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Synthèse
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131
[Calculer, Chercher.]
Soient et deux points du plan complexe d’affixe respective et .

1. Soit le point d’affixe .
appartient‑il au cercle de diamètre  ?


2. Existe‑il des points appartenant au cercle dont l’affixe est un imaginaire pur ?
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132
VRAI / FAUX
[Communiquer, Raisonner.]
D’après bac S, Liban, juin 2010

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

1. Proposition 1 :
Soit le nombre complexe .
Si l’entier naturel est un multiple de , alors est un nombre réel.


2. Proposition 2 :
On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct , le point d’affixe et le point d’affixe .
Le triangle est rectangle isocèle.


3. Proposition 3 :
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct , on associe à tout point du plan d’affixe non nulle, le point d’affixe telle que , où désigne le conjugué de .
Il existe un point tel que , et ne sont pas alignés.
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133
[Chercher, Communiquer.]
D’après bac S, Liban, mai 2018

1. Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes et .


2. Pour tout entier naturel , on pose : .
a. Déterminer une forme trigonométrique de .


b. Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Affirmation A : Pour tout entier naturel , le nombre complexe est un nombre réel.


Affirmation B : Il existe une infinité d’entiers naturels tels que .
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134
[Chercher, Calculer.]
Soit la suite définie sur par .
En utilisant la formule de Moivre, déterminer une forme trigonométrique de en fonction de .
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135
[Calculer, Représenter.]
On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé direct . Tout point du plan distinct de admet pour affixe , où est un réel strictement positif et est un réel. On dit que a pour coordonnées polaires relativement au pôle et à l’axe polaire .

1. Que représentent géométriquement et  ?


2. a. Exprimer l’abscisse et l’ordonnée de en fonction de et de .


b. Soit le point de coordonnées polaires .
Déterminer les coordonnées cartésiennes de , puis l’affixe de sous forme algébrique.


c. Soit le point d’affixe .
Déterminer les coordonnées polaires de .


3. Application :
Un sonar marin permet de détecter la position d’un objet à l’aide de coordonnées polaires et de la profondeur.
Voici une représentation graphique obtenue à l’aide d’un sonar en utilisant pour unité le kilomètre :

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 135

Le pôle est le point et l’axe polaire est l’axe porté par la demi-droite .
Ainsi, le point a pour coordonnées polaires .
On donne () et .
a. À l’aide des données précédentes, déterminer les coordonnées polaires des points de la figure distincts de .


b. Reproduire la figure et placer le point de coordonnées polaires .

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c. Soit le point d’affixe . Déterminer les coordonnées polaires de et le placer sur la figure.


d. Le commandement d’un sous‑marin repère une baleine située entre 60 km et 100 km avec un angle par rapport à l’axe polaire situé entre et .
Colorier la zone de recherche.
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136
DEVOIR MAISON
[Chercher, Raisonner.]
On définit la suite de nombres complexes par : et, pour tout entier naturel , .
On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct . Pour tout entier naturel , on note le point du plan d’affixe .

1. Résoudre dans l’équation .
On note le point dont l’affixe est la solution de cette équation.


2. On définit, pour tout entier naturel , la suite par .
a. Démontrer que, pour tout entier naturel , on a : .


b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .


3. a. Démontrer que la distance diverge vers .


b. Démontrer que, pour tout entier naturel , , et sont alignés.


c. Démontrer que, pour tout entier naturel , les droites et sont perpendiculaires.
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137
[Calculer, Raisonner.]
D’après bas S, Amérique du Nord, juin 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct d’unité graphique 2 cm. On réalisera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.
On considère les points d’affixe , d’affixe et d’affixe .
On appelle le point tel que le triangle soit équilatéral direct, c’est‑à‑dire que ().
Soit l’application qui, à tout point d’affixe , associe le point d'affixe définie par .

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1. Démontrer que le point a pour affixe : .


2. Exprimer sous forme algébrique l’affixe du point associé au point par l’application .


3. a. Démontrer que, pour tout nombre complexe différent de , .


b. En déduire que, pour tout point d’affixe , et ().


4. a. Démontrer que les points et appartiennent au cercle de centre et de rayon .


b. En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point associé au point par l’application .
On laissera apparents les traits de construction.


5. Quelle est la nature du triangle  ? Justifier.
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138
[Chercher, Communiquer.]
D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2018

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct .
On considère les points , , et distincts d’affixe respective , , et tels que : .

Démontrer que le quadrilatère est un carré.
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139
[Raisonner, Représenter.]
D’après bac S, Pondichéry, avril 2012

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct d’unité 2 cm, on désigne par et les points d’affixe respective et .
Soit la transformation du plan qui, à tout point d’affixe , associe le point d'affixe tel que .

1. Soit le point d’affixe .
a. Calculer l’affixe du point , image de par la transformation , puis placer les points et dans un repère.


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b. Montrer que le point appartient au cercle de centre et de rayon .


c. Montrer que les points , et sont alignés.


2. Déterminer et représenter sur la figure, l’ensemble des points du plan qui ont le point pour image par la transformation .


3. Montrer que, pour tout point distinct de , le point appartient au cercle .


4. Montrer que, pour tout nombre complexe , est réel.
Que peut-on en déduire pour les points , et  ?


5. Placer un point et construire son image par la transformation et ce, uniquement à la règle non graduée et au compas.
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140
VRAI / FAUX
[Calculer, Communiquer.]
D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2019

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct . Dans ce qui suit, désigne un nombre complexe.
Pour chacune des affirmations ci‑dessous, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier.

