Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Synthèse
P.228-231

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




Synthèse





79
[Calculer, Représenter.]
D’après bac ES, Liban, 2019

Les clients d’un restaurant sont des habitués qui y déjeunent tous les jours. En septembre 2018, le restaurateur propose trois nouveaux plats : plat A\text{A}, plat B\text{B} et plat C\text{C}. D’un jour à l’autre, il constate que :
  • parmi les clients ayant choisi le plat A\text{A} : 30 % reprennent le plat A\text{A} le lendemain, 50 % prennent le plat B\text{B} le lendemain ;
  • parmi les clients ayant choisi le plat B\text{B} : 30 % reprennent le plat B\text{B} le lendemain, 60 % prennent le plat A\text{A} le lendemain ;
  • parmi les clients ayant choisi le plat C\text{C} : 35 % prennent le plat A\text{A} le lendemain, 45 % prennent le plat B\text{B} le lendemain.

On note pour tout entier nn non nul :
  • ana_n la proportion de clients ayant choisi le plat A\text{A} le nn‑ième jour ;
  • bnb_n la proportion de clients ayant choisi le plat B\text{B} le nn‑ième jour ;
  • cnc_n la proportion de clients ayant choisi le plat C\text{C} le nn‑ième jour.

Pour tout entier n1n \geqslant 1, on note Pn=(anbncn)\mathrm{P}_{n}=\left(a_{n} \quad b_{n} \quad c_{n}\right) l’état probabiliste le nn‑ième jour.

1. Représenter cette situation en complétant le graphe probabiliste ci‑dessous.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 79
Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

2. Donner la matrice de transition M\text{M} de ce graphe, en respectant l’ordre alphabétique des sommets.


3. Le restaurateur a noté que, le premier jour, 35,535{,}5 % des clients ont pris le plat A\text{A}, 40,540{,}5 % ont pris le plat B\text{B} et 2424 % ont pris le plat C\text{C}. Donner P1\mathrm{P}_1.


4. Calculer P2\mathrm{P}_2.


5. Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat C\text{C} sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ 15,915{,}9 %.
A‑t‑il raison ? Justifier.
Voir les réponses

80
[Calculer, Modéliser.]
On modélise l’attente dans une file par le graphe probabiliste ci‑dessous.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 80

À son arrivée, le client est en A\text{A}. Quand il avance, il va tout d’abord en B\text{B}, puis en C\text{C} où il est pris en charge.
Chaque minute, il a une probabilité égale à 0,80{,}8 de rester en A\text{A} ou en B\text{B}. On cherche à estimer la durée d’attente dans la file, c’est‑à‑dire le nombre de minutes avant d’atteindre l’état C\text{C}.
Pour tout entier naturel, la matrice ligne πn=(anbncn)\pi_{n}=\left(a_{n} \quad b_{n} \quad c_{n}\right) représente l’état probabiliste au bout de nn minutes d’attente, où ana_n, bnb_n et cnc_n désignent les probabilités d’être respectivement en A\text{A}, en B\text{B} et en C\text{C}, nn minutes après l’arrivée.

1. Déterminer P\text{P} la matrice de transition de ce graphe probabiliste.


2. Déterminer l’état initial π0\pi_0.


3. Vérifier que (001)\left(0 \quad 0 \quad 1\right) est une distribution invariante de la chaîne de Markov associée.


4. Quelle est l’attente minimale d’un client ?


5. On considère les deux matrices suivantes :
D=(0,80000,80001)\mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}8 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) et N=(00,20000,2000)\mathrm{N}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0{,}2 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right).

a. Déterminer, pour tout entier naturel nn non nul, Dn\mathrm{D}^n.


b. Calculer N2\mathrm{N}^2 puis N3\mathrm{N}^3.


c. Montrer que, pour tout entier naturel nn non nul,
Pn=(0,8n0,2×0,8n1×n0,02×0,8n2×n(n1)00,8n0,2×0,8n1×n001)\mathrm{P}^{n}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}8^{n} & 0{,}2 \times 0{,}8^{n-1} \times n & 0{,}02 \times 0{,}8^{n-2} \times n(n-1) \\ 0 & 0{,}8^{n} & 0{,}2 \times 0{,}8^{n-1} \times n \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right).



