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Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Exercices 1 à 18

Exercices transversaux

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Informations

Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres.
Cette banque d'exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l'ordre que vous le souhaitez en fonction de ce que vous voulez travailler.
Chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver.
Ces exercices sont, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

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Chapitres • 2. Nombres complexes : point de vue géométrique • 6. Calcul matriciel

Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et \omega le nombre complexe \omega=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{n}}}.

1. Justifier que, pour tout entier k compris entre 0 et n-1 on a \overline{\omega^{k}}=\frac{1}{\omega^{k}}.

2. Soit \text{A} la matrice carrée d'ordre n définie par :

\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} & \dots & \omega^{n-1} \\ 1 & \omega^{2} & \omega^{4} & \dots & \omega^{2(n-1)} \\ 1 & \omega^{3} & \omega^{6} & \dots & \omega^{3(n-1)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & \omega^{n-1} & \omega^{2(n-1)} & \dots & \omega^{(n-1)^{2}}\end{array}\right).

La matrice \overline{\mathrm{A}} est obtenue en conjuguant chacun des coefficients de la matrice \text{A}.
Soit \mathrm{B}=\mathrm{A} \overline{\mathrm{A}}dont on note b_{i,j} les coefficients.

a. Montrer que, pour tous entiers i et j compris entre 1 et n, le coefficient b_{i,j} vérifie b_{i, j}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n}\left(\omega^{i-j}\right)^{k-1}.

Aide

On pourra remarquer que le coefficient a_{i,j} vaut \omega^{(i-1)(j-1)}.

b. En déduire que \mathrm{B}=n \mathrm{I}_{n}.

3. En déduire que la matrice \text{A} est inversible et déterminer \mathrm{A}^{-1}.

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Chapitres • 3. Divisibilité dans \boldsymbol{\mathbb{Z}} • 6. Calcul matriciel

Soient \text{A} et \text{B} deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.
On note \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll}e & f \\ g & h\end{array}\right).

1. a. Montrer que \operatorname{det}(\mathrm{AB})=\operatorname{det}(\mathrm{A}) \operatorname{det}(\mathrm{B}).

b. Montrer que si \text{A} est inversible, alors a d-b c \neq 0 et \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right).

2. On suppose maintenant que \text{A} est une matrice à coefficients entiers.

a. Justifier que \operatorname{det}(\mathrm{A}) est un nombre entier.

b. On souhaite que \text{A} soit inversible et que \mathrm{A}^{-1} ait des coefficients entiers.
Montrer à l'aide de la question 1. a. que si ces deux conditions sont vérifiées, alors \operatorname{det}(\mathrm{A})=\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)=\pm 1.

c. Montrer à l'aide de la question 1. b. que la réciproque est également vraie, c'est‑à‑dire que si \text{A} est une matrice à coefficients entiers vérifiant \operatorname{det}(\mathrm{A})=\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)=\pm 1, alors la matrice \text{A} est inversible et \mathrm{A}^{-1} est à coefficients entiers.

Remarque

Ce résultat reste vrai pour une matrice carrée d'ordre supérieur à 2.

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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 6. Calcul matriciel

Soit \text{A} une matrice carrée d'ordre 2 dont les coefficients sont des nombres complexes.
La matrice \overline{\mathrm{A}} est obtenue en conjuguant chacun des coefficients de la matrice \text{A}.
Montrer que \overline{\operatorname{det}(\mathrm{A})}=\operatorname{det}(\overline{\mathrm{A}}).

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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 3. Divisibilité dans \boldsymbol{\mathbb{Z}} • 6. Calcul matriciel

Soient la matrice \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) et la matrice \mathrm{D}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i} & 0 \\ 0 & -\mathrm{i}\end{array}\right).

Partie A : Diagonalisation de la matrice \mathbf{A}
1. Soit \text{P} la matrice à coefficients complexes \left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -\mathrm{i} & \mathrm{i}\end{array}\right).
Calculer \mathrm{P} \times\left(\begin{array}{cc}1 & \mathrm{i} \\ 1 & -\mathrm{i}\end{array}\right) et en déduire l'expression de \mathrm{P}^{-1}.

2. Montrer que \mathrm{A}=\mathrm{PDP}^{-1}.

Partie B : Détermination de \mathbf{A}^{\boldsymbol{n}}
On considère dans cette partie un entier naturel n.

1. Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N} :

\mathrm{A}^{n}=\mathrm{PD}^{n} \mathrm{P}^{-1}.

2. Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N} :

\mathrm{D}^{n}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}^{n} & 0 \\ 0 & (-\mathrm{i})^{n}\end{array}\right).

3. a. On suppose dans cette question seulement que n \equiv 0[4].
Montrer alors que \mathrm{D}^{n}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right).

b. Déterminer de la même manière une expression de \mathrm{D}^{n} lorsque n \equiv 1[4], n \equiv 2[4] et n \equiv 3[4].

c. Déterminer alors une expression de \mathrm{A}^{n} dans chacun de ces quatre cas.

4. Déterminer la matrice \mathrm{A}^{2019}.

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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 7. Suites et matrices

On considère deux suites de nombres complexes (z_n) et (z^{\prime}_n) définies par z_0=1 , z^{\prime}_0=\mathrm{i} et, pour tout entier n \in \mathbb{N} :

\left\{\begin{aligned}z_{n+1}&=(9-4 \mathrm{i}) z_{n}+(-3+2 \mathrm{i}) z_{n}^{\prime} \\ z_{n+1}^{\prime}&=(18-12 \mathrm{i}) z_{n}+(-6+6 \mathrm{i}) z_{n}^{\prime}\end{aligned}\right..

1. Calculer z_1 et z^{\prime}_1.

2. Justifier que ce système s'écrit sous la forme matricielle \mathrm{Z}_{n+1}=\mathrm{A} \times \mathrm{Z}_{n}, où \mathrm{Z}_{n+1}, \mathrm{Z}_{n} et \text{A} sont trois matrices dont on explicitera les coefficients.

3. Montrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N} :

\mathrm{Z}_{n}=\mathrm{A}^{n} \times \mathrm{Z}_{0}.

4. On cherche dans cette partie à déterminer les coefficients de la matrice \mathrm{A}^{n}.
a. Soit la matrice \mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right).
Justifier que \text{P} est inversible puis déterminer \mathrm{P}^{-1}.

b. Montrer que \mathrm{A}=\mathrm{PDP}^{-1} où \mathrm{D}=\left(\begin{array}{cc}2 \mathrm{i} & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right).

c. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{A}^{n}=\mathrm{PD}^{n} \mathrm{P}^{-1}.

d. Déterminer, pour tout n \in \mathbb{N}, les coefficients de la matrice \mathrm{D}^{n} puis en déduire ceux de la matrice \mathrm{A}^{n}.

e. Exprimer, pour tout n \in \mathbb{N}, z_n et z^{\prime}_n en fonction de n.

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Chapitres • 3. Divisibilité dans \boldsymbol{\mathbb{Z}} • 6. Calcul matriciel

On considère un graphe à dix sommets correspondant aux entiers de 1 à 10.
Pour deux sommets a et b, il existe une arête allant de a vers b si a divise b.

1. Ce graphe peut‑il être complet ? Justifier.

2. Représenter ce graphe.

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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 3. Divisibilité dans \boldsymbol{\mathbb{Z}}

On cherche dans cet exercice à résoudre dans \mathbb{C} l'équation (\mathrm{E}): 4 z^{3}-8 z^{2}-27 z-20=0.

Partie A : Recherche d'une solution « évidente »
On cherche dans cette partie à déterminer une solution rationnelle de l'équation.

1. Montrer que 0 n'est pas une solution de l'équation.

2. Justifier que s'il existe deux entiers relatifs non nuls p et q premiers entre eux tels que z=\frac{p}{q} soit une solution de l'équation, alors p\,|\,20 et q\,|\,4.

3. En déduire les valeurs possibles d'une solution rationnelle de l'équation (\mathrm{E}).

4. Déterminer une solution de l'équation (\mathrm{E}).

Partie B : Résolution de l'équation

1. À l'aide de la solution déterminée à la question 4. de la partie A, déterminer une factorisation de

4 z^{3}-8 z^{2}-27 z-20=0.

2. Déterminer alors l'ensemble des solutions de l'équation (\mathrm{E}).

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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 6. Calcul matriciel

Soient a et b deux nombres réels. Tout nombre complexe z = a + \mathrm{i}b peut s'écrire de manière unique sous la forme matricielle suivante : \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}a & -b \\ b & a\end{array}\right).

