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Suites de matrices ${\mathrm{U}}_{n+1}=\mathrm{A}{\mathrm{U}}_n+\mathrm{B}$

Définition

Une suite de matrices colonnes (respectivement lignes) de taille $k\times 1$ (respectivement $1\times k$) est une fonction qui, à tout entier naturel $n$, associe une matrice colonne (respectivement ligne) de même taille.

Propriété

Soient $\mathrm{A}$ une matrice carrée d’ordre $k$ et $({\mathrm{U}}_n)$ la suite de matrices colonnes de taille $k\times 1$ définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $\{\begin{array}{l}{\mathrm{U}}_0\\ {\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{U}}_n\end{array}$.
Alors, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{U}}_n={\mathrm{A}}^n{\mathrm{U}}_0$.

Propriétés

Soit $({\mathrm{U}}_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $k\times 1$ dont le premier terme est la matrice colonne ${\mathrm{U}}_0$ et vérifiant, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{U}}_n+\mathrm{B}$.
On définit également la matrice colonne $\mathrm{C}=-{\left(\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_k\right)}^{-1}\mathrm{B}$ et, pour tout entier naturel $n$, la suite de matrices colonnes $({\mathrm{V}}_n)$ de terme général ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{U}}_n-\mathrm{C}$.
Alors la suite $({\mathrm{V}}_n)$ vérifie $\{\begin{array}{rl}{\mathrm{V}}_0& ={\mathrm{U}}_0-\mathrm{C}\\ {\mathrm{V}}_{n+1}& ={\mathrm{A}\mathrm{V}}_n\end{array}$ et, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{A}}^n{\mathrm{V}}_0$.
Par ailleurs, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{U}}_n={\mathrm{A}}^n\left({\mathrm{U}}_0-\mathrm{C}\right)+\mathrm{C}$.