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131
[Calculer, Chercher.]
Soient A\text{A} et B\text{B} deux points du plan complexe d’affixe respective a=5+2ia=5+2 \mathrm{i} et b=8i1b=8 \mathrm{i}-1.

1. Soit M\text{M} le point d’affixe z=2+(5+2)iz=-2+(5+\sqrt{2}) \mathrm{i}.
M\text{M} appartient‑il au cercle C\mathcal{C} de diamètre [AB][\mathrm{AB}] ?


2. Existe‑il des points appartenant au cercle C\mathcal{C} dont l’affixe est un imaginaire pur ?
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132
VRAI / FAUX
[Communiquer, Raisonner.]
D’après bac S, Liban, juin 2010

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

1. Proposition 1 :
Soit le nombre complexe z=1i3z=1-\mathrm{i} \sqrt{3}.
Si l’entier naturel nn est un multiple de 33, alors znz^n est un nombre réel.


2. Proposition 2 :
On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}), le point A\text{A} d’affixe a=2ia=2-\mathrm{i} et le point B\text{ B} d’affixe b=1+i2ab=\dfrac{1+\mathrm{i}}{2} a.
Le triangle OAB\text{OAB} est rectangle isocèle.


3. Proposition 3 :
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}), on associe à tout point M\text{M} du plan d’affixe zz non nulle, le point M\mathrm{M}^\prime d’affixe zz^\prime telle que z=10zz^{\prime}=\dfrac{-10}{\overline{z}}, où zˉ\bar z désigne le conjugué de zz.
Il existe un point M\text{M} tel que O\text{O}, M\text{M} et M\mathrm{M}^\prime ne sont pas alignés.
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133
[Chercher, Communiquer.]
D’après bac S, Liban, mai 2018

1. Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes 1+i1+\mathrm{i} et 1i1-\mathrm{i}.


2. Pour tout entier naturel nn, on pose : Sn=(1+i)n+(1i)n\mathrm{S}_{n}=(1+\mathrm{i})^{n}+(1-\mathrm{i})^{n}.
a. Déterminer une forme trigonométrique de S\mathrm{S}.


b. Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Affirmation A : Pour tout entier naturel nn, le nombre complexe Sn\mathrm{S}_n est un nombre réel.


Affirmation B : Il existe une infinité d’entiers naturels nn tels que Sn=0\mathrm{S}_n=0.
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134
[Chercher, Calculer.]
Soit (un)(u_n) la suite définie sur N\mathbb{N} par un=(1+i31i)nu_{n}=\left(\dfrac{1+\mathrm{i} \sqrt{3}}{1-\mathrm{i}}\right)^{n}.
En utilisant la formule de Moivre, déterminer une forme trigonométrique de unu_n en fonction de nn.
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135
[Calculer, Représenter.]
On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Tout point M\text{M} du plan distinct de O\text{O} admet pour affixe z=r(cos(α)+isin(α))z=r(\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)), où rr est un réel strictement positif et α\alpha est un réel. On dit que M\text{M} a pour coordonnées polaires (r , α)(r , \alpha) relativement au pôle O\text{O} et à l’axe polaire (O ; u)(\mathbf{O} ; \overrightarrow{\boldsymbol{u}}).

1. Que représentent géométriquement rr et α\alpha ?


2. a. Exprimer l’abscisse et l’ordonnée de M\text{M} en fonction de rr et de α\alpha.


b. Soit M\text{M} le point de coordonnées polaires (3 , 31π4)\left(3 , -\dfrac{31 \pi}{4}\right).
Déterminer les coordonnées cartésiennes de M\text{M}, puis l’affixe de M\text{M} sous forme algébrique.


c. Soit M\text{M} le point d’affixe 5e7iπ35 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{7 \mathrm{i} \pi}{3}}}.
Déterminer les coordonnées polaires de M\text{M}.


