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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Exercices
Travailler les automatismes
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À l'oral
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18
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points d'affixe respective a=4-5 \mathrm{i}, b=2 \mathrm{i}-3 et c=1+\mathrm{i}. 1. Déterminer l'affixe des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{CB}} et -2 \overrightarrow{\mathrm{CB}}.
2. Déterminer l'affixe du milieu du segment [\mathrm{AC}].
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19
On considère le nombre complexe z=4-3 \mathrm{i}. 1. Calculer le module de z.
2. En déduire le module de \overline{z}.
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20
Soit z un nombre complexe de module 5 et d'argument \frac{13 \pi}{3}.
1. Déterminer l'argument principal de z.
2. Déterminer une forme trigonométrique, une forme exponentielle et la forme algébrique de z.
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21
Soient z et z^{\prime} deux nombres complexes définis par z=3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{6}}} et z^{\prime}=6 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{2\mathrm{i} \pi}{3}}}.
Déterminer une forme exponentielle de z z^{\prime}, z^{\prime 3} et \frac{z}{z^{\prime}}.
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22
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points distincts d'affixe respective a, b et c tels que 3(b-a)=-\mathrm{i}(c-a).
Quelle est la nature du triangle \text{ABC} ?
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23
Déterminer la nature des ensembles de points \text{M} d'affixe z du plan complexe vérifiant : 1. |z-3+5 \mathrm{i}|=4
2. |z+1-2 \mathrm{i}|=|z+5|
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24
En utilisant les données de la figure ci‑dessous, déterminer une forme exponentielle de l'affixe des points \mathrm{M}_{0}, \mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3}, \mathrm{M}_{4} et \mathrm{M}_{5}.
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Affixe
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25
En utilisant le graphique ci‑dessous, donner les affixes des points \text{A} et \text{B}, puis des vecteurs \overrightarrow{w_{1}} et \overrightarrow{w_{2}}.
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On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}), les points \text{A}, \text{B} et \text{C} d'affixe respective a, b et c.
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26
On donne a=3+5 \mathrm{i}, b=-\frac{1}{4}+2 \mathrm{i} et c=3 \mathrm{i}.
Soient \overrightarrow{w_{1}} et \overrightarrow{w_{2}} deux vecteurs d'affixe respective 3-4 \mathrm{i} et 2 \mathrm{i}-\frac{4}{5}. Faire une figure, placer les points \text{A}, \text{B} et \text{C}, puis des représentants des vecteurs \overrightarrow{w_{1}} et \overrightarrow{w_{2}}.
GeoGebra
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27
On donne a=-\frac{1}{2}+3 \mathrm{i}, b=1-\frac{4}{5} \mathrm{i} et c=2 \mathrm{i}-7.
Déterminer les affixes des points \text{D}, \text{E}, \text{F}, \text{G} et \text{H} définis par :
1. \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{CA}}
2. \overrightarrow{\mathrm{AE}}=5 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}
3. \text{F} est le milieu du segment [\mathrm{AC}].
2. \overrightarrow{\mathrm{AE}}=5 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}
3. \text{F} est le milieu du segment [\mathrm{AC}].
4. \text{G} est le symétrique de \text{B} par rapport à l'axe des abscisses.
5. \text{H} est le point de coordonnées (4 ;-\sqrt{2}).
5. \text{H} est le point de coordonnées (4 ;-\sqrt{2}).
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28
Dans le plan complexe, on considère les points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} d'affixe respective a=5-3 \mathrm{i}, b=2, c=\mathrm{i}-2 et d=1-2 \mathrm{i}.
1. Placer ces points dans le plan complexe. Que peut‑on conjecturer sur la nature du quadrilatère \text{ABCD} ?
GeoGebra
2. Déterminer la nature du quadrilatère \text{ABCD}.
3. Déterminer l'affixe du point d'intersection des droites (\mathrm{AC}) et (\mathrm{BD}).
3. Déterminer l'affixe du point d'intersection des droites (\mathrm{AC}) et (\mathrm{BD}).
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Module et arguments
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Calculer le module du nombre complexe z.
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29
1. z=3 \sqrt{3}
2. z=2 \mathrm{i}+1
3. z=\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{3}
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30
1. z=(2-2 \mathrm{i})(3+5 \mathrm{i})
2. z=(4 \mathrm{i}-3)^{3}
3. z=\frac{-2-3 \mathrm{i}}{1-2 \mathrm{i}}
4. z=\frac{(2-\mathrm{i})^{3}}{6-5 \mathrm{i}}
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31
Dans chaque cas, on donne un nombre complexe z et son module.
| a. z=6 \mathrm{i} et |z|=6. | b. z=\sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{2} et |z|=2. |
| c. z=-2+2 \mathrm{i} \sqrt{3} et |z|=4. | d. z=\frac{7 \sqrt{3}}{2}-\frac{7}{2} \mathrm{i} et |z|=7. |
2. Déterminer alors une valeur de \alpha.
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32
Déterminer un argument des nombres complexes suivants.
