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2. Formes trigonométriques et exponentielles

P.56-59

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COURS 2

2
Formes trigonométriques et exponentielles

Dans cette partie, on considère un nombre complexe

z

non nul et

M

le point d’affixe

z = x + i y

où

x

y

sont réels. On note

α = ar g (z) + k \times 2 π

(

k \in Z

A
Formes trigonométriques

Propriété

Pour tout nombre complexe non nul

z = x + i y

, où

x

y

sont réels, on a

x = ∣ z ∣ cos (α)

y = ∣ z ∣ sin (α)

.
De plus,

z = ∣ z ∣ (cos (α) + i sin (α))

où

α = ar g (z) + k \times 2 π

(

k \in Z

Remarque

Lorsque

z \neq = 0

, on a :

cos (α) = \frac{x}{∣ z ∣}

sin (α) = \frac{y}{∣ z ∣}

DÉMONSTRATION

On a

u \cdot O M = ∥ u ∥ \times O M \times cos (u; O M) = 1 \times ∣ z ∣ \times cos (α)

.
Or le repère est orthonormé donc

u \cdot O M = 1 \times x + 0 \times y = x

. Ainsi,

x = ∣ z ∣ cos (α)

.
De plus,

v \cdot O M = ∥ v ∥ \times O M \times cos (v; O M) = 1 \times ∣ z ∣ \times sin (u; O M) = ∣ z ∣ \times sin (α)

v \cdot O M = 0 \times x + 1 \times y = y

donc

y = ∣ z ∣ sin (α)

.
Donc

z = x + i y = ∣ z ∣ cos (α) + i ∣ z ∣ sin (α) = ∣ z ∣ (cos (α) + i sin (α))

Définition

Tout nombre complexe

z \neq = 0

s’écrit sous la forme

z = ∣ z ∣ (cos (α) + i sin (α))

appelée forme trigonométrique de $z .$

Remarques

Un nombre complexe

z \neq = 0

admet une infinité de formes trigonométriques

∣ z ∣ (cos θ + i sin θ)

, où

θ = α + k \times 2 π

(

k \in Z

Exemple

z = 2 [cos (- \frac{π}{4}) + i sin (- \frac{π}{4})]

est une forme trigonométrique de

z = 2 - i 2

Propriété

Pour tous nombres complexes

z

z^{'}

non nuls, on a :

z = z^{'} \Leftrightarrow {∣ z ∣ = ∣ z^{'} ∣ ar g (z) = ar g (z^{'}) + k \times 2 π (k \in Z)

Remarque

Autrement dit,

z

z^{'}

sont égaux si, et seulement si, ils ont le même module et le même argument à

2 π

près.

DÉMONSTRATION

On suppose que $z = z^{'}$ . Alors, $∣ z ∣ = ∣ z^{'} ∣$ et $ar g (z) = ar g (z^{'}) + k \times 2 π$ ( $k \in Z$ ).
Réciproquement, on suppose que $∣ z ∣ = ∣ z^{'} ∣$ et $ar g (z) = ar g (z^{'}) + k \times 2 π = α + k \times 2 π$ ( $k \in Z$ ).
Alors, $z = ∣ z ∣ (cos (α) + i sin (α)) = ∣ z^{'} ∣ (cos (α) + i sin (α)) = z^{'}$ .

Propriétés (Formules d'additions)

Pour tous réels

a

b

, on a :
1.

cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b)

cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)

.
2.

sin (a + b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b)

sin (a - b) = sin (a) cos (b) - cos (a) sin (b)

DÉMONSTRATION

1. Soient

a

b

deux réels et on définit dans le plan complexe les points

M_{1} (cos (a) + i sin (a))

M_{2} (cos (b) + i sin (b))

appartenant au cercle trigonométrique.
Ainsi,

O M_{1} = O M_{2} = 1

(u; O M_{1}) = ar g (z_{M_{1}}) + k \times 2 π = a + k \times 2 π

(

k \in Z

(u; O M_{2}) = ar g (z_{M_{2}}) + k \times 2 π = b + k \times 2 π

(

k \in Z

).
On a

(O M_{1}; O M_{2}) = (u; O M_{2}) - (u; O M_{1}) + k \times 2 π = b - a + k \times 2 π

(

k \in Z

).
On obtient donc

cos (O M_{1}; O M_{2}) = cos (b - a) = cos (- (a - b)) = cos (a - b)

.
D’une part,

O M_{1} \cdot O M_{2} = O M_{1} \times O M_{2} \times cos (O M_{1}; O M_{2}) = cos (a - b)

et, d’autre part, le repère étant orthonormé,

O M_{1} \cdot O M_{2} = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)

