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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Cours 1

Suites de matrices \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{A} \mathrm{U}_{n}+\mathrm{B}

11 professeurs ont participé à cette page
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Dans cette partie, k désigne un entier naturel non nul.
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A
Étude des suites de matrices de la forme \text{U}_{n+1}=\text{A} \text{U}_{n}

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Définition
Une suite de matrices colonnes (respectivement lignes) de taille k \times 1 (respectivement 1 \times k) est une fonction qui, à tout entier naturel n, associe une matrice colonne (respectivement ligne) de même taille.
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Remarque

De même que pour les suites numériques, les suites de matrices peuvent être définies de plusieurs manières. En particulier, elles peuvent être définies par la donnée de leur terme général ou par récurrence.
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Exemple
La fonction \mathrm{U} définie sur \mathbb{N} par n \mapsto\left(\begin{array}{c}n \\ n^{2}\end{array}\right) définit une suite de matrices colonnes de taille 2 \times 1. On a notamment \mathrm{U}_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 4\end{array}\right) et \mathrm{U}_{5}=\left(\begin{array}{c}5 \\ 25\end{array}\right).
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Propriété
Soient \mathrm{A} une matrice carrée d'ordre k et (\mathrm{U}_{n}) la suite de matrices colonnes de taille k \times 1 définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par \left\{\begin{array}{l}\mathrm{U}_{0} \\ \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}\end{array}\right..
Alors, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{U}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{U}_{0}.
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Remarque

La formule obtenue est analogue à celle déjà connue sur les suites géométriques.
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Démonstration
La démonstration de cette propriété repose sur un raisonnement par récurrence.
On considère la proposition \mathcal{P}_{n} : « \mathrm{U}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{U}_{0} » où n \in \mathbb{N}.
En utilisant la définition de la suite (\mathrm{U}_n), on démontre que, pour tout k \in \mathbb{N}, si \mathrm{U}_{k}=\mathrm{A}^{k} \mathrm{U}_{0}, alors \mathrm{U}_{k+1}=\mathrm{A}^{k+1} \mathrm{U}_{0} ce qui permet de conclure.
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Application et méthode - 1 
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Énoncé
Soient \mathrm{A} la matrice \left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & 2\end{array}\right) et \left(\mathrm{U}_{n}\right) la suite de matrices colonnes définie par \mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right) et, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}.

1. Calculer \mathrm{U}_1.
2. Exprimer, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{U}_n en fonction de \mathrm{A} et de n.
3. À l'aide de la calculatrice, calculer \mathrm{U}_{10}.
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Méthode

La méthode est essentiellement la même que celle utilisée pour les suites numériques : on utilise la formule de récurrence afin de calculer les termes successifs à l'aide du calcul matriciel. Pour éviter les calculs trop longs, il est également possible d'utiliser l'égalité \mathrm{U}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{U}_{0} qui nécessite toutefois de calculer une puissance de matrice.
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Solution
1. La relation de récurrence donne \mathrm{U}_{1}=\mathrm{AU}_{0}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & 2\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}4 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 6\end{array}\right).

2. Pour tout entier naturel n, \mathrm{U}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{U}_{0}=\mathrm{A}^{n} \times\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right).

3. On a ainsi
\mathrm{U}_{10}=\mathrm{A}^{10} \times\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & 2\end{array}\right)^{10} \times\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}12 782 \\ 22 234\end{array}\right).

Pour s'entraîner
Exercices et p. 220
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B
Étude des suites de matrices de la forme \text{U}_{{n+1}}=\text{A} \text{U}_{{n}}+\text{B}


On note dans la suite \mathrm{A} une matrice carrée d'ordre k telle que \mathrm{A}-\mathrm{I}_{k} est inversible et \mathrm{B} une matrice colonne de taille k \times 1.

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Propriétés
Soit (\mathrm{U}_n) une suite de matrices colonnes de taille k \times 1 dont le premier terme est la matrice colonne \mathrm{U}_0 et vérifiant, pour tout entier naturel n, \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}.
On définit également la matrice colonne \mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{k}\right)^{-1} \mathrm{B} et, pour tout entier naturel n, la suite de matrices colonnes (\mathrm{V}_n) de terme général \mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C}.
Alors la suite (\mathrm{V}_n) vérifie \left\{\begin{aligned}\mathrm{V}_{0}&=\mathrm{U}_{0}-\mathrm{C} \\ \mathrm{V}_{n+1}&=\mathrm{AV}_{n}\end{aligned}\right. et, pour tout entier naturel n, \mathrm{V}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{V}_{0}.
Par ailleurs, pour tout entier naturel n, \mathrm{U}_{n}=\mathrm{A}^{n}\left(\mathrm{U}_{0}-\mathrm{C}\right)+\mathrm{C}.
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Remarque

Si \mathrm{A} - \mathrm{I} est non inversible et \mathrm{B} non nul, alors la suite \mathrm{U}_n se comporte en partie ou complètement comme une suite arithmétique.
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Démonstration
Voir exercice p. 223.
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Exemple
Dans l'activité , la deuxième modélisation amenait à l'étude d'une suite matricielle de la forme \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B} avec \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0{,}9 & 0{,}01 \\ -1 & 1{,}01\end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{c}-10 \\ 1 000\end{array}\right).
\mathrm{A} -\mathrm{I}_{2}=\left(\begin{array}{cc}-0{,}1 & 0{,}01 \\ -1 & 0{,}01\end{array}\right) de déterminant \operatorname{det}\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)=0{,}009 \neq 0 donc \mathrm{A}-\mathrm{I}_{2} est inversible.
On peut donc utiliser la propriété pour expliciter le terme général de la suite (\mathrm{U}_n).
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Application et méthode - 2
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Énoncé
Soit (\mathrm{U}_{n}) la suite définie par \mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}10 \\ 20\end{array}\right) et, pour tout n \in \mathbb{N}, par \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}, avec \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0{,}95 & 0 \\ 0 & 1{,}1\end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1\end{array}\right).

1. Calculer \mathrm{U}_{1}.
2. a. Justifier que \mathrm{A}-\mathrm{I}_{2} est inversible.
b. Calculer \mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1} \mathrm{B}.
3. Montrer que la suite \left(\mathrm{V}_{n}\right) définie pour tout entier naturel n par \mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C} vérifie \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}.
4. En déduire le terme général de (\mathrm{V}_{n}) puis calculer \mathrm{U}_{10}.
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Méthode

La méthode utilisée dans ce type d'exercice correspond à celles étudiées :
  • dans les chapitres sur les suites pour les calculs de termes ;
  • dans le chapitre de calcul matriciel pour les égalités matricielles.
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Solution
1. \mathrm{U}_{1}=\mathrm{AU}_{0}+\mathrm{B}=\left(\begin{array}{c}9{,}5 \\ 22\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2 \\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}11{,}5 \\ 21\end{array}\right)

2. a. \mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}=\left(\begin{array}{cc}-0{,}05 & 0 \\ 0 & 0{,}1\end{array}\right) et \operatorname{det}\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)=-0{,}005 \neq 0 donc \mathrm{A}-\mathrm{I}_{2} est inversible.

b. \mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{2}\right)^{-1} \mathrm{B}=-\left(\begin{array}{cc}-20 & 0 \\ 0 & 10\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2 \\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}40 \\ 10\end{array}\right)

3. Pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{U}_{n+1}-\mathrm{C}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}-\mathrm{C}=\mathrm{A}\left(\mathrm{V}_{n}+\mathrm{C}\right)+\mathrm{B}-\mathrm{C}.
Ainsi, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}+\mathrm{AC}+\mathrm{B}-\mathrm{C}=\mathrm{AV}_{n}+\mathrm{B}+(\mathrm{A}-\mathrm{I}) \mathrm{C}.
On a alors \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}+\mathrm{B}+(\mathrm{A}-\mathrm{I})\left(-(\mathrm{A}-\mathrm{I})^{-1} \mathrm{B}\right)
et ainsi, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}+\mathrm{B}-\mathrm{B}=\mathrm{AV}_{n}.
Par ailleurs, \mathrm{V}_{0}=\mathrm{U}_{0}-\mathrm{C}=\left(\begin{array}{c}-30 \\ 10\end{array}\right).

4. Ainsi, pour tout entier naturel n, \mathrm{V}_{n}=\mathrm{A}^{n} \mathrm{V}_{0}=\left(\begin{array}{cc}0{,}95 & 0 \\ 0 & 1{,}1\end{array}\right)^{n}\left(\begin{array}{c}-30 \\ 10\end{array}\right).
Puisque \mathrm{U}_{10}=\mathrm{V}_{10}+\mathrm{C} alors \mathrm{U}_{10} \approx\left(\begin{array}{l}22{,}04 \\ 35{,}94\end{array}\right).

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