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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Travailler autrement
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Production d'élève
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On donne ci‑dessous un énoncé d'exercice et une copie d'élève.
1. Trouver les erreurs de l'élève et préciser les endroits où la rédaction est incomplète.
2. Le professeur souhaite distribuer un corrigé détaillé de l'exercice. Rédiger une telle correction.
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Énoncé
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}).
On pose \text{A}, \text{B} et \text{C} les points d'affixes respectives z_{\mathrm{A}}=f\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{4} \mathrm{i}\right), z_{\mathrm{B}}=f(4) et z_{\mathrm{C}}=f\left(1-\frac{3}{5} \mathrm{i}\right).
1. Déterminer l'affixe du point \text{A} sous forme exponentielle, du point \text{B} sous forme trigonométrique et du point \text{C} sous forme algébrique.
2. Déterminer les longueurs \text{AB} et \text{AC}. Que peut‑on en déduire pour le triangle \text{ABC} ?
3. Déterminer une mesure de l'angle (\overrightarrow{\mathrm{AB}}\,; \overrightarrow{\mathrm{AC}}). Que peut‑on en déduire pour le triangle \text{ABC} ?
1. z_{\mathrm{A}}=f\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{4} \mathrm{i}\right)=\frac{\frac{3}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i}}{-\frac{3}{4}-\frac{3}{4} \mathrm{i}}=-2 \frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=2 \mathrm{i}=2\left(\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=\exp \left(\frac{\pi}{2}\right),
\mathrm{z}_{\mathrm{B}}=f(4)=3=3 et \mathrm{z}_{\mathrm{C}}=f\left(1-\frac{3}{5} \mathrm{i}\right)=\frac{3-\frac{6}{5} \mathrm{i}}{-\frac{3}{5} \mathrm{i}}=2+5 \mathrm{i}.
2. On a |3-2 \mathrm{i}|=3^{2}+(2 \mathrm{i})^{2}=5 et |2+3 \mathrm{i}|=2^{2}+(3 \mathrm{i})^{2}=-5.
On ne peut rien en déduire concernant le triangle \text{ABC}.
3. On a (\overrightarrow{\mathrm{AB}}\,; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\arg \left(\frac{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}\right)=\arg \left(\frac{3-2 \mathrm{i}}{2+3 \mathrm{i}}\right)=\arg (-\mathrm{i})=-\frac{\pi}{2}.
Le triangle \text{ABC} est donc rectangle en \text{A}.
\mathrm{z}_{\mathrm{B}}=f(4)=3=3 et \mathrm{z}_{\mathrm{C}}=f\left(1-\frac{3}{5} \mathrm{i}\right)=\frac{3-\frac{6}{5} \mathrm{i}}{-\frac{3}{5} \mathrm{i}}=2+5 \mathrm{i}.
2. On a |3-2 \mathrm{i}|=3^{2}+(2 \mathrm{i})^{2}=5 et |2+3 \mathrm{i}|=2^{2}+(3 \mathrm{i})^{2}=-5.
On ne peut rien en déduire concernant le triangle \text{ABC}.
3. On a (\overrightarrow{\mathrm{AB}}\,; \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\arg \left(\frac{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}\right)=\arg \left(\frac{3-2 \mathrm{i}}{2+3 \mathrm{i}}\right)=\arg (-\mathrm{i})=-\frac{\pi}{2}.
Le triangle \text{ABC} est donc rectangle en \text{A}.
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Exercices inversés
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1
Déterminer l'expression de trois nombres complexes dont le conjugué est égal à l'inverse.
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3
Dans chaque cas, écrire un énoncé possible d'un exercice sur des nombres complexes amenant à la conclusion suivante :
1. « \text{ABC} est un triangle équilatéral. »
2. « \text{ABC} est un triangle rectangle en \text{B}. »
3. « \text{ABCDE} est un pentagone régulier. »
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2
1. Déterminer l'expression d'un polynôme du second degré admettant deux racines réelles.
2. Déterminer l'expression d'un polynôme du second degré à coefficients réels admettant deux racines complexes.
3. Déterminer l'expression d'un polynôme du second degré admettant deux racines imaginaires pures.
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4
Déterminer les affixes de trois points \text{A}, \text{B} et \text{C} tels que \text{C} soit le milieu de [\mathrm{AB}].
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5
1. Déterminer l'expression de trois nombres complexes de module 3.
2. Déterminer l'expression de trois nombres complexes ayant pour argument principal \frac{2 \pi}{3}.
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6
Dans chaque cas, écrire un énoncé possible d'un exercice sur les nombres complexes, amenant à la conclusion suivante :
1. « \text{B} est le symétrique de \text{A} par rapport à l'axe des abscisses. »
2. « \text{C} se trouve sur la médiatrice de [\mathrm{AB}]. »
3. « Les points \text{A}, \text{B} et \text{C} sont alignés. »
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Les nombres complexes ont‑ils été acceptés rapidement et facilement par l'ensemble de la communauté mathématique ? Donner d'autres exemples de notions mathématiques, pour lesquelles il a fallu attendre de nombreuses années avant qu'elles ne soient pleinement exploitées.
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