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3. Évolution d’une chaîne de Markov
P.225-226

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Entraînement


3
Évolution d’une chaîne de Markov





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 45 ; 54 ; 57 ; 70 et 76
◉◉ Parcours 2 : exercices 47 ; 62 ; 65 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 46 ; 58 ; 72 et 77

63
FLASH

On considère une chaîne de Markov à deux états dont la matrice de transition P\text{P} est :
P=(0,30,70,60,4)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}3 & 0{,}7 \\ 0{,}6 & 0{,}4\end{array}\right).
Pour une distribution initiale π0=(0,50,5)\pi_{0}=(0,5 \quad 0,5), quelle est la probabilité de chacun des états de la chaîne de Markov au bout de trois transitions ?
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64
FLASH

Déterminer une matrice de transition associée à une chaîne de Markov pour laquelle la distribution (0,10,9)(0{,}1 \quad 0{,}9) est invariante.
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65
[Raisonner.] ◉◉
Dans cet exercice, aa et bb désignent deux nombres réels de l’intervalle ]0;1[]0\,; 1[.
Montrer que l’état (ba+baa+b)\left(\dfrac{b}{a+b} \quad \dfrac{a}{a+b}\right) est l’unique distribution invariante de la chaîne de Markov associée au graphe probabiliste suivant.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 65

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66
[Calculer.]
Soient xx et yy deux nombres réels strictements positifs dont la somme est inférieure ou égale à 11.
Montrer que l’état (131313)\left(\dfrac{1}{3} \quad \dfrac{1}{3} \quad \dfrac{1}{3}\right) est l’unique distribution invariante du graphe probabiliste suivant.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 65

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67
[Communiquer.]
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 67 - Repas de Noël

Selon les années, Nadège passe Noël soit chez ses parents, soit chez la famille de son mari Victor.
En 2020, Nadège fête Noël chez la famille de Victor.
Pour les années suivantes, elle choisit où passer Noël selon la règle suivante :
  • lorsqu’elle a passé Noël chez ses parents, il y a une probabilité de 0,30{,}3 qu’elle fête encore Noël chez eux l’année suivante ;
  • lorsqu’elle passe Noël chez la famille de Victor, il y a une probabilité de 0,60{,}6 qu’elle fête Noël chez ses parents l’année suivante.

Quelle est la probabilité qu’elle passe Noël chez ses parents en 2035 ?
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68
ALGO
[Modéliser.]
On considère le graphe probabiliste ci‑dessous.

Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 68

À l’aide d’un programme en Python simulant une marche aléatoire sur le graphe, conjecturer la distribution invariante de cette chaîne de Markov.



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69
TABLEUR
[Modéliser.]
On considère, dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}) la suite (An)\left(\mathrm{A}_{n}\right) de points définie par A0(0;0)\mathrm{A}_{0}(0\,; 0), A1(1;0)\mathrm{A}_{1}(1\,; 0) puis, pour tout entier naturel non nul nn, on construit An+1\mathrm{A}_{n+1} en déplaçant An\mathrm{A}_{n} de 11 vers la droite ou de 11 vers le haut selon la règle suivante :
  • si le déplacement de An1\mathrm{A}_{n-1} vers An\mathrm{A}_{n} est vers le haut, alors le déplacement de An\mathrm{A}_{n} vers An+1\mathrm{A}_{n+1} le sera aussi avec une probabilité de 0,60{,}6. Sinon, le déplacement de An\mathrm{A}_{n} vers An+1\mathrm{A}_{n+1} est vers la droite ;
  • si le déplacement de An1\mathrm{A}_{n-1} vers An\mathrm{A}_{n} est vers la droite, alors le déplacement de An\mathrm{A}_{n} vers An+1\mathrm{A}_{n+1} le sera aussi avec une probabilité de 0,70{,}7. Sinon, le déplacement de An\mathrm{A}_{n} vers An+1\mathrm{A}_{n+1} est vers le haut.

1. Modéliser la suite des coordonnées de AnAn+1\overrightarrow{\mathrm{A}_{n} \mathrm{A}_{n+1}} par une chaîne de Markov dont on donnera la représentation par un graphe probabiliste.
Couleurs
Formes
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2. a. Reproduire le tableur suivant.

