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1. Suites de matrices Un+1= A Un + B
P.222-223

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Entraînement


1
Suites de matrices Un+1=AUn+B\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{A} \mathrm{U}_{n}+\mathrm{B}





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 45 ; 54 ; 57 ; 70 et 76
◉◉ Parcours 2 : exercices 47 ; 62 ; 65 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 46 ; 58 ; 72 et 77

37
FLASH

On considère la suite de matrices (Un)(\mathrm{U}_{n}) définie par son premier terme U0=(35)\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5\end{array}\right) et, pour tout entier naturel nn, Un+1=AUn\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}, où A=(0,80,20,50,5)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}5 & 0{,}5\end{array}\right).

1. Calculer U1\mathrm{U}_{1} et U2\mathrm{U}_{2}.


2. Déterminer toutes les matrices V0\mathrm{V}_0 de taille 2×12 \times 1 telles que AV0=V0\mathrm{AV}_{0}=\mathrm{V}_{0}.
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38
FLASH

On considère la matrice A=(2112)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right).
Déterminer la matrice colonne B\mathrm{B} pour que la suite de matrices de premier terme X0=(34)\mathrm{X}_{0}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -4\end{array}\right) et définie, pour tout nNn \in \mathbb{N}, par Xn+1=AXn+B\mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{AX}_{n}+\mathrm{B} soit constante.
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39
FLASH
QCM

On considère la suite de matrices (Xn)\left(\mathrm{X}_{n}\right) définie par X0=(10)\mathrm{X}_{0}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) et, pour tout entier naturel nn, Xn+1=AXn+B\mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{AX}_{n}+\mathrm{B}, où A=(1120,1)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -2 & 0{,}1\end{array}\right) et B=(0,50,9)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}0{,}5 \\ 0{,}9\end{array}\right). On a alors :

1. X3=(12,7)\mathrm{X}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2{,}7\end{array}\right)


2. X3=(5,815,521)\mathrm{X}_{3}=\left(\begin{array}{c}5{,}81 \\ -5{,}521\end{array}\right)


3. X3=(56,22)\mathrm{X}_{3}=\left(\begin{array}{c}5 \\ -6{,}22\end{array}\right)


4. X3=(0,50,9)\mathrm{X}_{3}=\left(\begin{array}{l}0{,}5 \\ 0{,}9\end{array}\right)
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40
[Calculer.]
Soient (un)(u_n) et (vn)(v_n) deux suites définies pour tout entier naturel nn par {un+1=un+vnvn+1=unvnu0=1;v0=2\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}=u_{n}+v_{n} \\ v_{n+1}=u_{n}-v_{n} \\ u_{0}=1\,; \,v_{0}=2\end{array}\right..

1. Pour tout entier naturel nn, on note Wn\mathrm{W}_n la matrice (unvn)\left(\begin{array}{l}u_{n} \\ v_{n}\end{array}\right).
Justifier que, pour tout entier naturel nn, on peut écrire Wn+1=AWn\mathrm{W}_{n+1}=\mathrm{AW}_{n}, où A\mathrm{A} est une matrice à préciser.


2. Calculer W1\mathrm{W}_1 et en déduire la valeur de u1u_1 et de v1v_1.


3. Exprimer Wn\mathrm{W}_n en fonction de A\mathrm{A} et de nn.


4. Calculer, à l’aide de la calculatrice, W50\mathrm{W}_{50}.
Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite éventuelle de (un)(u_n) et (vn)(v_n) ?
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41
[Calculer.] ◉◉
Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=u1=1u_{0}=u_{1}=1 et, pour tout entier naturel nn, un+2=un+1+unu_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}.

1. Calculer u2u_2 et u3u_3.


2. Pour tout entier nn, on pose Xn=(un+1un)\mathrm{X}_{n}=\left(\begin{array}{c}u_{n+1} \\ u_{n}\end{array}\right).
a. Déterminer la matrice X0\mathrm{X}_0.


b. Justifier que la suite de matrices (Xn)(\mathrm{X}_n) vérifie, pour tout entier naturel nn, Xn+1=AXn\mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{AX}_{n}, où A\mathrm{A} désigne la matrice A=(1110)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right).


c. En déduire, pour tout entier naturel nn, Xn\mathrm{X}_n en fonction de A\mathrm{A} et de nn.


d. Calculer, à l’aide de la calculatrice, X20\mathrm{X}_{20} et en déduire la valeur de u20u_{20} et de u21u_{21}.


