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Exercices transversaux
P.238-243

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Exercices transversaux


ExoTransversauxMXP


Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres.
Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous le souhaitez en fonction de ce que vous voulez travailler.
Chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver.
Ces exercices sont, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

1
Nombres complexes : point de vue géométrique
Calcul matriciel

Soient nn un entier naturel supérieur ou égal à 22 et ω\omega le nombre complexe ω=e2iπn\omega=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{n}}}.

1. Justifier que, pour tout entier kk compris entre 00 et n1n-1 on a ωk=1ωk\overline{\omega^{k}}=\dfrac{1}{\omega^{k}}.


2. Soit A\text{A} la matrice carrée d’ordre nn définie par :
A=(11111ωω2ωn11ω2ω4ω2(n1)1ω3ω6ω3(n1)1ωn1ω2(n1)ω(n1)2)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} & \dots & \omega^{n-1} \\ 1 & \omega^{2} & \omega^{4} & \dots & \omega^{2(n-1)} \\ 1 & \omega^{3} & \omega^{6} & \dots & \omega^{3(n-1)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & \omega^{n-1} & \omega^{2(n-1)} & \dots & \omega^{(n-1)^{2}}\end{array}\right).
La matrice A\overline{\mathrm{A}} est obtenue en conjuguant chacun des coefficients de la matrice A\text{A}.
Soit B=AA\mathrm{B}=\mathrm{A} \overline{\mathrm{A}}dont on note bi,jb_{i,j} les coefficients.
a. Montrer que, pour tous entiers ii et jj compris entre 11 et nn, le coefficient bi,jb_{i,j} vérifie bi,j=k=1n(ωij)k1b_{i, j}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n}\left(\omega^{i-j}\right)^{k-1}.


Aide
On pourra remarquer que le coefficient ai,ja_{i,j} vaut ω(i1)(j1)\omega^{(i-1)(j-1)}.


b. En déduire que B=nIn\mathrm{B}=n \mathrm{I}_{n}.


3. En déduire que la matrice A\text{A} est inversible et déterminer A1\mathrm{A}^{-1}.
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2
Divisibilité dans Z\boldsymbol{\mathbb{Z}} Calcul matriciel

Soient A\text{A} et B\text{B} deux matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels.
On note A=(abcd)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) et B=(efgh)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll}e & f \\ g & h\end{array}\right).

1. a. Montrer que det(AB)=det(A)det(B)\operatorname{det}(\mathrm{AB})=\operatorname{det}(\mathrm{A}) \operatorname{det}(\mathrm{B}).


b. Montrer que si A\text{A} est inversible, alors adbc0a d-b c \neq 0 et A1=1adbc(dbca)\mathrm{A}^{-1}=\dfrac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right).


2. On suppose maintenant que A\text{A} est une matrice à coefficients entiers.
a. Justifier que det(A)\operatorname{det}(\mathrm{A}) est un nombre entier.


b. On souhaite que A\text{A} soit inversible et que A1\mathrm{A}^{-1} ait des coefficients entiers.
Montrer à l’aide de la question 1. a. que si ces deux conditions sont vérifiées, alors det(A)=det(A1)=±1\operatorname{det}(\mathrm{A})=\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)=\pm 1.


c. Montrer à l’aide de la question 1. b. que la réciproque est également vraie, c’est‑à‑dire que si A\text{A} est une matrice à coefficients entiers vérifiant det(A)=det(A1)=±1\operatorname{det}(\mathrm{A})=\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)=\pm 1, alors la matrice A\text{A} est inversible et A1\mathrm{A}^{-1} est à coefficients entiers.


Remarque : Ce résultat reste vrai pour une matrice carrée d'ordre supérieur à 2.
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3
Nombres complexes : point de vue algébrique
Calcul matriciel

Soit A\text{A} une matrice carrée d’ordre 2 dont les coefficients sont des nombres complexes.
La matrice A\overline{\mathrm{A}} est obtenue en conjuguant chacun des coefficients de la matrice A\text{A}.
Montrer que det(A)=det(A)\overline{\operatorname{det}(\mathrm{A})}=\operatorname{det}(\overline{\mathrm{A}}).
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4
Nombres complexes : point de vue algébrique
Divisibilité dans Z\boldsymbol{\mathbb{Z}} Calcul matriciel

Soient la matrice A=(0110)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) et la matrice D=(i00i)\mathrm{D}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i} & 0 \\ 0 & -\mathrm{i}\end{array}\right).

Partie A : Diagonalisation de la matrice A\mathbf{A}
1. Soit P\text{P} la matrice à coefficients complexes (11ii)\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -\mathrm{i} & \mathrm{i}\end{array}\right).
Calculer P×(1i1i)\mathrm{P} \times\left(\begin{array}{cc}1 & \mathrm{i} \\ 1 & -\mathrm{i}\end{array}\right) et en déduire l’expression de P1\mathrm{P}^{-1}.


