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1. Géométrie et nombres complexes
P.52-55

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COURS 1


1
Géométrie et nombres complexes





Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) nommé plan complexe.

Remarque

Un repère orthonormé (O;u,v)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) est direct lorsque (u;v)=π2+2kπ(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{v})=\dfrac{\pi}{2}+2 k \pi avec kZk \in \mathbb{Z}.

A
Affixe d’un point et affixe d’un vecteur


Définitions

Soit M\text{M} le point du plan de coordonnées (x;y)(x\,; y).
1. On appelle affixe du point M\text{M} le nombre complexe zz défini par z=x+iyz=x+\mathrm{i} y.
2. On appelle affixe du vecteur OM\overrightarrow{\mathrm{OM}} le nombre complexe zz.
3. Un vecteur w\overrightarrow{w} a pour affixe zz lorsque w=OM\overrightarrow{w}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}, où M\text{M} est le point d’affixe zz.

NOTATIONS

On note respectivement :
  • M(z)\mathrm{M}(z)
  • OM(z)\overrightarrow{\mathrm{OM}}(z)
  • w(z)\overrightarrow{w}(z)

Remarques

  • Un nombre complexe écrit sous forme algébrique z=x+iyz=x+\mathrm{i} y peut se représenter par le point M(x ; y)\mathrm{M}(x ; y) ou par le vecteur w(x ; y)\overrightarrow{w}(x ; y).
  • L’axe des abscisses est appelé axe des réels. L’axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.

Exemple

Les points U\text{U}, V\text{V} et A\text{A} ont pour affixe respective zU=1z_{\mathrm{U}}=1, zV=iz_{\mathrm{V}}=\mathrm{i} et zA=2+iz_{\mathrm{A}}=-2+\mathrm{i}.

MAT.XP.2.INF04_v1

Propriétés

Soient w1\overrightarrow{w_{1}} et w2\overrightarrow{w_{2}} deux vecteurs du plan complexe d’affixe respective z1z_1 et z2z_2.
1. Le vecteur w1+w2\overrightarrow{w_{1}} + \overrightarrow{w_{2}} a pour affixe z1+z2z_1 + z_2.
2. Soit λR\lambda \in \mathbb{R}. Alors le vecteur λw1\lambda \overrightarrow{w_{1}} a pour affixe λz1\lambda z_1.

Remarque

On dit que l’application qui associe son affixe à un vecteur du plan complexe est linéaire.

Remarque

On retrouve le lien
zOM=zMzO=zMz_{\overrightarrow{\mathrm{OM}}}=z_{\mathrm{M}}-z_{\mathrm{O}}=z_{\mathrm{M}}.

DÉMONSTRATION

Soient z1z_1 et z2z_2 deux nombres complexes dont les formes algébriques sont données par z1=x1+iy1z_{1}=x_{1}+\mathrm{i} y_{1} et z2=x2+iy2z_{2}=x_{2}+\mathrm{i} y_{2}.
Ainsi w1(x1y1)\overrightarrow{w_{1}}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right) et w2(x2y2)\overrightarrow{w_{2}}\left(\begin{array}{l}x_{2} \\ y_{2}\end{array}\right).
1. w1+w2\overrightarrow{w_{1}}+\overrightarrow{w_{2}} a pour coordonnées (x1+x2y1+y2)\left(\begin{array}{l}x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2}\end{array}\right).
Donc : zw1+w2=x1+x2+i(y1+y2)=(x1+iy1)+(x2+iy2)=z1+z2z_{\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}}=x_{1}+x_{2}+\mathrm{i}\left(y_{1}+y_{2}\right)=\left(x_{1}+\mathrm{i} y_{1}\right)+\left(x_{2}+\mathrm{i} y_{2}\right)=z_{1}+z_{2}.
2. Soit λR\lambda \in \mathbb{R}. λw1\lambda \overrightarrow{w_{1}} a pour coordonnées (λx1λy1)\left(\begin{array}{l}\lambda x_{1} \\ \lambda y_{1}\end{array}\right).
Donc : zλw1=λx1+iλy1=λ(x1+iy1)=λz1z_{\lambda \overrightarrow{w_1}}=\lambda x_{1}+\mathrm{i} \lambda y_{1}=\lambda\left(x_{1}+\mathrm{i} y_{1}\right)=\lambda z_{1}.