Aide
On pourra démontrer ce résultat par récurrence sur nn.


d. Montrer que πn\pi_n converge vers la distribution invariante obtenue en question 3..


6. Soit X\text{X} la variable aléatoire correspondant au nombre de minutes d’attente.
a. Montrer que, pour tout entier naturel kk supérieur ou égal à 11, on a P(X=k)=ckck1\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=c_{k}-c_{k-1}.


b. Exprimer alors l’espérance de X\text{X} en fonction des ckc_k.


c. En utilisant les résultats sur les sommes des termes de suites géométriques, déterminer l’espérance de X\text{X}.


d. Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l’exercice.
Voir les réponses

81
[Modéliser, Calculer.]
D’après bac ES, Métropole, juin 2017

Dans un jeu vidéo, une suite d’énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories : les énigmes de catégorie A\text{A} sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie B\text{B} sont les énigmes difficiles.
Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :
  • la première énigme est facile ;
  • si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à 0,150{,}15 ;
  • si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à 0,10{,}1.

On modélise cette situation par une chaîne de Markov (Xn)n1\left(\mathrm{X}_{n}\right)_{n \geqslant 1} où, pour tout n1n \geqslant 1, Xn=a\mathrm{X}_{n}=a si la nn‑ième énigme est facile et Xn=b\mathrm{X}_{n}=b sinon.

1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X1\mathrm{X}_1.


2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets aa et bb.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. Écrire la matrice P\text{P} associée à ce graphe.


4. Déterminer la loi de probabilité de X2\mathrm{X}_2.


5. Pour tout n1n \geqslant 1, il existe deux nombres réels dans [0;1][0\,; 1] tels que la loi de probabilité de Xn\mathrm{X}_n soit donnée dans le tableau suivant.

x\boldsymbol{x} aa bb
P(Xn=x)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}_{\boldsymbol{n}}=\boldsymbol{x}\right) ana_n bnb_n

a. Justifier que, pour tout n1n \geqslant 1, an+1=0,75an+0,1a_{n+1}=0{,}75 a_{n}+0{,}1.


b. Pour tout entier naturel n1n \geqslant 1, on pose vn=an0,4v_{n}=a_{n}-0{,}4.
Montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.


c. Exprimer vnv_n en fonction de nn, puis montrer que pour tout entier n1n \geqslant 1, an=0,8×0,75n+0,4a_{n}=0{,}8 \times 0{,}75^{n}+0{,}4.
Voir les réponses

82
ALGORITHME PAGERANK
[Chercher, Raisonner.]
Cet exercice est une illustration d’un des défauts de l’algorithme PageRank étudié en TP.
On considère le graphe orienté suivant.
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 82

En utilisant l’algorithme PageRank, déterminer la pondération attribuée à chaque sommet.
En quoi est‑ce problématique ?
Voir les réponses

83
APPROFONDISSEMENT
[Raisonner, Modéliser.]
Modèle des urnes d’Ehrenfest

On considère deux urnes A\text{A} et B\text{B} et un entier N1\mathrm{N} \geqslant 1.
Au départ de l’expérience, N\text{N} boules numérotées de 00 à N1\mathrm{N}-1 sont placées dans l’urne A\text{A}. On répète ensuite nn fois les actions suivantes :
  • on choisit au hasard et de manière équiprobable un nombre kk entre 00 et N1\mathrm{N}-1 ;
  • on déplace ensuite la boule numérotée kk dans l’urne dans laquelle elle ne se trouve pas.

Dans cet exercice on s’intéresse au cas N=2\mathrm{N}=2.
Une étude pour N\mathrm{N} quelconque est proposée algorithmiquement dans le TP 1 p. 218 de ce chapitre.
On posons Xj\mathrm{X}_j la variable aléatoire correspondant au nombre de boules contenu dans l’urne A\mathrm{A} à la jj‑ième étape de l’expérience.

