Problème de concours

D'après concours des écoles des mines, 2006
Soit $f$ la fonction qui à un complexe $z$ associe, lorsque c'est possible, $f(z)=\frac{z^2}{z-2\mathrm{i}}$. 1. Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}$ de $f$.

2. a. Déterminer les racines carrées complexes de $8-6\mathrm{i}$.

b. En déduire tous les antécédents de $1+\mathrm{i}$ par $f$.

3. Soit $h$ un nombre complexe. Discuter, suivant les valeurs de $h$, le nombre d'antécédents de $h$ par $f$.

4. On désigne par $f(\mathcal{D})$ l'ensemble des éléments de $z^{\prime }$ de $\mathbb{C}$ tel qu'il existe $z\in \mathcal{D}$ vérifiant $z^{\prime }=f(z)$.
Si $f(\mathcal{D})=\mathbb{C}$, on dit que $f$ est surjective.
a. Déterminer l'ensemble $f(\mathcal{D})$.

b. La fonction $f$ est‑elle surjective ?

5. On dit que $f$ est injective lorsque, pour tous nombres $z$ et $z^{\prime }$ de $\mathcal{D}$, si $f(z)=f\left(z^{\prime }\right)$ alors $z=z^{\prime }$.
La fonction $f$ est‑elle injective ?

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathcal{D}$ à valeurs dans $\mathbb{C}$ et telle que, pour tout $z\in \mathcal{D}$,
6. Soit $z=x+\mathrm{i}y$ un nombre complexe appartenant à $\mathcal{D}$.
a. Montrer que la partie réelle de $g(z)$ est $2x^3-2x{y}^2-4xy$.

b. Déterminer la partie imaginaire de $z$.

D'après ENAC, 2016
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Soit $\theta \in ]-\pi ;\pi [$. On considère le nombre complexe $z=1+\cos (\theta )+\mathrm{i}\sin (\theta )$. 1. Le module de $z$ vaut :

a. $|z|=\sqrt{2+2\cos \theta }$.

b. $|z|=2$.

c. $|z|=2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$.

d. $|z|=\sqrt{2}+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$.

2. Un argument de $z$ vérifie :

a. $\alpha =\frac{\theta }{2}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

b. $\alpha =\frac{\theta }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

c. $\tan \alpha =\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)$.

d. $\tan \alpha =\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

3. On obtient alors :

a. $z=2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}$.

b. $z=2\left|\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\right|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}$.

c. $z=2\left|\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\right|\left(\cos \left|\frac{\theta }{2}\right|+\mathrm{i}\sin \left|\frac{\theta }{2}\right|\right)$.

d. $z=2{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)\left(1+\mathrm{i}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)$.

D'après ENAC, 2018
Soit $a$ un paramètre réel. On considère l'équation : Déterminer les solutions de cette équation.

Aide

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres complexes avec $a\ne 0$.
On admet que l'équation du second degré à coefficients complexes $a{z}^2+bz+c=0$ se résout de la même manière que les équations à coefficients réels :

• on calcule $\Delta =b^2-4ac$ ;
• on détermine $\delta \in \mathbb{C}$ tel que $\Delta ={\delta }^2$ ;
• on en déduit les solutions données par $z_1=\frac{-b-\delta }{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\delta }{2a}$.