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Chaînes de Markov

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 45 ; 54 ; 57 ; 70 et 76
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 47 ; 62 ; 65 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 46 ; 58 ; 72 et 77

49

Compléter le graphe probabiliste ci‑dessous.

50

Compléter le graphe probabiliste ci‑dessous.

51

On note$\text{ A}$ et $\text{B}$ les deux états d’une chaîne de Markov. Compléter les matrices de transition suivantes pour lesquelles les états sont rangés dans l’ordre alphabétique, puis construire le graphe probabiliste correspondant.

1. $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{cc}0,2& \dots \\ \dots & 0,91\end{array}\right)$



2. $\mathrm{N}=\left(\begin{array}{cc}\cdots & 0,17\\ \dots & 1\end{array}\right)$

52

[Calculer.]
Compléter le graphe probabiliste ci‑dessous.

53

[Calculer.]
Compléter le graphe probabiliste ci‑dessous.

54

[Modéliser.] ◉◉◉
Représenter la situation suivante par un graphe probabiliste.

On modélise la météo d’un jour à l’autre en considérant uniquement les états suivants : beau temps $(\mathrm{B})$, temps nuageux $(\mathrm{N})$, temps pluvieux $(\mathrm{P})$.
La modélisation nous indique que lorsqu’il fait beau, alors la probabilité que le lendemain soit nuageux est $0,5$ et que le lendemain soit pluvieux est $0,2$.
Lorsque le temps est nuageux, le lendemain reste nuageux avec une probabilité de $0,4$ et devient pluvieux avec une probabilité de $0,4$ également.
Finalement, lorsqu’il pleut, la probabilité que le lendemain soit nuageux est égale à $0,6$ alors que la probabilité qu’il fasse beau est $0,1$.

55

[Modéliser.]
Lorsque Yazid réussit son pénalty, il a deux chances sur trois de réussir le suivant mais s’il le rate, il n’a alors qu’une chance sur quatre de réussir le prochain.

Modéliser cette situation par une chaîne de Markov en utilisant un graphe (en notant respectivement$\text{ R}$ et $\overline{\mathrm{R}}$ les états correspondant à « réussir le pénalty » et « rater le pénalty ») puis en utilisant une matrice de transition.

56

[Modéliser.]
John a des problèmes d’absentéisme :

• lorsqu’il est absent une journée, la probabilité qu’il soit ponctuel le lendemain est $\frac{4}{5}$ alors que celle d’être en retard s’élève à $\frac{1}{20}$ ;
• lorsqu’il est ponctuel, la probabilité qu’il soit ponctuel le lendemain est $\frac{3}{5}$ alors que celle d’être en retard vaut $\frac{1}{4}$ ;
• lorsqu’il est en retard, la probabilité qu’il soit ponctuel le lendemain est $\frac{3}{4}$ alors que celle d’être en retard est $\frac{1}{8}$.

On note :

• $\text{A}$ l’événement « John est absent » ;
• $\text{P}$ l’événement « John est ponctuel » ;
• $\text{R}$ l’événement « John est en retard ».

Modéliser cette situation par une chaîne de Markov à trois états. On en donnera une représentation sous la forme d’un graphe probabiliste et sous la forme d’une matrice de transition$\text{ M}$ dans laquelle les sommets sont rangés dans l’ordre alphabétique.

57

[Représenter.] ◉◉◉
1. Représenter par un graphe probabiliste une chaîne de Markov à deux états dont la matrice de transition est

2. Représenter par un graphe probabiliste une chaîne de Markov à trois états dont la matrice de transition est

58

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $p\in [0;1]$. On considère une chaîne de Markov associée au graphe probabiliste suivant.

1. Vérifier que $0⩽p(2-p)⩽1$.


2. Montrer que ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{A})={\left({\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{B})\right)}^2$.

59

[Calculer.]
Chacune des matrices suivantes correspond à la matrice de transition d’une chaîne de Markov.
Compléter ces matrices puis représenter des graphes probabilistes leur correspondant.

1. $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0,3& \dots \\ 0,1& \dots \end{array}\right)$



2. $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc}0,42& \dots \\ \dots & 0,65\end{array}\right)$

60

[Représenter.]
Représenter des graphes probabilistes correspondant aux matrices de transition ci‑dessous.

1. $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}0,2& 0,7& 0,1\\ 0,5& 0,15& 0,35\\ 0,8& 0,08& 0,12\end{array}\right)$



2. $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}0,35& 0& 0,65\\ 0,4& 0,5& 0,1\\ 0& 0,8& 0,2\end{array}\right)$

61

[Représenter.]
Compléter les matrices de transition suivantes, puis représenter des graphes probabilistes leur correspondant.

1. $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}0,15& 0,13& \dots \\ \dots & 0,42& 0,23\\ \dots & 0,34& 0,66\end{array}\right)$




2. $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}\cdots & 1& \cdots \\ \cdots & 0,92& 0,02\\ 0,55& 0,13& \dots \end{array}\right)$

62

[Modéliser.] ◉◉◉
On considère une urne dans laquelle se trouvent deux boules blanches et deux boules noires, ces boules étant supposées indiscernables au toucher.
On tire une boule au hasard puis, sans la remettre, on tire une autre boule. On remet la boule tirée en premier et on en tire une nouvelle. On itère ensuite le processus en remettant à l’étape $i$ la boule tirée à l’étape $i-2$ et en en tirant une nouvelle.

1. Quelle est la distribution de probabilité initiale ? On exprimera la réponse sous la forme d’une matrice ligne $(\text{probabiliteˊ noire}\text{probabiliteˊ blanche})$.


2. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule noire sachant que la boule tirée à l’étape précédente est noire ?


3. Modéliser cette situation par une chaîne de Markov en utilisant une matrice de transition et un graphe probabiliste.