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2. Formes trigonométriques et exponentielles
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COURS 2


2
Formes trigonométriques et exponentielles





Dans cette partie, on considère un nombre complexe zz non nul et M\text{M} le point d’affixe z=x+iyz=x+\mathrm{i} yxx et yy sont réels. On note α=arg(z)+k×2π\alpha=\arg (z)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).

A
Formes trigonométriques


Propriété

Pour tout nombre complexe non nul z=x+iyz=x+\mathrm{i} y, où xx et yy sont réels, on a x=zcos(α)x=|z| \cos (\alpha) et y=zsin(α)y=|z| \sin (\alpha).
De plus, z=z(cos(α)+isin(α))z=|z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha))α=arg(z)+k×2π\alpha=\arg (z)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).

Formes trigonométriques

Remarque

Lorsque z0z \neq 0, on a : cos(α)=xz\cos (\alpha)=\dfrac{x}{|z|} et sin(α)=yz\sin (\alpha)=\dfrac{y}{|z|}.

DÉMONSTRATION

On a uOM=u×OM×cos(u ; OM)=1×z×cos(α)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\|\overrightarrow{u}\| \times \mathrm{OM} \times \cos (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=1 \times|z| \times \cos (\alpha).
Or le repère est orthonormé donc uOM=1×x+0×y=x\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=1 \times x+0 \times y=x. Ainsi, x=zcos(α)x=|z| \cos (\alpha).
De plus, vOM=v×OM×cos(v ; OM)=1×z×sin(u ; OM)=z×sin(α)\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\|\overrightarrow{v}\| \times \mathrm{OM} \times \cos (\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=1 \times|z| \times \sin (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=|z| \times \sin (\alpha)
Or vOM=0×x+1×y=y\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=0 \times x+1 \times y=y donc y=zsin(α)y=|z| \sin (\alpha).
Donc z=x+iy=zcos(α)+izsin(α)=z(cos(α)+isin(α))z=x+\mathrm{i} y=|z| \cos (\alpha)+\mathrm{i}|z| \sin (\alpha)=|z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)).

Définition

Tout nombre complexe z0z \neq 0 s’écrit sous la forme z=z(cos(α)+isin(α))z=|z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)) appelée forme trigonométrique de z.z.

Remarques

Un nombre complexe z0z \neq 0 admet une infinité de formes trigonométriques z(cosθ+isinθ)|z|(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta), où θ=α+k×2π\theta=\alpha+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).

Exemple

z=2[cos(π4)+isin(π4)]z=2\left[\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right] est une forme trigonométrique de z=2i2z=\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{2}.

Propriété

Pour tous nombres complexes zz et zz^{\prime} non nuls, on a :
z=z{z=zarg(z)=arg(z)+k×2π(kZ)z=z^{\prime} \Leftrightarrow\begin{cases}|z| = \left|z^{\prime}\right| \\ \arg (z) = \arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})\end{cases}

Remarque

Autrement dit, zz et zz^{\prime} sont égaux si, et seulement si, ils ont le même module et le même argument à 2π2\pi près.

DÉMONSTRATION

  • On suppose que z=zz = z^{\prime}. Alors, z=z|z|=\left|z^{\prime}\right| et arg(z)=arg(z)+k×2π\arg (z)=\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).
  • Réciproquement, on suppose que z=z|z|=\left|z^{\prime}\right| et arg(z)=arg(z)+k×2π=α+k×2π\arg (z)=\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi=\alpha+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).
    Alors, z=z(cos(α)+isin(α))=z(cos(α)+isin(α))=zz=|z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha))=\left|z^{\prime}\right|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha))=z^{\prime}.

Propriétés (Formules d'additions)

Pour tous réels aa et bb, on a :
1. cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)\cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b) et
cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\cos (a-b)=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).
2. sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b) et
sin(ab)=sin(a)cos(b)cos(a)sin(b)\sin (a-b)=\sin (a) \cos (b)-\cos (a) \sin (b).

