Les clients d'un restaurant sont des habitués qui y déjeunent tous les jours. En septembre 2018, le restaurateur propose trois nouveaux plats : plat A, plat B et plat C. D'un jour à l'autre, il constate que :
parmi les clients ayant choisi le plat A : 30 % reprennent le plat A le lendemain, 50 % prennent le plat B le lendemain ;
parmi les clients ayant choisi le plat B : 30 % reprennent le plat B le lendemain, 60 % prennent le plat A le lendemain ;
parmi les clients ayant choisi le plat C : 35 % prennent le plat A le lendemain, 45 % prennent le plat B le lendemain.
On note pour tout entier n non nul :
an la proportion de clients ayant choisi le plat A le n‑ième jour ;
bn la proportion de clients ayant choisi le plat B le n‑ième jour ;
cn la proportion de clients ayant choisi le plat C le n‑ième jour.
Pour tout entier n⩾1, on note Pn=(anbncn) l'état probabiliste le n‑ième jour.
1. Représenter cette situation en complétant le graphe probabiliste ci‑dessous.
Dessinez ici
2. Donner la matrice de transition M de ce graphe, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
3. Le restaurateur a noté que, le premier jour, 35,5 % des clients ont pris le plat A, 40,5 % ont pris le plat B et 24 % ont pris le plat C. Donner P1.
4. Calculer P2.
5. Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat C sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ 15,9 %.
A‑t‑il raison ? Justifier.
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[Calculer, Modéliser.]
On modélise l'attente dans une file par le graphe probabiliste ci‑dessous.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
À son arrivée, le client est en A. Quand il avance, il va tout d'abord en B, puis en C où il est pris en charge.
Chaque minute, il a une probabilité égale à 0,8 de rester en A ou en B. On cherche à estimer la durée d'attente dans la file, c'est‑à‑dire le nombre de minutes avant d'atteindre l'état C.
Pour tout entier naturel, la matrice ligne πn=(anbncn) représente l'état probabiliste au bout de n minutes d'attente, où an, bn et cn désignent les probabilités d'être respectivement en A, en B et en C, n minutes après l'arrivée.
1. Déterminer P la matrice de transition de ce graphe probabiliste.
2. Déterminer l'état initial π0.
3. Vérifier que (001) est une distribution invariante de la chaîne de Markov associée.
4. Quelle est l'attente minimale d'un client ?
5. On considère les deux matrices suivantes :
D=⎝⎛0,80000,80001⎠⎞ et N=⎝⎛0000,20000,20⎠⎞.
a. Déterminer, pour tout entier naturel n non nul, Dn.
b. Calculer N2 puis N3.
c. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,
On pourra démontrer ce résultat par récurrence sur n.
Aide
d. Montrer que πn converge vers la distribution invariante obtenue en question 3.
6. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de minutes d'attente.
a. Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 1, on a P(X=k)=ck−ck−1.
b. Exprimer alors l'espérance de X en fonction des ck.
c. En utilisant les résultats sur les sommes des termes de suites géométriques, déterminer l'espérance de X.
d. Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice.
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[Modéliser, Calculer.] D'après bac ES, Métropole, juin 2017
Dans un jeu vidéo, une suite d'énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories : les énigmes de catégorie A sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie B sont les énigmes difficiles.
Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :
la première énigme est facile ;
si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à 0,15 ;
si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à 0,1.
On modélise cette situation par une chaîne de Markov (Xn)n⩾1 où, pour tout n⩾1, Xn=a si la n‑ième énigme est facile et Xn=b sinon.
1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X1.
2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets a et b.
Dessinez ici
3. Écrire la matrice P associée à ce graphe.
4. Déterminer la loi de probabilité de X2.
5. Pour tout n⩾1, il existe deux nombres réels dans [0;1] tels que la loi de probabilité de Xn soit donnée dans le tableau suivant.
x
a
b
P(Xn=x)
an
bn
a. Justifier que, pour tout n⩾1, an+1=0,75an+0,1.
b. Pour tout entier naturel n⩾1, on pose vn=an−0,4.
Montrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
c. Exprimer vn en fonction de n, puis montrer que pour tout entier n⩾1, an=0,8×0,75n+0,4.
