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2. Formes trigonométriques et exponentielles
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COURS 2


2
Formes trigonométriques et exponentielles





Dans cette partie, on considère un nombre complexe non nul et le point d’affixe et sont réels. On note ().

A
Formes trigonométriques


Propriété

Pour tout nombre complexe non nul , où et sont réels, on a et .
De plus, ().

Formes trigonométriques

Remarque

Lorsque , on a : et .

DÉMONSTRATION

On a .
Or le repère est orthonormé donc . Ainsi, .
De plus,
Or donc .
Donc .

Définition

Tout nombre complexe s’écrit sous la forme appelée forme trigonométrique de

Remarques

Un nombre complexe admet une infinité de formes trigonométriques , où ().

Exemple

est une forme trigonométrique de .

Propriété

Pour tous nombres complexes et non nuls, on a :

Remarque

Autrement dit, et sont égaux si, et seulement si, ils ont le même module et le même argument à près.

DÉMONSTRATION

  • On suppose que . Alors, et ().
  • Réciproquement, on suppose que et ().
    Alors, .

Propriétés (Formules d'additions)

Pour tous réels et , on a :
1. et
.
2. et
.

DÉMONSTRATION

1. Soient et deux réels et on définit dans le plan complexe les points et appartenant au cercle trigonométrique.
Ainsi, et (),
().
On a ().
On obtient donc .
D’une part, et, d’autre part, le repère étant orthonormé, .
D'où .
Par ailleurs,
soit puisque et .
2. Pour tout réel , et .
Pour tous réels et , .
Pour tous réels et , .

Remarque

Si , et sont trois vecteurs non nuls, on admet la relation de Chasles des angles orientés :
() et
().

Propriétés (Formules de duplication)

Pour tout réel , on a :
1.
2.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
82
p. 71
.

Propriétés

Pour tous nombres complexes non nuls et et pour tout entier naturel , on a :
1. et avec .
2. et avec .
3. avec .

Remarque

L’égalité 2. est en réalité vraie pour tout .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
78
p. 71
.

Application et méthode - 3

Énoncé

1. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe .
2. Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe .

Méthode

1. Pour passer d’une forme trigonométrique à la forme algébrique d’un nombre complexe, on doit déterminer les valeurs de et puis on développe.

2. Pour passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul, on doit :
  • calculer le module de  ;
  • calculer et  ;
  • obtenir une valeur de correspondant.

Solution


1. On sait que et .
Donc .
2. On a .
De plus, et .
Donc convient.
Une forme trigonométrique de est donc :
.

Pour s'entraîner : exercices 33 et 34 p. 67

B
Formes exponentielles imaginaires


Définition

Pour tout réel , on définit l’exponentielle imaginaire (ou exponentielle complexe) de par .

Remarque

et .

Propriété (Relation fonctionnelle de l’exponentielle imaginaire)

Pour tous réels et , .

Remarque

Cette relation permet notamment de retrouver les formules d’addition.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
94
p. 72
.

Prorpiété

Pour tout réel , on a et ().

DÉMONSTRATION

Voir exercice
90
p. 72
.

Définition

Tout nombre complexe s’écrit sous une de ses formes exponentielles , où ().

Propriété

Soient z et deux nombres complexes non nuls tels que et .
Alors , pour tout , et .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
95
p. 72
.

Exemple

Pour et , on a .

Application et méthode - 4

Énoncé

Déterminer une forme exponentielle du nombre .

Méthode

  • On détermine le module et un argument de chaque facteur.
  • On utilise les propriétés opératoires pour conclure.

Solution


.

().

Par conséquent, .

Pour s'entraîner : exercices 35 et 36 p. 67

C
Formules d’Euler et de Moivre


Formules d’Euler

Pour tout , on a et .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
101
p. 73
.

Formule de Moivre

Pour tous et , on a .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
104
p. 73
.

Application et méthode - 5

Énoncé

Exprimer en fonction d’une somme de cosinus de la forme , où . On dit que l’on linéarise .

Méthode

Pour linéariser, il faut se servir des formules d’Euler, puis développer.
On utilise ensuite les propriétés opératoires sur les exponentielles complexes, puis on utilise de nouveau les formules d’Euler.

Solution


D’après les formules d’Euler, on a : .
Donc :











Pour s'entraîner : exercices 42 p. 67 et 103 p. 73
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