Synthèse

131

[Calculer, Chercher.]
Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux points du plan complexe d’affixe respective $a=5+2\mathrm{i}$ et $b=8\mathrm{i}-1$.

1. Soit $\text{M}$ le point d’affixe $z=-2+(5+\sqrt{2})\mathrm{i}$.
$\text{M}$ appartient‑il au cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$ ?


2. Existe‑il des points appartenant au cercle $\mathcal{C}$ dont l’affixe est un imaginaire pur ?

132

VRAI / FAUX

[Communiquer, Raisonner.]
D’après bac S, Liban, juin 2010

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

1. Proposition 1 :
Soit le nombre complexe $z=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$.
Si l’entier naturel $n$ est un multiple de $3$, alors $z^n$ est un nombre réel.


2. Proposition 2 :
On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, le point $\text{A}$ d’affixe $a=2-\mathrm{i}$ et le point$\text{ B}$ d’affixe $b=\frac{1+\mathrm{i}}{2}a$.
Le triangle $\text{OAB}$ est rectangle isocèle.


3. Proposition 3 :
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on associe à tout point $\text{M}$ du plan d’affixe $z$ non nulle, le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ d’affixe $z^{\prime }$ telle que $z^{\prime }=\frac{-10}{\overline{z}}$, où $\bar{z}$ désigne le conjugué de $z$.
Il existe un point $\text{M}$ tel que $\text{O}$, $\text{M}$ et ${\mathrm{M}}^{\prime }$ ne sont pas alignés.

133

[Chercher, Communiquer.]
D’après bac S, Liban, mai 2018

1. Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes $1+\mathrm{i}$ et $1-\mathrm{i}$.


2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : ${\mathrm{S}}_n=(1+\mathrm{i}{)}^n+(1-\mathrm{i}{)}^n$.
a. Déterminer une forme trigonométrique de $\mathrm{S}$.


b. Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Affirmation A : Pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe ${\mathrm{S}}_n$ est un nombre réel.


Affirmation B : Il existe une infinité d’entiers naturels $n$ tels que ${\mathrm{S}}_n=0$.

134

[Chercher, Calculer.]
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n={\left(\frac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{1-\mathrm{i}}\right)}^n$.
En utilisant la formule de Moivre, déterminer une forme trigonométrique de $u_n$ en fonction de $n$.

135

[Calculer, Représenter.]
On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Tout point $\text{M}$ du plan distinct de $\text{O}$ admet pour affixe $z=r(\cos (\alpha )+\mathrm{i}\sin (\alpha ))$, où $r$ est un réel strictement positif et $\alpha$ est un réel. On dit que $\text{M}$ a pour coordonnées polaires $(r,\alpha )$ relativement au pôle $\text{O}$ et à l’axe polaire $(\mathbf{O};\overrightarrow{\mathbf{u}})$.

1. Que représentent géométriquement $r$ et $\alpha$ ?


2. a. Exprimer l’abscisse et l’ordonnée de $\text{M}$ en fonction de $r$ et de $\alpha$.


b. Soit $\text{M}$ le point de coordonnées polaires $\left(3,-\frac{31\pi }{4}\right)$.
Déterminer les coordonnées cartésiennes de $\text{M}$, puis l’affixe de $\text{M}$ sous forme algébrique.


c. Soit $\text{M}$ le point d’affixe $5{\mathrm{e}}^{\frac{7\mathrm{i}\pi }{3}}$.
Déterminer les coordonnées polaires de $\text{M}$.


3. Application :
Un sonar marin permet de détecter la position d’un objet à l’aide de coordonnées polaires et de la profondeur.
Voici une représentation graphique obtenue à l’aide d’un sonar en utilisant pour unité le kilomètre :


Le pôle est le point $\text{O}$ et l’axe polaire est l’axe porté par la demi-droite $[\mathrm{O}\mathrm{A})$.
Ainsi, le point $\text{C}$ a pour coordonnées polaires $\left(20,\frac{\pi }{6}\right)$.
On donne $(\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{D}})=-\frac{\pi }{3}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) et $\widehat{\mathrm{E}\mathrm{O}\mathrm{A}}=45^{\circ }$.
a. À l’aide des données précédentes, déterminer les coordonnées polaires des points de la figure distincts de $\text{O}$.


b. Reproduire la figure et placer le point $\text{F}$ de coordonnées polaires $\left(120,\frac{3\pi }{4}\right)$.

c. Soit $\text{G}$ le point d’affixe $40(-\sqrt{3}+\mathrm{i})$. Déterminer les coordonnées polaires de $\text{G}$ et le placer sur la figure.


d. Le commandement d’un sous‑marin repère une baleine située entre 60 km et 100 km avec un angle par rapport à l’axe polaire situé entre $\frac{2\pi }{3}$ et $\frac{5\pi }{6}$.
Colorier la zone de recherche.

