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Les capitaux des jumeaux Tarmef
P.233

TRAVAILLER ENSEMBLE


Les capitaux des jumeaux Tarmef





Le 1er janvier 2020, à la naissance de ses deux jumeaux en France, monsieur Pierre de Tarmef a déposé au total 300 000 € sur deux comptes bloqués pour une période de années. Il a hésité pour cela entre deux options :
L’option 1 : 100 000 € à Etienne et 200 000 € à Johann puis, d’une année sur l’autre, transférer 10 % du capital d’Etienne sur le compte de Johann et transférer 10 % du capital de Johann sur le compte d’Etienne.
L’option 2 : 1 000 € à Etienne et 299 000 € à Johann puis, d’une année sur l’autre, transférer 10 % du capital d’Etienne puis 15 000 € sur le compte de Johann et transférer simultanément 20 % du capital de Johann sur le compte d’Etienne.
On considère les matrices et , où , , et sont respectivement les capitaux en euros sur les comptes d’Etienne et de Johann au premier janvier de l’année , avec l’option 1 et l’option 2 ( pour l’option 1 et pour l’option 2).

Questions préliminaires :

1. Déterminer et .


2. Conjecturer sans calcul, l’option la plus avantageuse pour chaque frère le jour de sa majorité.
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

1. Construire un graphe associé aux évolutions de l’option 1 et déterminer sa matrice de transition .

Dessinez ici

2. a. Donner la définition de l’état stationnaire.


b. Pour quelle raison existe‑t‑il dans ce cas ?


c. Le déterminer et interpréter le résultat obtenu.


3. Montrer que pour tout entier naturel  :
.


4. En déduire la matrice telle que : .
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PARTIE 2 ★★

Pour l’option 1, on admet que pour tout entier naturel  :
, où .

1. Exprimer en fonction de , de et de .


2. a. Montrer que la matrice est inversible et déterminer .


b. Vérifier que la matrice est une matrice diagonale et en déduire .


3. Montrer par récurrence que, pour tout entier , .


4. En déduire que, pour tout , , puis déterminer une expression de .


5. Déterminer et .
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PARTIE 3 ★★★

Pour l’option 2, on admet que , où et .
Soient et .

1. Montrer que , puis exprimer et en fonction de .


2. On admet que , où et . Déterminer .

3. Vérifier que .


4. Déterminer une expression des suites en et en fonctions de , puis en déduire leur limite.
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Mise en commun

1. Laquelle de ces deux options serait‑elle la plus équitable pour ces deux frères en 2023 ? Le jour de leur majorité ?


2. Au bout d’un nombre « important » d’années, que remarque‑t‑on pour les différents capitaux ?
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