3. Application :
Un sonar marin permet de détecter la position d’un objet à l’aide de coordonnées polaires et de la profondeur.
Voici une représentation graphique obtenue à l’aide d’un sonar en utilisant pour unité le kilomètre :

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 135

Le pôle est le point O\text{O} et l’axe polaire est l’axe porté par la demi-droite [OA)[\mathrm{OA}).
Ainsi, le point C\text{C} a pour coordonnées polaires (20 , π6)\left(20 , \dfrac{\pi}{6}\right).
On donne (OA ; OD)=π3+k×2π(\overrightarrow{\mathrm{OA}} ; \overrightarrow{\mathrm{OD}})=-\dfrac{\pi}{3}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) et EOA^=45\widehat{\mathrm{EOA}}=45^{\circ}.
a. À l’aide des données précédentes, déterminer les coordonnées polaires des points de la figure distincts de O\text{O}.


b. Reproduire la figure et placer le point F\text{F} de coordonnées polaires (120 , 3π4)\left(120 , \dfrac{3 \pi}{4}\right).

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c. Soit G\text{G} le point d’affixe 40(3+i)40(-\sqrt{3}+\mathrm{i}). Déterminer les coordonnées polaires de G\text{G} et le placer sur la figure.


d. Le commandement d’un sous‑marin repère une baleine située entre 60 km et 100 km avec un angle par rapport à l’axe polaire situé entre 2π3\dfrac{2 \pi}{3} et 5π6\dfrac{5 \pi}{6}.
Colorier la zone de recherche.
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136
DEVOIR MAISON
[Chercher, Raisonner.]
On définit la suite de nombres complexes (zn)(z_n) par : z0=0z_0=0 et, pour tout entier naturel nn, zn+1=3izn1z_{n+1}=3 \mathrm{i} z_{n}-1.
On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Pour tout entier naturel nn, on note Mn\mathrm{M}_{n} le point du plan d’affixe znz_n.

1. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation (E):z=3iz1(\mathrm{E}): z=3 \mathrm{i} z-1.
On note A\text{A} le point dont l’affixe est la solution de cette équation.


2. On définit, pour tout entier naturel nn, la suite (un)(u_n) par un=zn+110+310iu_{n}=z_{n}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{3}{10} \mathrm{i}.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, on a : un+1=3i×unu_{n+1}=3 \mathrm{i} \times u_{n}.


b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, un=(110+310i)×3n×inu_{n}=\left(\dfrac{1}{10}+\dfrac{3}{10} \mathrm{i}\right) \times 3^{n} \times \mathrm{i}^{n}.


3. a. Démontrer que la distance AMn\text{AM}_n diverge vers ++\infty.


b. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, A\text{A}, Mn\text{M}_n et Mn+2\mathrm{M}_{n+2} sont alignés.


c. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, les droites (AMn)\left(\mathrm{AM}_{n}\right) et (AMn+1)\left(\mathrm{AM}_{n+1}\right) sont perpendiculaires.
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137
[Calculer, Raisonner.]
D’après bas S, Amérique du Nord, juin 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}) d’unité graphique 2 cm. On réalisera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.
On considère les points A\mathrm{A} d’affixe i\mathrm{i}, B\text{B} d’affixe 2i-2\mathrm{i} et D\text{D} d’affixe 11.
On appelle E\text{E} le point tel que le triangle ADE\text{ADE} soit équilatéral direct, c’est‑à‑dire que (AD ; AE)=π3+k×2π(\overrightarrow{\mathrm{AD}} ; \overrightarrow{\mathrm{AE}})=\dfrac{\pi}{3}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).
Soit ff l’application qui, à tout point M\text{M} d’affixe ziz \neq \mathrm{i}, associe le point M\mathrm{M}^{\prime} d'affixe zz^{\prime} définie par z=2ziiz+1z^{\prime}=\dfrac{2 z-\mathrm{i}}{\mathrm{i} z+1}.