1. Dresser une liste des valeurs pouvant être prises par Xj\mathrm{X}_j.


On cherche dans la suite à représenter cette situation sous la forme d’une chaîne de Markov correspondant au graphe probabiliste ci‑dessous. Les questions suivantes ont pour but de le compléter.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 83

2. Justifier que, pour tout j{0;;n1}j \in\{0\,;\,\ldots\,; n-1\}, et pour tout i{0;1;2}i \in\{0\,; 1\,; 2\}, PXj=i(Xj+1=i)=0\mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=i}\left(\mathrm{X}_{j+1}=i\right)=0.


3. Justifier que, pour tout j{0;;n1}j \in\{0\,;\,\ldots\,; n-1\}, PXj=0(Xj+1=2)=0\mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=0}\left(\mathrm{X}_{j+1}=2\right)=0 et PXj=2(Xj+1=0)=0\mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=2}\left(\mathrm{X}_{j+1}=0\right)=0.


4. En déduire, pour tout j{0;;n1}j \in\{0\,;\,\ldots\,; n-1\}, la valeur de PXj=0(Xj+1=1)\mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=0}\left(\mathrm{X}_{j+1}=1\right) et PXj=2(Xj+1=1)\mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=2}\left(\mathrm{X}_{j+1}=1\right).


5. Déterminer PXj=1(Xj+1=0)\mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=1}\left(\mathrm{X}_{j+1}=0\right) et PXj=1(Xj+1=2)\mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=1}\left(\mathrm{X}_{j+1}=2\right).
En déduire la matrice de transition M\text{M} associée à cette chaîne de Markov.


6. Montrer que, pour tout jNj \in \mathbb{N}, Mj=M\mathrm{M}^{j}=\mathrm{M} si jj est impair, et Mj=(0,500,50100,500,5)\mathrm{M}^{j}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}5 & 0 & 0{,}5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0{,}5 & 0 & 0{,}5\end{array}\right) si jj est pair.


7. Déterminer la distribution de probabilité initiale de cette chaîne de Markov.


8. En déduire, pour tout j{1;;n}j \in\{1\,;\,\ldots\,; n\}, la distribution de probabilité πj\pi_j à la jj‑ième étape.


9. En déduire, pour tout j{1;;n}j \in\{1\,;\,\ldots\,; n\}, le nombre moyen de boules dans l’urne A\text{A} à la jj‑ième étape.
Voir les réponses

84
[Communiquer, Raisonner.]
Soit β\beta un nombre réel. On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 84

1. Compléter ce graphe.
(Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.)

2. Déterminer les valeurs possibles de β\beta.


3. On désigne respectivement par I3\mathrm{I}_3 et M\text{M} la matrice identité d’ordre 33 et la matrice de taille 3×33 \times 3 dont tous les coefficients sont égaux à 11.
a. Montrer que la matrice P\text{P} de transition associée à ce graphe probabiliste, où les sommets sont rangés dans l’ordre alphabétique, peut s’écrire sous la forme P=αI3+βM\mathrm{P}=\alpha \mathrm{I}_{3}+\beta \mathrm{M}, où on exprimera α\alpha en fonction de β\beta.


b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel kk non nul, Mk=3k1M\mathrm{M}^{k}=3^{k-1} \mathrm{M}.


c. Vérifier que I3×M=M×I3\mathrm{I}_{3} \times \mathrm{M}=\mathrm{M} \times \mathrm{I}_{3} puis montrer que, pour tout entier naturel nn :
Pn=αnI3+(k=1n(nk)αnkβk×3k1)M\mathrm{P}^{n}=\alpha^{n} \mathrm{I}_{3}+\left(\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right) \alpha^{n-k} \beta^{k} \times 3^{k-1}\right) \mathrm{M}.


Aide
On admet que si A\text{A} et B\text{B} sont deux matrices carrées de taille 3 vérifiant AB=BA\mathrm{AB} = \mathrm{BA}, alors, pour tout entier naturel non nul nn, (A+B)n=k=0n(nk)AnkBk(\mathrm{A}+\mathrm{B})^{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \mathrm{A}^{n-k} \mathrm{B}^{k}.


