Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v), on associe, à tout point M d’affixe z=−2, le point M′ d’affixe z′=z+2iz+3+3i.
On note f:z↦z′ cette transformation du plan et on cherche à déterminer quelques propriétés de cette transformation.
Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
PARTIE 1 ★★☆
1. Exprimer sous forme algébrique l’affixe de :
a.A′, l’image par f du point A d’affixe zA=4−2i.
b.B, l’unique antécédent par f du point B′ d’affixe zB′=2−4i.
2. On considère z=x+iy une solution de l’équation (G):z2=15+8i, où x et y sont des réels.
a. Montrer alors que ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x2−y2xyx2+y2=15=4=17.
Aide
On rappelle que ∣z∣2=x2+y2.
b. En déduire une solution de (G).
3. Un point M d’affixe z est dit invariant par f lorsque f(z)=z.
a. Montrer que si z est l’affixe d’un point invariant, alors z est solution de :
(F):z2+(2−i)z−3−3i=0.
b. À l’aide de la question 2., en déduire les affixes des points fixes de f.
Remarque :Pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes az2+bz+c=0 :
on calcule Δ=b2−4ac ;
on détermine δ∈C tel que δ2=Δ ;
les solutions sont alors données par z1=2a−b−δ et z2=2a−b+δ.
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PARTIE 2 ★★☆
1. Soit z=x+iy, où x et y sont réels.
Montrer alors que :
z′=(x+2)2+y23x+y+6+i(x+2)2+y2x2+5x+y2−3y+6.
2. Décrire précisément l’ensemble des points M lorsque :
a.M′ appartient à l’axe des abscisses.
b.M′ appartient à l’axe des ordonnées.
c.Re(z′)=Im(z′).
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PARTIE 3 ★★☆
1. Déterminer les complexes zC et zD tels que :
z′=z−zDi(z−zC).
2. Interpréter géométriquement le module et un argument de z−zDi(z−zC).
3. Décrire précisément l’ensemble des points M, dans les cas où M′ appartient :
a. à l’axe des abscisses.
b. à l’axe des ordonnées.
c. au cercle de centre O et de rayon 1.
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Mise en commun
1. Déterminer sous forme exponentielle les affixes des points fixes de cette transformation.
2. Caractériser l’ensemble des points M(z) tels que :
a.z′=z.
b.z′=−z.
c.∣z′∣=1.
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