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Informations
Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres.
Cette banque d'exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l'ordre que vous le souhaitez en fonction de ce que vous voulez travailler.
Chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver.
Ces exercices sont, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.
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1
Chapitres • 2. Nombres complexes : point de vue géométrique • 6. Calcul matriciel
Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et ω le nombre complexe ω=en2iπ.
1. Justifier que, pour tout entier k compris entre 0 et n−1 on a ωk=ωk1.
2. Soit A la matrice carrée d'ordre n définie par :
La matrice A est obtenue en conjuguant chacun des coefficients de la matrice A.
Soit B=AAdont on note bi,j les coefficients.
a. Montrer que, pour tous entiers i et j compris entre 1 et n, le coefficient bi,j vérifie bi,j=k=1∑n(ωi−j)k−1.
On pourra remarquer que le coefficient ai,j vaut ω(i−1)(j−1).
Aide
b. En déduire que B=nIn.
3. En déduire que la matrice A est inversible et déterminer A−1.
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2
Chapitres • 3. Divisibilité dans Z • 6. Calcul matriciel
Soient A et B deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.
On note A=(acbd) et B=(egfh).
1.a. Montrer que det(AB)=det(A)det(B).
b. Montrer que si A est inversible, alors ad−bc=0 et A−1=ad−bc1(d−c−ba).
2. On suppose maintenant que A est une matrice à coefficients entiers.
a. Justifier que det(A) est un nombre entier.
b. On souhaite que A soit inversible et que A−1 ait des coefficients entiers.
Montrer à l'aide de la question 1.a. que si ces deux conditions sont vérifiées, alors det(A)=det(A−1)=±1.
c. Montrer à l'aide de la question 1.b. que la réciproque est également vraie, c'est‑à‑dire que si A est une matrice à coefficients entiers vérifiant det(A)=det(A−1)=±1, alors la matrice A est inversible et A−1 est à coefficients entiers.
Remarque
Ce résultat reste vrai pour une matrice carrée d'ordre supérieur à 2.
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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 6. Calcul matriciel
Soit A une matrice carrée d'ordre 2 dont les coefficients sont des nombres complexes.
La matrice A est obtenue en conjuguant chacun des coefficients de la matrice A.
Montrer que det(A)=det(A).
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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 3. Divisibilité dans Z • 6. Calcul matriciel
Soient la matrice A=(01−10) et la matrice D=(i00−i).
Partie A : Diagonalisation de la matrice A 1. Soit P la matrice à coefficients complexes (1−i1i).
Calculer P×(11i−i) et en déduire l'expression de P−1.
2. Montrer que A=PDP−1.
Partie B : Détermination de An
On considère dans cette partie un entier naturel n.
1. Montrer par récurrence que pour tout n∈N :
An=PDnP−1.
2. Montrer par récurrence que pour tout n∈N :
Dn=(in00(−i)n).
3.a. On suppose dans cette question seulement que n≡0[4].
Montrer alors que Dn=(1001).
b. Déterminer de la même manière une expression de Dn lorsque n≡1[4], n≡2[4] et n≡3[4].
c. Déterminer alors une expression de An dans chacun de ces quatre cas.
4. Déterminer la matrice A2019.
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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 7. Suites et matrices
On considère deux suites de nombres complexes (zn) et (zn′) définies par z0=1 , z0′=i et, pour tout entier
n∈N :
2. Justifier que ce système s'écrit sous la forme matricielle Zn+1=A×Zn, où Zn+1, Zn et A sont trois matrices dont on explicitera les coefficients.
3. Montrer par récurrence que pour tout n∈N :
Zn=An×Z0.
4. On cherche dans cette partie à déterminer les coefficients de la matrice An.
a. Soit la matrice P=(1324).
Justifier que P est inversible puis déterminer P−1.
b. Montrer que A=PDP−1 où D=(2i003).
c. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que, pour tout n∈N, An=PDnP−1.
d. Déterminer, pour tout n∈N, les coefficients de la matrice Dn puis en déduire ceux de la matrice An.
e. Exprimer, pour tout n∈N, zn et zn′ en fonction de n.
