79
[Calculer, Représenter.]
D'après bac ES, Liban, 2019

Les clients d'un restaurant sont des habitués qui y déjeunent tous les jours. En septembre 2018, le restaurateur propose trois nouveaux plats : plat \text{A}, plat \text{B} et plat \text{C}. D'un jour à l'autre, il constate que :

parmi les clients ayant choisi le plat \text{A} : 30 % reprennent le plat \text{A} le lendemain, 50 % prennent le plat \text{B} le lendemain ;
parmi les clients ayant choisi le plat \text{B} : 30 % reprennent le plat \text{B} le lendemain, 60 % prennent le plat \text{A} le lendemain ;
parmi les clients ayant choisi le plat \text{C} : 35 % prennent le plat \text{A} le lendemain, 45 % prennent le plat \text{B} le lendemain.

On note pour tout entier n non nul :

a_n la proportion de clients ayant choisi le plat \text{A} le n‑ième jour ;
b_n la proportion de clients ayant choisi le plat \text{B} le n‑ième jour ;
c_n la proportion de clients ayant choisi le plat \text{C} le n‑ième jour.

Pour tout entier n \geqslant 1, on note \mathrm{P}_{n}=\left(a_{n} \quad b_{n} \quad c_{n}\right) l'état probabiliste le n‑ième jour.

1. Représenter cette situation en complétant le graphe probabiliste ci‑dessous.

Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

2. Donner la matrice de transition \text{M} de ce graphe, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

3. Le restaurateur a noté que, le premier jour, 35{,}5 % des clients ont pris le plat \text{A}, 40{,}5 % ont pris le plat \text{B} et 24 % ont pris le plat \text{C}. Donner \mathrm{P}_1.

4. Calculer \mathrm{P}_2.

5. Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat \text{C} sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ 15{,}9 %.
A‑t‑il raison ? Justifier.

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80
[Calculer, Modéliser.]
On modélise l'attente dans une file par le graphe probabiliste ci‑dessous.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 80

Le zoom est accessible dans la version Premium.

À son arrivée, le client est en \text{A}. Quand il avance, il va tout d'abord en \text{B}, puis en \text{C} où il est pris en charge.
Chaque minute, il a une probabilité égale à 0{,}8 de rester en \text{A} ou en \text{B}. On cherche à estimer la durée d'attente dans la file, c'est‑à‑dire le nombre de minutes avant d'atteindre l'état \text{C}.
Pour tout entier naturel, la matrice ligne \pi_{n}=\left(a_{n} \quad b_{n} \quad c_{n}\right) représente l'état probabiliste au bout de n minutes d'attente, où a_n, b_n et c_n désignent les probabilités d'être respectivement en \text{A}, en \text{B} et en \text{C}, n minutes après l'arrivée.

1. Déterminer \text{P} la matrice de transition de ce graphe probabiliste.

2. Déterminer l'état initial \pi_0.

3. Vérifier que \left(0 \quad 0 \quad 1\right) est une distribution invariante de la chaîne de Markov associée.

4. Quelle est l'attente minimale d'un client ?

5. On considère les deux matrices suivantes :

\mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}8 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) et \mathrm{N}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0{,}2 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right).

a. Déterminer, pour tout entier naturel n non nul, \mathrm{D}^n.

b. Calculer \mathrm{N}^2 puis \mathrm{N}^3.

c. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,

\mathrm{P}^{n}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}8^{n} & 0{,}2 \times 0{,}8^{n-1} \times n & 0{,}02 \times 0{,}8^{n-2} \times n(n-1) \\ 0 & 0{,}8^{n} & 0{,}2 \times 0{,}8^{n-1} \times n \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right).

Aide

On pourra démontrer ce résultat par récurrence sur n.

d. Montrer que \pi_n converge vers la distribution invariante obtenue en question 3.

6. Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au nombre de minutes d'attente.
a. Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 1, on a \mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=c_{k}-c_{k-1}.

b. Exprimer alors l'espérance de \text{X} en fonction des c_k.

c. En utilisant les résultats sur les sommes des termes de suites géométriques, déterminer l'espérance de \text{X}.

d. Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice.

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81
[Modéliser, Calculer.]
D'après bac ES, Métropole, juin 2017

Dans un jeu vidéo, une suite d'énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories : les énigmes de catégorie \text{A} sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie \text{B} sont les énigmes difficiles.
Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :

la première énigme est facile ;
si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à 0{,}15 ;
si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à 0{,}1.

