Exercices de synthèse

Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d'attente.
On souhaite modéliser cette durée d'attente par une fonction qui, à l'heure, associe la durée d'attente en minute. Ainsi, il sera possible d'avoir une estimation de la durée d'attente.
On choisit de modéliser cette situation à l'aide de la fonction f définie par f(x)=a x^{2}+b x+c, où a, b et c sont des réels avec a \neq 0 tels que les trois points (9\,; 9), (11\,; 20) et (16\,; 2) appartiennent à la représentation graphique de f.

1. Traduire les données de l'énoncé sous la forme d'un système de trois équations à trois inconnues a, b et c.

2. Déterminer les trois réels a, b et c.

3. En utilisant ce modèle, déterminer les plages horaires pour lesquelles l'attente peut être inférieure à dix minutes.

Partie A

1. Calculer la matrice \mathrm{M}^{2}.

On donne \mathrm{M}^{3}=\left(\begin{array}{ccc}20 & 10 & 11 \\ 12 & 2 & 9 \\ 42 & 20 & 21\end{array}\right). 2. Vérifier que \mathrm{M}^{3}=\mathrm{M}^{2}+8 \mathrm{M}+6 \mathrm{I}.

3. En déduire que \text{M} est inversible et que :

\mathrm{M}^{-1}=\frac{1}{6}\left(\mathrm{M}^{2}-\mathrm{M}-8 \mathrm{I}\right).

Partie B

On cherche à déterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole d'équation y=a x^{2}+b x+c passe par les points \mathrm{A}(1\,; 1), \mathrm{B}(-1\,;-1) et \mathrm{C}(2\,; 5). 1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers a, b et c tels que \mathrm{M}\left(\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 5\end{array}\right).

2. Calculer les nombres a, b et c et vérifier que ces nombres sont des entiers.

Partie A : Changement de repère et translation

Soient a et b deux nombres réels.
1. Calculer l'image \mathrm{O}^{\prime} de \mathrm{O} par la translation de vecteur \overrightarrow{t}=\left(\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right).

2. Déterminer l'image \mathrm{I}^{\prime} du point \mathrm{I}(1\,; 0) par la translation de vecteur \overrightarrow{t} , puis l'image \mathrm{J}^{\prime} du point \mathrm{J}(0\,; 1) par cette même translation.

3. Démontrer que \left(\mathrm{O}^{\prime}\,; \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{I}^{\prime}}\,, \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{J}^{\prime}}\right) définit un repère orthonormé direct du plan.

4. On considère deux nombres réels x et y et le point \text{M}, dont les coordonnées dans le repère (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}) sont données par \mathrm{M}(x\,; y).
Déterminer les coordonnées de \text{M} dans le repère \left(\mathrm{O}^{\prime}\,; \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{I}^{\prime}}\,, \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{J}^{\prime}}\right).

5. Inversement, on considère deux nombres réels x^{\prime} et y^{\prime} et le point \mathrm{M}^{\prime} dont les coordonnées dans le repère \left(\mathrm{O}^{\prime}\,; \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{I}^{\prime}}\,, \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{J}^{\prime}}\right) sont données par \mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right).
Déterminer les coordonnées de \mathrm{M}^{\prime} dans le repère (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}).

Partie B : Changement de repère (cas général)

Dans cette partie, on considère quatre nombres réels a, b, c et d. On note \text{T} la matrice \left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right).

1. Calculer l'image \mathrm{O}^{\prime} de \mathrm{O} par cette transformation.

2. Calculer de même l'image \mathrm{I}^{\prime} et \mathrm{J}^{\prime} des points \mathrm{I}(1\,; 0) et \mathrm{J}(0\,; 1).

3. a. À quelle condition sur a, b, c et d le triplet \left(\mathrm{O}^{\prime}\,; \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{I}^{\prime}}\,, \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{J}^{\prime}}\right) définit‑il un repère du plan ?

b. Que signifie cette condition pour la matrice \text{T} ?

