Formes trigonométriques et exponentielles

On a \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\|\overrightarrow{u}\| \times \mathrm{OM} \times \cos (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=1 \times|z| \times \cos (\alpha).
Or le repère est orthonormé donc \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=1 \times x+0 \times y=x. Ainsi, x=|z| \cos (\alpha).
De plus, \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\|\overrightarrow{v}\| \times \mathrm{OM} \times \cos (\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=1 \times|z| \times \sin (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=|z| \times \sin (\alpha)
Or \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=0 \times x+1 \times y=y donc y=|z| \sin (\alpha).
Donc z=x+\mathrm{i} y=|z| \cos (\alpha)+\mathrm{i}|z| \sin (\alpha)=|z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)).

z=2\left[\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right] est une forme trigonométrique de z=\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{2}.

• On suppose que z = z^{\prime}. Alors, |z|=\left|z^{\prime}\right| et \arg (z)=\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
• Réciproquement, on suppose que |z|=\left|z^{\prime}\right| et \arg (z)=\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi=\alpha+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
  Alors, z=|z|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha))=\left|z^{\prime}\right|(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha))=z^{\prime}.

Pour tous réels a et b, on a :
1. \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b) et
\cos (a-b)=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).

2. \sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b) et
\sin (a-b)=\sin (a) \cos (b)-\cos (a) \sin (b).

1. Soient a et b deux réels et on définit dans le plan complexe les points \mathrm{M}_{1}(\cos (a)+\mathrm{i} \sin (a)) et \mathrm{M}_{2}(\cos (b)+\mathrm{i} \sin (b)) appartenant au cercle trigonométrique.
Ainsi, \mathrm{OM}_{1}=\mathrm{OM}_{2}=1 et \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}_{1}\right)=\arg \left(z_{\mathrm{M}_{1}}\right)+k \times 2 \pi=a+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}),
\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}_{2}\right)=\arg \left(z_{\mathrm{M}_{2}}\right)+k \times 2 \pi=b+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
On a (\overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}})=(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}})-(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}})+k \times 2 \pi=b-a+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
On obtient donc \cos \left(\overrightarrow{\mathrm{OM}}_{1} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}_{2}\right)=\cos (b-a)=\cos (-(a-b))=\cos (a-b).
D'une part, \overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}}=\mathrm{OM}_{1} \times \mathrm{OM}_{2} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}})=\cos (a-b) et, d'autre part, le repère étant orthonormé, \overrightarrow{\mathrm{OM}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}_{2}}=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).
D'où \cos (a-b)=\cos (a) \cos (b)+\sin (a) \sin (b).
Par ailleurs, \cos (a+b)=\cos (a-(-b))=\cos (a) \cos (-b)+\sin (a) \sin (-b)
soit \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b)-\sin (a) \sin (b) puisque \cos (-b)=\cos (b) et \sin (-b)=-\sin (b).

2. Pour tout réel x, \cos (x)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) et \sin (x)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right).
Pour tous réels a et b, \sin (a+b)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-(a+b)\right)=\cos \left(\left(\frac{\pi}{2}-a\right)-b\right) =\cos \left(\frac{\pi}{2}-a\right) \cos (b)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-a\right) \sin (b) =\sin (a) \cos (b)+\cos (a) \sin (b).
Pour tous réels a et b, \sin (a-b)=\sin (a+(-b))=\sin (a) \cos (-b)+\cos (a) \sin (-b) =\sin (a) \cos (b)-\cos (a) \sin (b).

Si \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont trois vecteurs non nuls, on admet la relation de Chasles des angles orientés : (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})+(\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{w})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) et
(\overrightarrow{v} ; \overrightarrow{u})=-(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

Pour tout réel a, on a :
1. \cos (2 a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=2 \cos ^{2}(a)-1=1-2 \sin ^{2}(a)
2. \sin (2 a)=2 \sin (a) \cos (a)

Voir exercice

82

p. 71.

Voir exercice

78

p. 71.

1. On sait que \cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{1}{2} et \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Donc z=4\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2+2 \mathrm{i} \sqrt{3}.

2. On a \left|z^{\prime}\right|=\sqrt{(-5)^{2}+\left(-5 \sqrt{3}\right)^{2}}=10.
De plus, \cos (\alpha)=\frac{x}{|z|}=-\frac{5}{10}=-\frac{1}{2} et \sin (\alpha)=-\frac{5 \sqrt{3}}{10}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Donc \alpha=-\frac{2 \pi}{3} convient.
Une forme trigonométrique de z est donc :
z=10\left[\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right].

Exercices

33

et

34

p. 67

Voir exercice

94

p. 72.

Pour tout réel \alpha, on a \left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}\right|=1 et \arg \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}\right)=\alpha+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

Voir exercice

90

p. 72.

Tout nombre complexe z \neq 0 s'écrit sous une de ses formes exponentielles z=|z| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}, où \alpha=\arg (z)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

Soient z et z^{\prime} deux nombres complexes non nuls tels que z=|z| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} et z^{\prime}=\left|z^{\prime}\right| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}.
Alors z \times z^{\prime}=|z| \times\left|z^{\prime}\right| \times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}, pour tout n \in \mathbb{N}, z^{n}=|z|^{n} \mathrm{e}^{n \mathrm{i} \alpha} et \frac{z}{z^{\prime}}=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)}.

|z|=|-1-\mathrm{i}| \times|3+3 \mathrm{i} \sqrt{3}|=\sqrt{2} \times \sqrt{36}=6 \sqrt{2}.
\arg (z)=\arg (-1-\mathrm{i})+\arg (3+3 \mathrm{i} \sqrt{3})+k \times 2 \pi
=\frac{-3 \pi}{4}+\frac{\pi}{3}+k \times 2 \pi=\frac{-5 \pi}{12}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

Par conséquent, z=6 \sqrt{2} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{-5 \mathrm{i} \pi}{12}}}.

Exercices

35

et

36

p. 67

Pour tout \theta \in \mathbb{R}, on a \cos (\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}}{2} et \sin (\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}}{2 \mathrm{i}}.

Voir exercice

101

p. 73.

Pour tous \theta \in \mathbb{R} et n \in \mathbb{Z}, on a \cos (n \theta)+\mathrm{i} \sin (n \theta)=(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta))^{n}.

Voir exercice

104

p. 73.

D'après les formules d'Euler, on a : \cos (x)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}.
Donc : \cos ^{3}(x)=\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}\right)^{3}

=\frac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\right)^{3}+3\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\right)^{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)^{2}+\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)^{3}}{8}

=\frac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} x} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x} \mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} x}}{8}

=\frac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+3 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} x}}{8}

=\frac{1}{4} \times \frac{\mathrm{e}^{3 \mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-3 \mathrm{i} x}}{2}+\frac{3}{4} \times \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2}

=\frac{1}{4} \cos (3 x)+\frac{3}{4} \cos (x)

Exercices

42

p. 67 et

103

p. 73