Exercices de synthèse

Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d'attente.
On souhaite modéliser cette durée d'attente par une fonction qui, à l'heure, associe la durée d'attente en minute. Ainsi, il sera possible d'avoir une estimation de la durée d'attente.
On choisit de modéliser cette situation à l'aide de la fonction $f$ définie par $f(x)=a{x}^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\ne 0$ tels que les trois points $(9;9)$, $(11;20)$ et $(16;2)$ appartiennent à la représentation graphique de $f$.

1. Traduire les données de l'énoncé sous la forme d'un système de trois équations à trois inconnues $a$, $b$ et $c$.

2. Déterminer les trois réels $a$, $b$ et $c$.

3. En utilisant ce modèle, déterminer les plages horaires pour lesquelles l'attente peut être inférieure à dix minutes.

Partie A

1. Calculer la matrice ${\mathrm{M}}^2$.

On donne ${\mathrm{M}}^3=\left(\begin{array}{ccc}20& 10& 11\\ 12& 2& 9\\ 42& 20& 21\end{array}\right)$. 2. Vérifier que ${\mathrm{M}}^3={\mathrm{M}}^2+8\mathrm{M}+6\mathrm{I}$.

3. En déduire que $\text{M}$ est inversible et que :

${\mathrm{M}}^{-1}=\frac{1}{6}\left({\mathrm{M}}^2-\mathrm{M}-8\mathrm{I}\right)$.

Partie B

On cherche à déterminer trois nombres entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y=a{x}^2+bx+c$ passe par les points $\mathrm{A}(1;1)$, $\mathrm{B}(-1;-1)$ et $\mathrm{C}(2;5)$. 1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que $\mathrm{M}\left(\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 5\end{array}\right)$.

2. Calculer les nombres $a$, $b$ et $c$ et vérifier que ces nombres sont des entiers.

Partie A : Changement de repère et translation

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
1. Calculer l'image ${\mathrm{O}}^{\prime }$ de $\mathrm{O}$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{t}=\left(\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right)$.

2. Déterminer l'image ${\mathrm{I}}^{\prime }$ du point $\mathrm{I}(1;0)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{t}$ , puis l'image ${\mathrm{J}}^{\prime }$ du point $\mathrm{J}(0;1)$ par cette même translation.

3. Démontrer que $\left({\mathrm{O}}^{\prime };\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{I}}^{\prime }},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{J}}^{\prime }}\right)$ définit un repère orthonormé direct du plan.

4. On considère deux nombres réels $x$ et $y$ et le point $\text{M}$, dont les coordonnées dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ sont données par $\mathrm{M}(x;y)$.
Déterminer les coordonnées de $\text{M}$ dans le repère $\left({\mathrm{O}}^{\prime };\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{I}}^{\prime }},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{J}}^{\prime }}\right)$.

5. Inversement, on considère deux nombres réels $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ et le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ dont les coordonnées dans le repère $\left({\mathrm{O}}^{\prime };\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{I}}^{\prime }},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{J}}^{\prime }}\right)$ sont données par ${\mathrm{M}}^{\prime }\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$.
Déterminer les coordonnées de ${\mathrm{M}}^{\prime }$ dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

Partie B : Changement de repère (cas général)

Dans cette partie, on considère quatre nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$. On note $\text{T}$ la matrice $\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$.

1. Calculer l'image ${\mathrm{O}}^{\prime }$ de $\mathrm{O}$ par cette transformation.

2. Calculer de même l'image ${\mathrm{I}}^{\prime }$ et ${\mathrm{J}}^{\prime }$ des points $\mathrm{I}(1;0)$ et $\mathrm{J}(0;1)$.

3. a. À quelle condition sur $a$, $b$, $c$ et $d$ le triplet $\left({\mathrm{O}}^{\prime };\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{I}}^{\prime }},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{J}}^{\prime }}\right)$ définit‑il un repère du plan ?

b. Que signifie cette condition pour la matrice $\text{T}$ ?

