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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Cours 1
Géométrie et nombres complexes
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Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) nommé plan complexe.
Remarque : Un repère orthonormé (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) est direct lorsque (\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{v})=\frac{\pi}{2}+2 k \pi avec k \in \mathbb{Z}.
Remarque : Un repère orthonormé (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}) est direct lorsque (\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{v})=\frac{\pi}{2}+2 k \pi avec k \in \mathbb{Z}.
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AAffixe d'un point et affixe d'un vecteur
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Définitions
Soit \text{M} le point du plan de coordonnées (x\,; y).
1. On appelle affixe du point \text{M} le nombre complexe z défini par z=x+\mathrm{i} y.
2. On appelle affixe du vecteur \overrightarrow{\mathrm{OM}} le nombre complexe z.
3. Un vecteur \overrightarrow{w} a pour affixe z lorsque \overrightarrow{w}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}, où \text{M} est le point d'affixe z.
1. On appelle affixe du point \text{M} le nombre complexe z défini par z=x+\mathrm{i} y.
2. On appelle affixe du vecteur \overrightarrow{\mathrm{OM}} le nombre complexe z.
3. Un vecteur \overrightarrow{w} a pour affixe z lorsque \overrightarrow{w}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}, où \text{M} est le point d'affixe z.
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On note respectivement :
- \mathrm{M}(z)
- \overrightarrow{\mathrm{OM}}(z)
- \overrightarrow{w}(z)
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Exemple
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- Un nombre complexe écrit sous forme algébrique z=x+\mathrm{i} y peut se représenter par le point \mathrm{M}(x ; y) ou par le vecteur \overrightarrow{w}(x ; y).
- L'axe des abscisses est appelé axe des réels. L'axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.
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Propriétés
Soient \overrightarrow{w_{1}} et \overrightarrow{w_{2}} deux vecteurs du plan complexe d'affixe respective z_1 et z_2.
1. Le vecteur \overrightarrow{w_{1}} + \overrightarrow{w_{2}} a pour affixe z_1 + z_2.
2. Soit \lambda \in \mathbb{R}. Alors le vecteur \lambda \overrightarrow{w_{1}} a pour affixe \lambda z_1.
1. Le vecteur \overrightarrow{w_{1}} + \overrightarrow{w_{2}} a pour affixe z_1 + z_2.
2. Soit \lambda \in \mathbb{R}. Alors le vecteur \lambda \overrightarrow{w_{1}} a pour affixe \lambda z_1.
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Démonstration
Soient z_1 et z_2 deux nombres complexes dont les formes algébriques sont données par z_{1}=x_{1}+\mathrm{i} y_{1} et z_{2}=x_{2}+\mathrm{i} y_{2}.
Ainsi \overrightarrow{w_{1}}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right) et \overrightarrow{w_{2}}\left(\begin{array}{l}x_{2} \\ y_{2}\end{array}\right).
1. \overrightarrow{w_{1}}+\overrightarrow{w_{2}} a pour coordonnées \left(\begin{array}{l}x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2}\end{array}\right).
Donc : z_{\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}}=x_{1}+x_{2}+\mathrm{i}\left(y_{1}+y_{2}\right)=\left(x_{1}+\mathrm{i} y_{1}\right)+\left(x_{2}+\mathrm{i} y_{2}\right)=z_{1}+z_{2}.
2. Soit \lambda \in \mathbb{R}. \lambda \overrightarrow{w_{1}} a pour coordonnées \left(\begin{array}{l}\lambda x_{1} \\ \lambda y_{1}\end{array}\right).
Donc : z_{\lambda \vec{w_1}}=\lambda x_{1}+\mathrm{i} \lambda y_{1}=\lambda\left(x_{1}+\mathrm{i} y_{1}\right)=\lambda z_{1}.
Ainsi \overrightarrow{w_{1}}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right) et \overrightarrow{w_{2}}\left(\begin{array}{l}x_{2} \\ y_{2}\end{array}\right).
1. \overrightarrow{w_{1}}+\overrightarrow{w_{2}} a pour coordonnées \left(\begin{array}{l}x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2}\end{array}\right).
Donc : z_{\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}}=x_{1}+x_{2}+\mathrm{i}\left(y_{1}+y_{2}\right)=\left(x_{1}+\mathrm{i} y_{1}\right)+\left(x_{2}+\mathrm{i} y_{2}\right)=z_{1}+z_{2}.
2. Soit \lambda \in \mathbb{R}. \lambda \overrightarrow{w_{1}} a pour coordonnées \left(\begin{array}{l}\lambda x_{1} \\ \lambda y_{1}\end{array}\right).
Donc : z_{\lambda \vec{w_1}}=\lambda x_{1}+\mathrm{i} \lambda y_{1}=\lambda\left(x_{1}+\mathrm{i} y_{1}\right)=\lambda z_{1}.
