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Synthèse
P.200-205




Synthèse





88
[Calculer, Modéliser.]
D’après bac ES, Polynésie, juin 2015
Un constructeur de planches de surf fabrique trois modèles. La conception de chaque modèle nécessite le passage par trois postes de travail.
Le tableau 1 indique le nombre d’heures nécessaires par modèle et par poste pour réaliser les planches et le tableau 2 indique le coût horaire par poste de travail.

Tableau 1 Poste 1 Poste 2 Poste 3
Modèle 1 8 h 10 h 14 h
Modèle 2 6 h 6 h 10 h
Modèle 3 12 h 10 h 18 h

Tableau 2
Poste 1 25 €/h
Poste 2 20 €/h
Poste 3 15 €/h

1. Soient et les deux matrices suivantes :
et .

a. Donner la matrice produit .


b. Que représentent les coefficients de la matrice  ?


2. Après une étude de marché, le fabricant souhaite que les prix de revient par modèle soient les suivants :
  • modèle 1 : 500 € ;
  • modèle 2 : 350 € ;
  • modèle 3 : 650 €.

Il cherche à déterminer les nouveaux coûts horaires par poste, notés , et , permettant d’obtenir ces prix de revient.

a. Montrer que les réels , et doivent être solutions du système .


b. Déterminer les réels , et .



Histoire des maths

Le terme de matrice pour désigner un tableau de nombres est introduit par James Sylvester en 1850.
Il est repris par Arthur Cayley qui en donne une première théorie, mais dans le cadre de problèmes géométriques très spécifiques. Il faudra attendre les années 1920‑1930 pour qu’elle devienne une théorie intégratrice et l’un des fondements de ce qu’on appelle aujourd’hui l’algèbre linéaire.



89
APPROFONDISSEMENT
[Modéliser, Représenter.]
D’après bac ES, Métropole, septembre 2016

Afin d’améliorer la qualité de ses services, un parc a réalisé une étude statistique pour relever la durée moyenne d’attente, en minute, à la billetterie en fonction de l’heure.
Cette mesure a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant.

fonction f - Exercice 89


Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d’attente.
On souhaite modéliser cette durée d’attente par une fonction qui, à l’heure, associe la durée d’attente en minute. Ainsi, il sera possible d’avoir une estimation de la durée d’attente.
On choisit de modéliser cette situation à l’aide de la fonction définie par , où , et sont des réels avec tels que les trois points , et appartiennent à la représentation graphique de .

1. Traduire les données de l’énoncé sous la forme d’un système de trois équations à trois inconnues , et .


2. Déterminer les trois réels , et .


3. En utilisant ce modèle, déterminer les plages horaires pour lesquelles l’attente peut être inférieure à dix minutes.

90
DEVOIR MAISON
[Calculer, Représenter.]
D’après bac S, Amérique du Nord, 2015
On donne les matrices et

Partie A

1. Calculer la matrice .


On donne .

2. Vérifier que .


3. En déduire que est inversible et que :
.


Partie B

On cherche à déterminer trois nombres entiers , et tels que la parabole d’équation passe par les points , et .

1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers , et tels que .


2. Calculer les nombres , et et vérifier que ces nombres sont des entiers.



Histoire des maths

La méthode dite « du pivot de Gauss » ou « élimination de Gauss‑Jordan » pour des systèmes d’équations linéaires était d’usage courant bien avant ces deux mathématiciens du XIXe siècle. Mais Gauss en fera une méthode puissante utile aux calculs astronomiques et géodésiques. C’est avec le développement du calcul matriciel (milieu XXe siècle), qu’on attribuera à Gauss cette méthode d’inversion d’une matrice.


91
[Calculer, Raisonner.]
Diagonalisation et puissance de matrices
On considère les matrices et .

1. Justifier que est inversible et calculer son inverse.


2. Calculer le produit .


3. En déduire que .


4. a. Pour tout entier naturel non nul , conjecturer une expression de .


b. Démontrer cette conjecture par récurrence.


5. Exprimer alors en fonction de .

92
[Calculer, Raisonner.]
Diagonalisation et puissance de matrices
On considère les matrices et .

1. Déterminer l’inverse de .


2. Calculer le produit .


3. En déduire que .


4. a. Pour tout entier naturel non nul , conjecturer une expression de .


b. Démontrer cette conjecture par récurrence.


5. Exprimer alors en fonction de .

93
[Calculer, Raisonner.]
Soient un entier naturel supérieur ou égal à et la matrice carrée de taille , formée de sur la diagonale et de partout ailleurs.

1. Calculer et exprimer le résultat en fonction de , de et de .


2. En déduire que est inversible et en déduire .

94
[Calculer, Chercher.]
Matrices et changement de repère

Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé direct .

Partie A : Changement de repère et translation

Soient et deux nombres réels.

1. Calculer l’image de par la translation de vecteur .


2. Déterminer l’image du point par la translation de vecteur , puis l’image du point par cette même translation.


3. Démontrer que définit un repère orthonormé direct du plan.


4. On considère deux nombres réels et et le point , dont les coordonnées dans le repère sont données par .
Déterminer les coordonnées de dans le repère .


5. Inversement, on considère deux nombres réels et et le point dont les coordonnées dans le repère sont données par .
Déterminer les coordonnées de dans le repère .


