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Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Cours 3
Évolution d'une chaîne de Markov
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AÉtude sur plusieurs rangs
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Propriété
On considère une chaîne de Markov \left(\mathrm{X}_{n}\right) dont on note \mathrm{P} la matrice de transition associée et \pi_{0} la distribution initiale. On note \pi_{n} la loi de \mathrm{X}_{n}.
On a, pour tout entier n, \pi_{n+1}=\pi_{n} \mathrm{P} et \pi_{n}=\pi_{0} \mathrm{P}^{n}.
On a, pour tout entier n, \pi_{n+1}=\pi_{n} \mathrm{P} et \pi_{n}=\pi_{0} \mathrm{P}^{n}.
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Une chaîne de Markov est donc entièrement déterminée par sa distribution initiale et par sa matrice de transition.
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Démonstration
Voir exercice p. 227.
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Exemple
On considère la chaîne de Markov définie par le graphe probabiliste ci‑contre et par la distribution initiale \pi_{0}=(0,5 \quad 0,5). Alors la loi de probabilité \pi_{0} de \mathrm{X}_3 est donné par \pi_{3}=\pi_{0} \mathrm{P}^{3} avec \mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}3 & 0{,}7 \\ 0{,}9 & 0{,}1\end{array}\right).
On a ainsi \pi_{3}=(0{,}576 \quad 0{,}424).
La loi de probabilité de \mathrm{X}_3 est donc la suivante.
La loi de probabilité de \mathrm{X}_3 est donc la suivante.
| \boldsymbol{x} | 1 | 2 |
| \boldsymbol{\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{3}=x\right)} | 0{,}576 | 0{,}424 |
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Le coefficient d'indice (i\,, j) de la matrice \mathrm{P}^n correspont à la probabilité de passer de l'état i à l'état j en n transitions.
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Application et méthode - 4
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Énoncé
On reprend l'exemple précédent. Le lundi, premier jour de l'année scolaire, Ike va à l'école en bus avec une probabilité de 0{,}5. Quelle est la probabilité qu'il aille à l'école en bus le jeudi de cette même semaine ?
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- On détermine la matrice de transition liée au graphe probabiliste.
- On calcule ensuite la puissance de la matrice de transition qui correspond au rang pour lequel on veut trouver la distribution de probabilité.
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Solution
En rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique, la matrice de transition est \mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}3 & 0{,}7 \\ 0{,}8 & 0{,}2\end{array}\right) et la distribution initiale correspondant au lundi de la rentrée est \pi_{0}=(0,5 \quad 0,5). On veut donc déterminer \pi_{3}=\pi_{0} \mathrm{P}^{3}.
Or \mathrm{P}^{3}=\left(\begin{array}{cc}0{,}475 & 0{,}525 \\ 0{,}6 & 0{,}4\end{array}\right) donc \pi_{3}=(0{,}5375 \quad 0{,}4625).
La probabilité qu'Ike aille à l'école en bus le jeudi de la semaine de la rentrée est donc de 0{,}5375.
Or \mathrm{P}^{3}=\left(\begin{array}{cc}0{,}475 & 0{,}525 \\ 0{,}6 & 0{,}4\end{array}\right) donc \pi_{3}=(0{,}5375 \quad 0{,}4625).
La probabilité qu'Ike aille à l'école en bus le jeudi de la semaine de la rentrée est donc de 0{,}5375.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 221
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BDistribution invariante d'une chaîne de Markov
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Propriété (admise)
Soit \left(\mathrm{X}_{n}\right) une chaîne de Markov à 2 ou 3 états de matrice de transition \mathrm{P}.
Il existe au moins une distribution initiale \pi telle que \pi \mathrm{P}=\pi.
Une telle distribution est appelée distribution invariante de la chaîne de Markov.
Il existe au moins une distribution initiale \pi telle que \pi \mathrm{P}=\pi.
Une telle distribution est appelée distribution invariante de la chaîne de Markov.
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On parle aussi d'état stable de la chaîne de Markov.
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Exemple
On considère une chaîne de Markov dont la matrice de transition est \mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}9 & 0{,}1\end{array}\right).
Alors \pi=(0,6 \quad 0,4) est une distribution invariante.
En effet, \pi \mathrm{P}=(0,6 \quad 0,4)\left(\begin{array}{ll}0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}9 & 0{,}1\end{array}\right)
=(0{,}6 \times 0{,}4+0{,}4 \times 0{,}9 \quad 0{,}6 \times 0{,}6+0{,}4 \times 0{,}1)
=(0{,}6 \quad 0{,}4)
= \pi.