On modélise cette situation par une chaîne de Markov \left(\mathrm{X}_{n}\right)_{n \geqslant 1} où, pour tout n \geqslant 1, \mathrm{X}_{n}=a si la n‑ième énigme est facile et \mathrm{X}_{n}=b sinon.

1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire \mathrm{X}_1.

2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets a et b.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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3. Écrire la matrice \text{P} associée à ce graphe.

4. Déterminer la loi de probabilité de \mathrm{X}_2.

5. Pour tout n \geqslant 1, il existe deux nombres réels dans [0\,; 1] tels que la loi de probabilité de \mathrm{X}_n soit donnée dans le tableau suivant.

\boldsymbol{x}	a	b
\mathbf{P}\left(\mathbf{X}_{\boldsymbol{n}}=\boldsymbol{x}\right)	a_n	b_n

a. Justifier que, pour tout n \geqslant 1, a_{n+1}=0{,}75 a_{n}+0{,}1.

b. Pour tout entier naturel n \geqslant 1, on pose v_{n}=a_{n}-0{,}4.
Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

c. Exprimer v_n en fonction de n, puis montrer que pour tout entier n \geqslant 1, a_{n}=0{,}8 \times 0{,}75^{n}+0{,}4.

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82
Algorithme PageRank
[Chercher, Raisonner.]
Cet exercice est une illustration d'un des défauts de l'algorithme PageRank

étudié en TP.

On considère le graphe orienté suivant.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 82

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En utilisant l'algorithme PageRank, déterminer la pondération attribuée à chaque sommet.
En quoi est‑ce problématique ?

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83
Approfondissement
[Raisonner, Modéliser.]
Modèle des urnes d'Ehrenfest

On considère deux urnes \text{A} et \text{B} et un entier \mathrm{N} \geqslant 1.
Au départ de l'expérience, \text{N} boules numérotées de 0 à \mathrm{N}-1 sont placées dans l'urne \text{A}. On répète ensuite n fois les actions suivantes :

on choisit au hasard et de manière équiprobable un nombre k entre 0 et \mathrm{N}-1 ;
on déplace ensuite la boule numérotée k dans l'urne dans laquelle elle ne se trouve pas.

Dans cet exercice on s'intéresse au cas \mathrm{N}=2.
Une étude pour \mathrm{N} quelconque est proposée algorithmiquement dans le

TP 1 p. 218

de ce chapitre.
On posons \mathrm{X}_j la variable aléatoire correspondant au nombre de boules contenu dans l'urne \mathrm{A} à la j‑ième étape de l'expérience.

1. Dresser une liste des valeurs pouvant être prises par \mathrm{X}_j.

On cherche dans la suite à représenter cette situation sous la forme d'une chaîne de Markov correspondant au graphe probabiliste ci‑dessous. Les questions suivantes ont pour but de le compléter.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 83

Le zoom est accessible dans la version Premium.

2. Justifier que, pour tout j \in\{0\,;\,\ldots\,; n-1\}, et pour tout i \in\{0\,; 1\,; 2\}, \mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=i}\left(\mathrm{X}_{j+1}=i\right)=0.

3. Justifier que, pour tout j \in\{0\,;\,\ldots\,; n-1\}, \mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=0}\left(\mathrm{X}_{j+1}=2\right)=0 et \mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=2}\left(\mathrm{X}_{j+1}=0\right)=0.

4. En déduire, pour tout j \in\{0\,;\,\ldots\,; n-1\}, la valeur de \mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=0}\left(\mathrm{X}_{j+1}=1\right) et \mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=2}\left(\mathrm{X}_{j+1}=1\right).

5. Déterminer \mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=1}\left(\mathrm{X}_{j+1}=0\right) et \mathrm{P}_{\mathrm{X}_{j}=1}\left(\mathrm{X}_{j+1}=2\right).
En déduire la matrice de transition \text{M} associée à cette chaîne de Markov.

6. Montrer que, pour tout j \in \mathbb{N}, \mathrm{M}^{j}=\mathrm{M} si j est impair, et \mathrm{M}^{j}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}5 & 0 & 0{,}5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0{,}5 & 0 & 0{,}5\end{array}\right) si j est pair.

