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Vers le supérieur - Graphes et matrices

P.234-237

Vers le supérieur

1
Déterminant d’une matrice carrée

Soit

n

un entier naturel non nul et

A = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a_{1, 1} a_{2, 1} a_{3, 1} \dots a_{n, 1} a_{1, 2} a_{2, 2} a_{3, 2} \dots a_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots a_{1, n} a_{2, n} a_{3, n} \dots a_{n, n} ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

une matrice carrée d’ordre

n

Propriétés

1. Le déterminant de

A

, noté

d e t (A)

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a_{1, 1} a_{2, 1} a_{3, 1} \dots a_{n, 1} a_{1, 2} a_{2, 2} a_{3, 2} \dots a_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots a_{1, n} a_{2, n} a_{3, n} \dots a_{n, n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

, vaut :

a_{1, 1} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a_{2, 2} a_{3, 2} a_{4, 2} \dots a_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots a_{2, n} a_{3, n} a_{4, n} \dots a_{n, n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - a_{2, 1} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a_{1, 2} a_{3, 2} a_{4, 2} \dots a_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots a_{1, n} a_{3, n} a_{4, n} \dots a_{n, n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + a_{3, 1} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a_{1, 2} a_{2, 2} a_{4, 2} \dots a_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots a_{1, n} a_{2, n} a_{4, n} \dots a_{n, n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + \dots + (- 1)^{n + 1} a_{n, 1} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a_{1, 2} a_{2, 2} a_{3, 2} \dots a_{n - 1, 2} \dots \dots \dots \dots \dots a_{1, n} a_{2, n} a_{3, n} \dots a_{n - 1, n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

Cela permet de caculer, par récurrence, le déterminant d’une matrice carrée d’ordre

n

quelconque.

2. On rappelle que si

A = (a c b d)

, alors

d e t (A) = a d - b c

.

3.

A

est inversible si, et seulement si,

d e t (A) \neq = 0

Remarque

Lorsque

A

est inversible, une méthode de détermination de la matrice

A^{- 1}

est explicitée dans le TP 2 p. 189 (algorithme du pivot de Gauss).

Exemple

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 230111021 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1121 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1101 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1102 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 (1 \times 1 - 2 \times 1) - 3 (1 \times 1 - 0 \times 1) + 0 = - 2 - 3 = - 5

Déterminer, en utilisant le déterminant, si chacune des matrices suivantes est inversible.

1.

A = ⎝ ⎛ 213101 1 - 1 2 ⎠ ⎞

B = ⎝ ⎛ 312 1 - 1 4 - 2 - 2 2 ⎠ ⎞

C = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 50 - 1 0 280112212111 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

D = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 50000 0 - 1 000 00200 000 - 3 0 00001 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

Voir la correction

Dans cet exercice,

n \in N^{*}

.

1. Soit

D

une matrice diagonale de taille

n

.
Montrer que

d e t (D)

est égal au produit des éléments diagonaux de

D

2. Soit

T

une matrice triangulaire supérieure (c’est‑à‑dire pour laquelle

t_{i, j} = 0

i > j

).
Montrer que

d e t (T)

est égal au produit des éléments diagonaux de

T

Voir la correction

Soit

n

un entier naturel non nul.
On admet que pour toutes matrices carrées d’ordre

n

à coefficients réels

A

B

, on a

d e t (A B) = d e t (A) d e t (B)

.

1. Montrer que

AB

est inversible si, et seulement si,

A

B

sont inversibles.

2. Exprimer alors

(A B)^{- 1}

en fonction de

A^{- 1}

B^{- 1}

3. Calculer

d e t (I_{n})

puis en déduire que si

A

est inversible, alors

d e t (A^{- 1}) = \frac{1}{d e t ( A )}

Aide
On rappelle que pour une matrice diagonale, le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux.

4. Deux matrices carrées d’ordre

n

sont semblables lorsqu’il existe une matrice inversible

P

telle que

A = P B P^{- 1}

.
Montrer que si

A

B

sont deux matrices semblables, alors elles ont le même déterminant.

Voir la correction

Vers le supérieur

2
Matrices et bases de $R^{2}$

On considère le plan muni du repère orthonormé

(O; i, j)

Définitions

1. On dit que qu’un couple

B = (u, v)

est une base de

R^{2}

si, pour tout vecteur

a

R^{2}

, il existe deux nombres réels

x

y

tels que

a = x u + y v

.
Ce couple

(x; y)

est unique et est appelé coordonnées de $a$ dans la base $(u, v)$ .

