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1. Géométrie et nombres complexes
P.52-55

COURS 1


1
Géométrie et nombres complexes





Le plan est muni d’un repère orthonormé direct nommé plan complexe.

Remarque

Un repère orthonormé est direct lorsque avec .

A
Affixe d’un point et affixe d’un vecteur


Définitions

Soit le point du plan de coordonnées .
1. On appelle affixe du point le nombre complexe défini par .
2. On appelle affixe du vecteur le nombre complexe .
3. Un vecteur a pour affixe lorsque , où est le point d’affixe .

NOTATIONS

On note respectivement :

Remarques

  • Un nombre complexe écrit sous forme algébrique peut se représenter par le point ou par le vecteur .
  • L’axe des abscisses est appelé axe des réels. L’axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.

Exemple

Les points , et ont pour affixe respective , et .

MAT.XP.2.INF04_v1

Propriétés

Soient et deux vecteurs du plan complexe d’affixe respective et .
1. Le vecteur a pour affixe .
2. Soit . Alors le vecteur a pour affixe .

Remarque

On dit que l’application qui associe son affixe à un vecteur du plan complexe est linéaire.

Remarque

On retrouve le lien
.

DÉMONSTRATION

Soient et deux nombres complexes dont les formes algébriques sont données par et .
Ainsi et .
1. a pour coordonnées .
Donc : .
2. Soit . a pour coordonnées .
Donc : .

MAT.XP.2.INF06_v1

Exemple

Soient et deux vecteurs du plan complexe d’affixe respective et . Le vecteur a pour affixe .

Propriétés

Soient et deux points du plan complexe d’affixe respective et .
1. Le vecteur a pour affixe .
2. Le point d’affixe est le milieu de si, et seulement si, .

DÉMONSTRATION

Par définition, les vecteurs et ont pour affixe respective et .
1. D’après la relation de Chasles, on a : .
En utilisant la propriété 1. précédente, on obtient : .
2. est le milieu de donc .
En utilisant la propriété 2. précédente, on obtient que .
D’où donc , soit .

Remarque

On obtient la réciproque en remontant les calculs.

Exemples

1. et ont pour affixe respective et . Le vecteur a donc pour affixe .
Le milieu du segment a pour affixe .
2. Soient , et trois points d’affixe respective , et .
On a donc est le milieu du segment .

Application et méthode - 1

Énoncé

Soient , et trois points du plan complexe d’affixe respective , et .
Déterminer l’affixe du point tel que .

B
Module d’un nombre complexe


Définition

Soit le point d’affixe . Le module de , noté , est la distance , c’est‑à‑dire .

Module d’un nombre complexe

Remarque

Par définition, est un nombre réel supérieur ou égal à .

Propriété

Soit . Alors : .

DÉMONSTRATION

et confondus .

Propriété

Pour tout nombre complexe écrit sous forme algébrique , on a :
et .

DÉMONSTRATION

Soit d’affixe . Alors a pour coordonnées . Le plan complexe étant orthonormé, on a .
Par ailleurs, puisque .
De plus, . D'où .

Remarque

Pour , .

Exemple

Le module de est .

Propriétés

Soient et deux nombres complexes et un entier relatif non nul. On a :

1. et .

2. ;
  ● (si ) ;
  ● (avec si ).

3. Inégalité triangulaire : .

Remarque

L’inégalité triangulaire étend celle valable sur avec la valeur absolue.

DÉMONSTRATION

Se reporter à l’exercice
63
p. 69
pour les points 1. et 2., puis à l’exercice
145
p. 79
pour le point 3..

Application et méthode - 2

Énoncé

Déterminer les modules des nombres complexes , et .

C
Arguments d’un nombre complexe


Dans cette sous‑partie, on suppose distinct de , c’est‑à‑dire .
On considère le point de la demi‑droite appartenant au cercle trigonométrique.
On note un réel associé au point du cercle trigonométrique.

Arguments d’un nombre complexe

Définition

Le réel est appelé mesure, en radian, de l’angle orienté . On note : ().

Définitions

Lorsque est le point d’affixe , avec , un argument de , noté , est une mesure de l’angle orienté , soit ().
La mesure d’angle appartenant à est appelée argument principal de .

Remarque

  • Si est nul, l’angle orienté n’est pas défini. On ne peut donc pas parler d’argument de .
  • Un argument de n’est pas unique puisque l’angle orienté admet une infinité de mesures, toutes égales à un multiple de près.

Propriétés

On considère un nombre complexe non nul.
1. () est un réel strictement positif.
2. () est un réel strictement négatif.
3. () est un imaginaire pur vérifiant .
4. () est un imaginaire pur vérifiant .

Remarque

Ces propriétés permettent de démontrer le parallélisme ou l’orthogonalité de droites.

DÉMONSTRATION

1. () () et colinéaires de même sens est un réel strictement positif.
2. () () et colinéaires de sens contraire est un réel strictement négatif.
3. () () appartient à la demi‑droite est un imaginaire pur vérifiant .
4. () () appartient à la demi‑droite , où est le point d’affixe est un imaginaire pur tel que .

Exemples

1. () car est un réel strictement négatif.
2. () car est un imaginaire pur et .
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