Synthèse

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[Calculer, Modéliser.]
D’après bac ES, Polynésie, juin 2015
Un constructeur de planches de surf fabrique trois modèles. La conception de chaque modèle nécessite le passage par trois postes de travail.
Le tableau 1 indique le nombre d’heures nécessaires par modèle et par poste pour réaliser les planches et le tableau 2 indique le coût horaire par poste de travail.



1. Soient $\text{H}$ et $\text{C}$ les deux matrices suivantes :

a. Donner la matrice produit $\mathrm{P}=\mathrm{H}\times \mathrm{C}$.


b. Que représentent les coefficients de la matrice $\text{P}$ ?


2. Après une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par modèle soient les suivants :

• modèle 1 : 500 € ;
• modèle 2 : 350 € ;
• modèle 3 : 650 €.

Il cherche à déterminer les nouveaux coûts horaires par poste, notés $a$, $b$ et $c$, permettant d’obtenir ces prix de revient.

a. Montrer que les réels $a$, $b$ et $c$ doivent être solutions du système $\mathrm{H}\times \left(\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}500\\ 350\\ 650\end{array}\right)$.


b. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$.

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APPROFONDISSEMENT

[Modéliser, Représenter.]
D’après bac ES, Métropole, septembre 2016

Afin d’améliorer la qualité de ses services, un parc a réalisé une étude statistique pour relever la durée moyenne d’attente, en minute, à la billetterie en fonction de l’heure.
Cette mesure a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant.



Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d’attente.
On souhaite modéliser cette durée d’attente par une fonction qui, à l’heure, associe la durée d’attente en minute. Ainsi, il sera possible d’avoir une estimation de la durée d’attente.
On choisit de modéliser cette situation à l’aide de la fonction $f$ définie par $f(x)=a{x}^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\ne 0$ tels que les trois points $(9;9)$, $(11;20)$ et $(16;2)$ appartiennent à la représentation graphique de $f$.

1. Traduire les données de l’énoncé sous la forme d’un système de trois équations à trois inconnues $a$, $b$ et $c$.


2. Déterminer les trois réels $a$, $b$ et $c$.


3. En utilisant ce modèle, déterminer les plages horaires pour lesquelles l’attente peut être inférieure à dix minutes.

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DEVOIR MAISON

[Calculer, Représenter.]
D’après bac S, Amérique du Nord, 2015
On donne les matrices $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 4& 2& 1\end{array}\right)$ et $\mathrm{I}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Partie A

1. Calculer la matrice ${\mathrm{M}}^2$.


On donne ${\mathrm{M}}^3=\left(\begin{array}{ccc}20& 10& 11\\ 12& 2& 9\\ 42& 20& 21\end{array}\right)$.

2. Vérifier que ${\mathrm{M}}^3={\mathrm{M}}^2+8\mathrm{M}+6\mathrm{I}$.


3. En déduire que $\text{M}$ est inversible et que :


Partie B

On cherche à déterminer trois nombres entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d’équation $y=a{x}^2+bx+c$ passe par les points $\mathrm{A}(1;1)$, $\mathrm{B}(-1;-1)$ et $\mathrm{C}(2;5)$.

1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que $\mathrm{M}\left(\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 5\end{array}\right)$.


2. Calculer les nombres $a$, $b$ et $c$ et vérifier que ces nombres sont des entiers.

91

[Calculer, Raisonner.]
Diagonalisation et puissance de matrices
On considère les matrices $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)$ et $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 3\end{array}\right)$.

1. Justifier que $\text{P}$ est inversible et calculer son inverse.


2. Calculer le produit $\mathrm{D}={\mathrm{P}}^{-1}\times \mathrm{A}\times \mathrm{P}$.


3. En déduire que $\mathrm{A}=\mathrm{P}\times \mathrm{D}\times {\mathrm{P}}^{-1}$.


4. a. Pour tout entier naturel non nul $n$, conjecturer une expression de ${\mathrm{D}}^n$.


b. Démontrer cette conjecture par récurrence.


