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Chapitres • 3. Divisibilité dans \boldsymbol{\mathbb{Z}} • 4. \mathbf{PGCD} et applications • 6. Calcul matriciel
D'après bac S, Métropole, juin 2019
Dans cet exercice, on étudie l'ensemble
\text{S} des matrices qui s'écrivent sous la forme
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) où
a,
b,
c et
d appartiennent à l'ensemble
\mathbb{Z} et vérifient :
ad - bc = 1.
On note
\text{I} la matrice identité d'ordre
2 :
\mathrm{I}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right).
Partie A
1. Vérifier que la matrice \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}6 & 5 \\ -5 & -4\end{array}\right) appartient à l'ensemble \text{S}.
2. Montrer qu'il existe exactement quatre matrices de la forme \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & 2 \\ 3 & d\end{array}\right) appartenant à l'ensemble \text{S} puis les expliciter.
3. a. Résoudre dans \mathbb{Z} l'équation (\mathrm{E}): 5 x-2 y=1.
On pourra remarquer que le couple (1\,; 2) est une solution particulière de cette équation.
b. En déduire qu'il existe une infinité de matrices de la forme \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 2 & 5\end{array}\right) qui appartiennent à l'ensemble \text{S}.
Décrire ces matrices.
Partie B
Dans cette partie, on note
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) une matrice appartenant à l'ensemble
\text{S}. On rappelle que
a,
b,
c et
d sont des entiers relatifs tels que
ad - bc = 1.
1. Justifier que les entiers a et b sont premiers entre eux.
2. Soit
\text{B} la matrice
\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right).
a. Calculer le produit \text{AB}. On admet que \mathrm{AB}=\mathrm{BA}.
b. En déduire que la matrice \text{A} est inversible et donner sa matrice inverse \mathrm{A}^{-1}.
c. Montrer que \mathrm{A}^{-1} appartient à l'ensemble \text{S}.
3. Soient
x et
y deux entiers relatifs. On note
x^\prime et
y^\prime les entiers relatifs tels que
\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right)=\mathrm{A}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right).
a. Montrer que x=d x^{\prime}-b y^{\prime}.
On admet de même que
y=a y^{\prime}-c x^{\prime}.
b. On note \text{D} le \text{PGCD} de x et y et on note \mathrm{D}^{\prime} le \text{PGCD} de x^{\prime} et y^{\prime}. Montrer que \mathrm{D}=\mathrm{D}^{\prime}.
4. On considère les suites d'entiers naturels (x_n) et (y_n) définies par x_{0}=2 019, y_{0}=673 et, pour tout entier naturel n, \left\{\begin{aligned}x_{n+1}&=2 x_{n}+3 y_{n} \\ y_{n+1}&=x_{n}+2 y_{n}\end{aligned}\right..
En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel n, le \text{PGCD} des entiers x_n et y_n.