Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Travailler les automatismes
P.66-67

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




Travailler les automatismes




À L'ORAL

Envie de réaliser ces exercices à l'oral ? Enregistrez-vous !

Enregistreur audio
Voir les réponses

18

Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points d’affixe respective a=45ia=4-5 \mathrm{i}, b=2i3b=2 \mathrm{i}-3 et c=1+ic=1+\mathrm{i}.

1. Déterminer l’affixe des vecteurs CB\overrightarrow{\mathrm{CB}} et 2CB-2 \overrightarrow{\mathrm{CB}}.


2. Déterminer l’affixe du milieu du segment [AC][\mathrm{AC}].
Voir les réponses

19

On considère le nombre complexe z=43iz=4-3 \mathrm{i}.

1. Calculer le module de zz.


2. En déduire le module de z\overline{z}.
Voir les réponses

20

Soit zz un nombre complexe de module 55 et d’argument 13π3\dfrac{13 \pi}{3}.

1. Déterminer l’argument principal de zz.


2. Déterminer une forme trigonométrique, une forme exponentielle et la forme algébrique de zz.
Voir les réponses

21

Soient zz et zz^{\prime} deux nombres complexes définis par z=3eiπ6z=3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{6}}} et z=6e2iπ3z^{\prime}=6 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{2\mathrm{i} \pi}{3}}}.
Déterminer une forme exponentielle de zzz z^{\prime}, z3z^{\prime 3} et zz\dfrac{z}{z^{\prime}}.
Voir les réponses

22

Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points distincts d’affixe respective aa, bb et cc tels que 3(ba)=i(ca)3(b-a)=-\mathrm{i}(c-a).
Quelle est la nature du triangle ABC\text{ABC} ?
Voir les réponses

23

Déterminer la nature des ensembles de points M\text{M} d’affixe zz du plan complexe vérifiant :

1. z3+5i=4|z-3+5 \mathrm{i}|=4


2. z+12i=z+5|z+1-2 \mathrm{i}|=|z+5|
Voir les réponses
Voir les réponses

24

En utilisant les données de la figure ci‑dessous, déterminer une forme exponentielle de l’affixe des points M0\mathrm{M}_{0}, M1\mathrm{M}_{1}, M2\mathrm{M}_{2}, M3\mathrm{M}_{3}, M4\mathrm{M}_{4} et M5\mathrm{M}_{5}.


Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 24
Voir les réponses

Affixe


25

En utilisant le graphique ci‑dessous, donner les affixes des points A\text{A} et B\text{B}, puis des vecteurs w1\overrightarrow{w_{1}} et w2\overrightarrow{w_{2}}.


Affixe
Voir les réponses

Pour les exercices
26
et 
27

On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O ; u ; v)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}), les points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} d’affixe respective aa, bb et cc.

26

On donne a=3+5ia=3+5 \mathrm{i}, b=14+2ib=-\dfrac{1}{4}+2 \mathrm{i} et c=3ic=3 \mathrm{i}.
Soient w1\overrightarrow{w_{1}} et w2\overrightarrow{w_{2}} deux vecteurs d’affixe respective 34i3-4 \mathrm{i} et 2i452 \mathrm{i}-\dfrac{4}{5}.
Faire une figure, placer les points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C}, puis des représentants des vecteurs w1\overrightarrow{w_{1}} et w2\overrightarrow{w_{2}}.

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
Voir les réponses

27

On donne a=12+3ia=-\dfrac{1}{2}+3 \mathrm{i}, b=145ib=1-\dfrac{4}{5} \mathrm{i} et c=2i7c=2 \mathrm{i}-7.
Déterminer les affixes des points D\text{D}, E\text{E}, F\text{F}, G\text{G} et H\text{H} définis par :

1. BD=23CA\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{CA}}


2. AE=5ABBC\overrightarrow{\mathrm{AE}}=5 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}


3. F\text{F} est le milieu du segment [AC][\mathrm{AC}].


4. G\text{G} est le symétrique de B\text{B} par rapport à l’axe des abscisses.


5. H\text{H} est le point de coordonnées (4 ;2)(4 ;-\sqrt{2}).
Voir les réponses
Voir les réponses

28

Dans le plan complexe, on considère les points A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} d’affixe respective a=53ia=5-3 \mathrm{i}, b=2b=2, c=i2c=\mathrm{i}-2 et d=12id=1-2 \mathrm{i}.

1. Placer ces points dans le plan complexe. Que peut‑on conjecturer sur la nature du quadrilatère ABCD\text{ABCD} ?


Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2. Déterminer la nature du quadrilatère ABCD\text{ABCD}.


3. Déterminer l’affixe du point d’intersection des droites (AC)(\mathrm{AC}) et (BD)(\mathrm{BD}).
Voir les réponses

Module et arguments


Pour les exercices
29
et 
30

Calculer le module du nombre complexe zz.

