Exercices transversaux

Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres.
Cette banque d'exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l'ordre que vous le souhaitez en fonction de ce que vous voulez travailler.
Chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver.
Ces exercices sont, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

1

Soient $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et $\omega$ le nombre complexe $\omega ={\mathrm{e}}^{\frac{2\mathrm{i}\pi }{n}}$.

1. Justifier que, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n-1$ on a $\overline{{\omega }^k}=\frac{1}{{\omega }^k}$.

2

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.
On note $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll}e& f\\ g& h\end{array}\right)$. 2. On suppose maintenant que $\text{A}$ est une matrice à coefficients entiers.

4

Soient la matrice $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ et la matrice $\mathrm{D}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& 0\\ 0& -\mathrm{i}\end{array}\right)$.

Partie A : Diagonalisation de la matrice $\mathbf{A}$
1. Soit $\text{P}$ la matrice à coefficients complexes $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -\mathrm{i}& \mathrm{i}\end{array}\right)$.
Calculer $\mathrm{P}\times \left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{i}\\ 1& -\mathrm{i}\end{array}\right)$ et en déduire l'expression de ${\mathrm{P}}^{-1}$.

2. Montrer que $\mathrm{A}={\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{P}}^{-1}$.

Partie B : Détermination de ${\mathbf{A}}^{\mathbf{n}}$
On considère dans cette partie un entier naturel $n$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

${\mathrm{A}}^n={\mathrm{P}\mathrm{D}}^n{\mathrm{P}}^{-1}$.

2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

${\mathrm{D}}^n=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{i}}^n& 0\\ 0& (-\mathrm{i}{)}^n\end{array}\right)$.

3. a. On suppose dans cette question seulement que $n\equiv 0[4]$.
Montrer alors que ${\mathrm{D}}^n=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

b. Déterminer de la même manière une expression de ${\mathrm{D}}^n$ lorsque $n\equiv 1[4]$, $n\equiv 2[4]$ et $n\equiv 3[4]$.

c. Déterminer alors une expression de ${\mathrm{A}}^n$ dans chacun de ces quatre cas.

4. Déterminer la matrice ${\mathrm{A}}^{2019}$.

3

Soit $\text{A}$ une matrice carrée d'ordre 2 dont les coefficients sont des nombres complexes.
La matrice $\overline{\mathrm{A}}$ est obtenue en conjuguant chacun des coefficients de la matrice $\text{A}$.
Montrer que $\overline{\det (\mathrm{A})}=\det (\overline{\mathrm{A}})$.

5

On considère deux suites de nombres complexes $(z_n)$ et $(z_n^{\prime })$ définies par $z_0=1$ , $z_0^{\prime }=\mathrm{i}$ et, pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ :
1. Calculer $z_1$ et $z_1^{\prime }$.

2. Justifier que ce système s'écrit sous la forme matricielle ${\mathrm{Z}}_{n+1}=\mathrm{A}\times {\mathrm{Z}}_n$, où ${\mathrm{Z}}_{n+1}$, ${\mathrm{Z}}_n$ et $\text{A}$ sont trois matrices dont on explicitera les coefficients.

3. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

${\mathrm{Z}}_n={\mathrm{A}}^n\times {\mathrm{Z}}_0$.

4. On cherche dans cette partie à déterminer les coefficients de la matrice ${\mathrm{A}}^n$.
a. Soit la matrice $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$.
Justifier que $\text{P}$ est inversible puis déterminer ${\mathrm{P}}^{-1}$.

b. Montrer que $\mathrm{A}={\mathrm{P}\mathrm{D}\mathrm{P}}^{-1}$ où $\mathrm{D}=\left(\begin{array}{cc}2\mathrm{i}& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$.

c. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{A}}^n={\mathrm{P}\mathrm{D}}^n{\mathrm{P}}^{-1}$.

d. Déterminer, pour tout $n\in \mathbb{N}$, les coefficients de la matrice ${\mathrm{D}}^n$ puis en déduire ceux de la matrice ${\mathrm{A}}^n$.

e. Exprimer, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $z_n$ et $z_n^{\prime }$ en fonction de $n$.

6

On considère un graphe à dix sommets correspondant aux entiers de $1$ à $10$.
Pour deux sommets $a$ et $b$, il existe une arête allant de $a$ vers $b$ si $a$ divise $b$.

1. Ce graphe peut‑il être complet ? Justifier.

2. Représenter ce graphe.

7

On cherche dans cet exercice à résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(\mathrm{E}):4z^3-8z^2-27z-20=0$.

Partie A : Recherche d'une solution « évidente »
On cherche dans cette partie à déterminer une solution rationnelle de l'équation. Partie B : Résolution de l'équation

8

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. Tout nombre complexe $z=a+\mathrm{i}b$ peut s'écrire de manière unique sous la forme matricielle suivante : $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$.

1. Soient $c$ et $d$ deux nombres réels et $z^{\prime }$ le nombre complexe défini par $z^{\prime }=c+\mathrm{i}d$.
Écrire la matrice correspondant au nombre complexe $z^{\prime }$ puis vérifier que l'addition et la mutiplication matricielles sont naturellement compatibles avec celles définies sur $\mathbb{C}$.

2. Écrire la matrice $\text{B}$ correspondant au nombre complexe $\overline{z^{\prime }}$.

3. Calculer le produit $\text{AB}$. Quel résultat retrouve‑t‑on ?

9

On considère la définition des nombres complexes écrits sous forme matricielle décrite dans l'exercice précédent.

1. Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Écrire la matrice associée au nombre complexe ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$.

2. La matrice obtenue correspond à celle d'une transformation géométrique du plan muni d'un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. Laquelle ?

3. Conjecturer alors, pour tout entier relatif $n$, une expression de la matrice associée au nombre $({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }{)}^n$.
Démontrer cette conjecture.

4. Retrouver alors la formule de Moivre.

13

Inverse d'une matrice modulo $\mathbf{n}$

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers donnés modulo $n$.
Soient $\text{A}$ la matrice $\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ et$\text{ B}$ la matrice $\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.
On note $\det (\mathrm{A})$ la quantité $\det (\mathrm{A})=ad-bc$.

12

Inverse d'une matrice modulo 5.

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux matrices dont les coefficients sont donnés modulo $5$.
On donne $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -4& 1\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 4& 4\end{array}\right)$.

14

D'après bac S, Métropole, juin 2019

Dans cet exercice, on étudie l'ensemble $\text{S}$ des matrices qui s'écrivent sous la forme $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ appartiennent à l'ensemble $\mathbb{Z}$ et vérifient : $ad-bc=1$.
On note $\text{I}$ la matrice identité d'ordre $2$ : $\mathrm{I}=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Partie A