Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{C}\backslash \{1\}$ par $f(z)=\frac{2z+1}{z-1}$.
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
On pose $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ les points d'affixes respectives $z_{\mathrm{A}}=f\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\mathrm{i}\right)$, $z_{\mathrm{B}}=f(4)$ et $z_{\mathrm{C}}=f\left(1-\frac{3}{5}\mathrm{i}\right)$.

1. Déterminer l'affixe du point $\text{A}$ sous forme exponentielle, du point $\text{B}$ sous forme trigonométrique et du point $\text{C}$ sous forme algébrique.

2. Déterminer les longueurs $\text{AB}$ et $\text{AC}$. Que peut‑on en déduire pour le triangle $\text{ABC}$ ?

3. Déterminer une mesure de l'angle $(\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}})$. Que peut‑on en déduire pour le triangle $\text{ABC}$ ?

1. $z_{\mathrm{A}}=f\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\mathrm{i}\right)=\frac{\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\mathrm{i}}{-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\mathrm{i}}=-2\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=2\mathrm{i}=2\left(\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)\right)=\exp \left(\frac{\pi }{2}\right)$,
${\mathrm{z}}_{\mathrm{B}}=f(4)=3=3$ et ${\mathrm{z}}_{\mathrm{C}}=f\left(1-\frac{3}{5}\mathrm{i}\right)=\frac{3-\frac{6}{5}\mathrm{i}}{-\frac{3}{5}\mathrm{i}}=2+5\mathrm{i}$.

2. On a $|3-2\mathrm{i}|=3^2+(2\mathrm{i}{)}^2=5$ et $|2+3\mathrm{i}|=2^2+(3\mathrm{i}{)}^2=-5$.
On ne peut rien en déduire concernant le triangle $\text{ABC}$.

3. On a $(\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}})=\arg \left(\frac{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}\right)=\arg \left(\frac{3-2\mathrm{i}}{2+3\mathrm{i}}\right)=\arg (-\mathrm{i})=-\frac{\pi }{2}$.
Le triangle $\text{ABC}$ est donc rectangle en $\text{A}$.