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On dit que l'application qui associe son affixe à un vecteur du plan complexe est linéaire.
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On retrouve le lien
z_{\overrightarrow{\mathrm{OM}}}=z_{\mathrm{M}}-z_{\mathrm{O}}=z_{\mathrm{M}}.
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Exemple
Soient \overrightarrow{w_{1}} et \overrightarrow{w_{2}} deux vecteurs du plan complexe d'affixe respective z_{1}=3 \mathrm{i}+5 et z_{2}=1-\mathrm{i}. Le vecteur 5 \overrightarrow{w_{1}}-\overrightarrow{w_{2}} a pour affixe 5 z_{1}-z_{2}=24+16 \mathrm{i}.
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Propriétés
Soient \text{A} et \text{B} deux points du plan complexe d'affixe respective z_{\mathrm{A}} et z_{\mathrm{B}}.
1. Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour affixe z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}.
2. Le point \text{I} d'affixe z_{\mathrm{I}} est le milieu de [\mathrm{AB}] si, et seulement si, z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}.
1. Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour affixe z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}.
2. Le point \text{I} d'affixe z_{\mathrm{I}} est le milieu de [\mathrm{AB}] si, et seulement si, z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}.
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Démonstration
Par définition, les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{OA}} et \overrightarrow{\mathrm{OB}} ont pour affixe respective z_{\mathrm{A}} et z_{\mathrm{B}}.
1. D'après la relation de Chasles, on a : \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}.
En utilisant la propriété 1. précédente, on obtient : z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\overrightarrow{\mathrm{OB}}}-z_{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}.
2. \text{I} est le milieu de [\mathrm{AB}] donc \overrightarrow{\mathrm{AB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}}.
En utilisant la propriété 2. précédente, on obtient que z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=2 z_{\overrightarrow{\mathrm{AI}}}.
D'où z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2\left(z_{\mathrm{I}}-z_{\mathrm{A}}\right) donc z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2 z_{\mathrm{I}}-2 z_{\mathrm{A}}, soit z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}.
1. D'après la relation de Chasles, on a : \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}.
En utilisant la propriété 1. précédente, on obtient : z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\overrightarrow{\mathrm{OB}}}-z_{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}.
2. \text{I} est le milieu de [\mathrm{AB}] donc \overrightarrow{\mathrm{AB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}}.
En utilisant la propriété 2. précédente, on obtient que z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=2 z_{\overrightarrow{\mathrm{AI}}}.
D'où z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2\left(z_{\mathrm{I}}-z_{\mathrm{A}}\right) donc z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=2 z_{\mathrm{I}}-2 z_{\mathrm{A}}, soit z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}.
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On obtient la réciproque en remontant les calculs.
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Exemples
1. \text{A} et \text{B} ont pour affixe respective z_{\mathrm{A}}=2-3 \mathrm{i} et z_{\mathrm{B}}=-1+5 \mathrm{i}. Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} a donc pour affixe z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=-1+5\mathrm{i}-(2-3\mathrm{i})=-3+8\mathrm{i}.
Le milieu \text{I} du segment [\mathrm{AB}] a pour affixe z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}=\frac{1}{2}+\mathrm{i}.
2. Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points d'affixe respective z_{\mathrm{A}}=6-3 \mathrm{i}, z_{\mathrm{B}}=-2- \mathrm{i} et z_{\mathrm{C}}=2-2 \mathrm{i}.
On a z_{\mathrm{C}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2} donc \text{C} est le milieu du segment [\mathrm{AB}].
Le milieu \text{I} du segment [\mathrm{AB}] a pour affixe z_{\mathrm{I}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}=\frac{1}{2}+\mathrm{i}.
2. Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points d'affixe respective z_{\mathrm{A}}=6-3 \mathrm{i}, z_{\mathrm{B}}=-2- \mathrm{i} et z_{\mathrm{C}}=2-2 \mathrm{i}.
On a z_{\mathrm{C}}=\frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2} donc \text{C} est le milieu du segment [\mathrm{AB}].
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Application et méthode - 1
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Énoncé
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan complexe d'affixe respective z_{\mathrm{A}}=5-2 \mathrm{i}, z_{\mathrm{B}}=-1-\mathrm{i} et z_{\mathrm{C}}=3+4\mathrm{i}.
Déterminer l'affixe du point \text{D} tel que \overrightarrow{\mathrm{AD}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}.
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- On calcule les affixes des différents vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, 3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}} et l'affixe de \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
- On traduit l'égalité vectorielle 3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} par une égalité d'affixes.
- On résout l'équation obtenue.
