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Travailler les automatismes
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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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18

Expliquer pourquoi la somme des coefficients d’une matrice de transition d’une chaîne de Markov à deux états est égale à 22.
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19

Compléter le graphe probabiliste ci‑dessous associé à une chaîne de Markov à deux états A\mathrm{A} et B\mathrm{B}.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 19
Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

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20

On considère une chaîne de Markov à deux états et P=(0,20,30,7)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}2 & \dots \\ 0{,}3 & 0{,}7\end{array}\right) sa matrice de transition dans laquelle un coefficient a été effacé.
Déterminer le coefficient manquant.
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21
VRAI / FAUX

Déterminer, en justifiant, si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.

« Une chaîne de Markov à deux états peut toujours se représenter sous la forme d’une matrice 2×22 \times 2 contenant uniquement des nombres compris dans l’intervalle [0;1][0\,; 1]. »
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22

On considère une chaîne de Markov modélisée par le graphe ci‑dessous.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 22

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

1. Donner sa matrice de transition.


2. Montrer que toute distribution est invariante.
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23
VRAI / FAUX

Parmi les affirmations suivantes, déterminer, en justifiant, celles qui sont vraies.

1. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes entrant dans un sommet vaut toujours 11. »


2. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes issues d’un sommet vaut toujours 11. »


3. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients de toutes les arêtes vaut toujours 11. »


4. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes pointant vers leur sommet d’origine est toujours 11. »
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Suite de matrices


24

Soient A\mathrm{A} la matrice (1452)\left(\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 5 & 2\end{array}\right) et (Un)(\mathrm{U}_n) la suite de matrices colonnes définie par U0=(0,50,25)\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{c}-0{,}5 \\ -0{,}25\end{array}\right) et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Un+1=AUn\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}.

1. Calculer U1\mathrm{U}_1.


2. a. Exprimer, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Un\mathrm{U}_n en fonction de A\mathrm{A} et de nn.


b. En déduire la valeur de U5\mathrm{U}_5.
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25

Soient B\mathrm{B} la matrice (3123)\left(\begin{array}{cc}-3 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right) et (Vn)(\mathrm{V}_n) la suite de matrices colonnes définie par V0=(10)\mathrm{V}_{0}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0\end{array}\right) et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Vn+1=BVn\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{BV}_{n}.

1. Calculer V1\mathrm{V}_1 et V2\mathrm{V}_2.


2. a. Exprimer, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Vn\mathrm{V}_n en fonction de B\mathrm{B} et de nn.


b. Calculer le terme V10\mathrm{V}_{10}.
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26

Soit (Un)(\mathrm{U}_n) la suite de matrices colonnes définie par U0=(12)\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right) et, pour tout entier naturel nn, Un+1=AUn+B\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}, avec A=(2003)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right) et B=(12)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right).

1. Calculer U1\mathrm{U}_1.


2. a. Justifier que AI2\mathrm{A} - \mathrm{I}_2 est inversible, puis déterminer la matrice (AI2)1\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1}.


b. Calculer C=(AI2)1B\mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1} \mathrm{B}.


3. Montrer que la suite (Vn)(\mathrm{V}_n) définie, pour tout entier naturel nn, par Vn=UnC\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C} vérifie Vn+1=AVn\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{A} \mathrm{V}_{n}.


4. En déduire le terme général de (Vn)(\mathrm{V}_n) puis exprimer, pour tout entier naturel nn, Un\mathrm{U}_n en fonction de nn.


5. En déduire U5\mathrm{U}_5.
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27

Soit (Un)(\mathrm{U}_n) la suite de matrices colonnes définie par U0=(11)\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right) et, pour tout entier naturel nn, Un+1=AUn+B\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}, avec A=(2154)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 5 & -4\end{array}\right) et B=(01)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right).

1. Calculer U1\mathrm{U}_1 et U2\mathrm{U}_2.


2. a. Justifier que AI2\mathrm{A} - \mathrm{I}_2 est inversible, puis déterminer à la calculatrice (AI2)1\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1}.


b. Calculer C=(AI2)1B\mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1} \mathrm{B}.


3. Montrer que la suite (Vn)(\mathrm{V}_n) définie, pour tout entier naturel nn, par Vn=UnC\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C} vérifie Vn+1=AVn\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{A} \mathrm{V}_{n}.