4. On suppose dans la suite que la condition de la question 3. est vérifiée.
a. Soit \text{M} un point du plan dont les coordonnées dans le repère (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}) sont \mathrm{M}(x\,; y).
Calculer les coordonnées de \mathrm{M} dans le repère \left(\mathrm{O}^{\prime}\,; \overrightarrow{\mathrm{OT}^{\prime}}\,, \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{J}^{\prime}}\right) en fonction de x et de y.

b. Inversement, si on note \left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right) les coordonnées de \text{M} dans le repère \left(\mathrm{O}^{\prime}\,; \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{I}^{\prime}}\,, \overrightarrow{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{J}^{\prime}}\right), par quelle matrice doit‑on multiplier \left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right) pour obtenir les coordonnées de \mathrm{M} dans le repère (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}) ?

1. Dans cette question, on note \text{A} la matrice \left(\begin{array}{ll} -26 & 70 \\ -21 & 51 \end{array}\right) et on considère la matrice \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} -2 & 10 \\ -3 & 9 \end{array}\right).
a. Montrer que \mathrm{B}^{2}=\mathrm{A}.
On dit que \text{B} est une racine carrée de \text{A}.

b. Montrer que \left(\begin{array}{ll} -38 & 70 \\ -21 & 39 \end{array}\right), \left(\begin{array}{ll} 38 & -70 \\ 21 & -39 \end{array}\right) et \left(\begin{array}{ll} 2 & -10 \\ 3 & -9 \end{array}\right) sont également des racines carrées de \text{A}.

2. Justifier que \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) et \left(\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{array}\right) sont des racines carrées de \mathrm{I}_{2}.

1. Montrer que \left(\begin{array}{cc} \sqrt{x} & 0 \\ 0 & \sqrt{y} \end{array}\right) est une racine carrée de la matrice \text{D}.

2. On cherche à déterminer les autres racines carrées de \text{D}.
On suppose donc qu'il existe une matrice \mathrm{R}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) telle que \mathrm{R}^{2}=\mathrm{D}.

a. Montrer que déterminer \text{R} revient à résoudre le système d'équations \left\{\begin{array}{l} a^{2}+b c & = & x \\ b(a+d) & = & 0 \\ c(a+d) & = & 0 \\ c b+d^{2} & = & y \end{array}\right..

b. On souhaite montrer que b et c sont nuls.
On raisonne par l'absurde en supposant que b ou c est non nul. Justifier qu'on a alors a = -d puis aboutir à une contradiction.

c. Conclure sur l'expression des racines carrées de la matrice \text{D}.

d. Que se passe‑t‑il si on ne suppose pas les réels x et y distincts ? (On pourra considérer les matrices \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{array}\right) et \left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right).)

1. Montrer que \mathrm{PRP}^{-1} est une racine carrée de la matrice \mathrm{PCP}^{-1}.

2. On note dans la suite la matrice \mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc} -21 & 50 \\ -15 & 34 \end{array}\right).

a. Soit \text{P} la matrice \left(\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}\right).
Justifier que \text{P} est inversible et calculer \mathrm{P}^{-1}.

b. Montrer que \mathrm{C}=\mathrm{P}\left(\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}\right) \mathrm{P}^{-1}.

c. Déterminer les racines carrées de la matrice \left(\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}\right).

d. En déduire les racines carrées de la matrice \text{C}.

Cet exercice aborde la méthode avec des matrices carrées.
On considère les deux matrices \mathrm{G}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right) et \mathrm{D}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right).

1. Déterminer les deux matrices manquantes \text{A} et \text{B} dans la troisième ligne de l'arbre de Stern‑Brocot ci‑dessous.

Dans la suite de l'exercice, on admet que, pour toute matrice \mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right), de l'arbre de Stern‑Brocot, les nombres a, b, c et d sont des entiers vérifiant : b+d \neq 0.

2. On associe à une matrice \mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right) de l'arbre de Stern‑Brocot la fraction \frac{a+c}{b+d}. Montrer que, dans cette association, le trajet « gauche - droite - gauche », à partir de la matrice initiale dans l'arbre, aboutit à une matrice correspondant à la fraction \frac{3}{5}.

