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1Déterminant d'une matrice carrée
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Soit n un entier naturel non nul et \mathrm{A}=\left(\begin{array}{llll}a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right) une matrice carrée d'ordre n.
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Propriétés
1. Le déterminant de \text{A}, noté \operatorname{det}(\mathrm{A}) ou \left|\begin{array}{cccc}a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right|, vaut :
a_{1,1}\left|\begin{array}{ccc}a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ a_{4,2} & \dots & a_{4, n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right|-a_{2,1}\left|\begin{array}{lll}a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ a_{4,2} & \dots & a_{4, n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right|+a_{3,1}\left|\begin{array}{ccc}a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{4,2} & \dots & a_{4, n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right|+\ldots+(-1)^{n+1} a_{n, 1}\left|\begin{array}{ccc}a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n-1,2} & \dots & a_{n-1, n}\end{array}\right|.
Cela permet de caculer, par récurrence, le déterminant d'une matrice carrée d'ordre n quelconque.
2. On rappelle que si \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right), alors \operatorname{det}(\mathrm{A})=a d-b c.
3. \text{A} est inversible si, et seulement si, \operatorname{det}(\mathrm{A}) \neq 0.
a_{1,1}\left|\begin{array}{ccc}a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ a_{4,2} & \dots & a_{4, n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right|-a_{2,1}\left|\begin{array}{lll}a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ a_{4,2} & \dots & a_{4, n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right|+a_{3,1}\left|\begin{array}{ccc}a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{4,2} & \dots & a_{4, n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n, 2} & \dots & a_{n, n}\end{array}\right|+\ldots+(-1)^{n+1} a_{n, 1}\left|\begin{array}{ccc}a_{1,2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2,2} & \dots & a_{2, n} \\ a_{3,2} & \dots & a_{3, n} \\ \dots & \dots & \dots \\ a_{n-1,2} & \dots & a_{n-1, n}\end{array}\right|.
Cela permet de caculer, par récurrence, le déterminant d'une matrice carrée d'ordre n quelconque.
2. On rappelle que si \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right), alors \operatorname{det}(\mathrm{A})=a d-b c.
3. \text{A} est inversible si, et seulement si, \operatorname{det}(\mathrm{A}) \neq 0.
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Lorsque \text{A} est inversible, une méthode de détermination de la matrice \mathrm{A}^{-1} est explicitée dans le (algorithme du pivot de Gauss).
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Exemple
\left|\begin{array}{lll}\textcolor{#f2b946}{2} & 1 & 0 \\ \textcolor{#44a3a2}{3} & 1 & 2 \\ \textcolor{#b1354f}{0} & 1 & 1\end{array}\right|=\textcolor{#f2b946}{2}\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right|-\textcolor{#44a3a2}{3}\left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right|+\textcolor{#b1354f}{0}\left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right|=\textcolor{#f2b946}{2}(1 \times 1-2 \times 1)-\textcolor{#44a3a2}{3}(1 \times 1-0 \times 1)+\textcolor{#b1354f}{0}=-2-3=-5
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Exercices
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1
Déterminer, en utilisant le déterminant, si chacune des matrices suivantes est inversible.
1. \mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right)
2. \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 2 & 4 & 2\end{array}\right)
2. \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 2 & 4 & 2\end{array}\right)
3. \mathrm{C}=\left(\begin{array}{cccc}5 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 8 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)
4. \mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccccc}5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)
4. \mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccccc}5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)
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2
Dans cet exercice, n \in \mathbb{N}^{*}. 1. Soit \text{D} une matrice diagonale de taille n.
Montrer que \operatorname{det}(\mathrm{D}) est égal au produit des éléments diagonaux de \text{D}.
2. Soit \text{T} une matrice triangulaire supérieure (c'est‑à‑dire pour laquelle t_{i, j}=0, i>j).
Montrer que \operatorname{det}(\mathrm{T}) est égal au produit des éléments diagonaux de \text{T}.
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3
Soit n un entier naturel non nul.
On admet que pour toutes matrices carrées d'ordre n à coefficients réels \text{A} et \text{B}, on a \operatorname{det}(\mathrm{AB})=\operatorname{det}(\mathrm{A}) \operatorname{det}(\mathrm{B}). 1. Montrer que \text{AB} est inversible si, et seulement si, \text{A} et \text{B} sont inversibles.
2. Exprimer alors (\mathrm{AB})^{-1} en fonction de \mathrm{A}^{-1} et \mathrm{B}^{-1}.
3. Calculer \operatorname{det}\left(\mathrm{I}_{n}\right) puis en déduire que si \text{A} est inversible, alors \operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}(\mathrm{A})}.
4. Deux matrices carrées d'ordre n sont semblables lorsqu'il existe une matrice inversible \text{P} telle que \mathrm{A}=\mathrm{PBP}^{-1}.
Montrer que si \text{A} et \text{B} sont deux matrices semblables, alors elles ont le même déterminant.
Aide
On rappelle que pour une matrice diagonale, le déterminant est égal au produit des éléments diagonaux.
4. Deux matrices carrées d'ordre n sont semblables lorsqu'il existe une matrice inversible \text{P} telle que \mathrm{A}=\mathrm{PBP}^{-1}.
Montrer que si \text{A} et \text{B} sont deux matrices semblables, alors elles ont le même déterminant.
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