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Chapitres • 3. Divisibilité dans Z • 6. Calcul matriciel
On considère un graphe à dix sommets correspondant aux entiers de 1 à 10.
Pour deux sommets a et b, il existe une arête allant de a vers b si a divise b.
1. Ce graphe peut‑il être complet ? Justifier.
2. Représenter ce graphe.
Dessinez ici
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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 3. Divisibilité dans Z
On cherche dans cet exercice à résoudre dans C l'équation (E):4z3−8z2−27z−20=0.
Partie A : Recherche d'une solution « évidente »
On cherche dans cette partie à déterminer une solution rationnelle de l'équation.
1. Montrer que 0 n'est pas une solution de l'équation.
2. Justifier que s'il existe deux entiers relatifs non nuls p et q premiers entre eux tels que z=qp soit une solution de l'équation, alors p∣20 et q∣4.
3. En déduire les valeurs possibles d'une solution rationnelle de l'équation (E).
4. Déterminer une solution de l'équation (E).
Partie B : Résolution de l'équation
1. À l'aide de la solution déterminée à la question 4. de la partie A, déterminer une factorisation de
4z3−8z2−27z−20=0.
2. Déterminer alors l'ensemble des solutions de l'équation (E).
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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 6. Calcul matriciel
Soient a et b deux nombres réels. Tout nombre complexe z=a+ib peut s'écrire de manière unique sous la forme matricielle suivante : A=(ab−ba).
1. Soient c et d deux nombres réels et z′ le nombre
complexe défini par z′=c+id.
Écrire la matrice correspondant au nombre complexe z′ puis vérifier que l'addition et la mutiplication matricielles sont naturellement compatibles avec celles définies sur C.
2. Écrire la matrice B correspondant au nombre complexe z′.
3. Calculer le produit AB. Quel résultat retrouve‑t‑on ?
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Chapitres • 2. Nombres complexes : point de vue géométrique • 6. Calcul matriciel
On considère la définition des nombres complexes écrits sous forme matricielle décrite dans l'exercice précédent.
1. Soit θ∈R. Écrire la matrice associée au nombre complexe eiθ.
2. La matrice obtenue correspond à celle d'une transformation géométrique du plan muni d'un repère orthonormé direct (O;i,j). Laquelle ?
3. Conjecturer alors, pour tout entier relatif n, une expression de la matrice associée au nombre (eiθ)n.
Démontrer cette conjecture.
4. Retrouver alors la formule de Moivre.
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Chapitres • 2. Nombres complexes : point de vue géométrique • 3. Divisibilité dans Z
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O;u,v) et on définit, pour tout k∈N, le point Mk d'affixe zk=ei3kπ?
1. Calculer l'affixe de M0 et de M6.
2. Pour tout entier k∈{0;…;5}, placer Mk dans le plan.
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3. Compléter la congruence 2020≡…[6].
4. En déduire, sous forme algébrique, l'affixe de M2020.
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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 6. Calcul matriciel
Soient a et b deux nombres réels et on note z et z′ deux nombres complexes vérifiant :
{zz′=2a−b+2+i(a+3b−1)=−a+b+20+i(2a+7b+7).
On cherche à déterminer à quelle(s) condition(s) les nombres z et z′ sont égaux.
1. Justifier que z et z′ sont égaux si, et seulement si, a et b sont solutions du système {3a−2b−a−4b=18=8.
2. Écrire ce système sous la forme AX=B, où A, X et B sont trois matrices qu'on déterminera.
3. Résoudre ce système et répondre au problème posé en explicitant z et z′.
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Chapitres • 1. Divisibilité dans Z • 6. Calcul matriciel
Inverse d'une matrice modulo 5.
Soient A et B deux matrices dont les coefficients sont donnés modulo 5.
On donne A=(4−411) et B=(14−14).
1. Montrer que A×B=(8008)=(3003).
2. Déterminer un inverse de 3 modulo 5.
3. En déduire que A est inversible et que A−1=(23−23).
Remarque
On trouvera une généralisation de ce résultat dans l'exercice suivant.