2. Montrer que A=PDP1\mathrm{A}=\mathrm{PDP}^{-1}.


Partie B : Détermination de An\mathbf{A}^{\boldsymbol{n}}
On considère dans cette partie un entier naturel nn.

1. Montrer par récurrence que pour tout nNn \in \mathbb{N} :
An=PDnP1\mathrm{A}^{n}=\mathrm{PD}^{n} \mathrm{P}^{-1}.


2. Montrer par récurrence que pour tout nNn \in \mathbb{N} :
Dn=(in00(i)n)\mathrm{D}^{n}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}^{n} & 0 \\ 0 & (-\mathrm{i})^{n}\end{array}\right).


3. a. On suppose dans cette question seulement que n0[4]n \equiv 0[4].
Montrer alors que Dn=(1001)\mathrm{D}^{n}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right).


b. Déterminer de la même manière une expression de Dn\mathrm{D}^{n} lorsque n1[4]n \equiv 1[4], n2[4]n \equiv 2[4] et n3[4]n \equiv 3[4].


c. Déterminer alors une expression de An\mathrm{A}^{n} dans chacun de ces quatre cas.


4. Déterminer la matrice A2019\mathrm{A}^{2019}.
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5
Nombres complexes : point de vue algébrique
Suites et matrices

On considère deux suites de nombres complexes (zn)(z_n) et (zn)(z^{\prime}_n) définies par z0=1z_0=1 , z0=iz^{\prime}_0=\mathrm{i} et, pour tout entier nNn \in \mathbb{N} :
{zn+1=(94i)zn+(3+2i)znzn+1=(1812i)zn+(6+6i)zn\left\{\begin{aligned}z_{n+1}&=(9-4 \mathrm{i}) z_{n}+(-3+2 \mathrm{i}) z_{n}^{\prime} \\ z_{n+1}^{\prime}&=(18-12 \mathrm{i}) z_{n}+(-6+6 \mathrm{i}) z_{n}^{\prime}\end{aligned}\right..

1. Calculer z1z_1 et z1z^{\prime}_1.


2. Justifier que ce système s’écrit sous la forme matricielle Zn+1=A×Zn\mathrm{Z}_{n+1}=\mathrm{A} \times \mathrm{Z}_{n}, où Zn+1\mathrm{Z}_{n+1}, Zn\mathrm{Z}_{n} et A\text{A} sont trois matrices dont on explicitera les coefficients.


3. Montrer par récurrence que pour tout nNn \in \mathbb{N} :
Zn=An×Z0\mathrm{Z}_{n}=\mathrm{A}^{n} \times \mathrm{Z}_{0}.


4. On cherche dans cette partie à déterminer les coefficients de la matrice An\mathrm{A}^{n}.
a. Soit la matrice P=(1234)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right).
Justifier que P\text{P} est inversible puis déterminer P1\mathrm{P}^{-1}.


b. Montrer que A=PDP1\mathrm{A}=\mathrm{PDP}^{-1}D=(2i003)\mathrm{D}=\left(\begin{array}{cc}2 \mathrm{i} & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right).


c. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, An=PDnP1\mathrm{A}^{n}=\mathrm{PD}^{n} \mathrm{P}^{-1}.


d. Déterminer, pour tout nNn \in \mathbb{N}, les coefficients de la matrice Dn\mathrm{D}^{n} puis en déduire ceux de la matrice An\mathrm{A}^{n}.


e. Exprimer, pour tout nNn \in \mathbb{N}, znz_n et znz^{\prime}_n en fonction de nn.
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6
Divisibilité dans Z\boldsymbol{\mathbb{Z}} Calcul matriciel

On considère un graphe à dix sommets correspondant aux entiers de 11 à 1010.
Pour deux sommets aa et bb, il existe une arête allant de aa vers bb si aa divise bb.

1. Ce graphe peut‑il être complet ? Justifier.


2. Représenter ce graphe.

Couleurs
Formes
Dessinez ici
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7
Nombres complexes : point de vue algébrique
Divisibilité dans Z\boldsymbol{\mathbb{Z}}

On cherche dans cet exercice à résoudre dans C\mathbb{C} l’équation (E):4z38z227z20=0(\mathrm{E}): 4 z^{3}-8 z^{2}-27 z-20=0.

Partie A : Recherche d’une solution « évidente »
On cherche dans cette partie à déterminer une solution rationnelle de l’équation.

