Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v) nommé plan complexe.
Remarque : Un repère orthonormé (O;u,v) est direct lorsque (u;v)=2π+2kπ avec k∈Z.
A
Affixe d'un point et affixe d'un vecteur
Définitions
Soit M le point du plan de coordonnées (x;y).
1. On appelle affixe du point M le nombre complexe z défini par z=x+iy.
2. On appelle affixe du vecteur OM le nombre complexe z.
3. Un vecteur w a pour affixe z lorsque w=OM, où M est le point d'affixe z.
Notation
On note respectivement :
M(z)
OM(z)
w(z)
Exemple
Les points U, V et A ont pour affixe respective zU=1, zV=i et zA=−2+i.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Remarques
Un nombre complexe écrit sous forme algébrique z=x+iy peut se représenter par le point M(x;y) ou par le vecteur w(x;y).
L'axe des abscisses est appelé axe des réels. L'axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.
Propriétés
Soient w1 et w2 deux vecteurs du plan complexe d'affixe respective z1 et z2.
1. Le vecteur w1+w2 a pour affixe z1+z2.
2. Soit λ∈R. Alors le vecteur λw1 a pour affixe λz1.
Démonstration
Soient z1 et z2 deux nombres complexes dont les formes algébriques sont données par z1=x1+iy1 et z2=x2+iy2.
Ainsi w1(x1y1) et w2(x2y2).
1.w1+w2 a pour coordonnées (x1+x2y1+y2).
Donc : zw1+w2=x1+x2+i(y1+y2)=(x1+iy1)+(x2+iy2)=z1+z2.
2. Soit λ∈R. λw1 a pour coordonnées (λx1λy1).
Donc : zλw1=λx1+iλy1=λ(x1+iy1)=λz1.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Remarque
On dit que l'application qui associe son affixe à un vecteur du plan complexe est linéaire.
Remarque
On retrouve le lien
zOM=zM−zO=zM.
Exemple
Soient w1 et w2 deux vecteurs du plan complexe d'affixe respective z1=3i+5 et z2=1−i. Le vecteur 5w1−w2 a pour affixe 5z1−z2=24+16i.
Propriétés
Soient A et B deux points du plan complexe d'affixe respective zA et zB.
1. Le vecteur AB a pour affixe zAB=zB−zA.
2. Le point I d'affixe zI est le milieu de [AB] si, et seulement si, zI=2zA+zB.
Démonstration
Par définition, les vecteurs OA et OB ont pour affixe respective zA et zB.
1. D'après la relation de Chasles, on a : AB=AO+OB=OB−OA.
En utilisant la propriété 1. précédente, on obtient : zAB=zOB−zOA=zB−zA.
2.I est le milieu de [AB] donc AB=2AI.
En utilisant la propriété 2. précédente, on obtient que zAB=2zAI.
D'où zB−zA=2(zI−zA) donc zB−zA=2zI−2zA, soit zI=2zA+zB.
Remarque
On obtient la réciproque en remontant les calculs.
Exemples
1.A et B ont pour affixe respective zA=2−3i et zB=−1+5i. Le vecteur AB a donc pour affixe zAB=zB−zA=−1+5i−(2−3i)=−3+8i.
Le milieu I du segment [AB] a pour affixe zI=2zA+zB=21+i.
2. Soient A, B et C trois points d'affixe respective zA=6−3i, zB=−2−i et zC=2−2i.
On a zC=2zA+zB donc C est le milieu du segment [AB].
Application et méthode - 1
Énoncé
Soient A, B et C trois points du plan complexe d'affixe respective zA=5−2i, zB=−1−i et zC=3+4i.
Déterminer l'affixe du point D tel que AD=3AB−BC.
Méthode
On calcule les affixes des différents vecteurs AB, BC, 3AB−BC et l'affixe de AD.
On traduit l'égalité vectorielle 3AB−BC=AD par une égalité d'affixes.
