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Pas si complexe que ça
P.81

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TRAVAILLER ENSEMBLE


Pas si complexe que ça





Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}), on associe, à tout point M\text{M} d’affixe z2z\neq-2, le point M\mathrm{M}^\prime d’affixe z=iz+3+3iz+2z^{\prime}=\dfrac{\mathrm{i} z+3+3 \mathrm{i}}{z+2}.
On note f:zzf: z \mapsto z^{\prime} cette transformation du plan et on cherche à déterminer quelques propriétés de cette transformation.

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

1. Exprimer sous forme algébrique l’affixe de :
a. A\mathrm{A}^\prime, l’image par ff du point A\mathrm{A} d’affixe zA=42iz_{\mathrm{A}}=4-2 \mathrm{i}.


b. B\text{B}, l’unique antécédent par ff du point B\mathrm{B}^\prime d’affixe zB=24iz_{\mathrm{B}^{\prime}}=2-4 \mathrm{i}.


2. On considère z=x+iyz=x+\mathrm{i} y une solution de l’équation (G):z2=15+8i(\mathrm{G}): z^{2}=15+8 \mathrm{i}, où xx et yy sont des réels.
a. Montrer alors que {x2y2=15xy=4x2+y2=17\left\{\begin{aligned} x^{2}-y^{2} &=15 \\ x y &=4 \\ x^{2}+y^{2} &=17 \end{aligned}\right..


Aide
On rappelle que z2=x2+y2|z|^{2}=x^{2}+y^{2}.


b. En déduire une solution de (G)(\mathrm{G}).


3. Un point M\text{M} d’affixe zz est dit invariant par ff lorsque f(z)=zf(z)=z.
a. Montrer que si zz est l’affixe d’un point invariant, alors zz est solution de :
(F):z2+(2i)z33i=0(\mathrm{F}): z^{2}+(2-\mathrm{i}) z-3-3 \mathrm{i}=0.


b. À l’aide de la question 2., en déduire les affixes des points fixes de ff.


Remarque : Pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes az2+bz+c=0a z^{2}+b z+c=0 :
  • on calcule Δ=b24ac\Delta=b^{2}-4 a c ;
  • on détermine δC\delta \in \mathbb{C} tel que δ2=Δ\delta^{2}=\Delta ;
  • les solutions sont alors données par z1=bδ2az_{1}=\dfrac{-b-\delta}{2 a} et z2=b+δ2az_{2}=\dfrac{-b+\delta}{2 a}.
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PARTIE 2 ★★

1. Soit z=x+iyz=x+\mathrm{i} y, où xx et yy sont réels.
Montrer alors que :
z=3x+y+6(x+2)2+y2+ix2+5x+y23y+6(x+2)2+y2z^{\prime}=\dfrac{3 x+y+6}{(x+2)^{2}+y^{2}}+\mathrm{i} \dfrac{x^{2}+5 x+y^{2}-3 y+6}{(x+2)^{2}+y^{2}}.


2. Décrire précisément l’ensemble des points M\text{M} lorsque :
a. M\mathrm{M}^\prime appartient à l’axe des abscisses.


b. M\mathrm{M}^\prime appartient à l’axe des ordonnées.


c. Re(z)=Im(z)\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right).
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PARTIE 3 ★★

1. Déterminer les complexes zCz_{\mathrm{C}} et zDz_{\mathrm{D}} tels que :
z=i(zzC)zzDz^{\prime}=\dfrac{\mathrm{i}\left(z-z_{\mathrm{C}}\right)}{z-z_{\mathrm{D}}}.


2. Interpréter géométriquement le module et un argument de i(zzC)zzD\dfrac{\mathrm{i}\left(z-z_{\mathrm{C}}\right)}{z-z_{\mathrm{D}}}.


3. Décrire précisément l’ensemble des points M\text{M}, dans les cas où M\mathrm{M}^\prime appartient :
a. à l’axe des abscisses.


b. à l’axe des ordonnées.


c. au cercle de centre O\text{O} et de rayon 11.
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Mise en commun

1. Déterminer sous forme exponentielle les affixes des points fixes de cette transformation.


2. Caractériser l’ensemble des points M(z)\mathrm{M}(z) tels que :
a. z=zz^{\prime}=\overline{z}.


b. z=zz^{\prime}=-\overline{z}.


c. z=1\left|z^{\prime}\right|=1.
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