Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

3. Évolution d’une chaîne de Markov
P.214-215

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

COURS 3


3
Évolution d’une chaîne de Markov




A
Étude sur plusieurs rangs


Propriété

On considère une chaîne de Markov dont on note la matrice de transition associée et la distribution initiale. On note la loi de .
On a, pour tout entier , et .

Remarques

Une chaîne de Markov est donc entièrement déterminée par sa distribution initiale et par sa matrice de transition.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
78
p. 227
.

Exemple

On considère la chaîne de Markov définie par le graphe probabiliste ci‑contre et par la distribution initiale . Alors la loi de probabilité de est donné par avec .
On a ainsi .
La loi de probabilité de est donc la suivante.




maths expertes - chapitre 7 - Suites et matrices - Cours - Évolution d’une chaîne de Markov

Remarques

Le coefficient d’indice de la matrice correspont à la probabilité de passer de l’état à l’état en transitions.

Application et méthode - 4

Énoncé

On reprend l’exemple précédent. Le lundi, premier jour de l’année scolaire, Ike va à l’école en bus avec une probabilité de . Quelle est la probabilité qu’il aille à l’école en bus le jeudi de cette même semaine ?

Solution


En rangeant les sommets dans l’ordre alphabétique, la matrice de transition est et la distribution initiale correspondant au lundi de la rentrée est . On veut donc déterminer .
Or donc .
La probabilité qu’Ike aille à l’école en bus le jeudi de la semaine de la rentrée est donc de .

Pour s'entraîner : exercices 33 et 34 p. 221

Méthode

  • On détermine la matrice de transition liée au graphe probabiliste.
  • On calcule ensuite la puissance de la matrice de transition qui correspond au rang pour lequel on veut trouver la distribution de probabilité.


B
Distribution invariante d’une chaîne de Markov


Propriété (admise)

Soit une chaîne de Markov à 2 ou 3 états de matrice de transition .
Il existe au moins une distribution initiale telle que .
Une telle distribution est appelée distribution invariante de la chaîne de Markov.

Remarque

On parle aussi d’état stable de la chaîne de Markov.

Exemple

On considère une chaîne de Markov dont la matrice de transition est .
Alors est une distribution invariante.
En effet,


.

Remarque

L’existence de la distribution invariante peut également être démontrée pour une chaîne de Markov ayant un nombre d’états quelconque.

Propriété

On considère une chaîne de Markov dont on note la matrice de transition et la distribution initiale.
Pour tout entier naturel , on note la distribution de .
Si ne contient aucun , alors la suite de matrices lignes converge vers l’unique distribution invariante de la chaîne de Markov.

Remarque

Dans le cas où la matrice de transition ne contient pas de , la distribution invariante s’interprète de la même manière qu’une limite de suite.

Application et méthode - 5

Énoncé

On reprend l’exemple précédent.
Déterminer la probabilité qu’Ike aille à l’école en vélo à très long terme.

Solution


La matrice de transition ne contient pas de  : il existe donc une unique distribution invariante .
Si on note cette distribution invariante, alors on a et la relation , c’est‑à‑dire et .
Les deux dernières égalités se ramenant en réalité à la même équation, on ne va travailler qu’avec les deux premières, soit c’est‑à‑dire .
Ce système a pour solution .
La distribution invariante est donc . La probabilité qu’Ike aille à l’école en vélo à très long terme vaut .

Pour s'entraîner : exercices 35 et 36 p. 221

Méthode

La notion de distribution invariante permet de modéliser cette notion de « long terme ».
On commence par noter la (lorsqu’elle est unique) distribution invariante puis on remarque qu’on doit avoir .
On traduit ensuite sous forme de système la relation  : on obtient alors deux nouvelles relations qui s’avèrent être équivalentes.
On dispose donc au total de deux équations qui nous permettent de trouver et .
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.