Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 7

Synthèse

Exercices de synthèse

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79
[Calculer, Représenter.]
D'après bac ES, Liban, 2019

Les clients d'un restaurant sont des habitués qui y déjeunent tous les jours. En septembre 2018, le restaurateur propose trois nouveaux plats : plat

A

, plat

B

et plat

C

. D'un jour à l'autre, il constate que :

parmi les clients ayant choisi le plat $A$ : 30 % reprennent le plat $A$ le lendemain, 50 % prennent le plat $B$ le lendemain ;
parmi les clients ayant choisi le plat $B$ : 30 % reprennent le plat $B$ le lendemain, 60 % prennent le plat $A$ le lendemain ;
parmi les clients ayant choisi le plat $C$ : 35 % prennent le plat $A$ le lendemain, 45 % prennent le plat $B$ le lendemain.

On note pour tout entier

n

non nul :

$a_{n}$ la proportion de clients ayant choisi le plat $A$ le $n$ ‑ième jour ;
$b_{n}$ la proportion de clients ayant choisi le plat $B$ le $n$ ‑ième jour ;
$c_{n}$ la proportion de clients ayant choisi le plat $C$ le $n$ ‑ième jour.

Pour tout entier

n ⩾ 1

, on note

P_{n} = (a_{n} b_{n} c_{n})

l'état probabiliste le

n

‑ième jour.

1. Représenter cette situation en complétant le graphe probabiliste ci‑dessous.

Dessinez ici

2. Donner la matrice de transition

M

de ce graphe, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

3. Le restaurateur a noté que, le premier jour,

35, 5

% des clients ont pris le plat

A

40, 5

% ont pris le plat

B

24

% ont pris le plat

C

. Donner

P_{1}

4. Calculer

P_{2}

5. Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat

C

sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ

15, 9

%.
A‑t‑il raison ? Justifier.

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80
[Calculer, Modéliser.]
On modélise l'attente dans une file par le graphe probabiliste ci‑dessous.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 80

Le zoom est accessible dans la version Premium.

À son arrivée, le client est en

A

. Quand il avance, il va tout d'abord en

B

, puis en

C

où il est pris en charge.
Chaque minute, il a une probabilité égale à

0, 8

de rester en

A

ou en

B

. On cherche à estimer la durée d'attente dans la file, c'est‑à‑dire le nombre de minutes avant d'atteindre l'état

C

.
Pour tout entier naturel, la matrice ligne

π_{n} = (a_{n} b_{n} c_{n})

représente l'état probabiliste au bout de

n

minutes d'attente, où

a_{n}

b_{n}

c_{n}

désignent les probabilités d'être respectivement en

A

, en

B

et en

C

n

minutes après l'arrivée.

1. Déterminer

P

la matrice de transition de ce graphe probabiliste.

2. Déterminer l'état initial

π_{0}

3. Vérifier que

(001)

est une distribution invariante de la chaîne de Markov associée.

4. Quelle est l'attente minimale d'un client ?

5. On considère les deux matrices suivantes :

D = ⎝ ⎛ 0, 8 00 0 0, 8 0 001 ⎠ ⎞

N = ⎝ ⎛ 000 0, 2 00 0 0, 2 0 ⎠ ⎞

a. Déterminer, pour tout entier naturel

n

non nul,

D^{n}

b. Calculer

N^{2}

puis

N^{3}

c. Montrer que, pour tout entier naturel

n

non nul,

P^{n} = ⎝ ⎛ 0, 8^{n} 00 0, 2 \times 0, 8^{n - 1} \times n 0, 8^{n} 0 0, 02 \times 0, 8^{n - 2} \times n (n - 1) 0, 2 \times 0, 8^{n - 1} \times n 1 ⎠ ⎞ .

On pourra démontrer ce résultat par récurrence sur

n

Aide

d. Montrer que

π_{n}

converge vers la distribution invariante obtenue en question 3.