MAT.XP.2.INF06_v1

Exemple

Soient w1\overrightarrow{w_{1}} et w2\overrightarrow{w_{2}} deux vecteurs du plan complexe d’affixe respective z1=3i+5z_{1}=3 \mathrm{i}+5 et z2=1iz_{2}=1-\mathrm{i}. Le vecteur 5w1w25 \overrightarrow{w_{1}}-\overrightarrow{w_{2}} a pour affixe 5z1z2=24+16i5 z_{1}-z_{2}=24+16 \mathrm{i}.

Propriétés

Soient A\text{A} et B\text{B} deux points du plan complexe d’affixe respective zAz_{\mathrm{A}} et zBz_{\mathrm{B}}.
1. Le vecteur AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour affixe zAB=zBzAz_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}.
2. Le point I\text{I} d’affixe zIz_{\mathrm{I}} est le milieu de [AB][\mathrm{AB}] si, et seulement si, zI=zA+zB2z_{\mathrm{I}}=\dfrac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}.

DÉMONSTRATION

Par définition, les vecteurs OA\overrightarrow{\mathrm{OA}} et OB\overrightarrow{\mathrm{OB}} ont pour affixe respective zAz_{\mathrm{A}} et zBz_{\mathrm{B}}.
1. D’après la relation de Chasles, on a : AB=AO+OB=OBOA\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}.
En utilisant la propriété 1. précédente, on obtient : zAB=zOBzOA=zBzAz_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\overrightarrow{\mathrm{OB}}}-z_{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}.
2. I\text{I} est le milieu de [AB][\mathrm{AB}] donc AB=2AI\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}}.
En utilisant la propriété 2. précédente, on obtient que zAB=2zAIz_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=2 z_{\overrightarrow{\mathrm{AI}}}.
D’où zBzA=2(zIzA)z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2\left(z_{\mathrm{I}}-z_{\mathrm{A}}\right) donc zBzA=2zI2zAz_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2 z_{\mathrm{I}}-2 z_{\mathrm{A}}, soit zI=zA+zB2z_{\mathrm{I}}=\dfrac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}.

Remarque

On obtient la réciproque en remontant les calculs.

Exemples

1. A\text{A} et B\text{B} ont pour affixe respective zA=23iz_{\mathrm{A}}=2-3 \mathrm{i} et zB=1+5iz_{\mathrm{B}}=-1+5 \mathrm{i}. Le vecteur AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} a donc pour affixe zAB=zBzA=1+5i(23i)=3+8iz_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=-1+5\mathrm{i}-(2-3\mathrm{i})=-3+8\mathrm{i}.
Le milieu I\text{I} du segment [AB][\mathrm{AB}] a pour affixe zI=zA+zB2=12+iz_{\mathrm{I}}=\dfrac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}=\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}.
2. Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points d’affixe respective zA=63iz_{\mathrm{A}}=6-3 \mathrm{i}, zB=2iz_{\mathrm{B}}=-2- \mathrm{i} et zC=22iz_{\mathrm{C}}=2-2 \mathrm{i}.
On a zC=zA+zB2z_{\mathrm{C}}=\dfrac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2} donc C\text{C} est le milieu du segment [AB][\mathrm{AB}].

Application et méthode - 1

Énoncé

Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points du plan complexe d’affixe respective zA=52iz_{\mathrm{A}}=5-2 \mathrm{i}, zB=1iz_{\mathrm{B}}=-1-\mathrm{i} et zC=3+4iz_{\mathrm{C}}=3+4\mathrm{i}.
Déterminer l’affixe du point D\text{D} tel que AD=3ABBC\overrightarrow{\mathrm{AD}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}.

Méthode

  • On calcule les affixes des différents vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}, BC\overrightarrow{\mathrm{BC}}, 3ABBC3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}} et l’affixe de AD\overrightarrow{\mathrm{AD}}.
  • On traduit l’égalité vectorielle 3ABBC=AD3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} par une égalité d’affixes.
  • On résout l’équation obtenue.

Solution


On a zAB=zBzA=6+iz_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=-6+\mathrm{i} et zBC=zCzB=4+5iz_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}=z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{B}}=4+5 \mathrm{i}
d'où z3ABBC=3zABzBC=222iz_{3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}}=3 z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}-z_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}=-22-2 \mathrm{i}.
De plus, zAD=zD5+2iz_{\overrightarrow{\mathrm{AD}}}=z_{\mathrm{D}}-5+2 \mathrm{i}. Or 3ABBC=AD3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}.
Donc zD5+2i=222iz_{\mathrm{D}}-5+2 \mathrm{i}=-22-2 \mathrm{i}, soit zD=174iz_{\mathrm{D}}=-17-4 \mathrm{i}.

