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1. Suites de matrices Un+1= A Un + B
P.210-211

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COURS 1


1
Suites de matrices Un+1=AUn+B\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{A} \mathrm{U}_{n}+\mathrm{B}





Dans cette partie, kk désigne un entier naturel non nul.

A
Étude des suites de matrices de la forme Un+1=AUn\mathbf{U}_{\boldsymbol{n+1}}=\mathbf{A} \mathbf{U}_{\boldsymbol{n}}

Remarques

De même que pour les suites numériques, les suites de matrices peuvent être définies de plusieurs manières. En particulier, elles peuvent être définies par la donnée de leur terme général ou par récurrence.

Définition

Une suite de matrices colonnes (respectivement lignes) de taille k×1k \times 1 (respectivement 1×k1 \times k) est une fonction qui, à tout entier naturel nn, associe une matrice colonne (respectivement ligne) de même taille.

Exemple

La fonction U\mathrm{U} définie sur N\mathbb{N} par n(nn2)n \mapsto\left(\begin{array}{c}n \\ n^{2}\end{array}\right) définit une suite de matrices colonnes de taille 2×12 \times 1. On a notamment U2=(24)\mathrm{U}_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 4\end{array}\right) et U5=(525)\mathrm{U}_{5}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 25\end{array}\right).

Propriété

Soient A\mathrm{A} une matrice carrée d’ordre kk et (Un)(\mathrm{U}_{n}) la suite de matrices colonnes de taille k×1k \times 1 définie, pour tout nNn \in \mathbb{N}, par {U0Un+1=AUn\left\{\begin{array}{l}\mathrm{U}_{0} \\ \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}\end{array}\right..
Alors, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Un=AnU0\mathrm{U}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{U}_{0}.

Remarques

La formule obtenue est analogue à celle déjà connue sur les suites géométriques.

DÉMONSTRATION

La démonstration de cette propriété repose sur un raisonnement par récurrence.
On considère la proposition Pn\mathcal{P}_{n} : « Un=AnU0\mathrm{U}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{U}_{0} » où nNn \in \mathbb{N}.
En utilisant la définition de la suite (Un)(\mathrm{U}_n), on démontre que, pour tout kNk \in \mathbb{N}, si Uk=AkU0\mathrm{U}_{k}=\mathrm{A}^{k} \mathrm{U}_{0}, alors Uk+1=Ak+1U0\mathrm{U}_{k+1}=\mathrm{A}^{k+1} \mathrm{U}_{0} ce qui permet de conclure.

Application et méthode - 1

Énoncé

Soient A\mathrm{A} la matrice (1212)\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & 2\end{array}\right) et (Un)\left(\mathrm{U}_{n}\right) la suite de matrices colonnes définie par U0=(41)\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right) et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Un+1=AUn\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}.
1. Calculer U1\mathrm{U}_1.
2. Exprimer, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Un\mathrm{U}_n en fonction de A\mathrm{A} et de nn.
3. À l’aide de la calculatrice, calculer U10\mathrm{U}_{10}.

Solution


1. La relation de récurrence donne U1=AU0=(1212)×(41)=(26)\mathrm{U}_{1}=\mathrm{AU}_{0}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & 2\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}4 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 6\end{array}\right).

2. Pour tout entier naturel nn, Un=AnU0=An×(41)\mathrm{U}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{U}_{0}=\mathrm{A}^{n} \times\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right).

3. On a ainsi
U10=A10×(41)=(1212)10×(41)=(12 78222 234)\mathrm{U}_{10}=\mathrm{A}^{10} \times\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & 2\end{array}\right)^{10} \times\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}12 782 \\ 22 234\end{array}\right).

Pour s'entraîner : exercices 24 et 25 p. 220

Méthode

La méthode est essentiellement la même que celle utilisée pour les suites numériques : on utilise la formule de récurrence afin de calculer les termes successifs à l’aide du calcul matriciel. Pour éviter les calculs trop longs, il est également possible d’utiliser l’égalité Un=AnU0\mathrm{U}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{U}_{0} qui nécessite toutefois de calculer une puissance de matrice.

B
Étude des suites de matrices de la forme Un+1=AUn+B\mathbf{U}_{\boldsymbol{n+1}}=\mathbf{A} \mathbf{U}_{\boldsymbol{n}}+\mathbf{B}


On note dans la suite A\mathrm{A} une matrice carrée d’ordre kk telle que AIk\mathrm{A}-\mathrm{I}_{k} est inversible et B\mathrm{B} une matrice colonne de taille k×1k \times 1.

Propriétés

Soit (Un)(\mathrm{U}_n) une suite de matrices colonnes de taille k×1k \times 1 dont le premier terme est la matrice colonne U0\mathrm{U}_0 et vérifiant, pour tout entier naturel nn, Un+1=AUn+B\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}.
On définit également la matrice colonne C=(AIk)1B\mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{k}\right)^{-1} \mathrm{B} et, pour tout entier naturel nn, la suite de matrices colonnes (Vn)(\mathrm{V}_n) de terme général Vn=UnC\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C}.
Alors la suite (Vn)(\mathrm{V}_n) vérifie {V0=U0CVn+1=AVn\left\{\begin{aligned}\mathrm{V}_{0}&=\mathrm{U}_{0}-\mathrm{C} \\ \mathrm{V}_{n+1}&=\mathrm{AV}_{n}\end{aligned}\right. et, pour tout entier naturel nn, Vn=AnV0\mathrm{V}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{V}_{0}.
Par ailleurs, pour tout entier naturel nn, Un=An(U0C)+C\mathrm{U}_{n}=\mathrm{A}^{n}\left(\mathrm{U}_{0}-\mathrm{C}\right)+\mathrm{C}.

