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Synthèse
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79
[Calculer, Représenter.]
D’après bac ES, Liban, 2019

Les clients d’un restaurant sont des habitués qui y déjeunent tous les jours. En septembre 2018, le restaurateur propose trois nouveaux plats : plat , plat et plat . D’un jour à l’autre, il constate que :
  • parmi les clients ayant choisi le plat  : 30 % reprennent le plat le lendemain, 50 % prennent le plat le lendemain ;
  • parmi les clients ayant choisi le plat  : 30 % reprennent le plat le lendemain, 60 % prennent le plat le lendemain ;
  • parmi les clients ayant choisi le plat  : 35 % prennent le plat le lendemain, 45 % prennent le plat le lendemain.

On note pour tout entier non nul :
  • la proportion de clients ayant choisi le plat le ‑ième jour ;
  • la proportion de clients ayant choisi le plat le ‑ième jour ;
  • la proportion de clients ayant choisi le plat le ‑ième jour.

Pour tout entier , on note l’état probabiliste le ‑ième jour.

1. Représenter cette situation en complétant le graphe probabiliste ci‑dessous.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 79
Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

2. Donner la matrice de transition de ce graphe, en respectant l’ordre alphabétique des sommets.


3. Le restaurateur a noté que, le premier jour,  % des clients ont pris le plat ,  % ont pris le plat et  % ont pris le plat . Donner .


4. Calculer .


5. Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ  %.
A‑t‑il raison ? Justifier.
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80
[Calculer, Modéliser.]
On modélise l’attente dans une file par le graphe probabiliste ci‑dessous.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 80

À son arrivée, le client est en . Quand il avance, il va tout d’abord en , puis en où il est pris en charge.
Chaque minute, il a une probabilité égale à de rester en ou en . On cherche à estimer la durée d’attente dans la file, c’est‑à‑dire le nombre de minutes avant d’atteindre l’état .
Pour tout entier naturel, la matrice ligne représente l’état probabiliste au bout de minutes d’attente, où , et désignent les probabilités d’être respectivement en , en et en , minutes après l’arrivée.

1. Déterminer la matrice de transition de ce graphe probabiliste.


2. Déterminer l’état initial .


3. Vérifier que est une distribution invariante de la chaîne de Markov associée.


4. Quelle est l’attente minimale d’un client ?


5. On considère les deux matrices suivantes :
et .

a. Déterminer, pour tout entier naturel non nul, .


b. Calculer puis .


c. Montrer que, pour tout entier naturel non nul,
.



Aide
On pourra démontrer ce résultat par récurrence sur .


d. Montrer que converge vers la distribution invariante obtenue en question 3..


6. Soit la variable aléatoire correspondant au nombre de minutes d’attente.
a. Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , on a .


b. Exprimer alors l’espérance de en fonction des .


c. En utilisant les résultats sur les sommes des termes de suites géométriques, déterminer l’espérance de .


d. Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l’exercice.
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81
[Modéliser, Calculer.]
D’après bac ES, Métropole, juin 2017

Dans un jeu vidéo, une suite d’énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories : les énigmes de catégorie sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie sont les énigmes difficiles.
Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :
  • la première énigme est facile ;
  • si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à  ;
  • si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à .

On modélise cette situation par une chaîne de Markov où, pour tout , si la ‑ième énigme est facile et sinon.

1. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire .


2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets et .

Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. Écrire la matrice associée à ce graphe.


4. Déterminer la loi de probabilité de .


5. Pour tout , il existe deux nombres réels dans tels que la loi de probabilité de soit donnée dans le tableau suivant.


a. Justifier que, pour tout , .


b. Pour tout entier naturel , on pose .
Montrer que est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.


c. Exprimer en fonction de , puis montrer que pour tout entier , .
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82
ALGORITHME PAGERANK
[Chercher, Raisonner.]
Cet exercice est une illustration d’un des défauts de l’algorithme PageRank étudié en TP.
On considère le graphe orienté suivant.
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 82

En utilisant l’algorithme PageRank, déterminer la pondération attribuée à chaque sommet.
En quoi est‑ce problématique ?
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83
APPROFONDISSEMENT
[Raisonner, Modéliser.]
Modèle des urnes d’Ehrenfest

On considère deux urnes et et un entier .
Au départ de l’expérience, boules numérotées de à sont placées dans l’urne . On répète ensuite fois les actions suivantes :
  • on choisit au hasard et de manière équiprobable un nombre entre et  ;
  • on déplace ensuite la boule numérotée dans l’urne dans laquelle elle ne se trouve pas.

Dans cet exercice on s’intéresse au cas .
Une étude pour quelconque est proposée algorithmiquement dans le TP 1 p. 218 de ce chapitre.
On posons la variable aléatoire correspondant au nombre de boules contenu dans l’urne à la ‑ième étape de l’expérience.

