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1. Suites de matrices Un+1= A Un + B
P.210-211

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COURS 1


1
Suites de matrices





Dans cette partie, désigne un entier naturel non nul.

A
Étude des suites de matrices de la forme

Remarques

De même que pour les suites numériques, les suites de matrices peuvent être définies de plusieurs manières. En particulier, elles peuvent être définies par la donnée de leur terme général ou par récurrence.

Définition

Une suite de matrices colonnes (respectivement lignes) de taille (respectivement ) est une fonction qui, à tout entier naturel , associe une matrice colonne (respectivement ligne) de même taille.

Exemple

La fonction définie sur par définit une suite de matrices colonnes de taille . On a notamment et .

Propriété

Soient une matrice carrée d’ordre et la suite de matrices colonnes de taille définie, pour tout , par .
Alors, pour tout , .

Remarques

La formule obtenue est analogue à celle déjà connue sur les suites géométriques.

DÉMONSTRATION

La démonstration de cette propriété repose sur un raisonnement par récurrence.
On considère la proposition  : «  » où .
En utilisant la définition de la suite , on démontre que, pour tout , si , alors ce qui permet de conclure.

Application et méthode - 1

Énoncé

Soient la matrice et la suite de matrices colonnes définie par et, pour tout , .
1. Calculer .
2. Exprimer, pour tout , en fonction de et de .
3. À l’aide de la calculatrice, calculer .

Solution


1. La relation de récurrence donne .

2. Pour tout entier naturel , .

3. On a ainsi
.

Pour s'entraîner : exercices 24 et 25 p. 220

Méthode

La méthode est essentiellement la même que celle utilisée pour les suites numériques : on utilise la formule de récurrence afin de calculer les termes successifs à l’aide du calcul matriciel. Pour éviter les calculs trop longs, il est également possible d’utiliser l’égalité qui nécessite toutefois de calculer une puissance de matrice.

B
Étude des suites de matrices de la forme


On note dans la suite une matrice carrée d’ordre telle que est inversible et une matrice colonne de taille .

Propriétés

Soit une suite de matrices colonnes de taille dont le premier terme est la matrice colonne et vérifiant, pour tout entier naturel , .
On définit également la matrice colonne et, pour tout entier naturel , la suite de matrices colonnes de terme général .
Alors la suite vérifie et, pour tout entier naturel , .
Par ailleurs, pour tout entier naturel , .

Remarque

Si est non inversible et non nul, alors la suite se comporte en partie ou complètement comme une suite arithmétique.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
48
p. 223
.

Exemple

Dans l’activité
A
, la deuxième modélisation amenait à l’étude d’une suite matricielle de la forme avec et .
de déterminant donc est inversible.
On peut donc utiliser la propriété pour expliciter le terme général de la suite .

Application et méthode - 2

Énoncé

Soit la suite définie par et, pour tout , par , avec et .
1. Calculer .
2. a. Justifier que est inversible.
b. Calculer .
3. Montrer que la suite définie pour tout entier naturel par vérifie .
4. En déduire le terme général de puis calculer .

Solution


1.

2. a. et donc est inversible.

b.

3. Pour tout , .
Ainsi, pour tout , .
On a alors
et ainsi, pour tout , .
Par ailleurs, .

4. Ainsi, pour tout entier naturel , .
Puisque alors .

Pour s'entraîner : exercices 26 et 27 p. 220

Méthode

La méthode utilisée dans ce type d’exercice correspond à celles étudiées :
  • dans les chapitres sur les suites pour les calculs de termes ;
  • dans le chapitre de calcul matriciel pour les égalités matricielles.

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