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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Le 1er janvier 2020, à la naissance de ses deux jumeaux en France, monsieur Pierre de Tarmef a déposé au total 300 000 € sur deux comptes bloqués pour une période de N années. Il a hésité pour cela entre deux options : L'option 1 : 100 000 € à Etienne et 200 000 € à Johann puis, d'une année sur l'autre, transférer 10 % du capital d'Etienne sur le compte de Johann et transférer 10 % du capital de Johann sur le compte d'Etienne. L'option 2 : 1 000 € à Etienne et 299 000 € à Johann puis, d'une année sur l'autre, transférer 10 % du capital d'Etienne puis 15 000 € sur le compte de Johann et transférer simultanément 20 % du capital de Johann sur le compte d'Etienne.
On considère les matrices Un=(enjn) et Vn=(en′jn′), où en, jn, en′ et jn′ sont respectivement les capitaux en euros sur les comptes d'Etienne et de Johann au premier janvier de l'année 2020+n, avec l'option 1 et l'option 2 (Un pour l'option 1 et Vn pour l'option 2).
Questions préliminaires :
1. Déterminer U0 et V0.
2. Conjecturer sans calcul, l'option la plus avantageuse pour chaque frère le jour de sa majorité.
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Partie 1
1. Construire un graphe associé aux évolutions de l'option 1 et déterminer sa matrice de transition P.
Dessinez ici
2.a. Donner la définition de l'état stationnaire.
b. Pour quelle raison existe‑t‑il dans ce cas ?
c. Le déterminer et interpréter le résultat obtenu.
3. Montrer que pour tout entier naturel n :
{en+1=0,9en+0,1jnjn+1=0,1en+0,9jn.
4. En déduire la matrice A telle que : Un+1=AUn.
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Partie 2
Pour l'option 1, on admet que pour tout entier naturel n :
Un+1=AUn, où A=(0,90,10,10,9).
1. Exprimer Un en fonction de U0, de A et de n.
2.a. Montrer que la matrice P=(11−11) est inversible et déterminer P−1.
b. Vérifier que la matrice D=P−1AP est une matrice diagonale et en déduire Dn.
3. Montrer par récurrence que, pour tout entier n⩾1, An=PDnP−1.
4. En déduire que, pour tout n∈N∗, en=150000−50000×0,8n, puis déterminer une expression de jn.
5. Déterminer n→+∞limen et n→+∞limjn.
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Partie 3
Pour l'option 2, on admet que Vn+1=BVn+C, où B=(0,90,10,20,8) et C=(−1500015000).
Soient E=(−5000050000) et Wn=Vn−E.
1. Montrer que Wn+1=BWn, puis exprimer Wn et Vn en fonction de n.
2. On admet que B=QSQ−1, où Q=(21−11) et S=(1000,7). Déterminer Q−1.
3. Vérifier que Bn=31(2+0,7n1−0,7n2−2×0,7n1+2×0,7n).
4. Déterminer une expression des suites en en′ et jn′ en fonctions de n, puis en déduire leur limite.
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Mise en commun
1. Laquelle de ces deux options serait‑elle la plus équitable pour ces deux frères en 2023 ? Le jour de leur majorité ?
2. Au bout d'un nombre « important » d'années, que remarque‑t‑on pour les différents capitaux ?
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