Exercices d'auto‑évaluation

9

La suite de matrices \left(\mathrm{U}_{n}\right) définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par \left\{\begin{array}{c}\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1\end{array}\right) \\ \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}\end{array}\right. avec \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) vérifie :

a. \mathrm{U}_{1}=\left(\begin{array}{l}6 \\ 2\end{array}\right).

b. \mathrm{U}_{2}=\left(\begin{array}{l}16 \\ 4\end{array}\right).

c. si \mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}+\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right), alors \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}.

d. si \mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}+\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right), alors \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}.

10

La somme des coefficients des arêtes orientées qui sont issues d'un sommet d'un graphe représentant une chaîne de Markov vaut :

a. 0

b. \frac{1}{2}

c. 1

d. 2

11

12

On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}2 & 0{,}4 & 0{,}4 \\ 0{,}5 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}8 & 0 & 0{,}2\end{array}\right). On note \mathrm{P}_{0}=(0{,}5 \quad 0{,}4 \quad 0{,}1). La distribution \mathrm{P}_1 est :

a. \mathrm{P}_{1}=(0{,}38 \quad 0{,}28 \quad 0{,}34)

b. \mathrm{P}_{1}=(0{,}45 \quad 0{,}22 \quad 0{,}42)

c. \mathrm{P}_{1}=(0 \quad 1 \quad 0)

d. \mathrm{P}_{1}=\left(\frac{1}{3} \quad \frac{1}{3} \quad \frac{1}{3}\right)

13

On peut affirmer que :

a. \pi=\left(\frac{72}{137} \quad \frac{65}{137}\right).

b. \pi=\left(\frac{65}{137} \quad \frac{72}{137}\right).

c. il existe une unique distribution invariante \pi pour la chaîne de Markov.

d. il n'existe pas de distribution invariante pour la chaîne de Markov.

14

On note \pi_{0}=(0{,}5 \quad 0{,}5) la distribution initiale. On a :

a. \pi_{1}=(0{,}465 \quad 0{,}535)

b. \pi_{2}=(0{,}47795 \quad 0{,}52205)

c. \pi_{3}=(0{,}4731 \quad 0{,}5268)

d. \pi_{4}=\pi

15

La distribution de probabilité au bout de dix transitions d'une chaîne de Markov de distribution initiale \pi_0 et de matrice de transition \mathrm{P} est :

a. \pi_{0} \mathrm{P}.

b. \pi_{0} \mathrm{P}^{10}.

c. une loi de probabilité.

d. impossible à prévoir.

16

On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition \mathrm{I}_3. Alors une distribution invariante :

a. est \pi=(1 \quad 0 \quad 0).

b. est \pi=(0{,}5 \quad 0{,}2 \quad 0{,}3).

c. est \pi=(0 \quad 0 \quad 1).

d. n'existe pas.

A

On considère la suite de matrices colonnes définie par \text{U}_0=\begin{pmatrix}10\\20\\10\end{pmatrix} et, pour tout n \in \mathbb{N}, \text{U}_{n+1}=\text{U}_{n}+\text{B} avec \text{B}=\begin{pmatrix}3\\-5\\2 \end{pmatrix}. Alors on peut écrire, pour tout n \in \mathbb{N} :

a. \text{U}_n=\begin{pmatrix}10+3^n\\20-5^n\\10+2^n \end{pmatrix}

b. \text{U}_n=\begin{pmatrix} 10\times3^n\\20\times(-5)^n\\10\times2^n \end{pmatrix}

c. \text{U}_n=\begin{pmatrix} 10+3n\\20-5n\\10+2n\end{pmatrix}

d. Aucune des trois autres réponses.

C

E

La distribution invariante de la chaîne de Markov \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix} est :

a. \begin{pmatrix} \dfrac{1}{6} & \dfrac{5}{6} \end{pmatrix}.

b. \begin{pmatrix} \dfrac{2}{6} & \dfrac{4}{6} \end{pmatrix}.

c. \begin{pmatrix} \dfrac{5}{6} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}.

d. \begin{pmatrix} \dfrac{4}{6} & \dfrac{2}{6} \end{pmatrix}.

F

Soit la suite (\text{U}_n) de matrices colonnes définie par \text{U}_0=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\end{pmatrix} et, pour tout n \in \mathbb{N}, \text{U}_{n+1}=\text{AU}_n+\text{B} avec \text{A}=\begin{pmatrix}1,5 & 0 \\ 0 & -1,5\end{pmatrix} et \text{B}=\begin{pmatrix}0 \\ -1 \end{pmatrix}. Laquelle ou lesquelles des propositions ci-dessous sont vraies ?

a. \text{U}_1=\begin{pmatrix}3 \\ -4 \end{pmatrix}

b. \text{U}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix}

c. \text{U}_2=\begin{pmatrix}4,5 \\ 5 \end{pmatrix}

d. \text{U}_2=\begin{pmatrix}4,5 \\ -5 \end{pmatrix}

G

Parmi les matrices lignes ci-dessous, lesquelles peuvent correspondre à la distribution initiale d'une chaîne de Markov représentée par ce graphe ?

a. \begin{pmatrix} 0,1 & 0,7 & 0,2\end{pmatrix}

b. \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\end{pmatrix}

c. \begin{pmatrix} 1,3 & 0,1 & -0,4\end{pmatrix}

d. \begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{15}\end{pmatrix}

H

Dans quel(s) cas, la suite de matrices colonnes (\text{U}_n) définie par \text{U}_0 et, pour tout n \in \mathbb{N}, par \text{U}_{n+1}=\text{AU}_n+\text{B} est-elle constante ?

a. \text{A} est la matrice nulle et \text{B} est une matrice colonne quelconque.

b. \text{A} est la matrice identité et \text{B} est la matrice nulle.

c. \text{A} est la matrice nulle et \text{B} est la matrice nulle.

d. \text{A} est la matrice identité et \text{B} est quelconque.