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Vers le supérieur - Graphes et matrices
P.234-237
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Vers le supérieur


1
Déterminant d’une matrice carrée





Soit nn un entier naturel non nul et A=(a1,1a1,2…a1,na2,1a2,2…a2,na3,1a3,2…a3,n…………an,1an,2…an,n)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{llll}a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right) une matrice carrée d’ordre nn.

Propriétés
1. Le déterminant de A\text{A}, noté det⁡(A)\operatorname{det}(\mathrm{A}) ou ∣a1,1a1,2…a1,na2,1a2,2…a2,na3,1a3,2…a3,n…………an,1an,2…an,n∣\left|\begin{array}{cccc}a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right|, vaut :

a1,1∣a2,2…a2,na3,2…a3,na4,2…a4,n………an,2…an,n∣−a2,1∣a1,2…a1,na3,2…a3,na4,2…a4,n………an,2…an,n∣+a3,1∣a1,2…a1,na2,2…a2,na4,2…a4,n………an,2…an,n∣+…+(−1)n+1an,1∣a1,2…a1,na2,2…a2,na3,2…a3,n………an−1,2…an−1,n∣a_{1,1}\left|\begin{array}{ccc}a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ a_{4,2} & \dots & a_{4, n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right|-a_{2,1}\left|\begin{array}{lll}a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ a_{4,2} & \dots & a_{4, n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right|+a_{3,1}\left|\begin{array}{ccc}a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{4,2} & \dots & a_{4, n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right|+\ldots+(-1)^{n+1} a_{n, 1}\left|\begin{array}{ccc}a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n-1,2} & \dots & a_{n-1, n}\end{array}\right|.

Cela permet de caculer, par récurrence, le déterminant d’une matrice carrée d’ordre nn quelconque.

2. On rappelle que si A=(abcd)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right), alors det⁡(A)=ad−bc\operatorname{det}(\mathrm{A})=a d-b c.

3. A\text{A} est inversible si, et seulement si, det⁡(A)≠0\operatorname{det}(\mathrm{A}) \neq 0.

Remarque

Lorsque A\text{A} est inversible, une méthode de détermination de la matrice A−1\mathrm{A}^{-1} est explicitée dans le TP 2 p. 189 (algorithme du pivot de Gauss).

Exemple

∣210312011∣=2∣1211∣−3∣1011∣+0∣1012∣=2(1×1−2×1)−3(1×1−0×1)+0=−2−3=−5\left|\begin{array}{lll}\textcolor{#f2b946}{2} & 1 & 0 \\ \textcolor{#44a3a2}{3} & 1 & 2 \\ \textcolor{#b1354f}{0} & 1 & 1\end{array}\right|=\textcolor{#f2b946}{2}\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right|-\textcolor{#44a3a2}{3}\left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right|+\textcolor{#b1354f}{0}\left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right|=\textcolor{#f2b946}{2}(1 \times 1-2 \times 1)-\textcolor{#44a3a2}{3}(1 \times 1-0 \times 1)+\textcolor{#b1354f}{0}=-2-3=-5

1

Déterminer, en utilisant le déterminant, si chacune des matrices suivantes est inversible.

1. A=(21110−1312)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right)


2. B=(31−21−1−2242)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 2 & 4 & 2\end{array}\right)


3. C=(52120821−10210111)\mathrm{C}=\left(\begin{array}{cccc}5 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 8 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)


4. D=(500000−100000200000−3000001)\mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccccc}5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)
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2

Dans cet exercice, n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.

1. Soit D\text{D} une matrice diagonale de taille nn.
Montrer que det⁡(D)\operatorname{det}(\mathrm{D}) est égal au produit des éléments diagonaux de D\text{D}.


2. Soit T\text{T} une matrice triangulaire supérieure (c’est‑à‑dire pour laquelle ti,j=0t_{i, j}=0, i>ji>j).
Montrer que det⁡(T)\operatorname{det}(\mathrm{T}) est égal au produit des éléments diagonaux de T\text{T}.
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3

Soit nn un entier naturel non nul.
On admet que pour toutes matrices carrées d’ordre nn à coefficients réels A\text{A} et B\text{B}, on a det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)\operatorname{det}(\mathrm{AB})=\operatorname{det}(\mathrm{A}) \operatorname{det}(\mathrm{B}).