Remarque

Si AI\mathrm{A} - \mathrm{I} est non inversible et B\mathrm{B} non nul, alors la suite Un\mathrm{U}_n se comporte en partie ou complètement comme une suite arithmétique.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
48
p. 223
.

Exemple

Dans l’activité
A
, la deuxième modélisation amenait à l’étude d’une suite matricielle de la forme Un+1=AUn+B\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B} avec A=(0,90,0111,01)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0{,}9 & 0{,}01 \\ -1 & 1{,}01\end{array}\right) et B=(101 000)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{c}-10 \\ 1 000\end{array}\right).
AI2=(0,10,0110,01)\mathrm{A} -\mathrm{I}_{2}=\left(\begin{array}{cc}-0{,}1 & 0{,}01 \\ -1 & 0{,}01\end{array}\right) de déterminant det(AI2)=0,0090\operatorname{det}\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)=0{,}009 \neq 0 donc AI2\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2} est inversible.
On peut donc utiliser la propriété pour expliciter le terme général de la suite (Un)(\mathrm{U}_n).

Application et méthode - 2

Énoncé

Soit (Un)(\mathrm{U}_{n}) la suite définie par U0=(1020)\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}10 \\ 20\end{array}\right) et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, par Un+1=AUn+B\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}, avec A=(0,95001,1)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0{,}95 & 0 \\ 0 & 1{,}1\end{array}\right) et B=(21)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1\end{array}\right).
1. Calculer U1\mathrm{U}_{1}.
2. a. Justifier que AI2\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2} est inversible.
b. Calculer C=(AI2)1B\mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1} \mathrm{B}.
3. Montrer que la suite (Vn)\left(\mathrm{V}_{n}\right) définie pour tout entier naturel nn par Vn=UnC\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C} vérifie Vn+1=AVn\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}.
4. En déduire le terme général de (Vn)(\mathrm{V}_{n}) puis calculer U10\mathrm{U}_{10}.

Solution


1. U1=AU0+B=(9,522)+(21)=(11,521)\mathrm{U}_{1}=\mathrm{AU}_{0}+\mathrm{B}=\left(\begin{array}{c}9{,}5 \\ 22\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2 \\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}11{,}5 \\ 21\end{array}\right)

2. a. AI2=(0,05000,1)\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}=\left(\begin{array}{cc}-0{,}05 & 0 \\ 0 & 0{,}1\end{array}\right) et det(AI2)=0,0050\operatorname{det}\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)=-0{,}005 \neq 0 donc AI2\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2} est inversible.

b. C=(AI2)1B=(200010)(21)=(4010)\mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1} \mathrm{B}=-\left(\begin{array}{cc}-20 & 0 \\ 0 & 10\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2 \\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40 \\ 10\end{array}\right)

3. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, Vn+1=Un+1C=AUn+BC=A(Vn+C)+BC\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{U}_{n+1}-\mathrm{C}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}-\mathrm{C}=\mathrm{A}\left(\mathrm{V}_{n}+\mathrm{C}\right)+\mathrm{B}-\mathrm{C}.
Ainsi, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Vn+1=AVn+AC+BC=AVn+B+(AI)C\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}+\mathrm{AC}+\mathrm{B}-\mathrm{C}=\mathrm{AV}_{n}+\mathrm{B}+(\mathrm{A}-\mathrm{I}) \mathrm{C}.
On a alors Vn+1=AVn+B+(AI)((AI)1B)\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}+\mathrm{B}+(\mathrm{A}-\mathrm{I})\left(-(\mathrm{A}-\mathrm{I})^{-1} \mathrm{B}\right)
et ainsi, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Vn+1=AVn+BB=AVn\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}+\mathrm{B}-\mathrm{B}=\mathrm{AV}_{n}.
Par ailleurs, V0=U0C=(3010)\mathrm{V}_{0}=\mathrm{U}_{0}-\mathrm{C}=\left(\begin{array}{c}-30 \\ 10\end{array}\right).

4. Ainsi, pour tout entier naturel nn, Vn=AnV0=(0,95001,1)n(3010)\mathrm{V}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{V}_{0}=\left(\begin{array}{cc}0{,}95 & 0 \\ 0 & 1{,}1\end{array}\right)^{n}\left(\begin{array}{c}-30 \\ 10\end{array}\right).
Puisque U10=V10+C\mathrm{U}_{10}=\mathrm{V}_{10}+\mathrm{C} alors U10(22,0435,94)\mathrm{U}_{10} \approx\left(\begin{array}{l}22{,}04 \\ 35{,}94\end{array}\right).

Pour s'entraîner : exercices 26 et 27 p. 220

Méthode

La méthode utilisée dans ce type d’exercice correspond à celles étudiées :
  • dans les chapitres sur les suites pour les calculs de termes ;
  • dans le chapitre de calcul matriciel pour les égalités matricielles.

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