DÉMONSTRATION

1. Soient aa et bb deux réels et on définit dans le plan complexe les points M1(cos(a)+isin(a))\mathrm{M}_{1}(\cos (a)+\mathrm{i} \sin (a)) et M2(cos(b)+isin(b))\mathrm{M}_{2}(\cos (b)+\mathrm{i} \sin (b)) appartenant au cercle trigonométrique.
Ainsi, OM1=OM2=1\mathrm{OM}_{1}=\mathrm{OM}_{2}=1 et (u ; OM1)=arg(zM1)+k×2π=a+k×2π\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}_{1}\right)=\arg \left(z_{\mathrm{M}_{1}}\right)+k \times 2 \pi=a+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}),
(u;OM2)=arg(zM2)+k×2π=b+k×2π\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}_{2}\right)=\arg \left(z_{\mathrm{M}_{2}}\right)+k \times 2 \pi=b+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).
On a (OM1 ; OM2)=(u ; OM2)(u ; OM1)+k×2π=ba+k×2π(\overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}})=(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}})-(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}})+k \times 2 \pi=b-a+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).
On obtient donc cos(OM1 ; OM2)=cos(ba)=cos((ab))=cos(ab)\cos \left(\overrightarrow{\mathrm{OM}}_{1} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}_{2}\right)=\cos (b-a)=\cos (-(a-b))=\cos (a-b).
D’une part, OM1OM2=OM1×OM2×cos(OM1 ; OM2)=cos(ab)\overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}}=\mathrm{OM}_{1} \times \mathrm{OM}_{2} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}})=\cos (a-b) et, d’autre part, le repère étant orthonormé, OM1OM2=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}}=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).
D'où cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\cos (a-b)=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).
Par ailleurs, cos(a+b)=cos(a(b))=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\cos (a+b)=\cos (a-(-b))=\cos (a) \cos (-b)+\sin (a) \sin (-b)
soit cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)\cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b) puisque cos(b)=cos(b)\cos (-b)=\cos (b) et sin(b)=sin(b)\sin (-b)=-\sin (b).
2. Pour tout réel xx, cos(x)=sin(π2x)\cos (x)=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) et sin(x)=cos(π2x)\sin (x)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right).
Pour tous réels aa et bb, sin(a+b)=cos(π2(a+b))=cos((π2a)b)\sin (a+b)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-(a+b)\right)=\cos \left(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)-b\right) =cos(π2a)cos(b)+sin(π2a)sin(b)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right) \cos (b)+\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right) \sin (b) =sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)=\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b).
Pour tous réels aa et bb, sin(ab)=sin(a+(b))=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\sin (a-b)=\sin (a+(-b))=\sin (a) \cos (-b)+\cos (a) \sin (-b) =sin(a)cos(b)cos(a)sin(b)=\sin (a) \cos (b)-\cos (a) \sin (b).

Remarque

Si u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} sont trois vecteurs non nuls, on admet la relation de Chasles des angles orientés :
(u ; w)=(u ; v)+(v ; w)+k×2π(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})+(\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w})+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) et
(v ; u)=(u ; v)+k×2π(\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{u})=-(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).

Propriétés (Formules de duplication)

Pour tout réel aa, on a :
1. cos(2a)=cos2(a)sin2(a)=2cos2(a)1=12sin2(a)\cos (2 a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=2 \cos ^{2}(a)-1=1-2 \sin ^{2}(a)
2. sin(2a)=2sin(a)cos(a)\sin (2 a)=2 \sin (a) \cos (a)

DÉMONSTRATION

Voir exercice
82
p. 71
.