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1. Démontrer que le point E\text{E} a pour affixe : zE=(12+32)(1+i)z_{\mathrm{E}}=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1+\mathrm{i}).


2. Exprimer sous forme algébrique l’affixe du point D\mathrm{D}^{\prime} associé au point D\text{D} par l’application ff.


3. a. Démontrer que, pour tout nombre complexe zz différent de i\mathrm{i}, (z+2i)(zi)=1\left(z^{\prime}+2 \mathrm{i}\right)(z-\mathrm{i})=1.


b. En déduire que, pour tout point M\text{M} d’affixe ziz \neq \mathrm{i}, BM×AM=1\mathrm{BM}^{\prime} \times \mathrm{AM}=1 et (u;BM)=(u;AM)+k×2π(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{BM}^{\prime}})=-(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{AM}})+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).


4. a. Démontrer que les points D\text{D} et E\text{E} appartiennent au cercle C\mathcal{C} de centre A\text{A} et de rayon 2\sqrt 2.


b. En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E\mathrm{E}^\prime associé au point E\text{E} par l’application ff.
On laissera apparents les traits de construction.


5. Quelle est la nature du triangle BDE\mathrm{BD}^{\prime} \mathrm{E}^{\prime} ? Justifier.
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138
[Chercher, Communiquer.]
D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2018

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}).
On considère les points A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} distincts d’affixe respective zAz_{\mathrm{A}}, zBz_{\mathrm{B}}, zCz_{\mathrm{C}} et zDz_{\mathrm{D}} tels que : {zA+zC=zB+zDzA+izB=zC+izD\left\{\begin{array}{l}z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{C}}=z_{\mathrm{B}}+z_{\mathrm{D}} \\ z_{\mathrm{A}}+\mathrm{i} z_{\mathrm{B}}=z_{\mathrm{C}}+\mathrm{i} z_{\mathrm{D}}\end{array}\right..

Démontrer que le quadrilatère ABCD\text{ABCD} est un carré.
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139
[Raisonner, Représenter.]
D’après bac S, Pondichéry, avril 2012

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}) d’unité 2 cm, on désigne par A\text{A} et B\text{B} les points d’affixe respective 11 et 1-1.
Soit ff la transformation du plan qui, à tout point M\text{M} d’affixe z1z \neq 1, associe le point M\mathrm{M}^{\prime} d'affixe zz^{\prime} tel que z=1zz1z^{\prime}=\dfrac{1-z}{\overline{z}-1}.

1. Soit C\text{C} le point d’affixe zC=2+iz_{\mathrm{C}}=-2+\mathrm{i}.
a. Calculer l’affixe zCz_{\mathrm{C}^{\prime}} du point C\mathrm{C}^{\prime}, image de C\text{C} par la transformation ff, puis placer les points C\text{C} et C\mathrm{C}^{\prime} dans un repère.


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b. Montrer que le point C\mathrm{C}^{\prime} appartient au cercle C\mathcal{C} de centre O\text{O} et de rayon 11.


c. Montrer que les points A\text{A}, C\text{C} et C\mathrm{C}^{\prime} sont alignés.


2. Déterminer et représenter sur la figure, l’ensemble Δ\Delta des points du plan qui ont le point A\text{A} pour image par la transformation ff.


3. Montrer que, pour tout point M\text{M} distinct de A\text{A}, le point M\mathrm{M}^{\prime} appartient au cercle C\mathcal{C}.


4. Montrer que, pour tout nombre complexe z1z \neq 1, z1z1\dfrac{z^{\prime}-1}{z-1} est réel.
Que peut-on en déduire pour les points A\text{A}, M\text{ M} et M\mathrm{M}^{\prime} ?


5. Placer un point D\text{D} et construire son image D\mathrm{D}^{\prime} par la transformation ff et ce, uniquement à la règle non graduée et au compas.
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140
VRAI / FAUX
[Calculer, Communiquer.]
D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2019

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Dans ce qui suit, zz désigne un nombre complexe.
Pour chacune des affirmations ci‑dessous, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier.

