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Déterminant d'une matrice carrée

1. Le déterminant de $\text{A}$, noté $\det (\mathrm{A})$ ou $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& \dots & a_{3,n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right|$, vaut :

$a_{1,1}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ a_{3,2}& \dots & a_{3,n}\\ a_{4,2}& \dots & a_{4,n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n,2}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right|-a_{2,1}\left|\begin{array}{lll}{a}_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{3,2}& \dots & a_{3,n}\\ a_{4,2}& \dots & a_{4,n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n,2}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right|+a_{3,1}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ a_{4,2}& \dots & a_{4,n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n,2}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right|+\dots +(-1{)}^{n+1}{a}_{n,1}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ a_{3,2}& \dots & a_{3,n}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n-1,2}& \dots & a_{n-1,n}\end{array}\right|$.
Cela permet de caculer, par récurrence, le déterminant d'une matrice carrée d'ordre $n$ quelconque.

2. On rappelle que si $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, alors $\det (\mathrm{A})=ad-bc$.

3. $\text{A}$ est inversible si, et seulement si, $\det (\mathrm{A})\ne 0$.

Dans cet exercice, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. 1. Soit $\text{D}$ une matrice diagonale de taille $n$.
Montrer que $\det (\mathrm{D})$ est égal au produit des éléments diagonaux de $\text{D}$.

2. Soit $\text{T}$ une matrice triangulaire supérieure (c'est‑à‑dire pour laquelle $t_{i,j}=0$, $i>j$).
Montrer que $\det (\mathrm{T})$ est égal au produit des éléments diagonaux de $\text{T}$.