4. On suppose dans la suite que la condition de la question 3. est vérifiée.
a. Soit $\text{M}$ un point du plan dont les coordonnées dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ sont $\mathrm{M}(x;y)$.
Calculer les coordonnées de $\mathrm{M}$ dans le repère $\left({\mathrm{O}}^{\prime };\overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{T}}^{\prime }},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{J}}^{\prime }}\right)$ en fonction de $x$ et de $y$.

b. Inversement, si on note $\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ les coordonnées de $\text{M}$ dans le repère $\left({\mathrm{O}}^{\prime };\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{I}}^{\prime }},\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{J}}^{\prime }}\right)$, par quelle matrice doit‑on multiplier $\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$ pour obtenir les coordonnées de $\mathrm{M}$ dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ ?

1. Dans cette question, on note $\text{A}$ la matrice $\left(\begin{array}{ll}-26& 70\\ -21& 51\end{array}\right)$ et on considère la matrice $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc}-2& 10\\ -3& 9\end{array}\right)$.
a. Montrer que ${\mathrm{B}}^2=\mathrm{A}$.
On dit que $\text{B}$ est une racine carrée de $\text{A}$.

b. Montrer que $\left(\begin{array}{ll}-38& 70\\ -21& 39\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ll}38& -70\\ 21& -39\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}2& -10\\ 3& -9\end{array}\right)$ sont également des racines carrées de $\text{A}$.

2. Justifier que $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -2\end{array}\right)$ sont des racines carrées de ${\mathrm{I}}_2$.

1. Montrer que $\left(\begin{array}{cc}\sqrt{x}& 0\\ 0& \sqrt{y}\end{array}\right)$ est une racine carrée de la matrice $\text{D}$.

2. On cherche à déterminer les autres racines carrées de $\text{D}$.
On suppose donc qu'il existe une matrice $\mathrm{R}=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ telle que ${\mathrm{R}}^2=\mathrm{D}$.

a. Montrer que déterminer $\text{R}$ revient à résoudre le système d'équations $\{\begin{array}{lcc}{a}^2+bc& =& x\\ b(a+d)& =& 0\\ c(a+d)& =& 0\\ cb+d^2& =& y\end{array}$.

b. On souhaite montrer que $b$ et $c$ sont nuls.
On raisonne par l'absurde en supposant que $b$ ou $c$ est non nul. Justifier qu'on a alors $a=-d$ puis aboutir à une contradiction.

c. Conclure sur l'expression des racines carrées de la matrice $\text{D}$.

d. Que se passe‑t‑il si on ne suppose pas les réels $x$ et $y$ distincts ? (On pourra considérer les matrices $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$.)

1. Montrer que ${\mathrm{P}\mathrm{R}\mathrm{P}}^{-1}$ est une racine carrée de la matrice ${\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{P}}^{-1}$.

2. On note dans la suite la matrice $\mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc}-21& 50\\ -15& 34\end{array}\right)$.

a. Soit $\text{P}$ la matrice $\left(\begin{array}{ll}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)$.
Justifier que $\text{P}$ est inversible et calculer ${\mathrm{P}}^{-1}$.

b. Montrer que $\mathrm{C}=\mathrm{P}\left(\begin{array}{ll}4& 0\\ 0& 9\end{array}\right){\mathrm{P}}^{-1}$.

c. Déterminer les racines carrées de la matrice $\left(\begin{array}{ll}4& 0\\ 0& 9\end{array}\right)$.

d. En déduire les racines carrées de la matrice $\text{C}$.

Cet exercice aborde la méthode avec des matrices carrées.
On considère les deux matrices $\mathrm{G}=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ et $\mathrm{D}=\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$

1. Déterminer les deux matrices manquantes $\text{A}$ et $\text{B}$ dans la troisième ligne de l'arbre de Stern‑Brocot ci‑dessous.

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Débloquer

Dans la suite de l'exercice, on admet que, pour toute matrice $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)$, de l'arbre de Stern‑Brocot, les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des entiers vérifiant : $b+d\ne 0$.