On résout l'équation obtenue.
Solution
On a zAB=zB−zA=−6+i et zBC=zC−zB=4+5i
d'où z3AB−BC=3zAB−zBC=−22−2i.
De plus, zAD=zD−5+2i. Or 3AB−BC=AD.
Donc zD−5+2i=−22−2i, soit zD=−17−4i.
Soit M le point d'affixe z. Le module de z, noté ∣z∣, est la distance OM, c'est‑à‑dire ∣z∣=OM.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Remarque
Par définition, ∣z∣ est un nombre réel supérieur ou égal à 0.
Propriété
Soit z∈C. Alors : ∣z∣=0⇔z=0.
Démonstration
∣z∣=0⇔OM=0⇔O et M confondus ⇔z=0.
Propriété
Pour tout nombre complexe écrit sous forme algébrique z=x+iy, on a : ∣z∣=x2+y2 et ∣z∣2=z×z.
Démonstration
Soit M d'affixe z. Alors M a pour coordonnées (x;y). Le plan complexe étant orthonormé, on a ∣z∣=OM=(xM−xO)2+(yM−yO)2=(x−0)2+(y−0)2=x2+y2.
Par ailleurs, ∣z∣2=(x2+y2)2=x2+y2 puisque x2+y2⩾0.
De plus, z×z=(x+iy)(x−iy)=x2−(iy)2=x2+y2. D'où ∣z∣2=z×z.
Remarque
Pour z=0, z1=∣z∣2z.
Exemple
Le module de z=6−8i est ∣z∣=62+(−8)2=10.
Propriétés
Soient z et z′ deux nombres complexes et n un entier relatif non nul. On a :
Dans cette sous‑partie, on suppose M distinct de O, c'est‑à‑dire z=0.
On considère M′ le point de la demi‑droite [OM) appartenant au cercle trigonométrique.
On note α un réel associé au point M′ du cercle trigonométrique.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Définition
Le réel α est appelé mesure, en radian, de l'angle orienté (u;OM). On note : (u;OM)=α+k×2π (k∈Z).
Définitions
Lorsque M est le point d'affixe z, avec z=0, un argument dez, noté arg(z), est une mesure de l'angle orienté (u;OM), soit (u;OM)=arg(z)+k×2π (k∈Z).
La mesure d'angle appartenant à ]−π;π] est appelée argument principal de z.
Propriétés
On considère un nombre complexe z non nul.
1.arg(z)=0+k×2π (k∈Z) ⇔z est un réel strictement positif.
2.arg(z)=π+k×2π (k∈Z) ⇔z est un réel strictement négatif.
3.arg(z)=2π+k×2π (k∈Z) ⇔z est un imaginaire pur vérifiant Im(z)>0.
4.arg(z)=−2π+k×2π (k∈Z) ⇔z est un imaginaire pur vérifiant Im(z)<0.
Remarques
Si z est nul, l'angle orienté (u;OM) n'est pas défini. On ne peut donc pas parler d'argument de 0.
Un argument de z n'est pas unique puisque l'angle orienté (u;OM) admet une infinité de mesures, toutes égales à un multiple de 2π près.
Démonstration
1.arg(z)=0+k×2π (k∈Z) ⇔(u;OM)=0+k×2π (k∈Z) ⇔u et OM colinéaires de même sens ⇔z est un réel strictement positif.
2.arg(z)=π+k×2π (k∈Z) ⇔(u;OM)=π+k×2π (k∈Z) ⇔u et OM colinéaires de sens contraire ⇔z est un réel strictement négatif.
3.arg(z)=2π+k×2π (k∈Z) ⇔(u;OM)=2π+k×2π (k∈Z) ⇔M appartient à la demi‑droite [OV)⇔z est un imaginaire pur vérifiant Im(Z)>0.
4.arg(z)=−2π+k×2π (k∈Z) ⇔(u;OM)=−2