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88
[Calculer, Modéliser.]
D’après bac ES, Polynésie, juin 2015
Un constructeur de planches de surf fabrique trois modèles. La conception de chaque modèle nécessite le passage par trois postes de travail.
Le tableau 1 indique le nombre d’heures nécessaires par modèle et par poste pour réaliser les planches et le tableau 2 indique le coût horaire par poste de travail.

Tableau 1 Poste 1 Poste 2 Poste 3
Modèle 1 8 h 10 h 14 h
Modèle 2 6 h 6 h 10 h
Modèle 3 12 h 10 h 18 h

Tableau 2
Poste 1 25 €/h
Poste 2 20 €/h
Poste 3 15 €/h

1. Soient H\text{H} et C\text{C} les deux matrices suivantes :
H=(810146610121018)\mathrm{H}=\left(\begin{array}{ccc} 8 & 10 & 14 \\ 6 & 6 & 10 \\ 12 & 10 & 18 \end{array}\right) et C=(252015)\mathrm{C}=\left(\begin{array}{c} 25 \\ 20 \\ 15 \end{array}\right).

a. Donner la matrice produit P=H×C\mathrm{P}=\mathrm{H} \times \mathrm{C}.


b. Que représentent les coefficients de la matrice P\text{P} ?


2. Après une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par modèle soient les suivants :
  • modèle 1 : 500 € ;
  • modèle 2 : 350 € ;
  • modèle 3 : 650 €.

Il cherche à déterminer les nouveaux coûts horaires par poste, notés aa, bb et cc, permettant d’obtenir ces prix de revient.

a. Montrer que les réels aa, bb et cc doivent être solutions du système H×(abc)=(500350650)\mathrm{H} \times\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 500 \\ 350 \\ 650 \end{array}\right).


b. Déterminer les réels aa, bb et cc.



Histoire des maths

Le terme de matrice pour désigner un tableau de nombres est introduit par James Sylvester en 1850.
Il est repris par Arthur Cayley qui en donne une première théorie, mais dans le cadre de problèmes géométriques très spécifiques. Il faudra attendre les années 1920‑1930 pour qu’elle devienne une théorie intégratrice et l’un des fondements de ce qu’on appelle aujourd’hui l’algèbre linéaire.


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89
APPROFONDISSEMENT
[Modéliser, Représenter.]
D’après bac ES, Métropole, septembre 2016

Afin d’améliorer la qualité de ses services, un parc a réalisé une étude statistique pour relever la durée moyenne d’attente, en minute, à la billetterie en fonction de l’heure.
Cette mesure a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant.

fonction f - Exercice 89


Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d’attente.
On souhaite modéliser cette durée d’attente par une fonction qui, à l’heure, associe la durée d’attente en minute. Ainsi, il sera possible d’avoir une estimation de la durée d’attente.
On choisit de modéliser cette situation à l’aide de la fonction ff définie par f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^{2}+b x+c, où aa, bb et cc sont des réels avec a0a \neq 0 tels que les trois points (9;9)(9\,; 9), (11;20)(11\,; 20) et (16;2)(16\,; 2) appartiennent à la représentation graphique de ff.

1. Traduire les données de l’énoncé sous la forme d’un système de trois équations à trois inconnues aa, bb et cc.


2. Déterminer les trois réels aa, bb et cc.


3. En utilisant ce modèle, déterminer les plages horaires pour lesquelles l’attente peut être inférieure à dix minutes.
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90
DEVOIR MAISON
[Calculer, Représenter.]
D’après bac S, Amérique du Nord, 2015
On donne les matrices M=(111111421)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 1\end{array}\right) et I=(100010001)\mathrm{I}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)

Partie A

1. Calculer la matrice M2\mathrm{M}^{2}.


On donne M3=(2010111229422021)\mathrm{M}^{3}=\left(\begin{array}{ccc}20 & 10 & 11 \\ 12 & 2 & 9 \\ 42 & 20 & 21\end{array}\right).

2. Vérifier que M3=M2+8M+6I\mathrm{M}^{3}=\mathrm{M}^{2}+8 \mathrm{M}+6 \mathrm{I}.


3. En déduire que M\text{M} est inversible et que :
M1=16(M2M8I)\mathrm{M}^{-1}=\dfrac{1}{6}\left(\mathrm{M}^{2}-\mathrm{M}-8 \mathrm{I}\right).


