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2. Formes trigonométriques et exponentielles
P.56-59

COURS 2


2
Formes trigonométriques et exponentielles





Dans cette partie, on considère un nombre complexe non nul et le point d’affixe et sont réels. On note ().

A
Formes trigonométriques


Propriété

Pour tout nombre complexe non nul , où et sont réels, on a et .
De plus, ().

Formes trigonométriques

Remarque

Lorsque , on a : et .

DÉMONSTRATION

On a .
Or le repère est orthonormé donc . Ainsi, .
De plus,
Or donc .
Donc .

Définition

Tout nombre complexe s’écrit sous la forme appelée forme trigonométrique de

Remarques

Un nombre complexe admet une infinité de formes trigonométriques , où ().

Exemple

est une forme trigonométrique de .

Propriété

Pour tous nombres complexes et non nuls, on a :

Remarque

Autrement dit, et sont égaux si, et seulement si, ils ont le même module et le même argument à près.

DÉMONSTRATION

  • On suppose que . Alors, et ().
  • Réciproquement, on suppose que et ().
    Alors, .

Propriétés (Formules d'additions)

Pour tous réels et , on a :
1. et
.
2. et
.

DÉMONSTRATION

1. Soient et deux réels et on définit dans le plan complexe les points et appartenant au cercle trigonométrique.
Ainsi, et (),
().
On a ().
On obtient donc .
D’une part, et, d’autre part, le repère étant orthonormé, .
D'où .
Par ailleurs,
soit puisque et .
2. Pour tout réel , et .
Pour tous réels et , .
Pour tous réels et , .

Remarque

Si , et sont trois vecteurs non nuls, on admet la relation de Chasles des angles orientés :
() et
().

Propriétés (Formules de duplication)

Pour tout réel , on a :
1.
2.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
82
p. 71
.

Propriétés

Pour tous nombres complexes non nuls et et pour tout entier naturel , on a :
1. et avec .
2. et avec .
3. avec .

Remarque

L’égalité 2. est en réalité vraie pour tout .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
78
p. 71
.

Application et méthode - 3

Énoncé

1. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe .
2. Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe .

B
Formes exponentielles imaginaires


Définition

Pour tout réel , on définit l’exponentielle imaginaire (ou exponentielle complexe) de par .

Remarque

et .

Propriété (Relation fonctionnelle de l’exponentielle imaginaire)

Pour tous réels et , .

Remarque

Cette relation permet notamment de retrouver les formules d’addition.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
94
p. 72
.

Prorpiété

Pour tout réel , on a et ().

DÉMONSTRATION

Voir exercice
90
p. 72
.

Définition

Tout nombre complexe s’écrit sous une de ses formes exponentielles , où ().

Propriété

Soient z et deux nombres complexes non nuls tels que et .
Alors , pour tout , et .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
95
p. 72
.

Exemple

Pour et , on a .

Application et méthode - 4

Énoncé

Déterminer une forme exponentielle du nombre .

C
Formules d’Euler et de Moivre


Formules d’Euler

Pour tout , on a et .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
101
p. 73
.

Formule de Moivre

Pour tous et , on a .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
104
p. 73
.

Application et méthode - 5

Énoncé

Exprimer en fonction d’une somme de cosinus de la forme , où . On dit que l’on linéarise .
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