On considère deux urnes \mathrm{A} et \mathrm{B} et un entier \mathrm{N} \geqslant 1. Dans l'urne \mathrm{A} se trouvent \mathrm{N} boules numérotées de 0 à \mathrm{N}-1.
On répète n fois les actions suivantes :

choisir au hasard un nombre entre 0 et \mathrm{N}-1 ;
placer la boule ayant ce numéro dans l'urne où elle n'est pas.

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Objectif

Simuler l'évolution du nombre de boules dans chaque urne après un grand nombre de tirages à l'aide d'une des deux méthodes.

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Méthode 1
Tableur

Dans le tableur ci‑dessous, chaque colonne représente la situation des boules à une étape donnée.
La zone en vert indique la boule que l'on change d'urne à l'étape considérée. Dans les lignes 3 à 14, un 1 indique que la boule se trouve dans l'urne A et un 0 indique que la boule se trouve dans l'urne B. Au départ (Étape 0), toutes les boules sont dans l'urne A.

Capture d'écran tableau Excel: simulation algorithme Ehrenfest, 12 boules, étapes 0 à 4.

1. Recopier cette feuille de calcul (sauf les nombres dans la zone verte) et écrire dans la cellule D2 une formule permettant de choisir au hasard un nombre entier compris entre 0 et \mathrm{N}-1 où \mathrm{N} désigne le nombre situé en A2.
Étirer ensuite cette formule vers la droite.

2. Quelle formule doit‑on écrire dans les cellules D3 à D14 pour que la boule considérée change d'urne si, et seulement si, son numéro est celui qui se trouve en D2 ? Étirer ensuite cette formule vers la droite afin de modéliser l'évolution de la position des boules pour 100 étapes.

3. Calculer dans la ligne 15 la proportion de 1 (donc de boules se trouvant dans l'urne A) à chaque étape.

4. Vers quelle valeur cette proportion semble‑t‑elle converger ?

5. Tester cette hypothèse en augmentant le nombre d'étapes simulées.

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Méthode 2
Python

On considère le programme Python suivant qui simule l'expérience.

1. Que modélise la variable Boules ?

2. Compléter les lignes 13, 15 et 17 du programme ci-après.

3. Utiliser le programme pour déterminer, au bout de 1 000 tirages, la proportion de boules dans chaque urne.

from random import*

N = 20 #Nombre de boules.
n = 1000 #Nombre de tirages.

#Les boules sont toutes dans l'urne A au départ.
Boules = []
for j in range(N):
	Boules.append()

#Choisir une boule et la changer d'urne.
for i in range(n):
	numero = ...
	if Boules[numero] == 1:
		Boules[numero] = ...
	else:
		Boules[numero] = ...

#Compter la proportion de boules dans l'urne A
compteur = 0
for k in Boules:
	compteur = compteur + k

proportion = float(compteur/N)
print(proportion)

4. Recommencer plusieurs fois cette simulation et comparer les résultats obtenus.

5. Reprendre les questions précédentes avec différentes valeurs de \mathrm{N} et de n.

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Pour aller plus loin

Voir exercice

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p. 229

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