Propriétés

Pour tous nombres complexes non nuls zz et zz^{\prime} et pour tout entier naturel nn, on a :
1. arg(z)=arg(z)+k×2π\arg (\overline{z})=-\arg (z)+k \times 2 \pi et arg(z)=arg(z)+π+k×2π\arg (-z)=\arg (z)+\pi+k \times 2 \pi avec kZk \in \mathbb{Z}.
2. arg(z×z)=arg(z)+arg(z)+k×2π\arg \left(z \times z^{\prime}\right)=\arg (z)+\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi et arg(zn)=narg(z)+k×2π\arg \left(z^{n}\right)=n \arg (z)+k \times 2 \pi avec kZk \in \mathbb{Z}.
3. arg(zz)=arg(z)arg(z)+k×2π\arg \left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\arg (z)-\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi avec kZk \in \mathbb{Z}.

Remarque

L’égalité 2. est en réalité vraie pour tout nZn \in \mathbb{Z}.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
78
p. 71
.

Application et méthode - 3

Énoncé

1. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z=4[cos(2π3)+isin(2π3)]z=4\left[\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)\right].
2. Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe z=55i3z^{\prime}=-5-5 \mathrm{i} \sqrt{3}.

Méthode

1. Pour passer d’une forme trigonométrique à la forme algébrique d’un nombre complexe, on doit déterminer les valeurs de cos(α)\cos (\alpha) et sin(α)\sin (\alpha) puis on développe.

2. Pour passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul, on doit :
  • calculer le module de zz ;
  • calculer cos(α)=xz\cos (\alpha)=\dfrac{x}{|z|} et sin(α)=yz\sin (\alpha)=\dfrac{y}{|z|} ;
  • obtenir une valeur de α\alpha correspondant.

Solution


1. On sait que cos(2π3)=12\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2} et sin(2π3)=32\sin \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Donc z=4(12+i32)=2+2i3z=4\left(-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2+2 \mathrm{i} \sqrt{3}.
2. On a z=(5)2+(53)2=10\left|z^{\prime}\right|=\sqrt{(-5)^{2}+\left(-5 \sqrt{3}\right)^{2}}=10.
De plus, cos(α)=xz=510=12\cos (\alpha)=\dfrac{x}{|z|}=-\dfrac{5}{10}=-\dfrac{1}{2} et sin(α)=5310=32\sin (\alpha)=-\dfrac{5 \sqrt{3}}{10}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Donc α=2π3\alpha=-\dfrac{2 \pi}{3} convient.
Une forme trigonométrique de zz est donc :
z=10[cos(2π3)+isin(2π3)]z=10\left[\cos \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)\right].

Pour s'entraîner : exercices 33 et 34 p. 67

B
Formes exponentielles imaginaires


Définition

Pour tout réel α\alpha, on définit l’exponentielle imaginaire (ou exponentielle complexe) de α\alpha par eiα=cos(α)+isin(α)\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}=\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha).

Remarque

e2iπ=1\mathrm{e}^{2 \mathrm{i} \pi}=1 et eiπ2=i\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}=\mathrm{i}.

Propriété (Relation fonctionnelle de l’exponentielle imaginaire)

Pour tous réels α\alpha et α\alpha^{\prime}, eiα×eiα=ei(α+α)\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}.

Remarque

Cette relation permet notamment de retrouver les formules d’addition.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
94
p. 72
.

Prorpiété

Pour tout réel α\alpha, on a eiα=1\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}\right|=1 et arg(eiα)=α+k×2π\arg \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}\right)=\alpha+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).

DÉMONSTRATION

Voir exercice
90
p. 72
.

Définition

Tout nombre complexe z0z \neq 0 s’écrit sous une de ses formes exponentielles z=zeiαz=|z| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}, où α=arg(z)+k×2π\alpha=\arg (z)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).