2. Le couple

(i, j)

est appelé base canonique de

R^{2}

. On la note généralement

C

.

3. Soient

B = (u, v)

B^{'} = (u^{'}, v^{'})

deux bases de

R^{2}

. On suppose que

u^{'} = a u + b v

v^{'} = c u + d v .

On appelle matrice de passage de la base

B

à la base

B^{'}

, et on note

P_{B}^{B^{'}}

la matrice

P_{B}^{B^{'}} = (a b c d)

Exemple

Le couple

(u, v)

de vecteurs défini par

u = 2 i - 3 j

v = 1 i + 4 j

forme une base de

R^{2}

notée

B

.
La matrice de passage de

C

B

est

P_{C}^{B} = (2 - 3 14)

Dans tous les exercices, la notation

C

désigne la base canonique de

R^{2}

On considère deux vecteurs

u

v

R^{2}

.
Montrer que ces deux vecteurs forment une base de

R^{2}

si, et seulement si, ces vecteurs sont non colinéaires.

Voir la correction

On considère les vecteurs

u (23)

v (45)

.

1. Montrer que ces deux vecteurs forment une base de

R^{2}

2. Exprimer les vecteurs de la base canonique en fonction de ces vecteurs.

3. On note

A

l’ensemble des points

(x, y)

du plan tels que

17 x^{2} - 26 x y + 10 y^{2} = 1

.
Si

(X, Y)

représente les coordonnées dans la base

(u, v)

, montrer que l’ensemble

A

se réécrit

2 X^{2} + 2 Y^{2} = 1

dans cette base.

Voir la correction

On considère les vecteurs

u = i + j

v = i - j

.

1. a. Exprimer les vecteurs

u + v

u - v

en fonction de

i

et de

j

b. Soit

a = a_{1} i + a_{2} j

un vecteur quelconque de

R^{2}

.
Exprimer

a

en fonction de

u

v

.
Que peut‑on en déduire sur le couple

(u, v)

2. On note

B

la base formée des vecteurs

u

v

.
a. Déterminer la matrice de passage

P_{1}

C

à la base

B

, puis la matrice de passage

P_{2}

de la base

B

à la base

C

b. Calculer les matrices

P_{1} P_{2}

P_{2} P_{1}

. Que constate‑t‑on ?

Voir la correction

On considère trois bases

B_{1}

B_{2}

B_{3}

R^{2}

.

1. Montrer que

P_{B_{1}}^{B_{2}} \times P_{B_{2}}^{B_{3}} = P_{B_{1}}^{B_{3}}

2. Justifier que la matrice de passage de

B_{1}

B_{2}

est une matrice inversible et déterminer son inverse.

3. Soit maintenant

M = (a c b d)

une matrice inversible.
En déduire, en utilisant la base canonique, l’expression de deux vecteurs formant une base de

R^{2}

(différente de la base canonique).

Voir la correction

On considère la matrice

M = (21 - 1 2)

. Soit également une base

B = (u, v)

telle que

M

soit la matrice de passage de la base

C

à la base

B

.

1. Exprimer les vecteurs

u

v

en fonction des vecteurs

i

j

de la base canonique.

2. Soient

α

β

deux nombres réels fixés.
a. Résoudre dans

R^{2}

le système suivant :

{2 x - y = α x + 2 y = β

b. Que peut‑on en déduire concernant la matrice

M

3. Déterminer la matrice de passage de la base

B

à la base

C

et en déduire l’expression de

i

j

en fonction de

u

v

Voir la correction

On considère deux bases

B

B^{'}

R^{2}

. Soit

a

un vecteur quelconque de

R^{2}

. On note

X

(respectivement

X^{'}

) la matrice colonne des coordonnées de

a

dans

B

(respectivement dans

B^{'}

).

1. Montrer que

P_{B}^{B^{'}} X^{'} = X

. En déduire

X

en fonction de

X^{'}

2. Déterminer une expression de la matrice

P_{B^{'}}^{B}

Voir la correction

Vers le supérieur

3
Endomorphismes de $R^{2}$

Définitions

1. On définit dans

R^{2}

une addition et une multiplication externe par un réel qui correspond à celle définie sur les vecteurs : pour tous réels

x

y

x^{'}

y^{'}

, on a

(x; y) + (x^{'}; y^{'}) = (x + x^{'}; y + y^{'})

et, pour tout réel

λ

, on a

λ \cdot (x; y) = (λ x; λ y)

.