1. Montrer que 00 n’est pas une solution de l’équation.


2. Justifier que s’il existe deux entiers relatifs non nuls pp et qq premiers entre eux tels que z=pqz=\dfrac{p}{q} soit une solution de l’équation, alors p20p\,|\,20 et q4 q\,|\,4.


3. En déduire les valeurs possibles d’une solution rationnelle de l’équation (E)(\mathrm{E}).


4. Déterminer une solution de l’équation (E)(\mathrm{E}).


Partie B : Résolution de l’équation

1. À l’aide de la solution déterminée à la question 4. de la partie A, déterminer une factorisation de
4z38z227z20=04 z^{3}-8 z^{2}-27 z-20=0.


2. Déterminer alors l’ensemble des solutions de l’équation (E)(\mathrm{E}).
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8
Nombres complexes : point de vue algébrique
Calcul matriciel

Soient aa et bb deux nombres réels. Tout nombre complexe z=a+ibz = a + \mathrm{i}b peut s’écrire de manière unique sous la forme matricielle suivante : A=(abba)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}a & -b \\ b & a\end{array}\right).

1. Soient cc et dd deux nombres réels et zz^\prime le nombre complexe défini par z=c+idz^{\prime} = c + \mathrm{i}d.
Écrire la matrice correspondant au nombre complexe zz^\prime puis vérifier que l’addition et la mutiplication matricielles sont naturellement compatibles avec celles définies sur C\mathbb{C}.


2. Écrire la matrice B\text{B} correspondant au nombre complexe z\overline{z^{\prime}}.


3. Calculer le produit AB\text{AB}. Quel résultat retrouve‑t‑on ?
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9
Nombres complexes : point de vue géométrique
Calcul matriciel

On considère la définition des nombres complexes écrits sous forme matricielle décrite dans l’exercice précédent.

1. Soit θR\theta \in \mathbb{R}. Écrire la matrice associée au nombre complexe eiθ\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}.


2. La matrice obtenue correspond à celle d’une transformation géométrique du plan muni d’un repère orthonormé direct (O;i,j)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i}\,,\overrightarrow{j}). Laquelle ?


3. Conjecturer alors, pour tout entier relatif nn, une expression de la matrice associée au nombre (eiθ)n(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta})^{n}.
Démontrer cette conjecture.


4. Retrouver alors la formule de Moivre.
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10
Nombres complexes : point de vue géométrique
Divisibilité dans Z\boldsymbol{\mathbb{Z}}

On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}) et on définit, pour tout kNk \in \mathbb{N}, le point Mk\mathrm{M}_k d’affixe zk=eikπ3z_{k}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{k \pi}{3}}}?

1. Calculer l’affixe de M0\mathrm{M}_0 et de M6\mathrm{M}_6.


2. Pour tout entier k{0;;5}k \in\{0\,; \ldots ; 5\}, placer Mk\mathrm{M}_k dans le plan.

Lancer le module Geogebra
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3. Compléter la congruence 2020[6]2\,020 \equiv \ldots[6].


4. En déduire, sous forme algébrique, l’affixe de M2020\mathrm{M}_{2\,020}.
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11
Nombres complexes : point de vue algébrique
Calcul matriciel

Soient aa et bb deux nombres réels et on note zz et zz^\prime deux nombres complexes vérifiant :
{z=2ab+2+i(a+3b1)z=a+b+20+i(2a+7b+7)\left\{\begin{aligned}z&=2 a-b+2+\mathrm{i}(a+3 b-1) \\ z^{\prime}&=-a+b+20+\mathrm{i}(2 a+7 b+7)\end{aligned}\right..
On cherche à déterminer à quelle(s) condition(s) les nombres zz et zz^\prime sont égaux.

1. Justifier que zz et zz^\prime sont égaux si, et seulement si, aa et bb sont solutions du système {3a2b=18a4b=8\left\{\begin{aligned}3 a-2 b&=18 \\ -a-4 b&=8\end{aligned}\right..


2. Écrire ce système sous la forme AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B}, où A\mathrm{A}, X\mathrm{X} et B\mathrm{B} sont trois matrices qu’on déterminera.


3. Résoudre ce système et répondre au problème posé en explicitant zz et zz^\prime.
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12
Divisibilité dans Z\boldsymbol{\mathbb{Z}} Calcul matriciel

Inverse d’une matrice modulo 5.

Soient A\text{A} et B\text{B} deux matrices dont les coefficients sont donnés modulo 55.
On donne A=(4141)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}4 & 1 \\ -4 & 1\end{array}\right) et B=(1144)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 4 & 4\end{array}\right).

1. Montrer que A×B=(8008)=(3003)\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll}8 & 0 \\ 0 & 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right).


2. Déterminer un inverse de 33 modulo 55.


3. En déduire que A\text{A} est inversible et que A1=(2233)\mathrm{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 3 & 3\end{array}\right).


