm{AB}=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}\right|.
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Calculer des distances permet de démontrer qu'un triangle est rectangle, qu'un point appartient à un cercle, à la médiatrice d'un segment, etc.
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Démonstration
Dans un repère orthonormé, \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}} =\left|\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right) \mathrm{i}\right|
=\left|\left(x_{\mathrm{B}}+\mathrm{i} y_{\mathrm{B}}\right)-\left(x_{\mathrm{A}}+\mathrm{i} y_{\mathrm{A}}\right)\right| =\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|.
=\left|\left(x_{\mathrm{B}}+\mathrm{i} y_{\mathrm{B}}\right)-\left(x_{\mathrm{A}}+\mathrm{i} y_{\mathrm{A}}\right)\right| =\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|.
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Propriétés
Soient \text{A} et \text{B} deux points d'affixe respective z_\mathrm{A} et z_\mathrm{B} dans le plan complexe.
1. L'ensemble (\mathrm{E}) des points \text{M} du plan d'affixe z vérifiant \left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z-z_{\mathrm{B}}\right| est la médiatrice du segment [\mathrm{AB}].
2. Si r est un nombre réel strictement positif, alors l'ensemble (\mathrm{E}^{\prime}) des points \text{M} du plan d'affixe z vérifiant \left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r est le cercle de centre \text{A} et de rayon r.
1. L'ensemble (\mathrm{E}) des points \text{M} du plan d'affixe z vérifiant \left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z-z_{\mathrm{B}}\right| est la médiatrice du segment [\mathrm{AB}].
2. Si r est un nombre réel strictement positif, alors l'ensemble (\mathrm{E}^{\prime}) des points \text{M} du plan d'affixe z vérifiant \left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r est le cercle de centre \text{A} et de rayon r.
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Démonstration
1. \mathrm{M} \in(\mathrm{E}) \Leftrightarrow\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z-z_{\mathrm{B}}\right| \Leftrightarrow \mathrm{AM}=\mathrm{BM} \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient à la médiatrice de [\mathrm{AB}].
2. \mathrm{M} \in\left(\mathrm{E}^{\prime}\right) \Leftrightarrow\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r \Leftrightarrow \mathrm{AM}=r \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient au cercle de centre \text{A} et de rayon r.
2. \mathrm{M} \in\left(\mathrm{E}^{\prime}\right) \Leftrightarrow\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r \Leftrightarrow \mathrm{AM}=r \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient au cercle de centre \text{A} et de rayon r.
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Propriétés
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points deux à deux distincts d'affixe respective z_\mathrm{A}, z_\mathrm{B} et z_\mathrm{C}.
1. (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
2. (\overrightarrow{\mathrm{AB}} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\arg \left(\frac{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
1. (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
2. (\overrightarrow{\mathrm{AB}} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\arg \left(\frac{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
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Calculer des mesures d'angles orientés permet de démontrer le parallélisme ou l'orthogonalité de droites, l'alignement de points, etc.
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Démonstration
1. On sait que \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour affixe z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}. On considère le point \text{M} d'affixe z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}.
Alors \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} d'où (\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
On a donc (\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k^{\prime} \times 2 \pi (k^{\prime} \in \mathbb{Z}).
On obtient bien (\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})+k \times 2 \pi=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k^{\prime \prime} \times 2 \pi (k^{\prime \prime} \in \mathbb{Z}).
2. D'après la relation de Chasles sur les angles orientés, on a :
(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\,; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\,; \overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{AC}})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z})
=-(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})+(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z})
=\arg \left(z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}\right)-\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k \times 2 \pi=\arg \left(\frac{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
Alors \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} d'où (\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
On a donc (\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k^{\prime} \times 2 \pi (k^{\prime} \in \mathbb{Z}).
On obtient bien (\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})+k \times 2 \pi=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k^{\prime \prime} \times 2 \pi (k^{\prime \prime} \in \mathbb{Z}).
2. D'après la relation de Chasles sur les angles orientés, on a :
(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\,; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\,; \overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{AC}})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z})
=-(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})+(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z})
=\arg \left(z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}\right)-\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k \times 2 \pi=\arg \left(\frac{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
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Application et méthode - 6
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Énoncé
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points d'affixe respective a=-1-\mathrm{i}, b=3 et c=-2+3 \mathrm{i}.
