Exercices d'auto‑évaluation

9

La suite de matrices $\left({\mathrm{U}}_n\right)$ définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $\{\begin{array}{c}{\mathrm{U}}_0=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\\ {\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{AU}}_n+\mathrm{B}\end{array}$ avec $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)$ vérifie :

a. ${\mathrm{U}}_1=\left(\begin{array}{l}6\\ 2\end{array}\right)$.

b. ${\mathrm{U}}_2=\left(\begin{array}{l}16\\ 4\end{array}\right)$.

c. si ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{U}}_n+\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$, alors ${\mathrm{V}}_{n+1}={\mathrm{AV}}_n$.

d. si ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{U}}_n+\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$, alors ${\mathrm{V}}_{n+1}={\mathrm{AV}}_n$.

10

La somme des coefficients des arêtes orientées qui sont issues d'un sommet d'un graphe représentant une chaîne de Markov vaut :

a. $0$

b. $\frac{1}{2}$

c. $1$

d. $2$

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12

On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}0,2& 0,4& 0,4\\ 0,5& 0,2& 0,3\\ 0,8& 0& 0,2\end{array}\right)$. On note ${\mathrm{P}}_0=(0,50,40,1)$. La distribution ${\mathrm{P}}_1$ est :

a. ${\mathrm{P}}_1=(0,380,280,34)$

b. ${\mathrm{P}}_1=(0,450,220,42)$

c. ${\mathrm{P}}_1=(010)$

d. ${\mathrm{P}}_1=\left(\frac{1}{3}\frac{1}{3}\frac{1}{3}\right)$

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On peut affirmer que :

a. $\pi =\left(\frac{72}{137}\frac{65}{137}\right)$.

b. $\pi =\left(\frac{65}{137}\frac{72}{137}\right)$.

c. il existe une unique distribution invariante $\pi$ pour la chaîne de Markov.

d. il n'existe pas de distribution invariante pour la chaîne de Markov.

14

On note ${\pi }_0=(0,50,5)$ la distribution initiale. On a :

a. ${\pi }_1=(0,4650,535)$

b. ${\pi }_2=(0,477950,52205)$

c. ${\pi }_3=(0,47310,5268)$

d. ${\pi }_4=\pi$

15

La distribution de probabilité au bout de dix transitions d'une chaîne de Markov de distribution initiale ${\pi }_0$ et de matrice de transition $\mathrm{P}$ est :

a. ${\pi }_0\mathrm{P}$.

b. ${\pi }_0{\mathrm{P}}^{10}$.

c. une loi de probabilité.

d. impossible à prévoir.

16

On considère une chaîne de Markov associée à la matrice de transition ${\mathrm{I}}_3$. Alors une distribution invariante :

a. est $\pi =(100)$.

b. est $\pi =(0,50,20,3)$.

c. est $\pi =(001)$.

d. n'existe pas.

A

On considère la suite de matrices colonnes définie par ${\text{U}}_0=\left(\begin{array}{c}10\\ 20\\ 10\end{array}\right)$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\text{U}}_{n+1}={\text{U}}_n+\text{B}$ avec $\text{B}=\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 2\end{array}\right)$. Alors on peut écrire, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

a. ${\text{U}}_n=\left(\begin{array}{c}10+3^n\\ 20-5^n\\ 10+2^n\end{array}\right)$

b. ${\text{U}}_n=\left(\begin{array}{c}10\times 3^n\\ 20\times (-5{)}^n\\ 10\times 2^n\end{array}\right)$

c. ${\text{U}}_n=\left(\begin{array}{c}10+3n\\ 20-5n\\ 10+2n\end{array}\right)$

d. Aucune des trois autres réponses.

C

E

La distribution invariante de la chaîne de Markov $\left(\begin{array}{cc}0,5& 0,5\\ 0,1& 0,9\end{array}\right)$ est :

a. $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{6}& \frac{5}{6}\end{array}\right)$.

b. $\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{6}& \frac{4}{6}\end{array}\right)$.

c. $\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{6}& \frac{1}{6}\end{array}\right)$.

d. $\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{6}& \frac{2}{6}\end{array}\right)$.

F

Soit la suite $({\text{U}}_n)$ de matrices colonnes définie par ${\text{U}}_0=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\text{U}}_{n+1}={\text{AU}}_n+\text{B}$ avec $\text{A}=\left(\begin{array}{cc}1,5& 0\\ 0& -1,5\end{array}\right)$ et $\text{B}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)$. Laquelle ou lesquelles des propositions ci-dessous sont vraies ?

a. ${\text{U}}_1=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\end{array}\right)$

b. ${\text{U}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

c. ${\text{U}}_2=\left(\begin{array}{c}4,5\\ 5\end{array}\right)$

d. ${\text{U}}_2=\left(\begin{array}{c}4,5\\ -5\end{array}\right)$

G

Parmi les matrices lignes ci-dessous, lesquelles peuvent correspondre à la distribution initiale d'une chaîne de Markov représentée par ce graphe ?

a. $\left(\begin{array}{ccc}0,1& 0,7& 0,2\end{array}\right)$

b. $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right)$

c. $\left(\begin{array}{ccc}1,3& 0,1& -0,4\end{array}\right)$

d. $\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{15}\end{array}\right)$

H

Dans quel(s) cas, la suite de matrices colonnes $({\text{U}}_n)$ définie par ${\text{U}}_0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par ${\text{U}}_{n+1}={\text{AU}}_n+\text{B}$ est-elle constante ?

a. $\text{A}$ est la matrice nulle et $\text{B}$ est une matrice colonne quelconque.

b. $\text{A}$ est la matrice identité et $\text{B}$ est la matrice nulle.

c. $\text{A}$ est la matrice nulle et $\text{B}$ est la matrice nulle.

d. $\text{A}$ est la matrice identité et $\text{B}$ est quelconque.