Remarque
On trouvera une généralisation de ce résultat dans l’exercice suivant.
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13
PGCD\mathbf{PGCD} et applications Calcul matriciel

Inverse d’une matrice modulo n\boldsymbol{n}

Soit nn un entier naturel supérieur ou égal à 22 et soient aa, bb, cc et dd quatre entiers donnés modulo nn.
Soient A\text{A} la matrice (abcd)\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) et B\text{ B} la matrice (dbca)\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right).
On note det(A)\operatorname{det}(\mathrm{A}) la quantité det(A)=adbc\operatorname{det}(\mathrm{A})=a d-b c.

1. Montrer que A×B=det(A)×(1001)\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\operatorname{det}(\mathrm{A}) \times\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right).


2. En déduire que si det(A)\operatorname{det}(\mathrm{A}) est inversible modulo nn d’inverse det(A)1\operatorname{det}(\mathrm{A})^{-1}, alors A\text{A} est inversible.
Déterminer une écriture de A1\mathrm{A}^{-1}.


3. On suppose maintenant que det(A)\operatorname{det}(\mathrm{A}) n’est pas inversible modulo nn. Montrer, en utilisant un raisonnement par l’absurde, que A\text{A} ne peut pas être inversible.
On pourra admettre le résultat suivant : « Pour toutes matrices A\text{A} et B\text{B}, det(AB)=det(A)det(B)\operatorname{det}(\mathrm{AB})=\operatorname{det}(\mathrm{A}) \operatorname{det}(\mathrm{B}). »


4. À quelle condition sur le couple (det(A);n)(\operatorname{det}(\mathrm{A})\,; n) la matrice A\text{A} est‑elle inversible ?


5. Déterminer un inverse modulo 88 de la matrice (2113)\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right).


6. Expliquer pourquoi la matrice (1214)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 4\end{array}\right) n’est pas inversible modulo 88.
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14
Divisibilité dans Z\boldsymbol{\mathbb{Z}} PGCD\mathbf{PGCD} et applications Calcul matriciel

D’après bac S, Métropole, juin 2019

Dans cet exercice, on étudie l’ensemble S\text{S} des matrices qui s’écrivent sous la forme A=(abcd)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)aa, bb, cc et dd appartiennent à l’ensemble Z\mathbb{Z} et vérifient : adbc=1ad - bc = 1.
On note I\text{I} la matrice identité d’ordre 22 : I=(1001)\mathrm{I}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right).

Partie A
1. Vérifier que la matrice A=(6554)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}6 & 5 \\ -5 & -4\end{array}\right) appartient à l’ensemble S\text{S}.


2. Montrer qu’il existe exactement quatre matrices de la forme A=(a23d)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & 2 \\ 3 & d\end{array}\right) appartenant à l’ensemble S\text{S} puis les expliciter.


3. a. Résoudre dans Z\mathbb{Z} l’équation (E):5x2y=1(\mathrm{E}): 5 x-2 y=1.
On pourra remarquer que le couple (1;2)(1\,; 2) est une solution particulière de cette équation.


b. En déduire qu’il existe une infinité de matrices de la forme A=(ab25)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 2 & 5\end{array}\right) qui appartiennent à l’ensemble S\text{S}.
Décrire ces matrices.


Partie B
Dans cette partie, on note A=(abcd)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) une matrice appartenant à l’ensemble S\text{S}. On rappelle que aa, bb, cc et dd sont des entiers relatifs tels que adbc=1ad - bc = 1.

1. Justifier que les entiers aa et bb sont premiers entre eux.


2. Soit B\text{B} la matrice (dbca)\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right).
a. Calculer le produit AB\text{AB}. On admet que AB=BA\mathrm{AB}=\mathrm{BA}.


b. En déduire que la matrice A\text{A} est inversible et donner sa matrice inverse A1\mathrm{A}^{-1}.


c. Montrer que A1\mathrm{A}^{-1} appartient à l’ensemble S\text{S}.


3. Soient xx et yy deux entiers relatifs. On note xx^\prime et yy^\prime les entiers relatifs tels que (xy)=A(xy)\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right)=\mathrm{A}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right).
a. Montrer que x=dxbyx=d x^{\prime}-b y^{\prime}.


On admet de même que y=aycxy=a y^{\prime}-c x^{\prime}.

b. On note D\text{D} le PGCD\text{PGCD} de xx et yy et on note D\mathrm{D}^{\prime} le PGCD\text{PGCD} de xx^{\prime} et yy^{\prime}. Montrer que D=D\mathrm{D}=\mathrm{D}^{\prime}.