7. Déterminer la distribution de probabilité initiale de cette chaîne de Markov.

8. En déduire, pour tout j \in\{1\,;\,\ldots\,; n\}, la distribution de probabilité \pi_j à la j‑ième étape.

9. En déduire, pour tout j \in\{1\,;\,\ldots\,; n\}, le nombre moyen de boules dans l'urne \text{A} à la j‑ième étape.

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84
[Communiquer, Raisonner.]

Soit \beta un nombre réel. On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.

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1. Compléter ce graphe.
(Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.)

2. Déterminer les valeurs possibles de \beta.

3. On désigne respectivement par \mathrm{I}_3 et \text{M} la matrice identité d'ordre 3 et la matrice de taille 3 \times 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1.
a. Montrer que la matrice \text{P} de transition associée à ce graphe probabiliste, où les sommets sont rangés dans l'ordre alphabétique, peut s'écrire sous la forme \mathrm{P}=\alpha \mathrm{I}_{3}+\beta \mathrm{M}, où on exprimera \alpha en fonction de \beta.

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel k non nul, \mathrm{M}^{k}=3^{k-1} \mathrm{M}.

c. Vérifier que \mathrm{I}_{3} \times \mathrm{M}=\mathrm{M} \times \mathrm{I}_{3} puis montrer que, pour tout entier naturel n :

\mathrm{P}^{n}=\alpha^{n} \mathrm{I}_{3}+\left(\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right) \alpha^{n-k} \beta^{k} \times 3^{k-1}\right) \mathrm{M}.

Aide

On admet que si \text{A} et \text{B} sont deux matrices carrées de taille 3 vérifiant \mathrm{AB} = \mathrm{BA}, alors, pour tout entier naturel non nul n, (\mathrm{A}+\mathrm{B})^{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \mathrm{A}^{n-k} \mathrm{B}^{k}.

4. On admet que la distribution initiale est \pi_{0}=\left(1 \quad 0 \quad 0\right).
a. Déterminer la distribution de probabilité après n transitions, notée \pi_n.

b. Déterminer le comportement asymptotique de la chaîne de Markov.

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85
[Communiquer, Raisonner.]
Le théorème de Perron‑Frobenius implique que si une matrice de transition (ou une de ses puissances) a tous ses coefficients strictement positifs, alors, quelle que soit la distribution initiale, il existe une unique distribution invariante pour la chaîne de Markov associée.

1. Vérifier que la matrice de transition \text{P} associée au graphe probabiliste ci‑dessous, et obtenue en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique, n'a pas que des coefficients strictement positifs.

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2. Soient \text{E} la matrice carrée de taille 3 dont tous les coefficients sont égaux à \frac{1}{3} et \alpha un réel appartenant à ]0\,; 1[.
a. Montrer que la matrice \alpha \mathrm{P}+(1-\alpha) \mathrm{E} définit une matrice de transition dont tous les coefficients sont strictement positifs.

Aide

On commencera par étudier le signe de 1- \alpha.

b. Construire le graphe probabiliste correspondant.

Remarque

C'est l'une des astuces pour améliorer l'algorithme PageRank présenté dans le TP 2. Avec une valeur de \alpha proche de 1, les résultats de l'algorithme sont améliorés.

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86
Approfondissement
[Modéliser.]
Modèle « proie‑prédateur »

Dans un étang se trouvent deux populations de poissons : des gardons et des brochets.
Le brochet étant un prédateur naturel du gardon, sa population varie en fonction :

du nombre de brochets déjà présents dans l'étang (reproduction) ;
du nombre de gardons déjà présents dans l'étang (proies).

De la même manière, la population du gardon évolue en fonction :

du nombre de gardons déjà présents dans l'étang (reproduction) ;
du nombre de brochets déjà présents dans l'étang (prédateurs).

Au 1^er janvier 2020, on compte 2 000 gardons et 100 brochets dans l'étang.
Pour tout entier naturel n, on note respectivement g_n et b_n le nombre de gardons et de brochets dans l'étang au 1^er janvier de l'année 2020 + n.
On a donc g_0=2 000 et b_0=100.
Dans ce problème, on étudiera différentes modélisations de cette situation.
Chacune de ces parties est indépendante des précédentes.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 86

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Crédits : Vladimir Wrangel / Shutterstock

Partie A : Première modélisation
Dans cette partie, on suppose que la situation peut être modélisée par \left\{\begin{array}{l}b_{n+1}=0{,}7 b_{n}+0{,}01 g_{n} \\ g_{n+1}=0{,}9 g_{n}-0{,}2 b_{n}\end{array}\right..
Pour tout entier naturel n, on note \mathrm{U}_n la suite \left(\begin{array}{l}b_{n} \\ g_{n}\end{array}\right).