136

DEVOIR MAISON

[Chercher, Raisonner.]
On définit la suite de nombres complexes $(z_n)$ par : $z_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=3\mathrm{i}{z}_n-1$.
On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Pour tout entier naturel $n$, on note ${\mathrm{M}}_n$ le point du plan d’affixe $z_n$.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(\mathrm{E}):z=3\mathrm{i}z-1$.
On note $\text{A}$ le point dont l’affixe est la solution de cette équation.


2. On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $(u_n)$ par $u_n=z_n+\frac{1}{10}+\frac{3}{10}\mathrm{i}$.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=3\mathrm{i}\times u_n$.


b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\left(\frac{1}{10}+\frac{3}{10}\mathrm{i}\right)\times 3^n\times {\mathrm{i}}^n$.


3. a. Démontrer que la distance ${\text{AM}}_n$ diverge vers $+\infty$.


b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $\text{A}$, ${\text{M}}_n$ et ${\mathrm{M}}_{n+2}$ sont alignés.


c. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les droites $\left({\mathrm{A}\mathrm{M}}_n\right)$ et $\left({\mathrm{A}\mathrm{M}}_{n+1}\right)$ sont perpendiculaires.

137

[Calculer, Raisonner.]
D’après bas S, Amérique du Nord, juin 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ d’unité graphique 2 cm. On réalisera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.
On considère les points $\mathrm{A}$ d’affixe $\mathrm{i}$, $\text{B}$ d’affixe $-2\mathrm{i}$ et $\text{D}$ d’affixe $1$.
On appelle $\text{E}$ le point tel que le triangle $\text{ADE}$ soit équilatéral direct, c’est‑à‑dire que $(\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}})=\frac{\pi }{3}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
Soit $f$ l’application qui, à tout point $\text{M}$ d’affixe $z\ne \mathrm{i}$, associe le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }$ définie par $z^{\prime }=\frac{2z-\mathrm{i}}{\mathrm{i}z+1}$.

1. Démontrer que le point $\text{E}$ a pour affixe : $z_{\mathrm{E}}=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(1+\mathrm{i})$.


2. Exprimer sous forme algébrique l’affixe du point ${\mathrm{D}}^{\prime }$ associé au point $\text{D}$ par l’application $f$.


3. a. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $\mathrm{i}$, $\left(z^{\prime }+2\mathrm{i}\right)(z-\mathrm{i})=1$.


b. En déduire que, pour tout point $\text{M}$ d’affixe $z\ne \mathrm{i}$, ${\mathrm{B}\mathrm{M}}^{\prime }\times \mathrm{A}\mathrm{M}=1$ et $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{{\mathrm{B}\mathrm{M}}^{\prime }})=-(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{M}})+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).


4. a. Démontrer que les points $\text{D}$ et $\text{E}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$ de centre $\text{A}$ et de rayon $\sqrt{2}$.


b. En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point ${\mathrm{E}}^{\prime }$ associé au point $\text{E}$ par l’application $f$.
On laissera apparents les traits de construction.


5. Quelle est la nature du triangle ${\mathrm{B}\mathrm{D}}^{\prime }{\mathrm{E}}^{\prime }$ ? Justifier.

138

[Chercher, Communiquer.]
D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2018

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
On considère les points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ distincts d’affixe respective $z_{\mathrm{A}}$, $z_{\mathrm{B}}$, $z_{\mathrm{C}}$ et $z_{\mathrm{D}}$ tels que : $\{\begin{array}{l}{z}_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{C}}=z_{\mathrm{B}}+z_{\mathrm{D}}\\ z_{\mathrm{A}}+\mathrm{i}{z}_{\mathrm{B}}=z_{\mathrm{C}}+\mathrm{i}{z}_{\mathrm{D}}\end{array}$.

Démontrer que le quadrilatère $\text{ABCD}$ est un carré.

139

[Raisonner, Représenter.]
D’après bac S, Pondichéry, avril 2012

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ d’unité 2 cm, on désigne par $\text{A}$ et $\text{B}$ les points d’affixe respective $1$ et $-1$.
Soit $f$ la transformation du plan qui, à tout point $\text{M}$ d’affixe $z\ne 1$, associe le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }$ tel que $z^{\prime }=\frac{1-z}{\overline{z}-1}$.

