Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
À l'oral
Envie de réaliser ces exercices à l'oral ? Enregistrez-vous !
Enregistreur audio
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
18
Expliquer pourquoi la somme des coefficients d'une matrice de transition d'une chaîne de Markov à deux états est égale à 2.
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
19
Compléter le graphe probabiliste ci‑dessous associé à une chaîne de Markov à deux états A et B.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
20
On considère une chaîne de Markov à deux états et P=(0,20,3…0,7) sa matrice de transition dans laquelle un coefficient a été effacé.
Déterminer le coefficient manquant.
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
21
Vrai / Faux
Déterminer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
« Une chaîne de Markov à deux états peut toujours se représenter sous la forme d'une matrice 2×2 contenant uniquement des nombres compris dans l'intervalle [0;1]. »
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
22
On considère une chaîne de Markov modélisée par le graphe ci‑dessous.
1. Donner sa matrice de transition.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
2. Montrer que toute distribution est invariante.
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
23
Vrai / Faux
Parmi les affirmations suivantes, déterminer, en justifiant, celles qui sont vraies.
1. « Dans la représentation graphique d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes entrant dans un sommet vaut toujours 1. »
2. « Dans la représentation graphique d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes issues d'un sommet vaut toujours 1. »
3. « Dans la représentation graphique d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients de toutes les arêtes vaut toujours 1. »
4. « Dans la représentation graphique d'une chaîne de Markov, la somme des coefficients des
arêtes pointant vers leur sommet d'origine est toujours 1. »
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
Suite de matrices
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
24
Soient A la matrice (1542) et (Un) la suite de matrices colonnes définie par U0=(−0,5−0,25) et, pour tout n∈N, Un+1=AUn.
1. Calculer U1.
2.a. Exprimer, pour tout n∈N, Un en fonction de A et de n.
b. En déduire la valeur de U5.
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
25
Soient B la matrice (−32−13) et (Vn) la suite de matrices colonnes définie par V0=(−10) et, pour tout n∈N, Vn+1=BVn.
1. Calculer V1 et V2.
2.a. Exprimer, pour tout n∈N, Vn en fonction de B et de n.
b. Calculer le terme V10.
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
26
Soit (Un) la suite de matrices colonnes définie par U0=(−12) et, pour tout entier naturel n, Un+1=AUn+B, avec A=(2003) et B=(12).
1. Calculer U1.
2.a. Justifier que A−I2 est inversible, puis déterminer la matrice (A−I2)−1.
b. Calculer C=−(A−I2)−1B.
3. Montrer que la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn=Un−C vérifie Vn+1=AVn.
4. En déduire le terme général de (Vn) puis exprimer, pour tout entier naturel n, Un en fonction de n.
5. En déduire U5.
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
27
Soit (Un) la suite de matrices colonnes définie par U0=(1−1) et, pour tout entier naturel n, Un+1=AUn+B, avec A=(251−4) et B=(01).
1. Calculer U1 et U2.
2.a. Justifier que A−I2 est inversible, puis déterminer à
la calculatrice (A−I2)−1.
b. Calculer C=−(A−I2)−1B.
3. Montrer que la suite (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn=Un−C vérifie Vn+1=AVn.
4. Exprimer, pour tout entier naturel n, (Vn) en fonction de n et de A.
5. En déduire une expression de Un en fonction de n et de A. Calculer alors U8.
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
Graphes probabilistes
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
28
Représenter la situation suivante par un graphe probabiliste.
Un professeur ne donne pas toujours du travail à faire à la maison :
lorsqu'il en a donné à la fin d'un cours, la probabilité pour qu'il en donne à la fin du cours suivant est égale à 0,2 ;
s'il n'en a pas donné, la probabilité pour qu'il en donne à la fin du cours suivant est égale à 0,85.
Dessinez ici
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
29
Déterminer, en justifiant, si les graphes suivants correspondent à des graphes probabilistes.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
Chaînes de Markov
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
30
On considère la chaîne de Markov définie par le graphe probabiliste suivant et par la distribution initiale π0=(0,50,5).
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Donner sa matrice de transition P.
2. Montrer par récurrence que, pour tout n∈N, on a :
3. En déduire la probabilité de l'état 1 après 100 itérations.
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
31
On considère une chaîne de Markov à trois états et P=⎝⎛0,20,3…0,10,10,1……0,9⎠⎞ sa matrice de transition dans laquelle trois nombres ont été effacés.
Déterminer les coefficients manquants.
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
32
Représenter par un graphe la chaîne de Markov dont la matrice de transition est :
P=⎝⎛0,20,90,110,50,010,770,30,090,12⎠⎞.
Dessinez ici
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
33
Martin a une vie professionnelle agitée. Chaque année, il est susceptible de travailler à Abu Dhabi ou à Bangkok.
s'il travaille à Abu Dhabi, la probabilité qu'il y reste l'année suivante vaut 0,7 ;
s'il travaille en Thaïlande, la probabilité qu'il déménage à Abu Dhabi l'année suivante vaut 0,3.
1. Compléter le graphe probabiliste suivant modélisant cette situation.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
2. En considérant que Martin est actuellement à Abu Dhabi, quelle est la probabilité qu'il y soit dans deux ans ? (Il peut avoir séjourné à Bangkok entre temps.)
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
34
On considère une chaîne de Markov à deux états A et B vérifiant les conditions suivantes :
la probabilité de sortir de l'état A est le triple de la probabilité d'y rester ;
la probabilité de quitter l'état B est 0,7.
1. Représenter cette chaîne de Markov à l'aide d'un graphe probabiliste et déterminer la matrice de transition associée.
Dessinez ici
2. Si la distribution initiale est π0=(0,80,2), quelle sera la distribution après trois itérations ?
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
Distribution invariante
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
35
On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.
1. Compléter le graphe.
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
2. Écrire sa matrice de transition P.
3. Montrer que π=(0,60,4) est une distribution invariante de la chaîne de Markov associée.
Ce document est actuellement projeté sur le côté de votre écran.
36
On considère une chaîne de Markov dont la matrice de transition est P=(0,20,50,80,5).
1. Justifier qu'il n'existe qu'une distribution invariante à cette chaîne de Markov.
2. Déterminer par le calcul une distribution invariante.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
Yolène
Émilie
Jean-Paul
Fatima
Sarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.