29

1. z=33z=3 \sqrt{3}


2. z=2i+1z=2 \mathrm{i}+1


3. z=2i3z=\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{3}
Voir les réponses

30

1. z=(22i)(3+5i)z=(2-2 \mathrm{i})(3+5 \mathrm{i})


2. z=(4i3)3z=(4 \mathrm{i}-3)^{3}


3. z=23i12iz=\dfrac{-2-3 \mathrm{i}}{1-2 \mathrm{i}}


4. z=(2i)365iz=\dfrac{(2-\mathrm{i})^{3}}{6-5 \mathrm{i}}
Voir les réponses

31

Dans chaque cas, on donne un nombre complexe zz et son module.
a. z=6iz=6 \mathrm{i} et z=6|z|=6. b. z=2+i2z=\sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{2} et z=2|z|=2.
c. z=2+2i3z=-2+2 \mathrm{i} \sqrt{3} et z=4|z|=4. d. z=73272iz=\dfrac{7 \sqrt{3}}{2}-\dfrac{7}{2} \mathrm{i} et z=7|z|=7.
1. Déterminer cos(α)\cos (\alpha) et sin(α)\sin (\alpha)α\alpha est un argument de zz.


2. Déterminer alors une valeur de α\alpha.
Voir les réponses
Voir les réponses

32

Déterminer un argument des nombres complexes suivants.

1. z=323i32z=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3 \mathrm{i} \sqrt{3}}{2}


2. z=7iz=7 \mathrm{i}


3. z=932+92iz=\dfrac{-9 \sqrt{3}}{2}+\dfrac{9}{2} \mathrm{i}


4. z=434iz=4 \sqrt{3}-4 \mathrm{i}
Voir les réponses

Formes trigonométriques et exponentielles


33

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.

1. z=2(cos(3π4)+isin(3π4))z=\sqrt{2}\left(\cos \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)\right)


2. z=3(cos(π)+isin(π))z=\sqrt{3}(\cos (\pi)+\mathrm{i} \sin (\pi))


3. z=6(cos(17π6)+isin(17π6))z=6\left(\cos \left(-\dfrac{17 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{17 \pi}{6}\right)\right)


4. z=cos(π2)+isin(π2)z=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)
Voir les réponses

34

Déterminer une forme trigonométrique pour chaque nombre complexe donné.

1. z=5z=-5


2. z=πiz=\pi \mathrm{i}


3. z=72732iz=-\dfrac{7}{2}-\dfrac{7 \sqrt{3}}{2} \mathrm{i}


4. z=4i43z=4 \mathrm{i}-4 \sqrt{3}


5. z=1+iz=1+\mathrm{i}


6. z=3+3iz=-3+3 \mathrm{i}
Voir les réponses

35

Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1. z=32+32iz=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2} \mathrm{i}


2. z=2i2z=-\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{2}


3. z=52i152z=\dfrac{-\sqrt{5}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{15}}{2}
Voir les réponses
Voir les réponses

36

On considère les deux nombres complexes z=3eπ6iz=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{6} \mathrm{i}}} et z=12eπ4iz^{\prime}=12 \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{\pi}{4} \mathrm{i}}}. Déterminer une forme exponentielle des nombres donnés.

1. 3z3z


2. 3z-3 z^{\prime}


3. zzz z^{\prime}


4. zz\dfrac{z}{z^{\prime}}


5. z3z^3


6. z3z2z^{3} z^{\prime 2}
Voir les réponses

Problèmes géométriques


37

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O ; u ; v)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}), soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points d’affixe respective a=1+2ia=-1+2 \mathrm{i}, b=4+3ib=4+3 \mathrm{i} et c=6+ic=-6+\mathrm{i}.

1. Déterminer la longueur AB\text{AB}.


2. Déterminer une mesure en radian de l’angle orienté (BA ; BC)(\overrightarrow{\mathrm{BA}} ; \overrightarrow{\mathrm{BC}}).
Voir les réponses

38

Soit ABC\text{ABC} un triangle rectangle isocèle en B\text{B} tel que (BA ; BC)=π2+k×2π(\overrightarrow{\mathrm{BA}} ; \overrightarrow{\mathrm{BC}})=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).
Déterminer cbab\dfrac{c-b}{a-b}, où aa, bb et cc sont les affixes respectives des points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C}.
Voir les réponses

Pour les exercices
39
à 
41

Dans chaque cas, A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} sont trois points d’affixe respective aa, bb et cc.
Déterminer la nature du triangle ABC\text{ABC}.

39

a=1+2ia=1+2 \mathrm{i}, b=2+3ib=-2+3 \mathrm{i} et c=1+6ic=-1+6 \mathrm{i}.
Voir les réponses

40

a=6+3ia=6+3 \mathrm{i}, b=1+2ib=-1+2 \mathrm{i} et c=3ic=3-\mathrm{i}.
Voir les réponses
Voir les réponses

41

a=2i1a=2 \mathrm{i}-1, b=3+2ib=3+2 \mathrm{i} et c=1+3ic=1+3 \mathrm{i}.
Voir les réponses

Formules trigonométriques


42

Linéariser les expressions suivantes.

1. cos2(x)\cos ^{2}(x)


2. sin3(x)\sin ^{3}(x)


3. cos2(x)sin(x)\cos ^{2}(x) \sin (x)
Voir les réponses
Voir les réponses

43

À l’aide de la formule de Moivre, exprimer, pour tout réel θ\theta, cos(3θ)\cos (3 \theta) en fonction de cos(θ)\cos (\theta).
Voir les réponses

Racines de l’unité


44

Soit M\text{M} un point du plan complexe d’affixe zz appartenant à U\mathbb{U}.
On donne (u;OM)=7π4+k×2π(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\dfrac{7 \pi}{4}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).
Déterminer une forme exponentielle, puis une forme trigonométrique et la forme algébrique de zz.
Voir les réponses
Voir les réponses

45

Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation z7=1z^{7}=1.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.