1. Montrer que AB\text{AB} est inversible si, et seulement si, A\text{A} et B\text{B} sont inversibles.


2. Exprimer alors (AB)−1(\mathrm{AB})^{-1} en fonction de A−1\mathrm{A}^{-1} et B−1\mathrm{B}^{-1}.


3. Calculer det⁡(In)\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_{n}\right) puis en déduire que si A\text{A} est inversible, alors det⁡(A−1)=1det⁡(A)\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)=\dfrac{1}{\operatorname{det}(\mathrm{A})}.


Aide
 On rappelle que pour une matrice diagonale, le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux.


4. Deux matrices carrées d’ordre nn sont semblables lorsqu’il existe une matrice inversible P\text{P} telle que A=PBP−1\mathrm{A}=\mathrm{PBP}^{-1}.
Montrer que si A\text{A} et B\text{B} sont deux matrices semblables, alors elles ont le même déterminant.
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Vers le supérieur


2
Matrices et bases de R2\mathbb{R}^2





On considère le plan muni du repère orthonormé (O ;i→ ,j→)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i}\,,\overrightarrow{j}).

Définitions
1. On dit que qu’un couple B=(u→ ,v→)\mathcal{B}=(\overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) est une base de R2\mathbb{R}^2 si, pour tout vecteur a→\overrightarrow{a} de R2\mathbb{R}^2, il existe deux nombres réels xx et yy tels que a→=xu→+yv→\overrightarrow{a}=x \overrightarrow{u}+y \overrightarrow{v}.
Ce couple (x ;y)(x\,; y) est unique et est appelé coordonnées de a→\boldsymbol{\overrightarrow{a}} dans la base (u→ ,v→)\boldsymbol{(\overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v})}.

2. Le couple (i→ ,j→)(\overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}) est appelé base canonique de R2\mathbb{R}^2. On la note généralement C\mathcal{C}.

3. Soient B=(u→ ,v→)\mathcal{B}=(\overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) et B′=(u′→ ,v′→)\mathcal{B}^{\prime}=(\overrightarrow{u^{\prime}}\,, \overrightarrow{v^{\prime}}) deux bases de R2\mathbb{R}^2. On suppose que u′→=au→+bv→\overrightarrow{u^{\prime}}=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v} et v′→=cu→+dv→.\overrightarrow{v^{\prime}}=c \overrightarrow{u}+d \overrightarrow{v}.
On appelle matrice de passage de la base B\mathcal{B} à la base B′\mathcal{B}^{\prime}, et on note PBB′\mathrm{P}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}^{\prime}}la matrice PBB′=(acbd)\mathrm{P}_{B}^{\mathcal{B}^{\prime}}=\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right).

Exemple

Le couple (u→ ,v→)(\overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) de vecteurs défini par u→=2i→−3j→\overrightarrow{u}=\textcolor{#f2b946}{2} \overrightarrow{i} \textcolor{#b1354f}{-3} \overrightarrow{j} et v→=1i→+4j→\overrightarrow{v}=\textcolor{#44a3a2}{1} \overrightarrow{i}+ \textcolor{#2c85bb}{4} \overrightarrow{j} forme une base de R2\mathbb{R}^2 notée B\mathcal{B}.
La matrice de passage de C\mathcal{C} à B\mathcal{B} est PCB=(21−34)\mathrm{P}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{cc}\textcolor{#f2b946}{2} & \textcolor{#44a3a2}{1} \\ \textcolor{#b1354f}{-3} & \textcolor{#2c85bb}{4}\end{array}\right).

Dans tous les exercices, la notation C\mathcal{C} désigne la base canonique de R2\mathbb{R}^2.

4

On considère deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} de R2\mathbb{R}^2.
Montrer que ces deux vecteurs forment une base de R2\mathbb{R}^2 si, et seulement si, ces vecteurs sont non colinéaires.
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5

On considère les vecteurs u→(23)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right) et v→(45)\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}4 \\ 5\end{array}\right).

1. Montrer que ces deux vecteurs forment une base de R2\mathbb{R}^2.


2. Exprimer les vecteurs de la base canonique en fonction de ces vecteurs.


3. On note A\text{A} l’ensemble des points (x ,y)(x\,, y) du plan tels que 17x2−26xy+10y2=117 x^{2}-26 x y+10 y^{2}=1.
Si (X ,Y)(\mathrm{X}\,, \mathrm{Y}) représente les coordonnées dans la base (u→,v→)(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}), montrer que l’ensemble A\text{A} se réécrit 2X2+2Y2=12 \mathrm{X}^{2}+2 \mathrm{Y}^{2}=1 dans cette base.
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6

On considère les vecteurs u→=i→+j→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j} et v→=i→−j→\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}.

