Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Exercices 1 à 18

Exercices transversaux

Informations

Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres.
Cette banque d'exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l'ordre que vous le souhaitez en fonction de ce que vous voulez travailler.
Chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver.
Ces exercices sont, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.
1
Chapitres • 2. Nombres complexes : point de vue géométrique • 6. Calcul matriciel


Soient un entier naturel supérieur ou égal à et le nombre complexe .

1. Justifier que, pour tout entier compris entre et on a .

2. Soit la matrice carrée d'ordre définie par :
.
La matrice est obtenue en conjuguant chacun des coefficients de la matrice .
Soit dont on note les coefficients.
a. Montrer que, pour tous entiers et compris entre et , le coefficient vérifie .
On pourra remarquer que le coefficient vaut .
Aide

b. En déduire que .

3. En déduire que la matrice est inversible et déterminer .
2
Chapitres • 3. Divisibilité dans • 6. Calcul matriciel


Soient et deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels.
On note et .

1. a. Montrer que .

b. Montrer que si est inversible, alors et .

2. On suppose maintenant que est une matrice à coefficients entiers.
a. Justifier que est un nombre entier.

b. On souhaite que soit inversible et que ait des coefficients entiers.
Montrer à l'aide de la question 1. a. que si ces deux conditions sont vérifiées, alors .

c. Montrer à l'aide de la question 1. b. que la réciproque est également vraie, c'est‑à‑dire que si est une matrice à coefficients entiers vérifiant , alors la matrice est inversible et est à coefficients entiers.

Remarque
Ce résultat reste vrai pour une matrice carrée d'ordre supérieur à 2.
4
Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 3. Divisibilité dans • 6. Calcul matriciel


Soient la matrice et la matrice .

Partie A : Diagonalisation de la matrice
1. Soit la matrice à coefficients complexes .
Calculer et en déduire l'expression de .

2. Montrer que .

Partie B : Détermination de
On considère dans cette partie un entier naturel .

1. Montrer par récurrence que pour tout  :
.

2. Montrer par récurrence que pour tout  :
.

3. a. On suppose dans cette question seulement que .
Montrer alors que .

b. Déterminer de la même manière une expression de lorsque , et .

c. Déterminer alors une expression de dans chacun de ces quatre cas.

4. Déterminer la matrice .
3
Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 6. Calcul matriciel


Soit une matrice carrée d'ordre 2 dont les coefficients sont des nombres complexes.
La matrice est obtenue en conjuguant chacun des coefficients de la matrice .
Montrer que .
5
Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 7. Suites et matrices


On considère deux suites de nombres complexes et définies par , et, pour tout entier  :
.

1. Calculer et .

2. Justifier que ce système s'écrit sous la forme matricielle , où , et sont trois matrices dont on explicitera les coefficients.

3. Montrer par récurrence que pour tout  :
.

4. On cherche dans cette partie à déterminer les coefficients de la matrice .
a. Soit la matrice .
Justifier que est inversible puis déterminer .

b. Montrer que .

c. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que, pour tout , .

d. Déterminer, pour tout , les coefficients de la matrice puis en déduire ceux de la matrice .

e. Exprimer, pour tout , et en fonction de .
6
Chapitres • 3. Divisibilité dans • 6. Calcul matriciel


On considère un graphe à dix sommets correspondant aux entiers de à .
Pour deux sommets et , il existe une arête allant de vers si divise .

1. Ce graphe peut‑il être complet ? Justifier.

2. Représenter ce graphe.

Dessinez ici
7
Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 3. Divisibilité dans


On cherche dans cet exercice à résoudre dans l'équation .

Partie A : Recherche d'une solution « évidente »
On cherche dans cette partie à déterminer une solution rationnelle de l'équation.

1. Montrer que n'est pas une solution de l'équation.

2. Justifier que s'il existe deux entiers relatifs non nuls et premiers entre eux tels que soit une solution de l'équation, alors et .