Remarque
La suite étudiée dans cet exercice est la suite de Fibonacci.
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42
[Raisonner.]
On considère la matrice A=(0,60,20,20,6)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0{,}6 & -0{,}2 \\ 0{,}2 & 0{,}6\end{array}\right) ainsi que la matrice colonne Z=(xy)\mathrm{Z}=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) dans laquelle xx et yy sont des nombres réels vérifiant N(Z)=x2+y2=1\mathrm{N}(\mathrm{Z})=x^{2}+y^{2}=1 et xy>0x y>0.

1. Montrer que 0N(AZ)12N(Z)0 \leqslant \mathrm{N}(\mathrm{AZ}) \leqslant \dfrac{1}{2} \mathrm{N}(\mathrm{Z}).


2. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, 0N(AnZ)12n0 \leqslant \mathrm{N}\left(\mathrm{A}^{n} \mathrm{Z}\right) \leqslant \dfrac{1}{2^{n}}.


3. En déduire limn+N(AnZ)=0\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} \mathrm{N}\left(\mathrm{A}^{n} \mathrm{Z}\right)=0.
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43
[[Calculer.]
On considère la suite définie, pour tout nNn \in \mathbb{N}, par u0=1u_{0}=1, u1=1u_{1}=1 et, pour tout entier naturel nn, un+2=un+1unu_{n+2}=u_{n+1}-u_{n}.

1. On définit la suite de matrices (Xn)\left(\mathrm{X}_{n}\right) par Xn=(un+1un)\mathrm{X}_{n}=\left(\begin{array}{c}u_{n+1} \\ u_{n}\end{array}\right).
Montrer que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, on a Xn+1=MXn\mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{MX}_{n}M\mathrm{M} est une matrice que l’on précisera.


2. Montrer que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, on a Xn=MnX0\mathrm{X}_{n}=\mathrm{M}^{n} \mathrm{X}_{0}.
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44
[Calculer.]
On considère une suite de matrices (Un)\left(\mathrm{U}_{n}\right) définie par son premier terme U0=(6464)\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}64 \\ 64\end{array}\right) et, pour tout entier naturel nn :
Un+1=(1000,5)Un+(20)\mathrm{U}_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0{,}5\end{array}\right) \mathrm{U}_{n}+\left(\begin{array}{c}-2 \\ 0\end{array}\right).

1. Calculer U1\mathrm{U}_1, U2\mathrm{U}_2 et U3\mathrm{U}_3.


2. Conjecturer une expression du terme général de cette suite en fonction de nn.


3. Prouver cette conjecture.
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45
[Calculer.] ◉◉
Soit (Un)\left(\mathrm{U}_{n}\right) la suite de matrices définie, pour tout entier naturel nn, par U0=(203060)\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}20 \\ 30 \\ 60\end{array}\right) et Un+1=(0,980000,950001,2)Un+(2510)\mathrm{U}_{n+1}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}98 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}95 & 0 \\ 0 & 0 & 1{,}2\end{array}\right) \mathrm{U}_{n}+\left(\begin{array}{c}2 \\ 5 \\ -10\end{array}\right).

1. En choisissant astucieusement les nombres réels α\alpha, β\beta et γ\gamma, déterminer une suite de matrices (Vn)\left(\mathrm{V}_{n}\right) telle que Vn=Un(αβγ)\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \\ \gamma\end{array}\right), et une matrice carrée A\mathrm{A} d’ordre 33, telle que, pour tout entier naturel nn, Vn+1=AVn\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}.