Évolution d’une chaîne de Markov

b. Que doit‑on écrire dans la cellule D3 pour que le tableur écrive « abscisse » ou « ordonnée » selon la direction dans laquelle doit s’effectuer le déplacement de A1\mathrm{A}_1 ?


c. Compléter les cellules B4 et C4 pour déterminer les coordonnées de A2\mathrm{A}_2 en fonction de celles de A1\mathrm{A}_1 et du déplacement indiqué en D4.


d. Compléter la cellule E4 pour obtenir le coefficient directeur de la droite (A0A2)\left(\mathrm{A}_{0} \mathrm{A}_{2}\right).


3. Étirer la ligne 4 vers le bas pour calculer les coordonnées de An\mathrm{A}_n pour tout n200n \leqslant 200 puis conjecturer la limite du coefficient directeur de (A0An)\left(\mathrm{A}_{0} \mathrm{A}_{n}\right).
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70
[Modéliser.] ◉◉
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 70 - Calculs équations

Ramanujan est un génie mathématique qui a trois activités au cours d’une journée : conjecturer de nouvelles formules mathématiques, démontrer des résultats et imaginer des applications aux résultats qu’il a déjà inventés.
Chaque heure, il peut changer, ou pas, d’activité.
  • S’il a conjecturé de nouvelles formules au cours de l’heure précédente, il continue avec une probabilité de 0,30{,}3 ou il les démontre avec une probabilité égale à 0,50{,}5 ;
  • s’il a démontré des résultats, il continue avec une probabilité de 0,050{,}05 ou il imagine des applications à ses résultats avec une probabilité 0,750{,}75 ;
  • s’il a imaginé des applications, il continue avec une probabilité de 0,50{,}5 ou il conjecture de nouvelles formules avec une probabilité égale à 0,20{,}2.

1. Représenter graphiquement la chaîne de Markov associée à la situation et déterminer la matrice de transition.

Couleurs
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2. Au début de la journée, Ramanujan commence toujours par conjecturer de nouvelles formules. Quelle est la probabilité que quatre heures plus tard, il soit en train de démontrer un résultat ?


3. Chaque jour, le mathématicien travaille 10 heures. Quelle est la probabilité qu’il s’occupe avec chacune de ces activités lors de sa dernière heure de travail ?
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71
[Raisonner.]
On considère une chaîne de Markov à deux états A\text{A} et B\text{B} dans laquelle PA(B)=PB(A)\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}) avec PA(B)\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) différent de 00 et de 11.

1. Que peut‑on dire de la matrice de transition ?


2. Montrer qu’à long terme, quelle que soit la distribution de probabilité initiale, les deux états sont équiprobables.
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72
[Chercher.] ◉◉◉
On considère la chaîne de Markov définie par la matrice de transition (p(2p)(1p)2p1p)\left(\begin{array}{cc}p(2-p) & (1-p)^{2} \\ p & 1-p\end{array}\right), avec p[0;1]p \in[0\,; 1], et par la distribution initiale (0,30,7)(0,3 \quad 0,7).

1. Déterminer pp pour que la deuxième composante de la distribution de probabilité soit maximale après une transition.


2. Que vaut alors la première composante de cette distribution de probabilité ?
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73
[Modéliser.]
Dans un pays, les habitants peuvent soit être des citoyens, soit être des soldats, soit être des dirigeants. Chaque année :
  • un soldat peut devenir un citoyen avec une probabilité de 0,10{,}1. Sinon, il reste un soldat ;
  • un citoyen peut devenir un soldat avec une probabilité de 0,20{,}2, être élu dirigeant avec une probabilité de 0,30{,}3 ou rester un citoyen ;
  • un dirigeant peut se faire réélire avec une probabilité de 0,10{,}1. Il peut également devenir un soldat avec une probabilité de 0,60{,}6. Dans tous les autres cas, il devient citoyen.