6. Soit

X

la variable aléatoire correspondant au nombre de minutes d'attente.
a. Montrer que, pour tout entier naturel

k

supérieur ou égal à

1

, on a

P (X = k) = c_{k} - c_{k - 1}

b. Exprimer alors l'espérance de

X

en fonction des

c_{k}

c. En utilisant les résultats sur les sommes des termes de suites géométriques, déterminer l'espérance de

X

d. Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice.

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81
[Modéliser, Calculer.]
D'après bac ES, Métropole, juin 2017

Dans un jeu vidéo, une suite d'énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories : les énigmes de catégorie

A

sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie

B

sont les énigmes difficiles.
Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :

la première énigme est facile ;
si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à $0, 15$ ;
si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à $0, 1$ .

On modélise cette situation par une chaîne de Markov

(X_{n})_{n ⩾ 1}

où, pour tout

n ⩾ 1

X_{n} = a

si la

n

‑ième énigme est facile et

X_{n} = b

sinon.

1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire

X_{1}

2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets

a

b

Dessinez ici

3. Écrire la matrice

P

associée à ce graphe.

4. Déterminer la loi de probabilité de

X_{2}

5. Pour tout

n ⩾ 1

, il existe deux nombres réels dans

[0; 1]

tels que la loi de probabilité de

X_{n}

soit donnée dans le tableau suivant.

$x$	$a$	$b$
$P (X_{n} = x)$	$a_{n}$	$b_{n}$

a. Justifier que, pour tout

n ⩾ 1

a_{n + 1} = 0, 75 a_{n} + 0, 1

b. Pour tout entier naturel

n ⩾ 1

, on pose

v_{n} = a_{n} - 0, 4

.
Montrer que

(v_{n})

est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

c. Exprimer

v_{n}

en fonction de

n

, puis montrer que pour tout entier

n ⩾ 1

a_{n} = 0, 8 \times 0, 7 5^{n} + 0, 4

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82
Algorithme PageRank
[Chercher, Raisonner.]
Cet exercice est une illustration d'un des défauts de l'algorithme PageRank

étudié en TP.

On considère le graphe orienté suivant.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 82

Le zoom est accessible dans la version Premium.

En utilisant l'algorithme PageRank, déterminer la pondération attribuée à chaque sommet.
En quoi est‑ce problématique ?

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83
Approfondissement
[Raisonner, Modéliser.]
Modèle des urnes d'Ehrenfest

On considère deux urnes

A

B

et un entier

N ⩾ 1

.
Au départ de l'expérience,

N

boules numérotées de

0

N - 1

sont placées dans l'urne

A

. On répète ensuite

n

fois les actions suivantes :

on choisit au hasard et de manière équiprobable un nombre $k$ entre $0$ et $N - 1$ ;
on déplace ensuite la boule numérotée $k$ dans l'urne dans laquelle elle ne se trouve pas.

Dans cet exercice on s'intéresse au cas

N = 2

.
Une étude pour

N

quelconque est proposée algorithmiquement dans le

TP 1 p. 218

de ce chapitre.
On posons

X_{j}

la variable aléatoire correspondant au nombre de boules contenu dans l'urne

A

à la

j

‑ième étape de l'expérience.

1. Dresser une liste des valeurs pouvant être prises par

X_{j}

On cherche dans la suite à représenter cette situation sous la forme d'une chaîne de Markov correspondant au graphe probabiliste ci‑dessous. Les questions suivantes ont pour but de le compléter.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 83

Le zoom est accessible dans la version Premium.

2. Justifier que, pour tout

j \in {0; \dots; n - 1}

, et pour tout

i \in {0; 1; 2}

P_{X_{j} = i} (X_{j + 1} = i) = 0

3. Justifier que, pour tout

j \in {0; \dots; n - 1}

P_{X_{j} = 0} (X_{j + 1} = 2) = 0

P_{X_{j} = 2} (X_{j + 1} = 0) = 0

4. En déduire, pour tout

j \in {0; \dots; n - 1}

, la valeur de

P_{X_{j} = 0} (X_{j + 1} = 1)

P_{X_{j} = 2} (X_{j + 1} = 1)

5. Déterminer

P_{X_{j} = 1} (X_{j + 1} = 0)

P_{X_{j} = 1} (X_{j + 1} = 2)

.
En déduire la matrice de transition

M

associée à cette chaîne de Markov.