1. z=\frac{3}{2}-\frac{3 \mathrm{i} \sqrt{3}}{2}
2. z=7 \mathrm{i}
2. z=7 \mathrm{i}
3. z=\frac{-9 \sqrt{3}}{2}+\frac{9}{2} \mathrm{i}
4. z=4 \sqrt{3}-4 \mathrm{i}
4. z=4 \sqrt{3}-4 \mathrm{i}
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Formes trigonométriques et exponentielles
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33
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.
1. z=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)
2. z=\sqrt{3}(\cos (\pi)+\mathrm{i} \sin (\pi))
2. z=\sqrt{3}(\cos (\pi)+\mathrm{i} \sin (\pi))
3. z=6\left(\cos \left(-\frac{17 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{17 \pi}{6}\right)\right)
4. z=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)
4. z=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)
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34
Déterminer une forme trigonométrique pour chaque nombre complexe donné.
1. z=-5
2. z=\pi \mathrm{i}
3. z=-\frac{7}{2}-\frac{7 \sqrt{3}}{2} \mathrm{i}
2. z=\pi \mathrm{i}
3. z=-\frac{7}{2}-\frac{7 \sqrt{3}}{2} \mathrm{i}
4. z=4 \mathrm{i}-4 \sqrt{3}
5. z=1+\mathrm{i}
6. z=-3+3 \mathrm{i}
5. z=1+\mathrm{i}
6. z=-3+3 \mathrm{i}
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35
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.
1. z=\frac{3}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}
2. z=-\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{2}
2. z=-\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{2}
3. z=\frac{-\sqrt{5}}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{15}}{2}
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36
On considère les deux nombres complexes z=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{6} \mathrm{i}}} et z^{\prime}=12 \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{\pi}{4} \mathrm{i}}}. Déterminer une forme exponentielle des nombres donnés.
1. 3z
2. -3 z^{\prime}
3. z z^{\prime}
2. -3 z^{\prime}
3. z z^{\prime}
4. \frac{z}{z^{\prime}}
5. z^3
6. z^{3} z^{\prime 2}
5. z^3
6. z^{3} z^{\prime 2}
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Problèmes géométriques
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37
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}), soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points d'affixe respective a=-1+2 \mathrm{i}, b=4+3 \mathrm{i} et c=-6+\mathrm{i}. 1. Déterminer la longueur \text{AB}.
2. Déterminer une mesure en radian de l'angle orienté (\overrightarrow{\mathrm{BA}} ; \overrightarrow{\mathrm{BC}}).
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38
Soit \text{ABC} un triangle rectangle isocèle en \text{B} tel que (\overrightarrow{\mathrm{BA}} ; \overrightarrow{\mathrm{BC}})=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}). Déterminer \frac{c-b}{a-b}, où a, b et c sont les affixes respectives des points \text{A}, \text{B} et \text{C}.
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Dans chaque cas, \text{A}, \text{B} et \text{C} sont trois points d'affixe respective a, b et c.
Déterminer la nature du triangle \text{ABC}. Dans chaque cas, \text{A}, \text{B} et \text{C} sont trois points d'affixe respective a, b et c.
Déterminer la nature du triangle \text{ABC}.
Déterminer la nature du triangle \text{ABC}. Dans chaque cas, \text{A}, \text{B} et \text{C} sont trois points d'affixe respective a, b et c.
Déterminer la nature du triangle \text{ABC}.
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39
a=1+2 \mathrm{i}, b=-2+3 \mathrm{i} et c=-1+6 \mathrm{i}.
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40
a=6+3 \mathrm{i}, b=-1+2 \mathrm{i} et c=3-\mathrm{i}.
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41
a=2 \mathrm{i}-1, b=3+2 \mathrm{i} et c=1+3 \mathrm{i}.
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Formules trigonométriques
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42
Linéariser les expressions suivantes.
1. \cos ^{2}(x)
2. \sin ^{3}(x)
2. \sin ^{3}(x)
3. \cos ^{2}(x) \sin (x)
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43
À l'aide de la formule de Moivre, exprimer, pour tout réel \theta, \cos (3 \theta) en fonction de \cos (\theta).
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Racines de l'unité
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44
Soit \text{M} un point du plan complexe d'affixe z appartenant à \mathbb{U}.
On donne (\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\frac{7 \pi}{4}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
Déterminer une forme exponentielle, puis une forme trigonométrique et la forme algébrique de z.
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45
Résoudre dans \mathbb{C} l'équation z^{7}=1.
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