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Travailler autrement
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Travailler autrement





Production d’élève

On donne ci‑dessous un énoncé d’exercice et une copie d’élève.

1. Trouver les erreurs de l’élève et préciser les endroits où la rédaction est incomplète.


2. Le professeur souhaite distribuer un corrigé détaillé de l’exercice. Rédiger une telle correction.


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Énoncé

Le travail d’un chercheur en mathématiques est composé de trois grandes activités : les demandes de financement, l’enseignement et le travail sur son sujet de recherche. Son emploi du temps est organisé de la façon suivante :
  • Si, pendant une heure, le chercheur demande des financements, il continue à le faire l’heure suivante avec une probabilité de 50 %, enseigne avec une probabilité de 20 %, ou travaille sur son sujet de recherche.
  • Si, pendant une heure, le chercheur enseigne, il demande des financements l’heure suivante avec une probabilité de 80 %, travail sur son sujet de recherche avec une probabilité de 10 %, ou bien continue d’enseigner.
  • Si, pendant une heure, le chercheur travaille sur son sujet de recherche, il a une probabilité de 30 % de continuer à le faire, une probabilité de 10 % de demander des financements l’heure suivante. Sinon, il enseigne.

Le chercheur commence toujours sa journée par travailler sur son sujet de recherche.

1. Représenter graphiquement la chaîne de Markov associée à la situation, puis déterminer sa matrice de transition.

2. Déterminer la probabilité que le chercheur effectue des demandes de financement durant sa troisième heure de travail de la journée.


Copie d’élève

1. Le graphe ci‑dessous représente la chaîne de markov associée à la situation.
Maths expertes - Travailler autrement - Graphes et matrices

La matrice de transition de cette chaîne de markov est : M=(0,50,200,800,10,100,3)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}5 & 0{,}2 & 0 \\ 0{,}8 & 0 & 0{,}1 \\ 0{,}1 & 0 & 0{,}3\end{array}\right).

2. La distribution initiale est P0=(001)\mathrm{P}_{0}=(0 \quad 0 \quad 1).

On a M2=(0,520,22020,82020,120,12020,32)=(0,250,0400,6400,010,0100,09)\mathrm{M}^{2}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}5^{2} & 0{,}2^{2} & 0^{2} \\ 0{,}8^{2} & 0^{2} & 0{,}1^{2} \\ 0{,}1^{2} & 0^{2} & 0{,}3^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0{,}25 & 0{,}04 & 0 \\ 0{,}64 & 0 & 0{,}01 \\ 0{,}01 & 0 & 0{,}09\end{array}\right).

Donc P1=(0,250,0400,6400,010,0100,09)×(001)=(0,0100,09)\mathrm{P}_{1}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}25 & 0{,}04 & 0 \\ 0{,}64 & 0 & 0{,}01 \\ 0{,}01 & 0 & 0{,}09\end{array}\right) \times(0 \quad 0 \quad 1)=(0{,}01 \quad 0 \quad 0{,}09).
Le chercheur a donc une probabilité de 9 % d’effectuer des demandes de financement durant sa troisième heure de travail de la journée.

Exercices inversés


1

1. Dessiner un graphe pouvant admettre comme matrice d’adjacence M=(0110100110010110)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0\end{array}\right).

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2. Dessiner un graphe pouvant admettre comme matrice d’adjacence M=(0100111000011001)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right).

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3. Dessiner un graphe probabiliste pouvant admettre comme matrice de transition M=(0,50,500,60,20,2100)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}5 & 0{,}5 & 0 \\ 0{,}6 & 0{,}2 & 0{,}2 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right).

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2

Inventer une matrice pouvant être assimilée à la matrice de transition d’un graphe probabiliste.
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3

1. Imaginer une situation nécessitant la réalisation d’un graphe connexe mais non complet.


2. Tracer un graphe dont tous les sommets sont de degré 2.

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4

1. Donner l’écriture d’une matrice inversible.


2. Donner l’écriture d’une matrice non inversible.
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5

Proposer un problème amenant à la résolution du système suivant : {2x+6y=602x+3y=45\left\{\begin{array}{l}2 x+6 y=60 \\ 2 x+3 y=45\end{array}\right..
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Recherche / Exposé

Comment les graphes sont‑ils employés dans les applications suivantes : réseaux de transport, automates et problèmes de coloration. Trouver d’autres exemples d’applications concrètes.
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