On considère la suite de matrices (Un) définie par son premier terme U0=(35) et, pour tout entier naturel n, Un+1=AUn, où A=(0,80,50,20,5).
1. Calculer U1 et U2.
2. Déterminer toutes les matrices V0 de taille 2×1 telles que AV0=V0.
38
Flash
On considère la matrice A=(2−1−12).
Déterminer la matrice colonne B pour que la suite de matrices de premier terme X0=(3−4) et définie, pour tout n∈N, par Xn+1=AXn+B soit constante.
39
Flash
QCM
On considère la suite de matrices (Xn) définie par X0=(10) et, pour tout entier naturel n, Xn+1=AXn+B, où A=(1−2−10,1) et B=(0,50,9). On a alors :
2.X3=(5,81−5,521)
3.X3=(5−6,22)
4.X3=(0,50,9)
40
[Calculer.]
Soient (un) et (vn) deux suites définies pour tout entier naturel n par ⎩⎪⎨⎪⎧un+1=un+vnvn+1=un−vnu0=1;v0=2.
1. Pour tout entier naturel n, on note Wn la matrice (unvn).
Justifier que, pour tout entier naturel n, on peut écrire Wn+1=AWn, où A est une matrice à préciser.
2. Calculer W1 et en déduire la valeur de u1 et de v1.
3. Exprimer Wn en fonction de A et de n.
4. Calculer, à l'aide de la calculatrice, W50.
Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite éventuelle de (un) et (vn) ?
41
[Calculer.]
Soit (un) la suite définie par u0=u1=1 et, pour tout entier naturel n, un+2=un+1+un.
1. Calculer u2 et u3.
2. Pour tout entier n, on pose Xn=(un+1un).
a. Déterminer la matrice X0.
b. Justifier que la suite de matrices (Xn) vérifie, pour tout entier naturel n, Xn+1=AXn, où A désigne la matrice A=(1110).
c. En déduire, pour tout entier naturel n, Xn en fonction de A et de n.
d. Calculer, à l'aide de la calculatrice, X20 et en déduire la valeur de u20 et de u21.
Remarque
La suite étudiée dans cet exercice est la suite de Fibonacci.
42
[Raisonner.]
On considère la matrice A=(0,60,2−0,20,6) ainsi que la matrice colonne Z=(xy) dans laquelle x et y sont des nombres réels vérifiant N(Z)=x2+y2=1 et xy>0.
1. Montrer que 0⩽N(AZ)⩽21N(Z).
2. Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout n∈N, 0⩽N(AnZ)⩽2n1.
3. En déduire n→+∞limN(AnZ)=0.
43
[[Calculer.]
On considère la suite définie, pour tout n∈N, par u0=1, u1=1 et, pour tout entier naturel n, un+2=un+1−un.
1. On définit la suite de matrices (Xn) par Xn=(un+1un).
Montrer que, pour tout n∈N, on a Xn+1=MXn où M est une matrice que l'on précisera.
2. Montrer que, pour tout n∈N, on a Xn=MnX0.
44
[Calculer.]
On considère une suite de matrices (Un) définie par son premier terme U0=(6464) et, pour tout entier naturel n :
Un+1=(1000,5)Un+(−20).
1. Calculer U1, U2 et U3.
2. Conjecturer une expression du terme général de cette suite en fonction de n.
3. Prouver cette conjecture.
45
[Calculer.]
Soit (Un) la suite de matrices définie, pour tout entier naturel n, par U0=⎝⎛203060⎠⎞ et Un+1=⎝⎛0,980000,950001,2⎠⎞Un+⎝⎛25−10⎠⎞.
1. En choisissant astucieusement les nombres réels α, β et γ, déterminer une suite de matrices (Vn) telle que Vn=Un−⎝⎛αβγ⎠⎞, et une matrice carrée A d'ordre 3, telle que, pour tout entier naturel n, Vn+1=AVn.
2. Déterminer V0 et exprimer, pour tout entier naturel n, Vn en fonction de n.
3. Exprimer alors, pour tout entier naturel n, Un en fonction de U0, de n et de A.
4. En déduire U20.
46
[Calculer.]
Soit (Un) la suite de matrices définie, pour tout entier naturel n, par Un+1=AUn+B et de premier terme U0=⎝⎛222⎠⎞ avec A=⎝⎛200020102⎠⎞ et B=⎝⎛−1−1−1⎠⎞.
1. En choisissant astucieusement les nombres réels α, β et γ, déterminer une suite de matrices (Vn) définie, pour tout entier naturel n, par Vn=Un−⎝⎛αβγ⎠⎞ et vérifiant Vn+1=AVn.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n :
An=⎝⎛2n0002n0n2n−102n⎠⎞.
3. Déterminer V0 puis exprimer, pour tout entier naturel n, Vn en fonction de n.
4. Exprimer alors Un en fonction de n.
5. En déduire U10.
47
[Calculer.]
On considère les suites (un) et (vn) définies par u0=1 et v0=4, pour tout entier naturel n, {un+1=7un−vnvn+1=un+5vn.
1. Déterminer une matrice A telle que, pour tout entier naturel n, (un+1vn+1)=A(unvn).
2. Montrer que A=6I2+J où J est une matrice vérifiant J2=02.
3. Montrer que, pour tout n∈N,
An=(6n+n6n−1n6n−1−n6n−16n−n6n−1).
4. En déduire les limites de (un) et (vn).
48
Démo
[Calculer.]
Soient k un entier naturel non nul, A une matrice carrée d'ordre k et B une matrice colonne à k lignes.
On définit, pour tout entier naturel n, la suite de matrices colonnes (Un) par son premier terme U0 et par la relation de récurrence, valable pour tout n∈N :
Un+1=AUn+B.
On suppose que A−Ik est une matrice inversible et on souhaite exprimer, pour tout n, Un en fonction de n.
On pose C=−(A−Ik)−1B et, pour tout n∈N :
Vn=Un−C.
1. Justifier que C est une matrice colonne.
2. Exprimer, pour tout n∈N, Vn+1 en fonction de Vn.
On pourra remarquer que Vn=Un−C⇔Un=Vn+C.
Aide
3. Exprimer alors Vn en fonction de n, puis Un en fonction de n.
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