1. Représenter cette situation par une chaîne de Markov (donnée sous la forme d’un graphe probabiliste).

Couleurs
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2. On choisit un citoyen. Quelle est la probabilité qu’il soit dirigeant dans deux ans ? Dans trois ans ?
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74
SVT
[Modéliser.] ◉◉
Maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - exercice 74 - Abeilles

Un essaim d’abeilles peut évoluer chaque année de trois manières qui s’excluent mutuellement. Il peut essaimer, produire du miel, ou contracter une maladie.
L’évolution suit les règles suivantes :
  • s’il a essaimé l’année passée, il contracte une maladie l’année en cours avec une probabilité de 0,10{,}1 et il produit du miel avec une probabilité de 0,80{,}8 ;
  • s’il a produit du miel l’année passée, il essaime avec une probabilité de 0,90{,}9 et il contracte une maladie avec une probabilité de 0,050{,}05 ;
  • s’il a contracté une maladie l’année passée, il en contracte une nouvelle l’année en cours avec une probabilité de 0,030{,}03 et il produit du miel avec une probabilité de 0,80{,}8.
La première année, un naturaliste observe que la ruche a essaimé.

1. Quelle est la probabilité qu’elle soit à nouveau en train d’essaimer lorsque le naturaliste reviendra trois années plus tard ?


2. Si on observe le développement de l’essaim sur une longue période, quelle proportion représentent les années où cet essaim a produit du miel ?
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75
[Modéliser.]
Évolution d’une chaîne de Markov - prison

Les Dalton sont en prison. Chaque semaine, ils tentent de s’évader. Leur tentative est une réussite dans 30 % des cas. Une fois évadés, la probabilité qu’ils se fassent capturer chaque semaine s’élève à 80 %.

1. Modéliser cette situation par une chaîne de Markov à deux états. On notera L\text{L} l’état « les Dalton sont libre » et P\text{P} l’état « les Dalton sont en prison ».

Couleurs
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2. Déterminer la probabilité qu’ils soient libres au bout de huit semaines.


3. Quelle est la probabilité qu’ils purgent la totalité de leur peine d’un mois de prison (quatre semaines) sans avoir réussi à s’évader une seule fois ?
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76
[Chercher.] ◉◉
1. Trouver deux nombres réels strictement positifs xx et yy solutions du système ci‑dessous, vérifiant x+y=1x+y=1.
{23x+16y=x13x+56y=y\left\{\begin{array}{l}\dfrac{2}{3} x+\dfrac{1}{6} y=x \\ \dfrac{1}{3} x+\dfrac{5}{6} y=y\end{array}\right..


2. En déduire une distribution invariante de la chaîne de Markov définie par la matrice de transition
P=(23131656)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{5}{6}\end{array}\right).

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77
[Chercher.] ◉◉◉
On considère une chaîne de Markov (Xn)\left(\mathrm{X}_{n}\right) ayant pour distribution invariante π\pi. Soit (Zn)\left(\mathrm{Z}_{n}\right) la chaîne de Markov définie, pour tout nNn \in \mathbb{N}, par Zn=X2n\mathrm{Z}_{n}=\mathrm{X}_{2 n}.
Montrer que π\pi est également une distribution invariante de (Zn)\left(\mathrm{Z}_{n}\right).
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78
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit (Xn)\left(\mathrm{X}_{n}\right) une chaîne de Markov à deux états numérotés 1 et 2 dont on note P\text{P} la matrice de transition associée, les sommets étant rangés dans l’ordre croissants, et π0\pi_0 la distribution initiale.
On note, pour tout entier naturel nn, πn\pi_n la matrice ligne correspondant à la distribution de probabilité de la variable aléatoire Xn\mathrm{X}_{n}.

1. En revenant à la définition d’une chaîne de Markov Xn\mathrm{X}_{n} et de P\text{P}, justifier que, pour tout entier naturel nn, πn+1=πnP\pi_{n+1}=\pi_{n} \mathrm{P}.


2. Montrer alors par récurrence sur nn que πn=π0Pn\pi_{n}=\pi_{0} \mathrm{P}^{n}.


3. Reprendre cette démonstration dans le cadre d’une chaîne de Markov à 3 états.
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