2. On dit qu’une fonction

f : R^{2} \to R^{2}

est un endomorphisme de

R^{2}

lorsque, pour tous vecteurs

X

Y

R^{2}

et pour tout réel

λ

f (X + λ Y) = f (X) + λ f (Y)

.
En désignant par

x

y

x^{'}

y^{'}

les réels tels que

X = (x; y)

Y = (x^{'}; y^{'})

, l’égalité précédente devient

f ((x; y) + λ (x^{'}; y^{'})) = f (x; y) + λ f (x^{'}; y^{'})

.

3. Soit

B = (u, v)

est une base de

R^{2}

f

étant à valeurs dans

R^{2}

, on note

a

b

c

d

les uniques nombres réels tels que

f (u) = a u + b v

f (v) = c u + d v

. La matrice de

f

dans

B

, que l’on note

M a t_{B} (f)

, est la matrice

(a b c d)

Exemples

1. Soit

f : (x; y) \in R^{2} \mapsto (2 x - 5 y; x + 3 y) \in R^{2}

$f$ est une fonction de $R^{2}$ dans $R^{2}$ .
Soient $x$ , $x^{'}$ , $y$ et $y^{'}$ quatre réels. Soit $λ$ un réel.
On a $f ((x; y) + λ (x^{'}; y^{'}))$ $= f (x + λ x^{'}; y + λ y^{'})$
$= (2 (x + λ x^{'}) - 5 (y + λ y^{'}); x + λ x^{'} + 3 (y + λ y^{'}))$
$= (2 x - 5 y + λ (2 x^{'} - 5 y^{'}); x + 3 y + λ (x^{'} + 3 y^{'}))$
$= (2 x - 5 y; x + 3 y) + λ (2 x^{'} - 5 y^{'}; x^{'} + 3 y^{'})$
$= f (x; y) + λ f (x^{'}; y^{'})$ Donc $f$ est un endomorphisme de $R^{2}$ .
On a $f (i) = f (1; 0) = (2 \times 1 - 5 \times 0; 1 + 3 \times 0) = (2; 1) = 2 i + 1 j$ et $f (j) = f (0; 1) = (- 5; 3) = - 5 i + 3 j$ donc $M a t_{C} (f) = (21 - 5 3)$ .

2. La fonction

g : (x; y) \mapsto (2 x - 3 y; 4 x - y; 2 y)

n’est pas un endomorphisme de

R^{2}

car elle est à valeurs dans

R^{3}

Dans tous les exercices, on considère le plan muni d’un repère orthonormé

(O; i, j)

. La notation

C

désigne la base canonique de

R^{2}

Préciser si chacune des fonctions ci‑dessous correspond ou non à un endomorphisme de

R^{2}

.

1.

f (x; y) = (x + y; x - y)

g (x; y) = (- x + 5 y; x^{2} + y)

h (x; y) = (- 2 x + 3 y; x)

Voir la correction

1. Soit

f

un endomorphisme de

R^{2}

.
Montrer que

f (0; 0) = (0; 0)

2. On considère la fonction

g

définie sur

R^{2}

par :

g (x; y) = (x + 5; 2 x - 9 y)

La fonction

g

est‑elle un endomorphisme de

R^{2}

Voir la correction

Chacune des fonctions suivantes correspond à un endomorphisme de

R^{2}

.
Écrire la matrice de chacun de ces endomorphismes dans la base canonique.

1.

f (x; y) = (3 x - 2 y; 2 x + 5 y)

g (x; y) = (- 3 x + 2 y; 2 x + y)

h (x; y) = (5 y; 3 x)

Voir la correction

On note

Id

l’application de

R^{2}

qui, à tout vecteur

X

R^{2}

, associe lui‑même.

1. Montrer que cette application définit un endomorphisme de

R^{2}

qu’on appellera identité de

R^{2}

2. Déterminer la matrice de

Id

dans la base canonique.

3. Quelle matrice retrouve‑t‑on ?

Voir la correction

Problème de concours

Adapté de ENSTIM, 2010, toutes filières
Le but de ce problème est d’étudier différentes matrices qui commutent avec leur transposée, c’est‑à‑dire qui vérifient la relation :

M \times^{t} M =^{t} M \times M (1)

.
Dans la suite de l’énoncé, on se contentera alors de dire, dans ce cas, que la matrice

M

vérifie la relation

(1)

.
Toutes les matrices envisagées seront dans l’espace

M_{2} (R)

, c’est‑à‑dire ayant 2 lignes, 2 colonnes et des coefficients réels.
On notera en particulier :

I = (1001)

A = (0110)

C = (01 - 1 0)

.