2. On associe à une matrice $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)$ de l'arbre de Stern‑Brocot la fraction $\frac{a+c}{b+d}$. Montrer que, dans cette association, le trajet « gauche - droite - gauche », à partir de la matrice initiale dans l'arbre, aboutit à une matrice correspondant à la fraction $\frac{3}{5}$.

3. Soit $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)$ une matrice de l'arbre.
On rappelle que $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des entiers.
On note ${\Delta }_{\mathrm{M}}=ad-bc$, la différence des produits diagonaux de cette matrice.

a. Montrer que si $ad-bc=1$, alors $d(a+c)-c(b+d)=1$.

b. En déduire que si $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}a& c\\ b& d\end{array}\right)$ est une matrice de l'arbre de Stern-Brocot telle que ${\Delta }_{\mathrm{M}}=ad-bc=1$, alors ${\Delta }_{\mathrm{M}\times \mathrm{G}}=1$, c'est‑à‑dire que la différence des produits diagonaux de la matrice $\mathrm{M}\times \mathrm{G}$ est aussi égale à $1$.
On admet de même que ${\Delta }_{\mathrm{M}\times \mathrm{D}}=1$, et que toutes les autres matrices $\text{N}$ de l'arbre de Stern-Brocot vérifient l'égalité ${\Delta }_{\mathrm{N}}=1$.

4. Déduire de la question précédente que toute fraction associée à une matrice de l'arbre de Stern‑Brocot est irréductible.

5. Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Ainsi, la fraction $\frac{m}{n}$ est irréductible. On considère l'algorithme suivant.

a. Compléter le tableau suivant.
Indiquer ce qu'affiche l'algorithme lorsqu'on le fait fonctionner avec les valeurs $m=4$ et $n=7$.



b. Conjecturer le rôle de cet algorithme. Vérifier à l'aide d'un calcul matriciel le résultat obtenu avec les valeurs $m=4$ et $n=7$.

Partie A : Permutations d'un ensemble à trois éléments

Soit $\text{E}$ l'ensemble $\{1;2;3\}$. On s'intéresse dans cet exercice aux permutations de l'ensemble $\text{E}$.

1. $\left(\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$ est la permutation définie par $1\mapsto 3$, $2\mapsto 1$ et $3\mapsto 2$.
Déterminer les 5 autres permutations de l'ensemble $\text{E}$.

2. La signature d'une permutation $\sigma$ est le nombre, noté $\epsilon (\sigma )$, défini par :

$\epsilon (\sigma )=\frac{\sigma (1)-\sigma (2)}{1-2}\times \frac{\sigma (1)-\sigma (3)}{1-3}\times \frac{\sigma (2)-\sigma (3)}{2-3}$.

Calculer la signature de chacune des permutations précédentes.

Partie B : Déterminant d'une matrice $3\times 3$

Considérons la matrice $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{lll}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$.
Le déterminant de la matrice $\text{M}$, noté $\det (\mathrm{M})$ ou encore $\left|\begin{array}{lll}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|$ , est le nombre défini par :

où ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_6$ désignent les permutations de la Partie A.

1. a. Montrer que :

$\det (\mathrm{M})=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg$ .

b. Calculer le déterminant des matrices $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}5& -3& -6\\ 2& -4& 7\\ 0& 0& 8\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll}1& 5& 3\\ 2& 4& 7\\ 4& 6& 2\end{array}\right)$.

c. Soient $x$, $y$ et $z$ des nombres réels.
Montrer que $\left|\begin{array}{lll}1& x& x^2\\ 1& y& y^2\\ 1& z& z^2\end{array}\right|=(z-y)(z-x)(y-x)$.

2. a. Vérifier que :

$\det (\mathrm{M})=a\times \left|\begin{array}{ll}e& f\\ h& i\end{array}\right|-b\times \left|\begin{array}{ll}d& f\\ g& i\end{array}\right|+c\times \left|\begin{array}{ll}d& e\\ g& h\end{array}\right|$

où $\left|\begin{array}{ll}e& f\\ h& i\end{array}\right|$ désigne le déterminant de $\left(\begin{array}{ll}e& f\\ h& i\end{array}\right)$.