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Algorithme PageRank
[Chercher, Raisonner.]
Cet exercice est une illustration d'un des défauts de l'algorithme PageRank
En utilisant l'algorithme PageRank, déterminer la pondération attribuée à chaque sommet.
En quoi est‑ce problématique ?
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Approfondissement
[Raisonner, Modéliser.] Modèle des urnes d'Ehrenfest
On considère deux urnes A et B et un entier N⩾1.
Au départ de l'expérience, N boules numérotées de 0 à N−1 sont placées dans l'urne A. On répète ensuite n fois les actions suivantes :
on choisit au hasard et de manière équiprobable un nombre k entre 0 et N−1 ;
on déplace ensuite la boule numérotée k dans l'urne dans laquelle elle ne se trouve pas.
Dans cet exercice on s'intéresse au cas N=2.
Une étude pour N quelconque est proposée algorithmiquement dans le
de ce chapitre.
On posons Xj la variable aléatoire correspondant au nombre de boules contenu dans l'urne A à la j‑ième étape de l'expérience.
1. Dresser une liste des valeurs pouvant être prises par Xj.
On cherche dans la suite à représenter cette situation sous la forme d'une chaîne de Markov correspondant au graphe probabiliste ci‑dessous. Les questions suivantes ont pour but de le compléter.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. Justifier que, pour tout j∈{0;…;n−1}, et pour tout i∈{0;1;2}, PXj=i(Xj+1=i)=0.
3. Justifier que, pour tout j∈{0;…;n−1}, PXj=0(Xj+1=2)=0 et PXj=2(Xj+1=0)=0.
4. En déduire, pour tout j∈{0;…;n−1}, la valeur de PXj=0(Xj+1=1) et PXj=2(Xj+1=1).
5. Déterminer PXj=1(Xj+1=0) et PXj=1(Xj+1=2).
En déduire la matrice de transition M associée à cette chaîne de Markov.
6. Montrer que, pour tout j∈N, Mj=M si j est impair, et Mj=⎝⎛0,500,50100,500,5⎠⎞ si j est pair.
7. Déterminer la distribution de probabilité initiale de cette chaîne de Markov.
8. En déduire, pour tout j∈{1;…;n}, la distribution de probabilité πj à la j‑ième étape.
9. En déduire, pour tout j∈{1;…;n}, le nombre moyen de boules dans l'urne A à la j‑ième étape.
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[Communiquer, Raisonner.]
Soit β un nombre réel. On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.
Dessinez ici
1. Compléter ce graphe.
(Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.)
2. Déterminer les valeurs possibles de β.
3. On désigne respectivement par I3 et M la matrice identité d'ordre 3 et la matrice de taille 3×3 dont tous les coefficients sont égaux à 1.
a. Montrer que la matrice P de transition associée à ce graphe probabiliste, où les sommets sont rangés dans l'ordre alphabétique, peut s'écrire sous la forme P=αI3+βM, où on exprimera α en fonction de β.
b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel k non nul, Mk=3k−1M.
c. Vérifier que I3×M=M×I3 puis montrer que, pour tout entier naturel n :
Pn=αnI3+(k=1∑n(nk)αn−kβk×3k−1)M.
On admet que si A et B sont deux matrices carrées de taille 3 vérifiant AB=BA, alors, pour tout entier naturel non nul n, (A+B)n=k=0∑n(nk)An−kBk.
Aide
4. On admet que la distribution initiale est π0=(100).
a. Déterminer la distribution de probabilité après n transitions, notée πn.
b. Déterminer le comportement asymptotique de la chaîne de Markov.
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85
[Communiquer, Raisonner.]
Le théorème de Perron‑Frobenius implique que si une matrice de transition (ou une de ses puissances) a tous ses coefficients strictement positifs, alors, quelle que soit la distribution initiale, il existe une unique distribution invariante pour la chaîne de Markov associée.
1. Vérifier que la matrice de transition P associée au graphe probabiliste ci‑dessous, et obtenue en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique, n'a pas que des coefficients strictement positifs.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
2. Soient E la matrice carrée de taille 3 dont tous les coefficients sont égaux à 31 et α un réel appartenant à ]0;1[.
a. Montrer que la matrice αP+(1−α)E définit une matrice de transition dont tous les coefficients sont strictement positifs.