Propriété

Soient z et zz^{\prime} deux nombres complexes non nuls tels que z=zeiαz=|z| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} et z=zeiαz^{\prime}=\left|z^{\prime}\right| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}.
Alors z×z=z×z×ei(α+α)z \times z^{\prime}=|z| \times\left|z^{\prime}\right| \times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}, pour tout nNn \in \mathbb{N}, zn=zneniαz^{n}=|z|^{n} \mathrm{e}^{n \mathrm{i} \alpha} et zz=zzei(αα)\dfrac{z}{z^{\prime}}=\dfrac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)}.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
95
p. 72
.

Exemple

Pour z=ei2π3z=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{2 \pi}{3}}} et z=eiπ4z^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}, on a zz=ei(2π3+π4)=ei11π12z z^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\normalsize{\tfrac{2 \pi}{3}}+\normalsize{\tfrac{\pi}{4}}\right)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{11 \pi}{12}}}.

Application et méthode - 4

Énoncé

Déterminer une forme exponentielle du nombre z=(1i)(3+3i3)z=(-1-\mathrm{i})(3+3 \mathrm{i} \sqrt{3}).

Méthode

  • On détermine le module et un argument de chaque facteur.
  • On utilise les propriétés opératoires pour conclure.

Solution


z=1i×3+3i3=2×36=62|z|=|-1-\mathrm{i}| \times|3+3 \mathrm{i} \sqrt{3}|=\sqrt{2} \times \sqrt{36}=6 \sqrt{2}.
arg(z)=arg(1i)+arg(3+3i3)+k×2π\arg (z)=\arg (-1-\mathrm{i})+\arg (3+3 \mathrm{i} \sqrt{3})+k \times 2 \pi
=3π4+π3+k×2π=5π12+k×2π=\dfrac{-3 \pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}+k \times 2 \pi=\dfrac{-5 \pi}{12}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).

Par conséquent, z=62e5iπ12z=6 \sqrt{2} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{-5 \mathrm{i} \pi}{12}}}.

Pour s'entraîner : exercices 35 et 36 p. 67

C
Formules d’Euler et de Moivre


Formules d’Euler

Pour tout θR\theta \in \mathbb{R}, on a cos(θ)=eiθ+eiθ2\cos (\theta)=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}}{2} et sin(θ)=eiθeiθ2i\sin (\theta)=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}}{2 \mathrm{i}}.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
101
p. 73
.

Formule de Moivre

Pour tous θR\theta \in \mathbb{R} et nZn \in \mathbb{Z}, on a cos(nθ)+isin(nθ)=(cos(θ)+isin(θ))n\cos (n \theta)+\mathrm{i} \sin (n \theta)=(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta))^{n}.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
104
p. 73
.

Application et méthode - 5

Énoncé

Exprimer cos3(x)\cos ^{3}(x) en fonction d’une somme de cosinus de la forme cos(nx)\cos (n x), où nNn \in \mathbb{N}. On dit que l’on linéarise cos3(x)\cos ^{3}(x).

Méthode

Pour linéariser, il faut se servir des formules d’Euler, puis développer.
On utilise ensuite les propriétés opératoires sur les exponentielles complexes, puis on utilise de nouveau les formules d’Euler.

Solution


D’après les formules d’Euler, on a : cos(x)=eix+eix2\cos (x)=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}.
Donc : cos3(x)=(eix+eix2)3\cos ^{3}(x)=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}\right)^{3}

=(eix)3+3(eix)2eix+3eix(eix)2+(eix)38=\dfrac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\right)^{3}+3\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\right)^{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)^{2}+\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)^{3}}{8}

=e3ix+3e2ixeix+3eixe2ix+e3ix8=\dfrac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} x} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x} \mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} x}}{8}

=e3ix+3eix+3eix+e3ix8=\dfrac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} x}}{8}

=14×e3ix+e3ix2+34×eix+eix2=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} x}}{2}+\dfrac{3}{4} \times \dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}

=14cos(3x)+34cos(x)=\dfrac{1}{4} \cos (3 x)+\dfrac{3}{4} \cos (x)

Pour s'entraîner : exercices 42 p. 67 et 103 p. 73
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