2. Déterminer V0\mathrm{V}_0 et exprimer, pour tout entier naturel nn, Vn\mathrm{V}_n en fonction de nn.


3. Exprimer alors, pour tout entier naturel nn, Un\mathrm{U}_n en fonction de U0\mathrm{U}_0, de nn et de A\mathrm{A}.


4. En déduire U20\mathrm{U}_{20}.
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46
[Calculer.] ◉◉◉
Soit (Un)\left(\mathrm{U}_{n}\right) la suite de matrices définie, pour tout entier naturel nn, par Un+1=AUn+B\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B} et de premier terme U0=(222)\mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) avec A=(201020002)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right) et B=(111)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right).

1. En choisissant astucieusement les nombres réels α\alpha, β\beta et γ\gamma, déterminer une suite de matrices (Vn)\left(\mathrm{V}_{n}\right) définie, pour tout entier naturel nn, par Vn=Un(αβγ)\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma\end{array}\right) et vérifiant Vn+1=AVn\mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}.


2. Montrer que, pour tout entier naturel nn :
An=(2n0n2n102n0002n)\mathrm{A}^{n}=\left(\begin{array}{ccc}2^{n} & 0 & n 2^{n-1} \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 2^{n}\end{array}\right).


3. Déterminer V0\mathrm{V}_0 puis exprimer, pour tout entier naturel nn, Vn\mathrm{V}_n en fonction de nn.


4. Exprimer alors Un\mathrm{U}_n en fonction de nn.


5. En déduire U10\mathrm{U}_{10}.
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47
[Calculer.] ◉◉
On considère les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies par u0=1u_0=1 et v0=4v_0=4, pour tout entier naturel nn, {un+1=7unvnvn+1=un+5vn\left\{\begin{array}{l}u_{n+1}=7 u_{n}-v_{n} \\ v_{n+1}=u_{n}+5 v_{n}\end{array}\right..

1. Déterminer une matrice A\mathrm{A} telle que, pour tout entier naturel nn, (un+1vn+1)=A(unvn)\left(\begin{array}{l}u_{n+1} \\ v_{n+1}\end{array}\right)=\mathrm{A}\left(\begin{array}{l}u_{n} \\ v_{n}\end{array}\right).


2. Montrer que A=6I2+J\mathrm{A}=6 \mathrm{I}_{2}+\mathrm{J}J\mathrm{J} est une matrice vérifiant J2=02\mathrm{J}^{2}=0_{2}.


3. Montrer que, pour tout nNn \in \mathbb{N},
An=(6n+n6n1n6n1n6n16nn6n1)\mathrm{A}^{n}=\left(\begin{array}{cc}6^{n}+n 6^{n-1} & -n 6^{n-1} \\ n 6^{n-1} & 6^{n}-n 6^{n-1}\end{array}\right).


4. En déduire les limites de (un)(u_n) et (vn)(v_n).
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48
[Calculer.]
[DÉMO]

Soient kk un entier naturel non nul, A\mathrm{A} une matrice carrée d’ordre kk et B\mathrm{B} une matrice colonne à kk lignes.
On définit, pour tout entier naturel nn, la suite de matrices colonnes (Un)(\mathrm{U}_n) par son premier terme U0\mathrm{U}_0 et par la relation de récurrence, valable pour tout nNn \in \mathbb{N} :
Un+1=AUn+B\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}.

On suppose que AIk\mathrm{A}-\mathrm{I}_{k} est une matrice inversible et on souhaite exprimer, pour tout n n, Un\mathrm{U}_n en fonction de nn.
On pose C=(AIk)1B\mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{k}\right)^{-1} \mathrm{B} et, pour tout nNn \in \mathbb{N} :
Vn=UnC\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C}.

1. Justifier que C\mathrm{C} est une matrice colonne.


2. Exprimer, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Vn+1\mathrm{V}_{n+1} en fonction de Vn\mathrm{V}_{n}.


Aide
On pourra remarquer que Vn=UnCUn=Vn+C\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C} \Leftrightarrow \mathrm{U}_{n}=\mathrm{V}_{n}+\mathrm{C}.


3. Exprimer alors Vn\mathrm{V}_{n} en fonction de nn, puis Un\mathrm{U}_n en fonction de nn.
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