3. Soit \mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right) une matrice de l'arbre.
On rappelle que a, b, c et d sont des entiers.
On note \Delta_{\mathrm{M}}=a d-b c, la différence des produits diagonaux de cette matrice.

a. Montrer que si a d-b c=1, alors d(a + c) - c(b + d) = 1.

b. En déduire que si \mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right) est une matrice de l'arbre de Stern-Brocot telle que \Delta_{\mathrm{M}}=a d-b c=1, alors \Delta_{\mathrm{M} \times \mathrm{G}}=1, c'est‑à‑dire que la différence des produits diagonaux de la matrice \mathrm{M} \times \mathrm{G} est aussi égale à 1.
On admet de même que \Delta_{\mathrm{M} \times \mathrm{D}}=1, et que toutes les autres matrices \text{N} de l'arbre de Stern-Brocot vérifient l'égalité \Delta_{\mathrm{N}}=1.

4. Déduire de la question précédente que toute fraction associée à une matrice de l'arbre de Stern‑Brocot est irréductible.

5. Soit m et n deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Ainsi, la fraction \frac{m}{n} est irréductible. On considère l'algorithme suivant.

a. Compléter le tableau suivant.
Indiquer ce qu'affiche l'algorithme lorsqu'on le fait fonctionner avec les valeurs m = 4 et n = 7.



b. Conjecturer le rôle de cet algorithme. Vérifier à l'aide d'un calcul matriciel le résultat obtenu avec les valeurs m = 4 et n = 7.

Partie A : Permutations d'un ensemble à trois éléments

Soit \text{E} l'ensemble \{1\,; 2\,; 3\}. On s'intéresse dans cet exercice aux permutations de l'ensemble \text{E}.

1. \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) est la permutation définie par 1 \mapsto 3, 2 \mapsto 1 et 3 \mapsto 2.
Déterminer les 5 autres permutations de l'ensemble \text{E}.

2. La signature d'une permutation \sigma est le nombre, noté \varepsilon(\sigma), défini par :

\varepsilon(\sigma)=\frac{\sigma(1)-\sigma(2)}{1-2} \times \frac{\sigma(1)-\sigma(3)}{1-3} \times \frac{\sigma(2)-\sigma(3)}{2-3}.

Calculer la signature de chacune des permutations précédentes.

Partie B : Déterminant d'une matrice \mathbf{3 \times 3}

Considérons la matrice \mathrm{M}=\left(\begin{array}{lll} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right).
Le déterminant de la matrice \text{M}, noté \operatorname{det}(\mathrm{M}) ou encore \left|\begin{array}{lll} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right| , est le nombre défini par :

où \sigma_{1}, \ldots, \sigma_{6} désignent les permutations de la Partie A.

1. a. Montrer que :

\operatorname{det}(\mathrm{M})=a e i+b f g+c d h-a f h-b d i-c e g .

b. Calculer le déterminant des matrices \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} 5 & -3 & -6 \\ 2 & -4 & 7 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{array}\right).

c. Soient x, y et z des nombres réels.
Montrer que \left|\begin{array}{lll} 1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2} \end{array}\right|=(z-y)(z-x)(y-x).

2. a. Vérifier que :

\operatorname{det}(\mathrm{M})=a \times\left|\begin{array}{ll} e & f \\ h & i \end{array}\right|-b \times\left|\begin{array}{ll} d & f \\ g & i \end{array}\right|+c \times\left|\begin{array}{ll} d & e \\ g & h \end{array}\right|

où \left|\begin{array}{ll} e & f \\ h & i \end{array}\right| désigne le déterminant de \left(\begin{array}{ll} e & f \\ h & i \end{array}\right).

b. Montrer que \left|\begin{array}{lll} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end{array}\right|=a \times d \times f.

1. Traduire les données de l'énoncé sous la forme d'un système \text{(S)} de quatre équations à quatre inconnues a, b, c et d.

