3

Endomorphismes de ${\mathbb{R}}^2$

1. On définit dans ${\mathbb{R}}^2$ une addition et une multiplication externe par un réel qui correspond à celle définie sur les vecteurs : pour tous réels $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$, on a $(x;y)+\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)=\left(x+x^{\prime };y+y^{\prime }\right)$ et, pour tout réel $\lambda$, on a $\lambda \cdot (x;y)=(\lambda x;\lambda y)$.

2. On dit qu'une fonction $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^2$ lorsque, pour tous vecteurs $\text{X}$ et $\text{Y}$ de ${\mathbb{R}}^2$ et pour tout réel $\lambda$, $f(\mathrm{X}+\lambda \mathrm{Y})=f(\mathrm{X})+\lambda f(\mathrm{Y})$.
En désignant par $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ les réels tels que $\mathrm{X}=(x;y)$ et $\mathrm{Y}=\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$, l'égalité précédente devient $f\left((x;y)+\lambda \left(x^{\prime };y^{\prime }\right)\right)=f(x;y)+\lambda f\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$.

3. Soit $\mathcal{B}=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$. $f$ étant à valeurs dans ${\mathbb{R}}^2$, on note $a$, $b$, $c$ et $d$ les uniques nombres réels tels que $f(\overrightarrow{u})=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ et $f(\overrightarrow{v})=c\overrightarrow{u}+d\overrightarrow{v}$. La matrice de $f$ dans $\mathcal{B}$, que l'on note ${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(f)$, est la matrice $\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)$.

1. Soit $f:(x;y)\in {\mathbb{R}}^2\mapsto (2x-5y;x+3y)\in {\mathbb{R}}^2$.

• $f$ est une fonction de ${\mathbb{R}}^2$ dans ${\mathbb{R}}^2$.
• Soient $x$, $x^{\prime }$, $y$ et $y^{\prime }$ quatre réels. Soit $\lambda$ un réel.
  On a $f\left((x;y)+\lambda \left(x^{\prime };y^{\prime }\right)\right)$ $=f\left(x+\lambda x^{\prime };y+\lambda y^{\prime }\right)$
  $=\left(2\left(x+\lambda x^{\prime }\right)-5\left(y+\lambda y^{\prime }\right);x+\lambda x^{\prime }+3\left(y+\lambda y^{\prime }\right)\right)$
  $=\left(2x-5y+\lambda \left(2x^{\prime }-5y^{\prime }\right);x+3y+\lambda \left(x^{\prime }+3y^{\prime }\right)\right)$
  $=(2x-5y;x+3y)+\lambda \left(2x^{\prime }-5y^{\prime };x^{\prime }+3y^{\prime }\right)$
  $=f(x;y)+\lambda f\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ Donc $f$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^2$.
• On a $f(\overrightarrow{i})=f(1;0)=(2\times 1-5\times 0;1+3\times 0)=(2;1)=2\overrightarrow{i}+1\overrightarrow{j}$ et $f(\overrightarrow{j})=f(0;1)=(-5;3)=-5\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$ donc ${\mathrm{Mat}}_{\mathrm{C}}(f)=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ 1& 3\end{array}\right)$.

2. La fonction $g:(x;y)\mapsto (2x-3y;4x-y;2y)$ n'est pas un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^2$ car elle est à valeurs dans ${\mathbb{R}}^3$.