4. Exprimer, pour tout entier naturel nn, (Vn)(\mathrm{V}_n) en fonction de nn et de A\mathrm{A}.


5. En déduire une expression de Un\mathrm{U}_n en fonction de nn et de A\mathrm{A}. Calculer alors U8\mathrm{U}_8.
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Graphes probabilistes


28

Représenter la situation suivante par un graphe probabiliste.

Un professeur ne donne pas toujours du travail à faire à la maison :
  • lorsqu’il en a donné à la fin d’un cours, la probabilité pour qu’il en donne à la fin du cours suivant est égale à 0,20{,}2 ;
  • s’il n’en a pas donné, la probabilité pour qu’il en donne à la fin du cours suivant est égale à 0,850{,}85.

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29

Déterminer, en justifiant, si les graphes suivants correspondent à des graphes probabilistes.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 29


Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 29


Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 29
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Chaînes de Markov


30

On considère la chaîne de Markov définie par le graphe probabiliste suivant et par la distribution initiale π0=(0,50,5)\pi_{0}=(0{,}5 \quad 0{,}5).
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 30

1. Donner sa matrice de transition P\mathrm{P}.


2. Montrer par récurrence que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, on a :
Pn=(1+2×0,7n322×0,7n310,7n32+0,7n3)\mathrm{P}^{n}=\left(\begin{array}{cc}\dfrac{1+2 \times 0{,}7^{n}}{3} & \dfrac{2-2 \times 0{,}7^{n}}{3} \\ \dfrac{1-0{,}7^{n}}{3} & \dfrac{2+0{,}7^{n}}{3}\end{array}\right).


3. En déduire la probabilité de l’état 1 après 100 itérations.
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31

On considère une chaîne de Markov à trois états et P=(0,20,10,30,10,10,9)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}2 & 0{,}1 & \dots \\ 0{,}3 & 0{,}1 & \dots \\ \dots & 0{,}1 & 0{,}9\end{array}\right) sa matrice de transition dans laquelle trois nombres ont été effacés.

Déterminer les coefficients manquants.
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32

Représenter par un graphe la chaîne de Markov dont la matrice de transition est :
P=(0,20,50,30,90,010,090,110,770,12)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \\ 0{,}9 & 0{,}01 & 0{,}09 \\ 0{,}11 & 0{,}77 & 0{,}12\end{array}\right).

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33

Martin a une vie professionnelle agitée. Chaque année, il est susceptible de travailler à Abu Dhabi ou à Bangkok.
  • s’il travaille à Abu Dhabi, la probabilité qu’il y reste l’année suivante vaut 0,70{,}7 ;
  • s’il travaille en Thaïlande, la probabilité qu’il déménage à Abu Dhabi l’année suivante vaut 0,30{,}3.

1. Compléter le graphe probabiliste suivant modélisant cette situation.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 33

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2. En considérant que Martin est actuellement à Abu Dhabi, quelle est la probabilité qu’il y soit dans deux ans ? (Il peut avoir séjourné à Bangkok entre temps.)
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34

On considère une chaîne de Markov à deux états A\mathrm{A} et B\mathrm{B} vérifiant les conditions suivantes :
  • la probabilité de sortir de l’état A\mathrm{A} est le triple de la probabilité d’y rester ;
  • la probabilité de quitter l’état B\mathrm{B} est 0,70{,}7.

1. Représenter cette chaîne de Markov à l’aide d’un graphe probabiliste et déterminer la matrice de transition associée.
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2. Si la distribution initiale est π0=(0,80,2)\pi_{0}=(0{,}8 \quad 0{,}2), quelle sera la distribution après trois itérations ?
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Distribution invariante


35

On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 35

1. Compléter le graphe.
(Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.)

2. Écrire sa matrice de transition P\mathrm{P}.


3. Montrer que π=(0,60,4)\pi=(0{,}6 \quad 0{,}4) est une distribution invariante de la chaîne de Markov associée.
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36

On considère une chaîne de Markov dont la matrice de transition est P=(0,20,80,50,5)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}2 & 0{,}8 \\ 0{,}5 & 0{,}5\end{array}\right).

1. Justifier qu’il n’existe qu’une distribution invariante à cette chaîne de Markov.


2. Déterminer par le calcul une distribution invariante.
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