Suites de matrices ${\mathrm{U}}_{n+1}=\mathrm{A}{\mathrm{U}}_n+\mathrm{B}$

Une suite de matrices colonnes (respectivement lignes) de taille $k\times 1$ (respectivement $1\times k$) est une fonction qui, à tout entier naturel $n$, associe une matrice colonne (respectivement ligne) de même taille.

La fonction $\mathrm{U}$ définie sur $\mathbb{N}$ par $n\mapsto \left(\begin{array}{c}n\\ n^2\end{array}\right)$ définit une suite de matrices colonnes de taille $2\times 1$. On a notamment ${\mathrm{U}}_2=\left(\begin{array}{l}2\\ 4\end{array}\right)$ et ${\mathrm{U}}_5=\left(\begin{array}{c}5\\ 25\end{array}\right)$.

De même que pour les suites numériques, les suites de matrices peuvent être définies de plusieurs manières. En particulier, elles peuvent être définies par la donnée de leur terme général ou par récurrence.

Soient $\mathrm{A}$ une matrice carrée d'ordre $k$ et $({\mathrm{U}}_n)$ la suite de matrices colonnes de taille $k\times 1$ définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $\{\begin{array}{l}{\mathrm{U}}_0\\ {\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{AU}}_n\end{array}$.
Alors, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{U}}_n={\mathrm{A}}^n{\mathrm{U}}_0$.

La formule obtenue est analogue à celle déjà connue sur les suites géométriques.

Soient $\mathrm{A}$ la matrice $\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$ et $\left({\mathrm{U}}_n\right)$ la suite de matrices colonnes définie par ${\mathrm{U}}_0=\left(\begin{array}{l}4\\ 1\end{array}\right)$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{AU}}_n$.

1. Calculer ${\mathrm{U}}_1$.
2. Exprimer, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{U}}_n$ en fonction de $\mathrm{A}$ et de $n$.
3. À l'aide de la calculatrice, calculer ${\mathrm{U}}_{10}$.

La méthode est essentiellement la même que celle utilisée pour les suites numériques : on utilise la formule de récurrence afin de calculer les termes successifs à l'aide du calcul matriciel. Pour éviter les calculs trop longs, il est également possible d'utiliser l'égalité ${\mathrm{U}}_n={\mathrm{A}}^n{\mathrm{U}}_0$ qui nécessite toutefois de calculer une puissance de matrice.

Soit $({\mathrm{U}}_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $k\times 1$ dont le premier terme est la matrice colonne ${\mathrm{U}}_0$ et vérifiant, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{AU}}_n+\mathrm{B}$.
On définit également la matrice colonne $\mathrm{C}=-{\left(\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_k\right)}^{-1}\mathrm{B}$ et, pour tout entier naturel $n$, la suite de matrices colonnes $({\mathrm{V}}_n)$ de terme général ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{U}}_n-\mathrm{C}$.
Alors la suite $({\mathrm{V}}_n)$ vérifie $\{\begin{array}{rl}{\mathrm{V}}_0& ={\mathrm{U}}_0-\mathrm{C}\\ {\mathrm{V}}_{n+1}& ={\mathrm{AV}}_n\end{array}$ et, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{A}}^n{\mathrm{V}}_0$.
Par ailleurs, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{U}}_n={\mathrm{A}}^n\left({\mathrm{U}}_0-\mathrm{C}\right)+\mathrm{C}$.

Si $\mathrm{A}-\mathrm{I}$ est non inversible et $\mathrm{B}$ non nul, alors la suite ${\mathrm{U}}_n$ se comporte en partie ou complètement comme une suite arithmétique.

Soit $({\mathrm{U}}_n)$ la suite définie par ${\mathrm{U}}_0=\left(\begin{array}{l}10\\ 20\end{array}\right)$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par ${\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{AU}}_n+\mathrm{B}$, avec $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0,95& 0\\ 0& 1,1\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$.

1. Calculer ${\mathrm{U}}_1$.
2. a. Justifier que $\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_2$ est inversible.
b. Calculer $\mathrm{C}=-{\left(\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_2\right)}^{-1}\mathrm{B}$.
3. Montrer que la suite $\left({\mathrm{V}}_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{U}}_n-\mathrm{C}$ vérifie ${\mathrm{V}}_{n+1}={\mathrm{AV}}_n$.
4. En déduire le terme général de $({\mathrm{V}}_n)$ puis calculer ${\mathrm{U}}_{10}$.

La méthode utilisée dans ce type d'exercice correspond à celles étudiées :

• dans les chapitres sur les suites pour les calculs de termes ;
• dans le chapitre de calcul matriciel pour les égalités matricielles.