Travailler les automatismes

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Expliquer pourquoi la somme des coefficients d’une matrice de transition d’une chaîne de Markov à deux états est égale à $2$.

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Compléter le graphe probabiliste ci‑dessous associé à une chaîne de Markov à deux états $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$.

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On considère une chaîne de Markov à deux états et $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0,2& \dots \\ 0,3& 0,7\end{array}\right)$ sa matrice de transition dans laquelle un coefficient a été effacé.
Déterminer le coefficient manquant.

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VRAI / FAUX

Déterminer, en justifiant, si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.

« Une chaîne de Markov à deux états peut toujours se représenter sous la forme d’une matrice $2\times 2$ contenant uniquement des nombres compris dans l’intervalle $[0;1]$. »

22

On considère une chaîne de Markov modélisée par le graphe ci‑dessous.


1. Donner sa matrice de transition.


2. Montrer que toute distribution est invariante.

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VRAI / FAUX

Parmi les affirmations suivantes, déterminer, en justifiant, celles qui sont vraies.

1. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes entrant dans un sommet vaut toujours $1$. »


2. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes issues d’un sommet vaut toujours $1$. »


3. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients de toutes les arêtes vaut toujours $1$. »


4. « Dans la représentation graphique d’une chaîne de Markov, la somme des coefficients des arêtes pointant vers leur sommet d’origine est toujours $1$. »

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Soient $\mathrm{A}$ la matrice $\left(\begin{array}{ll}1& 4\\ 5& 2\end{array}\right)$ et $({\mathrm{U}}_n)$ la suite de matrices colonnes définie par ${\mathrm{U}}_0=\left(\begin{array}{c}-0,5\\ -0,25\end{array}\right)$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{U}}_n$.

1. Calculer ${\mathrm{U}}_1$.


2. a. Exprimer, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{U}}_n$ en fonction de $\mathrm{A}$ et de $n$.


b. En déduire la valeur de ${\mathrm{U}}_5$.

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Soient $\mathrm{B}$ la matrice $\left(\begin{array}{cc}-3& -1\\ 2& 3\end{array}\right)$ et $({\mathrm{V}}_n)$ la suite de matrices colonnes définie par ${\mathrm{V}}_0=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{V}}_{n+1}={\mathrm{B}\mathrm{V}}_n$.

1. Calculer ${\mathrm{V}}_1$ et ${\mathrm{V}}_2$.


2. a. Exprimer, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{V}}_n$ en fonction de $\mathrm{B}$ et de $n$.


b. Calculer le terme ${\mathrm{V}}_{10}$.

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Soit $({\mathrm{U}}_n)$ la suite de matrices colonnes définie par ${\mathrm{U}}_0=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$ et, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{U}}_n+\mathrm{B}$, avec $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right)$.

1. Calculer ${\mathrm{U}}_1$.


2. a. Justifier que $\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_2$ est inversible, puis déterminer la matrice ${\left(\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_2\right)}^{-1}$.


b. Calculer $\mathrm{C}=-{\left(\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_2\right)}^{-1}\mathrm{B}$.


3. Montrer que la suite $({\mathrm{V}}_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{U}}_n-\mathrm{C}$ vérifie ${\mathrm{V}}_{n+1}=\mathrm{A}{\mathrm{V}}_n$.


4. En déduire le terme général de $({\mathrm{V}}_n)$ puis exprimer, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{U}}_n$ en fonction de $n$.


5. En déduire ${\mathrm{U}}_5$.

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Soit $({\mathrm{U}}_n)$ la suite de matrices colonnes définie par ${\mathrm{U}}_0=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ et, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{U}}_n+\mathrm{B}$, avec $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}2& 1\\ 5& -4\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)$.

1. Calculer ${\mathrm{U}}_1$ et ${\mathrm{U}}_2$.


2. a. Justifier que $\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_2$ est inversible, puis déterminer à la calculatrice ${\left(\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_2\right)}^{-1}$.


b. Calculer $\mathrm{C}=-{\left(\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_2\right)}^{-1}\mathrm{B}$.


3. Montrer que la suite $({\mathrm{V}}_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{U}}_n-\mathrm{C}$ vérifie ${\mathrm{V}}_{n+1}=\mathrm{A}{\mathrm{V}}_n$.


4. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $({\mathrm{V}}_n)$ en fonction de $n$ et de $\mathrm{A}$.


5. En déduire une expression de ${\mathrm{U}}_n$ en fonction de $n$ et de $\mathrm{A}$. Calculer alors ${\mathrm{U}}_8$.

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Représenter la situation suivante par un graphe probabiliste.

Un professeur ne donne pas toujours du travail à faire à la maison :

• lorsqu’il en a donné à la fin d’un cours, la probabilité pour qu’il en donne à la fin du cours suivant est égale à $0,2$ ;
• s’il n’en a pas donné, la probabilité pour qu’il en donne à la fin du cours suivant est égale à $0,85$.

29

Déterminer, en justifiant, si les graphes suivants correspondent à des graphes probabilistes.

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On considère la chaîne de Markov définie par le graphe probabiliste suivant et par la distribution initiale ${\pi }_0=(0,50,5)$.
1. Donner sa matrice de transition $\mathrm{P}$.


2. Montrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a :

3. En déduire la probabilité de l’état 1 après 100 itérations.

31

On considère une chaîne de Markov à trois états et $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ccc}0,2& 0,1& \dots \\ 0,3& 0,1& \dots \\ \dots & 0,1& 0,9\end{array}\right)$ sa matrice de transition dans laquelle trois nombres ont été effacés.

Déterminer les coefficients manquants.

32

Représenter par un graphe la chaîne de Markov dont la matrice de transition est :

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Martin a une vie professionnelle agitée. Chaque année, il est susceptible de travailler à Abu Dhabi ou à Bangkok.

• s’il travaille à Abu Dhabi, la probabilité qu’il y reste l’année suivante vaut $0,7$ ;
• s’il travaille en Thaïlande, la probabilité qu’il déménage à Abu Dhabi l’année suivante vaut $0,3$.

1. Compléter le graphe probabiliste suivant modélisant cette situation.


2. En considérant que Martin est actuellement à Abu Dhabi, quelle est la probabilité qu’il y soit dans deux ans ? (Il peut avoir séjourné à Bangkok entre temps.)

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On considère une chaîne de Markov à deux états $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ vérifiant les conditions suivantes :

• la probabilité de sortir de l’état $\mathrm{A}$ est le triple de la probabilité d’y rester ;
• la probabilité de quitter l’état $\mathrm{B}$ est $0,7$.

1. Représenter cette chaîne de Markov à l’aide d’un graphe probabiliste et déterminer la matrice de transition associée.



2. Si la distribution initiale est ${\pi }_0=(0,80,2)$, quelle sera la distribution après trois itérations ?

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On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.
1. Compléter le graphe.
(Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.)

2. Écrire sa matrice de transition $\mathrm{P}$.


3. Montrer que $\pi =(0,60,4)$ est une distribution invariante de la chaîne de Markov associée.

36

On considère une chaîne de Markov dont la matrice de transition est $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0,2& 0,8\\ 0,5& 0,5\end{array}\right)$.

1. Justifier qu’il n’existe qu’une distribution invariante à cette chaîne de Markov.


2. Déterminer par le calcul une distribution invariante.