Voir exercice

78

p. 227.

Le coefficient d'indice $(i,j)$ de la matrice ${\mathrm{P}}^n$ correspont à la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ en $n$ transitions.

En rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique, la matrice de transition est $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}0,3& 0,7\\ 0,8& 0,2\end{array}\right)$ et la distribution initiale correspondant au lundi de la rentrée est ${\pi }_0=(0,50,5)$. On veut donc déterminer ${\pi }_3={\pi }_0{\mathrm{P}}^3$.
Or ${\mathrm{P}}^3=\left(\begin{array}{cc}0,475& 0,525\\ 0,6& 0,4\end{array}\right)$ donc ${\pi }_3=(0,53750,4625)$.
La probabilité qu'Ike aille à l'école en bus le jeudi de la semaine de la rentrée est donc de $0,5375$.

Exercices

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et

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La matrice de transition $\mathrm{P}$ ne contient pas de $0$ : il existe donc une unique distribution invariante $\pi$.
Si on note $\pi =(xy)$ cette distribution invariante, alors on a $x+y=1$ et la relation $\pi \mathrm{P}=\pi$, c'est‑à‑dire $0,3x+0,8y=x$ et $0,7x+0,2y=y$.
Les deux dernières égalités se ramenant en réalité à la même équation, on ne va travailler qu'avec les deux premières, soit $\{\begin{array}{r}0,3x+0,8y=x\\ x+y=1\end{array}$ c'est‑à‑dire $\{\begin{array}{rl}-0,7x+0,8y& =0\\ x+y& =1\end{array}$.
Ce système a pour solution $(x;y)=\left(\frac{8}{15};\frac{7}{15}\right)$.
La distribution invariante est donc $\pi =\left(\frac{8}{15}\frac{7}{15}\right)$. La probabilité qu'Ike aille à l'école en vélo à très long terme vaut $\frac{7}{15}$.

Exercices

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