Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v) nommé plan complexe.
Remarque
Un repère orthonormé (O;u,v) est direct lorsque (u;v)=2π+2kπ avec k∈Z.
A
Affixe d’un point et affixe d’un vecteur
Définitions
Soit M le point du plan de coordonnées (x;y).
1. On appelle affixe du point M le nombre complexe z défini par z=x+iy.
2. On appelle affixe du vecteur OM le nombre complexe z.
3. Un vecteur w a pour affixe z lorsque w=OM, où M est le point d’affixe z.
NOTATIONS
On note respectivement :
M(z)
OM(z)
w(z)
Remarques
Un nombre complexe écrit sous forme algébrique z=x+iy peut se représenter par le point M(x;y) ou par le vecteur w(x;y).
L’axe des abscisses est appelé axe des réels. L’axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.
Exemple
Les points U, V et A ont pour affixe respective zU=1, zV=i et zA=−2+i.
Propriétés
Soient w1 et w2 deux vecteurs du plan complexe d’affixe respective z1 et z2.
1. Le vecteur w1+w2 a pour affixe z1+z2.
2. Soit λ∈R. Alors le vecteur λw1 a pour affixe λz1.
Remarque
On dit que l’application qui associe son affixe à un vecteur du plan complexe est linéaire.
Remarque
On retrouve le lien zOM=zM−zO=zM.
DÉMONSTRATION
Soient z1 et z2 deux nombres complexes dont les formes algébriques sont données par z1=x1+iy1 et z2=x2+iy2.
Ainsi w1(x1y1) et w2(x2y2).
1.w1+w2 a pour coordonnées (x1+x2y1+y2).
Donc : zw1+w2=x1+x2+i(y1+y2)=(x1+iy1)+(x2+iy2)=z1+z2.
2. Soit λ∈R. λw1 a pour coordonnées (λx1λy1).
Donc : zλw1=λx1+iλy1=λ(x1+iy1)=λz1.
Exemple
Soient w1 et w2 deux vecteurs du plan complexe d’affixe respective z1=3i+5 et z2=1−i. Le vecteur 5w1−w2 a pour affixe 5z1−z2=24+16i.
Propriétés
Soient A et B deux points du plan complexe d’affixe respective zA et zB.
1. Le vecteur AB a pour affixe zAB=zB−zA.
2. Le point I d’affixe zI est le milieu de [AB] si, et seulement si, zI=2zA+zB.
DÉMONSTRATION
Par définition, les vecteurs OA et OB ont pour affixe respective zA et zB.
1. D’après la relation de Chasles, on a : AB=AO+OB=OB−OA.
En utilisant la propriété 1. précédente, on obtient : zAB=zOB−zOA=zB−zA.
2.I est le milieu de [AB] donc AB=2AI.
En utilisant la propriété 2. précédente, on obtient que zAB=2zAI.
D’où zB−zA=2(zI−zA) donc zB−zA=2zI−2zA, soit zI=2zA+zB.
Remarque
On obtient la réciproque en remontant les calculs.
Exemples
1.A et B ont pour affixe respective zA=2−3i et zB=−1+5i. Le vecteur AB a donc pour affixe zAB=zB−zA=−1+5i−(2−3i)=−3+8i.
Le milieu I du segment [AB] a pour affixe zI=2zA+zB=21+i.
2. Soient A, B et C trois points d’affixe respective zA=6−3i, zB=−2−i et zC=2−2i.
On a zC=2zA+zB donc C est le milieu du segment [AB].
Application et méthode - 1
Énoncé
Soient A, B et C trois points du plan complexe d’affixe respective zA=5−2i, zB=−1−i et zC=3+4i.
Déterminer l’affixe du point D tel que AD=3AB−BC.
B
Module d’un nombre complexe
Définition
Soit M le point d’affixe z. Le module de z, noté ∣z∣, est la distance OM, c’est‑à‑dire ∣z∣=OM.
Remarque
Par définition, ∣z∣ est un nombre réel supérieur ou égal à 0.
