Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Activités

Suites et matrices

A
Suite de matrices - modèle « proies-prédateurs »

Objectif : Généraliser la notion de suite aux matrices.
On considère une forêt dans laquelle vivent deux espèces : des lapins et des renards. Les renards sont les prédateurs des lapins. On observe l'évolution de la population de chacune de ces deux espèces.
Pour tout entier , on note respectivement et la population de renards et de lapins lors de l'année .
Après une étude, les biologistes ont déterminé que les suites et sont naturellement définies, pour tout entier naturel , de la manière suivante :

et .
1
Si on note la matrice colonne , déterminer la matrice telle que, pour tout , .


2
Exprimer, pour tout , en fonction de , de et de .


3
a) Afin d'organiser une chasse dans la forêt, chaque année, on relâche 1 000 lapins et on abat 10 renards.
Modifier la relation de récurrence entre et pour tenir compte de cette information.


b) Calculer alors , et .
Bilan
Dans chacun des cas étudiés au cours de cette activité, expliciter une méthode permettant d'exprimer, pour tout entier , en fonction de .

B
Chaînes de Markov

Objectif : Introduire la notion de chaîne de Markov.
Chaque semaine, un agriculteur propose à la vente un jus de fruit dans une bouteille en verre que les clients doivent rapporter lors de l'achat suivant.
On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant.
Une étude statistique donne les résultats suivants :
  • à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille s'élève à  ;
  • si le client a rapporté la bouteille une semaine donnée, alors la probabilité qu'il la ramène la semaine suivante vaut alors qu'elle ne vaut que dans le cas contraire.
On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur et on note, pour tout entier naturel non nul, l'événement « Le client rapporte la bouteille de la ‑ième semaine. » et sa probabilité. On a donc .

Partie A : En utilisant un arbre pondéré

1
Déterminer et .


2
Compléter l'arbre pondéré ci‑contre.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

3
Justifier que, pour tout entier naturel non nul, .


4
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul  :
.


Partie B : En utilisant un graphe probabiliste

1
On donne ci‑dessous le graphe probabiliste correspondant à la situation.
La matrice , appelée matrice de transition, synthétise le passage d'un état ( ou ) à l'état suivant.
À l'aide du contexte, expliquer le fonctionnement du graphe probabiliste puis le compléter.


Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

et .

2
On note, pour tout , la probabilité et la matrice .
Justifier que, pour tout , .


3
Après avoir justifié que, pour tout entier naturel non nul , , montrer que .
Bilan
On considère une situation probabiliste où seulement deux événements se succèdent : et son complémentaire . Comment représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré ? À l'aide d'un graphe probabiliste ?
Déterminer un avantage du graphe par rapport à l'arbre.



Dessinez ici

C
Comportement asymptotique

Objectif : Étudier le comportement asymptotique d'une chaîne de Markov.
On considère la chaîne de Markov à deux états et définie par la matrice de transition et par la distribution initiale , les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique.
1
Représenter cette chaîne de Markov à l'aide d'un graphe.

Dessinez ici

2
Calculer la distribution de probabilité après une étape puis après deux étapes.


3
À l'aide du programme ci‑dessous, conjecturer la distribution asymptotique de cette chaîne de Markov.


4
En modifiant le programme, estimer si la distribution asymptotique est dépendante de la distribution initiale.


from random import*

proba_initiale_A = 0.3
proba_initiale_B = 1 - proba_initiale_A

pAA = 0.9
pAB = 0.1
pBA = 0.4
pBB = 0.6

def etat_suivant(etat):
  if etat == "A":
    if random() < pAB:
      return "B"
    else:
      return "A"
  if etat == "B":
    if random() < pBA:
      return "A"
    else:
      return "B"
  
def etat_asymptotique():
  if random() < proba_initiale_A:
    etat = "A"
  else:
    etat = "B"
  for i in range(1000):
    etat = etat_suivant(etat)
  return etat


def simule_distribution(n):
  total = 0
  for i in range(n):
    if etat_asymptotique() == "A":
      total = total + 1
  resultat = total/n
  return resultat
Bilan
On note la matrice correspondant à la distribution asymptotique obtenue. Justifier qu'on a et interpréter le résultat.

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