Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 2

Exercices

Travailler les automatismes

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À l'oral

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18

Soient

A

B

C

trois points d'affixe respective

a = 4 - 5 i

b = 2 i - 3

c = 1 + i

1. Déterminer l'affixe des vecteurs

C B

- 2 C B

2. Déterminer l'affixe du milieu du segment

[A C]

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19

On considère le nombre complexe

z = 4 - 3 i .

1. Calculer le module de

z

2. En déduire le module de

\overline{z}

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20

Soit

z

un nombre complexe de module

5

et d'argument

\frac{1 3 π}{3}

1. Déterminer l'argument principal de

z

2. Déterminer une forme trigonométrique, une forme exponentielle et la forme algébrique de

z

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21

Soient

z

z^{'}

deux nombres complexes définis par

z = 3 e^{i \frac{π}{6}}

z^{'} = 6 e^{- \frac{2 i π}{3}}

.
Déterminer une forme exponentielle de

z z^{'}

z^{' 3}

\frac{z}{z ^{'}}

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22

Soient

A

B

C

trois points distincts d'affixe respective

a

b

c

tels que

3 (b - a) = - i (c - a)

.
Quelle est la nature du triangle

ABC

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23

Déterminer la nature des ensembles de points

M

d'affixe

z

du plan complexe vérifiant :

∣ z - 3 + 5 i ∣ = 4

∣ z + 1 - 2 i ∣ = ∣ z + 5 ∣

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24

En utilisant les données de la figure ci‑dessous, déterminer une forme exponentielle de l'affixe des points

M_{0}

M_{1}

M_{2}

M_{3}

M_{4}

M_{5}

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 24

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Affixe

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25

En utilisant le graphique ci‑dessous, donner les affixes des points

A

B

, puis des vecteurs

w_{1}

w_{2}

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Pour les exercices
26
et
27

On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct

(O; u; v)

, les points

A

B

C

d'affixe respective

a

b

c

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26

On donne

a = 3 + 5 i

b = - \frac{1}{4} + 2 i

c = 3 i

.
Soient

w_{1}

w_{2}

deux vecteurs d'affixe respective

3 - 4 i

2 i - \frac{4}{5}

Faire une figure, placer les points

A

B

C

, puis des représentants des vecteurs

w_{1}

w_{2}

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27

On donne

a = - \frac{1}{2} + 3 i

b = 1 - \frac{4}{5} i

c = 2 i - 7

.
Déterminer les affixes des points

D

E

F

G

H

définis par :

B D = \frac{2}{3} C A

A E = 5 A B - B C

F

est le milieu du segment

[A C]

G

est le symétrique de

B

par rapport à l'axe des abscisses.

H

est le point de coordonnées

(4; - 2)

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28

Dans le plan complexe, on considère les points

A

B

C

D

d'affixe respective

a = 5 - 3 i

b = 2

c = i - 2

d = 1 - 2 i

1. Placer ces points dans le plan complexe. Que peut‑on conjecturer sur la nature du quadrilatère

ABCD

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2. Déterminer la nature du quadrilatère

ABCD

3. Déterminer l'affixe du point d'intersection des droites

(A C)

(B D)

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Module et arguments

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Pour les exercices
29
à
30

Calculer le module du nombre complexe

z

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29

1.

z = 33

z = 2 i + 1

z = 2 - i 3

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30

1.

z = (2 - 2 i) (3 + 5 i)

z = (4 i - 3)^{3}

z = \frac{- 2 - 3 i}{1 - 2 i}

z = \frac{( 2 - i ) ^{3}}{6 - 5 i}

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31

Dans chaque cas, on donne un nombre complexe

z

et son module.

a. $z = 6 i$ et $∣ z ∣ = 6$ .	b. $z = 2 + i 2$ et $∣ z ∣ = 2$ .
c. $z = - 2 + 2 i 3$ et $∣ z ∣ = 4$ .	d. $z = \frac{7 3}{2} - \frac{7}{2} i$ et $∣ z ∣ = 7$ .

1. Déterminer

cos (α)

sin (α)

où

α

est un argument de

z

2. Déterminer alors une valeur de

α

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32

Déterminer un argument des nombres complexes suivants.

z = \frac{3}{2} - \frac{3 i 3}{2}

z = 7 i

z = \frac{- 9 3}{2} + \frac{9}{2} i

z = 43 - 4 i

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Formes trigonométriques et exponentielles

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33

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.

z = 2 (cos (\frac{3 π}{4}) + i sin (\frac{3 π}{4}))

z = 3 (cos (π) + i sin (π))

z = 6 (cos (- \frac{1 7 π}{6}) + i sin (- \frac{1 7 π}{6}))

z = cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2})

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34

Déterminer une forme trigonométrique pour chaque nombre complexe donné.

z = - 5

z = π i

z = - \frac{7}{2} - \frac{7 3}{2} i

z = 4 i - 43

z = 1 + i

z = - 3 + 3 i

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35

Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

z = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i

z = - 2 - i 2

z = \frac{- 5}{2} - i \frac{1 5}{2}

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36

On considère les deux nombres complexes

z = 3 e^{\frac{π}{6} i}

z^{'} = 12 e^{- \frac{π}{4} i}

. Déterminer une forme exponentielle des nombres donnés.

3 z

- 3 z^{'}

z z^{'}

\frac{z}{z ^{'}}

z^{3}

z^{3} z^{' 2}

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Problèmes géométriques

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37

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct

(O; u; v)

, soient

A

B

C

trois points d'affixe respective

a = - 1 + 2 i

b = 4 + 3 i

c = - 6 + i

1. Déterminer la longueur

AB

2. Déterminer une mesure en radian de l'angle orienté

(B A; B C)

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38

Soit

ABC

un triangle rectangle isocèle en

B

tel que

(B A; B C) = - \frac{π}{2} + k \times 2 π

(

k \in Z

Déterminer

\frac{c - b}{a - b}

, où

a

b

c

sont les affixes respectives des points

A

B

C

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Pour les exercices
39
à
41

Dans chaque cas,

A

B

C

sont trois points d'affixe respective

a

b

c

.
Déterminer la nature du triangle

ABC

. Dans chaque cas,

A

B

C

sont trois points d'affixe respective

a

b

c

.
Déterminer la nature du triangle

ABC

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a = 1 + 2 i

b = - 2 + 3 i

c = - 1 + 6 i

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a = 6 + 3 i

b = - 1 + 2 i

c = 3 - i

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a = 2 i - 1

b = 3 + 2 i

c = 1 + 3 i

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Formules trigonométriques

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42

Linéariser les expressions suivantes.

cos^{2} (x)

sin^{3} (x)

cos^{2} (x) sin (x)

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43

À l'aide de la formule de Moivre, exprimer, pour tout réel

θ

cos (3 θ)

en fonction de

cos (θ)

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Racines de l'unité

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44

Soit

M

un point du plan complexe d'affixe

z

appartenant à

U

.
On donne

(u; O M) = \frac{7 π}{4} + k \times 2 π

(

k \in Z

).
Déterminer une forme exponentielle, puis une forme trigonométrique et la forme algébrique de

z

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45

Résoudre dans

C

l'équation

z^{7} = 1

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