Partie B

On cherche à déterminer trois nombres entiers aa, bb et cc tels que la parabole d’équation y=ax2+bx+cy=a x^{2}+b x+c passe par les points A(1;1)\mathrm{A}(1\,; 1), B(1;1)\mathrm{B}(-1\,;-1) et C(2;5)\mathrm{C}(2\,; 5).

1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers aa, bb et cc tels que M(abc)=(115)\mathrm{M}\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 5\end{array}\right).


2. Calculer les nombres aa, bb et cc et vérifier que ces nombres sont des entiers.



Histoire des maths

La méthode dite « du pivot de Gauss » ou « élimination de Gauss‑Jordan » pour des systèmes d’équations linéaires était d’usage courant bien avant ces deux mathématiciens du XIXe siècle. Mais Gauss en fera une méthode puissante utile aux calculs astronomiques et géodésiques. C’est avec le développement du calcul matriciel (milieu XXe siècle), qu’on attribuera à Gauss cette méthode d’inversion d’une matrice.

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91
[Calculer, Raisonner.]
Diagonalisation et puissance de matrices
On considère les matrices A=(1232)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 2\end{array}\right) et P=(1213)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right).

1. Justifier que P\text{P} est inversible et calculer son inverse.


2. Calculer le produit D=P1×A×P\mathrm{D}=\mathrm{P}^{-1} \times \mathrm{A} \times \mathrm{P}.


3. En déduire que A=P×D×P1\mathrm{A}=\mathrm{P} \times \mathrm{D} \times \mathrm{P}^{-1}.


4. a. Pour tout entier naturel non nul nn, conjecturer une expression de Dn\mathrm{D}^{n}.


b. Démontrer cette conjecture par récurrence.


5. Exprimer alors An\mathrm{A}^{n} en fonction de nn.
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92
[Calculer, Raisonner.]
Diagonalisation et puissance de matrices
On considère les matrices A=(021320221)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{array}\right) et P=(142133122)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 2 \end{array}\right).

1. Déterminer l’inverse de P\text{P}.


2. Calculer le produit D=P1×A×P\mathrm{D}=\mathrm{P}^{-1} \times \mathrm{A} \times \mathrm{P}.


3. En déduire que A=P×D×P1\mathrm{A}=\mathrm{P} \times \mathrm{D} \times \mathrm{P}^{-1}.


4. a. Pour tout entier naturel non nul nn, conjecturer une expression de Dn\mathrm{D}^{n}.


b. Démontrer cette conjecture par récurrence.


5. Exprimer alors An\mathrm{A}^{n} en fonction de nn.
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93
[Calculer, Raisonner.]
Soient nn un entier naturel supérieur ou égal à 22 et A\text{A} la matrice carrée de taille nn, formée de 00 sur la diagonale et de 11 partout ailleurs.

1. Calculer A2\mathrm{A}^{2} et exprimer le résultat en fonction de A\text{A}, de In\mathrm{I}_{n} et de nn.


2. En déduire que A\text{A} est inversible et en déduire A1\mathrm{A}^{-1}.
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94
[Calculer, Chercher.]
Matrices et changement de repère

Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé direct (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}).

Partie A : Changement de repère et translation

Soient aa et bb deux nombres réels.

1. Calculer l’image O\mathrm{O}^{\prime} de O\mathrm{O} par la translation de vecteur t=(ab)\overrightarrow{t}=\left(\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right).


2. Déterminer l’image I\mathrm{I}^{\prime} du point I(1;0)\mathrm{I}(1\,; 0) par la translation de vecteur t\overrightarrow{t} , puis l’image J\mathrm{J}^{\prime} du point J(0;1)\mathrm{J}(0\,; 1) par cette même translation.


3. Démontrer que (O;OI,OJ)\left(\mathrm{O}^{\prime}\,; \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{I}^{\prime}}\,, \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{J}^{\prime}}\right) définit un repère orthonormé direct du plan.


4. On considère deux nombres réels xx et yy et le point M\text{M}, dont les coordonnées dans le repère (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}) sont données par M(x;y)\mathrm{M}(x\,; y).
Déterminer les coordonnées de M\text{M} dans le repère (O;OI,OJ)\left(\mathrm{O}^{\prime}\,; \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{I}^{\prime}}\,, \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{J}^{\prime}}\right).


