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Suites et matrices
P.206-207

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Chapitre 7


Suites et matrices





Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - Ouverture - Robot

L’une des manières de programmer un robot consiste à le laisser expérimenter de manière aléatoire différentes solutions face à un problème qu’il peut rencontrer.
Les différents états du robot sont modélisés par les sommets d’un graphe et la transition entre ces différents états est modélisée par les arêtes de ce graphe. À chaque arête est affectée une probabilité.
Le comportement n’est pas déterministe, mais son comportement est asymptotiquement prévisible.

Capacités attendues - chapitre 7

1. Étudier une suite de matrices colonnes (Un)(\mathrm{U}_n) définie par une relation de récurrence Un+1=AUn+B\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}.

2. Modéliser une situation par un graphe (probabiliste).

3. Associer un graphe orienté pondéré à une chaîne de Markov à deux ou trois états.

4. Étudier une chaîne de Markov à deux ou trois états pour calculer des probabilités, déterminer une probabilité invariante, etc.

Avant de commencer

Prérequis

1. Effectuer des opérations sur les matrices.
2. Utiliser les probabilités conditionnelles.
3. Maîtriser les suites.
4. Connaître les généralités sur les graphes.

1
Multiplier deux matrices

On considère les matrices 3×33 \times 3 suivantes :
A=(231111101)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) et B=(238120110)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right).

1. Calculer A×B\mathrm{A} \times \mathrm{B}.


2. Calculer A×(I3B)\mathrm{A} \times\left(\mathrm{I}_{3}-\mathrm{B}\right) de deux manières différentes.
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2
Calculer des puissances de matrice

On considère les matrices 3×33 \times 3 suivantes :
A=(011001000)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) et B=(200020002)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right).

1. Calculer A2\mathrm{A}^{2} et B2\mathrm{B}^{2}.


2. Montrer que AB=BA\mathrm{AB}=\mathrm{BA}.


3. En déduire (A+B)2(\mathrm{A}+\mathrm{B})^{2}.
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3
Utiliser le vocabulaire sur les graphes

On considère le graphe suivant.

maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 3

1. Ce graphe est‑il complet ? Est‑il connexe ?


2. Quel est l’ordre de ce graphe ?
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4
Utiliser une loi de probabilité

On considère une variable aléatoire X\mathrm{X} dont la loi de probabilité est donnée ci‑dessous en fonction d’un nombre réel α\alpha.

xi\boldsymbol{\color{white}x_i} 1 2 3 4
P(X=xi)\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right) α\alpha 0,40{,}4 0,10{,}1 α\alpha

1. Déterminer α\alpha.


2. Calculer l’espérance et la variance de X\mathrm{X}.
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5
Utiliser une probabilité conditionnelle

Soient A\mathrm{A} et B\mathrm{B} deux événements d’un univers tels que P(A)=0,4\mathrm{P}(\mathrm{A})=0{,}4, P(B)=0,2\mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}2 et PA(B)=0,1\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0{,}1.

1. Calculer P(AB)\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).


2. En déduire P(AB)\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}).
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6
Utiliser la formule des probabilités totales

Soient A\mathrm{A} et B\mathrm{B} deux événements d’un univers tels que P(A)=0,4\mathrm{P}(\mathrm{A})=0{,}4, PA(B)=0,1\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0{,}1 et PA(B)=0,3\mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B})=0,3.
Calculer P(B)\mathrm{P}(\mathrm{B}).
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7
Déterminer la limite de suites

1. Donner les limites éventuelles des suites suivantes dont on donne le terme général, pour tout entier naturel nn.
a. un=3nu_{n}=3^{n}


b. vn=0,3nv_{n}=0{,}3^{n}


c. wn=(3)nw_{n}=(-3)^{n}


2. Soit θ\theta un nombre réel fixé.
Déterminer la limite éventuelle de la suite (tn)(t_n) définie, pour tout entier nn, par tn=cos(θn)t_{n}=\cos \left(\theta^{n}\right).
On pourra distinguer plusieurs cas.
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8
Problème

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_{0}=1 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=0,5un+3u_{n+1}=0{,}5 u_{n}+3.

1. Montrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) définie, pour tout nNn \in \mathbb{N}, par vn=un6v_{n}=u_{n}-6 est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.


2. Exprimer, pour tout nNn \in \mathbb{N}, vnv_n en fonction de nn puis unu_n en fonction de nn.


3. En déduire la limite de unu_n.


4. On admet que la suite (un)(u_n) est croissante.
Écrire un algorithme permettant de déterminer le rang à partir duquel les termes de la suite (un)(u_n) sont supérieurs ou égaux à 5,55{,}5.



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Anecdote

Andreï Markov, mathématicien russe, était surnommé l’enragé. De tendance moderniste, il s’est illustré par ses sorties contre le tsar ou contre le clergé orthodoxe. C’est en partie en cherchant à contredire un contemporain monarchiste et conservateur qu’il élabora sa théorie sur les chaînes aléatoires qui portent son nom.
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