1. Soient c et d deux nombres réels et z^\prime le nombre complexe défini par z^{\prime} = c + \mathrm{i}d.
Écrire la matrice correspondant au nombre complexe z^\prime puis vérifier que l'addition et la mutiplication matricielles sont naturellement compatibles avec celles définies sur \mathbb{C}.

2. Écrire la matrice \text{B} correspondant au nombre complexe \overline{z^{\prime}}.

3. Calculer le produit \text{AB}. Quel résultat retrouve‑t‑on ?

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Chapitres • 2. Nombres complexes : point de vue géométrique • 6. Calcul matriciel

On considère la définition des nombres complexes écrits sous forme matricielle décrite dans l'exercice précédent.

1. Soit \theta \in \mathbb{R}. Écrire la matrice associée au nombre complexe \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}.

2. La matrice obtenue correspond à celle d'une transformation géométrique du plan muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i}\,,\overrightarrow{j}). Laquelle ?

3. Conjecturer alors, pour tout entier relatif n, une expression de la matrice associée au nombre (\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta})^{n}.
Démontrer cette conjecture.

4. Retrouver alors la formule de Moivre.

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Chapitres • 2. Nombres complexes : point de vue géométrique • 3. Divisibilité dans \boldsymbol{\mathbb{Z}}

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}) et on définit, pour tout k \in \mathbb{N}, le point \mathrm{M}_k d'affixe z_{k}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{k \pi}{3}}}?

1. Calculer l'affixe de \mathrm{M}_0 et de \mathrm{M}_6.

2. Pour tout entier k \in\{0\,; \ldots ; 5\}, placer \mathrm{M}_k dans le plan.

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3. Compléter la congruence 2\,020 \equiv \ldots[6].

4. En déduire, sous forme algébrique, l'affixe de \mathrm{M}_{2\,020}.

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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 6. Calcul matriciel

Soient a et b deux nombres réels et on note z et z^\prime deux nombres complexes vérifiant :

\left\{\begin{aligned}z&=2 a-b+2+\mathrm{i}(a+3 b-1) \\ z^{\prime}&=-a+b+20+\mathrm{i}(2 a+7 b+7)\end{aligned}\right..

On cherche à déterminer à quelle(s) condition(s) les nombres z et z^\prime sont égaux.

1. Justifier que z et z^\prime sont égaux si, et seulement si, a et b sont solutions du système \left\{\begin{aligned}3 a-2 b&=18 \\ -a-4 b&=8\end{aligned}\right..

2. Écrire ce système sous la forme \mathrm{AX}=\mathrm{B}, où \mathrm{A}, \mathrm{X} et \mathrm{B} sont trois matrices qu'on déterminera.

3. Résoudre ce système et répondre au problème posé en explicitant z et z^\prime.

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Chapitres • 1. Divisibilité dans \boldsymbol{\mathbb{Z}} • 6. Calcul matriciel

Inverse d'une matrice modulo 5.

Soient \text{A} et \text{B} deux matrices dont les coefficients sont donnés modulo 5.
On donne \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}4 & 1 \\ -4 & 1\end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 4 & 4\end{array}\right).

1. Montrer que \mathrm{A} \times \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll}8 & 0 \\ 0 & 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right).

2. Déterminer un inverse de 3 modulo 5.

3. En déduire que \text{A} est inversible et que \mathrm{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 3 & 3\end{array}\right).

Remarque

On trouvera une généralisation de ce résultat dans l'exercice suivant.

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Chapitres • 4. \mathbf{PGCD} et applications • 6. Calcul matriciel

Inverse d'une matrice modulo \boldsymbol{n}

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et soient a, b, c et d quatre entiers donnés modulo n.
Soient \text{A} la matrice \left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) et\text{ B} la matrice \left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right).
On note \operatorname{det}(\mathrm{A}) la quantité \operatorname{det}(\mathrm{A})=a d-b c.

1. Montrer que \mathrm{A} \times \mathrm{B}=\operatorname{det}(\mathrm{A}) \times\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right).

2. En déduire que si \operatorname{det}(\mathrm{A}) est inversible modulo n d'inverse \operatorname{det}(\mathrm{A})^{-1}, alors \text{A} est inversible.
Déterminer une écriture de \mathrm{A}^{-1}.