5. Inversement, on considère deux nombres réels xx^{\prime} et yy^{\prime} et le point M\mathrm{M}^{\prime} dont les coordonnées dans le repère (O;OI,OJ)\left(\mathrm{O}^{\prime}\,; \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{I}^{\prime}}\,, \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{J}^{\prime}}\right) sont données par M(x;y)\mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right).
Déterminer les coordonnées de M\mathrm{M}^{\prime} dans le repère (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}).


Partie B : Changement de repère (cas général)

Dans cette partie, on considère quatre nombres réels aa, bb, cc et dd. On note T\text{T} la matrice (abcd)\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right).

1. Calculer l’image O\mathrm{O}^{\prime} de O\mathrm{O} par cette transformation.


2. Calculer de même l’image I\mathrm{I}^{\prime} et J\mathrm{J}^{\prime} des points I(1;0)\mathrm{I}(1\,; 0) et J(0;1)\mathrm{J}(0\,; 1).


3. a. À quelle condition sur aa, bb, cc et dd le triplet (O;OI,OJ)\left(\mathrm{O}^{\prime}\,; \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{I}^{\prime}}\,, \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{J}^{\prime}}\right) définit‑il un repère du plan ?


b. Que signifie cette condition pour la matrice T\text{T} ?


4. On suppose dans la suite que la condition de la question 3. est vérifiée.
a. Soit M\text{M} un point du plan dont les coordonnées dans le repère (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}) sont M(x;y)\mathrm{M}(x\,; y).
Calculer les coordonnées de M\mathrm{M} dans le repère (O;OT,OJ)\left(\mathrm{O}^{\prime}\,; \overrightarrow{\mathrm{OT}^{\prime}}\,, \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{J}^{\prime}}\right) en fonction de xx et de yy.


b. Inversement, si on note (x;y)\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right) les coordonnées de M\text{M} dans le repère (O;OI,OJ)\left(\mathrm{O}^{\prime}\,; \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{I}^{\prime}}\,, \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{J}^{\prime}}\right), par quelle matrice doit‑on multiplier (xy)\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right) pour obtenir les coordonnées de M\mathrm{M} dans le repère (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}) ?
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95
[Chercher, Raisonner.]
Racine carrée de matrice

Partie A : Étude de quelques exemples

1. Dans cette question, on note A\text{A} la matrice (26702151)\left(\begin{array}{ll} -26 & 70 \\ -21 & 51 \end{array}\right) et on considère la matrice B=(21039)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} -2 & 10 \\ -3 & 9 \end{array}\right).
a. Montrer que B2=A\mathrm{B}^{2}=\mathrm{A}.
On dit que B\text{B} est une racine carrée de A\text{A}.


b. Montrer que (38702139)\left(\begin{array}{ll} -38 & 70 \\ -21 & 39 \end{array}\right), (38702139)\left(\begin{array}{ll} 38 & -70 \\ 21 & -39 \end{array}\right) et (21039)\left(\begin{array}{ll} 2 & -10 \\ 3 & -9 \end{array}\right) sont également des racines carrées de A\text{A}.


2. Justifier que (1001)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) et (2312)\left(\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{array}\right) sont des racines carrées de I2\mathrm{I}_{2}.


Partie B : Cas d’une matrice diagonale

Dans cette partie, on considère deux réels xx et yy positifs et distincts et on note D=(x00y)\mathrm{D}=\left(\begin{array}{ll} x & 0 \\ 0 & y \end{array}\right).

1. Montrer que (x00y)\left(\begin{array}{cc} \sqrt{x} & 0 \\ 0 & \sqrt{y} \end{array}\right) est une racine carrée de la matrice D\text{D}.


2. On cherche à déterminer les autres racines carrées de D\text{D}.
On suppose donc qu’il existe une matrice R=(abcd)\mathrm{R}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) telle que R2=D\mathrm{R}^{2}=\mathrm{D}.

a. Montrer que déterminer R\text{R} revient à résoudre le système d’équations {a2+bc=xb(a+d)=0c(a+d)=0cb+d2=y\left\{\begin{array}{l} a^{2}+b c & = & x \\ b(a+d) & = & 0 \\ c(a+d) & = & 0 \\ c b+d^{2} & = & y \end{array}\right..


b. On souhaite montrer que bb et cc sont nuls.
On raisonne par l’absurde en supposant que bb ou cc est non nul. Justifier qu’on a alors a=da = -d puis aboutir à une contradiction.


c. Conclure sur l’expression des racines carrées de la matrice D\text{D}.


d. Que se passe‑t‑il si on ne suppose pas les réels xx et yy distincts ? (On pourra considérer les matrices (1211)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{array}\right) et (3003)\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right).)


