Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Cours 2

Chaînes de Markov

A
Définitions et aspect probabiliste

Définitions
Un graphe pondéré est un graphe dans lequel chaque arête est affectée d'un nombre réel positif appelé poids de cette arête.
Définition
Un graphe probabiliste est un graphe orienté pondéré par des réels compris entre et et dans lequel la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet est égale à .
Exemple
Le graphe suivant est un graphe probabiliste à deux états ( et ). On a et

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Définitions
Une suite de variables aléatoires est une chaîne de Markov à deux états et (respectivement à trois états , et ) lorsque, pour tous , , … , , dans (respectivement dans ), on a : . La probabilité s'appelle probabilité de transition de l'état à l'état .
L'ensemble (respectivement ) est appelé espace des états.

Illustration à l'aide d'un graphe probabiliste

On peut représenter une chaîne de Markov à l'aide d'un graphe probabiliste. Chaque sommet représente un état de la chaîne de Markov et les poids portés par les arêtes orientées représentent les probabilités de transitions.

Graphe d'une chaîne de Markov à deux états


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Graphe d'une chaîne de Markov à trois états


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Remarque

La définition d'une chaîne de Markov signifie que les états passés n'ont aucune influence sur les états futurs : seul l'état présent a son importance.

Remarque

Les variables aléatoires ne sont pas nécessairement à valeurs réelles.

Remarque

La somme des probabilités de transition issues d'un même état est égale à .
Définition
La distribution initiale d'une chaîne de Markov est la loi de probabilité de .
Application et méthode - 3
Énoncé
Ike n'aime pas prendre le bus pour aller à l'école et préfère prendre son vélo. Il n'utilise pas d'autre moyen de locomotion. Chaque jour de la semaine, il va à l'école en bus avec une probabilité de s'il ne l'a pas emprunté la fois précédente et avec une probabilité de sinon.
Représenter la situation par un graphe probabiliste.

Méthode

  • On repère en premier lieu le nombre d'états : on en a ici deux.
  • On construit alors un graphe probabiliste à deux sommets (un pour chaque état) et on traduit les probabilités de l'énoncé sous forme de pondérations dans le graphe
  • On complète en utilisant le fait que la somme des probabilités portées par les arêtes issues d'un même état vaut .
Solution
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Pour s'entraîner
Exercices et p. 221

B
Représentation matricielle d'une chaîne de Markov

Définition
On considère une chaîne de Markov à états, numérotés  ; … ; , et on note l'espace des états.
La matrice de transition associée à cette chaîne de Markov est la matrice carrée d'ordre telle que, pour tout et pour tout , le coefficient correspond à la probabilité de transition de l'état vers l'état .

Remarque

Dans le programme, on se limite au cas où ou .
Exemples
1. La chaîne de Markov représentée ci‑dessous par un graphe probabiliste a pour matrice de transition .
Le coefficient surligné indique que la probabilité de passer de l'état 2 à l'état 1 vaut .

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2. La chaîne de Markov représentée par le graphe probabiliste ci‑dessous a pour matrice de transition .

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Remarque

La distribution initiale peut être représentée par une matrice ligne, souvent notée , dont le ‑ième coefficient correspond à la probabilité de l'état à l'instant initial.
Propriété
1. Les coefficients de la matrice de transition d'une chaîne de Markov sont des nombres appartenant à l'intervalle .
2. La somme des coefficients d'une ligne donnée de la matrice de transition est égale à .

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