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Applications géométriques

Propriété

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux points d’affixe respective $z_{\mathrm{A}}$ et $z_{\mathrm{B}}$ dans le plan complexe.
La distance $\text{AB}$ est égale à $\mathrm{A}\mathrm{B}=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}\right|$.

Propriétés

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux points d’affixe respective $z_{\mathrm{A}}$ et $z_{\mathrm{B}}$ dans le plan complexe.
1. L’ensemble $(\mathrm{E})$ des points $\text{M}$ du plan d’affixe $z$ vérifiant $\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z-z_{\mathrm{B}}\right|$ est la médiatrice du segment $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$.
2. Si $r$ est un nombre réel strictement positif, alors l’ensemble $({\mathrm{E}}^{\prime })$ des points $\text{M}$ du plan d’affixe $z$ vérifiant $\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r$ est le cercle de centre $\text{A}$ et de rayon $r$.

Propriétés

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points deux à deux distincts d’affixe respective $z_{\mathrm{A}}$, $z_{\mathrm{B}}$ et $z_{\mathrm{C}}$.
1. $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}})=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
2. $(\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}})=\arg \left(\frac{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}\right)+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Définition

On appelle cercle unité, et on note $\mathbb{U}$, l’ensemble des nombres complexes de module $1$.
On a donc $\mathbb{U}=\{z\in \mathbb{C},|z|=1\}$.

Propriété

On considère deux nombres complexes $z$ et $z^{\prime }$ dans $\mathbb{U}$. On a $z{z}^{\prime }\in \mathbb{U}$ et $\frac{z}{z^{\prime }}\in \mathbb{U}$.

Définition

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on appelle racines $\mathbf{n}$‑ièmes de l’unité les solutions de l’équation complexe $z^n=1$.

Propriétés

1. On a ${\mathbb{U}}_n=\{{\mathrm{e}}^{\frac{2\mathrm{i}\pi k}{n}},k\in \mathbb{N},0⩽k⩽n-1\}$. ${\mathbb{U}}_n$ est composé d’exactement $n$ éléments.
2. Si $n⩾3$, alors les points dont les affixes sont les racines $n$‑ièmes de l’unité forment un polygone régulier à $n$ côtés.