4. On considère les suites d’entiers naturels (xn)(x_n) et (yn)(y_n) définies par x0=2 019x_{0}=2 019, y0=673y_{0}=673 et, pour tout entier naturel nn, {xn+1=2xn+3ynyn+1=xn+2yn\left\{\begin{aligned}x_{n+1}&=2 x_{n}+3 y_{n} \\ y_{n+1}&=x_{n}+2 y_{n}\end{aligned}\right..
En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel nn, le PGCD\text{PGCD} des entiers xnx_n et yny_n.
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15
Nombres complexes : point de vue algébrique Divisibilité dans Z\boldsymbol{\mathbb{Z}}

Étude des sommes de deux carrés par les entiers de Gauss

Partie A : Définition des entiers de Gauss
Soient aa et bb deux nombres entiers relatifs.
On appelle entier de Gauss tout nombre complexe zz s’écrivant sous la forme z=a+ibz = a + \mathrm{i}b.
On note Z[i]\mathbb{Z}[\mathrm{i}] l’ensemble des entiers de Gauss.

1. Le nombre 1003+4i\dfrac{100}{3+4 \mathrm{i}} est‑il un entier de Gauss ?


2. Justifier que si zZ[i]z \in \mathbb{Z}[\mathrm{i}], alors zZ[i]\overline{z} \in \mathbb{Z}[\mathrm{i}].


3. Montrer que la somme de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss.


4. Montrer que le produit de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss.


5. Si zz est un entier de Gauss non nul, 1z\dfrac{1}{z} est‑il un entier de Gauss ?


Partie B : Norme et applications
Si zz est un entier de Gauss, on appelle norme la fonction N\text{N} : zz×zz \longmapsto z \times \overline{z}.

1. Soient aa et bb deux entiers relatifs et z=a+ibz = a + \mathrm{i}b.
Déterminer N(z)\mathrm{N}(z) en fonction de aa et bb.


2. Montrer que si zz et zz^\prime sont deux entiers de Gauss, alors N(zz)=N(z)N(z)\mathrm{N}\left(z z^{\prime}\right)=\mathrm{N}(z) \mathrm{N}\left(z^{\prime}\right).


3. Première application
a. Montrer que, pour tous entiers relatifs aa, bb, cc et dd, (a2+b2)(c2+d2)=(acbd)2+(ad+bc)2\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=(a c-b d)^{2}+(a d+b c)^{2}.


Remarque : Cette égalité est en réalité valable pour tous réels aa, bb, cc et dd et porte le nom d’identité de Lagrange.


b. Soient mm et nn deux entiers naturels s’écrivant comme la somme de deux carrés parfaits.
Montrer que m×nm \times n s’écrit également comme la somme de deux carrés parfaits.


4. Seconde application
Soit zZ[i]z \in \mathbb{Z}[\mathrm{i}].
On dit que zz est inversible dans Z[i]\mathbb{Z}[\mathrm{i}] lorsqu’il existe un nombre complexe zZ[i]z^{\prime} \in \mathbb{Z}[\mathrm{i}] tel que zz=1z z^{\prime}=1.
Montrer que zZ[i]z \in \mathbb{Z}[\mathrm{i}] est inversible dans Z[i]\mathbb{Z}[\mathrm{i}] si, et seulement si, z{1;1;i;i}z \in\{1\,;-1\,; \mathrm{i}\,;-\mathrm{i}\}.
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16
PGCD\mathbf{PGCD} et applications Calcul matriciel

D’après bac S, Asie, juin 2015

Une équation de Pell‑Fermat
On dit qu’un entier naturel non nul N\text{N} est un nombre triangulaire s’il existe un entier naturel nn tel que N=1+2++n\mathrm{N}=1+2+\ldots+n.
Par exemple, 1010 est un nombre triangulaire car 10=1+2+3+410=1+2+3+4.
Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d’un entier.
On rappelle que, pour tout nNn \in \mathbb{N}^{*}, on a :
1+2++n=n(n+1)21+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Partie A : Nombres triangulaires et carrés d’entiers
1. Montrer que 3636 est un nombre triangulaire et qu’il est aussi le carré d’un entier.


2. a. Montrer que le nombre 1+2++n1+2+\ldots+n est le carré d’un entier si, et seulement si, il existe un entier naturel pp tel que n2+n2p2=0n^{2}+n-2 p^{2}=0.


b. Montrer que le nombre 1+2++n1+2+\ldots+n est le carré d’un entier si, et seulement si, il existe un entier naturel pp tel que (2n+1)28p2=1(2 n+1)^{2}-8 p^{2}=1.


Partie B : Étude de l’équation diophantienne associée
On considère (E)(\mathrm{E}) l’équation diophantienne x28y2=1x^{2}-8 y^{2}=1, où xx et yy désignent deux entiers relatifs.

