Le 1^er janvier 2020, à la naissance de ses deux jumeaux en France, monsieur Pierre de Tarmef a déposé au total 300 000 € sur deux comptes bloqués pour une période de $\text{N}$ années. Il a hésité pour cela entre deux options :
L'option 1 : 100 000 € à Etienne et 200 000 € à Johann puis, d'une année sur l'autre, transférer 10 % du capital d'Etienne sur le compte de Johann et transférer 10 % du capital de Johann sur le compte d'Etienne.
L'option 2 : 1 000 € à Etienne et 299 000 € à Johann puis, d'une année sur l'autre, transférer 10 % du capital d'Etienne puis 15 000 € sur le compte de Johann et transférer simultanément 20 % du capital de Johann sur le compte d'Etienne.
On considère les matrices ${\mathrm{U}}_n=\left(\begin{array}{c}{e}_n\\ j_n\end{array}\right)$ et ${\mathrm{V}}_n=\left(\begin{array}{c}{e}_n^{\prime }\\ j_n^{\prime }\end{array}\right)$, où $e_n$, $j_n$, $e_n^{\prime }$ et $j_n^{\prime }$ sont respectivement les capitaux en euros sur les comptes d'Etienne et de Johann au premier janvier de l'année $2020+n$, avec l'option 1 et l'option 2 (${\mathrm{U}}_n$ pour l'option 1 et ${\mathrm{V}}_n$ pour l'option 2).

Questions préliminaires :

1. Déterminer ${\mathrm{U}}_0$ et ${\mathrm{V}}_0$.

2. Conjecturer sans calcul, l'option la plus avantageuse pour chaque frère le jour de sa majorité.

1. Construire un graphe associé aux évolutions de l'option 1 et déterminer sa matrice de transition $\text{P}$.

2. a. Donner la définition de l'état stationnaire.

b. Pour quelle raison existe‑t‑il dans ce cas ?

c. Le déterminer et interpréter le résultat obtenu.

3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ :

$\{\begin{array}{l}{e}_{n+1}=0,9e_n+0,1j_n\\ j_{n+1}=0,1e_n+0,9j_n\end{array}$.

4. En déduire la matrice $\text{A}$ telle que : ${\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{U}}_n$.

1. Exprimer ${\mathrm{U}}_n$ en fonction de ${\mathrm{U}}_0$, de $\mathrm{A}$ et de $n$.

2. a. Montrer que la matrice $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ll}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ est inversible et déterminer ${\mathrm{P}}^{-1}$.

b. Vérifier que la matrice $\mathrm{D}={\mathrm{P}}^{-1}\mathrm{A}\mathrm{P}$ est une matrice diagonale et en déduire ${\mathrm{D}}^n$.

3. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾1$, ${\mathrm{A}}^n={\mathrm{P}\mathrm{D}}^n{\mathrm{P}}^{-1}$.

4. En déduire que, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $e_n=150000-50000\times 0,8^n$, puis déterminer une expression de $j_n$.

5. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{e}_n$ et $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{j}_n$.

1. Montrer que ${\mathrm{W}}_{n+1}={\mathrm{B}\mathrm{W}}_n$, puis exprimer ${\mathrm{W}}_n$ et ${\mathrm{V}}_n$ en fonction de $n$.

2. On admet que $\mathrm{B}={\mathrm{Q}\mathrm{S}\mathrm{Q}}^{-1}$, où $\mathrm{Q}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ et $\mathrm{S}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0,7\end{array}\right)$. Déterminer ${\mathrm{Q}}^{-1}$.

3. Vérifier que ${\mathrm{B}}^n=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2+0,7^n& 2-2\times 0,7^n\\ 1-0,7^n& 1+2\times 0,7^n\end{array}\right)$.

4. Déterminer une expression des suites en $e_n^{\prime }$ et $j_n^{\prime }$ en fonctions de $n$, puis en déduire leur limite.

1. Laquelle de ces deux options serait‑elle la plus équitable pour ces deux frères en 2023 ? Le jour de leur majorité ?

2. Au bout d'un nombre « important » d'années, que remarque‑t‑on pour les différents capitaux ?