Les capitaux des jumeaux Tarmef

Le 1^er janvier 2020, à la naissance de ses deux jumeaux en France, monsieur Pierre de Tarmef a déposé au total 300 000 € sur deux comptes bloqués pour une période de \text{N} années. Il a hésité pour cela entre deux options :
L'option 1 : 100 000 € à Etienne et 200 000 € à Johann puis, d'une année sur l'autre, transférer 10 % du capital d'Etienne sur le compte de Johann et transférer 10 % du capital de Johann sur le compte d'Etienne.
L'option 2 : 1 000 € à Etienne et 299 000 € à Johann puis, d'une année sur l'autre, transférer 10 % du capital d'Etienne puis 15 000 € sur le compte de Johann et transférer simultanément 20 % du capital de Johann sur le compte d'Etienne.
On considère les matrices \mathrm{U}_{n}=\left(\begin{array}{c}e_{n} \\ j_{n}\end{array}\right) et \mathrm{V}_{n}=\left(\begin{array}{c}e_{n}^{\prime} \\ j_{n}^{\prime}\end{array}\right), où e_{n}, j_{n}, e_{n}^{\prime} et j_{n}^{\prime} sont respectivement les capitaux en euros sur les comptes d'Etienne et de Johann au premier janvier de l'année 2020+n, avec l'option 1 et l'option 2 (\mathrm{U}_n pour l'option 1 et \mathrm{V}_n pour l'option 2).

Questions préliminaires :

1. Déterminer \mathrm{U}_0 et \mathrm{V}_0.

2. Conjecturer sans calcul, l'option la plus avantageuse pour chaque frère le jour de sa majorité.

1. Construire un graphe associé aux évolutions de l'option 1 et déterminer sa matrice de transition \text{P}.

2. a. Donner la définition de l'état stationnaire.

b. Pour quelle raison existe‑t‑il dans ce cas ?

c. Le déterminer et interpréter le résultat obtenu.

3. Montrer que pour tout entier naturel n :

\left\{\begin{array}{l}e_{n+1}=0{,}9 e_{n}+0{,}1 j_{n} \\ j_{n+1}=0{,}1 e_{n}+0{,}9 j_{n}\end{array}\right..

4. En déduire la matrice \text{A} telle que : \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}.

1. Exprimer \mathrm{U}_{n} en fonction de \mathrm{U}_{0}, de \mathrm{A} et de n.

2. a. Montrer que la matrice \mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right) est inversible et déterminer \mathrm{P}^{-1}.

b. Vérifier que la matrice \mathrm{D}=\mathrm{P}^{-1} \mathrm{AP} est une matrice diagonale et en déduire \mathrm{D}^{n}.

3. Montrer par récurrence que, pour tout entier n \geqslant 1, \mathrm{A}^{n}=\mathrm{PD}^{n} \mathrm{P}^{-1}.

4. En déduire que, pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, e_{n}=150 000-50 000 \times 0{,}8^{n}, puis déterminer une expression de j_n.

5. Déterminer \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} e_{n} et \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} j_{n}.

1. Montrer que \mathrm{W}_{n+1}=\mathrm{BW}_{n}, puis exprimer \mathrm{W}_n et \mathrm{V}_n en fonction de n.

2. On admet que \mathrm{B}=\mathrm{QSQ}^{-1}, où \mathrm{Q}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right) et \mathrm{S}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0{,}7\end{array}\right). Déterminer \mathrm{Q}^{-1}.

3. Vérifier que \mathrm{B}^{n}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2+0{,}7^{n} & 2-2 \times 0{,}7^{n} \\ 1-0{,}7^{n} & 1+2 \times 0{,}7^{n}\end{array}\right).

4. Déterminer une expression des suites en e_{n}^{\prime} et j_{n}^{\prime} en fonctions de n, puis en déduire leur limite.

1. Laquelle de ces deux options serait‑elle la plus équitable pour ces deux frères en 2023 ? Le jour de leur majorité ?

2. Au bout d'un nombre « important » d'années, que remarque‑t‑on pour les différents capitaux ?