1. Donner deux couples d’entiers naturels inférieurs à 2020 qui sont solutions de (E)(\mathrm{E}).


2. Démontrer que si un couple d’entiers relatifs non nuls (x;y)(x\,; y) est solution de (E)(\mathrm{E}), alors les entiers relatifs xx et yy sont premiers entre eux.


Partie C : Lien avec le calcul matriciel
Soient xx et yy deux entiers relatifs. On considère la matrice A=(3813)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}3 & 8 \\ 1 & 3\end{array}\right).
On définit les entiers relatifs xx^\prime et yy^\prime par l’égalité :
(xy)=A(xy)\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right)=\mathrm{A}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right).

1. Exprimer xx^\prime et yy^\prime en fonction de xx et de yy.


2. Déterminer la matrice A1\mathrm{A}^{-1}, puis exprimer xx et yy en fonction de xx^\prime et yy^\prime.


3. Démontrer que (x;y)(x\,; y) est solution de (E)(\mathrm{E}) si, et seulement si, (x;y)(x^\prime\,; y^\prime) est solution de (E)(\mathrm{E}).


4. On considère les suites (xn)(x_n) et (yn)(y_n) définies par x0=3x_0=3, y0=1y_0=1 et, pour tout entier naturel nn :
(xn+1yn+1)=A(xnyn)\left(\begin{array}{l}x_{n+1} \\ y_{n+1}\end{array}\right)=\mathrm{A}\left(\begin{array}{l}x_{n} \\ y_{n}\end{array}\right).
On admet que, ainsi définis, les nombres xnx_n et yny_n sont des entiers naturels pour toute valeur de l’entier nn.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, le couple (xn;yn)(x_n\,; y_n) est solution de (E)(\mathrm{E}).


Partie D : Retour au problème initial
À l’aide des parties précédentes, déterminer un nombre triangulaire supérieur à 2 0152 015 qui est le carré d’un entier.


Remarque : Une équation de Pell‑Fermat est une équation diophantienne de la forme x2ny2=1x^2 - ny^2 = 1nn est un entier naturel qui n’est pas un carré parfait.
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Divisibilité dans Z\boldsymbol{\mathbb{Z}} PGCD\mathbf{PGCD} et applications Calcul matriciel

Chiffrement de Hill
En 1929, le mathématicien et cryptologue Hill publie ses travaux concernant une méthode de chiffrement qui porte aujourd’hui son nom.
Le principe repose sur le choix d’une matrice A\text{A} vérifiant les conditions suivantes :
  • det(A)\operatorname{det}(\mathrm{A}) est non nul ;
  • det(A)\operatorname{det}(\mathrm{A}) est premier avec 2626.
On travaillera ici avec la matrice A=(7213)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}7 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right).

Partie A : Étude de la matrice A\mathbf{A}
1. Justifier que la matrice A\text{A} vérifie bien les conditions demandées par l’énoncé.


2. À l’aide de la calculatrice, déterminer A1\mathrm{A}^{-1}.


Partie B : Étude du chiffrement
Le chiffrement de Hill repose uniquement sur le choix de la matrice A\text{A}.
Pour coder un mot ayant un nombre pair nn de lettres, on procède de la manière suivante :
  • on associe à chaque lettre de l’alphabet un nombre entre 00 et 2525 en suivant l’ordre alphabétique ;
  • on divise le mot à chiffrer en blocs de deux lettres successives. On obtient donc plusieurs blocs de nombres (x1;x2);;(xn1;xn)\left(x_{1}\,; x_{2}\right)\,; \ldots ;\left(x_{n-1}\,; x_{n}\right) ;
  • on utilise alors la matrice A\text{A} pour procéder au chiffrement : on calcule, pour tout entier k{0;;n22}k \in\left\{0\,; \ldots \,;\dfrac{n-2}{2}\right\}, (y2k+1y2k+2)=A×(x2k+1x2k+2)\left(\begin{array}{l}y_{2 k+1} \\ y_{2 k+2}\end{array}\right)=\mathrm{A} \times\left(\begin{array}{l}x_{2 k+1} \\ x_{2 k+2}\end{array}\right).
    On obtient alors les blocs (y1;y2);;(yn1;yn)\left(y_{1}\,; y_{2}\right)\,; \ldots ;\left(y_{n-1}\,; y_{n}\right) qu’on juxtapose : le mot initialement choisi est alors codé par une suite de nombres y1y2yny_{1} y_{2} \ldots y_{n} ;
  • on réduit modulo 2626 chacun de ces nombres : pour tout entier k{1;;n}k \in\{1\,; \ldots ; n\}, on détermine le reste rkr_k de la division euclidienne de yky_k par 2626 ;
  • le mot choisi est donc maintenant codé par une suite de nombres r1r2rnr_{1} r_{2} \ldots r_{n} ;
  • on associe à chacun de ces nombres compris entre 00 et 2525 une lettre selon le procédé décrit précédemment.

