L’une des manières de programmer un robot consiste à le laisser expérimenter de manière aléatoire différentes solutions face à un problème qu’il peut
rencontrer.
Les différents états du robot sont modélisés par les sommets d’un graphe et la transition entre ces différents états est modélisée par les arêtes de ce graphe. À chaque arête est affectée une probabilité.
Le comportement n’est pas déterministe, mais son comportement est asymptotiquement prévisible.
Capacités attendues - chapitre 7
1. Étudier une suite de matrices colonnes (Un) définie par une relation de récurrence Un+1=AUn+B.
2. Modéliser une situation par un graphe (probabiliste).
3. Associer un graphe orienté pondéré à une chaîne de Markov à deux ou trois états.
4. Étudier une chaîne de Markov à deux ou trois états pour calculer des probabilités, déterminer une probabilité invariante, etc.
Avant de commencer
Prérequis
1. Effectuer des opérations sur les matrices.
2. Utiliser les probabilités conditionnelles.
3. Maîtriser les suites.
4. Connaître les généralités sur les graphes.
1
Multiplier deux matrices
On considère les matrices 3×3 suivantes :
A=⎝⎛2113−10111⎠⎞ et B=⎝⎛21132−1800⎠⎞.
1. Calculer A×B.
2. Calculer A×(I3−B) de deux manières différentes.
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2
Calculer des puissances de matrice
On considère les matrices 3×3 suivantes :
A=⎝⎛000100110⎠⎞ et B=⎝⎛200020002⎠⎞.
1. Calculer A2 et B2.
2. Montrer que AB=BA.
3. En déduire (A+B)2.
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3
Utiliser le vocabulaire sur les graphes
On considère le graphe suivant.
1. Ce graphe est‑il complet ? Est‑il connexe ?
2. Quel est l’ordre de ce graphe ?
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4
Utiliser une loi de probabilité
On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée ci‑dessous en fonction d’un nombre réel α.
xi
1
2
3
4
P(X=xi)
α
0,4
0,1
α
1. Déterminer α.
2. Calculer l’espérance et la variance de X.
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5
Utiliser une probabilité conditionnelle
Soient A et B deux événements d’un univers tels que P(A)=0,4, P(B)=0,2 et PA(B)=0,1.
1. Calculer P(A∩B).
2. En déduire P(A∪B).
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6
Utiliser la formule des probabilités totales
Soient A et B deux événements d’un univers tels que P(A)=0,4, PA(B)=0,1 et PA(B)=0,3.
Calculer P(B).
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7
Déterminer la limite de suites
1. Donner les limites éventuelles des suites suivantes dont on donne le terme général, pour tout entier naturel n.
a.un=3n
b.vn=0,3n
c.wn=(−3)n
2. Soit θ un nombre réel fixé.
Déterminer la limite éventuelle de la suite (tn) définie, pour tout entier n, par tn=cos(θn).
On pourra distinguer plusieurs cas.
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8
Problème
On considère la suite (un) définie par u0=1 et, pour tout n∈N, un+1=0,5un+3.
1. Montrer que la suite (vn) définie, pour tout n∈N, par vn=un−6 est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Exprimer, pour tout n∈N, vn en fonction de n puis un en fonction de n.
3. En déduire la limite de un.
4. On admet que la suite (un) est croissante.
Écrire un algorithme permettant de déterminer le rang à partir duquel les termes de la suite (un) sont supérieurs ou égaux à 5,5.
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Anecdote
Andreï Markov, mathématicien russe, était surnommé l’enragé. De tendance moderniste, il s’est illustré par ses sorties contre le tsar ou contre le clergé orthodoxe. C’est en partie en cherchant à contredire un contemporain monarchiste et conservateur qu’il élabora sa théorie sur les chaînes aléatoires qui portent son nom.
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