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Chapitres • 4. PGCD et applications • 6. Calcul matriciel
Inverse d'une matrice modulo n
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et soient a, b, c et d quatre entiers donnés modulo n.
Soient A la matrice (acbd) et B la matrice (d−c−ba).
On note det(A) la quantité det(A)=ad−bc.
1. Montrer que A×B=det(A)×(1001).
2. En déduire que si det(A) est inversible modulo n d'inverse det(A)−1, alors A est inversible.
Déterminer une écriture de A−1.
3. On suppose maintenant que det(A) n'est pas inversible modulo n. Montrer, en utilisant un raisonnement par l'absurde, que A ne peut pas être inversible.
On pourra admettre le résultat suivant : « Pour toutes matrices A et B, det(AB)=det(A)det(B). »
4. À quelle condition sur le couple (det(A);n) la matrice A est‑elle inversible ?
5. Déterminer un inverse modulo 8 de la matrice (2113).
6. Expliquer pourquoi la matrice (1124) n'est pas inversible modulo 8.
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Chapitres • 3. Divisibilité dans Z • 4. PGCD et applications • 6. Calcul matriciel
D'après bac S, Métropole, juin 2019
Dans cet exercice, on étudie l'ensemble S des matrices qui s'écrivent sous la forme A=(acbd) où a, b, c et d appartiennent à l'ensemble Z et vérifient : ad−bc=1.
On note I la matrice identité d'ordre 2 : I=(1001).
Partie A
1. Vérifier que la matrice A=(6−55−4) appartient à l'ensemble S.
2. Montrer qu'il existe exactement quatre matrices de la forme A=(a32d) appartenant à l'ensemble S puis les expliciter.
3.a. Résoudre dans Z l'équation (E):5x−2y=1.
On pourra remarquer que le couple (1;2) est une solution particulière de cette équation.
b. En déduire qu'il existe une infinité de matrices de la forme A=(a2b5) qui appartiennent à l'ensemble S.
Décrire ces matrices.
Partie B
Dans cette partie, on note A=(acbd) une matrice appartenant à l'ensemble S. On rappelle que a, b, c et d sont des entiers relatifs tels que ad−bc=1.
1. Justifier que les entiers a et b sont premiers entre eux.
2. Soit B la matrice (d−c−ba).
a. Calculer le produit AB. On admet que AB=BA.
b. En déduire que la matrice A est inversible et donner sa matrice inverse A−1.
c. Montrer que A−1 appartient à l'ensemble S.
3. Soient x et y deux entiers relatifs. On note x′ et y′ les entiers relatifs tels que (x′y′)=A(xy).
a. Montrer que x=dx′−by′.
On admet de même que y=ay′−cx′.
b. On note D le PGCD de x et y et on note D′ le PGCD de x′ et y′. Montrer que D=D′.
4. On considère les suites d'entiers naturels (xn) et (yn) définies par x0=2019, y0=673 et, pour tout entier naturel n, {xn+1yn+1=2xn+3yn=xn+2yn.
En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel n, le PGCD des entiers xn et yn.
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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 3. Divisibilité dans Z
Étude des sommes de deux carrés par les entiers de Gauss
Partie A : Définition des entiers de Gauss
Soient a et b deux nombres entiers relatifs.
On appelle entier de Gauss tout nombre complexe z s'écrivant sous la forme z=a+ib.
On note Z[i] l'ensemble des entiers de Gauss.
1. Le nombre 3+4i100 est‑il un entier de Gauss ?
2. Justifier que si z∈Z[i], alors z∈Z[i].
3. Montrer que la somme de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss.
4. Montrer que le produit de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss.
5. Si z est un entier de Gauss non nul, z1 est‑il un entier de Gauss ?
Partie B : Norme et applications
Si z est un entier de Gauss, on appelle norme la fonction N : z⟼z×z.
1. Soient a et b deux entiers relatifs et z=a+ib.
Déterminer N(z) en fonction de a et b.
2. Montrer que si z et z′ sont deux entiers de Gauss, alors N(zz′)=N(z)N(z′).