Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Exercices

Travailler les automatismes

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18

Expliquer pourquoi la somme des coefficients d'une matrice de transition d'une chaîne de Markov à deux états est égale à .
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19

Compléter le graphe probabiliste ci‑dessous associé à une chaîne de Markov à deux états et .

Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
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20

On considère une chaîne de Markov à deux états et sa matrice de transition dans laquelle un coefficient a été effacé.
Déterminer le coefficient manquant.
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21
Vrai / Faux

Déterminer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.

« Une chaîne de Markov à deux états peut toujours se représenter sous la forme d'une matrice contenant uniquement des nombres compris dans l'intervalle . »
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22

On considère une chaîne de Markov modélisée par le graphe ci‑dessous.

1. Donner sa matrice de transition.
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2. Montrer que toute distribution est invariante.
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23
Vrai / Faux

Parmi les affirmations suivantes, déterminer, en justifiant, celles qui sont vraies.

1. « Dans la représentation graphique d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes entrant dans un sommet vaut toujours . »


2. « Dans la représentation graphique d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes issues d'un sommet vaut toujours . »


3. « Dans la représentation graphique d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients de toutes les arêtes vaut toujours . »


4. « Dans la représentation graphique d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes pointant vers leur sommet d'origine est toujours . »
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Suite de matrices
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24

Soient la matrice et la suite de matrices colonnes définie par et, pour tout , .

1. Calculer .


2. a. Exprimer, pour tout , en fonction de et de .


b. En déduire la valeur de .
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25

Soient la matrice et la suite de matrices colonnes définie par et, pour tout , .

1. Calculer et .


2. a. Exprimer, pour tout , en fonction de et de .


b. Calculer le terme .
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26

Soit la suite de matrices colonnes définie par et, pour tout entier naturel , , avec et .

1. Calculer .


2. a. Justifier que est inversible, puis déterminer la matrice .


b. Calculer .


3. Montrer que la suite définie, pour tout entier naturel , par vérifie .


4. En déduire le terme général de puis exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .


5. En déduire .
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27

Soit la suite de matrices colonnes définie par et, pour tout entier naturel , , avec et .

1. Calculer et .


2. a. Justifier que est inversible, puis déterminer à la calculatrice .


b. Calculer .


3. Montrer que la suite définie, pour tout entier naturel , par vérifie .


4. Exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de et de .


5. En déduire une expression de en fonction de et de . Calculer alors .
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Graphes probabilistes
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28

Représenter la situation suivante par un graphe probabiliste.

Un professeur ne donne pas toujours du travail à faire à la maison :
  • lorsqu'il en a donné à la fin d'un cours, la probabilité pour qu'il en donne à la fin du cours suivant est égale à  ;
  • s'il n'en a pas donné, la probabilité pour qu'il en donne à la fin du cours suivant est égale à .

Dessinez ici
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29

Déterminer, en justifiant, si les graphes suivants correspondent à des graphes probabilistes.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 29
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Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 29
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Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 29
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Chaînes de Markov
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30

On considère la chaîne de Markov définie par le graphe probabiliste suivant et par la distribution initiale .
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 30
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1. Donner sa matrice de transition .


2. Montrer par récurrence que, pour tout , on a :
.


3. En déduire la probabilité de l'état 1 après 100 itérations.
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31

On considère une chaîne de Markov à trois états et sa matrice de transition dans laquelle trois nombres ont été effacés.

Déterminer les coefficients manquants.
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32

Représenter par un graphe la chaîne de Markov dont la matrice de transition est :
.

Dessinez ici
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33

Martin a une vie professionnelle agitée. Chaque année, il est susceptible de travailler à Abu Dhabi ou à Bangkok.
  • s'il travaille à Abu Dhabi, la probabilité qu'il y reste l'année suivante vaut  ;
  • s'il travaille en Thaïlande, la probabilité qu'il déménage à Abu Dhabi l'année suivante vaut .

1. Compléter le graphe probabiliste suivant modélisant cette situation.

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2. En considérant que Martin est actuellement à Abu Dhabi, quelle est la probabilité qu'il y soit dans deux ans ? (Il peut avoir séjourné à Bangkok entre temps.)
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34

On considère une chaîne de Markov à deux états et vérifiant les conditions suivantes :
  • la probabilité de sortir de l'état est le triple de la probabilité d'y rester ;
  • la probabilité de quitter l'état est .

1. Représenter cette chaîne de Markov à l'aide d'un graphe probabiliste et déterminer la matrice de transition associée.
Dessinez ici

2. Si la distribution initiale est , quelle sera la distribution après trois itérations ?
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Distribution invariante
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35

On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.
1. Compléter le graphe.
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2. Écrire sa matrice de transition .


3. Montrer que est une distribution invariante de la chaîne de Markov associée.
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36

On considère une chaîne de Markov dont la matrice de transition est .

1. Justifier qu'il n'existe qu'une distribution invariante à cette chaîne de Markov.


2. Déterminer par le calcul une distribution invariante.

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