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3. Applications géométriques
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COURS 3


3
Applications géométriques




A
Démontrer avec les nombres complexes


Propriété
Soient A\text{A} et B\text{B} deux points d’affixe respective zAz_\mathrm{A} et zBz_\mathrm{B} dans le plan complexe.
La distance AB\text{AB} est égale à AB=∣zB−zA∣=∣zA−zB∣\mathrm{AB}=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}\right|.

Remarques

Calculer des distances permet de démontrer qu’un triangle est rectangle, qu’un point appartient à un cercle, à la médiatrice d’un segment, etc.

DÉMONSTRATION

Dans un repère orthonormé, AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}} =∣(xB−xA)+(yB−yA)i∣=\left|\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right) \mathrm{i}\right|
=∣(xB+iyB)−(xA+iyA)∣=\left|\left(x_{\mathrm{B}}+\mathrm{i} y_{\mathrm{B}}\right)-\left(x_{\mathrm{A}}+\mathrm{i} y_{\mathrm{A}}\right)\right| =∣zB−zA∣=\left|z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right|.

Propriétés
Soient A\text{A} et B\text{B} deux points d’affixe respective zAz_\mathrm{A} et zBz_\mathrm{B} dans le plan complexe.
1. L’ensemble (E)(\mathrm{E}) des points M\text{M} du plan d’affixe zz vérifiant ∣z−zA∣=∣z−zB∣\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z-z_{\mathrm{B}}\right| est la médiatrice du segment [AB][\mathrm{AB}].
2. Si rr est un nombre réel strictement positif, alors l’ensemble (E′)(\mathrm{E}^{\prime}) des points M\text{M} du plan d’affixe zz vérifiant ∣z−zA∣=r\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r est le cercle de centre A\text{A} et de rayon rr.

DÉMONSTRATION

1. M∈(E)⇔∣z−zA∣=∣z−zB∣⇔AM=BM⇔M\mathrm{M} \in(\mathrm{E}) \Leftrightarrow\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=\left|z-z_{\mathrm{B}}\right| \Leftrightarrow \mathrm{AM}=\mathrm{BM} \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient à la médiatrice de [AB][\mathrm{AB}].
2. M∈(E′)⇔∣z−zA∣=r⇔AM=r⇔M\mathrm{M} \in\left(\mathrm{E}^{\prime}\right) \Leftrightarrow\left|z-z_{\mathrm{A}}\right|=r \Leftrightarrow \mathrm{AM}=r \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient au cercle de centre A\text{A} et de rayon rr.

Propriétés
Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points deux à deux distincts d’affixe respective zAz_\mathrm{A}, zBz_\mathrm{B} et zCz_\mathrm{C}.
1. (u→ ; AB→)=arg⁡(zB−zA)+k×2π(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k \times 2 \pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}).
2. (AB→ ; AC→)=arg⁡(zC−zAzB−zA)+k×2π(\overrightarrow{\mathrm{AB}} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\arg \left(\dfrac{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}\right)+k \times 2 \pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}).

Remarque

Calculer des mesures d’angles orientés permet de démontrer le parallélisme ou l’orthogonalité de droites, l’alignement de points, etc.

DÉMONSTRATION

1. On sait que AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour affixe zB−zAz_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}. On considère le point M\text{M} d’affixe zB−zAz_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}.
Alors OM→=AB→\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} d'où (u→ ;AB→)=(u→ ;OM→)+k×2π(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})+k \times 2 \pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}).
On a donc (u→ ;OM→)=arg⁡(zB−zA)+k′×2π(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k^{\prime} \times 2 \pi (k′∈Zk^{\prime} \in \mathbb{Z}).
On obtient bien (u→ ;AB→)=(u→ ;OM→)+k×2π=arg⁡(zB−zA)+k′′×2π(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})+k \times 2 \pi=\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k^{\prime \prime} \times 2 \pi (k′′∈Zk^{\prime \prime} \in \mathbb{Z}).

2. D’après la relation de Chasles sur les angles orientés, on a :
(AB→ ;AC→)=(AB→ ;u→)+(u→ ;AC→)+k×2π(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\,; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\,; \overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{AC}})+k \times 2 \pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
=−(u→;AB→)+(u→;AC→)+k×2π=-(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})+(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})+k \times 2 \pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
=arg⁡(zC−zA)−arg⁡(zB−zA)+k×2π=arg⁡(zC−zAzB−zA)+k×2π=\arg \left(z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}\right)-\arg \left(z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}\right)+k \times 2 \pi=\arg \left(\dfrac{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}\right)+k \times 2 \pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}).