1. Écrire le système ci‑dessus sous la forme d'un système matriciel \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}, où \text{A} est une matrice à déterminer.

2. Exprimer alors \mathrm{U}_{n} en fonction de \text{A} et de n.

3. a. À l'aide de la calculatrice, déterminer alors \mathrm{U}_{30} et interpréter les résultats obtenus (on arrondira les résultats obtenus à l'unité).

b. Donner une estimation du nombre de brochets et de gardons vivant dans l'étang au 1^er janvier 2110.

4. a. On admet qu'il existe une matrice carrée inversible \text{P} telle que \mathrm{A}=\mathrm{PDP}^{-1} où \mathrm{D}=\left(\begin{array}{cc}\frac{20-\sqrt{5}}{25} & 0 \\ 0 & \frac{20+\sqrt{5}}{25}\end{array}\right).
Pour tout entier naturel n, exprimer \mathrm{D}^n en fonction de n, puis \mathrm{A}^n en fonction de \text{P} et de n.

b. En déduire la limite des suites (b_n) et (g_n).
Ces limites dépendent‑elles du choix de b_0 et de g_0 ?

Partie B : Seconde modélisation
Afin d'enrayer la disparition des espèces (Partie A), on introduit chaque année 50 gardons supplémentaires dans l'étang. La situation peut être modélisée par :

\left\{\begin{array}{l}b_{n+1}=0{,}7 b_{n}+0{,}01 g_{n} \\ g_{n+1}=0{,}9 g_{n}-0{,}2 b_{n}+50\end{array}\right..

Pour tout entier naturel n, on note \mathrm{V}_n la suite \left(\begin{array}{l}b_{n} \\ g_{n}\end{array}\right).

1. Écrire le système ci‑dessus sous la forme d'un système matriciel \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{V}_{n}+\mathrm{B}^{\prime}, où \mathrm{A}^{\prime} et \mathrm{B}^{\prime} sont deux matrices à déterminer.

2. a. Calculer \operatorname{det}\left(\mathrm{A}^{\prime}-\mathrm{I}_{2}\right) puis justifier que \mathrm{A}^{\prime}-\mathrm{I}_{2} est inversible.

b. On note \mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1} \mathrm{B} et on définit la suite (\mathrm{W}_n) par la relation \mathrm{W}_{n}=\mathrm{V}_{n}-\mathrm{C} valable pour tout entier naturel n.
Justifier que, pour tout entier naturel n, \mathrm{W}_{n+1}=\mathrm{AW}_{n} puis exprimer \mathrm{W}_{n} en fonction de \text{A} et de n.

c. Exprimer alors, pour tout entier naturel n, \mathrm{V}_{n} en fonction de \text{A}, de \text{C} et de n.

3. a. On rappelle qu'il existe une matrice carrée inversible \text{P} telle que \mathrm{A}=\mathrm{PDP}^{-1} où \mathrm{D}=\left(\begin{array}{cc}\frac{20-\sqrt{5}}{25} & 0 \\ 0 & \frac{20+\sqrt{5}}{25}\end{array}\right).
Pour tout entier naturel n, exprimer \mathrm{V}_{n} en fonction de n.

b. En déduire la limite des suites (b_n) et (g_n).
Ces limites dépendent‑elles du choix de b_0 et de g_0 ?

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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre :

p. 238

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Le Grand Oral

Entraînez-vous au Grand Oral et enregistrez-vous sur

LLS.fr/GrandOralMaths

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Au cours de l'enseignement de spécialité, vous avez étudié les suites numériques.

1. Expliciter une méthode, reposant sur les notions de ce chapitre, permettant d'étudier des suites couplées telles que les suites (u_n) et (v_n) définies par u_0=4, v_0=1 et, pour tout entier naturel n, \left\{\begin{array}{c}u_{n+1}=3 u_{n}-2 v_{n} \\ v_{n+1}=u_{n}+4 v_{n}\end{array}\right..

2. Donner quelques exemples de situations concrètes permettant d'aboutir à des modélisations de ce type.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le

Grand Oral p. 244

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