1. On dit que qu'un couple \mathcal{B}=(\overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) est une base de \mathbb{R}^2 si, pour tout vecteur \overrightarrow{a} de \mathbb{R}^2, il existe deux nombres réels x et y tels que \overrightarrow{a}=x \overrightarrow{u}+y \overrightarrow{v}.
Ce couple (x\,; y) est unique et est appelé coordonnées de \boldsymbol{\overrightarrow{a}} dans la base \boldsymbol{(\overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v})}.

2. Le couple (\overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}) est appelé base canonique de \mathbb{R}^2. On la note généralement \mathcal{C}.

3. Soient \mathcal{B}=(\overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) et \mathcal{B}^{\prime}=(\overrightarrow{u^{\prime}}\,, \overrightarrow{v^{\prime}}) deux bases de \mathbb{R}^2. On suppose que \overrightarrow{u^{\prime}}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v} et \overrightarrow{v^{\prime}}=c \overrightarrow{u}+d \overrightarrow{v}.
On appelle matrice de passage de la base \mathcal{B} à la base \mathcal{B}^{\prime}, et on note \mathrm{P}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}^{\prime}}la matrice \mathrm{P}_{B}^{\mathcal{B}^{\prime}}=\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right).

On considère deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} de \mathbb{R}^2.
Montrer que ces deux vecteurs forment une base de \mathbb{R}^2 si, et seulement si, ces vecteurs sont non colinéaires.

On considère les vecteurs \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right) et \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}4 \\ 5\end{array}\right). 1. Montrer que ces deux vecteurs forment une base de \mathbb{R}^2.

2. Exprimer les vecteurs de la base canonique en fonction de ces vecteurs.

3. On note \text{A} l'ensemble des points (x\,, y) du plan tels que {17 x^{2}-26 x y+10 y^{2}=1.}
Si (\mathrm{X}\,, \mathrm{Y}) représente les coordonnées dans la base (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}), montrer que l'ensemble \text{A} se réécrit {2 \mathrm{X}^{2}+2 \mathrm{Y}^{2}=1} dans cette base.

On considère les vecteurs \overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j} et \overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}. 1. a. Exprimer les vecteurs \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} et \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} en fonction de \overrightarrow{i} et de \overrightarrow{j}.

b. Soit \overrightarrow{a}=a_{1} \overrightarrow{i}+a_{2} \overrightarrow{j} un vecteur quelconque de \mathbb{R}^2.
Exprimer a en fonction de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
Que peut‑on en déduire sur le couple (\overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) ?

2. On note \mathcal{B} la base formée des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
a. Déterminer la matrice de passage \mathrm{P}_1 de \mathcal{C} à la base \mathcal{B}, puis la matrice de passage \mathrm{P}_2 de la base \mathcal{B} à la base \mathcal{C}.

b. Calculer les matrices \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 et \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1. Que constate‑t‑on ?

On considère trois bases \mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2} et \mathcal{B}_{3} de \mathbb{R}^{2}. 1. Montrer que \mathrm{P}_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}_{2}} \times \mathrm{P}_{\mathcal{B}_{2}}^{\mathcal{B}_{3}}=\mathrm{P}_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}_{3}}.

2. Justifier que la matrice de passage de \mathcal{B}_{1} à \mathcal{B}_{2} est une matrice inversible et déterminer son inverse.

3. Soit maintenant \mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) une matrice inversible.
En déduire, en utilisant la base canonique, l'expression de deux vecteurs formant une base de \mathbb{R}^{2} (différente de la base canonique).

On considère la matrice \mathrm{M}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right). Soit également une base \mathcal{B}=(\overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) telle que \mathrm{M} soit la matrice de passage de la base \mathcal{C} à la base \mathcal{B}. 1. Exprimer les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} en fonction des vecteurs \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j} de la base canonique.

2. Soient \alpha et \beta deux nombres réels fixés.
a. Résoudre dans \mathbb{R}^2 le système suivant : \left\{\begin{array}{l}2 x-y=\alpha \\ x+2 y=\beta\end{array}\right..

b. Que peut‑on en déduire concernant la matrice \text{M} ?

3. Déterminer la matrice de passage de la base \mathcal{B} à la base \mathcal{C} et en déduire l'expression de \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j} en fonction de \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.