1. Dresser une liste des valeurs pouvant être prises par .


On cherche dans la suite à représenter cette situation sous la forme d’une chaîne de Markov correspondant au graphe probabiliste ci‑dessous. Les questions suivantes ont pour but de le compléter.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 83

2. Justifier que, pour tout , et pour tout , .


3. Justifier que, pour tout , et .


4. En déduire, pour tout , la valeur de et .


5. Déterminer et .
En déduire la matrice de transition associée à cette chaîne de Markov.


6. Montrer que, pour tout , si est impair, et si est pair.


7. Déterminer la distribution de probabilité initiale de cette chaîne de Markov.


8. En déduire, pour tout , la distribution de probabilité à la ‑ième étape.


9. En déduire, pour tout , le nombre moyen de boules dans l’urne à la ‑ième étape.
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84
[Communiquer, Raisonner.]
Soit un nombre réel. On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 84

1. Compléter ce graphe.
(Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.)

2. Déterminer les valeurs possibles de .


3. On désigne respectivement par et la matrice identité d’ordre et la matrice de taille dont tous les coefficients sont égaux à .
a. Montrer que la matrice de transition associée à ce graphe probabiliste, où les sommets sont rangés dans l’ordre alphabétique, peut s’écrire sous la forme , où on exprimera en fonction de .


b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul, .


c. Vérifier que puis montrer que, pour tout entier naturel  :
.


Aide
On admet que si et sont deux matrices carrées de taille 3 vérifiant , alors, pour tout entier naturel non nul , .


4. On admet que la distribution initiale est .
a. Déterminer la distribution de probabilité après transitions, notée .


b. Déterminer le comportement asymptotique de la chaîne de Markov.
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85
[Communiquer, Raisonner.]
Le théorème de Perron‑Frobenius implique que si une matrice de transition (ou une de ses puissances) a tous ses coefficients strictement positifs, alors, quelle que soit la distribution initiale, il existe une unique distribution invariante pour la chaîne de Markov associée.

1. Vérifier que la matrice de transition associée au graphe probabiliste ci‑dessous, et obtenue en rangeant les sommets dans l’ordre alphabétique, n’a pas que des coefficients strictement positifs.

Chaîne de markoff Synthèse



2. Soient la matrice carrée de taille 3 dont tous les coefficients sont égaux à et un réel appartenant à .
a. Montrer que la matrice définit une matrice de transition dont tous les coefficients sont strictement positifs.


Aide
On commencera par étudier le signe de .


b. Construire le graphe probabiliste correspondant.

Remarque
C’est l’une des astuces pour améliorer l’algorithme PageRank présenté dans le TP 2. Avec une valeur de proche de , les résultats de l’algorithme sont améliorés.

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86
APPROFONDISSEMENT
[Modéliser.]
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 86

Modèle « proie‑prédateur »

Dans un étang se trouvent deux populations de poissons : des gardons et des brochets.
Le brochet étant un prédateur naturel du gardon, sa population varie en fonction :
  • du nombre de brochets déjà présents dans l’étang (reproduction) ;
  • du nombre de gardons déjà présents dans l’étang (proies).

De la même manière, la population du gardon évolue en fonction :
  • du nombre de gardons déjà présents dans l’étang (reproduction) ;
  • du nombre de brochets déjà présents dans l’étang (prédateurs).

Au 1er janvier 2020, on compte 2 000 gardons et 100 brochets dans l’étang.
Pour tout entier naturel , on note respectivement et le nombre de gardons et de brochets dans l’étang au 1er janvier de l’année 2020 .
On a donc et .
Dans ce problème, on étudiera différentes modélisations de cette situation.
Chacune de ces parties est indépendante des précédentes.

Partie A : Première modélisation
Dans cette partie, on suppose que la situation peut être modélisée par .
Pour tout entier naturel , on note la suite .

1. Écrire le système ci‑dessus sous la forme d’un système matriciel , où est une matrice à déterminer.


2. Exprimer alors en fonction de et de .


3. a. À l’aide de la calculatrice, déterminer alors et interpréter les résultats obtenus (on arrondira les résultats obtenus à l’unité).


b. Donner une estimation du nombre de brochets et de gardons vivant dans l’étang au 1er janvier 2110.


4. a. On admet qu’il existe une matrice carrée inversible telle que .
Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de , puis en fonction de et de .


b. En déduire la limite des suites et .
Ces limites dépendent‑elles du choix de et de  ?


Partie B : Seconde modélisation
Afin d’enrayer la disparition des espèces (Partie A), on introduit chaque année 50 gardons supplémentaires dans l’étang. La situation peut être modélisée par :
.

Pour tout entier naturel , on note la suite .

1. Écrire le système ci‑dessus sous la forme d’un système matriciel , où et sont deux matrices à déterminer.


2. a. Calculer puis justifier que est inversible.


b. On note et on définit la suite par la relation valable pour tout entier naturel .
Justifier que, pour tout entier naturel , puis exprimer en fonction de et de .


c. Exprimer alors, pour tout entier naturel , en fonction de , de et de .


3. a. On rappelle qu’il existe une matrice carrée inversible telle que .
Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de .


b. En déduire la limite des suites et .
Ces limites dépendent‑elles du choix de et de  ?
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Exercice transversal en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Expertes

Le Grand Oral

Entraînez-vous au Grand Oral et enregistrez-vous sur LLS.fr/GrandOralMaths


Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d’appui à des questions de Grand Oral.
Voici un exemple, basé sur l’enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.

Au cours de l’enseignement de spécialité, vous avez étudié les suites numériques.

1. Expliciter une méthode, reposant sur les notions de ce chapitre, permettant d’étudier des suites couplées telles que les suites et définies par , et, pour tout entier naturel , .


2. Donner quelques exemples de situations concrètes permettant d’aboutir à des modélisations de ce type.


Méthodologie
Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 244
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