3. On suppose maintenant que \operatorname{det}(\mathrm{A}) n'est pas inversible modulo n. Montrer, en utilisant un raisonnement par l'absurde, que \text{A} ne peut pas être inversible.
On pourra admettre le résultat suivant : « Pour toutes matrices \text{A} et \text{B}, \operatorname{det}(\mathrm{AB})=\operatorname{det}(\mathrm{A}) \operatorname{det}(\mathrm{B}). »

4. À quelle condition sur le couple (\operatorname{det}(\mathrm{A})\,; n) la matrice \text{A} est‑elle inversible ?

5. Déterminer un inverse modulo 8 de la matrice \left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right).

6. Expliquer pourquoi la matrice \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 4\end{array}\right) n'est pas inversible modulo 8.

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Chapitres • 3. Divisibilité dans \boldsymbol{\mathbb{Z}} • 4. \mathbf{PGCD} et applications • 6. Calcul matriciel

D'après bac S, Métropole, juin 2019

Dans cet exercice, on étudie l'ensemble \text{S} des matrices qui s'écrivent sous la forme \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) où a, b, c et d appartiennent à l'ensemble \mathbb{Z} et vérifient : ad - bc = 1.
On note \text{I} la matrice identité d'ordre 2 : \mathrm{I}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right).

Partie A

1. Vérifier que la matrice \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}6 & 5 \\ -5 & -4\end{array}\right) appartient à l'ensemble \text{S}.

2. Montrer qu'il existe exactement quatre matrices de la forme \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & 2 \\ 3 & d\end{array}\right) appartenant à l'ensemble \text{S} puis les expliciter.

3. a. Résoudre dans \mathbb{Z} l'équation (\mathrm{E}): 5 x-2 y=1.
On pourra remarquer que le couple (1\,; 2) est une solution particulière de cette équation.

b. En déduire qu'il existe une infinité de matrices de la forme \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 2 & 5\end{array}\right) qui appartiennent à l'ensemble \text{S}.
Décrire ces matrices.

Partie B
Dans cette partie, on note \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) une matrice appartenant à l'ensemble \text{S}. On rappelle que a, b, c et d sont des entiers relatifs tels que ad - bc = 1.

1. Justifier que les entiers a et b sont premiers entre eux.

2. Soit \text{B} la matrice \left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right).
a. Calculer le produit \text{AB}. On admet que \mathrm{AB}=\mathrm{BA}.

b. En déduire que la matrice \text{A} est inversible et donner sa matrice inverse \mathrm{A}^{-1}.

c. Montrer que \mathrm{A}^{-1} appartient à l'ensemble \text{S}.

3. Soient x et y deux entiers relatifs. On note x^\prime et y^\prime les entiers relatifs tels que \left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right)=\mathrm{A}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right).
a. Montrer que x=d x^{\prime}-b y^{\prime}.

On admet de même que y=a y^{\prime}-c x^{\prime}.

b. On note \text{D} le \text{PGCD} de x et y et on note \mathrm{D}^{\prime} le \text{PGCD} de x^{\prime} et y^{\prime}. Montrer que \mathrm{D}=\mathrm{D}^{\prime}.

4. On considère les suites d'entiers naturels (x_n) et (y_n) définies par x_{0}=2 019, y_{0}=673 et, pour tout entier naturel n, \left\{\begin{aligned}x_{n+1}&=2 x_{n}+3 y_{n} \\ y_{n+1}&=x_{n}+2 y_{n}\end{aligned}\right..
En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel n, le \text{PGCD} des entiers x_n et y_n.

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Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 3. Divisibilité dans \boldsymbol{\mathbb{Z}}

Étude des sommes de deux carrés par les entiers de Gauss

Partie A : Définition des entiers de Gauss
Soient a et b deux nombres entiers relatifs.
On appelle entier de Gauss tout nombre complexe z s'écrivant sous la forme z = a + \mathrm{i}b.
On note \mathbb{Z}[\mathrm{i}] l'ensemble des entiers de Gauss.

1. Le nombre \frac{100}{3+4 \mathrm{i}} est‑il un entier de Gauss ?

2. Justifier que si z \in \mathbb{Z}[\mathrm{i}], alors \overline{z} \in \mathbb{Z}[\mathrm{i}].

3. Montrer que la somme de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss.

4. Montrer que le produit de deux entiers de Gauss est un entier de Gauss.