Mathématiques Expertes Terminale
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 7
Entraînement 1

Suites de matrices

Différenciation
Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ; et
Parcours 2 : exercices  ;  ; et
Parcours 3 : exercices  ;  ; et
37
Flash

On considère la suite de matrices définie par son premier terme et, pour tout entier naturel , , où .

1. Calculer et .


2. Déterminer toutes les matrices de taille telles que .
38
Flash

On considère la matrice .
Déterminer la matrice colonne pour que la suite de matrices de premier terme et définie, pour tout , par soit constante.
39
Flash
QCM

On considère la suite de matrices définie par et, pour tout entier naturel , , où et . On a alors :









40
[Calculer.]
Soient et deux suites définies pour tout entier naturel par .

1. Pour tout entier naturel , on note la matrice .
Justifier que, pour tout entier naturel , on peut écrire , où est une matrice à préciser.


2. Calculer et en déduire la valeur de et de .


3. Exprimer en fonction de et de .


4. Calculer, à l'aide de la calculatrice, .
Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite éventuelle de et  ?
41
[Calculer.]
Soit la suite définie par et, pour tout entier naturel , .

1. Calculer et .


2. Pour tout entier , on pose .
a. Déterminer la matrice .


b. Justifier que la suite de matrices vérifie, pour tout entier naturel , , où désigne la matrice .


c. En déduire, pour tout entier naturel , en fonction de et de .


d. Calculer, à l'aide de la calculatrice, et en déduire la valeur de et de .


Remarque
La suite étudiée dans cet exercice est la suite de Fibonacci.
42
[Raisonner.]
On considère la matrice ainsi que la matrice colonne dans laquelle et sont des nombres réels vérifiant et .

1. Montrer que .


2. Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout , .


3. En déduire .
43
[[Calculer.]
On considère la suite définie, pour tout , par , et, pour tout entier naturel , .

1. On définit la suite de matrices par .
Montrer que, pour tout , on a est une matrice que l'on précisera.


2. Montrer que, pour tout , on a .
44
[Calculer.]
On considère une suite de matrices définie par son premier terme et, pour tout entier naturel  :
.

1. Calculer , et .


2. Conjecturer une expression du terme général de cette suite en fonction de .


3. Prouver cette conjecture.
45
[Calculer.]
Soit la suite de matrices définie, pour tout entier naturel , par et .

1. En choisissant astucieusement les nombres réels , et , déterminer une suite de matrices telle que , et une matrice carrée d'ordre , telle que, pour tout entier naturel , .


2. Déterminer et exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .


3. Exprimer alors, pour tout entier naturel , en fonction de , de et de .


4. En déduire .
46
[Calculer.]
Soit la suite de matrices définie, pour tout entier naturel , par et de premier terme avec et .

1. En choisissant astucieusement les nombres réels , et , déterminer une suite de matrices définie, pour tout entier naturel , par et vérifiant .


2. Montrer que, pour tout entier naturel  :
.


3. Déterminer puis exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .


4. Exprimer alors en fonction de .


5. En déduire .
47
[Calculer.]
On considère les suites et définies par et , pour tout entier naturel , .

1. Déterminer une matrice telle que, pour tout entier naturel , .


2. Montrer que est une matrice vérifiant .


3. Montrer que, pour tout ,
.


4. En déduire les limites de et .
48
Démo
[Calculer.]
Soient un entier naturel non nul, une matrice carrée d'ordre et une matrice colonne à lignes.
On définit, pour tout entier naturel , la suite de matrices colonnes par son premier terme et par la relation de récurrence, valable pour tout  :
.

On suppose que est une matrice inversible et on souhaite exprimer, pour tout , en fonction de .
On pose et, pour tout  :
.

1. Justifier que est une matrice colonne.


2. Exprimer, pour tout , en fonction de .


On pourra remarquer que .
Aide


3. Exprimer alors en fonction de , puis en fonction de .

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah

Premium activé


5
essais restants
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.