1. L’équation zi=i(z+1)z-\mathrm{i}=\mathrm{i}(z+1) a pour solution 2eiπ4\sqrt{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}.


2. Pour tout réel x]π2 ; π2[x \in\left]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right[, le nombre complexe 1+e2ix1+\mathrm{e}^{2 \mathrm{i} x} admet pour forme exponentielle 2cos(x)eix2 \cos (x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}.


3. Un point M\text{M} d’affixe zz tel que zi=z+1|z-\mathrm{i}|=|z+1| appartient à la droite d’équation y=xy=-x.


4. L’équation z5+zi+1=0z^{5}+z-\mathrm{i}+1=0 admet une solution réelle.
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141
[Calculer, Raisonner.]
On considère deux réels pp et qq.

1. Déterminer une expression factorisée de eip+eiq\mathrm{e}^{\mathrm{i} p}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} q} par eip+q2\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{p+q}{2}}}.


Cette factorisation est appelée factorisation par l’angle moitié et les applications de cette factorisation sont multiples. On en donne quelques exemples dans les questions suivantes.

2. a. Déterminer une factorisation de cos(p)+cos(q)\cos (p)+\cos (q) et sin(p)+sin(q)\sin (p)+\sin (q).


b. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation sin(2x)sin(6x)=0\sin (2 x)-\sin (6 x)=0.


3. On considère un réel xx distinct de kπk\pi avec kZk \in \mathbb{Z}.

a. Calculer, pour tout entier naturel nn, p=0neipx\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} p x}.


b. Démontrer que p=0ncos(px)=cos(nx2)sin((n+1)x2)sin(x2)\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n} \cos (p x)=\dfrac{\cos \left(\dfrac{n x}{2}\right) \sin \left(\dfrac{(n+1) x}{2}\right)}{\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)}.


c. Déterminer une égalité similaire pour p=0nsin(px)\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n} \sin (p x).
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142
APPROFONDISSEMENT

Suite de nombres complexes
D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2018

On définit la suite de nombres complexes (zn)(z_n) de la manière suivante : z0=1z_0= 1 et, pour tout entier naturel nn, zn+1=13zn+23iz_{n+1}=\dfrac{1}{3} z_{n}+\dfrac{2}{3} \mathrm{i}.
On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}).
Pour tout entier naturel nn, on note An\mathrm{A}_n le point du plan d’affixe znz_n.
Pour tout entier naturel nn, on pose un=zniu_{n}=z_{n}-\mathrm{i} et on note Bn\mathrm{B}_n le point d’affixe unu_n.
On note enfin C\text{C} le point d’affixe i\text{i}.

1. Exprimer, pour tout entier naturel nn, un+1u_{n+1} en fonction de unu_n.


2. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, un=(13)n×(1i)u_{n}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} \times(1-\mathrm{i}).


a. Pour tout entier naturel nn, calculer, en fonction de nn, le module de unu_n.


b. Démontrer que limn+zni=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left|z_{n}-\mathrm{i}\right|=0.


c. Quelle interprétation géométrique peut‑on donner de ce résultat ?


3. a. Soit nn un entier naturel.
Déterminer un argument de unu_n.


b. Démontrer que, lorsque nn décrit l’ensemble des entiers naturels, les points Bn\mathrm{B}_{n} sont alignés.


c. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, le point An\mathrm{A}_{n} appartient à la droite d’équation y=x+1y=-x+1.
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143
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Représenter.]
Pentagone régulier

1. a. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation (E):z2+z1=0(\mathrm{E}): z^{2}+z-1=0.


b. Déterminer une forme exponentielle des racines cinquièmes de l’unité. Quel polygone forment les points d’affixes les racines cinquièmes de l’unité ?


