Adapté de ENSTIM, 2010, toutes filières
Le but de ce problème est d’étudier différentes matrices qui commutent avec leur transposée, c’est‑à‑dire qui vérifient la relation :
M×tM=tM×M(1).
Dans la suite de l’énoncé, on se contentera alors de dire, dans ce cas, que la matrice
M vérifie la relation
(1).
Toutes les matrices envisagées seront dans l’espace
M2(R), c’est‑à‑dire ayant 2 lignes, 2 colonnes et des coefficients réels.
On notera en particulier :
I=(1001),
A=(0110) et
C=(01−10).
1. Montrer que les matrices
A et
C vérifient la relation
(1).
2.Calculer
A2. En déduire que, pour tout entier naturel non nul
n,
An vérifie la relation
(1).
3. Montrer que
A est inversible.
Dans toute la suite on notera
U=A+I.
4. a. Montrer que la matrice
U vérifie la relation
(1).
b. Montrer que, pour tout
n∈N∗, il existe un nombre réel noté
αn tel que
Un=αnU.
c. En déduire que, pour tout
n∈N∗,
Un vérifie
(1).
On notera dans la suite
E2 l’ensemble des matrices de
M2(R) qui vérifient la relation
(1).
5. a. Calculer les produits de la matrice
A+C et de sa transposée.
b. En déduire que la somme de deux matrices de
E2 n’est pas nécessairement une matrice de
E2.
6. Etant donné une matrice
M=(acbd) quelconque de
M2(R), déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur
a,
b,
c et
d, pour que
M appartienne à
E2. On donnera les deux formes possibles des matrices de
E2.