Travailler les automatismes

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18

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points d’affixe respective $a=4-5\mathrm{i}$, $b=2\mathrm{i}-3$ et $c=1+\mathrm{i}$.

1. Déterminer l’affixe des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}$ et $-2\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}$.


2. Déterminer l’affixe du milieu du segment $[\mathrm{A}\mathrm{C}]$.

19

On considère le nombre complexe $z=4-3\mathrm{i}$.

1. Calculer le module de $z$.


2. En déduire le module de $\overline{z}$.

20

Soit $z$ un nombre complexe de module $5$ et d’argument $\frac{13\pi }{3}$.

1. Déterminer l’argument principal de $z$.


2. Déterminer une forme trigonométrique, une forme exponentielle et la forme algébrique de $z$.

21

Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes définis par $z=3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$ et $z^{\prime }=6{\mathrm{e}}^{-\frac{2\mathrm{i}\pi }{3}}$.
Déterminer une forme exponentielle de $z{z}^{\prime }$, $z^{\prime 3}$ et $\frac{z}{z^{\prime }}$.

22

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points distincts d’affixe respective $a$, $b$ et $c$ tels que $3(b-a)=-\mathrm{i}(c-a)$.
Quelle est la nature du triangle $\text{ABC}$ ?

23

Déterminer la nature des ensembles de points $\text{M}$ d’affixe $z$ du plan complexe vérifiant :

1. $|z-3+5\mathrm{i}|=4$


2. $|z+1-2\mathrm{i}|=|z+5|$

24

En utilisant les données de la figure ci‑dessous, déterminer une forme exponentielle de l’affixe des points ${\mathrm{M}}_0$, ${\mathrm{M}}_1$, ${\mathrm{M}}_2$, ${\mathrm{M}}_3$, ${\mathrm{M}}_4$ et ${\mathrm{M}}_5$.

25

En utilisant le graphique ci‑dessous, donner les affixes des points $\text{A}$ et $\text{B}$, puis des vecteurs $\overrightarrow{w_1}$ et $\overrightarrow{w_2}$.

Pour les exercices

26

et 

27

On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$, les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ d’affixe respective $a$, $b$ et $c$.

26

On donne $a=3+5\mathrm{i}$, $b=-\frac{1}{4}+2\mathrm{i}$ et $c=3\mathrm{i}$.
Soient $\overrightarrow{w_1}$ et $\overrightarrow{w_2}$ deux vecteurs d’affixe respective $3-4\mathrm{i}$ et $2\mathrm{i}-\frac{4}{5}$.
Faire une figure, placer les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$, puis des représentants des vecteurs $\overrightarrow{w_1}$ et $\overrightarrow{w_2}$.

27

On donne $a=-\frac{1}{2}+3\mathrm{i}$, $b=1-\frac{4}{5}\mathrm{i}$ et $c=2\mathrm{i}-7$.
Déterminer les affixes des points $\text{D}$, $\text{E}$, $\text{F}$, $\text{G}$ et $\text{H}$ définis par :

1. $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{D}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}$


2. $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{E}}=5\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}$


3. $\text{F}$ est le milieu du segment $[\mathrm{A}\mathrm{C}]$.


4. $\text{G}$ est le symétrique de $\text{B}$ par rapport à l’axe des abscisses.


5. $\text{H}$ est le point de coordonnées $(4;-\sqrt{2})$.

28

Dans le plan complexe, on considère les points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ d’affixe respective $a=5-3\mathrm{i}$, $b=2$, $c=\mathrm{i}-2$ et $d=1-2\mathrm{i}$.

1. Placer ces points dans le plan complexe. Que peut‑on conjecturer sur la nature du quadrilatère $\text{ABCD}$ ?


2. Déterminer la nature du quadrilatère $\text{ABCD}$.


3. Déterminer l’affixe du point d’intersection des droites $(\mathrm{A}\mathrm{C})$ et $(\mathrm{B}\mathrm{D})$.

Pour les exercices

29

et 

30

Calculer le module du nombre complexe $z$.