Partie B : Changement de repère (cas général)

Dans cette partie, on considère quatre nombres réels , , et . On note la matrice .

1. Calculer l’image de par cette transformation.


2. Calculer de même l’image et des points et .


3. a. À quelle condition sur , , et le triplet définit‑il un repère du plan ?


b. Que signifie cette condition pour la matrice  ?


4. On suppose dans la suite que la condition de la question 3. est vérifiée.
a. Soit un point du plan dont les coordonnées dans le repère sont .
Calculer les coordonnées de dans le repère en fonction de et de .


b. Inversement, si on note les coordonnées de dans le repère , par quelle matrice doit‑on multiplier pour obtenir les coordonnées de dans le repère  ?

95
[Chercher, Raisonner.]
Racine carrée de matrice

Partie A : Étude de quelques exemples

1. Dans cette question, on note la matrice et on considère la matrice .
a. Montrer que .
On dit que est une racine carrée de .


b. Montrer que , et sont également des racines carrées de .


2. Justifier que et sont des racines carrées de .


Partie B : Cas d’une matrice diagonale

Dans cette partie, on considère deux réels et positifs et distincts et on note .

1. Montrer que est une racine carrée de la matrice .


2. On cherche à déterminer les autres racines carrées de .
On suppose donc qu’il existe une matrice telle que .

a. Montrer que déterminer revient à résoudre le système d’équations .


b. On souhaite montrer que et sont nuls.
On raisonne par l’absurde en supposant que ou est non nul. Justifier qu’on a alors puis aboutir à une contradiction.


c. Conclure sur l’expression des racines carrées de la matrice .


d. Que se passe‑t‑il si on ne suppose pas les réels et distincts ? (On pourra considérer les matrices et .)


Partie C : Cas d’une matrice diagonalisable

Soient une matrice d’ordre admettant une racine carrée et une matrice carrée d’ordre inversible.

1. Montrer que est une racine carrée de la matrice .


2. On note dans la suite la matrice .

a. Soit la matrice .
Justifier que est inversible et calculer .


b. Montrer que .


c. Déterminer les racines carrées de la matrice .


d. En déduire les racines carrées de la matrice .

96
[Chercher, Modéliser.]
D’après bac S, Centres étrangers, 2017

L’arbre de Stern-Brocot a été découvert séparément par le mathématicien allemand Moritz Abraham Stern (1858) et par Achille Brocot (1861), horloger français qui l’a utilisé pour concevoir des systèmes d’engrenages avec un rapport entre rouages proche d’une valeur souhaitée.
Cet exercice aborde la méthode avec des matrices carrées.
On considère les deux matrices et

arbre 1 - Exercice 96

On construit à partir d’une matrice initiale un arbre descendant de la façon suivante : de chaque matrice carrée de l’arbre partent deux nouvelles branches vers les deux autres matrices (à gauche) et (à droite). Ces deux nouvelles matrices sont appelées les matrices filles de .
Dans la méthode considérée, on prend comme matrice initiale la matrice .

1. Déterminer les deux matrices manquantes et dans la troisième ligne de l’arbre de Stern‑Brocot ci‑dessous.
arbre 2 - Exercice 96



Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour toute matrice , de l’arbre de Stern‑Brocot, les nombres , , et sont des entiers vérifiant : .

2. On associe à une matrice de l’arbre de Stern‑Brocot la fraction . Montrer que, dans cette association, le trajet « gauche - droite - gauche », à partir de la matrice initiale dans l’arbre, aboutit à une matrice correspondant à la fraction .


3. Soit une matrice de l’arbre.
On rappelle que , , et sont des entiers.
On note , la différence des produits diagonaux de cette matrice.

a. Montrer que si , alors .


b. En déduire que si est une matrice de l’arbre de Stern-Brocot telle que , alors , c’est‑à‑dire que la différence des produits diagonaux de la matrice est aussi égale à .
On admet de même que , et que toutes les autres matrices de l’arbre de Stern-Brocot vérifient l’égalité .


4. Déduire de la question précédente que toute fraction associée à une matrice de l’arbre de Stern‑Brocot est irréductible.


5. Soit et deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Ainsi, la fraction est irréductible. On considère l’algorithme suivant.

Tant que faire :
 Si < :
  Afficher « Gauche »
  
 Sinon :
  Afficher « Droite »
  
 Fin Si
Fin Tant que


a. Recopier et compléter le tableau suivant.
Indiquer ce qu’affiche l’algorithme lorsqu’on le fait fonctionner avec les valeurs et .

Affichage


b. Conjecturer le rôle de cet algorithme. Vérifier à l’aide d’un calcul matriciel le résultat obtenu avec les valeurs et .

97
[Chercher, Calculer.]
Partie A : Permutations d’un ensemble à trois éléments

Soit l’ensemble . On s’intéresse dans cet exercice aux permutations de l’ensemble .

1. est la permutation définie par , et .
Déterminer les 5 autres permutations de l’ensemble .


2. La signature d’une permutation est le nombre, noté , défini par :
.
Calculer la signature de chacune des permutations précédentes.


Partie B : Déterminant d’une matrice

Considérons la matrice .
Le déterminant de la matrice , noté ou encore , est le nombre défini par :

désignent les permutations de la Partie A.

1. a. Montrer que :
.



b. Calculer le déterminant des matrices et .


c. Soient , et des nombres réels.
Montrer que