Mathématiques Expertes Terminale

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Chapitre 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Chapitre 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Chapitre 3

Divisibilité dans Z

Chapitre 4

PGCD et applications

Chapitre 5

Nombres premiers

Chapitre 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Chapitre 7

Suites et matrices

Chapitre 8

Annexes

Chapitre 9

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Vers le supérieur - Graphes et matrices

P.234-237

Vers le supérieur

1
Déterminant d’une matrice carrée

Soit

n

un entier naturel non nul et

A = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a_{1, 1} a_{2, 1} a_{3, 1} \dots a_{n, 1} a_{1, 2} a_{2, 2} a_{3, 2} \dots a_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots a_{1, n} a_{2, n} a_{3, n} \dots a_{n, n} ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

une matrice carrée d’ordre

n

Propriétés

1. Le déterminant de

A

, noté

d e t (A)

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a_{1, 1} a_{2, 1} a_{3, 1} \dots a_{n, 1} a_{1, 2} a_{2, 2} a_{3, 2} \dots a_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots a_{1, n} a_{2, n} a_{3, n} \dots a_{n, n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

, vaut :

a_{1, 1} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a_{2, 2} a_{3, 2} a_{4, 2} \dots a_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots a_{2, n} a_{3, n} a_{4, n} \dots a_{n, n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - a_{2, 1} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a_{1, 2} a_{3, 2} a_{4, 2} \dots a_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots a_{1, n} a_{3, n} a_{4, n} \dots a_{n, n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + a_{3, 1} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a_{1, 2} a_{2, 2} a_{4, 2} \dots a_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots a_{1, n} a_{2, n} a_{4, n} \dots a_{n, n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + \dots + (- 1)^{n + 1} a_{n, 1} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a_{1, 2} a_{2, 2} a_{3, 2} \dots a_{n - 1, 2} \dots \dots \dots \dots \dots a_{1, n} a_{2, n} a_{3, n} \dots a_{n - 1, n} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

Cela permet de caculer, par récurrence, le déterminant d’une matrice carrée d’ordre

n

quelconque.

2. On rappelle que si

A = (a c b d)

, alors

d e t (A) = a d - b c

.

3.

A

est inversible si, et seulement si,

d e t (A) \neq = 0

Remarque

Lorsque

A

est inversible, une méthode de détermination de la matrice

A^{- 1}

est explicitée dans le TP 2 p. 189 (algorithme du pivot de Gauss).

Exemple

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 230111021 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1121 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1101 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1102 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 (1 \times 1 - 2 \times 1) - 3 (1 \times 1 - 0 \times 1) + 0 = - 2 - 3 = - 5

Déterminer, en utilisant le déterminant, si chacune des matrices suivantes est inversible.

1.

A = ⎝ ⎛ 213101 1 - 1 2 ⎠ ⎞

B = ⎝ ⎛ 312 1 - 1 4 - 2 - 2 2 ⎠ ⎞

C = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 50 - 1 0 280112212111 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

D = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 50000 0 - 1 000 00200 000 - 3 0 00001 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

Dans cet exercice,

n \in N^{*}

.

1. Soit

D

une matrice diagonale de taille

n

.
Montrer que

d e t (D)

est égal au produit des éléments diagonaux de

D

2. Soit

T

une matrice triangulaire supérieure (c’est‑à‑dire pour laquelle

t_{i, j} = 0

i > j

).
Montrer que

d e t (T)

est égal au produit des éléments diagonaux de

T

Soit

n

un entier naturel non nul.
On admet que pour toutes matrices carrées d’ordre

n

à coefficients réels

A

B

, on a

d e t (A B) = d e t (A) d e t (B)

.

1. Montrer que

AB

est inversible si, et seulement si,

A

B

sont inversibles.

2. Exprimer alors

(A B)^{- 1}

en fonction de

A^{- 1}

B^{- 1}

3. Calculer

d e t (I_{n})

puis en déduire que si

A

est inversible, alors

d e t (A^{- 1}) = \frac{1}{d e t ( A )}

Aide
On rappelle que pour une matrice diagonale, le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux.