1. Montrer que les matrices

A

C

vérifient la relation

(1)

2.Calculer

A^{2}

. En déduire que, pour tout entier naturel non nul

n

A^{n}

vérifie la relation

(1)

3. Montrer que

A

est inversible.

Dans toute la suite on notera

U = A + I

.

4. a. Montrer que la matrice

U

vérifie la relation

(1)

b. Montrer que, pour tout

n \in N^{*}

, il existe un nombre réel noté

α_{n}

tel que

U^{n} = α_{n} U

c. En déduire que, pour tout

n \in N^{*}

U^{n}

vérifie

(1)

On notera dans la suite

E_{2}

l’ensemble des matrices de

M_{2} (R)

qui vérifient la relation

(1)

.

5. a. Calculer les produits de la matrice

A + C

et de sa transposée.

b. En déduire que la somme de deux matrices de

E_{2}

n’est pas nécessairement une matrice de

E_{2}

6. Etant donné une matrice

M = (a c b d)

quelconque de

M_{2} (R)

, déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur

a

b

c

d

, pour que

M

appartienne à

E_{2}

. On donnera les deux formes possibles des matrices de

E_{2}

Voir la correction

Adapté de ENSTIM, 2006, toutes filières
Soit

(x; y)

un élément quelconque de

R^{2}

. On note

M_{x, y}

la matrice

(x - y 2 y x + y)

. Soit

Σ

le sous‑ensemble de

M_{2} (R)

tel que

Σ = {M_{x, y}, (x; y) \in R^{2}}

.

1. Quelle relation doivent vérifier

x

y

pour que la matrice

M_{x, y}

ne soit pas inversible ?
Calculer le produit

M_{x, y} \times M_{- x, y}

.
En déduire l’inverse de

M_{x, y}

lorsqu’il existe.

2. On dit qu’un sous‑ensemble

F

M_{2} (R)

est stable par combinaison linéaire lorsque, pour tous

A

B

dans

F

et tous réels

λ

μ

λ A + μ B \in F

.
L’ensemble

Σ

est‑il stable par combinaison linéaire ?

3. Soient

A = (0 - 2 00)

J = {A + M_{x, y}, (x; y) \in R^{2}}

.
a. Montrer que

J

est stable par combinaison linéaire.

b. Posons

M_{1} = (1001)

M_{2} = (- 1 0 11)

. Montrer que

M_{1}

M_{2}

appartiennent à

J

c. Soit

M \in J

. Montrer qu’il existe un unique couple

(α; β) \in R^{2}

tel que

M = α M_{1} + β M_{2}

d. Montrer que

\times

est une loi de composition interne sur

J

Soit

B

une matrice quelconque de

M_{2} (R)

.
Soit

φ_{B}

l’application de

M_{2} (R)

dans

M_{2} (R)

qui, à la matrice

X

, associe la matrice

φ_{В} (X) = В \times X

.

4. On dit que

φ_{B}

est surjective (respectivement bijective) si, pour tout

Y

M_{2} (R)

, il existe (respectivement un unique)

X

M_{2} (R)

tel que

Y = φ_{B} (X)

.

a. On suppose dans cette question que

B = M_{2, 1} = (1213)

φ_{B}

est‑elle surjective ? Bijective ?

b. On suppose dans cette question que

B = M_{0, - 2} = (22 - 2 - 2)

φ_{B}

est‑elle surjective ? Bijective ?

Voir la correction

Avant	Maintenant	Après
Résolution de systèmes d’équations (méthode de combinaison ou de substitution).	Utilisation des matrices et des opérations (additions, multiplications, puissances) pour simplifier et résoudre différents problèmes (étude de suites, de graphes, résolution de systèmes d’équations à plusieurs inconnues, etc.)	Utilisation des matrices pour simplifier l’étude des endomorphismes (applications linéaires d’un espace vectoriel vers lui‑même). Diagonalisation et trigonalisation de matrices pour simplifier certains problèmes (calculs de puissances, etc.)

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1Déterminant d’une matrice carrée

Remarque

2Matrices et bases de R2

3Endomorphismes de R2

Problème de concours

1
Déterminant d’une matrice carrée

2
Matrices et bases de $R^{2}$

3
Endomorphismes de $R^{2}$