.
D'où

cos (a - b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)

.
Par ailleurs,

cos (a + b) = cos (a - (- b)) = cos (a) cos (- b) + sin (a) sin (- b)

soit

cos (a + b) = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b)

puisque

cos (- b) = cos (b)

sin (- b) = - sin (b)

.
2. Pour tout réel

x

cos (x) = sin (\frac{π}{2} - x)

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

.
Pour tous réels

a

b

sin (a + b) = cos (\frac{π}{2} - (a + b)) = cos ((\frac{π}{2} - a) - b)

= cos (\frac{π}{2} - a) cos (b) + sin (\frac{π}{2} - a) sin (b)

= sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b)

.
Pour tous réels

a

b

sin (a - b) = sin (a + (- b)) = sin (a) cos (- b) + cos (a) sin (- b)

= sin (a) cos (b) - cos (a) sin (b)

Remarque

u

v

w

sont trois vecteurs non nuls, on admet la relation de Chasles des angles orientés :

(u; w) = (u; v) + (v; w) + k \times 2 π

(

k \in Z

) et

(v; u) = - (u; v) + k \times 2 π

(

k \in Z

Propriétés (Formules de duplication)

Pour tout réel

a

, on a :
1.

cos (2 a) = cos^{2} (a) - sin^{2} (a) = 2 cos^{2} (a) - 1 = 1 - 2 sin^{2} (a)

sin (2 a) = 2 sin (a) cos (a)

DÉMONSTRATION

Voir exercice 82
p. 71.

Propriétés

Pour tous nombres complexes non nuls

z

z^{'}

et pour tout entier naturel

n

, on a :
1.

ar g (\overline{z}) = - ar g (z) + k \times 2 π

ar g (- z) = ar g (z) + π + k \times 2 π

avec

k \in Z

.
2.

ar g (z \times z^{'}) = ar g (z) + ar g (z^{'}) + k \times 2 π

ar g (z^{n}) = n ar g (z) + k \times 2 π

avec

k \in Z

.
3.

ar g (\frac{z}{z ^{'}}) = ar g (z) - ar g (z^{'}) + k \times 2 π

avec

k \in Z

Remarque

L’égalité 2. est en réalité vraie pour tout

n \in Z

DÉMONSTRATION

Voir exercice 78
p. 71.

Application et méthode - 3

Énoncé

1. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe

z = 4 [cos (\frac{2 π}{3}) + i sin (\frac{2 π}{3})]

.
2. Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe

z^{'} = - 5 - 5 i 3

Méthode

1. Pour passer d’une forme trigonométrique à la forme algébrique d’un nombre complexe, on doit déterminer les valeurs de

cos (α)

sin (α)

puis on développe.

2. Pour passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul, on doit :

calculer le module de $z$ ;
calculer $cos (α) = \frac{x}{∣ z ∣}$ et $sin (α) = \frac{y}{∣ z ∣}$ ;
obtenir une valeur de $α$ correspondant.

Solution

1. On sait que

cos (\frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2}

sin (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2}

.
Donc

z = 4 (- \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}) = - 2 + 2 i 3

.
2. On a

∣ z^{'} ∣ = (- 5)^{2} + (- 53)^{2} = 10

.
De plus,

cos (α) = \frac{x}{∣ z ∣} = - \frac{5}{1 0} = - \frac{1}{2}

sin (α) = - \frac{5 3}{1 0} = - \frac{3}{2}

.
Donc

α = - \frac{2 π}{3}

convient.
Une forme trigonométrique de

z

est donc :

z = 10 [cos (- \frac{2 π}{3}) + i sin (- \frac{2 π}{3})]

Pour s'entraîner : exercices 33 et 34 p. 67

B
Formes exponentielles imaginaires

Définition

Pour tout réel

α

, on définit l’exponentielle imaginaire (ou exponentielle complexe) de

α

par

e^{i α} = cos (α) + i sin (α)

Remarque

e^{2 i π} = 1

e^{i \frac{π}{2}} = i

Propriété (Relation fonctionnelle de l’exponentielle imaginaire)

Pour tous réels

α

α^{'}

e^{i α} \times e^{i α^{'}} = e^{i (α + α^{'})}

Remarque

Cette relation permet notamment de retrouver les formules d’addition.

DÉMONSTRATION

Voir exercice 94
p. 72.

Prorpiété

Pour tout réel

α

, on a

∣ ∣ ∣ e^{i α} ∣ ∣ ∣ = 1

ar g (e^{i α}) = α + k \times 2 π

(

k \in Z

DÉMONSTRATION

Voir exercice 90
p. 72.

