1

Suites de matrices $\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{A} \mathrm{U}_{n}+\mathrm{B}$

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 45 ; 54 ; 57 ; 70 et 76
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 47 ; 62 ; 65 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 46 ; 58 ; 72 et 77

37

On considère la suite de matrices $(\mathrm{U}_{n})$ définie par son premier terme $\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5\end{array}\right)$ et, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}$, où $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}5 & 0{,}5\end{array}\right)$.

1. Calculer $\mathrm{U}_{1}$ et $\mathrm{U}_{2}$.


2. Déterminer toutes les matrices $\mathrm{V}_0$ de taille $2 \times 1$ telles que $\mathrm{AV}_{0}=\mathrm{V}_{0}$.

38

On considère la matrice $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$.
Déterminer la matrice colonne $\mathrm{B}$ pour que la suite de matrices de premier terme $\mathrm{X}_{0}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -4\end{array}\right)$ et définie, pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $\mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{AX}_{n}+\mathrm{B}$ soit constante.

39

QCM

On considère la suite de matrices $\left(\mathrm{X}_{n}\right)$ définie par $\mathrm{X}_{0}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$ et, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{AX}_{n}+\mathrm{B}$, où $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -2 & 0{,}1\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}0{,}5 \\ 0{,}9\end{array}\right)$. On a alors :

1. $\mathrm{X}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2{,}7\end{array}\right)$


2. $\mathrm{X}_{3}=\left(\begin{array}{c}5{,}81 \\ -5{,}521\end{array}\right)$


3. $\mathrm{X}_{3}=\left(\begin{array}{c}5 \\ -6{,}22\end{array}\right)$


4. $\mathrm{X}_{3}=\left(\begin{array}{l}0{,}5 \\ 0{,}9\end{array}\right)$

40

[Calculer.]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies pour tout entier naturel $n$ par $\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}=u_{n}+v_{n} \\ v_{n+1}=u_{n}-v_{n} \\ u_{0}=1\,; \,v_{0}=2\end{array}\right.$.

1. Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathrm{W}_n$ la matrice $\left(\begin{array}{l}u_{n} \\ v_{n}\end{array}\right)$.
Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on peut écrire $\mathrm{W}_{n+1}=\mathrm{AW}_{n}$, où $\mathrm{A}$ est une matrice à préciser.


2. Calculer $\mathrm{W}_1$ et en déduire la valeur de $u_1$ et de $v_1$.


3. Exprimer $\mathrm{W}_n$ en fonction de $\mathrm{A}$ et de $n$.


4. Calculer, à l’aide de la calculatrice, $\mathrm{W}_{50}$.
Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite éventuelle de $(u_n)$ et $(v_n)$ ?

41

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_{0}=u_{1}=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}$.

1. Calculer $u_2$ et $u_3$.


2. Pour tout entier $n$, on pose $\mathrm{X}_{n}=\left(\begin{array}{c}u_{n+1} \\ u_{n}\end{array}\right)$.
a. Déterminer la matrice $\mathrm{X}_0$.


b. Justifier que la suite de matrices $(\mathrm{X}_n)$ vérifie, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{AX}_{n}$, où $\mathrm{A}$ désigne la matrice $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$.


c. En déduire, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{X}_n$ en fonction de $\mathrm{A}$ et de $n$.


d. Calculer, à l’aide de la calculatrice, $\mathrm{X}_{20}$ et en déduire la valeur de $u_{20}$ et de $u_{21}$.

Remarque

La suite étudiée dans cet exercice est la suite de Fibonacci.

42

[Raisonner.]
On considère la matrice $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0{,}6 & -0{,}2 \\ 0{,}2 & 0{,}6\end{array}\right)$ ainsi que la matrice colonne $\mathrm{Z}=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)$ dans laquelle $x$ et $y$ sont des nombres réels vérifiant $\mathrm{N}(\mathrm{Z})=x^{2}+y^{2}=1$ et $x y>0$.

1. Montrer que $0 \leqslant \mathrm{N}(\mathrm{AZ}) \leqslant \dfrac{1}{2} \mathrm{N}(\mathrm{Z})$.


2. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \leqslant \mathrm{N}\left(\mathrm{A}^{n} \mathrm{Z}\right) \leqslant \dfrac{1}{2^{n}}$.


3. En déduire $\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} \mathrm{N}\left(\mathrm{A}^{n} \mathrm{Z}\right)=0$.

43

[[Calculer.]
On considère la suite définie, pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $u_{0}=1$, $u_{1}=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=u_{n+1}-u_{n}$.

1. On définit la suite de matrices $\left(\mathrm{X}_{n}\right)$ par $\mathrm{X}_{n}=\left(\begin{array}{c}u_{n+1} \\ u_{n}\end{array}\right)$.
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $\mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{MX}_{n}$ où $\mathrm{M}$ est une matrice que l’on précisera.


2. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $\mathrm{X}_{n}=\mathrm{M}^{n} \mathrm{X}_{0}$.

44

[Calculer.]
On considère une suite de matrices $\left(\mathrm{U}_{n}\right)$ définie par son premier terme $\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}64 \\ 64\end{array}\right)$ et, pour tout entier naturel $n$ : $\mathrm{U}_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0{,}5\end{array}\right) \mathrm{U}_{n}+\left(\begin{array}{c}-2 \\ 0\end{array}\right)$.
1. Calculer $\mathrm{U}_1$, $\mathrm{U}_2$ et $\mathrm{U}_3$.


2. Conjecturer une expression du terme général de cette suite en fonction de $n$.


3. Prouver cette conjecture.

45

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $\left(\mathrm{U}_{n}\right)$ la suite de matrices définie, pour tout entier naturel $n$, par $\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}20 \\ 30 \\ 60\end{array}\right)$ et $\mathrm{U}_{n+1}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}98 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}95 & 0 \\ 0 & 0 & 1{,}2\end{array}\right) \mathrm{U}_{n}+\left(\begin{array}{c}2 \\ 5 \\ -10\end{array}\right)$.

1. En choisissant astucieusement les nombres réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$, déterminer une suite de matrices $\left(\mathrm{V}_{n}\right)$ telle que $\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \\ \gamma\end{array}\right)$, et une matrice carrée $\mathrm{A}$ d’ordre $3$, telle que, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}$.


2. Déterminer $\mathrm{V}_0$ et exprimer, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{V}_n$ en fonction de $n$.


3. Exprimer alors, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{U}_n$ en fonction de $\mathrm{U}_0$, de $n$ et de $\mathrm{A}$.


4. En déduire $\mathrm{U}_{20}$.

46

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $\left(\mathrm{U}_{n}\right)$ la suite de matrices définie, pour tout entier naturel $n$, par $\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}$ et de premier terme $\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ avec $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)$.

1. En choisissant astucieusement les nombres réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$, déterminer une suite de matrices $\left(\mathrm{V}_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma\end{array}\right)$ et vérifiant $\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}$.


2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ : $\mathrm{A}^{n}=\left(\begin{array}{ccc}2^{n} & 0 & n 2^{n-1} \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 2^{n}\end{array}\right)$.

3. Déterminer $\mathrm{V}_0$ puis exprimer, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{V}_n$ en fonction de $n$.


4. Exprimer alors $\mathrm{U}_n$ en fonction de $n$.


5. En déduire $\mathrm{U}_{10}$.

47

[Calculer.] ◉◉◉
On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1$ et $v_0=4$, pour tout entier naturel $n$, $\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}=7 u_{n}-v_{n} \\ v_{n+1}=u_{n}+5 v_{n}\end{array}\right.$.

1. Déterminer une matrice $\mathrm{A}$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $\left(\begin{array}{l}u_{n+1} \\ v_{n+1}\end{array}\right)=\mathrm{A}\left(\begin{array}{l}u_{n} \\ v_{n}\end{array}\right)$.


2. Montrer que $\mathrm{A}=6 \mathrm{I}_{2}+\mathrm{J}$ où $\mathrm{J}$ est une matrice vérifiant $\mathrm{J}^{2}=0_{2}$.


3. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathrm{A}^{n}=\left(\begin{array}{cc}6^{n}+n 6^{n-1} & -n 6^{n-1} \\ n 6^{n-1} & 6^{n}-n 6^{n-1}\end{array}\right)$.

4. En déduire les limites de $(u_n)$ et $(v_n)$.

48

[Calculer.]  

[DÉMO]

Soient $k$ un entier naturel non nul, $\mathrm{A}$ une matrice carrée d’ordre $k$ et $\mathrm{B}$ une matrice colonne à $k$ lignes.
On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite de matrices colonnes $(\mathrm{U}_n)$ par son premier terme $\mathrm{U}_0$ et par la relation de récurrence, valable pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}$.
On suppose que $\mathrm{A}-\mathrm{I}_{k}$ est une matrice inversible et on souhaite exprimer, pour tout $n$, $\mathrm{U}_n$ en fonction de $n$.
On pose $\mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{k}\right)^{-1} \mathrm{B}$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C}$.
1. Justifier que $\mathrm{C}$ est une matrice colonne.


2. Exprimer, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathrm{V}_{n+1}$ en fonction de $\mathrm{V}_{n}$.




3. Exprimer alors $\mathrm{V}_{n}$ en fonction de $n$, puis $\mathrm{U}_n$ en fonction de $n$.