2. On note ω=e2iπ5\omega=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{5}}}.
Montrer que :
a. 1+ω+ω2+ω3+ω4=01+ \omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}=0


b. ω3=ω2\omega^{3}=\overline{\omega^{2}} et ω4=ω\omega^{4}=\overline{\omega}.


3. a. En déduire que ω+ω\omega+\overline{\omega} est solution de (E)(\mathrm{E}).


b. Déterminer les valeurs exactes de cos(2π5)\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right) et sin(2π5)\sin \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right).


4. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). On considère les points U\text{U} et V\text{V} d’affixe respective 11 et i\text{i} et le point A\text{A} d’affixe 12-\dfrac{1}{2}.
Soit C\mathcal{C} le cercle de centre A\text{A} et passant par V\text{V}.
a. Déterminer l’affixe du point d’intersection de C\mathcal{C} et de la demi‑droite [OU)[\mathrm{OU}).


b. En déduire une méthode de construction d’un pentagone régulier à la règle non graduée et au compas, puis effectuer cette construction.


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144
APPROFONDISSEMENT

Transformée de Fourier Discrète
La transformée de Fourier discrète (TFD) est un outil mathématique permettant, entre autres, l’étude des signaux numériques.
La TFD d’une séquence de nn nombres complexes (z0;z1;;zn1)\left(z_{0}\,;z_{1}\,;\ldots\,;z_{n-1}\right) est la donnée de la séquence de nn nombres complexes (Z0;Z1;;Zn1)\left(\mathrm{Z}_{0}\,;\mathrm{Z}_{1}\,;\ldots\,;\mathrm{Z}_{n-1}\right) définis, pour tout entier pp compris entre 00 et n1n - 1, par Zp=k=0n1Zkωkp\mathrm{Z}_{p}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n-1} \mathrm{Z}_{k} \omega^{-k p}, où ω=e2iπn\omega=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{n}}}.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 144

1. Calculer la TFD de la séquence de nombres suivante (0;1;1)(0\,;1\,;1).


2. On admet que, pour tout entier naturel pp allant de 00 à n1n - 1, on a zp=k=0n1Zkωkpz_{p}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n-1} \mathrm{Z}_{k} \omega^{k p}.
On parle de transformation inverse de Fourier discrète.
Calculer la transformée inverse de Fourier discrète de la séquence (3;5;i)(3\,;-5\,;\mathrm{i}).
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145
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Raisonner.]
[DÉMO]

Inégalité triangulaire

Partie A : Démonstration de l’inégalité triangulaire

Soient zz et zz^\prime deux nombres complexes quelconques.
L’objectif de cet exercice est de démontrer l’inégalité triangulaire : z+zz+z\left|z+z^{\prime}\right| \leqslant|z|+\left|z^{\prime}\right|.

1. Démontrer que, pour tout nombre complexe zz, z+z=2Re(z)z+\overline{z}=2 \operatorname{Re}(z) et que Re(z)z\operatorname{Re}(z) \leqslant|z|.


2. a. Montrer que z+z2=z2+z2+2Re(z×z)\left|z+z^{\prime}\right|^{2}=|z|^{2}+\left|z^{\prime}\right|^{2}+2 \operatorname{Re}(z \times \overline{z^{\prime}}).


b. Développer (z+z)2\left(|z|+\left|z^{\prime}\right|\right)^{2}.


3. Déduire des questions précédentes que : z+zz+z\left|z+z^{\prime}\right| \leqslant|z|+\left|z^{\prime}\right|.


Partie B : Cas d’égalité
L’objectif de la suite de l’exercice est de déterminer les cas d’égalité de l’inégalité triangulaire. On va donc déterminer à quelles conditions sur zz et zz^\prime on a l’égalité z+z=z+z\left|z+z^{\prime}\right|=|z|+\left|z^{\prime}\right|.

