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Géométrie et nombres complexes

• Un nombre complexe écrit sous forme algébrique $z=x+\mathrm{i}y$ peut se représenter par le point $\mathrm{M}(x;y)$ ou par le vecteur $\overrightarrow{w}(x;y)$.
• L’axe des abscisses est appelé axe des réels. L’axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.

Exemple

Les points $\text{U}$, $\text{V}$ et $\text{A}$ ont pour affixe respective $z_{\mathrm{U}}=1$, $z_{\mathrm{V}}=\mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{A}}=-2+\mathrm{i}$.

On dit que l’application qui associe son affixe à un vecteur du plan complexe est linéaire.

On retrouve le lien
$z_{\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}}=z_{\mathrm{M}}-z_{\mathrm{O}}=z_{\mathrm{M}}$.

DÉMONSTRATION

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes dont les formes algébriques sont données par $z_1=x_1+\mathrm{i}{y}_1$ et $z_2=x_2+\mathrm{i}{y}_2$.
Ainsi $\overrightarrow{w_1}\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{w_2}\left(\begin{array}{l}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)$.
1. $\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{l}{x}_1+x_2\\ y_1+y_2\end{array}\right)$.
Donc : $z_{\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}}=x_1+x_2+\mathrm{i}\left(y_1+y_2\right)=\left(x_1+\mathrm{i}{y}_1\right)+\left(x_2+\mathrm{i}{y}_2\right)=z_1+z_2$.
2. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. $\lambda \overrightarrow{w_1}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{l}\lambda x_1\\ \lambda y_1\end{array}\right)$.
Donc : $z_{\lambda \overrightarrow{w_1}}=\lambda x_1+\mathrm{i}\lambda y_1=\lambda \left(x_1+\mathrm{i}{y}_1\right)=\lambda z_1$.

Exemple

Soient $\overrightarrow{w_1}$ et $\overrightarrow{w_2}$ deux vecteurs du plan complexe d’affixe respective $z_1=3\mathrm{i}+5$ et $z_2=1-\mathrm{i}$. Le vecteur $5\overrightarrow{w_1}-\overrightarrow{w_2}$ a pour affixe $5z_1-z_2=24+16\mathrm{i}$.

DÉMONSTRATION

Par définition, les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}$ ont pour affixe respective $z_{\mathrm{A}}$ et $z_{\mathrm{B}}$.
1. D’après la relation de Chasles, on a : $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{O}}+\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}$.
En utilisant la propriété 1. précédente, on obtient : $z_{\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}}=z_{\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}}-z_{\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}$.
2. $\text{I}$ est le milieu de $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$ donc $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}=2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{I}}$.
En utilisant la propriété 2. précédente, on obtient que $z_{\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}}=2z_{\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{I}}}$.
D’où $z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2\left(z_{\mathrm{I}}-z_{\mathrm{A}}\right)$ donc $z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2z_{\mathrm{I}}-2z_{\mathrm{A}}$, soit $z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}$.

On obtient la réciproque en remontant les calculs.

Exemples

1. $\text{A}$ et $\text{B}$ ont pour affixe respective $z_{\mathrm{A}}=2-3\mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{B}}=-1+5\mathrm{i}$. Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ a donc pour affixe $z_{\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=-1+5\mathrm{i}-(2-3\mathrm{i})=-3+8\mathrm{i}$.
Le milieu $\text{I}$ du segment $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$ a pour affixe $z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}=\frac{1}{2}+\mathrm{i}$.
2. Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points d’affixe respective $z_{\mathrm{A}}=6-3\mathrm{i}$, $z_{\mathrm{B}}=-2-\mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{C}}=2-2\mathrm{i}$.
On a $z_{\mathrm{C}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}$ donc $\text{C}$ est le milieu du segment $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$.

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points du plan complexe d’affixe respective $z_{\mathrm{A}}=5-2\mathrm{i}$, $z_{\mathrm{B}}=-1-\mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{C}}=3+4\mathrm{i}$.
Déterminer l’affixe du point $\text{D}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{D}}=3\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}$.

