Chapitre 7
Entraînement 1
Suites de matrices \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{A} \mathrm{U}_{n}+\mathrm{B}
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37
Flash
On considère la suite de matrices (\mathrm{U}_{n}) définie par son premier terme \mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5\end{array}\right) et, pour tout entier naturel n, \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}, où \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}5 & 0{,}5\end{array}\right).
1. Calculer \mathrm{U}_{1} et \mathrm{U}_{2}.
2. Déterminer toutes les matrices \mathrm{V}_0 de taille 2 \times 1 telles que \mathrm{AV}_{0}=\mathrm{V}_{0}.
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38
Flash
On considère la matrice \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right).
Déterminer la matrice colonne \mathrm{B} pour que la suite de matrices de premier terme \mathrm{X}_{0}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -4\end{array}\right) et définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par \mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{AX}_{n}+\mathrm{B} soit constante.
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39
Flash
QCM
On considère la suite de matrices \left(\mathrm{X}_{n}\right) définie par \mathrm{X}_{0}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) et, pour tout entier naturel n, \mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{AX}_{n}+\mathrm{B}, où \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -2 & 0{,}1\end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}0{,}5 \\ 0{,}9\end{array}\right). On a alors :
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40
[Calculer.]
Soient (u_n) et (v_n) deux suites définies pour tout entier naturel n par \left\{\begin{array}{l}u_{n+1}=u_{n}+v_{n} \\ v_{n+1}=u_{n}-v_{n} \\ u_{0}=1\,; \,v_{0}=2\end{array}\right..
1. Pour tout entier naturel n, on note \mathrm{W}_n la matrice \left(\begin{array}{l}u_{n} \\ v_{n}\end{array}\right).
Justifier que, pour tout entier naturel n, on peut écrire \mathrm{W}_{n+1}=\mathrm{AW}_{n}, où \mathrm{A} est une matrice à préciser.
2. Calculer \mathrm{W}_1 et en déduire la valeur de u_1 et de v_1.
3. Exprimer \mathrm{W}_n en fonction de \mathrm{A} et de n.
4. Calculer, à l'aide de la calculatrice, \mathrm{W}_{50}.
Quelle conjecture peut‑on faire sur la limite éventuelle de (u_n) et (v_n) ?
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41
[Calculer.]
Soit (u_n) la suite définie par u_{0}=u_{1}=1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}.
1. Calculer u_2 et u_3.
2. Pour tout entier n, on pose \mathrm{X}_{n}=\left(\begin{array}{c}u_{n+1} \\ u_{n}\end{array}\right).
a. Déterminer la matrice \mathrm{X}_0.
b. Justifier que la suite de matrices (\mathrm{X}_n) vérifie, pour tout entier naturel n, \mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{AX}_{n}, où \mathrm{A} désigne la matrice \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right).
c. En déduire, pour tout entier naturel n, \mathrm{X}_n en fonction de \mathrm{A} et de n.
d. Calculer, à l'aide de la calculatrice, \mathrm{X}_{20} et en déduire la valeur de u_{20} et de u_{21}.
Remarque
La suite étudiée dans cet exercice est la suite de Fibonacci.
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42
[Raisonner.]
On considère la matrice \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}0{,}6 & -0{,}2 \\ 0{,}2 & 0{,}6\end{array}\right) ainsi que la matrice colonne \mathrm{Z}=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) dans laquelle x et y sont des nombres réels vérifiant \mathrm{N}(\mathrm{Z})=x^{2}+y^{2}=1 et x y>0.
1. Montrer que 0 \leqslant \mathrm{N}(\mathrm{AZ}) \leqslant \frac{1}{2} \mathrm{N}(\mathrm{Z}).
2. Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout n \in \mathbb{N}, 0 \leqslant \mathrm{N}\left(\mathrm{A}^{n} \mathrm{Z}\right) \leqslant \frac{1}{2^{n}}.
3. En déduire \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} \mathrm{N}\left(\mathrm{A}^{n} \mathrm{Z}\right)=0.
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43
[[Calculer.]
On considère la suite définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par u_{0}=1, u_{1}=1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+2}=u_{n+1}-u_{n}.
1. On définit la suite de matrices \left(\mathrm{X}_{n}\right) par \mathrm{X}_{n}=\left(\begin{array}{c}u_{n+1} \\ u_{n}\end{array}\right).
Montrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, on a \mathrm{X}_{n+1}=\mathrm{MX}_{n} où \mathrm{M} est une matrice que l'on précisera.
2. Montrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, on a \mathrm{X}_{n}=\mathrm{M}^{n} \mathrm{X}_{0}.
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44
[Calculer.]
On considère une suite de matrices \left(\mathrm{U}_{n}\right) définie par son premier terme \mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}64 \\ 64\end{array}\right) et, pour tout entier naturel n :
\mathrm{U}_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0{,}5\end{array}\right) \mathrm{U}_{n}+\left(\begin{array}{c}-2 \\ 0\end{array}\right).