Définition

Tout nombre complexe

z \neq = 0

s’écrit sous une de ses formes exponentielles

z = ∣ z ∣ e^{i α}

, où

α = ar g (z) + k \times 2 π

(

k \in Z

Propriété

Soient z et

z^{'}

deux nombres complexes non nuls tels que

z = ∣ z ∣ e^{i α}

z^{'} = ∣ z^{'} ∣ e^{i α^{'}}

.
Alors

z \times z^{'} = ∣ z ∣ \times ∣ z^{'} ∣ \times e^{i (α + α^{'})}

, pour tout

n \in N

z^{n} = ∣ z ∣^{n} e^{n i α}

\frac{z}{z ^{'}} = \frac{∣ z ∣}{∣ z ^{'} ∣} e^{i (α - α^{'})}

DÉMONSTRATION

Voir exercice 95
p. 72.

Exemple

Pour

z = e^{i \frac{2 π}{3}}

z^{'} = e^{i \frac{π}{4}}

, on a

z z^{'} = e^{i (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})} = e^{i \frac{1 1 π}{1 2}}

Application et méthode - 4

Énoncé

Déterminer une forme exponentielle du nombre

z = (- 1 - i) (3 + 3 i 3)

Méthode

On détermine le module et un argument de chaque facteur.
On utilise les propriétés opératoires pour conclure.

Solution

∣ z ∣ = ∣ - 1 - i ∣ \times ∣ 3 + 3 i 3 ∣ = 2 \times 36 = 62

ar g (z) = ar g (- 1 - i) + ar g (3 + 3 i 3) + k \times 2 π

= \frac{- 3 π}{4} + \frac{π}{3} + k \times 2 π = \frac{- 5 π}{1 2} + k \times 2 π

(

k \in Z

).

Par conséquent,

z = 62 e^{\frac{- 5 i π}{1 2}}

Pour s'entraîner : exercices 35 et 36 p. 67

C
Formules d’Euler et de Moivre

Formules d’Euler

Pour tout

θ \in R

, on a

cos (θ) = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}

sin (θ) = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}

DÉMONSTRATION

Voir exercice 101
p. 73.

Formule de Moivre

Pour tous

θ \in R

n \in Z

, on a

cos (n θ) + i sin (n θ) = (cos (θ) + i sin (θ))^{n}

DÉMONSTRATION

Voir exercice 104
p. 73.

Application et méthode - 5

Énoncé

Exprimer

cos^{3} (x)

en fonction d’une somme de cosinus de la forme

cos (n x)

, où

n \in N

. On dit que l’on linéarise

cos^{3} (x)

Méthode

Pour linéariser, il faut se servir des formules d’Euler, puis développer.
On utilise ensuite les propriétés opératoires sur les exponentielles complexes, puis on utilise de nouveau les formules d’Euler.

Solution

D’après les formules d’Euler, on a :

cos (x) = \frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2}

.
Donc :

cos^{3} (x) = (\frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2})^{3}

= \frac{( e ^{i x} ) ^{3} + 3 ( e ^{i x} ) ^{2} e ^{- i x} + 3 e ^{i x} ( e ^{- i x} ) ^{2} + ( e ^{- i x} ) ^{3}}{8}

= \frac{e ^{3 i x} + 3 e ^{2 i x} e ^{- i x} + 3 e ^{i x} e ^{- 2 i x} + e ^{- 3 i x}}{8}

= \frac{e ^{3 i x} + 3 e ^{i x} + 3 e ^{- i x} + e ^{- 3 i x}}{8}

= \frac{1}{4} \times \frac{e ^{3 i x} + e ^{- 3 i x}}{2} + \frac{3}{4} \times \frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2}

= \frac{1}{4} cos (3 x) + \frac{3}{4} cos (x)

Pour s'entraîner : exercices 42 p. 67 et 103 p. 73

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2Formes trigonométriques et exponentielles

AFormes trigonométriques

Remarque

DÉMONSTRATION

Remarques

Remarque

DÉMONSTRATION

DÉMONSTRATION

Remarque

DÉMONSTRATION

Remarque

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 3

Énoncé

Méthode

Solution

BFormes exponentielles imaginaires

Remarque

Remarque

DÉMONSTRATION

DÉMONSTRATION

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 4

Énoncé

Méthode

Solution

CFormules d’Euler et de Moivre

DÉMONSTRATION

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 5

Énoncé

Méthode

Solution

2
Formes trigonométriques et exponentielles

A
Formes trigonométriques

B
Formes exponentielles imaginaires

C
Formules d’Euler et de Moivre