Par définition, $|z|$ est un nombre réel supérieur ou égal à $0$.

DÉMONSTRATION

$|z|=0\iff \mathrm{O}\mathrm{M}=0\iff \mathrm{O}$ et $\text{M}$ confondus $\iff z=0$.

DÉMONSTRATION

Soit $\text{M}$ d’affixe $z$. Alors $\text{M}$ a pour coordonnées $(x;y)$. Le plan complexe étant orthonormé, on a $|z|=\mathrm{O}\mathrm{M}=\sqrt{{\left(x_{\mathrm{M}}-x_{\mathrm{O}}\right)}^2+{\left(y_{\mathrm{M}}-y_{\mathrm{O}}\right)}^2}=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$.
Par ailleurs, $|z{|}^2={\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}^2=x^2+y^2$ puisque $x^2+y^2⩾0$.
De plus, $z\times \overline{z}=(x+\mathrm{i}y)(x-\mathrm{i}y)=x^2-(\mathrm{i}y{)}^2=x^2+y^2$. D'où $|z{|}^2=z\times \overline{z}$.

Pour $z\ne 0$, $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$.

Exemple

Le module de $z=6-8\mathrm{i}$ est $|z|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=10$.

L’inégalité triangulaire étend celle valable sur $\mathbb{R}$ avec la valeur absolue.

DÉMONSTRATION

Se reporter à l’exercice

63

p. 69 pour les points 1. et 2., puis à l’exercice

145

p. 79 pour le point 3..

Déterminer les modules des nombres complexes $z_1=(3-2\mathrm{i})(2+5\mathrm{i})$, $z_2=(1-3\mathrm{i}{)}^3$et $z_3=\frac{1+\mathrm{i}}{3-2\mathrm{i}}$.

Dans cette sous‑partie, on suppose $\text{M}$ distinct de $\text{O}$, c’est‑à‑dire $z\ne 0$.
On considère ${\mathbf{M}}^{\prime }$ le point de la demi‑droite $[\mathrm{O}\mathrm{M})$ appartenant au cercle trigonométrique.
On note $\alpha$ un réel associé au point ${\mathbf{M}}^{\prime }$ du cercle trigonométrique.

• Si $z$ est nul, l’angle orienté $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})$ n’est pas défini. On ne peut donc pas parler d’argument de $0$.
• Un argument de $z$ n’est pas unique puisque l’angle orienté $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})$ admet une infinité de mesures, toutes égales à un multiple de $2\pi$ près.

Ces propriétés permettent de démontrer le parallélisme ou l’orthogonalité de droites.

DÉMONSTRATION

1. $\arg (z)=0+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=0+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}$ colinéaires de même sens $\iff z$ est un réel strictement positif.
2. $\arg (z)=\pi +k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=\pi +k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}$ colinéaires de sens contraire $\iff z$ est un réel strictement négatif.
3. $\arg (z)=\frac{\pi }{2}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=\frac{\pi }{2}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff \mathrm{M}$ appartient à la demi‑droite $[\mathrm{O}\mathrm{V})\iff z$ est un imaginaire pur vérifiant $\mathrm{Im}(Z)>0$.
4. $\arg (z)=-\frac{\pi }{2}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff (\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})=-\frac{\pi }{2}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) $\iff \mathrm{M}$ appartient à la demi‑droite $[\mathrm{O}\mathrm{W})$, où $\text{W}$ est le point d’affixe $-\mathrm{i}\iff z$ est un imaginaire pur tel que $\mathrm{Im}(z)<0$.

Exemples

1. $\arg (-2)=\pi +k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) car $-2$ est un réel strictement négatif.
2. $\arg \left(\frac{5}{2}\mathrm{i}\right)=\frac{\pi }{2}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) car $\frac{5}{2}\mathrm{i}$ est un imaginaire pur et $\frac{5}{2}>0$.