6. Montrer que, pour tout

j \in N

M^{j} = M

j

est impair, et

M^{j} = ⎝ ⎛ 0, 5 0 0, 5 010 0, 5 0 0, 5 ⎠ ⎞

j

est pair.

7. Déterminer la distribution de probabilité initiale de cette chaîne de Markov.

8. En déduire, pour tout

j \in {1; \dots; n}

, la distribution de probabilité

π_{j}

à la

j

‑ième étape.

9. En déduire, pour tout

j \in {1; \dots; n}

, le nombre moyen de boules dans l'urne

A

à la

j

‑ième étape.

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84
[Communiquer, Raisonner.]

Soit

β

un nombre réel. On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.

Dessinez ici

1. Compléter ce graphe.
(Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.)

2. Déterminer les valeurs possibles de

β

3. On désigne respectivement par

I_{3}

M

la matrice identité d'ordre

3

et la matrice de taille

3 \times 3

dont tous les coefficients sont égaux à

1

.
a. Montrer que la matrice

P

de transition associée à ce graphe probabiliste, où les sommets sont rangés dans l'ordre alphabétique, peut s'écrire sous la forme

P = α I_{3} + β M

, où on exprimera

α

en fonction de

β

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel

k

non nul,

M^{k} = 3^{k - 1} M

c. Vérifier que

I_{3} \times M = M \times I_{3}

puis montrer que, pour tout entier naturel

n

P^{n} = α^{n} I_{3} + (k = 1 \sum n (n k) α^{n - k} β^{k} \times 3^{k - 1}) M

On admet que si

A

B

sont deux matrices carrées de taille 3 vérifiant

A B = B A

, alors, pour tout entier naturel non nul

n

(A + B)^{n} = k = 0 \sum n (n k) A^{n - k} B^{k}

Aide

4. On admet que la distribution initiale est

π_{0} = (100)

.
a. Déterminer la distribution de probabilité après

n

transitions, notée

π_{n}

b. Déterminer le comportement asymptotique de la chaîne de Markov.

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85
[Communiquer, Raisonner.]
Le théorème de Perron‑Frobenius implique que si une matrice de transition (ou une de ses puissances) a tous ses coefficients strictement positifs, alors, quelle que soit la distribution initiale, il existe une unique distribution invariante pour la chaîne de Markov associée.

1. Vérifier que la matrice de transition

P

associée au graphe probabiliste ci‑dessous, et obtenue en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique, n'a pas que des coefficients strictement positifs.

Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

2. Soient

E

la matrice carrée de taille 3 dont tous les coefficients sont égaux à

\frac{1}{3}

α

un réel appartenant à

] 0; 1 [

.
a. Montrer que la matrice

α P + (1 - α) E

définit une matrice de transition dont tous les coefficients sont strictement positifs.

On commencera par étudier le signe de

1 - α

Aide

b. Construire le graphe probabiliste correspondant.

Remarque

C'est l'une des astuces pour améliorer l'algorithme PageRank présenté dans le TP 2. Avec une valeur de

α

proche de

1

, les résultats de l'algorithme sont améliorés.

Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

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86
Approfondissement
[Modéliser.]
Modèle « proie‑prédateur »

Dans un étang se trouvent deux populations de poissons : des gardons et des brochets.
Le brochet étant un prédateur naturel du gardon, sa population varie en fonction :

du nombre de brochets déjà présents dans l'étang (reproduction) ;
du nombre de gardons déjà présents dans l'étang (proies).

De la même manière, la population du gardon évolue en fonction :

du nombre de gardons déjà présents dans l'étang (reproduction) ;
du nombre de brochets déjà présents dans l'étang (prédateurs).