Pour s'entraîner : exercices 27 p. 66 et 53 p. 68

B
Module d’un nombre complexe


Définition

Soit M\text{M} le point d’affixe zz. Le module de zz, noté z|z|, est la distance OM\text{OM}, c’est‑à‑dire z=OM|z|=\mathrm{OM}.

Module d’un nombre complexe

Remarque

Par définition, z|z| est un nombre réel supérieur ou égal à 00.

Propriété

Soit zCz \in \mathbb{C}. Alors : z=0z=0|z|=0 \Leftrightarrow z=0.

DÉMONSTRATION

z=0OM=0O|z|=0 \Leftrightarrow \mathrm{OM}=0 \Leftrightarrow \mathrm{O} et M\text{M} confondus z=0\Leftrightarrow z=0.

Propriété

Pour tout nombre complexe écrit sous forme algébrique z=x+iyz=x+\mathrm{i} y, on a :
z=x2+y2|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} et z2=z×z|z|^{2}=z \times \overline{z}.

DÉMONSTRATION

Soit M\text{M} d’affixe zz. Alors M\text{M} a pour coordonnées (x ; y)(x ; y). Le plan complexe étant orthonormé, on a z=OM=(xMxO)2+(yMyO)2=(x0)2+(y0)2=x2+y2|z|=\mathrm{OM}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{M}}-x_{\mathrm{O}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{M}}-y_{\mathrm{O}}\right)^{2}}=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Par ailleurs, z2=(x2+y2)2=x2+y2|z|^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}=x^{2}+y^{2} puisque x2+y20x^{2}+y^{2} \geqslant 0.
De plus, z×z=(x+iy)(xiy)=x2(iy)2=x2+y2z \times \overline{z}=(x+\mathrm{i} y)(x-\mathrm{i} y)=x^{2}-(\mathrm{i} y)^{2}=x^{2}+y^{2}. D'où z2=z×z|z|^{2}=z \times \overline{z}.

Remarque

Pour z0z \neq 0, 1z=zz2\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}.

Exemple

Le module de z=68iz=6-8 \mathrm{i} est z=62+(8)2=10|z|=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=10.

Propriétés

Soient zz et zz^{\prime} deux nombres complexes et nn un entier relatif non nul. On a :

1. z=z|\overline{z}|=|z| et z=z|-z|=|z|.

2.z×z=z×z\left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right| ;
  ● zz=zz\left|\dfrac{z}{z^{\prime}}\right|=\dfrac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|} (si z0z^{\prime} \neq 0) ;
  ● zn=zn\left|z^{n}\right|=|z|^{n} (avec z0z \neq 0 si n<0n\lt0).

3. Inégalité triangulaire : z+zz+z\left|z+z^{\prime}\right| \leqslant|z|+\left|z^{\prime}\right|.

Remarque

L’inégalité triangulaire étend celle valable sur R\mathbb{R} avec la valeur absolue.

DÉMONSTRATION

Se reporter à l’exercice
63
p. 69
pour les points 1. et 2., puis à l’exercice
145
p. 79
pour le point 3..

Application et méthode - 2

Énoncé

Déterminer les modules des nombres complexes z1=(32i)(2+5i)z_{1}=(3-2 \mathrm{i})(2+5 \mathrm{i}), z2=(13i)3z_{2}=(1-3 \mathrm{i})^{3}et z3=1+i32iz_{3}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{3-2 \mathrm{i}}.

Méthode

  • Calculer le module des différents termes de l’expression, puis utiliser les égalités z×z=z×z\left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right|, zn=zn\left|z^{n}\right|=|z|^{n} ou zz=zz\left|\dfrac{z}{z^{\prime}}\right|=\dfrac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}.
  • Penser à simplifier le résultat obtenu en utilisant les opérations sur les racines carrées de nombres réels.