On commencera par étudier le signe de 1−α.
Aide
b. Construire le graphe probabiliste correspondant.
Remarque
C'est l'une des astuces pour améliorer l'algorithme PageRank présenté dans le TP 2. Avec une valeur de α proche de 1, les résultats de l'algorithme sont améliorés.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
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Approfondissement
[Modéliser.] Modèle « proie‑prédateur »
Dans un étang se trouvent deux populations de poissons : des gardons et des brochets.
Le brochet étant un prédateur naturel du gardon, sa population varie en fonction :
du nombre de brochets déjà présents dans l'étang (reproduction) ;
du nombre de gardons déjà présents dans l'étang (proies).
De la même manière, la population du gardon évolue en fonction :
du nombre de gardons déjà présents dans l'étang (reproduction) ;
du nombre de brochets déjà présents dans l'étang (prédateurs).
Au 1er janvier 2020, on compte 2 000 gardons et 100 brochets dans l'étang.
Pour tout entier naturel n, on note respectivement gn et bn le nombre de gardons et de brochets dans l'étang au 1er janvier de l'année 2020 +n.
On a donc g0=2000 et b0=100.
Dans ce problème, on étudiera différentes modélisations de cette situation.
Chacune de ces parties est indépendante des précédentes.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : Vladimir Wrangel / Shutterstock
Partie A : Première modélisation
Dans cette partie, on suppose que la situation peut être modélisée par {bn+1=0,7bn+0,01gngn+1=0,9gn−0,2bn.
Pour tout entier naturel n, on note Un la suite (bngn).
1. Écrire le système ci‑dessus sous la forme d'un système matriciel Un+1=AUn, où A est une matrice à déterminer.
2. Exprimer alors Un en fonction de A et de n.
3.a. À l'aide de la calculatrice, déterminer alors U30 et interpréter les résultats obtenus (on arrondira les résultats obtenus à l'unité).
b. Donner une estimation du nombre de brochets et de gardons vivant dans l'étang au 1er janvier 2110.
4.a. On admet qu'il existe une matrice carrée inversible P telle que A=PDP−1 où D=⎝⎜⎜⎛2520−5002520+5⎠⎟⎟⎞.
Pour tout entier naturel n, exprimer Dn en fonction de n, puis An en fonction de P et de n.
b. En déduire la limite des suites (bn) et (gn).
Ces limites dépendent‑elles du choix de b0 et de g0 ?
Partie B : Seconde modélisation
Afin d'enrayer la disparition des espèces (Partie A), on introduit chaque année 50 gardons supplémentaires dans l'étang. La situation peut être modélisée par :
{bn+1=0,7bn+0,01gngn+1=0,9gn−0,2bn+50.
Pour tout entier naturel n, on note Vn la suite (bngn).
1. Écrire le système ci‑dessus sous la forme d'un système matriciel Vn+1=A′Vn+B′, où A′ et B′ sont deux matrices à déterminer.
2.a. Calculer det(A′−I2) puis justifier que A′−I2 est inversible.
b. On note C=−(A−I2)−1B et on définit la suite (Wn) par la relation Wn=Vn−C valable pour tout entier naturel n.
Justifier que, pour tout entier naturel n, Wn+1=AWn puis exprimer Wn en fonction de A et de n.
c. Exprimer alors, pour tout entier naturel n, Vn en fonction de A, de C et de n.
3.a. On rappelle qu'il existe une matrice carrée inversible P telle que A=PDP−1 où D=⎝⎜⎜⎛2520−5002520+5⎠⎟⎟⎞.
Pour tout entier naturel n, exprimer Vn en fonction de n.
b. En déduire la limite des suites (bn) et (gn).
Ces limites dépendent‑elles du choix de b0 et de g0 ?
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Au cours de l'enseignement de spécialité, vous avez étudié les suites numériques.
1. Expliciter une méthode, reposant sur les notions de ce chapitre, permettant d'étudier des suites couplées telles que les suites (un) et (vn) définies par u0=4, v0=1 et, pour tout entier naturel n, {un+1=3un−2vnvn+1=un+4vn.
2. Donner quelques exemples de situations concrètes permettant d'aboutir à des modélisations de ce type.