La suite de matrices (Un) définie, pour tout n∈N, par ⎩⎪⎨⎪⎧U0=(21)Un+1=AUn+B avec A=(2012) et B=(10) vérifie :
b.U2=(164).
c. si Vn=Un+(−11), alors Vn+1=AVn.
d. si Vn=Un+(1−1), alors Vn+1=AVn.
10
La somme des coefficients des arêtes orientées qui sont issues d'un sommet d'un graphe représentant une chaîne de Markov vaut :
a.0
b.21
c.1
d.2
11
Quelle est la matrice de transition de cette chaîne de Markov ?
Le zoom est accessible dans la version Premium.
a.(0,10,90,40,6)
b.(0110)
c.(0,10,40,90,6)
d.(0,50,50,50,5)
12
On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition B=⎝⎛0,20,50,80,40,200,40,30,2⎠⎞. On note P0=(0,50,40,1). La distribution P1 est :
a.P1=(0,380,280,34)
b.P1=(0,450,220,42)
c.P1=(010)
d.P1=(313131)
QCM
Réponses multiples
Une ou plusieurs bonnes réponses par question
Pour les exercices
13
à
16
On donne la matrice P=(0,280,650,720,35) associée à une chaîne de Markov.
13
On peut affirmer que :
a.π=(1377213765).
b.π=(1376513772).
c. il existe une unique distribution invariante π pour la chaîne de Markov.
d. il n'existe pas de distribution invariante pour la chaîne de Markov.
14
On note π0=(0,50,5) la distribution initiale. On a :
a.π1=(0,4650,535)
b.π2=(0,477950,52205)
c.π3=(0,47310,5268)
d.π4=π
15
La distribution de probabilité au bout de dix transitions d'une chaîne de Markov de distribution initiale π0 et de matrice de transition P est :
a.π0P.
b.π0P10.
c. une loi de probabilité.
d. impossible à prévoir.
16
On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition I3. Alors une distribution invariante :
a. est π=(100).
b. est π=(0,50,20,3).
c. est π=(001).
d. n'existe pas.
Problème
17
Le graphe probabiliste ci‑contre représente une chaîne de Markov, p représentant un nombre réel compris entre 0 et 1.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Déterminer p et en déduire la matrice de transition P.
2. Calculer P2 et P3.
3. En déduire la distribution de probabilité après trois étapes de cette chaîne de Markov pour une distribution initiale π0=(0,10,50,4).
QCM
supplémentaires
Une ou plusieurs bonnes réponses par question
A
On considère la suite de matrices colonnes définie par U0=⎝⎛102010⎠⎞ et, pour tout n∈N, Un+1=Un+B avec B=⎝⎛3−52⎠⎞. Alors on peut écrire, pour tout n∈N :
a. Un=⎝⎛10+3n20−5n10+2n⎠⎞
b. Un=⎝⎛10×3n20×(−5)n10×2n⎠⎞
c. Un=⎝⎛10+3n20−5n10+2n⎠⎞
d. Aucune des trois autres réponses.
B
La somme des coefficients d'une matrice de transition associée à une chaîne de Markov à 3 états est 3.
a. Vrai
b. Faux
C
Quelle valeur doit on placer sur cette arête pour que le graphe ci-dessous représente une chaîne de Markov ?
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a. 0,83
b. 0,38
c. 0,79
d. 0,21
D
Quelles valeurs doivent prendre x, y et z pour que le graphe ci-dessous représente une chaîne de Markov ?
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a. x=0,07, y=0,75 et z=0,18.
b. x=0,07, y=0,85 et z=0,08.
c. x=0,07, y=0,8 et z=0,13.
d. x=0,15, y=0,75 et z=0,1.
E
La distribution invariante de la chaîne de Markov (0,50,10,50,9) est :
a. (6165).
b. (6264).
c. (6561).
d. (6462).
F
Soit la suite (Un) de matrices colonnes définie par U0=(22) et, pour tout n∈N, Un+1=AUn+B avec
A=(1,500−1,5) et B=(0−1).
Laquelle ou lesquelles des propositions ci-dessous sont vraies ?
a. U1=(3−4)
b. U1=(11)
c. U2=(4,55)
d. U2=(4,5−5)
G
Parmi les matrices lignes ci-dessous, lesquelles peuvent correspondre à la distribution initiale d'une chaîne de Markov représentée par ce graphe ?
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a. (0,10,70,2)
b. (010)
c. (1,30,1−0,4)
d.(3241151)
H
Dans quel(s) cas, la suite de matrices colonnes (Un) définie par U0 et, pour tout n∈N, par Un+1=AUn+B est-elle constante ?
a. A est la matrice nulle et B est une matrice colonne quelconque.
b. A est la matrice identité et B est la matrice nulle.
c. A est la matrice nulle et B est la matrice nulle.
d. A est la matrice identité et B est quelconque.
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