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QCM
réponse unique


9
La suite de matrices (Un)\left(\mathrm{U}_{n}\right) définie, pour tout nNn \in \mathbb{N}, par {U0=(21)Un+1=AUn+B\left\{\begin{array}{c}\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1\end{array}\right) \\ \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}\end{array}\right. avec A=(2102)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right) et B=(10)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) vérifie :







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10
La somme des coefficients des arêtes orientées qui sont issues d’un sommet d’un graphe représentant une chaîne de Markov vaut :





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11
Quelle est la matrice de transition de cette chaîne de Markov ?
maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 11






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12
On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition B=(0,20,40,40,50,20,30,800,2)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}2 & 0{,}4 & 0{,}4 \\ 0{,}5 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}8 & 0 & 0{,}2\end{array}\right). On note P0=(0,50,40,1)\mathrm{P}_{0}=(0{,}5 \quad 0{,}4 \quad 0{,}1). La distribution P1\mathrm{P}_1 est :




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QCM
réponses multiples

[Une ou plusieurs bonnes réponses par question]


Pour les exercices
13
à 
16


On donne la matrice P=(0,280,720,650,35)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}28 & 0{,}72 \\ 0{,}65 & 0{,}35\end{array}\right) associée à une chaîne de Markov.

13
On peut affirmer que :




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14
On note π0=(0,50,5)\pi_{0}=(0{,}5 \quad 0{,}5) la distribution initiale. On a :



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15
La distribution de probabilité au bout de dix transitions d’une chaîne de Markov de distribution initiale π0\pi_0 et de matrice de transition P\mathrm{P} est :



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16
On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition I3\mathrm{I}_3. Alors une distribution invariante :



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Problème


maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 17

17
Le graphe probabiliste ci‑contre représente une chaîne de Markov, pp représentant un nombre réel compris entre 00 et 11.

1. Déterminer pp et en déduire la matrice de transition P\mathrm{P}.


2. Calculer P2\mathrm{P}^2 et P3\mathrm{P}^3.


3. En déduire la distribution de probabilité après trois étapes de cette chaîne de Markov pour une distribution initiale π0=(0,10,50,4)\pi_{0}=(0{,}1 \quad 0{,}5 \quad 0{,}4).
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QCM supplémentaires

[Une ou plusieurs bonnes réponses par question]


A
On considère la suite de matrices colonnes définie par U0=(102010)\text{U}_0=\begin{pmatrix}10\\20\\10\end{pmatrix} et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Un+1=Un+B\text{U}_{n+1}=\text{U}_{n}+\text{B} avec B=(352)\text{B}=\begin{pmatrix}3\\-5\\2 \end{pmatrix}. Alors on peut écrire, pour tout nNn \in \mathbb{N} :



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B
La somme des coefficients d’une matrice de transition associée à une chaîne de Markov à 33 états est 33.


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C
Quelle valeur doit on placer sur cette arête pour que le graphe ci-dessous représente une chaîne de Markov ?
QCM Supplémentaire - Markov numéro 1




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D
Quelles valeurs doivent prendre xx, yy et zz pour que le graphe ci-dessous représente une chaîne de Markov ?
QCM Supplémentaire - Markov numéro 2




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E
La distribution invariante de la chaîne de Markov (0,50,50,10,9)\begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix} est :



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F
Soit la suite (Un)(\text{U}_n) de matrices colonnes définie par U0=(22) \text{U}_0=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\end{pmatrix} et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Un+1=AUn+B\text{U}_{n+1}=\text{AU}_n+\text{B} avec A=(1,5001,5)\text{A}=\begin{pmatrix}1,5 & 0 \\ 0 & -1,5\end{pmatrix} et B=(01)\text{B}=\begin{pmatrix}0 \\ -1 \end{pmatrix}.
Laquelle ou lesquelles des propositions ci-dessous sont vraies ?




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G
Parmi les matrices lignes ci-dessous, lesquelles peuvent correspondre à la distribution initiale d’une chaîne de Markov représentée par ce graphe ?
QCM Supplémentaire - Markov numéro 3





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H
Dans quel(s) cas, la suite de matrices colonnes (Un)(\text{U}_n) définie par U0\text{U}_0 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, par Un+1=AUn+B\text{U}_{n+1}=\text{AU}_n+\text{B} est-elle constante ?



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