Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct

(O; u, v)

, on associe, à tout point

M

d'affixe

z \neq = - 2

, le point

M^{'}

d'affixe

z^{'} = \frac{i z + 3 + 3 i}{z + 2}

.
On note

f : z \mapsto z^{'}

cette transformation du plan et on cherche à déterminer quelques propriétés de cette transformation.

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Partie 1

1. Exprimer sous forme algébrique l'affixe de :
a.

A^{'}

, l'image par

f

du point

A

d'affixe

z_{A} = 4 - 2 i .

B

, l'unique antécédent par

f

du point

B^{'}

d'affixe

z_{B^{'}} = 2 - 4 i

2. On considère

z = x + i y

une solution de l'équation

(G) : z^{2} = 15 + 8 i

, où

x

y

sont des réels.
a. Montrer alors que

⎩ ⎨ ⎧ x^{2} - y^{2} x y x^{2} + y^{2} = 15 = 4 = 17

Aide

On rappelle que

∣ z ∣^{2} = x^{2} + y^{2}

b. En déduire une solution de

(G)

3. Un point

M

d'affixe

z

est dit invariant par

f

lorsque

f (z) = z

.
a. Montrer que si

z

est l'affixe d'un point invariant, alors

z

est solution de :

(F) : z^{2} + (2 - i) z - 3 - 3 i = 0

b. À l'aide de la question 2., en déduire les affixes des points fixes de

f

Remarque

Pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes

a z^{2} + b z + c = 0

on calcule $Δ = b^{2} - 4 a c$ ;
on détermine $δ \in C$ tel que $δ^{2} = Δ$ ;
les solutions sont alors données par $z_{1} = \frac{- b - δ}{2 a}$ et $z_{2} = \frac{- b + δ}{2 a}$ .

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Partie 2

1. Soit

z = x + i y

, où

x

y

sont réels.
Montrer alors que :

z^{'} = \frac{3 x + y + 6}{( x + 2 ) ^{2} + y ^{2}} + i \frac{x ^{2} + 5 x + y ^{2} - 3 y + 6}{( x + 2 ) ^{2} + y ^{2}}

2. Décrire précisément l'ensemble des points

M

lorsque :
a.

M^{'}

appartient à l'axe des abscisses.

M^{'}

appartient à l'axe des ordonnées.

Re (z^{'}) = Im (z^{'})

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Partie 3

1. Déterminer les complexes

z_{C}

z_{D}

tels que :

z^{'} = \frac{i ( z - z _{C} )}{z - z _{D}}

2. Interpréter géométriquement le module et un argument de

\frac{i ( z - z _{C} )}{z - z _{D}}

3. Décrire précisément l'ensemble des points

M

, dans les cas où

M^{'}

appartient :
a. à l'axe des abscisses.

b. à l'axe des ordonnées.

c. au cercle de centre

O

et de rayon

1

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Mise en commun

1. Déterminer sous forme exponentielle les affixes des points fixes de cette transformation.

2. Caractériser l'ensemble des points

M (z)

tels que :
a.

z^{'} = z

z^{'} = - z

∣ z^{'} ∣ = 1

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