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1. Suites de matrices Un+1= A Un + B

P.210-211

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COURS 1

1
Suites de matrices $U_{n + 1} = A U_{n} + B$

Dans cette partie,

k

désigne un entier naturel non nul.

A
Étude des suites de matrices de la forme $U_{n + 1} = A U_{n}$

Remarques

De même que pour les suites numériques, les suites de matrices peuvent être définies de plusieurs manières. En particulier, elles peuvent être définies par la donnée de leur terme général ou par récurrence.

Définition

Une suite de matrices colonnes (respectivement lignes) de taille

k \times 1

(respectivement

1 \times k

) est une fonction qui, à tout entier naturel

n

, associe une matrice colonne (respectivement ligne) de même taille.

Exemple

La fonction

U

définie sur

N

par

n \mapsto (n n^{2})

définit une suite de matrices colonnes de taille

2 \times 1

. On a notamment

U_{2} = (24)

U_{5} = (525)

Propriété

Soient

A

une matrice carrée d’ordre

k

(U_{n})

la suite de matrices colonnes de taille

k \times 1

définie, pour tout

n \in N

, par

{U_{0} U_{n + 1} = A U_{n}

.
Alors, pour tout

n \in N

U_{n} = A^{n} U_{0}

Remarques

La formule obtenue est analogue à celle déjà connue sur les suites géométriques.

DÉMONSTRATION

La démonstration de cette propriété repose sur un raisonnement par récurrence.
On considère la proposition

P_{n}

: «

U_{n} = A^{n} U_{0}

» où

n \in N

.
En utilisant la définition de la suite

(U_{n})

, on démontre que, pour tout

k \in N

, si

U_{k} = A^{k} U_{0}

, alors

U_{k + 1} = A^{k + 1} U_{0}

ce qui permet de conclure.

Application et méthode - 1

Énoncé

Soient

A

la matrice

(- 1 1 22)

(U_{n})

la suite de matrices colonnes définie par

U_{0} = (41)

et, pour tout

n \in N

U_{n + 1} = A U_{n}

.
1. Calculer

U_{1}

.
2. Exprimer, pour tout

n \in N

U_{n}

en fonction de

A

et de

n

.
3. À l’aide de la calculatrice, calculer

U_{10}

Solution

1. La relation de récurrence donne

U_{1} = A U_{0} = (- 1 1 22) \times (41) = (- 2 6)

.

2. Pour tout entier naturel

n

U_{n} = A^{n} U_{0} = A^{n} \times (41)

.

3. On a ainsi

U_{10} = A^{10} \times (41) = (- 1 1 22)^{10} \times (41) = (1278222234)

Pour s'entraîner : exercices 24 et 25 p. 220

Méthode

La méthode est essentiellement la même que celle utilisée pour les suites numériques : on utilise la formule de récurrence afin de calculer les termes successifs à l’aide du calcul matriciel. Pour éviter les calculs trop longs, il est également possible d’utiliser l’égalité

U_{n} = A^{n} U_{0}

qui nécessite toutefois de calculer une puissance de matrice.

B
Étude des suites de matrices de la forme $U_{n + 1} = A U_{n} + B$

On note dans la suite

A

une matrice carrée d’ordre

k

telle que

A - I_{k}

est inversible et

B

une matrice colonne de taille

k \times 1

Propriétés

Soit

(U_{n})

une suite de matrices colonnes de taille

k \times 1

dont le premier terme est la matrice colonne

U_{0}

et vérifiant, pour tout entier naturel

n

U_{n + 1} = A U_{n} + B

.
On définit également la matrice colonne

C = - (A - I_{k})^{- 1} B

et, pour tout entier naturel

n

, la suite de matrices colonnes

(V_{n})

de terme général

V_{n} = U_{n} - C

.
Alors la suite

(V_{n})

vérifie

{V_{0} V_{n + 1} = U_{0} - C = A V_{n}

et, pour tout entier naturel

n

V_{n} = A^{n} V_{0}

.
Par ailleurs, pour tout entier naturel

n

U_{n} = A^{n} (U_{0} - C) + C

Remarque

A - I

est non inversible et

B

non nul, alors la suite

U_{n}

se comporte en partie ou complètement comme une suite arithmétique.

DÉMONSTRATION

Voir exercice 48
p. 223.

Exemple

Dans l’activité A
, la deuxième modélisation amenait à l’étude d’une suite matricielle de la forme

U_{n + 1} = A U_{n} + B

avec

A = (0, 9 - 1 0, 01 1, 01)

B = (- 10 1000)

A - I_{2} = (- 0, 1 - 1 0, 01 0, 01)

de déterminant

d e t (A - I_{2}) = 0, 009 \neq = 0

donc

A - I_{2}

est inversible.
On peut donc utiliser la propriété pour expliciter le terme général de la suite

(U_{n})

Application et méthode - 2

Énoncé

Soit

(U_{n})

la suite définie par

U_{0} = (1020)

et, pour tout

n \in N

, par

U_{n + 1} = A U_{n} + B

, avec

A = (0, 95 0 0 1, 1)

B = (2 - 1)

.
1. Calculer

U_{1}

.
2. a. Justifier que

A - I_{2}

est inversible.
b. Calculer

C = - (A - I_{2})^{- 1} B

.
3. Montrer que la suite

(V_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par

V_{n} = U_{n} - C

vérifie

V_{n + 1} = A V_{n}

.
4. En déduire le terme général de

(V_{n})

puis calculer

U_{10}

Solution

U_{1} = A U_{0} + B = (9, 5 22) + (2 - 1) = (11, 5 21)

2. a.

A - I_{2} = (- 0, 05 0 0 0, 1)

d e t (A - I_{2}) = - 0, 005 \neq = 0

donc

A - I_{2}

est inversible.

b.

C = - (A - I_{2})^{- 1} B = - (- 20 0 010) (2 - 1) = (4010)

3. Pour tout

n \in N

V_{n + 1} = U_{n + 1} - C = A U_{n} + B - C = A (V_{n} + C) + B - C

.
Ainsi, pour tout

n \in N

V_{n + 1} = A V_{n} + A C + B - C = A V_{n} + B + (A - I) C

.
On a alors

V_{n + 1} = A V_{n} + B + (A - I) (- (A - I)^{- 1} B)

et ainsi, pour tout

n \in N

V_{n + 1} = A V_{n} + B - B = A V_{n}

.
Par ailleurs,

V_{0} = U_{0} - C = (- 30 10)

.

4. Ainsi, pour tout entier naturel

n

V_{n} = A^{n} V_{0} = (0, 95 0 0 1, 1)^{n} (- 30 10)

.
Puisque

U_{10} = V_{10} + C

alors

U_{10} \approx (22, 04 35, 94)

Pour s'entraîner : exercices 26 et 27 p. 220

Méthode

La méthode utilisée dans ce type d’exercice correspond à celles étudiées :

dans les chapitres sur les suites pour les calculs de termes ;
dans le chapitre de calcul matriciel pour les égalités matricielles.

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1Suites de matrices Un+1​=AUn​+B

AÉtude des suites de matrices de la forme Un+1​=AUn​

Remarques

Remarques

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 1

Énoncé

Solution

Méthode

BÉtude des suites de matrices de la forme Un+1​=AUn​+B

Remarque

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 2

Énoncé

Solution

Méthode

1
Suites de matrices $U_{n + 1} = A U_{n} + B$

A
Étude des suites de matrices de la forme $U_{n + 1} = A U_{n}$

B
Étude des suites de matrices de la forme $U_{n + 1} = A U_{n} + B$