1. En utilisant la matrice A\text{A} décrite au début de l’exercice, coder le mot JUIN par ce procédé.


2. Coder un mot de votre choix en utilisant ce procédé.
Compte tenu du processus de codage décrit ici, le mot doit être constitué d’un nombre pair de lettres.


3. Compléter le programme ci‑après afin qu’il transforme la liste initiale de nombres en la suite codée de nombres.

def Hill(L):
	n = len(L)
	if n%2 != 0:
		return 'Il faut un nombre de lettres pair !'
	else:
		for k in range(int(n/2)):
			L[2*k], L[2*k + 1] = ... , ...
			L[2*k] = L[2*k]%26
			L[2*k + 1] = L[2*k + 1]%26
	return L


Partie C : Étude du déchiffrement
On cherche ici à déterminer un moyen de déchiffrer un mot chiffré par le procédé précédent. Sans perte de généralité, on étudie uniquement le bloc codé (r1;r2)\left(r_{1}\,; r_{2}\right) correspondant au couple de nombres (y1;y2)\left(y_{1}\,; y_{2}\right) obtenu après transformation des nombres (x1;x2)\left(x_{1}\,; x_{2}\right) du mot initial.
On note donc Y=(y1y2)\mathrm{Y}=\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right) la matrice correspondant aux nombres obtenus suite à la multiplication à gauche de la matrice X=(x1x2)\mathrm{X}=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) par A\text{A}.
1. Justifier que (x1;x2)\left(x_{1}\,; x_{2}\right) est une solution du système d’équations suivant : {19x1=3y12y219x2=y1+7y2\left\{\begin{array}{l}19 x_{1}=3 y_{1}-2 y_{2} \\ 19 x_{2}=-y_{1}+7 y_{2}\end{array}\right..


2. Montrer que (x1;x2)\left(x_{1}\,; x_{2}\right) est une solution du système de congruences suivant : {19x13r12r2[26]19x2r1+7r2[26]\left\{\begin{array}{l}19 x_{1} \equiv 3 r_{1}-2 r_{2}[26] \\ 19 x_{2} \equiv-r_{1}+7 r_{2}[26]\end{array}\right..


3. Déterminer un inverse de 1919 modulo 2626.


4. En déduire que x1x_1 et x2x_2 vérifient le système :
{x17r1+4r2[26]x215r1+25r2[26]\left\{\begin{array}{l}x_{1} \equiv 7 r_{1}+4 r_{2}[26] \\ x_{2} \equiv 15 r_{1}+25 r_{2}[26]\end{array}\right..


5. Le codage d’un mot a donné OCRR, c’est‑à‑dire la liste (r1;r2;r1;r2)=(14;2;17;17)\left(r_{1} \,; r_{2}\,; r_{1}^{\prime}\,; r_{2}^{\prime}\right)=(14\,; 2\,; 17\,; 17). On cherche à retrouver le mot initial.
En appliquant le résultat de la question 4. à (142)\left(\begin{array}{c}14 \\ 2\end{array}\right) et (1717)\left(\begin{array}{c}17 \\ 17\end{array}\right), retrouver le mot initial.


Remarque : Lorsque le nombre de lettres est divisible par 33, il est possible de coder des blocs de trois lettres de la même manière que ci‑dessus en utilisant une matrice carrée d’ordre 33 vérifiant les mêmes conditions que dans l’énoncé.



Histoire des maths

Lester S. Hill (1891‑1961) est un mathématicien et cryptologue américain. Ses recherches reposent principalement sur l’application des mathématiques dans les systèmes de communications et notamment la cryptographie : le chiffrement de Hill fait partie de ses principales contributions mais il a aussi développé des méthodes pour détecter des erreurs dans les transmissions télégraphiques.

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Divisibilité dans Z\boldsymbol{\mathbb{Z}} Calcul matriciel

D’après bac S, Asie, 2017

Exemple simple de code correcteur
Un bit est un symbole informatique élémentaire valant soit 00, soit 11.

Partie A : Ligne de transmission
Une ligne de transmission transporte des bits de données selon le modèle suivant :
  • elle transmet le bit de façon correcte avec une probabilité pp ;
  • elle transmet le bit de façon erronée (en changeant le 11 en 00 ou le 00 en 11) avec une probabilité 1p1 - p.

