Mathématiques Expertes Terminale
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Cours 1

Géométrie et nombres complexes

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct nommé plan complexe.

Remarque : Un repère orthonormé est direct lorsque avec .

A
Affixe d'un point et affixe d'un vecteur

Définitions
Soit le point du plan de coordonnées .
1. On appelle affixe du point le nombre complexe défini par .
2. On appelle affixe du vecteur le nombre complexe .
3. Un vecteur a pour affixe lorsque , où est le point d'affixe .

Notation

On note respectivement :
Exemple
Les points , et ont pour affixe respective , et .

MAT.XP.2.INF04_v1
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarques

  • Un nombre complexe écrit sous forme algébrique peut se représenter par le point ou par le vecteur
  • L'axe des abscisses est appelé axe des réels. L'axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.
Propriétés
Soient et deux vecteurs du plan complexe d'affixe respective et .
1. Le vecteur a pour affixe .
2. Soit . Alors le vecteur a pour affixe .
Démonstration
Soient et deux nombres complexes dont les formes algébriques sont données par et .
Ainsi et .
1. a pour coordonnées .
Donc : .
2. Soit . a pour coordonnées .
Donc : .

MAT.XP.2.INF06_v1
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarque

On dit que l'application qui associe son affixe à un vecteur du plan complexe est linéaire.

Remarque

On retrouve le lien .
Exemple
Soient et deux vecteurs du plan complexe d'affixe respective et . Le vecteur a pour affixe .
Propriétés
Soient et deux points du plan complexe d'affixe respective et .
1. Le vecteur a pour affixe .
2. Le point d'affixe est le milieu de si, et seulement si,
Démonstration
Par définition, les vecteurs et ont pour affixe respective et .
1. D'après la relation de Chasles, on a : .
En utilisant la propriété 1. précédente, on obtient : .
2. est le milieu de donc .
En utilisant la propriété 2. précédente, on obtient que .
D'où donc , soit .

Remarque

On obtient la réciproque en remontant les calculs.
Exemples
1. et ont pour affixe respective et . Le vecteur a donc pour affixe .
Le milieu du segment a pour affixe .
2. Soient , et trois points d'affixe respective , et .
On a donc est le milieu du segment .
Application et méthode - 1
Énoncé
Soient , et trois points du plan complexe d'affixe respective , et . Déterminer l'affixe du point tel que .

Méthode

  • On calcule les affixes des différents vecteurs , , et l'affixe de .
  • On traduit l'égalité vectorielle par une égalité d'affixes.
  • On résout l'équation obtenue.
Solution
On a et
d'où .
De plus, . Or .
Donc , soit .

Pour s'entraîner
Exercices p. 66 et p. 68

B
Module d'un nombre complexe

Définition
Soit le point d'affixe . Le module de , noté , est la distance , c'est‑à‑dire .

Module d'un nombre complexe
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarque

Par définition, est un nombre réel supérieur ou égal à
Propriété
Soit . Alors :
Démonstration
et confondus .
Propriété
Pour tout nombre complexe écrit sous forme algébrique , on a :
et
Démonstration
Soit d'affixe . Alors a pour coordonnées . Le plan complexe étant orthonormé, on a .
Par ailleurs, puisque .
De plus, . D'où .

Remarque

Pour , .
Exemple
Le module de est .
Propriétés
Soient et deux nombres complexes et un entier relatif non nul. On a :

1. et .

2. ;
  • (si ) ;
  • (avec si ).

3. Inégalité triangulaire : .

Remarque

L'inégalité triangulaire étend celle valable sur avec la valeur absolue.
Démonstration
Se reporter à l'exercice p. 69 pour les points 1. et 2., puis à l'exercice p. 79 pour le point 3..
Application et méthode - 2
Énoncé
Déterminer les modules des nombres complexes , et

Méthode

  • Calculer le module des différents termes de l'expression, puis utiliser les égalités , ou .
  • Penser à simplifier le résultat obtenu en utilisant les opérations sur les racines carrées de nombres réels.
Solution


Pour s'entraîner
Exercices et p. 67

C
Arguments d'un nombre complexe

Dans cette sous‑partie, on suppose distinct de c'est‑à‑dire .
On considère le point de la demi‑droite appartenant au cercle trigonométrique.
On note un réel associé au point du cercle trigonométrique.

Arguments d'un nombre complexe
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Définition
Le réel est appelé mesure, en radian, de l'angle orienté . On note : ().
Définitions
Lorsque est le point d'affixe , avec , un argument de , noté , est une mesure de l'angle orienté , soit ().
La mesure d'angle appartenant à est appelée argument principal de
Propriétés
On considère un nombre complexe non nul.
1. () est un réel strictement positif.
2. () est un réel strictement négatif.
3. () est un imaginaire pur vérifiant .
4. () est un imaginaire pur vérifiant .

Remarques

  • Si est nul, l'angle orienté n'est pas défini. On ne peut donc pas parler d'argument de .
  • Un argument de n'est pas unique puisque l'angle orienté admet une infinité de mesures, toutes égales à un multiple de près.
Démonstration
1. () () et colinéaires de même sens est un réel strictement positif.
2. () () et colinéaires de sens contraire est un réel strictement négatif.
3. () () appartient à la demi‑droite est un imaginaire pur vérifiant .
4. ()