Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

3. Application du calcul matriciel aux graphes
P.197-199

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

Entraînement


3
Application du calcul matriciel aux graphes





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 44 ; 48 ; 51 ; 55 ; 71 ; 76 et 86
◉◉ Parcours 2 : exercices 47 ; 50 ; 54 ; 57 ; 75 ; 81 et 83
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 53 ; 62 ; 63 ; 65 ; 73 et 84

78
FLASH

Déterminer la valeur des entiers , , et pour que la matrice corresponde à la matrice d’adjacence du graphe ci‑dessous en classant les sommets dans l’ordre alphabétique.

Graphe - Exercice 78

Voir les réponses

79
FLASH

On considère un graphe dont la matrice d’adjacence est obtenue en classant les sommets dans l’ordre croissant.

1. Déterminer le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets 2 et 3.


2. Déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 reliant les sommets 2 et 3.
Voir les réponses

80
[Calculer.]
On considère un graphe dont la matrice d’adjacence, obtenue en rangeant les sommets dans l’ordre croissant, est notée .
On donne .

Déterminer le nombre de chemins de longueur 6 reliant le sommet 2 au sommet 3.
Voir les réponses

81
[Représenter.] ◉◉
D’après bac ES, Métropole, juin 2018
Un parcours sportif est composé d’un banc pour abdominaux , d’un mur d’escalade , d’une poutre d’équilibre , d’un tunnel et d’une échelle suspendue . Le graphe ci‑dessous indique les différents parcours envisageables.

Graphe - Exercice 81

1. Est‑il possible de suivre un parcours en passant par toutes les étapes ?


2. Déterminer la matrice d’adjacence de ce graphe où les sommets sont classés dans l’ordre alphabétique.


3. Déterminer puis en déduire le nombre de chemins de longueur 3 reliant à .


4. Le responsable souhaite ajouter une barre de traction notée . De nouveaux sentiers sont construits et de nouveaux parcours sont alors possibles. La matrice d’adjacence , associée au graphe représentant les nouveaux parcours, dans laquelle les sommets sont classés par ordre alphabétique est :

Compléter le graphe précédent en ajoutant les arêtes nécessaires pour que le graphe obtenu corresponde à la matrice .
Voir les réponses

82
[Représenter.]
D’après bac ES, Amérique du Nord, juin 2017
Le graphe ci-dessous représente les principaux sites touristiques de l’Islande.

Graphe - Exercice 82

: Le lagon bleu
: Rocher Hvitserkur
: Lac de Mývatn
: Chute d’eau de Dettifoss
: Geyser de Geysir
: Massif du Landmannalaugar
: Capitale Reykjavik
: Ville de Vik
: Lagune glacière de Jökulsárlón

1. Quel est l’ordre de ce graphe ? Justifier.


2. Ce graphe est‑il complet ? Justifier.


3. Ce graphe est‑il connexe ? Justifier.


4. Déterminer la matrice d’adjacence de ce graphe (les sommets seront classés dans l’ordre alphabétique).
Voir les réponses

83
[Chercher.] ◉◉
D’après bac ES, Asie, juin 2019
Une compagnie ferroviaire a représenté à l’aide d’un graphe les différentes liaisons assurées par ses trains. Les sommets du graphe sont les initiales des gares desservies et les arêtes correspondent aux trajets effectués par un train de cette compagnie entre deux gares.
Par exemple, l’arête entre et signifie qu’un train effectue la liaison entre les gares et , en partant de vers ou en partant de vers .

Graphe - Exercice 83

1. Le graphe est‑il complet ? Interpréter ce résultat dans le cadre de l’exercice.


2. On note la matrice d’adjacence du graphe ci‑dessus en classant les sommets par ordre alphabétique.
Déterminer .


3. La compagnie souhaite qu’un train partant de la gare effectue trois trajets avant d’arriver à la gare .
Déterminer le nombre de trajets possibles.
Voir les réponses

84
[Raisonner.] ◉◉◉
[DÉMO]

Soit la matrice d’adjacence d’un graphe d’ordre , dont les sommets sont numérotés de à et soit .
On souhaite démontrer par récurrence sur que le terme de la -ième ligne et de la -ième colonne de la matrice correspond au nombre de chaînes de longueur reliant le sommet au sommet .

1. Vérifier que la propriété est vraie au rang .


2. Soit un entier tel que le coefficient situé à la -ième ligne et à la -ième colonne de corresponde au nombre de chaînes de longueur reliant le sommet au sommet .
Notons et .

a. Pour tous entiers naturels et compris entre et , justifier que .


b. Interpréter et en termes de nombre de chaînes.


c. En déduire que est le nombre de chaînes de longueur reliant les sommets et .


3. Conclure.
Voir les réponses

85
[Représenter.]
Les différentes salles d’un château ont été nommées , , , , , , , et afin de permettre aux visiteurs de se repérer sur le plan.

Graphe - Exercice 85

1. Le graphe ci-dessus donne les parcours possibles d’un visiteur dans ce château.
Déterminer la matrice d’adjacence de ce graphe (les sommets seront classés dans l’ordre alphabétique).


2. On donne .

a. Combien y‑a‑t‑il de chaînes qui, en quatre étapes, partent de et reviennent à  ?


b. Combien y‑a‑t‑il de chaînes qui, en quatre étapes, partent de et arrivent à  ? Les citer.


c. Est‑il toujours possible de joindre en quatre étapes deux salles quelconques ? Justifier.
Voir les réponses

86
[Chercher.] ◉◉
D’après bac ES, Polynésie, juin 2018
Un journaliste britannique d’une revue consacrée à l’automobile doit tester les autoroutes françaises. Pour remplir sa mission, il décide de louer une voiture et de circuler entre six grandes villes françaises : Bordeaux , Lyon , Marseille , Nantes , Paris et Toulouse .
Le réseau autoroutier reliant ces six villes est modélisé par le graphe ci‑dessous sur lequel les sommets représentent les villes et les arêtes les liaisons autoroutières entre ces villes.

Graphe - Exercice 86

1. a. Quel est l’ordre du graphe ?


b. Le graphe est‑il complet ? Justifier la réponse.


2. On nomme la matrice d’adjacence du graphe (les villes étant classées dans l’ordre alphabétique).
On donne et .

a. Compléter la matrice d’adjacence .


b. Alors qu’il se trouve à Paris, le rédacteur en chef demande au journaliste d’être à Marseille exactement trois jours plus tard pour assister à une course automobile. Le journaliste décide chaque jour de s’arrêter dans une ville différente.
Déterminer le nombre de trajets possibles respectant ces conditions.
Voir les réponses

87
[Chercher.]
On considère le graphe ci‑dessous.
Déterminer le nombre de chaînes de longueur 4 reliant à .

Graphe - Exercice 87

Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.