4. Deux matrices carrées d’ordre

n

sont semblables lorsqu’il existe une matrice inversible

P

telle que

A = P B P^{- 1}

.
Montrer que si

A

B

sont deux matrices semblables, alors elles ont le même déterminant.

Vers le supérieur

2
Matrices et bases de $R^{2}$

On considère le plan muni du repère orthonormé

(O; i, j)

Définitions

1. On dit que qu’un couple

B = (u, v)

est une base de

R^{2}

si, pour tout vecteur

a

R^{2}

, il existe deux nombres réels

x

y

tels que

a = x u + y v

.
Ce couple

(x; y)

est unique et est appelé coordonnées de $a$ dans la base $(u, v)$ .

2. Le couple

(i, j)

est appelé base canonique de

R^{2}

. On la note généralement

C

.

3. Soient

B = (u, v)

B^{'} = (u^{'}, v^{'})

deux bases de

R^{2}

. On suppose que

u^{'} = a u + b v

v^{'} = c u + d v .

On appelle matrice de passage de la base

B

à la base

B^{'}

, et on note

P_{B}^{B^{'}}

la matrice

P_{B}^{B^{'}} = (a b c d)

Exemple

Le couple

(u, v)

de vecteurs défini par

u = 2 i - 3 j

v = 1 i + 4 j

forme une base de

R^{2}

notée

B

.
La matrice de passage de

C

B

est

P_{C}^{B} = (2 - 3 14)

Dans tous les exercices, la notation

C

désigne la base canonique de

R^{2}

On considère deux vecteurs

u

v

R^{2}

.
Montrer que ces deux vecteurs forment une base de

R^{2}

si, et seulement si, ces vecteurs sont non colinéaires.

On considère les vecteurs

u (23)

v (45)

.

1. Montrer que ces deux vecteurs forment une base de

R^{2}

2. Exprimer les vecteurs de la base canonique en fonction de ces vecteurs.

3. On note

A

l’ensemble des points

(x, y)

du plan tels que

17 x^{2} - 26 x y + 10 y^{2} = 1

.
Si

(X, Y)

représente les coordonnées dans la base

(u, v)

, montrer que l’ensemble

A

se réécrit

2 X^{2} + 2 Y^{2} = 1

dans cette base.

On considère les vecteurs

u = i + j

v = i - j

.

1. a. Exprimer les vecteurs

u + v

u - v

en fonction de

i

et de

j

b. Soit

a = a_{1} i + a_{2} j

un vecteur quelconque de

R^{2}

.
Exprimer

a

en fonction de

u

v

.
Que peut‑on en déduire sur le couple

(u, v)

2. On note

B

la base formée des vecteurs

u

v

.
a. Déterminer la matrice de passage

P_{1}

C

à la base

B

, puis la matrice de passage

P_{2}

de la base

B

à la base

C

b. Calculer les matrices

P_{1} P_{2}

P_{2} P_{1}

. Que constate‑t‑on ?

On considère trois bases

B_{1}

B_{2}

B_{3}

R^{2}

.

1. Montrer que

P_{B_{1}}^{B_{2}} \times P_{B_{2}}^{B_{3}} = P_{B_{1}}^{B_{3}}

2. Justifier que la matrice de passage de

B_{1}

B_{2}

est une matrice inversible et déterminer son inverse.

3. Soit maintenant

M = (a c b d)

une matrice inversible.
En déduire, en utilisant la base canonique, l’expression de deux vecteurs formant une base de

R^{2}

(différente de la base canonique).

On considère la matrice

M = (21 - 1 2)

. Soit également une base

B = (u, v)

telle que

M

soit la matrice de passage de la base

C

à la base

B

.

1. Exprimer les vecteurs

u

v

en fonction des vecteurs

i

j

de la base canonique.