4. On admet que la distribution initiale est π0=(100)\pi_{0}=\left(1 \quad 0 \quad 0\right).
a. Déterminer la distribution de probabilité après nn transitions, notée πn\pi_n.


b. Déterminer le comportement asymptotique de la chaîne de Markov.
Voir les réponses

85
[Communiquer, Raisonner.]
Le théorème de Perron‑Frobenius implique que si une matrice de transition (ou une de ses puissances) a tous ses coefficients strictement positifs, alors, quelle que soit la distribution initiale, il existe une unique distribution invariante pour la chaîne de Markov associée.

1. Vérifier que la matrice de transition P\text{P} associée au graphe probabiliste ci‑dessous, et obtenue en rangeant les sommets dans l’ordre alphabétique, n’a pas que des coefficients strictement positifs.

Chaîne de markoff Synthèse



2. Soient E\text{E} la matrice carrée de taille 3 dont tous les coefficients sont égaux à 13\dfrac{1}{3} et α\alpha un réel appartenant à ]0;1[]0\,; 1[.
a. Montrer que la matrice αP+(1α)E\alpha \mathrm{P}+(1-\alpha) \mathrm{E} définit une matrice de transition dont tous les coefficients sont strictement positifs.


Aide
On commencera par étudier le signe de 1α1- \alpha.


b. Construire le graphe probabiliste correspondant.

Remarque
C’est l’une des astuces pour améliorer l’algorithme PageRank présenté dans le TP 2. Avec une valeur de α\alpha proche de 11, les résultats de l’algorithme sont améliorés.

Couleurs
Formes
Dessinez ici
Voir les réponses

86
APPROFONDISSEMENT
[Modéliser.]
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 86

Modèle « proie‑prédateur »

Dans un étang se trouvent deux populations de poissons : des gardons et des brochets.
Le brochet étant un prédateur naturel du gardon, sa population varie en fonction :
  • du nombre de brochets déjà présents dans l’étang (reproduction) ;
  • du nombre de gardons déjà présents dans l’étang (proies).

De la même manière, la population du gardon évolue en fonction :
  • du nombre de gardons déjà présents dans l’étang (reproduction) ;
  • du nombre de brochets déjà présents dans l’étang (prédateurs).

Au 1er janvier 2020, on compte 2 000 gardons et 100 brochets dans l’étang.
Pour tout entier naturel nn, on note respectivement gng_n et bnb_n le nombre de gardons et de brochets dans l’étang au 1er janvier de l’année 2020 + n+ n.
On a donc g0=2 000g_0=2 000 et b0=100b_0=100.
Dans ce problème, on étudiera différentes modélisations de cette situation.
Chacune de ces parties est indépendante des précédentes.

Partie A : Première modélisation
Dans cette partie, on suppose que la situation peut être modélisée par {bn+1=0,7bn+0,01gngn+1=0,9gn0,2bn\left\{\begin{array}{l}b_{n+1}=0{,}7 b_{n}+0{,}01 g_{n} \\ g_{n+1}=0{,}9 g_{n}-0{,}2 b_{n}\end{array}\right..
Pour tout entier naturel nn, on note Un\mathrm{U}_n la suite (bngn)\left(\begin{array}{l}b_{n} \\ g_{n}\end{array}\right).

1. Écrire le système ci‑dessus sous la forme d’un système matriciel Un+1=AUn\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}, où A\text{A} est une matrice à déterminer.


2. Exprimer alors Un\mathrm{U}_{n} en fonction de A\text{A} et de nn.


3. a. À l’aide de la calculatrice, déterminer alors U30\mathrm{U}_{30} et interpréter les résultats obtenus (on arrondira les résultats obtenus à l’unité).


b. Donner une estimation du nombre de brochets et de gardons vivant dans l’étang au 1er janvier 2110.


