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Formes trigonométriques et exponentielles

Lorsque $z\ne 0$, on a : $\cos (\alpha )=\frac{x}{|z|}$ et $\sin (\alpha )=\frac{y}{|z|}$.

DÉMONSTRATION

On a $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \times \mathrm{O}\mathrm{M}\times \cos (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=1\times |z|\times \cos (\alpha )$.
Or le repère est orthonormé donc $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}=1\times x+0\times y=x$. Ainsi, $x=|z|\cos (\alpha )$.
De plus, $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\Vert \overrightarrow{v}\Vert \times \mathrm{O}\mathrm{M}\times \cos (\overrightarrow{v};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=1\times |z|\times \sin (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=|z|\times \sin (\alpha )$
Or $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}=0\times x+1\times y=y$ donc $y=|z|\sin (\alpha )$.
Donc $z=x+\mathrm{i}y=|z|\cos (\alpha )+\mathrm{i}|z|\sin (\alpha )=|z|(\cos (\alpha )+\mathrm{i}\sin (\alpha ))$.

Un nombre complexe $z\ne 0$ admet une infinité de formes trigonométriques $|z|(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$, où $\theta =\alpha +k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Exemple

$z=2\left[\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right]$ est une forme trigonométrique de $z=\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}$.

Autrement dit, $z$ et $z^{\prime }$ sont égaux si, et seulement si, ils ont le même module et le même argument à $2\pi$ près.

DÉMONSTRATION

• On suppose que $z=z^{\prime }$. Alors, $|z|=\left|z^{\prime }\right|$ et $\arg (z)=\arg \left(z^{\prime }\right)+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
• Réciproquement, on suppose que $|z|=\left|z^{\prime }\right|$ et $\arg (z)=\arg \left(z^{\prime }\right)+k\times 2\pi =\alpha +k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
  Alors, $z=|z|(\cos (\alpha )+\mathrm{i}\sin (\alpha ))=\left|z^{\prime }\right|(\cos (\alpha )+\mathrm{i}\sin (\alpha ))=z^{\prime }$.

DÉMONSTRATION

1. Soient $a$ et $b$ deux réels et on définit dans le plan complexe les points ${\mathrm{M}}_1(\cos (a)+\mathrm{i}\sin (a))$ et ${\mathrm{M}}_2(\cos (b)+\mathrm{i}\sin (b))$ appartenant au cercle trigonométrique.
Ainsi, ${\mathrm{O}\mathrm{M}}_1={\mathrm{O}\mathrm{M}}_2=1$ et $\left(\overrightarrow{u};{\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}}_1\right)=\arg \left(z_{{\mathrm{M}}_1}\right)+k\times 2\pi =a+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$),
$\left(\overrightarrow{u};{\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}}_2\right)=\arg \left(z_{{\mathrm{M}}_2}\right)+k\times 2\pi =b+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
On a $(\overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{M}}_1};\overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{M}}_2})=(\overrightarrow{u};\overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{M}}_2})-(\overrightarrow{u};\overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{M}}_1})+k\times 2\pi =b-a+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
On obtient donc $\cos \left({\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}}_1;{\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}}_2\right)=\cos (b-a)=\cos (-(a-b))=\cos (a-b)$.
D’une part, $\overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{M}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{M}}_2}={\mathrm{O}\mathrm{M}}_1\times {\mathrm{O}\mathrm{M}}_2\times \cos (\overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{M}}_1};\overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{M}}_2})=\cos (a-b)$ et, d’autre part, le repère étant orthonormé, $\overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{M}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{M}}_2}=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)$.
D'où $\cos (a-b)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)$.
Par ailleurs, $\cos (a+b)=\cos (a-(-b))=\cos (a)\cos (-b)+\sin (a)\sin (-b)$
soit $\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$ puisque $\cos (-b)=\cos (b)$ et $\sin (-b)=-\sin (b)$.
2. Pour tout réel $x$, $\cos (x)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ et $\sin (x)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.
Pour tous réels $a$ et $b$, $\sin (a+b)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-(a+b)\right)=\cos \left(\left(\frac{\pi }{2}-a\right)-b\right)$ $=\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\cos (b)+\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\sin (b)$ $=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$.
Pour tous réels $a$ et $b$, $\sin (a-b)=\sin (a+(-b))=\sin (a)\cos (-b)+\cos (a)\sin (-b)$ $=\sin (a)\cos (b)-\cos (a)\sin (b)$.

Si $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont trois vecteurs non nuls, on admet la relation de Chasles des angles orientés :
$(\overrightarrow{u};\overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})+(\overrightarrow{v};\overrightarrow{w})+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) et
$(\overrightarrow{v};\overrightarrow{u})=-(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

DÉMONSTRATION

Voir exercice

82

p. 71.

L’égalité 2. est en réalité vraie pour tout $n\in \mathbb{Z}$.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

78

p. 71.

1. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z=4\left[\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)\right]$.
2. Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe $z^{\prime }=-5-5\mathrm{i}\sqrt{3}$.

${\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi }=1$ et ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}=\mathrm{i}$.

Cette relation permet notamment de retrouver les formules d’addition.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

94

p. 72.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

90

p. 72.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

95

p. 72.

Exemple

Pour $z={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$ et $z^{\prime }={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$, on a $z{z}^{\prime }={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right)}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{11\pi }{12}}$.

Déterminer une forme exponentielle du nombre $z=(-1-\mathrm{i})(3+3\mathrm{i}\sqrt{3})$.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

101

p. 73.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

104

p. 73.

Exprimer ${\cos }^3(x)$ en fonction d’une somme de cosinus de la forme $\cos (nx)$, où $n\in \mathbb{N}$. On dit que l’on linéarise ${\cos }^3(x)$.