Au 1^er janvier 2020, on compte 2 000 gardons et 100 brochets dans l'étang.
Pour tout entier naturel

n

, on note respectivement

g_{n}

b_{n}

le nombre de gardons et de brochets dans l'étang au 1^er janvier de l'année 2020

+ n

.
On a donc

g_{0} = 2000

b_{0} = 100

.
Dans ce problème, on étudiera différentes modélisations de cette situation.
Chacune de ces parties est indépendante des précédentes.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 86

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : Vladimir Wrangel / Shutterstock

Partie A : Première modélisation
Dans cette partie, on suppose que la situation peut être modélisée par

{b_{n + 1} = 0, 7 b_{n} + 0, 01 g_{n} g_{n + 1} = 0, 9 g_{n} - 0, 2 b_{n}

.
Pour tout entier naturel

n

, on note

U_{n}

la suite

(b_{n} g_{n})

.

1. Écrire le système ci‑dessus sous la forme d'un système matriciel

U_{n + 1} = A U_{n}

, où

A

est une matrice à déterminer.

2. Exprimer alors

U_{n}

en fonction de

A

et de

n

3. a. À l'aide de la calculatrice, déterminer alors

U_{30}

et interpréter les résultats obtenus (on arrondira les résultats obtenus à l'unité).

b. Donner une estimation du nombre de brochets et de gardons vivant dans l'étang au 1^er janvier 2110.

4. a. On admet qu'il existe une matrice carrée inversible

P

telle que

A = P D P^{- 1}

où

D = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ \frac{2 0 - 5}{2 5} 0 0 \frac{2 0 + 5}{2 5} ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

.
Pour tout entier naturel

n

, exprimer

D^{n}

en fonction de

n

, puis

A^{n}

en fonction de

P

et de

n

b. En déduire la limite des suites

(b_{n})

(g_{n})

.
Ces limites dépendent‑elles du choix de

b_{0}

et de

g_{0}

Partie B : Seconde modélisation
Afin d'enrayer la disparition des espèces (Partie A), on introduit chaque année 50 gardons supplémentaires dans l'étang. La situation peut être modélisée par :

{b_{n + 1} = 0, 7 b_{n} + 0, 01 g_{n} g_{n + 1} = 0, 9 g_{n} - 0, 2 b_{n} + 50

Pour tout entier naturel

n

, on note

V_{n}

la suite

(b_{n} g_{n})

.

1. Écrire le système ci‑dessus sous la forme d'un système matriciel

V_{n + 1} = A^{'} V_{n} + B^{'}

, où

A^{'}

B^{'}

sont deux matrices à déterminer.

2. a. Calculer

d e t (A^{'} - I_{2})

puis justifier que

A^{'} - I_{2}

est inversible.

b. On note

C = - (A - I_{2})^{- 1} B

et on définit la suite

(W_{n})

par la relation

W_{n} = V_{n} - C

valable pour tout entier naturel

n

.
Justifier que, pour tout entier naturel

n

W_{n + 1} = A W_{n}

puis exprimer

W_{n}

en fonction de

A

et de

n

c. Exprimer alors, pour tout entier naturel

n

V_{n}

en fonction de

A

, de

C

et de

n

3. a. On rappelle qu'il existe une matrice carrée inversible

P

telle que

A = P D P^{- 1}

où

D = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ \frac{2 0 - 5}{2 5} 0 0 \frac{2 0 + 5}{2 5} ⎠ ⎟ ⎟ ⎞

.
Pour tout entier naturel

n

, exprimer

V_{n}

en fonction de

n

b. En déduire la limite des suites

(b_{n})

(g_{n})

.
Ces limites dépendent‑elles du choix de

b_{0}

et de

g_{0}

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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre :

p. 238

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Le Grand Oral

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Au cours de l'enseignement de spécialité, vous avez étudié les suites numériques.

1. Expliciter une méthode, reposant sur les notions de ce chapitre, permettant d'étudier des suites couplées telles que les suites

(u_{n})

(v_{n})

définies par

u_{0} = 4

v_{0} = 1

et, pour tout entier naturel

n

{u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2 v_{n} v_{n + 1} = u_{n} + 4 v_{n}

2. Donner quelques exemples de situations concrètes permettant d'aboutir à des modélisations de ce type.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le

Grand Oral p. 244

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