4. a. On admet qu’il existe une matrice carrée inversible P\text{P} telle que A=PDP1\mathrm{A}=\mathrm{PDP}^{-1}D=(205250020+525)\mathrm{D}=\left(\begin{array}{cc}\dfrac{20-\sqrt{5}}{25} & 0 \\ 0 & \dfrac{20+\sqrt{5}}{25}\end{array}\right).
Pour tout entier naturel nn, exprimer Dn\mathrm{D}^n en fonction de nn, puis An\mathrm{A}^n en fonction de P\text{P} et de nn.


b. En déduire la limite des suites (bn)(b_n) et (gn)(g_n).
Ces limites dépendent‑elles du choix de b0b_0 et de g0g_0 ?


Partie B : Seconde modélisation
Afin d’enrayer la disparition des espèces (Partie A), on introduit chaque année 50 gardons supplémentaires dans l’étang. La situation peut être modélisée par :
{bn+1=0,7bn+0,01gngn+1=0,9gn0,2bn+50\left\{\begin{array}{l}b_{n+1}=0{,}7 b_{n}+0{,}01 g_{n} \\ g_{n+1}=0{,}9 g_{n}-0{,}2 b_{n}+50\end{array}\right..

Pour tout entier naturel nn, on note Vn\mathrm{V}_n la suite (bngn)\left(\begin{array}{l}b_{n} \\ g_{n}\end{array}\right).

1. Écrire le système ci‑dessus sous la forme d’un système matriciel Vn+1=AVn+B\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{V}_{n}+\mathrm{B}^{\prime}, où A\mathrm{A}^{\prime} et B\mathrm{B}^{\prime} sont deux matrices à déterminer.


2. a. Calculer det(AI2)\operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{\prime}-\mathrm{I}_{2}\right) puis justifier que AI2\mathrm{A}^{\prime}-\mathrm{I}_{2} est inversible.


b. On note C=(AI2)1B\mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1} \mathrm{B} et on définit la suite (Wn)(\mathrm{W}_n) par la relation Wn=VnC\mathrm{W}_{n}=\mathrm{V}_{n}-\mathrm{C} valable pour tout entier naturel nn.
Justifier que, pour tout entier naturel nn, Wn+1=AWn\mathrm{W}_{n+1}=\mathrm{AW}_{n} puis exprimer Wn\mathrm{W}_{n} en fonction de A\text{A} et de nn.


c. Exprimer alors, pour tout entier naturel nn, Vn\mathrm{V}_{n} en fonction de A\text{A}, de C\text{C} et de nn.


3. a. On rappelle qu’il existe une matrice carrée inversible P\text{P} telle que A=PDP1\mathrm{A}=\mathrm{PDP}^{-1}D=(205250020+525)\mathrm{D}=\left(\begin{array}{cc}\dfrac{20-\sqrt{5}}{25} & 0 \\ 0 & \dfrac{20+\sqrt{5}}{25}\end{array}\right).
Pour tout entier naturel nn, exprimer Vn\mathrm{V}_{n} en fonction de nn.


b. En déduire la limite des suites (bn)(b_n) et (gn)(g_n).
Ces limites dépendent‑elles du choix de b0b_0 et de g0g_0 ?
Voir les réponses

Exercice transversal en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Expertes

Le Grand Oral

Entraînez-vous au Grand Oral et enregistrez-vous sur LLS.fr/GrandOralMaths


Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d’appui à des questions de Grand Oral.
Voici un exemple, basé sur l’enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.

Au cours de l’enseignement de spécialité, vous avez étudié les suites numériques.

1. Expliciter une méthode, reposant sur les notions de ce chapitre, permettant d’étudier des suites couplées telles que les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies par u0=4u_0=4, v0=1v_0=1 et, pour tout entier naturel nn, {un+1=3un2vnvn+1=un+4vn\left\{\begin{array}{c}u_{n+1}=3 u_{n}-2 v_{n} \\ v_{n+1}=u_{n}+4 v_{n}\end{array}\right..


2. Donner quelques exemples de situations concrètes permettant d’aboutir à des modélisations de ce type.


Méthodologie
Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 244
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.