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Vers le supérieur - Graphes et matrices
P.234-237

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Vers le supérieur


1
Déterminant d’une matrice carrée





Soit un entier naturel non nul et une matrice carrée d’ordre .

Propriétés

1. Le déterminant de , noté ou , vaut :

.

Cela permet de caculer, par récurrence, le déterminant d’une matrice carrée d’ordre quelconque.

2. On rappelle que si , alors .

3. est inversible si, et seulement si, .

Remarque

Lorsque est inversible, une méthode de détermination de la matrice est explicitée dans le TP 2 p. 189 (algorithme du pivot de Gauss).

Exemple


1

Déterminer, en utilisant le déterminant, si chacune des matrices suivantes est inversible.

1.


2.


3.


4.
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2

Dans cet exercice, .

1. Soit une matrice diagonale de taille .
Montrer que est égal au produit des éléments diagonaux de .


2. Soit une matrice triangulaire supérieure (c’est‑à‑dire pour laquelle , ).
Montrer que est égal au produit des éléments diagonaux de .
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3

Soit un entier naturel non nul.
On admet que pour toutes matrices carrées d’ordre à coefficients réels et , on a .

1. Montrer que est inversible si, et seulement si, et sont inversibles.


2. Exprimer alors en fonction de et .


3. Calculer puis en déduire que si est inversible, alors .


Aide
On rappelle que pour une matrice diagonale, le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux.


4. Deux matrices carrées d’ordre sont semblables lorsqu’il existe une matrice inversible telle que .
Montrer que si et sont deux matrices semblables, alors elles ont le même déterminant.
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2
Matrices et bases de





On considère le plan muni du repère orthonormé .

Définitions

1. On dit que qu’un couple est une base de si, pour tout vecteur de , il existe deux nombres réels et tels que .
Ce couple est unique et est appelé coordonnées de dans la base .

2. Le couple est appelé base canonique de . On la note généralement .

3. Soient et deux bases de . On suppose que et
On appelle matrice de passage de la base à la base , et on note la matrice .

Exemple

Le couple de vecteurs défini par et forme une base de notée .
La matrice de passage de à est .

Dans tous les exercices, la notation désigne la base canonique de .

4

On considère deux vecteurs et de .
Montrer que ces deux vecteurs forment une base de si, et seulement si, ces vecteurs sont non colinéaires.
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5

On considère les vecteurs et .

1. Montrer que ces deux vecteurs forment une base de .


2. Exprimer les vecteurs de la base canonique en fonction de ces vecteurs.


3. On note l’ensemble des points du plan tels que .
Si représente les coordonnées dans la base , montrer que l’ensemble se réécrit dans cette base.
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6

On considère les vecteurs et .

1. a. Exprimer les vecteurs et en fonction de et de .


b. Soit un vecteur quelconque de .
Exprimer en fonction de et .
Que peut‑on en déduire sur le couple  ?


2. On note la base formée des vecteurs et .
a. Déterminer la matrice de passage de à la base , puis la matrice de passage de la base à la base .


b. Calculer les matrices et . Que constate‑t‑on ?
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7

On considère trois bases , et de .

1. Montrer que .


2. Justifier que la matrice de passage de à est une matrice inversible et déterminer son inverse.


3. Soit maintenant une matrice inversible.
En déduire, en utilisant la base canonique, l’expression de deux vecteurs formant une base de (différente de la base canonique).
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8

On considère la matrice . Soit également une base telle que soit la matrice de passage de la base à la base .

1. Exprimer les vecteurs et en fonction des vecteurs et de la base canonique.


2. Soient et deux nombres réels fixés.
a. Résoudre dans le système suivant : .


b. Que peut‑on en déduire concernant la matrice  ?


3. Déterminer la matrice de passage de la base à la base et en déduire l’expression de et en fonction de et .
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9

On considère deux bases et de . Soit un vecteur quelconque de . On note (respectivement ) la matrice colonne des coordonnées de dans (respectivement dans ).

1. Montrer que . En déduire en fonction de .


2. Déterminer une expression de la matrice .
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3
Endomorphismes de





Définitions

1. On définit dans une addition et une multiplication externe par un réel qui correspond à celle définie sur les vecteurs : pour tous réels , , et , on a et, pour tout réel , on a .

