37

On considère la suite de matrices $({\mathrm{U}}_n)$ définie par son premier terme ${\mathrm{U}}_0=\left(\begin{array}{l}3\\ 5\end{array}\right)$ et, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{U}}_{n+1}={\mathrm{A}\mathrm{U}}_n$, où $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0,8& 0,2\\ 0,5& 0,5\end{array}\right)$.

1. Calculer ${\mathrm{U}}_1$ et ${\mathrm{U}}_2$.

2. Déterminer toutes les matrices ${\mathrm{V}}_0$ de taille $2\times 1$ telles que ${\mathrm{A}\mathrm{V}}_0={\mathrm{V}}_0$.

48

[Calculer.]
Soient $k$ un entier naturel non nul, $\mathrm{A}$ une matrice carrée d'ordre $k$ et $\mathrm{B}$ une matrice colonne à $k$ lignes.
On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite de matrices colonnes $({\mathrm{U}}_n)$ par son premier terme ${\mathrm{U}}_0$ et par la relation de récurrence, valable pour tout $n\in \mathbb{N}$ :
On suppose que $\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_k$ est une matrice inversible et on souhaite exprimer, pour tout $n$, ${\mathrm{U}}_n$ en fonction de $n$.
On pose $\mathrm{C}=-{\left(\mathrm{A}-{\mathrm{I}}_k\right)}^{-1}\mathrm{B}$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :
1. Justifier que $\mathrm{C}$ est une matrice colonne.

2. Exprimer, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{V}}_{n+1}$ en fonction de ${\mathrm{V}}_n$.

3. Exprimer alors ${\mathrm{V}}_n$ en fonction de $n$, puis ${\mathrm{U}}_n$ en fonction de $n$.