Déterminer la nature du triangle \text{ABC}.
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On calcule le nombre complexe \frac{b-a}{c-a}, puis son module et un de ses arguments.
On conclut en fonction des valeurs obtenues :
On conclut en fonction des valeurs obtenues :
- si le module est 1, alors \mathrm{AB}=\mathrm{AC} ;
- si un argument est -\pi ou \pi, à 2\pi près, alors les points sont alignés ;
- si un argument est -\frac{\pi}{2} ou \frac{\pi}{2}, à 2\pi près, alors les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{AC})sont perpendiculaires.
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Solution
On calcule : \frac{b-a}{c-a}=\frac{4+\mathrm{i}}{-1+4 \mathrm{i}}=-\mathrm{i}.
Donc \left|\frac{b-a}{c-a}\right|=1 \Leftrightarrow \frac{|b-a|}{|c-a|}=1 \Leftrightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=1 \Leftrightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}.
On en déduit que le triangle \text{ABC} est isocèle en \text{A}. De plus,
\arg \left(\frac{b-a}{c-a}\right)=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi \Leftrightarrow(\overrightarrow{\mathrm{AC}} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
Le triangle est donc isocèle rectangle en \text{A}.
Donc \left|\frac{b-a}{c-a}\right|=1 \Leftrightarrow \frac{|b-a|}{|c-a|}=1 \Leftrightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=1 \Leftrightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}.
On en déduit que le triangle \text{ABC} est isocèle en \text{A}. De plus,
\arg \left(\frac{b-a}{c-a}\right)=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi \Leftrightarrow(\overrightarrow{\mathrm{AC}} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
Le triangle est donc isocèle rectangle en \text{A}.
Pour s'entraîner
Exercices , et p. 67.
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BRacines n‑ièmes de l'unité
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Définition
On appelle cercle unité, et on note \mathbb{U}, l'ensemble des nombres complexes de module 1.
On a donc \mathbb{U}=\{z \in \mathbb{C},|z|=1\}.
On a donc \mathbb{U}=\{z \in \mathbb{C},|z|=1\}.
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z \in \mathbb{U} signifie que le point \mathrm{M}(z) appartient au
cercle trigonométrique. Autrement dit, z \in \mathbb{U} \Leftrightarrow \exists \theta \in \mathbb{R}, z=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}.
On a 0 \notin \mathbb{U}.
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Propriété
On considère deux nombres complexes z et z^{\prime} dans \mathbb{U}. On a z z^{\prime} \in \mathbb{U} et \frac{z}{z^{\prime}} \in \mathbb{U}.
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Ces propriétés traduisent la stabilité de \mathbb{U} par produit et passage à l'inverse.
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Démonstration
Voir exercice p. 75.
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Définition
Pour n \in \mathbb{N}^{*}, on appelle racines \boldsymbol{n}‑ièmes de l'unité les solutions de l'équation complexe z^{n}=1.
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Propriétés
1. On a \mathbb{U}_{n}=\{\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi k}{n}}}, k \in \mathbb{N}, 0 \leqslant k \leqslant n-1\}. \mathbb{U}_{n} est composé d'exactement n éléments.
2. Si n \geqslant 3, alors les points dont les affixes sont les racines n‑ièmes de l'unité forment un polygone régulier à n côtés.
2. Si n \geqslant 3, alors les points dont les affixes sont les racines n‑ièmes de l'unité forment un polygone régulier à n côtés.
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On note \mathbb{U}_n l'ensemble des racines n‑ièmes de l'unité.
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Démonstration
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Exemple
D'après l'activité , \mathbb{U}_{1}=\{1\}, \mathbb{U}_{2}=\{-1\,; 1\}, \mathbb{U}_{3}=\left\{1\,; \mathrm{j}\,; \mathrm{j}^{2}\right\}, avec j=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}}, et \mathbb{U}_{4}=\{-1\,; -\mathrm{i}\,; 1\,; \mathrm{i}\}.
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