Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
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1
Déterminant d'une matrice carrée

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Soit un entier naturel non nul et une matrice carrée d'ordre .
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Propriétés
1. Le déterminant de , noté ou , vaut :

.
Cela permet de caculer, par récurrence, le déterminant d'une matrice carrée d'ordre quelconque.

2. On rappelle que si , alors .

3. est inversible si, et seulement si, .
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Remarque

Lorsque est inversible, une méthode de détermination de la matrice est explicitée dans le (algorithme du pivot de Gauss).
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Exemple
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Exercices
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1

Déterminer, en utilisant le déterminant, si chacune des matrices suivantes est inversible.

1.

2.

3.

4.
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2

Dans cet exercice, .

1. Soit une matrice diagonale de taille .
Montrer que est égal au produit des éléments diagonaux de .

2. Soit une matrice triangulaire supérieure (c'est‑à‑dire pour laquelle , ).
Montrer que est égal au produit des éléments diagonaux de .
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3

Soit un entier naturel non nul.
On admet que pour toutes matrices carrées d'ordre à coefficients réels et , on a .

1. Montrer que est inversible si, et seulement si, et sont inversibles.

2. Exprimer alors en fonction de et .

3. Calculer puis en déduire que si est inversible, alors .
On rappelle que pour une matrice diagonale, le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux.
Aide

4. Deux matrices carrées d'ordre sont semblables lorsqu'il existe une matrice inversible telle que .
Montrer que si et sont deux matrices semblables, alors elles ont le même déterminant.

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