Géométrie et nombres complexes

Soient \overrightarrow{w_{1}} et \overrightarrow{w_{2}} deux vecteurs du plan complexe d'affixe respective z_1 et z_2.
1. Le vecteur \overrightarrow{w_{1}} + \overrightarrow{w_{2}} a pour affixe z_1 + z_2.
2. Soit \lambda \in \mathbb{R}. Alors le vecteur \lambda \overrightarrow{w_{1}} a pour affixe \lambda z_1.

Soient \overrightarrow{w_{1}} et \overrightarrow{w_{2}} deux vecteurs du plan complexe d'affixe respective z_{1}=3 \mathrm{i}+5 et z_{2}=1-\mathrm{i}. Le vecteur 5 \overrightarrow{w_{1}}-\overrightarrow{w_{2}} a pour affixe 5 z_{1}-z_{2}=24+16 \mathrm{i}.

Soient \text{A} et \text{B} deux points du plan complexe d'affixe respective z_{\mathrm{A}} et z_{\mathrm{B}}.
1. Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour affixe z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}.
2. Le point \text{I} d'affixe z_{\mathrm{I}} est le milieu de [\mathrm{AB}] si, et seulement si, z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}.

Par définition, les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{OA}} et \overrightarrow{\mathrm{OB}} ont pour affixe respective z_{\mathrm{A}} et z_{\mathrm{B}}.
1. D'après la relation de Chasles, on a : \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}.
En utilisant la propriété 1. précédente, on obtient : z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\overrightarrow{\mathrm{OB}}}-z_{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}.
2. \text{I} est le milieu de [\mathrm{AB}] donc \overrightarrow{\mathrm{AB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}}.
En utilisant la propriété 2. précédente, on obtient que z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=2 z_{\overrightarrow{\mathrm{AI}}}.
D'où z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2\left(z_{\mathrm{I}}-z_{\mathrm{A}}\right) donc z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2 z_{\mathrm{I}}-2 z_{\mathrm{A}}, soit z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}.

On obtient la réciproque en remontant les calculs.

1. \text{A} et \text{B} ont pour affixe respective z_{\mathrm{A}}=2-3 \mathrm{i} et z_{\mathrm{B}}=-1+5 \mathrm{i}. Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a donc pour affixe z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=-1+5\mathrm{i}-(2-3\mathrm{i})=-3+8\mathrm{i}.
Le milieu \text{I} du segment [\mathrm{AB}] a pour affixe z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}=\frac{1}{2}+\mathrm{i}.
2. Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points d'affixe respective z_{\mathrm{A}}=6-3 \mathrm{i}, z_{\mathrm{B}}=-2- \mathrm{i} et z_{\mathrm{C}}=2-2 \mathrm{i}.
On a z_{\mathrm{C}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2} donc \text{C} est le milieu du segment [\mathrm{AB}].

On a z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=-6+\mathrm{i} et z_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}=z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{B}}=4+5 \mathrm{i}
d'où z_{3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}}=3 z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}-z_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}=-22-2 \mathrm{i}.
De plus, z_{\overrightarrow{\mathrm{AD}}}=z_{\mathrm{D}}-5+2 \mathrm{i}. Or 3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}.
Donc z_{\mathrm{D}}-5+2 \mathrm{i}=-22-2 \mathrm{i}, soit z_{\mathrm{D}}=-17-4 \mathrm{i}.

Exercices

27

p. 66 et

53

p. 68

Soit z \in \mathbb{C}. Alors : |z|=0 \Leftrightarrow z=0.

|z|=0 \Leftrightarrow \mathrm{OM}=0 \Leftrightarrow \mathrm{O} et \text{M} confondus \Leftrightarrow z=0.

Pour tout nombre complexe écrit sous forme algébrique z=x+\mathrm{i} y, on a :
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} et |z|^{2}=z \times \overline{z}.

Soit \text{M} d'affixe z. Alors \text{M} a pour coordonnées (x ; y). Le plan complexe étant orthonormé, on a |z|=\mathrm{OM}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{M}}-x_{\mathrm{O}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{M}}-y_{\mathrm{O}}\right)^{2}}=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Par ailleurs, |z|^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}=x^{2}+y^{2} puisque x^{2}+y^{2} \geqslant 0.
De plus, z \times \overline{z}=(x+\mathrm{i} y)(x-\mathrm{i} y)=x^{2}-(\mathrm{i} y)^{2}=x^{2}+y^{2}. D'où |z|^{2}=z \times \overline{z}.

Pour z \neq 0, \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}.

Le module de z=6-8 \mathrm{i} est |z|=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=10.

Se reporter à l'exercice

63

p. 69 pour les points 1. et 2., puis à l'exercice

145

p. 79 pour le point 3..

• \left|z_{1}\right|=|3-2 \mathrm{i}| \times|2+5 \mathrm{i}|=\sqrt{13} \times \sqrt{29}=\sqrt{377}
• \left|z_{2}\right|=|1-3 \mathrm{i}|^{3}=\sqrt{10}^{3}=10 \sqrt{10}
• \left|z_{3}\right|=\frac{|1+\mathrm{i}|}{|3-2 \mathrm{i}|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}=\sqrt{\frac{2}{13}}=\frac{\sqrt{26}}{13}

Exercices

29

et

30

p. 67

Le réel \alpha est appelé mesure, en radian, de l'angle orienté (\overrightarrow{\boldsymbol{u}} ; \overrightarrow{\mathbf{O M}}). On note : (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\alpha+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).

1. \arg (z)=0+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=0+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \overrightarrow{u} et \overrightarrow{\mathrm{OM}} colinéaires de même sens \Leftrightarrow z est un réel strictement positif.
2. \arg (z)=\pi+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\pi+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \overrightarrow{u} et \overrightarrow{\mathrm{OM}} colinéaires de sens contraire \Leftrightarrow z est un réel strictement négatif.
3. \arg (z)=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient à la demi‑droite [\mathrm{OV}) \Leftrightarrow z est un imaginaire pur vérifiant \operatorname{Im}(Z)>0.
4. \arg (z)=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient à la demi‑droite [\mathrm{OW}), où \text{W} est le point d'affixe -\mathrm{i} \Leftrightarrow z est un imaginaire pur tel que \operatorname{Im}(z)\lt0.

Ces propriétés permettent de démontrer le parallélisme ou l'orthogonalité de droites.

1. \arg (-2)=\pi+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) car -2 est un réel strictement négatif.
2. \arg \left(\frac{5}{2} \mathrm{i}\right)=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) car \frac{5}{2} \mathrm{i} est un imaginaire pur et \frac{5}{2}>0.