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Géométrie et nombres complexes

• Un nombre complexe écrit sous forme algébrique $z=x+\mathrm{i} y$ peut se représenter par le point $\mathrm{M}(x ; y)$ ou par le vecteur $\overrightarrow{w}(x ; y)$.
• L’axe des abscisses est appelé axe des réels. L’axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.

Exemple

Les points $\text{U}$, $\text{V}$ et $\text{A}$ ont pour affixe respective $z_{\mathrm{U}}=1$, $z_{\mathrm{V}}=\mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{A}}=-2+\mathrm{i}$.

On dit que l’application qui associe son affixe à un vecteur du plan complexe est linéaire.

On retrouve le lien
$z_{\overrightarrow{\mathrm{OM}}}=z_{\mathrm{M}}-z_{\mathrm{O}}=z_{\mathrm{M}}$.

DÉMONSTRATION

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes dont les formes algébriques sont données par $z_{1}=x_{1}+\mathrm{i} y_{1}$ et $z_{2}=x_{2}+\mathrm{i} y_{2}$.
Ainsi $\overrightarrow{w_{1}}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{w_{2}}\left(\begin{array}{l}x_{2} \\ y_{2}\end{array}\right)$.
1. $\overrightarrow{w_{1}}+\overrightarrow{w_{2}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{l}x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2}\end{array}\right)$.
Donc : $z_{\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}}=x_{1}+x_{2}+\mathrm{i}\left(y_{1}+y_{2}\right)=\left(x_{1}+\mathrm{i} y_{1}\right)+\left(x_{2}+\mathrm{i} y_{2}\right)=z_{1}+z_{2}$.
2. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. $\lambda \overrightarrow{w_{1}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{l}\lambda x_{1} \\ \lambda y_{1}\end{array}\right)$.
Donc : $z_{\lambda \overrightarrow{w_1}}=\lambda x_{1}+\mathrm{i} \lambda y_{1}=\lambda\left(x_{1}+\mathrm{i} y_{1}\right)=\lambda z_{1}$.

Exemple

Soient $\overrightarrow{w_{1}}$ et $\overrightarrow{w_{2}}$ deux vecteurs du plan complexe d’affixe respective $z_{1}=3 \mathrm{i}+5$ et $z_{2}=1-\mathrm{i}$. Le vecteur $5 \overrightarrow{w_{1}}-\overrightarrow{w_{2}}$ a pour affixe $5 z_{1}-z_{2}=24+16 \mathrm{i}$.

DÉMONSTRATION

Par définition, les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ont pour affixe respective $z_{\mathrm{A}}$ et $z_{\mathrm{B}}$.
1. D’après la relation de Chasles, on a : $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$.
En utilisant la propriété 1. précédente, on obtient : $z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\overrightarrow{\mathrm{OB}}}-z_{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}$.
2. $\text{I}$ est le milieu de $[\mathrm{AB}]$ donc $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}}$.
En utilisant la propriété 2. précédente, on obtient que $z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=2 z_{\overrightarrow{\mathrm{AI}}}$.
D’où $z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2\left(z_{\mathrm{I}}-z_{\mathrm{A}}\right)$ donc $z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2 z_{\mathrm{I}}-2 z_{\mathrm{A}}$, soit $z_{\mathrm{I}}=\dfrac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}$.

On obtient la réciproque en remontant les calculs.

Exemples

1. $\text{A}$ et $\text{B}$ ont pour affixe respective $z_{\mathrm{A}}=2-3 \mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{B}}=-1+5 \mathrm{i}$. Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ a donc pour affixe $z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=-1+5\mathrm{i}-(2-3\mathrm{i})=-3+8\mathrm{i}$.
Le milieu $\text{I}$ du segment $[\mathrm{AB}]$ a pour affixe $z_{\mathrm{I}}=\dfrac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}=\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}$.
2. Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points d’affixe respective $z_{\mathrm{A}}=6-3 \mathrm{i}$, $z_{\mathrm{B}}=-2- \mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{C}}=2-2 \mathrm{i}$.
On a $z_{\mathrm{C}}=\dfrac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}$ donc $\text{C}$ est le milieu du segment $[\mathrm{AB}]$.