Application et méthode - 6

Énoncé

Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points d’affixe respective a=−1−ia=-1-\mathrm{i}, b=3b=3 et c=−2+3ic=-2+3 \mathrm{i}.
Déterminer la nature du triangle ABC\text{ABC}.

Méthode

On calcule le nombre complexe b−ac−a\dfrac{b-a}{c-a}, puis son module et un de ses arguments.

On conclut en fonction des valeurs obtenues :
  • si le module est 11, alors AB=AC\mathrm{AB}=\mathrm{AC} ;
  • si un argument est −π-\pi ou π\pi, à 2π2\pi près, alors les points sont alignés ;
  • si un argument est −π2-\dfrac{\pi}{2} ou π2\dfrac{\pi}{2}, à 2π2\pi près, alors les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (AC)(\mathrm{AC})sont perpendiculaires.

Solution


On calcule : b−ac−a=4+i−1+4i=−i\dfrac{b-a}{c-a}=\dfrac{4+\mathrm{i}}{-1+4 \mathrm{i}}=-\mathrm{i}.
Donc ∣b−ac−a∣=1⇔∣b−a∣∣c−a∣=1⇔ABAC=1⇔AB=AC\left|\dfrac{b-a}{c-a}\right|=1 \Leftrightarrow \dfrac{|b-a|}{|c-a|}=1 \Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=1 \Leftrightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}.
On en déduit que le triangle ABC\text{ABC} est isocèle en A\text{A}. De plus,
arg⁡(b−ac−a)=−π2+k×2π⇔(AC→ ; AB→)=−π2+k×2π\arg \left(\dfrac{b-a}{c-a}\right)=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi \Leftrightarrow(\overrightarrow{\mathrm{AC}} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}})=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}).
Le triangle est donc isocèle rectangle en A\text{A}.

Pour s'entraîner : exercices 39, 40 et 41 p. 67

B
Racines nn‑ièmes de l’unité


Définition
On appelle cercle unité, et on note U\mathbb{U}, l’ensemble des nombres complexes de module 11.
On a donc U={z∈C,∣z∣=1}\mathbb{U}=\{z \in \mathbb{C},|z|=1\}.

Remarque

z∈Uz \in \mathbb{U} signifie que le point M(z)\mathrm{M}(z) appartient au cercle trigonométrique. Autrement dit, z∈U⇔∃θ∈Rz \in \mathbb{U} \Leftrightarrow \exists \theta \in \mathbb{R}, z=eiθz=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}.
On a 0∉U0 \notin \mathbb{U}.

Propriété
On considère deux nombres complexes zz et z′z^{\prime} dans U\mathbb{U}. On a zz′∈Uz z^{\prime} \in \mathbb{U} et zz′∈U\dfrac{z}{z^{\prime}} \in \mathbb{U}.

Remarque

Ces propriétés traduisent la stabilité de U\mathbb{U} par produit et passage à l’inverse.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
124
p. 75.

Définition
Pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, on appelle racines n\boldsymbol{n}‑ièmes de l’unité les solutions de l’équation complexe zn=1z^{n}=1.

Propriétés
1. On a Un={e2iπkn,k∈N,0⩽k⩽n−1}\mathbb{U}_{n}=\{\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi k}{n}}}, k \in \mathbb{N}, 0 \leqslant k \leqslant n-1\}. Un\mathbb{U}_{n} est composé d’exactement nn éléments.
2. Si n⩾3n \geqslant 3, alors les points dont les affixes sont les racines nn‑ièmes de l’unité forment un polygone régulier à nn côtés.

NOTATION
On note Un\mathbb{U}_n l’ensemble des racines nn‑ièmes de l’unité.

DÉMONSTRATION

Voir activité
C
p. 51 pour le point 1.. Le point 2. est admis.

Exemple
D’après l’activité
C
, U1={1}\mathbb{U}_{1}=\{1\}, U2={−1 ;1}\mathbb{U}_{2}=\{-1\,; 1\}, U3={1 ;j ;j2}\mathbb{U}_{3}=\left\{1\,; \mathrm{j}\,; \mathrm{j}^{2}\right\}, avec j=e2iπ3j=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}}, et U4={−1 ;i ;1 ;i}\mathbb{U}_{4}=\{-1\,; \mathrm{i}\,; 1\,; \mathrm{i}\}.

Racines n‑ièmes de l’unité
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