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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Travailler ensemble
Pas si complexe que ça
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct , on associe, à tout point d'affixe , le point d'affixe .
On note cette transformation du plan et on cherche à déterminer quelques propriétés de cette transformation.
On note cette transformation du plan et on cherche à déterminer quelques propriétés de cette transformation.
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Partie 1
1. Exprimer sous forme algébrique l'affixe de :
a. , l'image par du point d'affixe
b. , l'unique antécédent par du point d'affixe .
2. On considère une solution de l'équation , où et sont des réels.
a. Montrer alors que .
b. En déduire une solution de .
a. , l'image par du point d'affixe
b. , l'unique antécédent par du point d'affixe .
2. On considère une solution de l'équation , où et sont des réels.
a. Montrer alors que .
On rappelle que .
Aide
b. En déduire une solution de .
3. Un point d'affixe est dit invariant par lorsque .
a. Montrer que si est l'affixe d'un point invariant, alors est solution de :
b. À l'aide de la question 2., en déduire les affixes des points fixes de .
a. Montrer que si est l'affixe d'un point invariant, alors est solution de :
.
b. À l'aide de la question 2., en déduire les affixes des points fixes de .
Remarque
Pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes :- on calcule ;
- on détermine tel que ;
- les solutions sont alors données par et .
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Partie 2
1. Soit , où et sont réels.
Montrer alors que :
Montrer alors que :
.
2. Décrire précisément l'ensemble des points lorsque :
a. appartient à l'axe des abscisses.
b. appartient à l'axe des ordonnées.
c. .
a. appartient à l'axe des abscisses.
b. appartient à l'axe des ordonnées.
c. .
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Partie 3
1. Déterminer les complexes et tels que :
2. Interpréter géométriquement le module et un argument de .
.
2. Interpréter géométriquement le module et un argument de .
3. Décrire précisément l'ensemble des points , dans les cas où appartient :
a. à l'axe des abscisses.
b. à l'axe des ordonnées.
c. au cercle de centre et de rayon .
a. à l'axe des abscisses.
b. à l'axe des ordonnées.
c. au cercle de centre et de rayon .
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Mise en commun
1. Déterminer sous forme exponentielle les affixes des points fixes de cette transformation.
2. Caractériser l'ensemble des points tels que :
a. .
2. Caractériser l'ensemble des points tels que :
a. .
b. .
c. .
c. .
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