Travailler les automatismes

À L'ORAL

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18

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points d’affixe respective $a=4-5 \mathrm{i}$, $b=2 \mathrm{i}-3$ et $c=1+\mathrm{i}$.

1. Déterminer l’affixe des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ et $-2 \overrightarrow{\mathrm{CB}}$.


2. Déterminer l’affixe du milieu du segment $[\mathrm{AC}]$.

19

On considère le nombre complexe $z=4-3 \mathrm{i}$.

1. Calculer le module de $z$.


2. En déduire le module de $\overline{z}$.

20

Soit $z$ un nombre complexe de module $5$ et d’argument $\dfrac{13 \pi}{3}$.

1. Déterminer l’argument principal de $z$.


2. Déterminer une forme trigonométrique, une forme exponentielle et la forme algébrique de $z$.

21

Soient $z$ et $z^{\prime}$ deux nombres complexes définis par $z=3 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{6}}}$ et $z^{\prime}=6 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{2\mathrm{i} \pi}{3}}}$.
Déterminer une forme exponentielle de $z z^{\prime}$, $z^{\prime 3}$ et $\dfrac{z}{z^{\prime}}$.

22

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points distincts d’affixe respective $a$, $b$ et $c$ tels que $3(b-a)=-\mathrm{i}(c-a)$.
Quelle est la nature du triangle $\text{ABC}$ ?

23

Déterminer la nature des ensembles de points $\text{M}$ d’affixe $z$ du plan complexe vérifiant :

1. $|z-3+5 \mathrm{i}|=4$


2. $|z+1-2 \mathrm{i}|=|z+5|$

24

En utilisant les données de la figure ci‑dessous, déterminer une forme exponentielle de l’affixe des points $\mathrm{M}_{0}$, $\mathrm{M}_{1}$, $\mathrm{M}_{2}$, $\mathrm{M}_{3}$, $\mathrm{M}_{4}$ et $\mathrm{M}_{5}$.

25

En utilisant le graphique ci‑dessous, donner les affixes des points $\text{A}$ et $\text{B}$, puis des vecteurs $\overrightarrow{w_{1}}$ et $\overrightarrow{w_{2}}$.

Pour les exercices

26

et 

27

On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})$, les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ d’affixe respective $a$, $b$ et $c$.

26

On donne $a=3+5 \mathrm{i}$, $b=-\dfrac{1}{4}+2 \mathrm{i}$ et $c=3 \mathrm{i}$.
Soient $\overrightarrow{w_{1}}$ et $\overrightarrow{w_{2}}$ deux vecteurs d’affixe respective $3-4 \mathrm{i}$ et $2 \mathrm{i}-\dfrac{4}{5}$.
Faire une figure, placer les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$, puis des représentants des vecteurs $\overrightarrow{w_{1}}$ et $\overrightarrow{w_{2}}$.

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27

On donne $a=-\dfrac{1}{2}+3 \mathrm{i}$, $b=1-\dfrac{4}{5} \mathrm{i}$ et $c=2 \mathrm{i}-7$.
Déterminer les affixes des points $\text{D}$, $\text{E}$, $\text{F}$, $\text{G}$ et $\text{H}$ définis par :

1. $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{CA}}$


2. $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=5 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}$


3. $\text{F}$ est le milieu du segment $[\mathrm{AC}]$.


4. $\text{G}$ est le symétrique de $\text{B}$ par rapport à l’axe des abscisses.


5. $\text{H}$ est le point de coordonnées $(4 ;-\sqrt{2})$.

28

Dans le plan complexe, on considère les points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ d’affixe respective $a=5-3 \mathrm{i}$, $b=2$, $c=\mathrm{i}-2$ et $d=1-2 \mathrm{i}$.

1. Placer ces points dans le plan complexe. Que peut‑on conjecturer sur la nature du quadrilatère $\text{ABCD}$ ?

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2. Déterminer la nature du quadrilatère $\text{ABCD}$.


3. Déterminer l’affixe du point d’intersection des droites $(\mathrm{AC})$ et $(\mathrm{BD})$.

Pour les exercices

29

et 

30

Calculer le module du nombre complexe $z$.

