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1. Suites de matrices Un+1= A Un + B
P.222-223

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Entraînement


1
Suites de matrices





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 45 ; 54 ; 57 ; 70 et 76
◉◉ Parcours 2 : exercices 47 ; 62 ; 65 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 46 ; 58 ; 72 et 77

37
FLASH

On considère la suite de matrices définie par son premier terme et, pour tout entier naturel , , où .

1. Calculer et .


2. Déterminer toutes les matrices de taille telles que .
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38
FLASH

On considère la matrice .
Déterminer la matrice colonne pour que la suite de matrices de premier terme et définie, pour tout , par soit constante.
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39
FLASH
QCM

On considère la suite de matrices définie par et, pour tout entier naturel , , où et . On a alors :









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40
[Calculer.]
Soient et deux suites définies pour tout entier naturel par .

1. Pour tout entier naturel , on note la matrice .
Justifier que, pour tout entier naturel , on peut écrire , où est une matrice à préciser.


2. Calculer et en déduire la valeur de et de .


3. Exprimer en fonction de et de .


4. Calculer, à l’aide de la calculatrice, .
Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite éventuelle de et  ?
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41
[Calculer.] ◉◉
Soit la suite définie par et, pour tout entier naturel , .

1. Calculer et .


2. Pour tout entier , on pose .
a. Déterminer la matrice .


b. Justifier que la suite de matrices vérifie, pour tout entier naturel , , où désigne la matrice .


c. En déduire, pour tout entier naturel , en fonction de et de .


d. Calculer, à l’aide de la calculatrice, et en déduire la valeur de et de .


Remarque
La suite étudiée dans cet exercice est la suite de Fibonacci.
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42
[Raisonner.]
On considère la matrice ainsi que la matrice colonne dans laquelle et sont des nombres réels vérifiant et .

1. Montrer que .


2. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout , .


3. En déduire .
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43
[[Calculer.]
On considère la suite définie, pour tout , par , et, pour tout entier naturel , .

1. On définit la suite de matrices par .
Montrer que, pour tout , on a est une matrice que l’on précisera.


2. Montrer que, pour tout , on a .
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44
[Calculer.]
On considère une suite de matrices définie par son premier terme et, pour tout entier naturel  :
.

1. Calculer , et .


2. Conjecturer une expression du terme général de cette suite en fonction de .


3. Prouver cette conjecture.
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45
[Calculer.] ◉◉
Soit la suite de matrices définie, pour tout entier naturel , par et .

1. En choisissant astucieusement les nombres réels , et , déterminer une suite de matrices telle que , et une matrice carrée d’ordre , telle que, pour tout entier naturel , .


2. Déterminer et exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .


3. Exprimer alors, pour tout entier naturel , en fonction de , de et de .


4. En déduire .
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46
[Calculer.] ◉◉◉
Soit la suite de matrices définie, pour tout entier naturel , par et de premier terme avec et .

1. En choisissant astucieusement les nombres réels , et , déterminer une suite de matrices définie, pour tout entier naturel , par et vérifiant .


2. Montrer que, pour tout entier naturel  :
.


3. Déterminer puis exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .


4. Exprimer alors en fonction de .


5. En déduire .
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47
[Calculer.] ◉◉
On considère les suites et définies par et , pour tout entier naturel , .

1. Déterminer une matrice telle que, pour tout entier naturel , .


2. Montrer que est une matrice vérifiant .


3. Montrer que, pour tout ,
.


4. En déduire les limites de et .
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48
[Calculer.]
[DÉMO]

Soient un entier naturel non nul, une matrice carrée d’ordre et une matrice colonne à lignes.
On définit, pour tout entier naturel , la suite de matrices colonnes par son premier terme et par la relation de récurrence, valable pour tout  :
.

On suppose que est une matrice inversible et on souhaite exprimer, pour tout , en fonction de .
On pose et, pour tout  :
.

1. Justifier que est une matrice colonne.


2. Exprimer, pour tout , en fonction de .


Aide
On pourra remarquer que .


3. Exprimer alors en fonction de , puis en fonction de .
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