Propriétés

1. Le déterminant de $\text{A}$, noté $\det (\mathrm{A})$ ou $\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& \dots & a_{3,n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n,1}& a_{n,2}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right|$, vaut :


Cela permet de caculer, par récurrence, le déterminant d’une matrice carrée d’ordre $n$ quelconque.

2. On rappelle que si $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, alors $\det (\mathrm{A})=ad-bc$.

3. $\text{A}$ est inversible si, et seulement si, $\det (\mathrm{A})\ne 0$.

Définitions

1. On dit que qu’un couple $\mathcal{B}=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$ si, pour tout vecteur $\overrightarrow{a}$ de ${\mathbb{R}}^2$, il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}$.
Ce couple $(x;y)$ est unique et est appelé coordonnées de $\overrightarrow{\mathbf{a}}$ dans la base $(\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}})$.

2. Le couple $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est appelé base canonique de ${\mathbb{R}}^2$. On la note généralement $\mathcal{C}$.

3. Soient $\mathcal{B}=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ et ${\mathcal{B}}^{\prime }=(\overrightarrow{u^{\prime }},\overrightarrow{v^{\prime }})$ deux bases de ${\mathbb{R}}^2$. On suppose que $\overrightarrow{u^{\prime }}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{v^{\prime }}=c\overrightarrow{u}+d\overrightarrow{v}.$
On appelle matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$, et on note ${\mathrm{P}}_{\mathcal{B}}^{{\mathcal{B}}^{\prime }}$la matrice ${\mathrm{P}}_B^{{\mathcal{B}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)$.

Définitions

1. On définit dans ${\mathbb{R}}^2$ une addition et une multiplication externe par un réel qui correspond à celle définie sur les vecteurs : pour tous réels $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$, on a $(x;y)+\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)=\left(x+x^{\prime };y+y^{\prime }\right)$ et, pour tout réel $\lambda$, on a $\lambda \cdot (x;y)=(\lambda x;\lambda y)$.

2. On dit qu’une fonction $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}^2$ lorsque, pour tous vecteurs $\text{X}$ et $\text{Y}$ de ${\mathbb{R}}^2$ et pour tout réel $\lambda$, $f(\mathrm{X}+\lambda \mathrm{Y})=f(\mathrm{X})+\lambda f(\mathrm{Y})$.
En désignant par $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ les réels tels que $\mathrm{X}=(x;y)$ et $\mathrm{Y}=\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$, l’égalité précédente devient $f\left((x;y)+\lambda \left(x^{\prime };y^{\prime }\right)\right)=f(x;y)+\lambda f\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$.

3. Soit $\mathcal{B}=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ est une base de ${\mathbb{R}}^2$. $f$ étant à valeurs dans ${\mathbb{R}}^2$, on note $a$, $b$, $c$ et $d$ les uniques nombres réels tels que $f(\overrightarrow{u})=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$ et $f(\overrightarrow{v})=c\overrightarrow{u}+d\overrightarrow{v}$. La matrice de $f$ dans $\mathcal{B}$, que l’on note ${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(f)$, est la matrice $\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)$.