Auto-évaluation

9

La suite de matrices $\left(\mathrm{U}_{n}\right)$ définie, pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1\end{array}\right) \\ \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}\end{array}\right.$ avec $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$ vérifie :

a. $\mathrm{U}_{1}=\left(\begin{array}{l}6 \\ 2\end{array}\right)$.

b. $\mathrm{U}_{2}=\left(\begin{array}{l}16 \\ 4\end{array}\right)$.

c. si $\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}+\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right)$, alors $\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}$.

d. si $\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}+\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)$, alors $\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}$.

10

La somme des coefficients des arêtes orientées qui sont issues d’un sommet d’un graphe représentant une chaîne de Markov vaut :
a. $0$

b. $\dfrac{1}{2}$

c. $1$
d. $2$

11

Quelle est la matrice de transition de cette chaîne de Markov ?

a. $\left(\begin{array}{ll}0{,}1 & 0{,}4 \\ 0{,}9 & 0{,}6\end{array}\right)$

b. $\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$

c. $\left(\begin{array}{ll}0{,}1 & 0{,}9 \\ 0{,}4 & 0{,}6\end{array}\right)$

d. $\left(\begin{array}{ll}0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & 0{,}5\end{array}\right)$

12

On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}2 & 0{,}4 & 0{,}4 \\ 0{,}5 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}8 & 0 & 0{,}2\end{array}\right)$. On note $\mathrm{P}_{0}=(0{,}5 \quad 0{,}4 \quad 0{,}1)$. La distribution $\mathrm{P}_1$ est :

a. $\mathrm{P}_{1}=(0{,}38 \quad 0{,}28 \quad 0{,}34)$
b. $\mathrm{P}_{1}=(0{,}45 \quad 0{,}22 \quad 0{,}42)$
c. $\mathrm{P}_{1}=(0 \quad 1 \quad 0)$
d. $\mathrm{P}_{1}=\left(\dfrac{1}{3} \quad \dfrac{1}{3} \quad \dfrac{1}{3}\right)$

Pour les exercices

13

à 

16

On donne la matrice $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}28 & 0{,}72 \\ 0{,}65 & 0{,}35\end{array}\right)$ associée à une chaîne de Markov.

13

On peut affirmer que :

×

a. $\pi=\left(\dfrac{72}{137} \quad \dfrac{65}{137}\right)$.

×

b. $\pi=\left(\dfrac{65}{137} \quad \dfrac{72}{137}\right)$.

×

c. il existe une unique distribution invariante $\pi$ pour la chaîne de Markov.

×

d. il n’existe pas de distribution invariante pour la chaîne de Markov.

14

On note $\pi_{0}=(0{,}5 \quad 0{,}5)$ la distribution initiale. On a :

×

a. $\pi_{1}=(0{,}465 \quad 0{,}535)$

×

b. $\pi_{2}=(0{,}47795 \quad 0{,}52205)$

×

c. $\pi_{3}=(0{,}4731 \quad 0{,}5268)$

×

d. $\pi_{4}=\pi$

15

La distribution de probabilité au bout de dix transitions d’une chaîne de Markov de distribution initiale $\pi_0$ et de matrice de transition $\mathrm{P}$ est :

×

a. $\pi_{0} \mathrm{P}$.

×

b. $\pi_{0} \mathrm{P}^{10}$.

×

c. une loi de probabilité.

×

d. impossible à prévoir.

16

On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition $\mathrm{I}_3$. Alors une distribution invariante :

×

a. est $\pi=(1 \quad 0 \quad 0)$.

×

b. est $\pi=(0{,}5 \quad 0{,}2 \quad 0{,}3)$.

×

c. est $\pi=(0 \quad 0 \quad 1)$.

d. n’existe pas.

17

Le graphe probabiliste ci‑contre représente une chaîne de Markov, $p$ représentant un nombre réel compris entre $0$ et $1$.

1. Déterminer $p$ et en déduire la matrice de transition $\mathrm{P}$.


2. Calculer $\mathrm{P}^2$ et $\mathrm{P}^3$.


3. En déduire la distribution de probabilité après trois étapes de cette chaîne de Markov pour une distribution initiale $\pi_{0}=(0{,}1 \quad 0{,}5 \quad 0{,}4)$.