1. L’équation a pour solution .


2. Pour tout réel , le nombre complexe admet pour forme exponentielle .


3. Un point d’affixe tel que appartient à la droite d’équation .


4. L’équation admet une solution réelle.
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141
[Calculer, Raisonner.]
On considère deux réels et .

1. Déterminer une expression factorisée de par .


Cette factorisation est appelée factorisation par l’angle moitié et les applications de cette factorisation sont multiples. On en donne quelques exemples dans les questions suivantes.

2. a. Déterminer une factorisation de et .


b. Résoudre dans l’équation .


3. On considère un réel distinct de avec .

a. Calculer, pour tout entier naturel , .


b. Démontrer que .


c. Déterminer une égalité similaire pour .
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142
APPROFONDISSEMENT

Suite de nombres complexes
D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2018

On définit la suite de nombres complexes de la manière suivante : et, pour tout entier naturel , .
On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct .
Pour tout entier naturel , on note le point du plan d’affixe .
Pour tout entier naturel , on pose et on note le point d’affixe .
On note enfin le point d’affixe .

1. Exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .


2. Démontrer que, pour tout entier naturel , .


a. Pour tout entier naturel , calculer, en fonction de , le module de .


b. Démontrer que .


c. Quelle interprétation géométrique peut‑on donner de ce résultat ?


3. a. Soit un entier naturel.
Déterminer un argument de .


b. Démontrer que, lorsque décrit l’ensemble des entiers naturels, les points sont alignés.


c. Démontrer que, pour tout entier naturel , le point appartient à la droite d’équation .
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143
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Représenter.]
Pentagone régulier

1. a. Résoudre dans l’équation .


b. Déterminer une forme exponentielle des racines cinquièmes de l’unité. Quel polygone forment les points d’affixes les racines cinquièmes de l’unité ?


2. On note .
Montrer que :
a.


b. et .


3. a. En déduire que est solution de .


b. Déterminer les valeurs exactes de et .


4. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct . On considère les points et d’affixe respective et et le point d’affixe .
Soit le cercle de centre et passant par .
a. Déterminer l’affixe du point d’intersection de et de la demi‑droite .


b. En déduire une méthode de construction d’un pentagone régulier à la règle non graduée et au compas, puis effectuer cette construction.


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144
APPROFONDISSEMENT

Transformée de Fourier Discrète
La transformée de Fourier discrète (TFD) est un outil mathématique permettant, entre autres, l’étude des signaux numériques.
La TFD d’une séquence de nombres complexes est la donnée de la séquence de nombres complexes définis, pour tout entier compris entre et , par , où .

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 144

1. Calculer la TFD de la séquence de nombres suivante .


2. On admet que, pour tout entier naturel allant de à , on a .
On parle de transformation inverse de Fourier discrète.
Calculer la transformée inverse de Fourier discrète de la séquence .
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145
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Raisonner.]
[DÉMO]

Inégalité triangulaire

Partie A : Démonstration de l’inégalité triangulaire

Soient et deux nombres complexes quelconques.
L’objectif de cet exercice est de démontrer l’inégalité triangulaire : .

1. Démontrer que, pour tout nombre complexe , et que .


2. a. Montrer que .


b. Développer .


3. Déduire des questions précédentes que : .


Partie B : Cas d’égalité
L’objectif de la suite de l’exercice est de déterminer les cas d’égalité de l’inégalité triangulaire. On va donc déterminer à quelles conditions sur et on a l’égalité .

1. Démontrer que l’égalité est vérifiée si ou .


On suppose par la suite que et .

2. Quelles conditions le nombre complexe doit‑il vérifier pour que  ?


3. a. Démontrer que si, et seulement si, il existe tel que .


b. On considère et d’affixe respective et .
Comment peut‑on interpréter géométriquement la condition d’égalité de l’inégalité triangulaire pour les points et  ?


Partie C : Applications
Soient , , …, , nombres complexes.

1. Montrer que .


2. En déduire que, pour tous nombres complexes et , .
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146
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Raisonner.]
Racines ‑ièmes d’un nombre complexe
Soient un nombre strictement positif et un réel.
Soient le nombre complexe et un entier naturel non nul.
L’objectif est de résoudre dans des équations de la forme .
Les solutions de cette équation sont appelées racines ‑ièmes de .

1. Résoudre l’équation pour .


2. a. Démontrer que .


b. Résoudre dans , .


3. a. Déterminer une forme exponentielle de .


b. Justifier que est solution de .


c. Déterminer une forme exponentielle de .


d. Justifier que résoudre revient à résoudre avec .


e. En déduire la résolution dans de l’équation .


4. En reprenant la méthode précédente, déterminer les racines ‑ièmes de (également appelées racines carrées de ).
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Expertes
;  et  p.238

Le Grand Oral

Entraînez-vous au Grand Oral et enregistrez-vous sur LLS.fr/GrandOralMaths


Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d’appui à des questions de Grand Oral.
Voici un exemple, basé sur l’enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.

Dans le cadre de l’enseignement de spécialité, vous avez défini la notion d’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle .

1. Rappeler la définition de lorsque est positive sur .


2. Expliquer à travers quelques exemples comment les notions du chapitre permettent de linéariser une expression trigonométrique, puis justifier l’intérêt de la linéarisation dans le cadre d’un calcul d’intégrale.


3. Les calculs d’intégrales de fonctions trigonométriques sont essentiels dans certaines branches de la physique telles que le traitement du signal. Expliquer pourquoi en vous appuyant sur des recherches documentaires.


Méthodologie
Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 244
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