Auto-évaluation

9

La suite de matrices $\left({\mathrm{U}}_n\right)$ définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $\{\begin{array}{c}{\mathrm{U}}_0=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\\ {\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{U}}_n+\mathrm{B}\end{array}$ avec $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)$ vérifie :

a. ${\mathrm{U}}_1=\left(\begin{array}{l}6\\ 2\end{array}\right)$.

b. ${\mathrm{U}}_2=\left(\begin{array}{l}16\\ 4\end{array}\right)$.

c. si ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{U}}_n+\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$, alors ${\mathrm{V}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{V}}_n$.

d. si ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{U}}_n+\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$, alors ${\mathrm{V}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{V}}_n$.

10

La somme des coefficients des arêtes orientées qui sont issues d’un sommet d’un graphe représentant une chaîne de Markov vaut :
a. $0$

b. $\frac{1}{2}$

c. $1$
d. $2$

11

Quelle est la matrice de transition de cette chaîne de Markov ?

a. $\left(\begin{array}{ll}0,1& 0,4\\ 0,9& 0,6\end{array}\right)$

b. $\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

c. $\left(\begin{array}{ll}0,1& 0,9\\ 0,4& 0,6\end{array}\right)$

d. $\left(\begin{array}{ll}0,5& 0,5\\ 0,5& 0,5\end{array}\right)$

12

On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}0,2& 0,4& 0,4\\ 0,5& 0,2& 0,3\\ 0,8& 0& 0,2\end{array}\right)$. On note ${\mathrm{P}}_0=(0,50,40,1)$. La distribution ${\mathrm{P}}_1$ est :

a. ${\mathrm{P}}_1=(0,380,280,34)$
b. ${\mathrm{P}}_1=(0,450,220,42)$
c. ${\mathrm{P}}_1=(010)$
d. ${\mathrm{P}}_1=\left(\frac{1}{3}\frac{1}{3}\frac{1}{3}\right)$

Pour les exercices

13

à 

16

On donne la matrice $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0,28& 0,72\\ 0,65& 0,35\end{array}\right)$ associée à une chaîne de Markov.

13

On peut affirmer que :

×

a. $\pi =\left(\frac{72}{137}\frac{65}{137}\right)$.

×

b. $\pi =\left(\frac{65}{137}\frac{72}{137}\right)$.

×

c. il existe une unique distribution invariante $\pi$ pour la chaîne de Markov.

×

d. il n’existe pas de distribution invariante pour la chaîne de Markov.

14

On note ${\pi }_0=(0,50,5)$ la distribution initiale. On a :

×

a. ${\pi }_1=(0,4650,535)$

×

b. ${\pi }_2=(0,477950,52205)$

×

c. ${\pi }_3=(0,47310,5268)$

×

d. ${\pi }_4=\pi$

15

La distribution de probabilité au bout de dix transitions d’une chaîne de Markov de distribution initiale ${\pi }_0$ et de matrice de transition $\mathrm{P}$ est :

×

a. ${\pi }_0\mathrm{P}$.

×

b. ${\pi }_0{\mathrm{P}}^{10}$.

×

c. une loi de probabilité.

×

d. impossible à prévoir.

16

On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition ${\mathrm{I}}_3$. Alors une distribution invariante :

×

a. est $\pi =(100)$.

×

b. est $\pi =(0,50,20,3)$.

×

c. est $\pi =(001)$.

d. n’existe pas.

17

Le graphe probabiliste ci‑contre représente une chaîne de Markov, $p$ représentant un nombre réel compris entre $0$ et $1$.

1. Déterminer $p$ et en déduire la matrice de transition $\mathrm{P}$.


2. Calculer ${\mathrm{P}}^2$ et ${\mathrm{P}}^3$.


3. En déduire la distribution de probabilité après trois étapes de cette chaîne de Markov pour une distribution initiale ${\pi }_0=(0,10,50,4)$.

A

On considère la suite de matrices colonnes définie par ${\text{U}}_0=\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\text{U}}_{n+1}={\text{U}}_n+\text{B}$ avec $\text{B}=\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 2\end{array}\right)$. Alors on peut écrire, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :
a. ${\text{U}}_n=\left(\begin{array}{c}10+3^n\\ 20-5^n\\ 10+2^n\end{array}\right)$
b. ${\text{U}}_n=\left(\begin{array}{c}10\times 3^n\\ 20\times (-5{)}^n\\ 10\times 2^n\end{array}\right)$
c. ${\text{U}}_n=\left(\begin{array}{c}10+3n\\ 20-5n\\ 10+2n\end{array}\right)$
d. Aucune des trois autres réponses.

B

La somme des coefficients d’une matrice de transition associée à une chaîne de Markov à $3$ états est $3$.

a. Vrai
b. Faux

C

Quelle valeur doit on placer sur cette arête pour que le graphe ci-dessous représente une chaîne de Markov ?

a. $0,83$
b. $0,38$
c. $0,79$
d. $0,21$

D

Quelles valeurs doivent prendre $x$, $y$ et $z$ pour que le graphe ci-dessous représente une chaîne de Markov ?

a. $x=0,07$, $y=0,75$ et $z=0,18$.
b. $x=0,07$, $y=0,85$ et $z=0,08$.
c. $x=0,07$, $y=0,8$ et $z=0,13$.
d. $x=0,15$, $y=0,75$ et $z=0,1$.

E

La distribution invariante de la chaîne de Markov $\left(\begin{array}{cc}0,5& 0,5\\ 0,1& 0,9\end{array}\right)$ est :
a. $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{6}& \frac{5}{6}\end{array}\right)$.
b. $\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{6}& \frac{4}{6}\end{array}\right)$.
c. $\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{6}& \frac{1}{6}\end{array}\right)$.
d. $\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{6}& \frac{2}{6}\end{array}\right)$.

F

Soit la suite $({\text{U}}_n)$ de matrices colonnes définie par ${\text{U}}_0=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\text{U}}_{n+1}={\text{AU}}_n+\text{B}$ avec $\text{A}=\left(\begin{array}{cc}1,5& 0\\ 0& -1,5\end{array}\right)$ et $\text{B}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)$.
Laquelle ou lesquelles des propositions ci-dessous sont vraies ?

×

a. ${\text{U}}_1=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\end{array}\right)$

b. ${\text{U}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

×

c. ${\text{U}}_2=\left(\begin{array}{c}4,5\\ 5\end{array}\right)$

d. ${\text{U}}_2=\left(\begin{array}{c}4,5\\ -5\end{array}\right)$

G

Parmi les matrices lignes ci-dessous, lesquelles peuvent correspondre à la distribution initiale d’une chaîne de Markov représentée par ce graphe ?

×

a. $\left(\begin{array}{ccc}0,1& 0,7& 0,2\end{array}\right)$

×

b. $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right)$

c. $\left(\begin{array}{ccc}1,3& 0,1& -0,4\end{array}\right)$

d. $\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{15}\end{array}\right)$

H

Dans quel(s) cas, la suite de matrices colonnes $({\text{U}}_n)$ définie par ${\text{U}}_0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par ${\text{U}}_{n+1}={\text{AU}}_n+\text{B}$ est-elle constante ?

a. $\text{A}$ est la matrice nulle et $\text{B}$ est une matrice colonne quelconque.

×

b. $\text{A}$ est la matrice identité et $\text{B}$ est la matrice nulle.

c. $\text{A}$ est la matrice nulle et $\text{B}$ est la matrice nulle.

d. $\text{A}$ est la matrice identité et $\text{B}$ est quelconque.