Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on associe, à tout point $\text{M}$ d’affixe $z\ne -2$, le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ d’affixe $z^{\prime }=\frac{\mathrm{i}z+3+3\mathrm{i}}{z+2}$.
On note $f:z\mapsto z^{\prime }$ cette transformation du plan et on cherche à déterminer quelques propriétés de cette transformation.

1. Exprimer sous forme algébrique l’affixe de :
a. ${\mathrm{A}}^{\prime }$, l’image par $f$ du point $\mathrm{A}$ d’affixe $z_{\mathrm{A}}=4-2\mathrm{i}$.


b. $\text{B}$, l’unique antécédent par $f$ du point ${\mathrm{B}}^{\prime }$ d’affixe $z_{{\mathrm{B}}^{\prime }}=2-4\mathrm{i}$.


2. On considère $z=x+\mathrm{i}y$ une solution de l’équation $(\mathrm{G}):z^2=15+8\mathrm{i}$, où $x$ et $y$ sont des réels.
a. Montrer alors que $\{\begin{array}{rl}{x}^2-y^2& =15\\ xy& =4\\ x^2+y^2& =17\end{array}$.




b. En déduire une solution de $(\mathrm{G})$.


3. Un point $\text{M}$ d’affixe $z$ est dit invariant par $f$ lorsque $f(z)=z$.
a. Montrer que si $z$ est l’affixe d’un point invariant, alors $z$ est solution de :

b. À l’aide de la question 2., en déduire les affixes des points fixes de $f$.

1. Soit $z=x+\mathrm{i}y$, où $x$ et $y$ sont réels.
Montrer alors que :

2. Décrire précisément l’ensemble des points $\text{M}$ lorsque :
a. ${\mathrm{M}}^{\prime }$ appartient à l’axe des abscisses.


b. ${\mathrm{M}}^{\prime }$ appartient à l’axe des ordonnées.


c. $\mathrm{Re}\left(z^{\prime }\right)=\mathrm{Im}\left(z^{\prime }\right)$.

1. Déterminer les complexes $z_{\mathrm{C}}$ et $z_{\mathrm{D}}$ tels que :

2. Interpréter géométriquement le module et un argument de $\frac{\mathrm{i}\left(z-z_{\mathrm{C}}\right)}{z-z_{\mathrm{D}}}$.


3. Décrire précisément l’ensemble des points $\text{M}$, dans les cas où ${\mathrm{M}}^{\prime }$ appartient :
a. à l’axe des abscisses.


b. à l’axe des ordonnées.


c. au cercle de centre $\text{O}$ et de rayon $1$.