29

1. $z=3 \sqrt{3}$


2. $z=2 \mathrm{i}+1$


3. $z=\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{3}$

30

1. $z=(2-2 \mathrm{i})(3+5 \mathrm{i})$


2. $z=(4 \mathrm{i}-3)^{3}$


3. $z=\dfrac{-2-3 \mathrm{i}}{1-2 \mathrm{i}}$


4. $z=\dfrac{(2-\mathrm{i})^{3}}{6-5 \mathrm{i}}$

31

Dans chaque cas, on donne un nombre complexe $z$ et son module.
1. Déterminer $\cos (\alpha)$ et $\sin (\alpha)$ où $\alpha$ est un argument de $z$.


2. Déterminer alors une valeur de $\alpha$.

32

Déterminer un argument des nombres complexes suivants.

1. $z=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3 \mathrm{i} \sqrt{3}}{2}$


2. $z=7 \mathrm{i}$


3. $z=\dfrac{-9 \sqrt{3}}{2}+\dfrac{9}{2} \mathrm{i}$


4. $z=4 \sqrt{3}-4 \mathrm{i}$

33

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.

1. $z=\sqrt{2}\left(\cos \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)\right)$


2. $z=\sqrt{3}(\cos (\pi)+\mathrm{i} \sin (\pi))$


3. $z=6\left(\cos \left(-\dfrac{17 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{17 \pi}{6}\right)\right)$


4. $z=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{\pi}{2}\right)$

34

Déterminer une forme trigonométrique pour chaque nombre complexe donné.

1. $z=-5$


2. $z=\pi \mathrm{i}$


3. $z=-\dfrac{7}{2}-\dfrac{7 \sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$


4. $z=4 \mathrm{i}-4 \sqrt{3}$


5. $z=1+\mathrm{i}$


6. $z=-3+3 \mathrm{i}$

35

Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1. $z=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2} \mathrm{i}$


2. $z=-\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{2}$


3. $z=\dfrac{-\sqrt{5}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{15}}{2}$

36

On considère les deux nombres complexes $z=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{6} \mathrm{i}}}$ et $z^{\prime}=12 \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{\pi}{4} \mathrm{i}}}$. Déterminer une forme exponentielle des nombres donnés.

1. $3z$


2. $-3 z^{\prime}$


3. $z z^{\prime}$


4. $\dfrac{z}{z^{\prime}}$


5. $z^3$


6. $z^{3} z^{\prime 2}$

37

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})$, soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points d’affixe respective $a=-1+2 \mathrm{i}$, $b=4+3 \mathrm{i}$ et $c=-6+\mathrm{i}$.

1. Déterminer la longueur $\text{AB}$.


2. Déterminer une mesure en radian de l’angle orienté $(\overrightarrow{\mathrm{BA}} ; \overrightarrow{\mathrm{BC}})$.

38

Soit $\text{ABC}$ un triangle rectangle isocèle en $\text{B}$ tel que $(\overrightarrow{\mathrm{BA}} ; \overrightarrow{\mathrm{BC}})=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Déterminer $\dfrac{c-b}{a-b}$, où $a$, $b$ et $c$ sont les affixes respectives des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$.

Pour les exercices

39

à 

41

Dans chaque cas, $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ sont trois points d’affixe respective $a$, $b$ et $c$.
Déterminer la nature du triangle $\text{ABC}$.

39

$a=1+2 \mathrm{i}$, $b=-2+3 \mathrm{i}$ et $c=-1+6 \mathrm{i}$.

40

$a=6+3 \mathrm{i}$, $b=-1+2 \mathrm{i}$ et $c=3-\mathrm{i}$.

41

$a=2 \mathrm{i}-1$, $b=3+2 \mathrm{i}$ et $c=1+3 \mathrm{i}$.

42

Linéariser les expressions suivantes.

1. $\cos ^{2}(x)$


2. $\sin ^{3}(x)$


3. $\cos ^{2}(x) \sin (x)$

43

À l’aide de la formule de Moivre, exprimer, pour tout réel $\theta$, $\cos (3 \theta)$ en fonction de $\cos (\theta)$.

44

Soit $\text{M}$ un point du plan complexe d’affixe $z$ appartenant à $\mathbb{U}$.
On donne $(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\dfrac{7 \pi}{4}+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Déterminer une forme exponentielle, puis une forme trigonométrique et la forme algébrique de $z$.

45

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^{7}=1$.