1. a. Exprimer les vecteurs u→+v→\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} et u→−v→\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} en fonction de i→\overrightarrow{i} et de j→\overrightarrow{j}.


b. Soit a→=a1i→+a2j→\overrightarrow{a}=a_{1} \overrightarrow{i}+a_{2} \overrightarrow{j} un vecteur quelconque de R2\mathbb{R}^2.
Exprimer aa en fonction de u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v}.
Que peut‑on en déduire sur le couple (u→ ,v→)(\overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) ?


2. On note B\mathcal{B} la base formée des vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v}.
a. Déterminer la matrice de passage P1\mathrm{P}_1 de C\mathcal{C} à la base B\mathcal{B}, puis la matrice de passage P2\mathrm{P}_2 de la base B\mathcal{B} à la base C\mathcal{C}.


b. Calculer les matrices P1P2\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 et P2P1\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1. Que constate‑t‑on ?
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7

On considère trois bases B1\mathcal{B}_{1}, B2\mathcal{B}_{2} et B3\mathcal{B}_{3} de R2\mathbb{R}^{2}.

1. Montrer que PB1B2×PB3B2=PB1B3\mathrm{P}_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}_{2}} \times \mathrm{P}_{\mathcal{B}_{3}}^{\mathcal{B}_{2}}=\mathrm{P}_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}_{3}}.


2. Justifier que la matrice de passage de B1\mathcal{B}_{1} à B2\mathcal{B}_{2} est une matrice inversible et déterminer son inverse.


3. Soit maintenant M=(abcd)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) une matrice inversible.
En déduire, en utilisant la base canonique, l’expression de deux vecteurs formant une base de R2\mathbb{R}^{2} (différente de la base canonique).
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8

On considère la matrice M=(2−112)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right). Soit également une base B=(u→ ,v→)\mathcal{B}=(\overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) telle que M\mathrm{M} soit la matrice de passage de la base C\mathcal{C} à la base B\mathcal{B}.

1. Exprimer les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} en fonction des vecteurs i→\overrightarrow{i} et j→\overrightarrow{j} de la base canonique.


2. Soient α\alpha et β\beta deux nombres réels fixés.
a. Résoudre dans R2\mathbb{R}^2 le système suivant : {2x−y=αx+2y=β\left\{\begin{array}{l}2 x-y=\alpha \\ x+2 y=\beta\end{array}\right..


b. Que peut‑on en déduire concernant la matrice M\text{M} ?


3. Déterminer la matrice de passage de la base B\mathcal{B} à la base C\mathcal{C} et en déduire l’expression de i→\overrightarrow{i} et j→\overrightarrow{j} en fonction de u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v}.
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9

On considère deux bases B\mathcal{B} et B′\mathcal{B}^{\prime} de R2\mathbb{R}^{2}. Soit a→\overrightarrow{a} un vecteur quelconque de R2\mathbb{R}^{2}. On note X\text{X} (respectivement X′\mathrm{X}^\prime) la matrice colonne des coordonnées de a→\overrightarrow{a} dans B\mathcal{B} (respectivement dans B′\mathcal{B}^{\prime}).

1. Montrer que PBB′X′=X\mathrm{P}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}^\prime} \mathrm{X}^{\prime}=\mathrm{X}. En déduire X\text{X} en fonction de X′\mathrm{X}^\prime.


2. Déterminer une expression de la matrice PB′B\mathrm{P}_{\mathcal{B}^{\prime}}^{\mathcal{B}}.
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3
Endomorphismes de R2\mathbb{R}^2





Définitions
1. On définit dans R2\mathbb{R}^2 une addition et une multiplication externe par un réel qui correspond à celle définie sur les vecteurs : pour tous réels xx, yy, x′x^\prime et y′y^\prime, on a (x ;y)+(x′ ;y′)=(x+x′ ;y+y′)(x\,; y)+\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime}\,; y+y^{\prime}\right) et, pour tout réel λ\lambda, on a λ⋅(x ;y)=(λx ;λy)\lambda \cdot(x\,; y)=(\lambda x\,; \lambda y).