Propriété
Soit z∈C. Alors : ∣z∣=0⇔z=0.
DÉMONSTRATION
∣z∣=0⇔OM=0⇔O et M confondus ⇔z=0.
Propriété
Pour tout nombre complexe écrit sous forme algébrique z=x+iy, on a :
∣z∣=x2+y2 et ∣z∣2=z×z.
DÉMONSTRATION
Soit M d’affixe z. Alors M a pour coordonnées (x;y). Le plan complexe étant orthonormé, on a ∣z∣=OM=(xM−xO)2+(yM−yO)2=(x−0)2+(y−0)2=x2+y2.
Par ailleurs, ∣z∣2=(x2+y2)2=x2+y2 puisque x2+y2⩾0.
De plus, z×z=(x+iy)(x−iy)=x2−(iy)2=x2+y2. D'où ∣z∣2=z×z.
Remarque
Pour z=0, z1=∣z∣2z.
Exemple
Le module de z=6−8i est ∣z∣=62+(−8)2=10.
Propriétés
Soient z et z′ deux nombres complexes et n un entier relatif non nul. On a :
Déterminer les modules des nombres complexes z1=(3−2i)(2+5i), z2=(1−3i)3et z3=3−2i1+i.
C
Arguments d’un nombre complexe
Dans cette sous‑partie, on suppose M distinct de O, c’est‑à‑dire z=0.
On considère M′ le point de la demi‑droite [OM) appartenant au cercle trigonométrique.
On note α un réel associé au point M′ du cercle trigonométrique.
Définition
Le réel α est appelé mesure, en radian, de l’angle orienté (u;OM). On note : (u;OM)=α+k×2π (k∈Z).
Définitions
Lorsque M est le point d’affixe z, avec z=0, un argument dez, noté arg(z), est une mesure de l’angle orienté (u;OM), soit (u;OM)=arg(z)+k×2π (k∈Z).
La mesure d’angle appartenant à ]−π;π] est appelée argument principal de z.
Remarque
Si z est nul, l’angle orienté (u;OM) n’est pas défini. On ne peut donc pas parler d’argument de 0.
Un argument de z n’est pas unique puisque l’angle orienté (u;OM) admet une infinité de mesures, toutes égales à un multiple de 2π près.
Propriétés
On considère un nombre complexe z non nul.
1.arg(z)=0+k×2π (k∈Z) ⇔z est un réel strictement positif.
2.arg(z)=π+k×2π (k∈Z) ⇔z est un réel strictement négatif.
3.arg(z)=2π+k×2π (k∈Z) ⇔z est un imaginaire pur vérifiant Im(z)>0.
4.arg(z)=−2π+k×2π (k∈Z) ⇔z est un imaginaire pur vérifiant Im(z)<0.
Remarque
Ces propriétés permettent de démontrer le parallélisme ou l’orthogonalité de droites.
DÉMONSTRATION
1.arg(z)=0+k×2π (k∈Z) ⇔(u;OM)=0+k×2π (k∈Z) ⇔u et OM colinéaires de même sens ⇔z est un réel strictement positif.
2.arg(z)=π+k×2π (k∈Z) ⇔(u;OM)=π+k×2π (k∈Z) ⇔u et OM colinéaires de sens contraire ⇔z est un réel strictement négatif.
3.arg(z)=2π+k×2π (k∈Z) ⇔(u;OM)=2π+k×2π (k∈Z) ⇔M appartient à la demi‑droite [OV)⇔z est un imaginaire pur vérifiant Im(Z)>0.
4.arg(z)=−2π+k×2π (k∈Z) ⇔(u;OM)=−2π+k×2π (k∈Z) ⇔M appartient à la demi‑droite [OW), où W est le point d’affixe −i⇔z est un imaginaire pur tel que Im(z)<0.
Exemples
1.arg(−2)=π+k×2π (k∈Z) car −2 est un réel strictement négatif.
2.arg(25i)=2π+k×2π (k∈Z) car 25i est un imaginaire pur et 25>0.
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