Solution


  • z1=32i×2+5i=13×29=377\left|z_{1}\right|=|3-2 \mathrm{i}| \times|2+5 \mathrm{i}|=\sqrt{13} \times \sqrt{29}=\sqrt{377}
  • z2=13i3=103=1010\left|z_{2}\right|=|1-3 \mathrm{i}|^{3}=\sqrt{10}^{3}=10 \sqrt{10}
  • z3=1+i32i=213=213=2613\left|z_{3}\right|=\dfrac{|1+\mathrm{i}|}{|3-2 \mathrm{i}|}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}=\sqrt{\dfrac{2}{13}}=\dfrac{\sqrt{26}}{13}


Pour s'entraîner : exercices 29 et 30 p. 67

C
Arguments d’un nombre complexe


Dans cette sous‑partie, on suppose M\text{M} distinct de O\text{O}, c’est‑à‑dire z0z \neq 0.
On considère M\mathbf{M}^{\prime} le point de la demi‑droite [OM)[\mathrm{OM}) appartenant au cercle trigonométrique.
On note α\alpha un réel associé au point M\mathbf{M}^{\prime} du cercle trigonométrique.

Arguments d’un nombre complexe

Définition

Le réel α\alpha est appelé mesure, en radian, de l’angle orienté (u ; OM)(\overrightarrow{\boldsymbol{u}} ; \overrightarrow{\mathbf{O M}}). On note : (u ; OM)=α+k×2π(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\alpha+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).

Définitions

Lorsque M\text{M} est le point d’affixe zz, avec z0z \neq 0, un argument de zz, noté arg(z)\arg (z), est une mesure de l’angle orienté (u;OM)(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}}), soit (u;OM)=arg(z)+k×2π(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\arg (z)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).
La mesure d’angle appartenant à ]π;π]]-\pi\,;\pi] est appelée argument principal de zz.

Remarque

  • Si zz est nul, l’angle orienté (u ; OM)(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}) n’est pas défini. On ne peut donc pas parler d’argument de 00.
  • Un argument de zz n’est pas unique puisque l’angle orienté (u ; OM)(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}) admet une infinité de mesures, toutes égales à un multiple de 2π2\pi près.

Propriétés

On considère un nombre complexe zz non nul.
1. arg(z)=0+k×2π\arg (z)=0+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) z\Leftrightarrow z est un réel strictement positif.
2. arg(z)=π+k×2π\arg (z)=\pi+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) z\Leftrightarrow z est un réel strictement négatif.
3. arg(z)=π2+k×2π\arg (z)=\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) z\Leftrightarrow z est un imaginaire pur vérifiant Im(z)>0\operatorname{Im}(z)>0.
4. arg(z)=π2+k×2π\arg (z)=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) z\Leftrightarrow z est un imaginaire pur vérifiant Im(z)<0\operatorname{Im}(z)\lt0.

Remarque

Ces propriétés permettent de démontrer le parallélisme ou l’orthogonalité de droites.

DÉMONSTRATION

1. arg(z)=0+k×2π\arg (z)=0+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) (u;OM)=0+k×2π\Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=0+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) u \Leftrightarrow \overrightarrow{u} et OM\overrightarrow{\mathrm{OM}} colinéaires de même sens z\Leftrightarrow z est un réel strictement positif.
2. arg(z)=π+k×2π\arg (z)=\pi+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) (u;OM)=π+k×2π\Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\pi+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) u \Leftrightarrow \overrightarrow{u} et OM\overrightarrow{\mathrm{OM}} colinéaires de sens contraire z\Leftrightarrow z est un réel strictement négatif.
3. arg(z)=π2+k×2π\arg (z)=\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) (u;OM)=π2+k×2π\Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) M\Leftrightarrow \mathrm{M} appartient à la demi‑droite [OV)z[\mathrm{OV}) \Leftrightarrow z est un imaginaire pur vérifiant Im(Z)>0\operatorname{Im}(Z)>0.
4. arg(z)=π2+k×2π\arg (z)=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) (u;OM)=π2+k×2π\Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) M\Leftrightarrow \mathrm{M} appartient à la demi‑droite [OW)[\mathrm{OW}), où W\text{W} est le point d’affixe iz-\mathrm{i} \Leftrightarrow z est un imaginaire pur tel que Im(z)<0\operatorname{Im}(z)\lt0.

Exemples

1. arg(2)=π+k×2π\arg (-2)=\pi+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) car 2-2 est un réel strictement négatif.
2. arg(52i)=π2+k×2π\arg \left(\dfrac{5}{2} \mathrm{i}\right)=\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) car 52i\dfrac{5}{2} \mathrm{i} est un imaginaire pur et 52>0\dfrac{5}{2}>0.
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