Partie C : Cas d’une matrice diagonalisable

Soient C\text{C} une matrice d’ordre nn admettant une racine carrée R\text{R} et P\text{P} une matrice carrée d’ordre nn inversible.

1. Montrer que PRP1\mathrm{PRP}^{-1} est une racine carrée de la matrice PCP1\mathrm{PCP}^{-1}.


2. On note dans la suite la matrice C=(21501534)\mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc} -21 & 50 \\ -15 & 34 \end{array}\right).

a. Soit P\text{P} la matrice (2513)\left(\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}\right).
Justifier que P\text{P} est inversible et calculer P1\mathrm{P}^{-1}.


b. Montrer que C=P(4009)P1\mathrm{C}=\mathrm{P}\left(\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}\right) \mathrm{P}^{-1}.


c. Déterminer les racines carrées de la matrice (4009)\left(\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}\right).


d. En déduire les racines carrées de la matrice C\text{C}.
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96
[Chercher, Modéliser.]
D’après bac S, Centres étrangers, 2017

L’arbre de Stern-Brocot a été découvert séparément par le mathématicien allemand Moritz Abraham Stern (1858) et par Achille Brocot (1861), horloger français qui l’a utilisé pour concevoir des systèmes d’engrenages avec un rapport entre rouages proche d’une valeur souhaitée.
Cet exercice aborde la méthode avec des matrices carrées.
On considère les deux matrices G=(1011)\mathrm{G}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right) et D=(1101).\mathrm{D}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right).

arbre 1 - Exercice 96

On construit à partir d’une matrice initiale un arbre descendant de la façon suivante : de chaque matrice carrée M\text{M} de l’arbre partent deux nouvelles branches vers les deux autres matrices M×G\mathrm{M} \times \mathrm{G} (à gauche) et M×D\mathrm{M} \times \mathrm{D} (à droite). Ces deux nouvelles matrices sont appelées les matrices filles de M\text{M}.
Dans la méthode considérée, on prend comme matrice initiale la matrice I=(1001)\mathrm{I}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right).

1. Déterminer les deux matrices manquantes A\text{A} et B\text{B} dans la troisième ligne de l’arbre de Stern‑Brocot ci‑dessous.
arbre 2 - Exercice 96



Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour toute matrice M=(acbd)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right), de l’arbre de Stern‑Brocot, les nombres aa, bb, cc et dd sont des entiers vérifiant : b+d0b+d \neq 0.

2. On associe à une matrice M=(acbd)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right) de l’arbre de Stern‑Brocot la fraction a+cb+d\dfrac{a+c}{b+d}. Montrer que, dans cette association, le trajet « gauche - droite - gauche », à partir de la matrice initiale dans l’arbre, aboutit à une matrice correspondant à la fraction 35\dfrac{3}{5}.


3. Soit M=(acbd)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right) une matrice de l’arbre.
On rappelle que aa, bb, cc et dd sont des entiers.
On note ΔM=adbc\Delta_{\mathrm{M}}=a d-b c, la différence des produits diagonaux de cette matrice.

a. Montrer que si adbc=1a d-b c=1, alors d(a+c)c(b+d)=1d(a + c) - c(b + d) = 1.


b. En déduire que si M=(acbd)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right) est une matrice de l’arbre de Stern-Brocot telle que ΔM=adbc=1\Delta_{\mathrm{M}}=a d-b c=1, alors ΔM×G=1\Delta_{\mathrm{M} \times \mathrm{G}}=1, c’est‑à‑dire que la différence des produits diagonaux de la matrice M×G\mathrm{M} \times \mathrm{G} est aussi égale à 11.
On admet de même que ΔM×D=1\Delta_{\mathrm{M} \times \mathrm{D}}=1, et que toutes les autres matrices N\text{N} de l’arbre de Stern-Brocot vérifient l’égalité ΔN=1\Delta_{\mathrm{N}}=1.


4. Déduire de la question précédente que toute fraction associée à une matrice de l’arbre de Stern‑Brocot est irréductible.


5. Soit mm et nn deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Ainsi, la fraction mn\dfrac{m}{n} est irréductible. On considère l’algorithme suivant.

