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Problème de concours

Adapté de ENSTIM, 2010, toutes filières

Le but de ce problème est d'étudier différentes matrices qui commutent avec leur transposée, c'est‑à‑dire qui vérifient la relation : $\mathrm{M}\times {}^t\mathrm{M}={}^t\mathrm{M}\times \mathrm{M}(1)$.
Dans la suite de l'énoncé, on se contentera alors de dire, dans ce cas, que la matrice $\text{M}$ vérifie la relation $(1)$.
Toutes les matrices envisagées seront dans l'espace ${\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})$, c'est‑à‑dire ayant 2 lignes, 2 colonnes et des coefficients réels.
On notera en particulier : $\mathrm{I}=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ et $\mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$. 1. Montrer que les matrices $\text{A}$ et $\text{C}$ vérifient la relation $(1)$.

2.Calculer ${\mathrm{A}}^2$. En déduire que, pour tout entier naturel non nul $n$, ${\mathrm{A}}^n$ vérifie la relation $(1)$.

3. Montrer que $\text{A}$ est inversible.

Dans toute la suite on notera $\mathrm{U}=\mathrm{A}+\mathrm{I}$.

4. a. Montrer que la matrice $\text{U}$ vérifie la relation $(1)$.

b. Montrer que, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, il existe un nombre réel noté ${\alpha }_n$ tel que ${\mathrm{U}}^n={\alpha }_n\mathrm{U}$.

c. En déduire que, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ${\mathrm{U}}^n$ vérifie $(1)$.

On notera dans la suite ${\mathrm{E}}_2$ l'ensemble des matrices de ${\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})$ qui vérifient la relation $(1)$.

5. a. Calculer les produits de la matrice $\mathrm{A}+\mathrm{C}$ et de sa transposée.

b. En déduire que la somme de deux matrices de ${\mathrm{E}}_2$ n'est pas nécessairement une matrice de ${\mathrm{E}}_2$.

6. Etant donné une matrice $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ quelconque de ${\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})$, déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur $a$, $b$, $c$ et $d$, pour que $\text{M}$ appartienne à ${\mathrm{E}}_2$. On donnera les deux formes possibles des matrices de ${\mathrm{E}}_2$.

Adapté de ENSTIM, 2006, toutes filières

Soit $(x;y)$ un élément quelconque de ${\mathbb{R}}^2$. On note ${\mathrm{M}}_{x,y}$ la matrice $\left(\begin{array}{cc}x-y& y\\ 2& x+y\end{array}\right)$. Soit $\Sigma$ le sous‑ensemble de ${\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})$ tel que $\Sigma =\left\{{\mathrm{M}}_{x,y},(x;y)\in {\mathbb{R}}^2\right\}.$ 1. Quelle relation doivent vérifier $x$ et $y$ pour que la matrice ${\mathrm{M}}_{x,y}$ ne soit pas inversible ?
Calculer le produit ${\mathrm{M}}_{x,y}\times {\mathrm{M}}_{-x,y}$.
En déduire l'inverse de ${\mathrm{M}}_{x,y}$ lorsqu'il existe.

2. On dit qu'un sous‑ensemble $\text{F}$ de ${\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})$ est stable par combinaison linéaire lorsque, pour tous $\text{A}$, $\text{B}$ dans $\text{F}$ et tous réels $\lambda$, $\mu$, $\lambda \mathrm{A}+\mu \mathrm{B}\in \mathrm{F}$.
L'ensemble $\Sigma$ est‑il stable par combinaison linéaire ?

3. Soient $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -2& 0\end{array}\right)$ et $\mathrm{J}=\left\{\mathrm{A}+{\mathrm{M}}_{x,y},(x;y)\in {\mathbb{R}}^2\right\}$.
a. Montrer que $\text{J}$ est stable par combinaison linéaire.

b. Posons ${\mathrm{M}}_1=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ et ${\mathrm{M}}_2=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Montrer que ${\mathrm{M}}_1$ et ${\mathrm{M}}_2$ appartiennent à $\text{J}$.

c. Soit $\mathrm{M}\in \mathrm{J}$. Montrer qu'il existe un unique couple $(\alpha ;\beta )\in {\mathbb{R}}^2$ tel que $\mathrm{M}=\alpha {\mathrm{M}}_1+\beta {\mathrm{M}}_2$.

d. Montrer que $\times$ est une loi de composition interne sur $\text{J}$.

Soit $\text{B}$ une matrice quelconque de ${\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})$.
Soit ${\phi }_{\mathrm{B}}$ l'application de ${\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})$ dans ${\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})$ qui, à la matrice $\text{X}$, associe la matrice ${\phi }_{\mathrm{В}}(\mathrm{X})=\mathrm{В}\times \mathrm{X}$.

4. On dit que ${\phi }_{\mathrm{B}}$ est surjective (respectivement bijective) si, pour tout $\text{Y}$ de ${\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})$, il existe (respectivement un unique) $\text{X}$ de ${\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})$ tel que $\mathrm{Y}={\phi }_{\mathrm{B}}(\mathrm{X})$.

a. On suppose dans cette question que $\mathrm{B}={\mathrm{M}}_{2,1}=\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$.
${\phi }_{\mathrm{B}}$ est‑elle surjective ? Bijective ?

b. On suppose dans cette question que $\mathrm{B}={\mathrm{M}}_{0,-2}=\left(\begin{array}{ll}2& -2\\ 2& -2\end{array}\right)$.
${\phi }_{\mathrm{B}}$ est‑elle surjective ? Bijective ?