Géométrie et nombres complexes

Soient $\overrightarrow{w_1}$ et $\overrightarrow{w_2}$ deux vecteurs du plan complexe d'affixe respective $z_1$ et $z_2$.
1. Le vecteur $\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}$ a pour affixe $z_1+z_2$.
2. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors le vecteur $\lambda \overrightarrow{w_1}$ a pour affixe $\lambda z_1$.

Soient $\overrightarrow{w_1}$ et $\overrightarrow{w_2}$ deux vecteurs du plan complexe d'affixe respective $z_1=3\mathrm{i}+5$ et $z_2=1-\mathrm{i}$. Le vecteur $5\overrightarrow{w_1}-\overrightarrow{w_2}$ a pour affixe $5z_1-z_2=24+16\mathrm{i}$.

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux points du plan complexe d'affixe respective $z_{\mathrm{A}}$ et $z_{\mathrm{B}}$.
1. Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ a pour affixe $z_{\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}$.
2. Le point $\text{I}$ d'affixe $z_{\mathrm{I}}$ est le milieu de $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$ si, et seulement si, $z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}.$

Par définition, les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}$ ont pour affixe respective $z_{\mathrm{A}}$ et $z_{\mathrm{B}}$.
1. D'après la relation de Chasles, on a : $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{O}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}$.
En utilisant la propriété 1. précédente, on obtient : $z_{\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}}=z_{\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}}-z_{\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}$.
2. $\text{I}$ est le milieu de $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$ donc $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{I}}$.
En utilisant la propriété 2. précédente, on obtient que $z_{\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}}=2z_{\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{I}}}$.
D'où $z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2\left(z_{\mathrm{I}}-z_{\mathrm{A}}\right)$ donc $z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2z_{\mathrm{I}}-2z_{\mathrm{A}}$, soit $z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}$.

On obtient la réciproque en remontant les calculs.

1. $\text{A}$ et $\text{B}$ ont pour affixe respective $z_{\mathrm{A}}=2-3\mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{B}}=-1+5\mathrm{i}$. Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ a donc pour affixe $z_{\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=-1+5\mathrm{i}-(2-3\mathrm{i})=-3+8\mathrm{i}$.
Le milieu $\text{I}$ du segment $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$ a pour affixe $z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}=\frac{1}{2}+\mathrm{i}$.
2. Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points d'affixe respective $z_{\mathrm{A}}=6-3\mathrm{i}$, $z_{\mathrm{B}}=-2-\mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{C}}=2-2\mathrm{i}$.
On a $z_{\mathrm{C}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}$ donc $\text{C}$ est le milieu du segment $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$.

On a $z_{\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=-6+\mathrm{i}$ et $z_{\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}}=z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{B}}=4+5\mathrm{i}$
d'où $z_{3\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}}=3z_{\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}}-z_{\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}}=-22-2\mathrm{i}$.
De plus, $z_{\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}}=z_{\mathrm{D}}-5+2\mathrm{i}$. Or $3\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}$.
Donc $z_{\mathrm{D}}-5+2\mathrm{i}=-22-2\mathrm{i}$, soit $z_{\mathrm{D}}=-17-4\mathrm{i}$.

Exercices

27

p. 66 et

53

p. 68

Soit $z\in \mathbb{C}$. Alors : $|z|=0\iff z=0.$

$|z|=0\iff \mathrm{O}\mathrm{M}=0\iff \mathrm{O}$ et $\text{M}$ confondus $\iff z=0$.

Pour tout nombre complexe écrit sous forme algébrique $z=x+\mathrm{i}y$, on a :
$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ et $|z{|}^2=z\times \overline{z}.$

Soit $\text{M}$ d'affixe $z$. Alors $\text{M}$ a pour coordonnées $(x;y)$. Le plan complexe étant orthonormé, on a $|z|=\mathrm{O}\mathrm{M}=\sqrt{{\left(x_{\mathrm{M}}-x_{\mathrm{O}}\right)}^2+{\left(y_{\mathrm{M}}-y_{\mathrm{O}}\right)}^2}=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$.
Par ailleurs, $|z{|}^2={\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}^2=x^2+y^2$ puisque $x^2+y^2⩾0$.
De plus, $z\times \overline{z}=(x+\mathrm{i}y)(x-\mathrm{i}y)=x^2-(\mathrm{i}y{)}^2=x^2+y^2$. D'où $|z{|}^2=z\times \overline{z}$.

Pour $z\ne 0$, $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$.

Le module de $z=6-8\mathrm{i}$ est $|z|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=10$.

Se reporter à l'exercice

63

p. 69 pour les points 1. et 2., puis à l'exercice

145

p. 79 pour le point 3..

• $\left|z_1\right|=|3-2\mathrm{i}|\times |2+5\mathrm{i}|=\sqrt{13}\times \sqrt{29}=\sqrt{377}$
• $\left|z_2\right|=|1-3\mathrm{i}{|}^3={\sqrt{10}}^3=10\sqrt{10}$
• $\left|z_3\right|=\frac{|1+\mathrm{i}|}{|3-2\mathrm{i}|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}=\sqrt{\frac{2}{13}}=\frac{\sqrt{26}}{13}$

Exercices

29

et

30

p. 67

Le réel $\alpha$ est appelé mesure, en radian, de l'angle orienté $(\overrightarrow{\mathbf{u}};\overrightarrow{\mathbf{O}\mathbf{M}})$. On note : $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=\alpha +k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

1. $\arg (z)=0+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=0+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}$ colinéaires de même sens $\iff z$ est un réel strictement positif.
2. $\arg (z)=\pi +k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=\pi +k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}$ colinéaires de sens contraire $\iff z$ est un réel strictement négatif.
3. $\arg (z)=\frac{\pi }{2}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=\frac{\pi }{2}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff \mathrm{M}$ appartient à la demi‑droite $[\mathrm{O}\mathrm{V})\iff z$ est un imaginaire pur vérifiant $\mathrm{Im}(Z)>0$.
4. $\arg (z)=-\frac{\pi }{2}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=-\frac{}{2}$