Suites et matrices

1

Multiplier deux matrices

On considère les matrices $3\times 3$ suivantes : $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2& 3& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 8\\ 1& 2& 0\\ 1& -1& 0\end{array}\right)$.
1. Calculer $\mathrm{A}\times \mathrm{B}$.


2. Calculer $\mathrm{A}\times \left({\mathrm{I}}_3-\mathrm{B}\right)$ de deux manières différentes.

2

Calculer des puissances de matrice

On considère les matrices $3\times 3$ suivantes : $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$.
1. Calculer ${\mathrm{A}}^2$ et ${\mathrm{B}}^2$.


2. Montrer que $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{B}\mathrm{A}$.


3. En déduire $(\mathrm{A}+\mathrm{B}{)}^2$.

3

Utiliser le vocabulaire sur les graphes

On considère le graphe suivant.

1. Ce graphe est‑il complet ? Est‑il connexe ?


2. Quel est l’ordre de ce graphe ?

4

Utiliser une loi de probabilité

On considère une variable aléatoire $\mathrm{X}$ dont la loi de probabilité est donnée ci‑dessous en fonction d’un nombre réel $\alpha$.


1. Déterminer $\alpha$.


2. Calculer l’espérance et la variance de $\mathrm{X}$.

5

Utiliser une probabilité conditionnelle

Soient $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ deux événements d’un univers tels que $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0,4$, $\mathrm{P}(\mathrm{B})=0,2$ et ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0,1$.

1. Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})$.


2. En déduire $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cup \mathrm{B})$.

6

Utiliser la formule des probabilités totales

Soient $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ deux événements d’un univers tels que $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0,4$, ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0,1$ et ${\mathrm{P}}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B})=0,3$.
Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{B})$.

7

Déterminer la limite de suites

1. Donner les limites éventuelles des suites suivantes dont on donne le terme général, pour tout entier naturel $n$.
a. $u_n=3^n$


b. $v_n=0,3^n$


c. $w_n=(-3{)}^n$


2. Soit $\theta$ un nombre réel fixé.
Déterminer la limite éventuelle de la suite $(t_n)$ définie, pour tout entier $n$, par $t_n=\cos \left({\theta }^n\right)$.
On pourra distinguer plusieurs cas.

8

Problème

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=0,5u_n+3$.

1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $v_n=u_n-6$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.


2. Exprimer, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_n$ en fonction de $n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.


3. En déduire la limite de $u_n$.


4. On admet que la suite $(u_n)$ est croissante.
Écrire un algorithme permettant de déterminer le rang à partir duquel les termes de la suite $(u_n)$ sont supérieurs ou égaux à $5,5$.