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points du plan complexe d’affixe respective $z_{\mathrm{A}}=5-2 \mathrm{i}$, $z_{\mathrm{B}}=-1-\mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{C}}=3+4\mathrm{i}$.
Déterminer l’affixe du point $\text{D}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

Par définition, $|z|$ est un nombre réel supérieur ou égal à $0$.

DÉMONSTRATION

$|z|=0 \Leftrightarrow \mathrm{OM}=0 \Leftrightarrow \mathrm{O}$ et $\text{M}$ confondus $\Leftrightarrow z=0$.

DÉMONSTRATION

Soit $\text{M}$ d’affixe $z$. Alors $\text{M}$ a pour coordonnées $(x ; y)$. Le plan complexe étant orthonormé, on a $|z|=\mathrm{OM}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{M}}-x_{\mathrm{O}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{M}}-y_{\mathrm{O}}\right)^{2}}=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
Par ailleurs, $|z|^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}=x^{2}+y^{2}$ puisque $x^{2}+y^{2} \geqslant 0$.
De plus, $z \times \overline{z}=(x+\mathrm{i} y)(x-\mathrm{i} y)=x^{2}-(\mathrm{i} y)^{2}=x^{2}+y^{2}$. D'où $|z|^{2}=z \times \overline{z}$.

Pour $z \neq 0$, $\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}$.

Exemple

Le module de $z=6-8 \mathrm{i}$ est $|z|=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=10$.

L’inégalité triangulaire étend celle valable sur $\mathbb{R}$ avec la valeur absolue.

DÉMONSTRATION

Se reporter à l’exercice

63

p. 69 pour les points 1. et 2., puis à l’exercice

145

p. 79 pour le point 3..

Déterminer les modules des nombres complexes $z_{1}=(3-2 \mathrm{i})(2+5 \mathrm{i})$, $z_{2}=(1-3 \mathrm{i})^{3}$et $z_{3}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{3-2 \mathrm{i}}$.

Dans cette sous‑partie, on suppose $\text{M}$ distinct de $\text{O}$, c’est‑à‑dire $z \neq 0$.
On considère $\mathbf{M}^{\prime}$ le point de la demi‑droite $[\mathrm{OM})$ appartenant au cercle trigonométrique.
On note $\alpha$ un réel associé au point $\mathbf{M}^{\prime}$ du cercle trigonométrique.

• Si $z$ est nul, l’angle orienté $(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})$ n’est pas défini. On ne peut donc pas parler d’argument de $0$.
• Un argument de $z$ n’est pas unique puisque l’angle orienté $(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})$ admet une infinité de mesures, toutes égales à un multiple de $2\pi$ près.

Ces propriétés permettent de démontrer le parallélisme ou l’orthogonalité de droites.

DÉMONSTRATION

1. $\arg (z)=0+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) $\Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=0+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) $\Leftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ colinéaires de même sens $\Leftrightarrow z$ est un réel strictement positif.
2. $\arg (z)=\pi+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) $\Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\pi+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) $\Leftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ colinéaires de sens contraire $\Leftrightarrow z$ est un réel strictement négatif.
3. $\arg (z)=\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) $\Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) $\Leftrightarrow \mathrm{M}$ appartient à la demi‑droite $[\mathrm{OV}) \Leftrightarrow z$ est un imaginaire pur vérifiant $\operatorname{Im}(Z)>0$.
4. $\arg (z)=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) $\Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) $\Leftrightarrow \mathrm{M}$ appartient à la demi‑droite $[\mathrm{OW})$, où $\text{W}$ est le point d’affixe $-\mathrm{i} \Leftrightarrow z$ est un imaginaire pur tel que $\operatorname{Im}(z)\lt0$.

Exemples

1. $\arg (-2)=\pi+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) car $-2$ est un réel strictement négatif.
2. $\arg \left(\dfrac{5}{2} \mathrm{i}\right)=\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) car $\dfrac{5}{2} \mathrm{i}$ est un imaginaire pur et $\dfrac{5}{2}>0$.