Dans cette partie, k désigne un entier naturel non nul.
A
Étude des suites de matrices de la forme Un+1=AUn
Remarques
De même que pour les suites numériques, les suites de matrices peuvent être définies de plusieurs manières. En particulier, elles peuvent être définies par la donnée de leur terme général ou par récurrence.
Définition
Une suite de matrices colonnes (respectivement lignes) de taille k×1 (respectivement 1×k) est une fonction qui, à tout entier naturel n, associe une matrice colonne (respectivement ligne) de même taille.
Exemple
La fonction U définie sur N par n↦(nn2) définit une suite de matrices colonnes de taille 2×1. On a notamment U2=(24) et U5=(525).
Propriété
Soient A une matrice carrée d’ordre k et (Un) la suite de matrices colonnes de taille k×1 définie, pour tout n∈N, par {U0Un+1=AUn.
Alors, pour tout n∈N, Un=AnU0.
Remarques
La formule obtenue est analogue à celle déjà connue sur les suites géométriques.
DÉMONSTRATION
La démonstration de cette propriété repose sur un raisonnement par récurrence.
On considère la proposition Pn : « Un=AnU0 » où n∈N.
En utilisant la définition de la suite (Un), on démontre que, pour tout k∈N, si Uk=AkU0, alors Uk+1=Ak+1U0 ce qui permet de conclure.
Application et méthode - 1
Énoncé
Soient A la matrice (−1122) et (Un) la suite de matrices colonnes définie par U0=(41) et, pour tout n∈N, Un+1=AUn.
1. Calculer U1. 2. Exprimer, pour tout n∈N, Un en fonction de A et de n. 3. À l’aide de la calculatrice, calculer U10.
Solution
1. La relation de récurrence donne U1=AU0=(−1122)×(41)=(−26).
2. Pour tout entier naturel n, Un=AnU0=An×(41).
3. On a ainsi U10=A10×(41)=(−1122)10×(41)=(1278222234).
La méthode est essentiellement la même que celle utilisée pour les suites numériques : on utilise la formule de récurrence afin de calculer les termes successifs à l’aide du calcul matriciel. Pour éviter les calculs trop longs, il est également possible d’utiliser l’égalité Un=AnU0 qui nécessite toutefois de calculer une puissance de matrice.
B
Étude des suites de matrices de la forme Un+1=AUn+B
On note dans la suite A une matrice carrée d’ordre k telle que A−Ik est inversible et B une matrice colonne de taille k×1.
Propriétés
Soit (Un) une suite de matrices colonnes de taille k×1 dont le premier terme est la matrice colonne U0 et vérifiant, pour tout entier naturel n, Un+1=AUn+B.
On définit également la matrice colonne C=−(A−Ik)−1B et, pour tout entier naturel n, la suite de matrices colonnes (Vn) de terme général Vn=Un−C.
Alors la suite (Vn) vérifie {V0Vn+1=U0−C=AVn et, pour tout entier naturel n, Vn=AnV0.
Par ailleurs, pour tout entier naturel n, Un=An(U0−C)+C.
Remarque
Si A−I est non inversible et B non nul, alors la suite Un se comporte en partie ou complètement comme une suite arithmétique.
, la deuxième modélisation amenait à l’étude d’une suite matricielle de la forme Un+1=AUn+B avec A=(0,9−10,011,01) et B=(−101000).
A−I2=(−0,1−10,010,01) de déterminant det(A−I2)=0,009=0 donc A−I2 est inversible.
On peut donc utiliser la propriété pour expliciter le terme général de la suite (Un).
Application et méthode - 2
Énoncé
Soit (Un) la suite définie par U0=(1020) et, pour tout n∈N, par Un+1=AUn+B, avec A=(0,95001,1) et B=(2−1).
1. Calculer U1.
2. a. Justifier que A−I2 est inversible.
b. Calculer C=−(A−I2)−1B.
3. Montrer que la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n par Vn=Un−C vérifie Vn+1=AVn.
4. En déduire le terme général de (Vn) puis calculer U10.
Solution
1.U1=AU0+B=(9,522)+(2−1)=(11,521)
2. a.A−I2=(−0,05000,1) et det(A−I2)=−0,005=0 donc A−I2 est inversible.
b.C=−(A−I2)−1B=−(−200010)(2−1)=(4010)
3. Pour tout n∈N, Vn+1=Un+1−C=AUn+B−C=A(Vn+C)+B−C.
Ainsi, pour tout n∈N, Vn+1=AVn+AC+B−C=AVn+B+(A−I)C.
On a alors Vn+1=AVn+B+(A−I)(−(A−I)−1B)
et ainsi, pour tout n∈N, Vn+1=AVn+B−B=AVn.
Par ailleurs, V0=U0−C=(−3010).
4. Ainsi, pour tout entier naturel n, Vn=AnV0=(0,95001,1)n(−3010).
Puisque U10=V10+C alors U10≈(22,0435,94).
La méthode utilisée dans ce type d’exercice correspond à celles étudiées :
dans les chapitres sur les suites pour les calculs de termes ;
dans le chapitre de calcul matriciel pour les égalités matricielles.
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