Formes trigonométriques et exponentielles

On a $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \times \mathrm{OM}\times \cos (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{OM}})=1\times |z|\times \cos (\alpha )$.
Or le repère est orthonormé donc $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=1\times x+0\times y=x$. Ainsi, $x=|z|\cos (\alpha )$.
De plus, $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\Vert \overrightarrow{v}\Vert \times \mathrm{OM}\times \cos (\overrightarrow{v};\overrightarrow{\mathrm{OM}})=1\times |z|\times \sin (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{OM}})=|z|\times \sin (\alpha )$
Or $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=0\times x+1\times y=y$ donc $y=|z|\sin (\alpha )$.
Donc $z=x+\mathrm{i}y=|z|\cos (\alpha )+\mathrm{i}|z|\sin (\alpha )=|z|(\cos (\alpha )+\mathrm{i}\sin (\alpha ))$.

$z=2\left[\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right]$ est une forme trigonométrique de $z=\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}$.

• On suppose que $z=z^{\prime }$. Alors, $|z|=\left|z^{\prime }\right|$ et $\arg (z)=\arg \left(z^{\prime }\right)+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
• Réciproquement, on suppose que $|z|=\left|z^{\prime }\right|$ et $\arg (z)=\arg \left(z^{\prime }\right)+k\times 2\pi =\alpha +k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
  Alors, $z=|z|(\cos (\alpha )+\mathrm{i}\sin (\alpha ))=\left|z^{\prime }\right|(\cos (\alpha )+\mathrm{i}\sin (\alpha ))=z^{\prime }$.

Pour tous réels $a$ et $b$, on a :
1. $\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$ et
$\cos (a-b)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)$.

2. $\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$ et
$\sin (a-b)=\sin (a)\cos (b)-\cos (a)\sin (b)$.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels et on définit dans le plan complexe les points ${\mathrm{M}}_1(\cos (a)+\mathrm{i}\sin (a))$ et ${\mathrm{M}}_2(\cos (b)+\mathrm{i}\sin (b))$ appartenant au cercle trigonométrique.
Ainsi, ${\mathrm{OM}}_1={\mathrm{OM}}_2=1$ et $\left(\overrightarrow{u};{\overrightarrow{\mathrm{OM}}}_1\right)=\arg \left(z_{{\mathrm{M}}_1}\right)+k\times 2\pi =a+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$),
$\left(\overrightarrow{u};{\overrightarrow{\mathrm{OM}}}_2\right)=\arg \left(z_{{\mathrm{M}}_2}\right)+k\times 2\pi =b+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
On a $(\overrightarrow{{\mathrm{OM}}_1};\overrightarrow{{\mathrm{OM}}_2})=(\overrightarrow{u};\overrightarrow{{\mathrm{OM}}_2})-(\overrightarrow{u};\overrightarrow{{\mathrm{OM}}_1})+k\times 2\pi =b-a+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
On obtient donc $\cos \left({\overrightarrow{\mathrm{OM}}}_1;{\overrightarrow{\mathrm{OM}}}_2\right)=\cos (b-a)=\cos (-(a-b))=\cos (a-b)$.
D'une part, $\overrightarrow{{\mathrm{OM}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OM}}_2}={\mathrm{OM}}_1\times {\mathrm{OM}}_2\times \cos (\overrightarrow{{\mathrm{OM}}_1};\overrightarrow{{\mathrm{OM}}_2})=\cos (a-b)$ et, d'autre part, le repère étant orthonormé, $\overrightarrow{{\mathrm{OM}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OM}}_2}=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)$.
D'où $\cos (a-b)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)$.
Par ailleurs, $\cos (a+b)=\cos (a-(-b))=\cos (a)\cos (-b)+\sin (a)\sin (-b)$
soit $\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$ puisque $\cos (-b)=\cos (b)$ et $\sin (-b)=-\sin (b)$.

2. Pour tout réel $x$, $\cos (x)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ et $\sin (x)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.
Pour tous réels $a$ et $b$, $\sin (a+b)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-(a+b)\right)=\cos \left(\left(\frac{\pi }{2}-a\right)-b\right)$ $=\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\cos (b)+\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\sin (b)$ $=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$.
Pour tous réels $a$ et $b$, $\sin (a-b)=\sin (a+(-b))=\sin (a)\cos (-b)+\cos (a)\sin (-b)$ $=\sin (a)\cos (b)-\cos (a)\sin (b)$.