On assemble bout à bout plusieurs lignes de ce type et on suppose qu’elles introduisent des erreurs de façon indépendante les unes des autres.
On étudie la transmission d’un seul bit, ayant pour valeur 11 au début de la transmission.
Après avoir traversé nn lignes de transmission, on note :
  • pnp_n la probabilité que le bit reçu ait pour valeur 11 ;
  • qnq_n la probabilité que le bit reçu ait pour valeur 00.

On a donc p0=1p_0=1 et q0=0q_0=0. On définit les matrices suivantes : A=(p1p1pp)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}p & 1-p \\ 1-p & p\end{array}\right), Xn=(pnqn)\mathrm{X}_{n}=\left(\begin{array}{l}p_{n} \\ q_{n}\end{array}\right) et P=(1111)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right).
On admet que, pour tout entier nn, on a Xn+1=AXn\mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{AX}_{n} et donc Xn=AnX0\mathrm{X}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{X}_{0}.

1. a. Montrer que P\text{P} est inversible et déterminer P1\mathrm{P}^{-1}.


b. On pose D=(1002p1)\mathrm{D}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 2 p-1\end{array}\right). Vérifier que A=PDP1\mathrm{A}=\mathrm{PDP}^{-1}.


c. Montrer que, pour tout entier n1n \geqslant 1, An=PDnP1\mathrm{A}^{n}=\mathrm{PD}^{n} \mathrm{P}^{-1}.


d. En vous appuyant sur la copie d’écran d’un logiciel de calcul formel donnée ci‑dessous, déterminer une expression de qnq_n en fonction de nn.

Math expertes- Exercices trasversaux - Exercice 18 - Exemple simple de code correcteur



2. On suppose dans cette question que pp vaut 0,980{,}98. On rappelle que le bit avant transmission a pour valeur 11.
On souhaite que la probabilité que le bit reçu ait pour valeur 00 soit inférieure ou égale à 0,250{,}25.
Combien peut‑on, au maximum, aligner de telles lignes de transmission ?


Partie B : Le code de Hamming (7,4)\boldsymbol{(7{,}4)}
On rappelle qu’un bit est un symbole informatique élémentaire valant soit 00, soit 11. On considère un « mot » formé de quatre bits que l’on note b1b_1, b2b_2, b3b_3 et b4b_4.
Par exemple, pour le mot 11011101, on a b1=1b_1=1, b2=1b_2=1, b3=0b_3=0 et b4=1b_4=1.
On ajoute à cette liste une clé de contrôle c1c2c3c_1c_2c_3 formée de trois bits :
  • c1c_1 est le reste de la division euclidienne de b2+b3+b4b_{2}+b_{3}+b_{4} par 22 ;
  • c2c_2 est le reste de la division euclidienne de b1+b3+b4b_{1}+b_{3}+b_{4} par 22 ;
  • c3c_3 est le reste de la division euclidienne de b1+b2+b4b_{1}+b_{2}+b_{4} par 22.

On appelle alors « message » la suite de sept bits formée des quatres bits du mot et des trois bits de contrôle.

1. Préliminaires
a. Justifier que c1c_1, c2c_2 et c3c_3 ne peuvent prendre comme valeurs que 00 ou 11.


b. Calculer la clé de contrôle associée au mot 10011001.


2. Soit b1b2b3b4b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} un mot de quatre bits et c1c2c3c_{1} c_{2} c_{3} la clé associée.
Démontrer que si on change la valeur de b1b_1 et que l’on recalcule la clé, alors c1c_1 est inchangée, c2c_2 est modifiée et c3c_3 est modifiée.


3. On suppose que, durant la transmission du message, au plus, un des sept bits a été transmis de façon erronée. À partir des quatre premiers bits du message reçu, on recalcule les trois bits de contrôle, et on les compare avec les bits de contrôle reçus.
Sans justification, compléter le tableau ci‑dessous. La lettre F signifie que le bit de contrôle reçu ne correspond pas au bit de contrôle calculé et J que ces deux bits sont égaux.

Bit erroné ⇢ b1\boldsymbol{b_1} b2\boldsymbol{b_2} b3\boldsymbol{b_3} b4\boldsymbol{b_4} c1\boldsymbol{c_1} c2\boldsymbol{c_2} c3\boldsymbol{c_3} Aucun
Bit de contrôle calculé ⇣
c1\boldsymbol{c_1} J
c2\boldsymbol{c_2} F
c3\boldsymbol{c_3} F

4. Justifier rapidement, à l’aide du tableau, que si un seul bit reçu est erroné, on peut dans tous les cas déterminer lequel et corriger l’erreur.


5. Voici deux messages de sept bits : A=0100010\mathrm{A} = 0100010 et B=1101001\mathrm{B} = 1101001. On admet que chacun d’eux comporte au plus une erreur de transmission.
Préciser s’il y a une erreur et la corriger.
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