2. On dit qu’une fonction f:R2→R2f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} est un endomorphisme de R2\mathbb{R}^{2} lorsque, pour tous vecteurs X\text{X} et Y\text{Y} de R2\mathbb{R}^{2} et pour tout réel λ\lambda, f(X+λY)=f(X)+λf(Y)f(\mathrm{X}+\lambda \mathrm{Y})=f(\mathrm{X})+\lambda f(\mathrm{Y}).
En désignant par xx, yy, x′x^\prime et y′y^\prime les réels tels que X=(x ;y)\mathrm{X}=(x\,; y) et Y=(x′ ;y′)\mathrm{Y}=\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right), l’égalité précédente devient f((x ;y)+λ(x′ ;y′))=f(x ;y)+λf(x′ ;y′)f\left((x\,; y)+\lambda\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right)\right)=f(x\,; y)+\lambda f\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right).

3. Soit B=(u→,v→)\mathcal{B}=(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) est une base de R2\mathbb{R}^{2}. ff étant à valeurs dans R2\mathbb{R}^{2}, on note aa, bb, cc et dd les uniques nombres réels tels que f(u→)=au→+bv→f(\overrightarrow{u})=a \overrightarrow{u}+b \overrightarrow{v} et f(v→)=cu→+dv→f(\overrightarrow{v})=c \overrightarrow{u}+d \overrightarrow{v}. La matrice de ff dans B\mathcal{B}, que l’on note Mat⁡B(f)\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(f), est la matrice (acbd)\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right).

Exemples

1. Soit f:(x ;y)∈R2↦(2x−5y ;x+3y)∈R2f:(x\,; y) \in \mathbb{R}^{2} \mapsto(2 x-5 y\,; x+3 y) \in \mathbb{R}^{2}.
  • ff est une fonction de R2\mathbb{R}^2 dans R2\mathbb{R}^2.
  • Soient xx, x′x^\prime, yy et y′y^\prime quatre réels. Soit λ\lambda un réel.
    On a f((x ;y)+λ(x′ ;y′))f\left((x\,; y)+\lambda\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right)\right) =f(x+λx′ ;y+λy′)=f\left(x+\lambda x^{\prime}\,; y+\lambda y^{\prime}\right)
    =(2(x+λx′)−5(y+λy′);x+λx′+3(y+λy′))=\left(2\left(x+\lambda x^{\prime}\right)-5\left(y+\lambda y^{\prime}\right) ; x+\lambda x^{\prime}+3\left(y+\lambda y^{\prime}\right)\right)
    =(2x−5y+λ(2x′−5y′);x+3y+λ(x′+3y′))=\left(2 x-5 y+\lambda\left(2 x^{\prime}-5 y^{\prime}\right) ; x+3 y+\lambda\left(x^{\prime}+3 y^{\prime}\right)\right)
    =(2x−5y ;x+3y)+λ(2x′−5y′ ;x′+3y′)=(2 x-5 y\,; x+3 y)+\lambda\left(2 x^{\prime}-5 y^{\prime}\,; x^{\prime}+3 y^{\prime}\right)
    =f(x ;y)+λf(x′ ;y′)=f(x\,; y)+\lambda f\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right) Donc ff est un endomorphisme de R2\mathbb{R}^2.
  • On a f(i→)=f(1 ;0)=(2×1−5×0 ;1+3×0)=(2 ;1)=2i→+1j→f(\overrightarrow{i})=f(1\,; 0)=(2 \times 1-5 \times 0\,; 1+3 \times 0)=(2\,; 1)=\textcolor{#f2b946}{2} \overrightarrow{i}+ \textcolor{#b1354f}{1} \overrightarrow{j} et f(j→)=f(0 ;1)=(−5 ;3)=−5i→+3j→f(\overrightarrow{j})=f(0\,; 1)=(-5\,; 3)=\textcolor{#44a3a2}{-5} \overrightarrow{i}+\textcolor{#2c85bb}{3} \overrightarrow{j} donc Mat⁡C(f)=(2−513)\operatorname{Mat}_{\mathrm{C}}(f)=\left(\begin{array}{cc}\textcolor{#f2b946}{2} & \textcolor{#44a3a2}{-5} \\ \textcolor{#b1354f}{1} & \textcolor{#2c85bb}{3}\end{array}\right).