2. Soient

α

β

deux nombres réels fixés.
a. Résoudre dans

R^{2}

le système suivant :

{2 x - y = α x + 2 y = β

b. Que peut‑on en déduire concernant la matrice

M

3. Déterminer la matrice de passage de la base

B

à la base

C

et en déduire l’expression de

i

j

en fonction de

u

v

On considère deux bases

B

B^{'}

R^{2}

. Soit

a

un vecteur quelconque de

R^{2}

. On note

X

(respectivement

X^{'}

) la matrice colonne des coordonnées de

a

dans

B

(respectivement dans

B^{'}

).

1. Montrer que

P_{B}^{B^{'}} X^{'} = X

. En déduire

X

en fonction de

X^{'}

2. Déterminer une expression de la matrice

P_{B^{'}}^{B}

Vers le supérieur

3
Endomorphismes de $R^{2}$

Définitions

1. On définit dans

R^{2}

une addition et une multiplication externe par un réel qui correspond à celle définie sur les vecteurs : pour tous réels

x

y

x^{'}

y^{'}

, on a

(x; y) + (x^{'}; y^{'}) = (x + x^{'}; y + y^{'})

et, pour tout réel

λ

, on a

λ \cdot (x; y) = (λ x; λ y)

.

2. On dit qu’une fonction

f : R^{2} \to R^{2}

est un endomorphisme de

R^{2}

lorsque, pour tous vecteurs

X

Y

R^{2}

et pour tout réel

λ

f (X + λ Y) = f (X) + λ f (Y)

.
En désignant par

x

y

x^{'}

y^{'}

les réels tels que

X = (x; y)

Y = (x^{'}; y^{'})

, l’égalité précédente devient

f ((x; y) + λ (x^{'}; y^{'})) = f (x; y) + λ f (x^{'}; y^{'})

.

3. Soit

B = (u, v)

est une base de

R^{2}

f

étant à valeurs dans

R^{2}

, on note

a

b

c

d

les uniques nombres réels tels que

f (u) = a u + b v

f (v) = c u + d v

. La matrice de

f

dans

B

, que l’on note

M a t_{B} (f)

, est la matrice

(a b c d)

Exemples

1. Soit

f : (x; y) \in R^{2} \mapsto (2 x - 5 y; x + 3 y) \in R^{2}

$f$ est une fonction de $R^{2}$ dans $R^{2}$ .
Soient $x$ , $x^{'}$ , $y$ et $y^{'}$ quatre réels. Soit $λ$ un réel.
On a $f ((x; y) + λ (x^{'}; y^{'}))$ $= f (x + λ x^{'}; y + λ y^{'})$
$= (2 (x + λ x^{'}) - 5 (y + λ y^{'}); x + λ x^{'} + 3 (y + λ y^{'}))$
$= (2 x - 5 y + λ (2 x^{'} - 5 y^{'}); x + 3 y + λ (x^{'} + 3 y^{'}))$
$= (2 x - 5 y; x + 3 y) + λ (2 x^{'} - 5 y^{'}; x^{'} + 3 y^{'})$
$= f (x; y) + λ f (x^{'}; y^{'})$ Donc $f$ est un endomorphisme de $R^{2}$ .
On a $f (i) = f (1; 0) = (2 \times 1 - 5 \times 0; 1 + 3 \times 0) = (2; 1) = 2 i + 1 j$ et $f (j) = f (0; 1) = (- 5; 3) = - 5 i + 3 j$ donc $M a t_{C} (f) = (21 - 5 3)$ .

2. La fonction

g : (x; y) \mapsto (2 x - 3 y; 4 x - y; 2 y)

n’est pas un endomorphisme de

R^{2}

car elle est à valeurs dans

R^{3}

Dans tous les exercices, on considère le plan muni d’un repère orthonormé

(O; i, j)

. La notation

C

désigne la base canonique de

R^{2}

Préciser si chacune des fonctions ci‑dessous correspond ou non à un endomorphisme de

R^{2}

.

