20

On considère une chaîne de Markov à deux états et \mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}2 & \dots \\ 0{,}3 & 0{,}7\end{array}\right) sa matrice de transition dans laquelle un coefficient a été effacé.
Déterminer le coefficient manquant.

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Vrai / Faux

Déterminer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.

« Une chaîne de Markov à deux états peut toujours se représenter sous la forme d'une matrice 2 \times 2 contenant uniquement des nombres compris dans l'intervalle [0\,; 1]. »

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22

On considère une chaîne de Markov modélisée par le graphe ci‑dessous.

1. Donner sa matrice de transition.

2. Montrer que toute distribution est invariante.

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23
Vrai / Faux

Parmi les affirmations suivantes, déterminer, en justifiant, celles qui sont vraies.

1. « Dans la représentation graphique d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes entrant dans un sommet vaut toujours 1. »

2. « Dans la représentation graphique d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes issues d'un sommet vaut toujours 1. »

3. « Dans la représentation graphique d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients de toutes les arêtes vaut toujours 1. »

4. « Dans la représentation graphique d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes pointant vers leur sommet d'origine est toujours 1. »

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Suite de matrices

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24

Soient \mathrm{A} la matrice \left(\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 5 & 2\end{array}\right) et (\mathrm{U}_n) la suite de matrices colonnes définie par \mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{c}-0{,}5 \\ -0{,}25\end{array}\right) et, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}.

1. Calculer \mathrm{U}_1.

2. a. Exprimer, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{U}_n en fonction de \mathrm{A} et de n.

b. En déduire la valeur de \mathrm{U}_5.

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25

Soient \mathrm{B} la matrice \left(\begin{array}{cc}-3 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right) et (\mathrm{V}_n) la suite de matrices colonnes définie par \mathrm{V}_{0}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0\end{array}\right) et, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{BV}_{n}.

1. Calculer \mathrm{V}_1 et \mathrm{V}_2.

2. a. Exprimer, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{V}_n en fonction de \mathrm{B} et de n.

b. Calculer le terme \mathrm{V}_{10}.

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26

Soit (\mathrm{U}_n) la suite de matrices colonnes définie par \mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right) et, pour tout entier naturel n, \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}, avec \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right).

1. Calculer \mathrm{U}_1.

2. a. Justifier que \mathrm{A} - \mathrm{I}_2 est inversible, puis déterminer la matrice \left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1}.

b. Calculer \mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1} \mathrm{B}.

3. Montrer que la suite (\mathrm{V}_n) définie, pour tout entier naturel n, par \mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C} vérifie \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{A} \mathrm{V}_{n}.

4. En déduire le terme général de (\mathrm{V}_n) puis exprimer, pour tout entier naturel n, \mathrm{U}_n en fonction de n.

5. En déduire \mathrm{U}_5.

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27

Soit (\mathrm{U}_n) la suite de matrices colonnes définie par \mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right) et, pour tout entier naturel n, \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}, avec \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 5 & -4\end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right).

1. Calculer \mathrm{U}_1 et \mathrm{U}_2.

2. a. Justifier que \mathrm{A} - \mathrm{I}_2 est inversible, puis déterminer à la calculatrice \left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1}.

b. Calculer \mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1} \mathrm{B}.

3. Montrer que la suite (\mathrm{V}_n) définie, pour tout entier naturel n, par \mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C} vérifie \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{A} \mathrm{V}_{n}.

4. Exprimer, pour tout entier naturel n, (\mathrm{V}_n) en fonction de n et de \mathrm{A}.

5. En déduire une expression de \mathrm{U}_n en fonction de n et de \mathrm{A}. Calculer alors \mathrm{U}_8.

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Graphes probabilistes

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28

Représenter la situation suivante par un graphe probabiliste.

Un professeur ne donne pas toujours du travail à faire à la maison :

lorsqu'il en a donné à la fin d'un cours, la probabilité pour qu'il en donne à la fin du cours suivant est égale à 0{,}2 ;
s'il n'en a pas donné, la probabilité pour qu'il en donne à la fin du cours suivant est égale à 0{,}85.

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29

Déterminer, en justifiant, si les graphes suivants correspondent à des graphes probabilistes.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 29

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Chaînes de Markov

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30

On considère la chaîne de Markov définie par le graphe probabiliste suivant et par la distribution initiale \pi_{0}=(0{,}5 \quad 0{,}5).

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 30

1. Donner sa matrice de transition \mathrm{P}.

2. Montrer par récurrence que, pour tout n \in \mathbb{N}, on a :

\mathrm{P}^{n}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1+2 \times 0{,}7^{n}}{3} & \frac{2-2 \times 0{,}7^{n}}{3} \\ \frac{1-0{,}7^{n}}{3} & \frac{2+0{,}7^{n}}{3}\end{array}\right).

3. En déduire la probabilité de l'état 1 après 100 itérations.

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31

On considère une chaîne de Markov à trois états et \mathrm{P}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}2 & 0{,}1 & \dots \\ 0{,}3 & 0{,}1 & \dots \\ \dots & 0{,}1 & 0{,}9\end{array}\right) sa matrice de transition dans laquelle trois nombres ont été effacés.

Déterminer les coefficients manquants.

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32

Représenter par un graphe la chaîne de Markov dont la matrice de transition est :

\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \\ 0{,}9 & 0{,}01 & 0{,}09 \\ 0{,}11 & 0{,}77 & 0{,}12\end{array}\right).

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33

Martin a une vie professionnelle agitée. Chaque année, il est susceptible de travailler à Abu Dhabi ou à Bangkok.

s'il travaille à Abu Dhabi, la probabilité qu'il y reste l'année suivante vaut 0{,}7 ;
s'il travaille en Thaïlande, la probabilité qu'il déménage à Abu Dhabi l'année suivante vaut 0{,}3.

1. Compléter le graphe probabiliste suivant modélisant cette situation.

2. En considérant que Martin est actuellement à Abu Dhabi, quelle est la probabilité qu'il y soit dans deux ans ? (Il peut avoir séjourné à Bangkok entre temps.)

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34

On considère une chaîne de Markov à deux états \mathrm{A} et \mathrm{B} vérifiant les conditions suivantes :

la probabilité de sortir de l'état \mathrm{A} est le triple de la probabilité d'y rester ;
la probabilité de quitter l'état \mathrm{B} est 0{,}7.

1. Représenter cette chaîne de Markov à l'aide d'un graphe probabiliste et déterminer la matrice de transition associée.

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2. Si la distribution initiale est \pi_{0}=(0{,}8 \quad 0{,}2), quelle sera la distribution après trois itérations ?

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Distribution invariante

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35

On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.
1. Compléter le graphe.

2. Écrire sa matrice de transition \mathrm{P}.

3. Montrer que \pi=(0{,}6 \quad 0{,}4) est une distribution invariante de la chaîne de Markov associée.

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36

On considère une chaîne de Markov dont la matrice de transition est \mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}2 & 0{,}8 \\ 0{,}5 & 0{,}5\end{array}\right).

1. Justifier qu'il n'existe qu'une distribution invariante à cette chaîne de Markov.

2. Déterminer par le calcul une distribution invariante.

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