A

On considère la suite de matrices colonnes définie par $\text{U}_0=\begin{pmatrix}10\\20\\10\end{pmatrix}$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\text{U}_{n+1}=\text{U}_{n}+\text{B}$ avec $\text{B}=\begin{pmatrix}3\\-5\\2 \end{pmatrix}$. Alors on peut écrire, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
a. $\text{U}_n=\begin{pmatrix}10+3^n\\20-5^n\\10+2^n \end{pmatrix}$
b. $\text{U}_n=\begin{pmatrix} 10\times3^n\\20\times(-5)^n\\10\times2^n \end{pmatrix}$
c. $\text{U}_n=\begin{pmatrix} 10+3n\\20-5n\\10+2n\end{pmatrix}$
d. Aucune des trois autres réponses.

B

La somme des coefficients d’une matrice de transition associée à une chaîne de Markov à $3$ états est $3$.

a. Vrai
b. Faux

C

Quelle valeur doit on placer sur cette arête pour que le graphe ci-dessous représente une chaîne de Markov ?

a. $0,83$
b. $0,38$
c. $0,79$
d. $0,21$

D

Quelles valeurs doivent prendre $x$, $y$ et $z$ pour que le graphe ci-dessous représente une chaîne de Markov ?

a. $x=0,07$, $y=0,75$ et $z=0,18$.
b. $x=0,07$, $y=0,85$ et $z=0,08$.
c. $x=0,07$, $y=0,8$ et $z=0,13$.
d. $x=0,15$, $y=0,75$ et $z=0,1$.

E

La distribution invariante de la chaîne de Markov $\begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}$ est :
a. $\begin{pmatrix} \dfrac{1}{6} & \dfrac{5}{6} \end{pmatrix}$.
b. $\begin{pmatrix} \dfrac{2}{6} & \dfrac{4}{6} \end{pmatrix}$.
c. $\begin{pmatrix} \dfrac{5}{6} & \dfrac{1}{6} \end{pmatrix}$.
d. $\begin{pmatrix} \dfrac{4}{6} & \dfrac{2}{6} \end{pmatrix}$.

F

Soit la suite $(\text{U}_n)$ de matrices colonnes définie par $\text{U}_0=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\end{pmatrix}$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\text{U}_{n+1}=\text{AU}_n+\text{B}$ avec $\text{A}=\begin{pmatrix}1,5 & 0 \\ 0 & -1,5\end{pmatrix}$ et $\text{B}=\begin{pmatrix}0 \\ -1 \end{pmatrix}$.
Laquelle ou lesquelles des propositions ci-dessous sont vraies ?

×

a. $\text{U}_1=\begin{pmatrix}3 \\ -4 \end{pmatrix}$

b. $\text{U}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix}$

×

c. $\text{U}_2=\begin{pmatrix}4,5 \\ 5 \end{pmatrix}$

d. $\text{U}_2=\begin{pmatrix}4,5 \\ -5 \end{pmatrix}$

G

Parmi les matrices lignes ci-dessous, lesquelles peuvent correspondre à la distribution initiale d’une chaîne de Markov représentée par ce graphe ?

×

a. $\begin{pmatrix} 0,1 & 0,7 & 0,2\end{pmatrix}$

×

b. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

c. $\begin{pmatrix} 1,3 & 0,1 & -0,4\end{pmatrix}$

d. $\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{15}\end{pmatrix}$

H

Dans quel(s) cas, la suite de matrices colonnes $(\text{U}_n)$ définie par $\text{U}_0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $\text{U}_{n+1}=\text{AU}_n+\text{B}$ est-elle constante ?

a. $\text{A}$ est la matrice nulle et $\text{B}$ est une matrice colonne quelconque.

×

b. $\text{A}$ est la matrice identité et $\text{B}$ est la matrice nulle.

c. $\text{A}$ est la matrice nulle et $\text{B}$ est la matrice nulle.

d. $\text{A}$ est la matrice identité et $\text{B}$ est quelconque.