5. Exprimer alors ${\mathrm{A}}^n$ en fonction de $n$.

92

[Calculer, Raisonner.]
Diagonalisation et puissance de matrices
On considère les matrices $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ 3& -2& 0\\ -2& 2& 1\end{array}\right)$ et $\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 1& 3& -3\\ 1& -2& 2\end{array}\right)$.

1. Déterminer l’inverse de $\text{P}$.


2. Calculer le produit $\mathrm{D}={\mathrm{P}}^{-1}\times \mathrm{A}\times \mathrm{P}$.


3. En déduire que $\mathrm{A}=\mathrm{P}\times \mathrm{D}\times {\mathrm{P}}^{-1}$.


4. a. Pour tout entier naturel non nul $n$, conjecturer une expression de ${\mathrm{D}}^n$.


b. Démontrer cette conjecture par récurrence.


5. Exprimer alors ${\mathrm{A}}^n$ en fonction de $n$.

93

[Calculer, Raisonner.]
Soient $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et $\text{A}$ la matrice carrée de taille $n$, formée de $0$ sur la diagonale et de $1$ partout ailleurs.

1. Calculer ${\mathrm{A}}^2$ et exprimer le résultat en fonction de $\text{A}$, de ${\mathrm{I}}_n$ et de $n$.


2. En déduire que $\text{A}$ est inversible et en déduire ${\mathrm{A}}^{-1}$.

94

[Calculer, Chercher.]
Matrices et changement de repère

Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

Partie A : Changement de repère et translation

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

1. Calculer l’image ${\mathrm{O}}^{\prime }$ de $\mathrm{O}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{t}=\left(\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right)$.


2. Déterminer l’image ${\mathrm{I}}^{\prime }$ du point $\mathrm{I}(1;0)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{t}$ , puis l’image ${\mathrm{J}}^{\prime }$ du point $\mathrm{J}(0;1)$ par cette même translation.


3. Démontrer que $\left({\mathrm{O}}^{\prime };\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{I}}^{\prime }},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{J}}^{\prime }}\right)$ définit un repère orthonormé direct du plan.


4. On considère deux nombres réels $x$ et $y$ et le point $\text{M}$, dont les coordonnées dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ sont données par $\mathrm{M}(x;y)$.
Déterminer les coordonnées de $\text{M}$ dans le repère $\left({\mathrm{O}}^{\prime };\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{I}}^{\prime }},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{J}}^{\prime }}\right)$.


5. Inversement, on considère deux nombres réels $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ et le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ dont les coordonnées dans le repère $\left({\mathrm{O}}^{\prime };\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{I}}^{\prime }},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{J}}^{\prime }}\right)$ sont données par ${\mathrm{M}}^{\prime }\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$.
Déterminer les coordonnées de ${\mathrm{M}}^{\prime }$ dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.


Partie B : Changement de repère (cas général)

Dans cette partie, on considère quatre nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$. On note $\text{T}$ la matrice $\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$.

1. Calculer l’image ${\mathrm{O}}^{\prime }$ de $\mathrm{O}$ par cette transformation.


2. Calculer de même l’image ${\mathrm{I}}^{\prime }$ et ${\mathrm{J}}^{\prime }$ des points $\mathrm{I}(1;0)$ et $\mathrm{J}(0;1)$.


3. a. À quelle condition sur $a$, $b$, $c$ et $d$ le triplet $\left({\mathrm{O}}^{\prime };\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{I}}^{\prime }},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{J}}^{\prime }}\right)$ définit‑il un repère du plan ?


b. Que signifie cette condition pour la matrice $\text{T}$ ?


4. On suppose dans la suite que la condition de la question 3. est vérifiée.
a. Soit $\text{M}$ un point du plan dont les coordonnées dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ sont $\mathrm{M}(x;y)$.
Calculer les coordonnées de $\mathrm{M}$ dans le repère $\left({\mathrm{O}}^{\prime };\overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{T}}^{\prime }},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{J}}^{\prime }}\right)$ en fonction de $x$ et de $y$.


b. Inversement, si on note $\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ les coordonnées de $\text{M}$ dans le repère $\left({\mathrm{O}}^{\prime };\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{I}}^{\prime }},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{J}}^{\prime }}\right)$, par quelle matrice doit‑on multiplier $\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$ pour obtenir les coordonnées de $\mathrm{M}$ dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ ?