Tant que (mn)(m \neq n) faire :
 Si (m(m < n)n) :
  Afficher « Gauche »
  nnmn \leftarrow n-m
 Sinon :
  Afficher « Droite »
  mmnm \leftarrow m-n
 Fin Si
Fin Tant que


a. Recopier et compléter le tableau suivant.
Indiquer ce qu’affiche l’algorithme lorsqu’on le fait fonctionner avec les valeurs m=4m = 4 et n=7n = 7.

Affichage
m\boldsymbol{m} 44
n\boldsymbol{n} 77


b. Conjecturer le rôle de cet algorithme. Vérifier à l’aide d’un calcul matriciel le résultat obtenu avec les valeurs m=4m = 4 et n=7n = 7.
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97
[Chercher, Calculer.]
Partie A : Permutations d’un ensemble à trois éléments

Soit E\text{E} l’ensemble {1;2;3}\{1\,; 2\,; 3\}. On s’intéresse dans cet exercice aux permutations de l’ensemble E\text{E}.

1. (123312)\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) est la permutation définie par 131 \mapsto 3, 212 \mapsto 1 et 323 \mapsto 2.
Déterminer les 5 autres permutations de l’ensemble E\text{E}.


2. La signature d’une permutation σ\sigma est le nombre, noté ε(σ)\varepsilon(\sigma), défini par :
ε(σ)=σ(1)σ(2)12×σ(1)σ(3)13×σ(2)σ(3)23\varepsilon(\sigma)=\dfrac{\sigma(1)-\sigma(2)}{1-2} \times \dfrac{\sigma(1)-\sigma(3)}{1-3} \times \dfrac{\sigma(2)-\sigma(3)}{2-3}.
Calculer la signature de chacune des permutations précédentes.


Partie B : Déterminant d’une matrice 3×3\mathbf{3 \times 3}

Considérons la matrice M=(abcdefghi)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{lll} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right).
Le déterminant de la matrice M\text{M}, noté det(M)\operatorname{det}(\mathrm{M}) ou encore abcdefghi\left|\begin{array}{lll} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right| , est le nombre défini par :
det(M)=k=16ε(σk)×aσk(1),1×aσk(2),2×aσk(3),3\operatorname{det}(\mathrm{M})=\mathop{\sum}\limits_{k=1}^6 \varepsilon\left(\sigma_{k}\right) \times a_{\sigma_{k}(1), 1} \times a_{\sigma_{k}(2), 2} \times a_{\sigma_{k}(3), 3}

σ1,,σ6\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{6} désignent les permutations de la Partie A.

1. a. Montrer que :
det(M)=aei+bfg+cdhafhbdiceg\operatorname{det}(\mathrm{M})=a e i+b f g+c d h-a f h-b d i-c e g .



b. Calculer le déterminant des matrices A=(536247008)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} 5 & -3 & -6 \\ 2 & -4 & 7 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right) et B=(153247462)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{array}\right).


c. Soient xx, yy et zz des nombres réels.
Montrer que 1xx21yy21zz2=(zy)(zx)(yx)\left|\begin{array}{lll} 1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2} \end{array}\right|=(z-y)(z-x)(y-x).


2. a. Vérifier que :
det(M)=a×efhib×dfgi+c×degh\operatorname{det}(\mathrm{M})=a \times\left|\begin{array}{ll} e & f \\ h & i \end{array}\right|-b \times\left|\begin{array}{ll} d & f \\ g & i \end{array}\right|+c \times\left|\begin{array}{ll} d & e \\ g & h \end{array}\right|

efhi\left|\begin{array}{ll} e & f \\ h & i \end{array}\right| désigne le déterminant de (efhi)\left(\begin{array}{ll} e & f \\ h & i \end{array}\right).


b. Montrer que abc0de00f=a×d×f\left|\begin{array}{lll} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{array}\right|=a \times d \times f.
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98
[Modéliser, Calculer.]
Soit ff une fonction définie, pour tout réel xx, par f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d, où aa, bb, cc et dd désignent des nombres réels avec a0a \neq 0. On a représenté ci‑dessous la courbe représentative Cf\mathcal{C}_{f} de la fonction ff dans un repère (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}).