Alors \pi=(0,6 \quad 0,4) est une distribution invariante.
En effet, \pi \mathrm{P}=(0,6 \quad 0,4)\left(\begin{array}{ll}0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}9 & 0{,}1\end{array}\right)
=(0{,}6 \times 0{,}4+0{,}4 \times 0{,}9 \quad 0{,}6 \times 0{,}6+0{,}4 \times 0{,}1)
=(0{,}6 \quad 0{,}4)
= \pi.
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L'existence de la distribution invariante peut également être démontrée pour une chaîne de Markov ayant un nombre d'états quelconque.
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Propriété
On considère une chaîne de Markov \left(\mathrm{X}_{n}\right) dont on note \mathrm{P} la matrice de transition et \pi_{0} la distribution initiale.
Pour tout entier naturel n, on note \pi_{n} la distribution de \mathrm{X}_{n}.
Si \mathrm{P} ne contient aucun 0, alors la suite de matrices lignes (\pi_{n}) converge vers l'unique distribution invariante de la chaîne de Markov.
Pour tout entier naturel n, on note \pi_{n} la distribution de \mathrm{X}_{n}.
Si \mathrm{P} ne contient aucun 0, alors la suite de matrices lignes (\pi_{n}) converge vers l'unique distribution invariante de la chaîne de Markov.
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Dans le cas où la matrice de transition ne contient pas de 0, la distribution invariante s'interprète de la même manière qu'une limite de suite.
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Application et méthode - 5
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Énoncé
On reprend l'exemple précédent.
Déterminer la probabilité qu'Ike aille à l'école en vélo à très long terme.
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La notion de distribution invariante permet de modéliser cette notion de « long terme ».
On commence par noter (x \quad y) la (lorsqu'elle est unique) distribution invariante puis on remarque qu'on doit avoir x+y=1.
On traduit ensuite sous forme de système la relation \pi \mathrm{P}=\pi : on obtient alors deux nouvelles relations qui s'avèrent être équivalentes.
On dispose donc au total de deux équations qui nous permettent de trouver x et y.
On commence par noter (x \quad y) la (lorsqu'elle est unique) distribution invariante puis on remarque qu'on doit avoir x+y=1.
On traduit ensuite sous forme de système la relation \pi \mathrm{P}=\pi : on obtient alors deux nouvelles relations qui s'avèrent être équivalentes.
On dispose donc au total de deux équations qui nous permettent de trouver x et y.
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Solution
La matrice de transition \mathrm{P} ne contient pas de 0 : il existe donc une unique distribution invariante \pi.
Si on note \pi=(x \quad y) cette distribution invariante, alors on a x+y=1 et la relation \pi \mathrm{P}=\pi, c'est‑à‑dire 0{,}3 x+0{,}8 y=x et 0{,}7x+0{,}2 y=y.
Les deux dernières égalités se ramenant en réalité à la même équation, on ne va travailler qu'avec les deux premières, soit \left\{\begin{array}{r}0{,}3 x+0{,}8 y=x \\ x+y=1\end{array}\right. c'est‑à‑dire \left\{\begin{aligned}-0{,}7 x+0{,}8 y &=0 \\ x+y &=1 \end{aligned}\right..
Ce système a pour solution (x\,; y)=\left(\frac{8}{15}\,; \frac{7}{15}\right).
La distribution invariante est donc \pi=\left(\frac{8}{15}\:\: \frac{7}{15}\right). La probabilité qu'Ike aille à l'école en vélo à très long terme vaut \frac{7}{15}.
Si on note \pi=(x \quad y) cette distribution invariante, alors on a x+y=1 et la relation \pi \mathrm{P}=\pi, c'est‑à‑dire 0{,}3 x+0{,}8 y=x et 0{,}7x+0{,}2 y=y.
Les deux dernières égalités se ramenant en réalité à la même équation, on ne va travailler qu'avec les deux premières, soit \left\{\begin{array}{r}0{,}3 x+0{,}8 y=x \\ x+y=1\end{array}\right. c'est‑à‑dire \left\{\begin{aligned}-0{,}7 x+0{,}8 y &=0 \\ x+y &=1 \end{aligned}\right..
Ce système a pour solution (x\,; y)=\left(\frac{8}{15}\,; \frac{7}{15}\right).
La distribution invariante est donc \pi=\left(\frac{8}{15}\:\: \frac{7}{15}\right). La probabilité qu'Ike aille à l'école en vélo à très long terme vaut \frac{7}{15}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 221
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