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[Chercher, Raisonner.]
Racine carrée de matrice

Partie A : Étude de quelques exemples

1. Dans cette question, on note $\text{A}$ la matrice $\left(\begin{array}{ll}-26& 70\\ -21& 51\end{array}\right)$ et on considère la matrice $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc}-2& 10\\ -3& 9\end{array}\right)$.
a. Montrer que ${\mathrm{B}}^2=\mathrm{A}$.
On dit que $\text{B}$ est une racine carrée de $\text{A}$.


b. Montrer que $\left(\begin{array}{ll}-38& 70\\ -21& 39\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ll}38& -70\\ 21& -39\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}2& -10\\ 3& -9\end{array}\right)$ sont également des racines carrées de $\text{A}$.


2. Justifier que $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -2\end{array}\right)$ sont des racines carrées de ${\mathrm{I}}_2$.


Partie B : Cas d’une matrice diagonale

Dans cette partie, on considère deux réels $x$ et $y$ positifs et distincts et on note $\mathrm{D}=\left(\begin{array}{ll}x& 0\\ 0& y\end{array}\right)$.

1. Montrer que $\left(\begin{array}{cc}\sqrt{x}& 0\\ 0& \sqrt{y}\end{array}\right)$ est une racine carrée de la matrice $\text{D}$.


2. On cherche à déterminer les autres racines carrées de $\text{D}$.
On suppose donc qu’il existe une matrice $\mathrm{R}=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ telle que ${\mathrm{R}}^2=\mathrm{D}$.

a. Montrer que déterminer $\text{R}$ revient à résoudre le système d’équations $\{\begin{array}{lcc}{a}^2+bc& =& x\\ b(a+d)& =& 0\\ c(a+d)& =& 0\\ cb+d^2& =& y\end{array}$.


b. On souhaite montrer que $b$ et $c$ sont nuls.
On raisonne par l’absurde en supposant que $b$ ou $c$ est non nul. Justifier qu’on a alors $a=-d$ puis aboutir à une contradiction.


c. Conclure sur l’expression des racines carrées de la matrice $\text{D}$.


d. Que se passe‑t‑il si on ne suppose pas les réels $x$ et $y$ distincts ? (On pourra considérer les matrices $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$.)


Partie C : Cas d’une matrice diagonalisable

Soient $\text{C}$ une matrice d’ordre $n$ admettant une racine carrée $\text{R}$ et $\text{P}$ une matrice carrée d’ordre $n$ inversible.

1. Montrer que ${\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{P}}^{-1}$ est une racine carrée de la matrice ${\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{P}}^{-1}$.


2. On note dans la suite la matrice $\mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc}-21& 50\\ -15& 34\end{array}\right)$.

a. Soit $\text{P}$ la matrice $\left(\begin{array}{ll}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)$.
Justifier que $\text{P}$ est inversible et calculer ${\mathrm{P}}^{-1}$.


b. Montrer que $\mathrm{C}=\mathrm{P}\left(\begin{array}{ll}4& 0\\ 0& 9\end{array}\right){\mathrm{P}}^{-1}$.


c. Déterminer les racines carrées de la matrice $\left(\begin{array}{ll}4& 0\\ 0& 9\end{array}\right)$.


d. En déduire les racines carrées de la matrice $\text{C}$.

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[Chercher, Modéliser.]
D’après bac S, Centres étrangers, 2017

L’arbre de Stern-Brocot a été découvert séparément par le mathématicien allemand Moritz Abraham Stern (1858) et par Achille Brocot (1861), horloger français qui l’a utilisé pour concevoir des systèmes d’engrenages avec un rapport entre rouages proche d’une valeur souhaitée.
Cet exercice aborde la méthode avec des matrices carrées.
On considère les deux matrices $\mathrm{G}=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ et $\mathrm{D}=\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$


On construit à partir d’une matrice initiale un arbre descendant de la façon suivante : de chaque matrice carrée $\text{M}$ de l’arbre partent deux nouvelles branches vers les deux autres matrices $\mathrm{M}\times \mathrm{G}$ (à gauche) et $\mathrm{M}\times \mathrm{D}$ (à droite). Ces deux nouvelles matrices sont appelées les matrices filles de $\text{M}$.
Dans la méthode considérée, on prend comme matrice initiale la matrice $\mathrm{I}=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

1. Déterminer les deux matrices manquantes $\text{A}$ et $\text{B}$ dans la troisième ligne de l’arbre de Stern‑Brocot ci‑dessous.



Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour toute matrice $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)$, de l’arbre de Stern‑Brocot, les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des entiers vérifiant : $b+d\ne 0$.

2. On associe à une matrice $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)$ de l’arbre de Stern‑Brocot la fraction $\frac{a+c}{b+d}$. Montrer que, dans cette association, le trajet « gauche - droite - gauche », à partir de la matrice initiale dans l’arbre, aboutit à une matrice correspondant à la fraction $\frac{3}{5}$.


3. Soit $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)$ une matrice de l’arbre.
On rappelle que $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des entiers.
On note ${\Delta }_{\mathrm{M}}=ad-bc$, la différence des produits diagonaux de cette matrice.

a. Montrer que si $ad-bc=1$, alors $d(a+c)-c(b+d)=1$.


b. En déduire que si $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)$ est une matrice de l’arbre de Stern-Brocot telle que ${\Delta }_{\mathrm{M}}=ad-bc=1$, alors ${\Delta }_{\mathrm{M}\times \mathrm{G}}=1$, c’est‑à‑dire que la différence des produits diagonaux de la matrice $\mathrm{M}\times \mathrm{G}$ est aussi égale à $1$.
On admet de même que ${\Delta }_{\mathrm{M}\times \mathrm{D}}=1$, et que toutes les autres matrices $\text{N}$ de l’arbre de Stern-Brocot vérifient l’égalité ${\Delta }_{\mathrm{N}}=1$.


4. Déduire de la question précédente que toute fraction associée à une matrice de l’arbre de Stern‑Brocot est irréductible.


5. Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Ainsi, la fraction $\frac{m}{n}$ est irréductible. On considère l’algorithme suivant.



a. Recopier et compléter le tableau suivant.
Indiquer ce qu’affiche l’algorithme lorsqu’on le fait fonctionner avec les valeurs $m=4$ et $n=7$.



b. Conjecturer le rôle de cet algorithme. Vérifier à l’aide d’un calcul matriciel le résultat obtenu avec les valeurs $m=4$ et $n=7$.

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[Chercher, Calculer.]
Partie A : Permutations d’un ensemble à trois éléments

Soit $\text{E}$ l’ensemble $\{1;2;3\}$. On s’intéresse dans cet exercice aux permutations de l’ensemble $\text{E}$.

1. $\left(\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$ est la permutation définie par $1\mapsto 3$, $2\mapsto 1$ et $3\mapsto 2$.
Déterminer les 5 autres permutations de l’ensemble $\text{E}$.


2. La signature d’une permutation $\sigma$ est le nombre, noté $\epsilon (\sigma )$, défini par : Calculer la signature de chacune des permutations précédentes.


Partie B : Déterminant d’une matrice $3\times 3$

Considérons la matrice $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{lll}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$.
Le déterminant de la matrice $\text{M}$, noté $\det (\mathrm{M})$ ou encore $\left|\begin{array}{lll}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|$ , est le nombre défini par :

où ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_6$ désignent les permutations de la Partie A.

1. a. Montrer que :



b. Calculer le déterminant des matrices $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}5& -3& -6\\ 2& -4& 7\\ 0& 0& 8\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll}1& 5& 3\\ 2& 4& 7\\ 4& 6& 2\end{array}\right)$.


c. Soient $x$, $y$ et $z$ des nombres réels.
Montrer que $\left|\begin{array}{lll}1& x& x^2\\ 1& y& y^2\\ 1& z& z^2\end{array}\right|=(z-y)(z-x)(y-x)$.


2. a. Vérifier que :

où