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Solution
On a z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}=-6+\mathrm{i} et z_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}=z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{B}}=4+5 \mathrm{i}
d'où z_{3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}}=3 z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}-z_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}=-22-2 \mathrm{i}.
De plus, z_{\overrightarrow{\mathrm{AD}}}=z_{\mathrm{D}}-5+2 \mathrm{i}. Or 3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}.
Donc z_{\mathrm{D}}-5+2 \mathrm{i}=-22-2 \mathrm{i}, soit z_{\mathrm{D}}=-17-4 \mathrm{i}.
d'où z_{3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}}=3 z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}-z_{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}=-22-2 \mathrm{i}.
De plus, z_{\overrightarrow{\mathrm{AD}}}=z_{\mathrm{D}}-5+2 \mathrm{i}. Or 3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}.
Donc z_{\mathrm{D}}-5+2 \mathrm{i}=-22-2 \mathrm{i}, soit z_{\mathrm{D}}=-17-4 \mathrm{i}.
Pour s'entraîner
Exercices p. 66 et p. 68
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BModule d'un nombre complexe
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Définition
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Par définition, |z| est un nombre réel supérieur ou égal à 0.
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Propriété
Soit z \in \mathbb{C}. Alors : |z|=0 \Leftrightarrow z=0.
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Démonstration
|z|=0 \Leftrightarrow \mathrm{OM}=0 \Leftrightarrow \mathrm{O} et \text{M} confondus \Leftrightarrow z=0.
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Propriété
Pour tout nombre complexe écrit sous forme algébrique z=x+\mathrm{i} y, on a :
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} et |z|^{2}=z \times \overline{z}.
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} et |z|^{2}=z \times \overline{z}.
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Démonstration
Soit \text{M} d'affixe z. Alors \text{M} a pour coordonnées (x ; y). Le plan complexe étant orthonormé, on a |z|=\mathrm{OM}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{M}}-x_{\mathrm{O}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{M}}-y_{\mathrm{O}}\right)^{2}}=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Par ailleurs, |z|^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}=x^{2}+y^{2} puisque x^{2}+y^{2} \geqslant 0.
De plus, z \times \overline{z}=(x+\mathrm{i} y)(x-\mathrm{i} y)=x^{2}-(\mathrm{i} y)^{2}=x^{2}+y^{2}. D'où |z|^{2}=z \times \overline{z}.
Par ailleurs, |z|^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}=x^{2}+y^{2} puisque x^{2}+y^{2} \geqslant 0.
De plus, z \times \overline{z}=(x+\mathrm{i} y)(x-\mathrm{i} y)=x^{2}-(\mathrm{i} y)^{2}=x^{2}+y^{2}. D'où |z|^{2}=z \times \overline{z}.
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Pour z \neq 0, \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}.
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Exemple
Le module de z=6-8 \mathrm{i} est |z|=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=10.
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Propriétés
Soient z et z^{\prime} deux nombres complexes et n un entier relatif non nul. On a :
1. |\overline{z}|=|z| et |-z|=|z|.
2. • \left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right| ;
• \left|\frac{z}{z^{\prime}}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|} (si z^{\prime} \neq 0) ;
• \left|z^{n}\right|=|z|^{n} (avec z \neq 0 si n\lt0).
3. Inégalité triangulaire : \left|z+z^{\prime}\right| \leqslant|z|+\left|z^{\prime}\right|.
1. |\overline{z}|=|z| et |-z|=|z|.
2. • \left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right| ;
• \left|\frac{z}{z^{\prime}}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|} (si z^{\prime} \neq 0) ;
• \left|z^{n}\right|=|z|^{n} (avec z \neq 0 si n\lt0).
3. Inégalité triangulaire : \left|z+z^{\prime}\right| \leqslant|z|+\left|z^{\prime}\right|.
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L'inégalité triangulaire étend celle valable sur \mathbb{R} avec la valeur absolue.
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Application et méthode - 2
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Énoncé
Déterminer les modules des nombres complexes z_{1}=(3-2 \mathrm{i})(2+5 \mathrm{i}), {z_{2}=(1-3 \mathrm{i})^{3}}et {z_{3}=\frac{1+\mathrm{i}}{3-2 \mathrm{i}}.}
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- Calculer le module des différents termes de l'expression, puis utiliser les égalités \left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right|, \left|z^{n}\right|=|z|^{n} ou \left|\frac{z}{z^{\prime}}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}.
- Penser à simplifier le résultat obtenu en utilisant les opérations sur les racines carrées de nombres réels.
