Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Travailler les automatismes
P.220-221

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




Travailler les automatismes




À L'ORAL

Envie de réaliser ces exercices à l'oral ? Enregistrez-vous !

Enregistreur audio

18

Expliquer pourquoi la somme des coefficients d’une matrice de transition d’une chaîne de Markov à deux états est égale à .
Voir les réponses

19

Compléter le graphe probabiliste ci‑dessous associé à une chaîne de Markov à deux états et .

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 19
Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

Voir les réponses

20

On considère une chaîne de Markov à deux états et sa matrice de transition dans laquelle un coefficient a été effacé.
Déterminer le coefficient manquant.
Voir les réponses

21
VRAI / FAUX

Déterminer, en justifiant, si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.

« Une chaîne de Markov à deux états peut toujours se représenter sous la forme d’une matrice contenant uniquement des nombres compris dans l’intervalle . »
Voir les réponses

22

On considère une chaîne de Markov modélisée par le graphe ci‑dessous.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 22

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

1. Donner sa matrice de transition.


2. Montrer que toute distribution est invariante.
Voir les réponses

23
VRAI / FAUX

Parmi les affirmations suivantes, déterminer, en justifiant, celles qui sont vraies.

1. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes entrant dans un sommet vaut toujours . »


2. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes issues d’un sommet vaut toujours . »


3. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients de toutes les arêtes vaut toujours . »


4. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes pointant vers leur sommet d’origine est toujours . »
Voir les réponses

Suite de matrices


24

Soient la matrice et la suite de matrices colonnes définie par et, pour tout , .

1. Calculer .


2. a. Exprimer, pour tout , en fonction de et de .


b. En déduire la valeur de .
Voir les réponses

25

Soient la matrice et la suite de matrices colonnes définie par et, pour tout , .

1. Calculer et .


2. a. Exprimer, pour tout , en fonction de et de .


b. Calculer le terme .
Voir les réponses

26

Soit la suite de matrices colonnes définie par et, pour tout entier naturel , , avec et .

1. Calculer .


2. a. Justifier que est inversible, puis déterminer la matrice .


b. Calculer .


3. Montrer que la suite définie, pour tout entier naturel , par vérifie .


4. En déduire le terme général de puis exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .


5. En déduire .
Voir les réponses

27

Soit la suite de matrices colonnes définie par et, pour tout entier naturel , , avec et .

1. Calculer et .


2. a. Justifier que est inversible, puis déterminer à la calculatrice .


b. Calculer .


3. Montrer que la suite définie, pour tout entier naturel , par vérifie .


4. Exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de et de .


5. En déduire une expression de en fonction de et de . Calculer alors .
Voir les réponses

Graphes probabilistes


28

Représenter la situation suivante par un graphe probabiliste.

Un professeur ne donne pas toujours du travail à faire à la maison :
  • lorsqu’il en a donné à la fin d’un cours, la probabilité pour qu’il en donne à la fin du cours suivant est égale à  ;
  • s’il n’en a pas donné, la probabilité pour qu’il en donne à la fin du cours suivant est égale à .

Couleurs
Formes
Dessinez ici
Voir les réponses

29

Déterminer, en justifiant, si les graphes suivants correspondent à des graphes probabilistes.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 29


Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 29


Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 29
Voir les réponses

Chaînes de Markov


30

On considère la chaîne de Markov définie par le graphe probabiliste suivant et par la distribution initiale .
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 30

1. Donner sa matrice de transition .


2. Montrer par récurrence que, pour tout , on a :
.


3. En déduire la probabilité de l’état 1 après 100 itérations.
Voir les réponses

31

On considère une chaîne de Markov à trois états et sa matrice de transition dans laquelle trois nombres ont été effacés.

Déterminer les coefficients manquants.
Voir les réponses

32

Représenter par un graphe la chaîne de Markov dont la matrice de transition est :
.

Couleurs
Formes
Dessinez ici
Voir les réponses

33

Martin a une vie professionnelle agitée. Chaque année, il est susceptible de travailler à Abu Dhabi ou à Bangkok.
  • s’il travaille à Abu Dhabi, la probabilité qu’il y reste l’année suivante vaut  ;
  • s’il travaille en Thaïlande, la probabilité qu’il déménage à Abu Dhabi l’année suivante vaut .

1. Compléter le graphe probabiliste suivant modélisant cette situation.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 33

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

2. En considérant que Martin est actuellement à Abu Dhabi, quelle est la probabilité qu’il y soit dans deux ans ? (Il peut avoir séjourné à Bangkok entre temps.)
Voir les réponses

34

On considère une chaîne de Markov à deux états et vérifiant les conditions suivantes :
  • la probabilité de sortir de l’état est le triple de la probabilité d’y rester ;
  • la probabilité de quitter l’état est .

1. Représenter cette chaîne de Markov à l’aide d’un graphe probabiliste et déterminer la matrice de transition associée.
Couleurs
Formes
Dessinez ici



2. Si la distribution initiale est , quelle sera la distribution après trois itérations ?
Voir les réponses

Distribution invariante


35

On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 35

1. Compléter le graphe.
(Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.)

2. Écrire sa matrice de transition .


3. Montrer que est une distribution invariante de la chaîne de Markov associée.
Voir les réponses

36

On considère une chaîne de Markov dont la matrice de transition est .

1. Justifier qu’il n’existe qu’une distribution invariante à cette chaîne de Markov.


2. Déterminer par le calcul une distribution invariante.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.