1. Calculer \mathrm{U}_1, \mathrm{U}_2 et \mathrm{U}_3.
2. Conjecturer une expression du terme général de cette suite en fonction de n.
3. Prouver cette conjecture.
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45
[Calculer.]
Soit \left(\mathrm{U}_{n}\right) la suite de matrices définie, pour tout entier naturel n, par \mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}20 \\ 30 \\ 60\end{array}\right) et \mathrm{U}_{n+1}=\left(\begin{array}{ccc}0{,}98 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}95 & 0 \\ 0 & 0 & 1{,}2\end{array}\right) \mathrm{U}_{n}+\left(\begin{array}{c}2 \\ 5 \\ -10\end{array}\right).
1. En choisissant astucieusement les nombres réels \alpha, \beta et \gamma, déterminer une suite de matrices \left(\mathrm{V}_{n}\right) telle que \mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \\ \gamma\end{array}\right), et une matrice carrée \mathrm{A} d'ordre 3, telle que, pour tout entier naturel n, \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}.
2. Déterminer \mathrm{V}_0 et exprimer, pour tout entier naturel n, \mathrm{V}_n en fonction de n.
3. Exprimer alors, pour tout entier naturel n, \mathrm{U}_n en fonction de \mathrm{U}_0, de n et de \mathrm{A}.
4. En déduire \mathrm{U}_{20}.
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46
[Calculer.]
Soit \left(\mathrm{U}_{n}\right) la suite de matrices définie, pour tout entier naturel n, par \mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B} et de premier terme \mathrm{U}_{0}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) avec \mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right).
1. En choisissant astucieusement les nombres réels \alpha, \beta et \gamma, déterminer une suite de matrices \left(\mathrm{V}_{n}\right) définie, pour tout entier naturel n, par \mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma\end{array}\right) et vérifiant \mathrm{V}_{n+1}=\mathrm{AV}_{n}.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n :
\mathrm{A}^{n}=\left(\begin{array}{ccc}2^{n} & 0 & n 2^{n-1} \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 2^{n}\end{array}\right).
3. Déterminer \mathrm{V}_0 puis exprimer, pour tout entier naturel n, \mathrm{V}_n en fonction de n.
4. Exprimer alors \mathrm{U}_n en fonction de n.
5. En déduire \mathrm{U}_{10}.
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47
[Calculer.]
On considère les suites (u_n) et (v_n) définies par u_0=1 et v_0=4, pour tout entier naturel n, \left\{\begin{array}{l}u_{n+1}=7 u_{n}-v_{n} \\ v_{n+1}=u_{n}+5 v_{n}\end{array}\right..
1. Déterminer une matrice \mathrm{A} telle que, pour tout entier naturel n, \left(\begin{array}{l}u_{n+1} \\ v_{n+1}\end{array}\right)=\mathrm{A}\left(\begin{array}{l}u_{n} \\ v_{n}\end{array}\right).
2. Montrer que \mathrm{A}=6 \mathrm{I}_{2}+\mathrm{J} où \mathrm{J} est une matrice vérifiant \mathrm{J}^{2}=0_{2}.
3. Montrer que, pour tout n \in \mathbb{N},
\mathrm{A}^{n}=\left(\begin{array}{cc}6^{n}+n 6^{n-1} & -n 6^{n-1} \\ n 6^{n-1} & 6^{n}-n 6^{n-1}\end{array}\right).
4. En déduire les limites de (u_n) et (v_n).
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48
Démo
[Calculer.]
Soient k un entier naturel non nul, \mathrm{A} une matrice carrée d'ordre k et \mathrm{B} une matrice colonne à k lignes.
On définit, pour tout entier naturel n, la suite de matrices colonnes (\mathrm{U}_n) par son premier terme \mathrm{U}_0 et par la relation de récurrence, valable pour tout n \in \mathbb{N} :
\mathrm{U}_{n+1}=\mathrm{AU}_{n}+\mathrm{B}.
On suppose que \mathrm{A}-\mathrm{I}_{k} est une matrice inversible et on souhaite exprimer, pour tout n, \mathrm{U}_n en fonction de n.
On pose \mathrm{C}=-\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{k}\right)^{-1} \mathrm{B} et, pour tout n \in \mathbb{N} :
\mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C}.
1. Justifier que \mathrm{C} est une matrice colonne.
2. Exprimer, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{V}_{n+1} en fonction de \mathrm{V}_{n}.
Aide
On pourra remarquer que \mathrm{V}_{n}=\mathrm{U}_{n}-\mathrm{C} \Leftrightarrow \mathrm{U}_{n}=\mathrm{V}_{n}+\mathrm{C}.
3. Exprimer alors \mathrm{V}_{n} en fonction de n, puis \mathrm{U}_n en fonction de n.
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