29

1. $z=3\sqrt{3}$


2. $z=2\mathrm{i}+1$


3. $z=\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{3}$

30

1. $z=(2-2\mathrm{i})(3+5\mathrm{i})$


2. $z=(4\mathrm{i}-3{)}^3$


3. $z=\frac{-2-3\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}$


4. $z=\frac{(2-\mathrm{i}{)}^3}{6-5\mathrm{i}}$

31

Dans chaque cas, on donne un nombre complexe $z$ et son module.
1. Déterminer $\cos (\alpha )$ et $\sin (\alpha )$ où $\alpha$ est un argument de $z$.


2. Déterminer alors une valeur de $\alpha$.

32

Déterminer un argument des nombres complexes suivants.

1. $z=\frac{3}{2}-\frac{3\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$


2. $z=7\mathrm{i}$


3. $z=\frac{-9\sqrt{3}}{2}+\frac{9}{2}\mathrm{i}$


4. $z=4\sqrt{3}-4\mathrm{i}$

33

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.

1. $z=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{3\pi }{4}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{3\pi }{4}\right)\right)$


2. $z=\sqrt{3}(\cos (\pi )+\mathrm{i}\sin (\pi ))$


3. $z=6\left(\cos \left(-\frac{17\pi }{6}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{17\pi }{6}\right)\right)$


4. $z=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)$

34

Déterminer une forme trigonométrique pour chaque nombre complexe donné.

1. $z=-5$


2. $z=\pi \mathrm{i}$


3. $z=-\frac{7}{2}-\frac{7\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$


4. $z=4\mathrm{i}-4\sqrt{3}$


5. $z=1+\mathrm{i}$


6. $z=-3+3\mathrm{i}$

35

Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1. $z=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\mathrm{i}$


2. $z=-\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}$


3. $z=\frac{-\sqrt{5}}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{15}}{2}$

36

On considère les deux nombres complexes $z=3{\mathrm{e}}^{\frac{\pi }{6}\mathrm{i}}$ et $z^{\prime }=12{\mathrm{e}}^{-\frac{\pi }{4}\mathrm{i}}$. Déterminer une forme exponentielle des nombres donnés.

1. $3z$


2. $-3z^{\prime }$


3. $z{z}^{\prime }$


4. $\frac{z}{z^{\prime }}$


5. $z^3$


6. $z^3{z}^{\prime 2}$

37

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$, soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points d’affixe respective $a=-1+2\mathrm{i}$, $b=4+3\mathrm{i}$ et $c=-6+\mathrm{i}$.

1. Déterminer la longueur $\text{AB}$.


2. Déterminer une mesure en radian de l’angle orienté $(\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}};\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}})$.

38

Soit $\text{ABC}$ un triangle rectangle isocèle en $\text{B}$ tel que $(\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}};\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}})=-\frac{\pi }{2}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
Déterminer $\frac{c-b}{a-b}$, où $a$, $b$ et $c$ sont les affixes respectives des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$.

Pour les exercices

39

à 

41

Dans chaque cas, $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ sont trois points d’affixe respective $a$, $b$ et $c$.
Déterminer la nature du triangle $\text{ABC}$.

39

$a=1+2\mathrm{i}$, $b=-2+3\mathrm{i}$ et $c=-1+6\mathrm{i}$.

40

$a=6+3\mathrm{i}$, $b=-1+2\mathrm{i}$ et $c=3-\mathrm{i}$.

41

$a=2\mathrm{i}-1$, $b=3+2\mathrm{i}$ et $c=1+3\mathrm{i}$.

42

Linéariser les expressions suivantes.

1. ${\cos }^2(x)$


2. ${\sin }^3(x)$


3. ${\cos }^2(x)\sin (x)$

43

À l’aide de la formule de Moivre, exprimer, pour tout réel $\theta$, $\cos (3\theta )$ en fonction de $\cos (\theta )$.

44

Soit $\text{M}$ un point du plan complexe d’affixe $z$ appartenant à $\mathbb{U}$.
On donne $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=\frac{7\pi }{4}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
Déterminer une forme exponentielle, puis une forme trigonométrique et la forme algébrique de $z$.

45

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^7=1$.