2. La fonction g:(x ;y)↦(2x−3y ;4x−y ;2y)g:(x\,; y) \mapsto(2 x-3 y\,; 4 x-y\,; 2 y) n’est pas un endomorphisme de R2\mathbb{R}^2 car elle est à valeurs dans R3\mathbb{R}^3.

Dans tous les exercices, on considère le plan muni d’un repère orthonormé (O ;i→ ,j→)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i}\,,\overrightarrow{j}). La notation C\mathcal{C} désigne la base canonique de R2\mathbb{R}^2.

10

Préciser si chacune des fonctions ci‑dessous correspond ou non à un endomorphisme de R2\mathbb{R}^2.

1. f(x ;y)=(x+y ;x−y)f(x\,; y)=(x+y\,; x-y)


2. g(x ;y)=(−x+5y ;x2+y)g(x\,; y)=\left(-x+5 y\,; x^{2}+y\right)


3. h(x ;y)=(−2x+3y ;x)h(x\,; y)=(-2 x+3 y\,; x)
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11

1. Soit ff un endomorphisme de R2\mathbb{R}^2.
Montrer que f(0 ;0)=(0 ;0)f(0\,; 0)=(0\,; 0).


2. On considère la fonction gg définie sur R2\mathbb{R}^2 par :
g(x ;y)=(x+5 ;2x−9y)g(x\,; y)=(x+5\,; 2 x-9 y).
La fonction gg est‑elle un endomorphisme de R2\mathbb{R}^2 ?
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12

Chacune des fonctions suivantes correspond à un endomorphisme de R2\mathbb{R}^2.
Écrire la matrice de chacun de ces endomorphismes dans la base canonique.

1. f(x ;y)=(3x−2y ;2x+5y)f(x\,; y)=(3 x-2 y\,; 2 x+5 y)


2. g(x ;y)=(−3x+2y ;2x+y)g(x\,; y)=(-3 x+2 y\,; 2 x+y)


3. h(x ;y)=(5y ;3x)h(x\,; y)=(5 y\,; 3 x)
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13

On note Id\text{Id} l’application de R2\mathbb{R}^2 qui, à tout vecteur X\text{X} de R2\mathbb{R}^2, associe lui‑même.

1. Montrer que cette application définit un endomorphisme de R2\mathbb{R}^2 qu’on appellera identité de R2\mathbb{R}^2.


2. Déterminer la matrice de Id\text{Id} dans la base canonique.


3. Quelle matrice retrouve‑t‑on ?
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Problème de concours


14
Adapté de ENSTIM, 2010, toutes filières
Le but de ce problème est d’étudier différentes matrices qui commutent avec leur transposée, c’est‑à‑dire qui vérifient la relation : M× tM= tM×M   (1)\mathrm{M} \times \, ^{t} \mathrm{M}= \,^{t} \mathrm{M} \times \mathrm{M}\,\,\,(1).
Dans la suite de l’énoncé, on se contentera alors de dire, dans ce cas, que la matrice M\text{M} vérifie la relation (1)(1).
Toutes les matrices envisagées seront dans l’espace M2(R)\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}), c’est‑à‑dire ayant 2 lignes, 2 colonnes et des coefficients réels.
On notera en particulier : I=(1001)\mathrm{I}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), A=(0110)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) et C=(0−110)\mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right).

1. Montrer que les matrices A\text{A} et C\text{C} vérifient la relation (1)(1).


2.Calculer A2\mathrm{A}^2. En déduire que, pour tout entier naturel non nul nn, An\mathrm{A}^n vérifie la relation (1)(1).


3. Montrer que A\text{A} est inversible.


Dans toute la suite on notera U=A+I\mathrm{U}=\mathrm{A}+\mathrm{I}.

4. a. Montrer que la matrice U\text{U} vérifie la relation (1)(1).


b. Montrer que, pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, il existe un nombre réel noté αn\alpha_n tel que Un=αnU\mathrm{U}^{n}=\alpha_{n} \mathrm{U}.


c. En déduire que, pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, Un\mathrm{U}^n vérifie (1)(1).


On notera dans la suite E2\mathrm{E}_2 l’ensemble des matrices de M2(R)\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) qui vérifient la relation (1)(1).

5. a. Calculer les produits de la matrice A+C\mathrm{A}+\mathrm{C} et de sa transposée.


b. En déduire que la somme de deux matrices de E2\mathrm{E}_2 n’est pas nécessairement une matrice de E2\mathrm{E}_2.