Courbe - Exercice 98

Les points A(5;6)\mathrm{A}(-5\,; 6), B(1;3)\mathrm{B}(-1\,; 3), C(2;4)\mathrm{C}(2\,; 4) et D(5;2)\mathrm{D}(5\,;-2) appartiennent à Cf\mathcal{C}_{f}.

1. Traduire les données de l’énoncé sous la forme d’un système (S)\text{(S)} de quatre équations à quatre inconnues aa, bb, cc et dd.


2. Déterminer les matrices M\text{M}, X\text{X} et P\text{P} telles que le système (S)\text{(S)} s’écrit sous la forme M×X=P\mathrm{M} \times \mathrm{X}=\mathrm{P}.


3. On admet que la matrice M\text{M} est inversible.
À l’aide de la calculatrice, déterminer M1\mathrm{M}^{-1}.


4. En déduire les réels aa, bb, cc et dd solutions du système (S)\text{(S)}.
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99
APPROFONDISSEMENT

Dans tout l’exercice, on suppose que les graphes sont connexes et non orientés.

Partie A : Cas d’une chaîne eulérienne

Une chaîne eulérienne est une chaîne qui passe par toutes les arêtes du graphe une et une seule fois.
Le théorème d’Euler affirme qu’une telle chaîne existe si, et seulement si, tous les sommets du graphe sont de degré pair sauf éventuellement deux. Dans ce cas, les extrémités de la chaîne sont ces sommets.
On souhaite démontrer la condition nécessaire de ce théorème. Supposons que le graphe admette une chaîne eulérienne.

1. Expliquer pourquoi tous les sommets sont d’ordre pair, sauf éventuellement le premier et le dernier de la chaîne.


2. On se place dans le cas où les extrémités sont confondues. Considérons un sommet S\text{S} par lequel la chaîne est passée kk fois (kN)(k \in \mathbb{N}). Quel est le degré de S\text{S} ?


3. On se place à présent dans le cas où les extrémités ne sont pas confondues. Quel est le degré d’une extrémité par lequel la chaîne est passée kk fois (kN)(k \in \mathbb{N}) ?


4. Conclure.


Partie B : Cas d’un cycle eulérien

Un cycle est une chaîne dont les sommets de départ et d’arrivée sont confondus.
Un cycle eulérien est un cycle qui passe par toutes les arêtes du graphe une et une seule fois.
Le théorème d’Euler affirme qu’un tel cycle existe si, et seulement si, tous les sommets du graphe sont de degré pair. On dit alors que le graphe est eulérien.

Démontrer ce théorème.


Partie C : Algorithme de détermination d’un cycle ou d’une chaîne eulérienne

Pour construire une chaîne eulérienne, on utilise l’algorithme suivant.

Si il y a exactement deux sommets de degré impair
Alors on construit une chaîne quelconque joignant ces deux sommets
Sinon on construit un cycle à partir de n’importe quel sommet
Fin Si
Tant que toutes les arêtes n’ont pas été parcourues
Si toutes les arêtes ont été parcourues
  Alors la chaîne (respectivement le cycle) est eulérienne (respectivement eulérien)
  Sinon on insère dans cette chaîne (respectivement ce cycle) un cycle ayant pour origine l’un des sommets déjà utilisés et ne contenant pas d’arête déjà parcourue ni deux fois la même arête
Fin Si
Fin Tant que
Déterminer si chacun des graphes ci-dessous admet un cycle eulérien et le déterminer.

a.
Partie C - Graphe a - Exercice 99



b.
Partie C - Graphe b - Exercice 99



c.
Partie C - Graphe c - Exercice 99



d.
Partie C - Graphe d - Exercice 99



Partie D : Application

Dans un plan de lutte contre la pollution urbaine, une municipalité a décidé de développer un réseau de navettes, mis en place entre des parkings situés aux abords de la ville et les principaux sites de la ville.
Le graphe ci‑dessous indique les liaisons entre ces différents sites.

Partie D - Graphe - Exercice 99
1. Peut‑on envisager un itinéraire qui relierait le parking P\text{P} à la gare G\text{G} en desservant une et une seule fois tous les sites ?


