Travailler les automatismes

À L'ORAL

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Expliquer pourquoi la somme des coefficients d’une matrice de transition d’une chaîne de Markov à deux états est égale à $2$.

19

Compléter le graphe probabiliste ci‑dessous associé à une chaîne de Markov à deux états $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

20

On considère une chaîne de Markov à deux états et $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}2 & \dots \\ 0{,}3 & 0{,}7\end{array}\right)$ sa matrice de transition dans laquelle un coefficient a été effacé.
Déterminer le coefficient manquant.

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VRAI / FAUX

Déterminer, en justifiant, si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.

« Une chaîne de Markov à deux états peut toujours se représenter sous la forme d’une matrice $2 \times 2$ contenant uniquement des nombres compris dans l’intervalle $[0\,; 1]$. »

22

On considère une chaîne de Markov modélisée par le graphe ci‑dessous.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.
1. Donner sa matrice de transition.


2. Montrer que toute distribution est invariante.

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VRAI / FAUX

Parmi les affirmations suivantes, déterminer, en justifiant, celles qui sont vraies.

1. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes entrant dans un sommet vaut toujours $1$. »


2. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes issues d’un sommet vaut toujours $1$. »


3. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients de toutes les arêtes vaut toujours $1$. »


4. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes pointant vers leur sommet d’origine est toujours $1$. »

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Soient $\mathrm{A}$ la matrice $\left(\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 5 & 2\end{array}\right)$ et $(\mathrm{U}_n)$ la suite de matrices colonnes définie par $\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{c}-0{,}5 \\ -0{,}25\end{array}\right)$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}$.

1. Calculer $\mathrm{U}_1$.


2. a. Exprimer, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathrm{U}_n$ en fonction de $\mathrm{A}$ et de $n$.


b. En déduire la valeur de $\mathrm{U}_5$.

25

Soient $\mathrm{B}$ la matrice $\left(\begin{array}{cc}-3 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ et $(\mathrm{V}_n)$ la suite de matrices colonnes définie par $\mathrm{V}_{0}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0\end{array}\right)$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{BV}_{n}$.

1. Calculer $\mathrm{V}_1$ et $\mathrm{V}_2$.


2. a. Exprimer, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathrm{V}_n$ en fonction de $\mathrm{B}$ et de $n$.


b. Calculer le terme $\mathrm{V}_{10}$.

26

Soit $(\mathrm{U}_n)$ la suite de matrices colonnes définie par $\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right)$ et, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}$, avec $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)$.

1. Calculer $\mathrm{U}_1$.


2. a. Justifier que $\mathrm{A} - \mathrm{I}_2$ est inversible, puis déterminer la matrice $\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1}$.


b. Calculer $\mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1} \mathrm{B}$.


3. Montrer que la suite $(\mathrm{V}_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C}$ vérifie $\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{A} \mathrm{V}_{n}$.


4. En déduire le terme général de $(\mathrm{V}_n)$ puis exprimer, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{U}_n$ en fonction de $n$.


5. En déduire $\mathrm{U}_5$.

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Soit $(\mathrm{U}_n)$ la suite de matrices colonnes définie par $\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)$ et, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}$, avec $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 5 & -4\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$.

1. Calculer $\mathrm{U}_1$ et $\mathrm{U}_2$.


2. a. Justifier que $\mathrm{A} - \mathrm{I}_2$ est inversible, puis déterminer à la calculatrice $\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1}$.


b. Calculer $\mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1} \mathrm{B}$.


3. Montrer que la suite $(\mathrm{V}_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C}$ vérifie $\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{A} \mathrm{V}_{n}$.


4. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $(\mathrm{V}_n)$ en fonction de $n$ et de $\mathrm{A}$.


5. En déduire une expression de $\mathrm{U}_n$ en fonction de $n$ et de $\mathrm{A}$. Calculer alors $\mathrm{U}_8$.

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Représenter la situation suivante par un graphe probabiliste.

Un professeur ne donne pas toujours du travail à faire à la maison :

• lorsqu’il en a donné à la fin d’un cours, la probabilité pour qu’il en donne à la fin du cours suivant est égale à $0{,}2$ ;
• s’il n’en a pas donné, la probabilité pour qu’il en donne à la fin du cours suivant est égale à $0{,}85$.

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29

Déterminer, en justifiant, si les graphes suivants correspondent à des graphes probabilistes.

30

On considère la chaîne de Markov définie par le graphe probabiliste suivant et par la distribution initiale $\pi_{0}=(0{,}5 \quad 0{,}5)$.

1. Donner sa matrice de transition $\mathrm{P}$.


2. Montrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a : $\mathrm{P}^{n}=\left(\begin{array}{cc}\dfrac{1+2 \times 0{,}7^{n}}{3} & \dfrac{2-2 \times 0{,}7^{n}}{3} \\ \dfrac{1-0{,}7^{n}}{3} & \dfrac{2+0{,}7^{n}}{3}\end{array}\right)$.

3. En déduire la probabilité de l’état 1 après 100 itérations.

31

On considère une chaîne de Markov à trois états et $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}2 & 0{,}1 & \dots \\ 0{,}3 & 0{,}1 & \dots \\ \dots & 0{,}1 & 0{,}9\end{array}\right)$ sa matrice de transition dans laquelle trois nombres ont été effacés.

Déterminer les coefficients manquants.

32

Représenter par un graphe la chaîne de Markov dont la matrice de transition est : $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \\ 0{,}9 & 0{,}01 & 0{,}09 \\ 0{,}11 & 0{,}77 & 0{,}12\end{array}\right)$.

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33

Martin a une vie professionnelle agitée. Chaque année, il est susceptible de travailler à Abu Dhabi ou à Bangkok.

• s’il travaille à Abu Dhabi, la probabilité qu’il y reste l’année suivante vaut $0{,}7$ ;
• s’il travaille en Thaïlande, la probabilité qu’il déménage à Abu Dhabi l’année suivante vaut $0{,}3$.

1. Compléter le graphe probabiliste suivant modélisant cette situation.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.
2. En considérant que Martin est actuellement à Abu Dhabi, quelle est la probabilité qu’il y soit dans deux ans ? (Il peut avoir séjourné à Bangkok entre temps.)

34

On considère une chaîne de Markov à deux états $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ vérifiant les conditions suivantes :

• la probabilité de sortir de l’état $\mathrm{A}$ est le triple de la probabilité d’y rester ;
• la probabilité de quitter l’état $\mathrm{B}$ est $0{,}7$.

1. Représenter cette chaîne de Markov à l’aide d’un graphe probabiliste et déterminer la matrice de transition associée.

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2. Si la distribution initiale est $\pi_{0}=(0{,}8 \quad 0{,}2)$, quelle sera la distribution après trois itérations ?

35

On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.

1. Compléter le graphe.
(Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.)

2. Écrire sa matrice de transition $\mathrm{P}$.


3. Montrer que $\pi=(0{,}6 \quad 0{,}4)$ est une distribution invariante de la chaîne de Markov associée.

36

On considère une chaîne de Markov dont la matrice de transition est $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}2 & 0{,}8 \\ 0{,}5 & 0{,}5\end{array}\right)$.

1. Justifier qu’il n’existe qu’une distribution invariante à cette chaîne de Markov.


2. Déterminer par le calcul une distribution invariante.