Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

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Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 7

Suites et matrices

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Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - Ouverture - Robot

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Crédits : Kristoffer Tripplaar / Alamy

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Capacités attendues

1. Étudier une suite de matrices colonnes

(U_{n})

définie par une relation de récurrence

U_{n + 1} = A U_{n} + B

.

2. Modéliser une situation par un graphe (probabiliste).

3. Associer un graphe orienté pondéré à une chaîne de Markov à deux ou trois états.

4. Étudier une chaîne de Markov à deux ou trois états pour calculer des probabilités, déterminer une probabilité invariante, etc.

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L'une des manières de programmer un robot consiste à le laisser expérimenter de manière aléatoire différentes solutions face à un problème qu'il peut rencontrer. Les différents états du robot sont modélisés par les sommets d'un graphe et la transition entre ces différents états est modélisée par les arêtes de ce graphe. À chaque arête est affectée une probabilité. Le comportement n'est pas déterministe, mais son comportement est asymptotiquement prévisible.

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Avant de commencer

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Prérequis

1. Effectuer des opérations sur les matrices.
2. Utiliser les probabilités conditionnelles.
3. Maîtriser les suites.
4. Connaître les généralités sur les graphes.

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Anecdote

Andreï Markov, mathématicien russe, était surnommé l'enragé. De tendance moderniste, il s'est illustré par ses sorties contre le tsar ou contre le clergé orthodoxe. C'est en partie en cherchant à contredire un contemporain monarchiste et conservateur qu'il élabora sa théorie sur les chaînes aléatoires qui portent son nom.

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1
Multiplier deux matrices

On considère les matrices

3 \times 3

suivantes :

A = ⎝ ⎛ 211 3 - 1 0 111 ⎠ ⎞

B = ⎝ ⎛ 211 32 - 1 800 ⎠ ⎞

1. Calculer

A \times B

2. Calculer

A \times (I_{3} - B)

de deux manières différentes.

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2
Calculer des puissances de matrice

On considère les matrices

3 \times 3

suivantes :

A = ⎝ ⎛ 000100110 ⎠ ⎞

B = ⎝ ⎛ 200020002 ⎠ ⎞

1. Calculer

A^{2}

B^{2}

2. Montrer que

A B = B A

3. En déduire

(A + B)^{2}

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3
Utiliser le vocabulaire sur les graphes

On considère le graphe suivant.

maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 3

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1. Ce graphe est‑il complet ? Est‑il connexe ?

2. Quel est l'ordre de ce graphe ?

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4
Utiliser une loi de probabilité

On considère une variable aléatoire

X

dont la loi de probabilité est donnée ci‑dessous en fonction d'un nombre réel

α

$x_{i}$	1	2	3	4
$P (X = x_{i})$	$α$	$0, 4$	$0, 1$	$α$

1. Déterminer

α

2. Calculer l'espérance et la variance de

X

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5
Utiliser une probabilité conditionnelle

Soient

A

B

deux événements d'un univers tels que

P (A) = 0, 4

P (B) = 0, 2

P_{A} (B) = 0, 1

1. Calculer

P (A \cap B)

2. En déduire

P (A \cup B)

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6
Utiliser la formule des probabilités totales

Soient

A

B

deux événements d'un univers tels que

P (A) = 0, 4

P_{A} (B) = 0, 1

P_{\overline{A}} (B) = 0, 3

.
Calculer

P (B)

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7
Déterminer la limite de suites

1. Donner les limites éventuelles des suites suivantes dont on donne le terme général, pour tout entier naturel

n

.
a.

u_{n} = 3^{n}

v_{n} = 0, 3^{n}

w_{n} = (- 3)^{n}

2. Soit

θ

un nombre réel fixé.
Déterminer la limite éventuelle de la suite

(t_{n})

définie, pour tout entier

n

, par

t_{n} = cos (θ^{n})

.
On pourra distinguer plusieurs cas.

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8
Problème

On considère la suite

(u_{n})

définie par

u_{0} = 1

et, pour tout

n \in N

u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 3

1. Montrer que la suite

(v_{n})

définie, pour tout

n \in N

, par

v_{n} = u_{n} - 6

est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

2. Exprimer, pour tout

n \in N

v_{n}

en fonction de

n

puis

u_{n}

en fonction de

n

3. En déduire la limite de

u_{n}

4. On admet que la suite

(u_{n})

est croissante.
Écrire un algorithme permettant de déterminer le rang à partir duquel les termes de la suite

(u_{n})

sont supérieurs ou égaux à

5, 5

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Multiplier deux matrices

2
Calculer des puissances de matrice

3
Utiliser le vocabulaire sur les graphes

4
Utiliser une loi de probabilité

5
Utiliser une probabilité conditionnelle

6
Utiliser la formule des probabilités totales

7
Déterminer la limite de suites

8
Problème

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