3. En déduire les valeurs possibles d'une solution rationnelle de l'équation .

4. Déterminer une solution de l'équation .

Partie B : Résolution de l'équation

1. À l'aide de la solution déterminée à la question 4. de la partie A, déterminer une factorisation de
.

2. Déterminer alors l'ensemble des solutions de l'équation .
8
Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 6. Calcul matriciel


Soient et deux nombres réels. Tout nombre complexe peut s'écrire de manière unique sous la forme matricielle suivante : .

1. Soient et deux nombres réels et le nombre complexe défini par .
Écrire la matrice correspondant au nombre complexe puis vérifier que l'addition et la mutiplication matricielles sont naturellement compatibles avec celles définies sur .

2. Écrire la matrice correspondant au nombre complexe .

3. Calculer le produit . Quel résultat retrouve‑t‑on ?
9
Chapitres • 2. Nombres complexes : point de vue géométrique • 6. Calcul matriciel


On considère la définition des nombres complexes écrits sous forme matricielle décrite dans l'exercice précédent.

1. Soit . Écrire la matrice associée au nombre complexe .

2. La matrice obtenue correspond à celle d'une transformation géométrique du plan muni d'un repère orthonormé direct . Laquelle ?

3. Conjecturer alors, pour tout entier relatif , une expression de la matrice associée au nombre .
Démontrer cette conjecture.

4. Retrouver alors la formule de Moivre.
10
Chapitres • 2. Nombres complexes : point de vue géométrique • 3. Divisibilité dans


On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé et on définit, pour tout , le point d'affixe ?

1. Calculer l'affixe de et de .

2. Pour tout entier , placer dans le plan.

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3. Compléter la congruence .

4. En déduire, sous forme algébrique, l'affixe de .
11
Chapitres • 1. Nombres complexes : point de vue algébrique • 6. Calcul matriciel


Soient et deux nombres réels et on note et deux nombres complexes vérifiant :
.
On cherche à déterminer à quelle(s) condition(s) les nombres et sont égaux.

1. Justifier que et sont égaux si, et seulement si, et sont solutions du système .

2. Écrire ce système sous la forme , où , et sont trois matrices qu'on déterminera.

3. Résoudre ce système et répondre au problème posé en explicitant et .
13
Chapitres • 4.  et applications • 6. Calcul matriciel


Inverse d'une matrice modulo

Soit un entier naturel supérieur ou égal à et soient , , et quatre entiers donnés modulo .
Soient la matrice et la matrice .
On note la quantité .

1. Montrer que .

2. En déduire que si est inversible modulo d'inverse , alors est inversible.
Déterminer une écriture de .

3. On suppose maintenant que n'est pas inversible modulo . Montrer, en utilisant un raisonnement par l'absurde, que ne peut pas être inversible.
On pourra admettre le résultat suivant : « Pour toutes matrices et , . »

4. À quelle condition sur le couple la matrice est‑elle inversible ?

5. Déterminer un inverse modulo de la matrice .

6. Expliquer pourquoi la matrice n'est pas inversible modulo .
12
Chapitres • 1. Divisibilité dans • 6. Calcul matriciel


Inverse d'une matrice modulo 5.

Soient et deux matrices dont les coefficients sont donnés modulo .
On donne et .

1. Montrer que .

2. Déterminer un inverse de modulo .

3. En déduire que est inversible et que .

Remarque
On trouvera une généralisation de ce résultat dans l'exercice suivant.
14
Chapitres • 3. Divisibilité dans • 4.  et applications • 6. Calcul matriciel


D'après bac S, Métropole, juin 2019

Dans cet exercice, on étudie l'ensemble des matrices qui s'écrivent sous la forme , , et appartiennent à l'ensemble et vérifient : .
On note la matrice identité d'ordre  : .

Partie A
1. Vérifier que la matrice appartient à l'ensemble .