2. Déterminer les matrices \text{M}, \text{X} et \text{P} telles que le système \text{(S)} s'écrit sous la forme \mathrm{M} \times \mathrm{X}=\mathrm{P}.

3. On admet que la matrice \text{M} est inversible.
À l'aide de la calculatrice, déterminer \mathrm{M}^{-1}.

4. En déduire les réels a, b, c et d solutions du système \text{(S)}.

1. Expliquer pourquoi tous les sommets sont d'ordre pair, sauf éventuellement le premier et le dernier de la chaîne.

2. On se place dans le cas où les extrémités sont confondues. Considérons un sommet \text{S} par lequel la chaîne est passée k fois (k \in \mathbb{N}). Quel est le degré de \text{S} ?

3. On se place à présent dans le cas où les extrémités ne sont pas confondues. Quel est le degré d'une extrémité par lequel la chaîne est passée k fois (k \in \mathbb{N}) ?

4. Conclure.

a.

b.

c.

d.

1. Peut‑on envisager un itinéraire qui relierait le parking \text{P} à la gare \text{G} en desservant une et une seule fois tous les sites ?

2. Peut‑on envisager un itinéraire qui emprunterait une et une seule fois toutes les voies ?

Partie A : Étude du problème

Colorier un graphe, c'est affecter une couleur à chaque sommet, de sorte que deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur.
Le nombre chromatique, noté \gamma, est le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour colorier un graphe.
Considérons un graphe \mathcal{G}.
Un sous‑graphe de \mathcal{G} est un graphe \mathcal{G}^{\prime} composé de certains sommets de \mathcal{G} et de toutes les arêtes reliant ces sommets.
Notons m l'ordre du plus grand des sous-graphes complets de \mathcal{G} et \Delta le plus grand degré des sommets de \mathcal{G}. Alors m \leqslant \gamma \leqslant \Delta+1.
Prouver cette inégalité.

Partie B : Algorithme de Welsh-Powell

Pour colorier un graphe, on utilise l'algorithme suivant.

• Étape 1 : Lister les sommets par ordre de degré décroissant.
• Étape 2 : Attribuer une couleur \text{C}_1 au premier sommet de la liste.
• Étape 3 : Attribuer cette même couleur à tous les sommets qui ne sont pas adjacents avec le premier sommet de la liste et qui ne sont pas adjacents entre eux.
• Étape 4 : Répéter les étapes 2 et 3 tant que tous les sommets ne sont pas coloriés. Répéter les étapes 2 et 3 tant que tous les sommets ne sont pas coloriés.

Colorier le graphe ci‑dessous à l'aide de cet algorithme.

Partie C : Application

Camille est éducatrice de chiens : elle donne des leçons de dressage le samedi après‑midi.
Neuf chiots sont présents : Aéro, Banjo, Carrousel, Dirka, Erald, Farore, Gipsy, Hyacinthe et Igor.
Camille souhaite réaliser des exercices d'apprentissage par petits groupes de deux ou trois chiens.
Farore ne pense qu'à jouer si elle est trop proche de Banjo, Carousel ou Erald.
De même, Dirka est très distraite si Banjo ou Farore sont à proximité !
Igor ne supporte pas le caractère trop fougueux de Gipsy.
Enfin, le turbulent Aéro ne supporte la présence d'aucun autre chiot, sauf Erald et Hyacinthe.

1. Représenter cette situation à l'aide d'un graphe \mathcal{G}, dont les sommets sont les noms des chiots et relier entre eux les chiots que l'on ne peut pas mettre ensemble pour ce travail de groupe.

2. Le graphe \mathcal{G} est‑il connexe ? Justifier.

3. a. Déterminer un sous‑graphe complet d'ordre maximal du graphe \mathcal{G}.

b. Que peut‑on en déduire pour le nombre chromatique du graphe \mathcal{G} ?

4. Donner la valeur du nombre chromatique du graphe \mathcal{G}.

5. Peut‑on proposer une répartition des chiots en groupes de deux à trois chiots pouvant travailler ensemble ?