1. Soit $\text{C}$ le point d’affixe $z_{\mathrm{C}}=-2+\mathrm{i}$.
a. Calculer l’affixe $z_{{\mathrm{C}}^{\prime }}$ du point ${\mathrm{C}}^{\prime }$, image de $\text{C}$ par la transformation $f$, puis placer les points $\text{C}$ et ${\mathrm{C}}^{\prime }$ dans un repère.


b. Montrer que le point ${\mathrm{C}}^{\prime }$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre $\text{O}$ et de rayon $1$.


c. Montrer que les points $\text{A}$, $\text{C}$ et ${\mathrm{C}}^{\prime }$ sont alignés.


2. Déterminer et représenter sur la figure, l’ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point $\text{A}$ pour image par la transformation $f$.


3. Montrer que, pour tout point $\text{M}$ distinct de $\text{A}$, le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.


4. Montrer que, pour tout nombre complexe $z\ne 1$, $\frac{z^{\prime }-1}{z-1}$ est réel.
Que peut-on en déduire pour les points $\text{A}$,$\text{ M}$ et ${\mathrm{M}}^{\prime }$ ?


5. Placer un point $\text{D}$ et construire son image ${\mathrm{D}}^{\prime }$ par la transformation $f$ et ce, uniquement à la règle non graduée et au compas.

140

VRAI / FAUX

[Calculer, Communiquer.]
D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2019

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Dans ce qui suit, $z$ désigne un nombre complexe.
Pour chacune des affirmations ci‑dessous, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier.

1. L’équation $z-\mathrm{i}=\mathrm{i}(z+1)$ a pour solution $\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$.


2. Pour tout réel $x\in \left]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[$, le nombre complexe $1+{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}x}$ admet pour forme exponentielle $2\cos (x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}$.


3. Un point $\text{M}$ d’affixe $z$ tel que $|z-\mathrm{i}|=|z+1|$ appartient à la droite d’équation $y=-x$.


4. L’équation $z^5+z-\mathrm{i}+1=0$ admet une solution réelle.

141

[Calculer, Raisonner.]
On considère deux réels $p$ et $q$.

1. Déterminer une expression factorisée de ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}p}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}q}$ par ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{p+q}{2}}$.


Cette factorisation est appelée factorisation par l’angle moitié et les applications de cette factorisation sont multiples. On en donne quelques exemples dans les questions suivantes.

2. a. Déterminer une factorisation de $\cos (p)+\cos (q)$ et $\sin (p)+\sin (q)$.


b. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $\sin (2x)-\sin (6x)=0$.


3. On considère un réel $x$ distinct de $k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

a. Calculer, pour tout entier naturel $n$, $\sum _{p=0}^n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}px}$.


b. Démontrer que $\sum _{p=0}^n\cos (px)=\frac{\cos \left(\frac{nx}{2}\right)\sin \left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$.


c. Déterminer une égalité similaire pour $\sum _{p=0}^n\sin (px)$.

142

APPROFONDISSEMENT

Suite de nombres complexes
D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2018

On définit la suite de nombres complexes $(z_n)$ de la manière suivante : $z_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=\frac{1}{3}{z}_n+\frac{2}{3}\mathrm{i}$.
On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
Pour tout entier naturel $n$, on note ${\mathrm{A}}_n$ le point du plan d’affixe $z_n$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=z_n-\mathrm{i}$ et on note ${\mathrm{B}}_n$ le point d’affixe $u_n$.
On note enfin $\text{C}$ le point d’affixe $\text{i}$.

1. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.


2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n\times (1-\mathrm{i})$.


a. Pour tout entier naturel $n$, calculer, en fonction de $n$, le module de $u_n$.


b. Démontrer que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left|z_n-\mathrm{i}\right|=0$.


c. Quelle interprétation géométrique peut‑on donner de ce résultat ?


3. a. Soit $n$ un entier naturel.
Déterminer un argument de $u_n$.


b. Démontrer que, lorsque $n$ décrit l’ensemble des entiers naturels, les points ${\mathrm{B}}_n$ sont alignés.


c. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point ${\mathrm{A}}_n$ appartient à la droite d’équation $y=-x+1$.

143

APPROFONDISSEMENT

[Calculer, Représenter.]
Pentagone régulier

1. a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(\mathrm{E}):z^2+z-1=0$.


b. Déterminer une forme exponentielle des racines cinquièmes de l’unité. Quel polygone forment les points d’affixes les racines cinquièmes de l’unité ?


2. On note $\omega ={\mathrm{e}}^{\frac{2\mathrm{i}\pi }{5}}$.
Montrer que :
a. $1+\omega +{\omega }^2+{\omega }^3+{\omega }^4=0$


b. ${\omega }^3=\overline{{\omega }^2}$ et ${\omega }^4=\overline{\omega }$.