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Solution
- \left|z_{1}\right|=|3-2 \mathrm{i}| \times|2+5 \mathrm{i}|=\sqrt{13} \times \sqrt{29}=\sqrt{377}
- \left|z_{2}\right|=|1-3 \mathrm{i}|^{3}=\sqrt{10}^{3}=10 \sqrt{10}
- \left|z_{3}\right|=\frac{|1+\mathrm{i}|}{|3-2 \mathrm{i}|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}=\sqrt{\frac{2}{13}}=\frac{\sqrt{26}}{13}
Pour s'entraîner
Exercices et p. 67
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CArguments d'un nombre complexe
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Dans cette sous‑partie, on suppose \text{M} distinct de \text{O}, c'est‑à‑dire z \neq 0.
On considère \mathbf{M}^{\prime} le point de la demi‑droite [\mathrm{OM}) appartenant au cercle trigonométrique.
On note \alpha un réel associé au point \mathbf{M}^{\prime} du cercle trigonométrique.
On considère \mathbf{M}^{\prime} le point de la demi‑droite [\mathrm{OM}) appartenant au cercle trigonométrique.
On note \alpha un réel associé au point \mathbf{M}^{\prime} du cercle trigonométrique.
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Définition
Le réel \alpha est appelé mesure, en radian, de l'angle orienté (\overrightarrow{\boldsymbol{u}} ; \overrightarrow{\mathbf{O M}}). On note : (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\alpha+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
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Définitions
Lorsque \text{M} est le point d'affixe z, avec z \neq 0, un argument de z, noté \arg (z), est une mesure de l'angle orienté (\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}}), soit (\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\arg (z)+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}).
La mesure d'angle appartenant à ]-\pi\,;\pi] est appelée argument principal de z.
La mesure d'angle appartenant à ]-\pi\,;\pi] est appelée argument principal de z.
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Propriétés
On considère un nombre complexe z non nul.
1. \arg (z)=0+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow z est un réel strictement positif.
2. \arg (z)=\pi+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow z est un réel strictement négatif.
3. \arg (z)=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow z est un imaginaire pur vérifiant \operatorname{Im}(z)>0.
4. \arg (z)=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow z est un imaginaire pur vérifiant \operatorname{Im}(z)\lt0.
1. \arg (z)=0+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow z est un réel strictement positif.
2. \arg (z)=\pi+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow z est un réel strictement négatif.
3. \arg (z)=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow z est un imaginaire pur vérifiant \operatorname{Im}(z)>0.
4. \arg (z)=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow z est un imaginaire pur vérifiant \operatorname{Im}(z)\lt0.
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- Si z est nul, l'angle orienté (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}) n'est pas défini. On ne peut donc pas parler d'argument de 0.
- Un argument de z n'est pas unique puisque l'angle orienté (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{\mathrm{OM}}) admet une infinité de mesures, toutes égales à un multiple de 2\pi près.
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Démonstration
1. \arg (z)=0+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=0+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \overrightarrow{u} et \overrightarrow{\mathrm{OM}} colinéaires de même sens \Leftrightarrow z est un réel strictement positif.
2. \arg (z)=\pi+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\pi+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \overrightarrow{u} et \overrightarrow{\mathrm{OM}} colinéaires de sens contraire \Leftrightarrow z est un réel strictement négatif.
3. \arg (z)=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient à la demi‑droite [\mathrm{OV}) \Leftrightarrow z est un imaginaire pur vérifiant \operatorname{Im}(Z)>0.
4. \arg (z)=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient à la demi‑droite [\mathrm{OW}), où \text{W} est le point d'affixe -\mathrm{i} \Leftrightarrow z est un imaginaire pur tel que \operatorname{Im}(z)\lt0.
2. \arg (z)=\pi+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\pi+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \overrightarrow{u} et \overrightarrow{\mathrm{OM}} colinéaires de sens contraire \Leftrightarrow z est un réel strictement négatif.
3. \arg (z)=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient à la demi‑droite [\mathrm{OV}) \Leftrightarrow z est un imaginaire pur vérifiant \operatorname{Im}(Z)>0.
4. \arg (z)=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow(\overrightarrow{u}\,; \overrightarrow{\mathrm{OM}})=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \mathrm{M} appartient à la demi‑droite [\mathrm{OW}), où \text{W} est le point d'affixe -\mathrm{i} \Leftrightarrow z est un imaginaire pur tel que \operatorname{Im}(z)\lt0.
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Ces propriétés permettent de démontrer le parallélisme ou l'orthogonalité de droites.
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Exemples
1. \arg (-2)=\pi+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) car -2 est un réel strictement négatif.
2. \arg \left(\frac{5}{2} \mathrm{i}\right)=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) car \frac{5}{2} \mathrm{i} est un imaginaire pur et \frac{5}{2}>0.
2. \arg \left(\frac{5}{2} \mathrm{i}\right)=\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi (k \in \mathbb{Z}) car \frac{5}{2} \mathrm{i} est un imaginaire pur et \frac{5}{2}>0.
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah