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Les capitaux des jumeaux Tarmef
P.233

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TRAVAILLER ENSEMBLE


Les capitaux des jumeaux Tarmef





Le 1er janvier 2020, à la naissance de ses deux jumeaux en France, monsieur Pierre de Tarmef a déposé au total 300 000 € sur deux comptes bloqués pour une période de N\text{N} années. Il a hésité pour cela entre deux options :
L’option 1 : 100 000 € à Etienne et 200 000 € à Johann puis, d’une année sur l’autre, transférer 10 % du capital d’Etienne sur le compte de Johann et transférer 10 % du capital de Johann sur le compte d’Etienne.
L’option 2 : 1 000 € à Etienne et 299 000 € à Johann puis, d’une année sur l’autre, transférer 10 % du capital d’Etienne puis 15 000 € sur le compte de Johann et transférer simultanément 20 % du capital de Johann sur le compte d’Etienne.
On considère les matrices Un=(enjn)\mathrm{U}_{n}=\left(\begin{array}{c}e_{n} \\ j_{n}\end{array}\right) et Vn=(enjn)\mathrm{V}_{n}=\left(\begin{array}{c}e_{n}^{\prime} \\ j_{n}^{\prime}\end{array}\right), où ene_{n}, jnj_{n}, ene_{n}^{\prime} et jnj_{n}^{\prime} sont respectivement les capitaux en euros sur les comptes d’Etienne et de Johann au premier janvier de l’année 2020+n2020+n, avec l’option 1 et l’option 2 (Un\mathrm{U}_n pour l’option 1 et Vn\mathrm{V}_n pour l’option 2).

Questions préliminaires :

1. Déterminer U0\mathrm{U}_0 et V0\mathrm{V}_0.


2. Conjecturer sans calcul, l’option la plus avantageuse pour chaque frère le jour de sa majorité.
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

1. Construire un graphe associé aux évolutions de l’option 1 et déterminer sa matrice de transition P\text{P}.

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2. a. Donner la définition de l’état stationnaire.


b. Pour quelle raison existe‑t‑il dans ce cas ?


c. Le déterminer et interpréter le résultat obtenu.


3. Montrer que pour tout entier naturel nn :
{en+1=0,9en+0,1jnjn+1=0,1en+0,9jn\left\{\begin{array}{l}e_{n+1}=0{,}9 e_{n}+0{,}1 j_{n} \\ j_{n+1}=0{,}1 e_{n}+0{,}9 j_{n}\end{array}\right..


4. En déduire la matrice A\text{A} telle que : Un+1=AUn\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}.
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PARTIE 2 ★★

Pour l’option 1, on admet que pour tout entier naturel nn :
Un+1=AUn\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}, où A=(0,90,10,10,9)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}1 & 0{,}9\end{array}\right).

1. Exprimer Un\mathrm{U}_{n} en fonction de U0\mathrm{U}_{0}, de A\mathrm{A} et de nn.


2. a. Montrer que la matrice P=(1111)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right) est inversible et déterminer P1\mathrm{P}^{-1}.


b. Vérifier que la matrice D=P1AP\mathrm{D}=\mathrm{P}^{-1} \mathrm{AP} est une matrice diagonale et en déduire Dn\mathrm{D}^{n}.


3. Montrer par récurrence que, pour tout entier n1n \geqslant 1, An=PDnP1\mathrm{A}^{n}=\mathrm{PD}^{n} \mathrm{P}^{-1}.


4. En déduire que, pour tout nNn \in \mathbb{N}^{*}, en=150 00050 000×0,8ne_{n}=150 000-50 000 \times 0{,}8^{n}, puis déterminer une expression de jnj_n.


5. Déterminer limn+en\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} e_{n} et limn+jn\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} j_{n}.
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PARTIE 3 ★★★

Pour l’option 2, on admet que Vn+1=BVn+C\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{BV}_{n}+\mathrm{C}, où B=(0,90,20,10,8)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll}0{,}9 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8\end{array}\right) et C=(15 00015 000)\mathrm{C}=\left(\begin{array}{c}-15 000 \\ 15 000\end{array}\right).
Soient E=(50 00050 000)\mathrm{E}=\left(\begin{array}{c}-50 000 \\ 50 000\end{array}\right) et Wn=VnE\mathrm{W}_{n}=\mathrm{V}_{n}-\mathrm{E}.

1. Montrer que Wn+1=BWn\mathrm{W}_{n+1}=\mathrm{BW}_{n}, puis exprimer Wn\mathrm{W}_n et Vn\mathrm{V}_n en fonction de nn.


2. On admet que B=QSQ1\mathrm{B}=\mathrm{QSQ}^{-1}, où Q=(2111)\mathrm{Q}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right) et S=(1000,7)\mathrm{S}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0{,}7\end{array}\right). Déterminer Q1\mathrm{Q}^{-1}.

3. Vérifier que Bn=13(2+0,7n22×0,7n10,7n1+2×0,7n)\mathrm{B}^{n}=\dfrac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2+0{,}7^{n} & 2-2 \times 0{,}7^{n} \\ 1-0{,}7^{n} & 1+2 \times 0{,}7^{n}\end{array}\right).


4. Déterminer une expression des suites en ene_{n}^{\prime} et jnj_{n}^{\prime} en fonctions de nn, puis en déduire leur limite.
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Mise en commun

1. Laquelle de ces deux options serait‑elle la plus équitable pour ces deux frères en 2023 ? Le jour de leur majorité ?


2. Au bout d’un nombre « important » d’années, que remarque‑t‑on pour les différents capitaux ?
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