1. Démontrer que l’égalité est vérifiée si z=0z=0 ou z=0z^{\prime}=0.


On suppose par la suite que z0z \neq 0 et z0z^{\prime} \neq 0.

2. Quelles conditions le nombre complexe zz doit‑il vérifier pour que z+z=2Re(z)=2zz+\overline{z}=2 \operatorname{Re}(z)=2|z| ?


3. a. Démontrer que z+z=z+z\left|z+z^{\prime}\right|=|z|+\left|z^{\prime}\right| si, et seulement si, il existe λR+\lambda \in \mathbb{R}^{+} tel que z=λzz2z=\lambda \dfrac{z^{\prime}}{\left|z^{\prime}\right|^{2}}.


b. On considère M\text{M} et M\mathrm{M}^\prime d’affixe respective zz et zz^\prime.
Comment peut‑on interpréter géométriquement la condition d’égalité de l’inégalité triangulaire pour les points M\text{M} et M\mathrm{M}^\prime ?


Partie C : Applications
Soient z1z_1, z2z_2, …, znz_n, nn nombres complexes.

1. Montrer que z1+z2++znz1+z2++zn\left|z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}\right| \leqslant\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\ldots+\left|z_{n}\right|.


2. En déduire que, pour tous nombres complexes aa et bb, 1+a+a+b+b1|1+a|+|a+b|+|b| \geqslant 1.
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146
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Raisonner.]
Racines n\boldsymbol{n}‑ièmes d’un nombre complexe
Soient rr un nombre strictement positif et α\alpha un réel.
Soient aa le nombre complexe a=reiαa=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} et nn un entier naturel non nul.
L’objectif est de résoudre dans C\mathbb{C} des équations de la forme zn=az^n = a.
Les solutions de cette équation sont appelées racines nn‑ièmes de aa.

1. Résoudre l’équation pour n=1n = 1.


2. a. Démontrer que 3+4i=(1+2i)2-3+4 \mathrm{i}=(1+2 \mathrm{i})^{2}.


b. Résoudre dans C\mathbb{C}, z2=3+4iz^{2}=-3+4 \mathrm{i}.


3. a. Déterminer une forme exponentielle de 2+2i\sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i}.


b. Justifier que 2+2i\sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i} est solution de z3=42+42iz^{3}=-4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} \mathrm{i}.


c. Déterminer une forme exponentielle de 42+42i-4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} \mathrm{i}.


d. Justifier que résoudre z3=42+42iz^{3}=-4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} \mathrm{i} revient à résoudre Z3=1\mathrm{Z}^{3}=1 avec Z=z2eπ4i\mathrm{Z}=\dfrac{z}{2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{4} \mathrm{i}}}}.


e. En déduire la résolution dans C\mathbb{C} de l’équation z3=42+42iz^{3}=-4 \sqrt{2}+4 \sqrt{2} \mathrm{i}.


4. En reprenant la méthode précédente, déterminer les racines 22‑ièmes de i\text{i} (également appelées racines carrées de i\text{i}).
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Expertes
;  et  p.238

Le Grand Oral

Entraînez-vous au Grand Oral et enregistrez-vous sur LLS.fr/GrandOralMaths


Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d’appui à des questions de Grand Oral.
Voici un exemple, basé sur l’enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.

Dans le cadre de l’enseignement de spécialité, vous avez défini la notion d’intégrale d’une fonction ff continue sur un intervalle [a ; b][a ; b].

1. Rappeler la définition de abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x lorsque ff est positive sur [a ; b][a ; b].


2. Expliquer à travers quelques exemples comment les notions du chapitre permettent de linéariser une expression trigonométrique, puis justifier l’intérêt de la linéarisation dans le cadre d’un calcul d’intégrale.


3. Les calculs d’intégrales de fonctions trigonométriques sont essentiels dans certaines branches de la physique telles que le traitement du signal. Expliquer pourquoi en vous appuyant sur des recherches documentaires.


Méthodologie
Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 244
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