6. Etant donné une matrice M=(abcd)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) quelconque de M2(R)\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}), déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur aa, bb, cc et dd, pour que M\text{M} appartienne à E2\mathrm{E}_2. On donnera les deux formes possibles des matrices de E2\mathrm{E}_2.
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15
Adapté de ENSTIM, 2006, toutes filières
Soit (x ,y)(x\,, y) un élément quelconque de R2\mathbb{R}^2. On note Mx,y\mathrm{M}_{x, y} la matrice (x−yy2x+y)\left(\begin{array}{cc}x-y & y \\ 2 & x+y\end{array}\right). Soit Σ\Sigma le sous‑ensemble de M2(R)\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) tel que Σ={Mx,y,(x ;y)∈R2}\Sigma=\left\{\mathrm{M}_{x, y},(x\,; y) \in \mathbb{R}^{2}\right\}.

1. Quelle relation doivent vérifier xx et yy pour que la matrice Mx,y\mathrm{M}_{x, y} ne soit pas inversible ?
Calculer le produit Mx,y×M−x,y\mathrm{M}_{x, y} \times \mathrm{M}_{-x, y}.
En déduire l’inverse de Mx,y\mathrm{M}_{x, y} lorsqu’il existe.


2. On dit qu’un sous‑ensemble F\text{F} de M2(R)\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) est stable par combinaison linéaire lorsque, pour tous A\text{A}, B\text{B} dans F\text{F} et tous réels λ\lambda, μ\mu, λA+μB∈F\lambda \mathrm{A}+\mu \mathrm{B} \in \mathrm{F}.
L’ensemble Σ\Sigma est‑il stable par combinaison linéaire ?


3. Soient A=(00−20)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ -2 & 0\end{array}\right) et J={A+Mx,y ,(x;y)∈R2}\mathrm{J}=\left\{\mathrm{A}+\mathrm{M}_{x, y}\,,(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}\right\}.
a. Montrer que J\text{J} est stable par combinaison linéaire.


b. Posons M1=(1001)\mathrm{M}_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) et M2=(−1101)\mathrm{M}_{2}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right). Montrer que M1\mathrm{M}_{1} et M2\mathrm{M}_{2} appartiennent à J\text{J}.


c. Soit M∈J\mathrm{M} \in \mathrm{J}. Montrer qu’il existe un unique couple (α ;β)∈R2(\alpha\,; \beta) \in \mathbb{R}^{2} tel que M=αM1+βM2\mathrm{M}=\alpha \mathrm{M}_{1}+\beta \mathrm{M}_{2}.


d. Montrer que ×\times est une loi de composition interne sur J\text{J}.


Soit B\text{B} une matrice quelconque de M2(R)\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}).
Soit φB\varphi_{\mathrm{B}} l’application de M2(R)\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) dans M2(R)\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) qui, à la matrice X\text{X}, associe la matrice φВ(X)=В×X\varphi_{\mathrm{В}}(\mathrm{X})=\mathrm{В} \times \mathrm{X}.

4. On dit que φB\varphi_{\mathrm{B}} est surjective (respectivement bijective) si, pour tout Y\text{Y} de M2(R)\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}), il existe (respectivement un unique) X\text{X} de M2(R)\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) tel que Y=φB(X)\mathrm{Y}=\varphi_{\mathrm{B}}(\mathrm{X}).

a. On suppose dans cette question que B=M2,1=(1123)\mathrm{B}=\mathrm{M}_{2,1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right).
φB\varphi_{\mathrm{B}} est‑elle surjective ? Bijective ?


b. On suppose dans cette question que B=M0,−2=(2−22−2)\mathrm{B}=\mathrm{M}_{0,-2}=\left(\begin{array}{ll}2 & -2 \\ 2 & -2\end{array}\right).
φB\varphi_{\mathrm{B}} est‑elle surjective ? Bijective ?
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Résolution de systèmes d’équations (méthode de combinaison ou de substitution). Utilisation des matrices et des opérations (additions, multiplications, puissances) pour simplifier et résoudre différents problèmes (étude de suites, de graphes, résolution de systèmes d’équations à plusieurs inconnues, etc.) Utilisation des matrices pour simplifier l’étude des endomorphismes (applications linéaires d’un espace vectoriel vers lui‑même).
Diagonalisation et trigonalisation de matrices pour simplifier certains problèmes (calculs de puissances, etc.)
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