1

Suites de matrices ${\mathrm{U}}_{n+1}=\mathrm{A}{\mathrm{U}}_n+\mathrm{B}$

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 45 ; 54 ; 57 ; 70 et 76
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 47 ; 62 ; 65 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 46 ; 58 ; 72 et 77

37

On considère la suite de matrices $({\mathrm{U}}_n)$ définie par son premier terme ${\mathrm{U}}_0=\left(\begin{array}{l}3\\ 5\end{array}\right)$ et, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{U}}_n$, où $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0,8& 0,2\\ 0,5& 0,5\end{array}\right)$.

1. Calculer ${\mathrm{U}}_1$ et ${\mathrm{U}}_2$.


2. Déterminer toutes les matrices ${\mathrm{V}}_0$ de taille $2\times 1$ telles que ${\mathrm{A}\mathrm{V}}_0={\mathrm{V}}_0$.

38

On considère la matrice $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$.
Déterminer la matrice colonne $\mathrm{B}$ pour que la suite de matrices de premier terme ${\mathrm{X}}_0=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\end{array}\right)$ et définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par ${\mathrm{X}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{X}}_n+\mathrm{B}$ soit constante.

39

QCM

On considère la suite de matrices $\left({\mathrm{X}}_n\right)$ définie par ${\mathrm{X}}_0=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)$ et, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{X}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{X}}_n+\mathrm{B}$, où $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 0,1\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}0,5\\ 0,9\end{array}\right)$. On a alors :

1. ${\mathrm{X}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 2,7\end{array}\right)$

2. ${\mathrm{X}}_3=\left(\begin{array}{c}5,81\\ -5,521\end{array}\right)$

3. ${\mathrm{X}}_3=\left(\begin{array}{c}5\\ -6,22\end{array}\right)$

4. ${\mathrm{X}}_3=\left(\begin{array}{l}0,5\\ 0,9\end{array}\right)$

40

[Calculer.]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies pour tout entier naturel $n$ par $\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=u_n+v_n\\ v_{n+1}=u_n-v_n\\ u_0=1;v_0=2\end{array}$.

1. Pour tout entier naturel $n$, on note ${\mathrm{W}}_n$ la matrice $\left(\begin{array}{l}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$.
Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on peut écrire ${\mathrm{W}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{W}}_n$, où $\mathrm{A}$ est une matrice à préciser.


2. Calculer ${\mathrm{W}}_1$ et en déduire la valeur de $u_1$ et de $v_1$.


3. Exprimer ${\mathrm{W}}_n$ en fonction de $\mathrm{A}$ et de $n$.


4. Calculer, à l’aide de la calculatrice, ${\mathrm{W}}_{50}$.
Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite éventuelle de $(u_n)$ et $(v_n)$ ?

41

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=u_1=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$.

1. Calculer $u_2$ et $u_3$.


2. Pour tout entier $n$, on pose ${\mathrm{X}}_n=\left(\begin{array}{c}{u}_{n+1}\\ u_n\end{array}\right)$.
a. Déterminer la matrice ${\mathrm{X}}_0$.


b. Justifier que la suite de matrices $({\mathrm{X}}_n)$ vérifie, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{X}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{X}}_n$, où $\mathrm{A}$ désigne la matrice $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.


c. En déduire, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{X}}_n$ en fonction de $\mathrm{A}$ et de $n$.


d. Calculer, à l’aide de la calculatrice, ${\mathrm{X}}_{20}$ et en déduire la valeur de $u_{20}$ et de $u_{21}$.

Remarque

La suite étudiée dans cet exercice est la suite de Fibonacci.

42

[Raisonner.]
On considère la matrice $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0,6& -0,2\\ 0,2& 0,6\end{array}\right)$ ainsi que la matrice colonne $\mathrm{Z}=\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)$ dans laquelle $x$ et $y$ sont des nombres réels vérifiant $\mathrm{N}(\mathrm{Z})=x^2+y^2=1$ et $xy>0$.

1. Montrer que $0⩽\mathrm{N}(\mathrm{A}\mathrm{Z})⩽\frac{1}{2}\mathrm{N}(\mathrm{Z})$.


2. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0⩽\mathrm{N}\left({\mathrm{A}}^n\mathrm{Z}\right)⩽\frac{1}{2^n}$.


3. En déduire $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\mathrm{N}\left({\mathrm{A}}^n\mathrm{Z}\right)=0$.

43

[[Calculer.]
On considère la suite définie, pour tout $n\in \mathbb{N}$, par $u_0=1$, $u_1=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=u_{n+1}-u_n$.

1. On définit la suite de matrices $\left({\mathrm{X}}_n\right)$ par ${\mathrm{X}}_n=\left(\begin{array}{c}{u}_{n+1}\\ u_n\end{array}\right)$.
Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a ${\mathrm{X}}_{n+1}={\mathrm{M}\mathrm{X}}_n$ où $\mathrm{M}$ est une matrice que l’on précisera.


2. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a ${\mathrm{X}}_n={\mathrm{M}}^n{\mathrm{X}}_0$.

44

[Calculer.]
On considère une suite de matrices $\left({\mathrm{U}}_n\right)$ définie par son premier terme ${\mathrm{U}}_0=\left(\begin{array}{l}64\\ 64\end{array}\right)$ et, pour tout entier naturel $n$ : ${\mathrm{U}}_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0,5\end{array}\right){\mathrm{U}}_n+\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\end{array}\right)$.
1. Calculer ${\mathrm{U}}_1$, ${\mathrm{U}}_2$ et ${\mathrm{U}}_3$.


2. Conjecturer une expression du terme général de cette suite en fonction de $n$.


3. Prouver cette conjecture.

45

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $\left({\mathrm{U}}_n\right)$ la suite de matrices définie, pour tout entier naturel $n$, par ${\mathrm{U}}_0=\left(\begin{array}{l}20\\ 30\\ 60\end{array}\right)$ et ${\mathrm{U}}_{n+1}=\left(\begin{array}{ccc}0,98& 0& 0\\ 0& 0,95& 0\\ 0& 0& 1,2\end{array}\right){\mathrm{U}}_n+\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -10\end{array}\right)$.

1. En choisissant astucieusement les nombres réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$, déterminer une suite de matrices $\left({\mathrm{V}}_n\right)$ telle que ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{U}}_n-\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right)$, et une matrice carrée $\mathrm{A}$ d’ordre $3$, telle que, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{V}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{V}}_n$.


2. Déterminer ${\mathrm{V}}_0$ et exprimer, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{V}}_n$ en fonction de $n$.


3. Exprimer alors, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{U}}_n$ en fonction de ${\mathrm{U}}_0$, de $n$ et de $\mathrm{A}$.


4. En déduire ${\mathrm{U}}_{20}$.

46

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $\left({\mathrm{U}}_n\right)$ la suite de matrices définie, pour tout entier naturel $n$, par ${\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{U}}_n+\mathrm{B}$ et de premier terme ${\mathrm{U}}_0=\left(\begin{array}{l}2\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ avec $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$.

1. En choisissant astucieusement les nombres réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$, déterminer une suite de matrices $\left({\mathrm{V}}_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{U}}_n-\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right)$ et vérifiant ${\mathrm{V}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{V}}_n$.


2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ : ${\mathrm{A}}^n=\left(\begin{array}{ccc}{2}^n& 0& n{2}^{n-1}\\ 0& 2^n& 0\\ 0& 0& 2^n\end{array}\right)$.

3. Déterminer ${\mathrm{V}}_0$ puis exprimer, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{V}}_n$ en fonction de $n$.


4. Exprimer alors ${\mathrm{U}}_n$ en fonction de $n$.


5. En déduire ${\mathrm{U}}_{10}$.

47

[Calculer.] ◉◉◉
On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=1$ et $v_0=4$, pour tout entier naturel $n$, $\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=7u_n-v_n\\ v_{n+1}=u_n+5v_n\end{array}$.

1. Déterminer une matrice $\mathrm{A}$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $\left(\begin{array}{l}{u}_{n+1}\\ v_{n+1}\end{array}\right)=\mathrm{A}\left(\begin{array}{l}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$.


2. Montrer que $\mathrm{A}=6{\mathrm{I}}_2+\mathrm{J}$ où $\mathrm{J}$ est une matrice vérifiant ${\mathrm{J}}^2=0_2$.


3. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{A}}^n=\left(\begin{array}{cc}{6}^n+n{6}^{n-1}& -n{6}^{n-1}\\ n{6}^{n-1}& 6^n-n{6}^{n-1}\end{array}\right)$.

4. En déduire les limites de $(u_n)$ et $(v_n)$.

48

[Calculer.]  

[DÉMO]

Soient $k$ un entier naturel non nul, $\mathrm{A}$ une matrice carrée d’ordre $k$ et $\mathrm{B}$ une matrice colonne à $k$ lignes.
On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite de matrices colonnes $({\mathrm{U}}_n)$ par son premier terme ${\mathrm{U}}_0$ et par la relation de récurrence, valable pour tout $n\in \mathbb{N}$ : ${\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{U}}_n+\mathrm{B}$.
On suppose que $\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_k$ est une matrice inversible et on souhaite exprimer, pour tout $n$, ${\mathrm{U}}_n$ en fonction de $n$.
On pose $\mathrm{C}=-{\left(\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_k\right)}^{-1}\mathrm{B}$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : ${\mathrm{V}}_n={\mathrm{U}}_n-\mathrm{C}$.
1. Justifier que $\mathrm{C}$ est une matrice colonne.


2. Exprimer, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{V}}_{n+1}$ en fonction de ${\mathrm{V}}_n$.




3. Exprimer alors ${\mathrm{V}}_n$ en fonction de $n$, puis ${\mathrm{U}}_n$ en fonction de $n$.