1.

f (x; y) = (x + y; x - y)

g (x; y) = (- x + 5 y; x^{2} + y)

h (x; y) = (- 2 x + 3 y; x)

1. Soit

f

un endomorphisme de

R^{2}

.
Montrer que

f (0; 0) = (0; 0)

2. On considère la fonction

g

définie sur

R^{2}

par :

g (x; y) = (x + 5; 2 x - 9 y)

La fonction

g

est‑elle un endomorphisme de

R^{2}

Chacune des fonctions suivantes correspond à un endomorphisme de

R^{2}

.
Écrire la matrice de chacun de ces endomorphismes dans la base canonique.

1.

f (x; y) = (3 x - 2 y; 2 x + 5 y)

g (x; y) = (- 3 x + 2 y; 2 x + y)

h (x; y) = (5 y; 3 x)

On note

Id

l’application de

R^{2}

qui, à tout vecteur

X

R^{2}

, associe lui‑même.

1. Montrer que cette application définit un endomorphisme de

R^{2}

qu’on appellera identité de

R^{2}

2. Déterminer la matrice de

Id

dans la base canonique.

3. Quelle matrice retrouve‑t‑on ?

Problème de concours

Adapté de ENSTIM, 2010, toutes filières
Le but de ce problème est d’étudier différentes matrices qui commutent avec leur transposée, c’est‑à‑dire qui vérifient la relation :

M \times^{t} M =^{t} M \times M (1)

.
Dans la suite de l’énoncé, on se contentera alors de dire, dans ce cas, que la matrice

M

vérifie la relation

(1)

.
Toutes les matrices envisagées seront dans l’espace

M_{2} (R)

, c’est‑à‑dire ayant 2 lignes, 2 colonnes et des coefficients réels.
On notera en particulier :

I = (1001)

A = (0110)

C = (01 - 1 0)

.

1. Montrer que les matrices

A

C

vérifient la relation

(1)

2.Calculer

A^{2}

. En déduire que, pour tout entier naturel non nul

n

A^{n}

vérifie la relation

(1)

3. Montrer que

A

est inversible.

Dans toute la suite on notera

U = A + I

.

4. a. Montrer que la matrice

U

vérifie la relation

(1)

b. Montrer que, pour tout

n \in N^{*}

, il existe un nombre réel noté

α_{n}

tel que

U^{n} = α_{n} U

c. En déduire que, pour tout

n \in N^{*}

U^{n}

vérifie

(1)

On notera dans la suite

E_{2}

l’ensemble des matrices de

M_{2} (R)

qui vérifient la relation

(1)

.

5. a. Calculer les produits de la matrice

A + C

et de sa transposée.

b. En déduire que la somme de deux matrices de

E_{2}

n’est pas nécessairement une matrice de

E_{2}

6. Etant donné une matrice

M = (a c b d)

quelconque de

M_{2} (R)

, déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur

a

b

c

d

, pour que

M

appartienne à

E_{2}

. On donnera les deux formes possibles des matrices de

E_{2}

Adapté de ENSTIM, 2006, toutes filières
Soit

(x; y)

un élément quelconque de

R^{2}

. On note

M_{x, y}

la matrice

(x - y 2 y x + y)

. Soit

Σ

le sous‑ensemble de

M_{2} (R)

tel que

Σ = {M_{x, y}, (x; y) \in

Mathématiques Expertes Terminale

Chapitre 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Chapitre 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Chapitre 3

Divisibilité dans Z

Chapitre 4

PGCD et applications

Chapitre 5

Nombres premiers

Chapitre 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Chapitre 7

Suites et matrices

Chapitre 8

Annexes

Chapitre 9

Cahier d'algorithmique et de programmation

1Déterminant d’une matrice carrée

Remarque

2Matrices et bases de R2

3Endomorphismes de R2

Problème de concours

1
Déterminant d’une matrice carrée

2
Matrices et bases de $R^{2}$

3
Endomorphismes de $R^{2}$