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Similitudes

1. On appelle transformation du plan toute fonction qui, à tout point $\text{M}$ du plan, associe un unique point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ du plan, et telle que tout point du plan possède un, et un seul, antécédent par cette fonction.
2. Soit $\overrightarrow{t}$ un vecteur. La translation de vecteur $\overrightarrow{t}$ est la transformation du plan qui, à tout point $\text{M}$, associe le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ tel que $\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\prime }}=\overrightarrow{t}$.
3. Soient $\Omega$ un point du plan et $k$ un réel non nul. L'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ est une transformation du plan qui, à tout point $\text{M}$ du plan, associe le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ tel que $\overrightarrow{\Omega {\mathrm{M}}^{\prime }}=k\overrightarrow{\Omega \mathrm{M}}$.
4. Soient $\Omega$ un point du plan et $\theta$ un réel. La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ est une transformation du plan qui, à tout point $\mathrm{M}$ du plan, associe le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ tel que $\Omega \mathrm{M}=\Omega {\mathrm{M}}^{\prime }$ et $(\overrightarrow{\Omega \mathrm{M}};\overrightarrow{\Omega {\mathrm{M}}^{\prime }})=\theta +k\times 2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
5. Une fonction $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ est une similitude directe lorsqu'il existe deux nombres complexes $a\ne 0$ et $b$ tels que, pour tout $z\in \mathbb{C}$, $f(z)=az+b$.

Soit $f$ la fonction définie, pour tout $z\in \mathbb{C}$, $f(z)=(3+\mathrm{i})z+2+\mathrm{i}$. $f$ est une similitude directe. Cette application n'a qu'un point fixe, c'est‑à‑dire un complexe vérifiant $f\left(z_0\right)=z_0$ (avec $z_0=-1$).

Dans cet exercice, $\text{M}$ désigne un point du plan d'affixe $z\in \mathbb{C}$. Le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }\in \mathbb{C}$ est l'image du point $\text{M}$ par une transformation du plan. 1. On suppose que la transformation du plan est une translation de vecteur $\overrightarrow{t}$ d'affixe $b$.
Montrer que $z^{\prime }=z+b$.

2. On suppose que la transformation du plan est une homothétie de centre $\Omega$, d'affixe $\omega$, et de rapport $k$.
Montrer que $z^{\prime }=\omega +k(z-\omega )$.

3. On suppose que la transformation du plan est une rotation de centre $\Omega$, d'affixe $\omega$, et d'angle $\theta$.
Montrer que $z^{\prime }=\omega +e^{\mathrm{i}\theta }(z-\omega )$.

4. Justifier que les transformations précédentes sont toutes des similitudes directes.

D'après bac S, Antilles - Guyane, juin 2012
Soit la transformation $f$ qui, à tout point $\text{M}$ d'affixe $z$, associe le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }$ tel que : 1. Montrer que cette transformation admet un unique point fixe $\Omega$ d'affixe $\omega =-2-2\mathrm{i}$.

2. Montrer qu'il existe $a\in \mathbb{C}$ tel que, pour tout $z\in \mathbb{C}$, on a $z^{\prime }-\omega =a(z-\omega )$. On précisera la valeur de $a.$

3. Déterminer une forme exponentielle de $a$.

4. En déduire que $f$ est la composée d'une rotation et d'une homothétie. On précisera ses éléments caractéristiques.

D'après bac S, La Réunion, juin 2011
Soit la transformation $f$ qui, à tout point $\text{M}$ d'affixe $z$, associe le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }$ tel que : Montrer que $f$ est une rotation dont on précisera ses éléments caractéristiques.

On dit qu'une transformation du plan $f$ conserve les longueurs lorsque, pour tous points $\text{A}$ et $\text{B}$ du plan, si ${\mathrm{A}}^{\prime }$ et ${\mathrm{B}}^{\prime }$ désignent les images respectives de $\text{A}$ et $\text{B}$ par $f$, on a ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }=\mathrm{AB}$.
Quelles sont les conditions pour qu'une similitude directe conserve les longueurs ?