On considère une forêt dans laquelle vivent deux espèces : des lapins et des renards. Les renards sont les prédateurs des lapins. On observe l’évolution de la population de chacune de ces deux espèces.
Pour tout entier
n, on note respectivement
rn et
ℓn la population de renards et de lapins lors de l’année
2020+n.
Après une étude, les biologistes ont déterminé que les suites
(rn) et
(ℓn) sont naturellement définies, pour tout entier naturel
n, de la manière suivante :
{rn+1=0,9rn+0,01ℓnℓn+1=−rn+1,01ℓn et {r0=10ℓ0=10 000.
Si on note
Xn la matrice colonne
(rnℓn), déterminer la matrice
A telle que, pour tout
n∈N,
Xn+1=AXn.
Exprimer, pour tout
n∈N,
Xn en fonction de
A, de
X0 et de
n.
a) Afin d’organiser une chasse dans la forêt, chaque année, on relâche 1 000 lapins et on abat 10 renards.
Modifier la relation de récurrence entre
Xn+1 et
Xn pour tenir compte de cette information.
b) Calculer alors
X1,
X2 et
X3.