3. a. En déduire que $\omega +\overline{\omega }$ est solution de $(\mathrm{E})$.


b. Déterminer les valeurs exactes de $\cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)$ et $\sin \left(\frac{2\pi }{5}\right)$.


4. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On considère les points $\text{U}$ et $\text{V}$ d’affixe respective $1$ et $\text{i}$ et le point $\text{A}$ d’affixe $-\frac{1}{2}$.
Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $\text{A}$ et passant par $\text{V}$.
a. Déterminer l’affixe du point d’intersection de $\mathcal{C}$ et de la demi‑droite $[\mathrm{O}\mathrm{U})$.


b. En déduire une méthode de construction d’un pentagone régulier à la règle non graduée et au compas, puis effectuer cette construction.

144

APPROFONDISSEMENT

Transformée de Fourier Discrète
La transformée de Fourier discrète (TFD) est un outil mathématique permettant, entre autres, l’étude des signaux numériques.
La TFD d’une séquence de $n$ nombres complexes $\left(z_0;z_1;\dots ;z_{n-1}\right)$ est la donnée de la séquence de $n$ nombres complexes $\left({\mathrm{Z}}_0;{\mathrm{Z}}_1;\dots ;{\mathrm{Z}}_{n-1}\right)$ définis, pour tout entier $p$ compris entre $0$ et $n-1$, par ${\mathrm{Z}}_p=\sum _{k=0}^{n-1}{\mathrm{Z}}_k{\omega }^{-kp}$, où $\omega ={\mathrm{e}}^{\frac{2\mathrm{i}\pi }{n}}$.


1. Calculer la TFD de la séquence de nombres suivante $(0;1;1)$.


2. On admet que, pour tout entier naturel $p$ allant de $0$ à $n-1$, on a $z_p=\sum _{k=0}^{n-1}{\mathrm{Z}}_k{\omega }^{kp}$.
On parle de transformation inverse de Fourier discrète.
Calculer la transformée inverse de Fourier discrète de la séquence $(3;-5;\mathrm{i})$.

145

APPROFONDISSEMENT

[Calculer, Raisonner.]

[DÉMO]

Inégalité triangulaire

Partie A : Démonstration de l’inégalité triangulaire
Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes quelconques.
L’objectif de cet exercice est de démontrer l’inégalité triangulaire : $\left|z+z^{\prime }\right|⩽|z|+\left|z^{\prime }\right|$.

1. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, $z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)$ et que $\mathrm{Re}(z)⩽|z|$.


2. a. Montrer que ${\left|z+z^{\prime }\right|}^2=|z{|}^2+{\left|z^{\prime }\right|}^2+2\mathrm{Re}(z\times \overline{z^{\prime }})$.


b. Développer ${\left(|z|+\left|z^{\prime }\right|\right)}^2$.


3. Déduire des questions précédentes que : $\left|z+z^{\prime }\right|⩽|z|+\left|z^{\prime }\right|$.


Partie B : Cas d’égalité
L’objectif de la suite de l’exercice est de déterminer les cas d’égalité de l’inégalité triangulaire. On va donc déterminer à quelles conditions sur $z$ et $z^{\prime }$ on a l’égalité $\left|z+z^{\prime }\right|=|z|+\left|z^{\prime }\right|$.

1. Démontrer que l’égalité est vérifiée si $z=0$ ou $z^{\prime }=0$.


On suppose par la suite que $z\ne 0$ et $z^{\prime }\ne 0$.

2. Quelles conditions le nombre complexe $z$ doit‑il vérifier pour que $z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)=2|z|$ ?


3. a. Démontrer que $\left|z+z^{\prime }\right|=|z|+\left|z^{\prime }\right|$ si, et seulement si, il existe $\lambda \in {\mathbb{R}}^{+}$ tel que $z=\lambda \frac{z^{\prime }}{{\left|z^{\prime }\right|}^2}$.


b. On considère $\text{M}$ et ${\mathrm{M}}^{\prime }$ d’affixe respective $z$ et $z^{\prime }$.
Comment peut‑on interpréter géométriquement la condition d’égalité de l’inégalité triangulaire pour les points $\text{M}$ et ${\mathrm{M}}^{\prime }$ ?


Partie C : Applications
Soient $z_1$, $z_2$, …, $z_n$, $n$ nombres complexes.

1. Montrer que $\left|z_1+z_2+\dots +z_n\right|⩽\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\dots +\left|z_n\right|$.


2. En déduire que, pour tous nombres complexes $a$ et $b$, $|1+a|+|a+b|+|b|⩾1$.