La suite de matrices (Un) définie, pour tout n∈N, par ⎩⎪⎨⎪⎧U0=(21)Un+1=AUn+B avec A=(2012) et B=(10) vérifie :
10
La somme des coefficients des arêtes orientées qui sont issues d’un sommet d’un graphe représentant une chaîne de Markov vaut :
11
Quelle est la matrice de transition de cette chaîne de Markov ?
12
On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition B=⎝⎛0,20,50,80,40,200,40,30,2⎠⎞. On note P0=(0,50,40,1). La distribution P1 est :
QCM
réponses multiples
[Une ou plusieurs bonnes réponses par question]
Pour les exercices
13
à
16
On donne la matrice P=(0,280,650,720,35) associée à une chaîne de Markov.
13
On peut affirmer que :
14
On note π0=(0,50,5) la distribution initiale. On a :
15
La distribution de probabilité au bout de dix transitions d’une chaîne de Markov de distribution initiale π0 et de matrice de transition P est :
16
On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition I3. Alors une distribution invariante :
Problème
17
Le graphe probabiliste ci‑contre représente une chaîne de Markov, p représentant un nombre réel compris entre 0 et 1.
1. Déterminer p et en déduire la matrice de transition P.
2. Calculer P2 et P3.
3. En déduire la distribution de probabilité après trois étapes de cette chaîne de Markov pour une distribution initiale π0=(0,10,50,4).
QCM supplémentaires
[Une ou plusieurs bonnes réponses par question]
A
On considère la suite de matrices colonnes définie par U0=⎝⎛102010⎠⎞ et, pour tout n∈N, Un+1=Un+B avec B=⎝⎛3−52⎠⎞. Alors on peut écrire, pour tout n∈N :
B
La somme des coefficients d’une matrice de transition associée à une chaîne de Markov à 3 états est 3.
C
Quelle valeur doit on placer sur cette arête pour que le graphe ci-dessous représente une chaîne de Markov ?
D
Quelles valeurs doivent prendre x, y et z pour que le graphe ci-dessous représente une chaîne de Markov ?
E
La distribution invariante de la chaîne de Markov (0,50,10,50,9) est :
F
Soit la suite (Un) de matrices colonnes définie par U0=(22) et, pour tout n∈N, Un+1=AUn+B avec
A=(1,500−1,5) et B=(0−1).
Laquelle ou lesquelles des propositions ci-dessous sont vraies ?
G
Parmi les matrices lignes ci-dessous, lesquelles peuvent correspondre à la distribution initiale d’une chaîne de Markov représentée par ce graphe ?
H
Dans quel(s) cas, la suite de matrices colonnes (Un) définie par U0 et, pour tout n∈N, par Un+1=AUn+B est-elle constante ?
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