Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
TP Info 1

Algorithme de Ehrenfest

Énoncé
On considère deux urnes et et un entier . Dans l'urne se trouvent boules numérotées de à .
On répète fois les actions suivantes :
  • choisir au hasard un nombre entre et  ;
  • placer la boule ayant ce numéro dans l'urne où elle n'est pas.
Objectif
Simuler l'évolution du nombre de boules dans chaque urne après un grand nombre de tirages à l'aide d'une des deux méthodes.

Méthode 1
Tableur

Dans le tableur ci‑dessous, chaque colonne représente la situation des boules à une étape donnée.
La zone en vert indique la boule que l'on change d'urne à l'étape considérée. Dans les lignes 3 à 14, un 1 indique que la boule se trouve dans l'urne A et un 0 indique que la boule se trouve dans l'urne B. Au départ (Étape 0), toutes les boules sont dans l'urne A.

maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - TP1. Algorithme de Ehrenfest
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1. Recopier cette feuille de calcul (sauf les nombres dans la zone verte) et écrire dans la cellule D2 une formule permettant de choisir au hasard un nombre entier compris entre et désigne le nombre situé en A2.
Étirer ensuite cette formule vers la droite.

2. Quelle formule doit‑on écrire dans les cellules D3 à D14 pour que la boule considérée change d'urne si, et seulement si, son numéro est celui qui se trouve en D2 ? Étirer ensuite cette formule vers la droite afin de modéliser l'évolution de la position des boules pour 100 étapes.

3. Calculer dans la ligne 15 la proportion de 1 (donc de boules se trouvant dans l'urne A) à chaque étape.

4. Vers quelle valeur cette proportion semble‑t‑elle converger ?

5. Tester cette hypothèse en augmentant le nombre d'étapes simulées.

Méthode 2
Python

On considère le programme Python suivant qui simule l'expérience.

1. Que modélise la variable Boules ?

2. Compléter les lignes 13, 15 et 17 du programme ci-après.

3. Utiliser le programme pour déterminer, au bout de 1 000 tirages, la proportion de boules dans chaque urne.


from random import*

N = 20 #Nombre de boules.
n = 1000 #Nombre de tirages.

#Les boules sont toutes dans l'urne A au départ.
Boules = []
for j in range(N):
	Boules.append()

#Choisir une boule et la changer d'urne.
for i in range(n):
	numero = ...
	if Boules[numero] == 1:
		Boules[numero] = ...
	else:
		Boules[numero] = ...

#Compter la proportion de boules dans l'urne A
compteur = 0
for k in Boules:
	compteur = compteur + k

proportion = float(compteur/N)
print(proportion)


4. Recommencer plusieurs fois cette simulation et comparer les résultats obtenus.

5. Reprendre les questions précédentes avec différentes valeurs de et de .

Pour aller plus loin

Voir exercice .

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