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À l'oral
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18
Soient A, B et C trois points d'affixe respective a=4−5i, b=2i−3 et c=1+i.
1. Déterminer l'affixe des vecteurs CB et −2CB.
2. Déterminer l'affixe du milieu du segment [AC].
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19
On considère le nombre complexe z=4−3i.
1. Calculer le module de z.
2. En déduire le module de z.
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20
Soit z un nombre complexe de module 5 et d'argument 313π.
1. Déterminer l'argument principal de z.
2. Déterminer une forme trigonométrique, une forme exponentielle et la forme algébrique de z.
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21
Soient z et z′ deux nombres complexes définis par z=3ei6π et z′=6e−32iπ.
Déterminer une forme exponentielle de zz′, z′3 et z′z.
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22
Soient A, B et C trois points distincts d'affixe respective a, b et c tels que 3(b−a)=−i(c−a).
Quelle est la nature du triangle ABC ?
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23
Déterminer la nature des ensembles de points M d'affixe z du plan complexe vérifiant :
1.∣z−3+5i∣=4
2.∣z+1−2i∣=∣z+5∣
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24
En utilisant les données de la figure ci‑dessous, déterminer une forme exponentielle de l'affixe des points M0, M1, M2, M3, M4 et M5.
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Affixe
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25
En utilisant le graphique ci‑dessous, donner les affixes des points A et B, puis des vecteurs w1 et w2.
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Pour les exercices
26
et
27
On considère, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O;u;v), les points A, B et C d'affixe respective a, b et c.
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26
On donne a=3+5i, b=−41+2i et c=3i.
Soient w1 et w2 deux vecteurs d'affixe respective 3−4i et 2i−54.
Faire une figure, placer les points A, B et C, puis des représentants des vecteurs w1 et w2.
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27
On donne a=−21+3i, b=1−54i et c=2i−7.
Déterminer les affixes des points D, E, F, G et H définis par :
1.BD=32CA
2.AE=5AB−BC
3.F est le milieu du segment [AC].
4.G est le symétrique de B par rapport à l'axe des abscisses.
5.H est le point de coordonnées (4;−2).
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28
Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C et D d'affixe respective a=5−3i, b=2, c=i−2 et d=1−2i.
1. Placer ces points dans le plan complexe. Que peut‑on conjecturer sur la nature du quadrilatère ABCD ?
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2. Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
3. Déterminer l'affixe du point d'intersection des droites (AC) et (BD).
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Module et arguments
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Pour les exercices
29
à
30
Calculer le module du nombre complexe z.
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29
1.z=33
2.z=2i+1
3.z=2−i3
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30
1.z=(2−2i)(3+5i)
2.z=(4i−3)3
3.z=1−2i−2−3i
4.z=6−5i(2−i)3
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31
Dans chaque cas, on donne un nombre complexe z et son module.
a.z=6i et ∣z∣=6.
b.z=2+i2 et ∣z∣=2.
c.z=−2+2i3 et ∣z∣=4.
d.z=273−27i et ∣z∣=7.
1. Déterminer cos(α) et sin(α) où α est un argument de z.
2. Déterminer alors une valeur de α.
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32
Déterminer un argument des nombres complexes suivants.
1.z=23−23i3
2.z=7i
3.z=2−93+29i
4.z=43−4i
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Formes trigonométriques et exponentielles
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33
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.
1.z=2(cos(43π)+isin(43π))
2.z=3(cos(π)+isin(π))
3.z=6(cos(−617π)+isin(−617π))
4.z=cos(2π)+isin(2π)
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34
Déterminer une forme trigonométrique pour chaque nombre complexe donné.
1.z=−5
2.z=πi
3.z=−27−273i
4.z=4i−43
5.z=1+i
6.z=−3+3i
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35
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.
1.z=23+23i
2.z=−2−i2
3.z=2−5−i215
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36
On considère les deux nombres complexes z=3e6πi et z′=12e−4πi. Déterminer une forme exponentielle des nombres donnés.
1.3z
2.−3z′
3.zz′
4.z′z
5.z3
6.z3z′2
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Problèmes géométriques
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37
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O;u;v), soient A, B et C trois points d'affixe respective a=−1+2i, b=4+3i et c=−6+i.
1. Déterminer la longueur AB.
2. Déterminer une mesure en radian de l'angle orienté (BA;BC).
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38
Soit ABC un triangle rectangle isocèle en B tel que (BA;BC)=−2π+k×2π (k∈Z).
Déterminer a−bc−b, où a, b et c sont les affixes respectives des points A, B et C.
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Pour les exercices
39
à
41
Dans chaque cas, A, B et C sont trois points d'affixe respective a, b et c.
Déterminer la nature du triangle ABC.
Dans chaque cas, A, B et C sont trois points d'affixe respective a, b et c.
Déterminer la nature du triangle ABC.
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39
a=1+2i, b=−2+3i et c=−1+6i.
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40
a=6+3i, b=−1+2i et c=3−i.
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41
a=2i−1, b=3+2i et c=1+3i.
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Formules trigonométriques
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42
Linéariser les expressions suivantes.
1.cos2(x)
2.sin3(x)
3.cos2(x)sin(x)
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43
À l'aide de la formule de Moivre, exprimer, pour
tout réel θ, cos(3θ) en fonction de cos(θ).
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Racines de l'unité
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44
Soit M un point du plan complexe d'affixe z appartenant à U.
On donne (u;OM)=47π+k×2π (k∈Z).
Déterminer une forme exponentielle, puis une forme trigonométrique et la forme algébrique de z.
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45
Résoudre dans C l'équation z7=1.
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