Si $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont trois vecteurs non nuls, on admet la relation de Chasles des angles orientés : $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})+(\overrightarrow{v};\overrightarrow{w})+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) et
$(\overrightarrow{v};\overrightarrow{u})=-(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Pour tout réel $a$, on a :
1. $\cos (2a)={\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)=2{\cos }^2(a)-1=1-2{\sin }^2(a)$
2. $\sin (2a)=2\sin (a)\cos (a)$

Voir exercice

82

p. 71.

Voir exercice

78

p. 71.

1. On sait que $\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ et $\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Donc $z=4\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2+2\mathrm{i}\sqrt{3}$.

2. On a $\left|z^{\prime }\right|=\sqrt{(-5{)}^2+{\left(-5\sqrt{3}\right)}^2}=10$.
De plus, $\cos (\alpha )=\frac{x}{|z|}=-\frac{5}{10}=-\frac{1}{2}$ et $\sin (\alpha )=-\frac{5\sqrt{3}}{10}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Donc $\alpha =-\frac{2\pi }{3}$ convient.
Une forme trigonométrique de $z$ est donc :
$z=10\left[\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\right]$.

Exercices

33

et

34

p. 67

Voir exercice

94

p. 72.

Pour tout réel $\alpha$, on a $\left|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }\right|=1$ et $\arg \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }\right)=\alpha +k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Voir exercice

90

p. 72.

Tout nombre complexe $z\ne 0$ s'écrit sous une de ses formes exponentielles $z=|z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }$, où $\alpha =\arg (z)+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Soient z et $z^{\prime }$ deux nombres complexes non nuls tels que $z=|z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }$ et $z^{\prime }=\left|z^{\prime }\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\alpha }^{\prime }}$.
Alors $z\times z^{\prime }=|z|\times \left|z^{\prime }\right|\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\alpha +{\alpha }^{\prime }\right)}$, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $z^n=|z{|}^n{\mathrm{e}}^{n\mathrm{i}\alpha }$ et $\frac{z}{z^{\prime }}=\frac{|z|}{\left|z^{\prime }\right|}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\alpha -{\alpha }^{\prime }\right)}$.

$|z|=|-1-\mathrm{i}|\times |3+3\mathrm{i}\sqrt{3}|=\sqrt{2}\times \sqrt{36}=6\sqrt{2}$.
$\arg (z)=\arg (-1-\mathrm{i})+\arg (3+3\mathrm{i}\sqrt{3})+k\times 2\pi$
$=\frac{-3\pi }{4}+\frac{\pi }{3}+k\times 2\pi =\frac{-5\pi }{12}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Par conséquent, $z=6\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\frac{-5\mathrm{i}\pi }{12}}$.

Exercices

35

et

36

p. 67

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$, on a $\cos (\theta )=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{2}$ et $\sin (\theta )=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{2\mathrm{i}}$.

Voir exercice

101

p. 73.

Pour tous $\theta \in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{Z}$, on a $\cos (n\theta )+\mathrm{i}\sin (n\theta )=(\cos (\theta )+\mathrm{i}\sin (\theta ){)}^n.$

Voir exercice

104

p. 73.

D'après les formules d'Euler, on a : $\cos (x)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2}$.
Donc : ${\cos }^3(x)={\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2}\right)}^3$

$=\frac{{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}\right)}^3+3{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}\right)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}+3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}{\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}\right)}^2+{\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}\right)}^3}{8}$

$=\frac{{\mathrm{e}}^{3\mathrm{i}x}+3{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}x}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}+3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-3\mathrm{i}x}}{8}$

$=\frac{{\mathrm{e}}^{3\mathrm{i}x}+3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-3\mathrm{i}x}}{8}$

$=\frac{1}{4}\times \frac{{\mathrm{e}}^{3\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-3\mathrm{i}x}}{2}+\frac{3}{4}\times \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2}$

$=\frac{1}{4}\cos (3x)+\frac{3}{4}\cos (x)$

Exercices

42

p. 67 et

103

p. 73