Suites et matrices

1

Multiplier deux matrices

On considère les matrices $3 \times 3$ suivantes : $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right)$.
1. Calculer $\mathrm{A} \times \mathrm{B}$.


2. Calculer $\mathrm{A} \times\left(\mathrm{I}_{3}-\mathrm{B}\right)$ de deux manières différentes.

2

Calculer des puissances de matrice

On considère les matrices $3 \times 3$ suivantes : $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
1. Calculer $\mathrm{A}^{2}$ et $\mathrm{B}^{2}$.


2. Montrer que $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$.


3. En déduire $(\mathrm{A}+\mathrm{B})^{2}$.

3

Utiliser le vocabulaire sur les graphes

On considère le graphe suivant.

1. Ce graphe est‑il complet ? Est‑il connexe ?


2. Quel est l’ordre de ce graphe ?

4

Utiliser une loi de probabilité

On considère une variable aléatoire $\mathrm{X}$ dont la loi de probabilité est donnée ci‑dessous en fonction d’un nombre réel $\alpha$.


1. Déterminer $\alpha$.


2. Calculer l’espérance et la variance de $\mathrm{X}$.

5

Utiliser une probabilité conditionnelle

Soient $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ deux événements d’un univers tels que $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0{,}4$, $\mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}2$ et $\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0{,}1$.

1. Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$.


2. En déduire $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})$.

6

Utiliser la formule des probabilités totales

Soient $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ deux événements d’un univers tels que $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0{,}4$, $\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0{,}1$ et $\mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B})=0,3$.
Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{B})$.

7

Déterminer la limite de suites

1. Donner les limites éventuelles des suites suivantes dont on donne le terme général, pour tout entier naturel $n$.
a. $u_{n}=3^{n}$


b. $v_{n}=0{,}3^{n}$


c. $w_{n}=(-3)^{n}$


2. Soit $\theta$ un nombre réel fixé.
Déterminer la limite éventuelle de la suite $(t_n)$ définie, pour tout entier $n$, par $t_{n}=\cos \left(\theta^{n}\right)$.
On pourra distinguer plusieurs cas.

8

Problème

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_{0}=1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=0{,}5 u_{n}+3$.

1. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $v_{n}=u_{n}-6$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.


2. Exprimer, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n$ en fonction de $n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.


3. En déduire la limite de $u_n$.


4. On admet que la suite $(u_n)$ est croissante.
Écrire un algorithme permettant de déterminer le rang à partir duquel les termes de la suite $(u_n)$ sont supérieurs ou égaux à $5{,}5$.