Dans cette partie, on considère un nombre complexe z non nul et M le point d’affixe z=x+iy où x et y sont réels. On note α=arg(z)+k×2π (k∈Z).
A
Formes trigonométriques
Propriété
Pour tout nombre complexe non nul z=x+iy, où x et y sont réels, on a x=∣z∣cos(α) et y=∣z∣sin(α).
De plus, z=∣z∣(cos(α)+isin(α)) où α=arg(z)+k×2π (k∈Z).
Remarque
Lorsque z=0, on a : cos(α)=∣z∣x et sin(α)=∣z∣y.
DÉMONSTRATION
On a u⋅OM=∥u∥×OM×cos(u;OM)=1×∣z∣×cos(α).
Or le repère est orthonormé donc u⋅OM=1×x+0×y=x. Ainsi, x=∣z∣cos(α).
De plus, v⋅OM=∥v∥×OM×cos(v;OM)=1×∣z∣×sin(u;OM)=∣z∣×sin(α)
Or v⋅OM=0×x+1×y=y donc y=∣z∣sin(α).
Donc z=x+iy=∣z∣cos(α)+i∣z∣sin(α)=∣z∣(cos(α)+isin(α)).
Définition
Tout nombre complexe z=0 s’écrit sous la forme z=∣z∣(cos(α)+isin(α)) appelée forme trigonométrique de z.
Remarques
Un nombre complexe z=0 admet une infinité de formes trigonométriques ∣z∣(cosθ+isinθ), où θ=α+k×2π (k∈Z).
Exemple
z=2[cos(−4π)+isin(−4π)] est une forme trigonométrique de z=2−i2.
Propriété
Pour tous nombres complexes z et z′ non nuls, on a :
z=z′⇔{∣z∣=∣z′∣arg(z)=arg(z′)+k×2π(k∈Z)
Remarque
Autrement dit, z et z′ sont égaux si, et seulement si, ils ont le même module et le même argument à 2π près.
DÉMONSTRATION
On suppose que z=z′. Alors, ∣z∣=∣z′∣ et arg(z)=arg(z′)+k×2π (k∈Z).
Réciproquement, on suppose que ∣z∣=∣z′∣ et arg(z)=arg(z′)+k×2π=α+k×2π (k∈Z).
Alors, z=∣z∣(cos(α)+isin(α))=∣z′∣(cos(α)+isin(α))=z′.
Propriétés (Formules d'additions)
Pour tous réels a et b, on a :
1.cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b) et cos(a−b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b).
2.sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) et sin(a−b)=sin(a)cos(b)−cos(a)sin(b).
DÉMONSTRATION
1. Soient a et b deux réels et on définit dans le plan complexe les points M1(cos(a)+isin(a)) et M2(cos(b)+isin(b)) appartenant au cercle trigonométrique.
Ainsi, OM1=OM2=1 et (u;OM1)=arg(zM1)+k×2π=a+k×2π (k∈Z), (u;OM2)=arg(zM2)+k×2π=b+k×2π (k∈Z).
On a (OM1;OM2)=(u;OM2)−(u;OM1)+k×2π=b−a+k×2π (k∈Z).
On obtient donc cos(OM1;OM2)=cos(b−a)=cos(−(a−b))=cos(a−b).
D’une part, OM1⋅OM2=OM1×OM2×cos(OM1;OM2)=cos(a−b) et, d’autre part, le repère étant orthonormé, OM1⋅OM2=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b).
D'où cos(a−b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b).
Par ailleurs, cos(a+b)=cos(a−(−b))=cos(a)cos(−b)+sin(a)sin(−b)
soit cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b) puisque cos(−b)=cos(b) et sin(−b)=−sin(b).
2. Pour tout réel x, cos(x)=sin(2π−x) et sin(x)=cos(2π−x).
Pour tous réels a et b, sin(a+b)=cos(2π−(a+b))=cos((2π−a)−b)=cos(2π−a)cos(b)+sin(2π−a)sin(b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b).
Pour tous réels a et b, sin(a−b)=sin(a+(−b))=sin(a)cos(−b)+cos(a)sin(−b)=sin(a)cos(b)−cos(a)sin(b).
Remarque
Si u, v et w sont trois vecteurs non nuls, on admet la relation de Chasles des angles orientés : (u;w)=(u;v)+(v;w)+k×2π (k∈Z) et (v;u)=−(u;v)+k×2π (k∈Z).
Propriétés (Formules de duplication)
Pour tout réel a, on a : 1.cos(2a)=cos2(a)−sin2(a)=2cos2(a)−1=1−2sin2(a) 2.sin(2a)=2sin(a)cos(a)
Pour tous nombres complexes non nuls z et z′ et pour tout entier naturel n, on a : 1.arg(z)=−arg(z)+k×2π et arg(−z)=arg(z)+π+k×2π avec k∈Z.
2.arg(z×z′)=arg(z)+arg(z′)+k×2π et arg(zn)=narg(z)+k×2π avec k∈Z.
3.arg(z′z)=arg(z)−arg(z′)+k×2π avec k∈Z.
1. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z=4[cos(32π)+isin(32π)].
2. Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe z′=−5−5i3.
Méthode
1. Pour passer d’une forme trigonométrique à la forme algébrique d’un nombre complexe, on doit déterminer les valeurs de cos(α) et sin(α) puis on développe.
2. Pour passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul, on doit :
calculer le module de z ;
calculer cos(α)=∣z∣x et sin(α)=∣z∣y ;
obtenir une valeur de α correspondant.
Solution
1. On sait que cos(32π)=−21 et sin(32π)=23.
Donc z=4(−21+i23)=−2+2i3.
2. On a ∣z′∣=(−5)2+(−53)2=10.
De plus, cos(α)=∣z∣x=−105=−21 et sin(α)=−1053=−23.
Donc α=−32π convient.
Une forme trigonométrique de z est donc : z=10[cos(−32π)+isin(−32π)].
Tout nombre complexe z=0 s’écrit sous une de ses formes exponentiellesz=∣z∣eiα, où α=arg(z)+k×2π (k∈Z).
Propriété
Soient z et z′ deux nombres complexes non nuls tels que z=∣z∣eiα et z′=∣z′∣eiα′.
Alors z×z′=∣z∣×∣z′∣×ei(α+α′), pour tout n∈N, zn=∣z∣neniα et z′z=∣z′∣∣z∣ei(α−α′).
Exprimer cos3(x) en fonction d’une somme de cosinus de la forme cos(nx), où n∈N. On dit que l’on linéarisecos3(x).
Méthode
Pour linéariser, il faut se servir des formules d’Euler, puis développer.
On utilise ensuite les propriétés opératoires sur les exponentielles complexes, puis on utilise de nouveau les formules d’Euler.
Solution
D’après les formules d’Euler, on a : cos(x)=2eix+e−ix.
Donc : cos3(x)=(2eix+e−ix)3
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