2. Peut‑on envisager un itinéraire qui emprunterait une et une seule fois toutes les voies ?
Voir les réponses

100
COLORATION DE GRAPHE

Partie A : Étude du problème

Colorier un graphe, c’est affecter une couleur à chaque sommet, de sorte que deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur.
Le nombre chromatique, noté γ\gamma, est le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour colorier un graphe.
Considérons un graphe G\mathcal{G}.
Un sous‑graphe de G\mathcal{G} est un graphe G\mathcal{G}^{\prime} composé de certains sommets de G\mathcal{G} et de toutes les arêtes reliant ces sommets.
Notons mm l’ordre du plus grand des sous-graphes complets de G\mathcal{G} et Δ\Delta le plus grand degré des sommets de G\mathcal{G}. Alors mγΔ+1m \leqslant \gamma \leqslant \Delta+1.
Prouver cette inégalité.


Partie B : Algorithme de Welsh-Powell

Pour colorier un graphe, on utilise l’algorithme suivant.
  • Étape 1 : Lister les sommets par ordre de degré décroissant.
  • Étape 2 : Attribuer une couleur C1\text{C}_1 au premier sommet de la liste.
  • Étape 3 : Attribuer cette même couleur à tous les sommets qui ne sont pas adjacents avec le premier sommet de la liste et qui ne sont pas adjacents entre eux.
  • Étape 4 : Répéter les étapes 2 et 3 tant que tous les sommets ne sont pas coloriés. Répéter les étapes 2 et 3 tant que tous les sommets ne sont pas coloriés.

Colorier le graphe ci‑dessous à l’aide de cet algorithme.

Graphe - Exercice 100

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

Partie C : Application

Camille est éducatrice de chiens : elle donne des leçons de dressage le samedi après‑midi.
Neuf chiots sont présents : Aéro, Banjo, Carrousel, Dirka, Erald, Farore, Gipsy, Hyacinthe et Igor.
Camille souhaite réaliser des exercices d’apprentissage par petits groupes de deux ou trois chiens.
Farore ne pense qu’à jouer si elle est trop proche de Banjo, Carousel ou Erald.
De même, Dirka est très distraite si Banjo ou Farore sont à proximité !
Igor ne supporte pas le caractère trop fougueux de Gipsy.
Enfin, le turbulent Aéro ne supporte la présence d’aucun autre chiot, sauf Erald et Hyacinthe.

1. Représenter cette situation à l’aide d’un graphe G\mathcal{G}, dont les sommets sont les noms des chiots et relier entre eux les chiots que l’on ne peut pas mettre ensemble pour ce travail de groupe.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Le graphe G\mathcal{G} est‑il connexe ? Justifier.


3. a. Déterminer un sous‑graphe complet d’ordre maximal du graphe G\mathcal{G}.


b. Que peut‑on en déduire pour le nombre chromatique du graphe G\mathcal{G} ?


4. Donner la valeur du nombre chromatique du graphe G\mathcal{G}.


5. Peut‑on proposer une répartition des chiots en groupes de deux à trois chiots pouvant travailler ensemble ?
Voir les réponses

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Spécialité
à  ,  et  à   p. 238

Le Grand Oral

Entraînez-vous au Grand Oral et enregistrez-vous sur LLS.fr/GrandOralMaths


Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d’appui à des questions de Grand Oral.
Voici un exemple, basé sur l’enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.


Les matrices ont des applications en cryptographie, en théorie des graphes mais aussi en géométrie. Il existe également des liens entre les matrices et les représentations paramétriques de droites, vues en enseignement de spécialité mathématiques.

1. Soit (d)(d) une droite de l’espace dirigée par le vecteur u(a;b;c)\overrightarrow{u}(a\,; b\,; c), avec aa, bb et cc des réels, et passant par le point A(xA;yA;zA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\,; y_{\mathrm{A}}\,; z_{\mathrm{A}}\right). Donner une représentation paramétrique de cette droite, puis justifier qu’on peut écrire cette représentation paramétrique sous la forme (xyz)=At+(xAyAzA)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=\mathrm{A} t+\left(\begin{array}{l} x_{A} \\ y_{A} \\ z_{A} \end{array}\right), où tt est un nombre réel et A\mathrm{A} est une matrice colonne à déterminer.


2. On se place maintenant dans le plan et on s’intéresse à la représentation paramétrique d’une droite de vecteur directeur u(a;b)\overrightarrow{u}(a\,; b) et passant par l’origine du repère.
Rappeler quelle transformation du plan représente la matrice (0110)\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right), puis calculer (0110)(ab)\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right).
Quel résultat du cours d’enseignement de spécialité mathématiques retrouve‑t‑on ?


Méthodologie
Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 244
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