2. On dit qu’une fonction est un endomorphisme de lorsque, pour tous vecteurs et de et pour tout réel , .
En désignant par , , et les réels tels que et , l’égalité précédente devient .

3. Soit est une base de . étant à valeurs dans , on note , , et les uniques nombres réels tels que et . La matrice de dans , que l’on note , est la matrice .

Exemples

1. Soit .
  • est une fonction de dans .
  • Soient , , et quatre réels. Soit un réel.
    On a



    Donc est un endomorphisme de .
  • On a et donc .

2. La fonction n’est pas un endomorphisme de car elle est à valeurs dans .

Dans tous les exercices, on considère le plan muni d’un repère orthonormé . La notation désigne la base canonique de .

10

Préciser si chacune des fonctions ci‑dessous correspond ou non à un endomorphisme de .

1.


2.


3.
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11

1. Soit un endomorphisme de .
Montrer que .


2. On considère la fonction définie sur par :
.
La fonction est‑elle un endomorphisme de  ?
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12

Chacune des fonctions suivantes correspond à un endomorphisme de .
Écrire la matrice de chacun de ces endomorphismes dans la base canonique.

1.


2.


3.
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13

On note l’application de qui, à tout vecteur de , associe lui‑même.

1. Montrer que cette application définit un endomorphisme de qu’on appellera identité de .


2. Déterminer la matrice de dans la base canonique.


3. Quelle matrice retrouve‑t‑on ?
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Problème de concours


14
Adapté de ENSTIM, 2010, toutes filières
Le but de ce problème est d’étudier différentes matrices qui commutent avec leur transposée, c’est‑à‑dire qui vérifient la relation : .
Dans la suite de l’énoncé, on se contentera alors de dire, dans ce cas, que la matrice vérifie la relation .
Toutes les matrices envisagées seront dans l’espace , c’est‑à‑dire ayant 2 lignes, 2 colonnes et des coefficients réels.
On notera en particulier : , et .

1. Montrer que les matrices et vérifient la relation .


2.Calculer . En déduire que, pour tout entier naturel non nul , vérifie la relation .


3. Montrer que est inversible.


Dans toute la suite on notera .

4. a. Montrer que la matrice vérifie la relation .


b. Montrer que, pour tout , il existe un nombre réel noté tel que .


c. En déduire que, pour tout , vérifie .


On notera dans la suite l’ensemble des matrices de qui vérifient la relation .

5. a. Calculer les produits de la matrice et de sa transposée.


b. En déduire que la somme de deux matrices de n’est pas nécessairement une matrice de .


6. Etant donné une matrice quelconque de , déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur , , et , pour que appartienne à . On donnera les deux formes possibles des matrices de .
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15
Adapté de ENSTIM, 2006, toutes filières
Soit un élément quelconque de . On note la matrice . Soit le sous‑ensemble de tel que .

1. Quelle relation doivent vérifier et pour que la matrice ne soit pas inversible ?
Calculer le produit .
En déduire l’inverse de lorsqu’il existe.


2. On dit qu’un sous‑ensemble de est stable par combinaison linéaire lorsque, pour tous , dans et tous réels , , .
L’ensemble est‑il stable par combinaison linéaire ?


3. Soient et .
a. Montrer que est stable par combinaison linéaire.


b. Posons et . Montrer que et appartiennent à .


c. Soit . Montrer qu’il existe un unique couple tel que .


d. Montrer que est une loi de composition interne sur .


Soit une matrice quelconque de .
Soit l’application de dans qui, à la matrice , associe la matrice .

4. On dit que est surjective (respectivement bijective) si, pour tout de , il existe (respectivement un unique) de tel que .

a. On suppose dans cette question que .
est‑elle surjective ? Bijective ?


b. On suppose dans cette question que .
est‑elle surjective ? Bijective ?
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Avant Maintenant Après
Résolution de systèmes d’équations (méthode de combinaison ou de substitution). Utilisation des matrices et des opérations (additions, multiplications, puissances) pour simplifier et résoudre différents problèmes (étude de suites, de graphes, résolution de systèmes d’équations à plusieurs inconnues, etc.) Utilisation des matrices pour simplifier l’étude des endomorphismes (applications linéaires d’un espace vectoriel vers lui‑même).
Diagonalisation et trigonalisation de matrices pour simplifier certains problèmes (calculs de puissances, etc.)
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