Pas si complexe que ça

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v})$, on associe, à tout point $\text{M}$ d’affixe $z\neq-2$, le point $\mathrm{M}^\prime$ d’affixe $z^{\prime}=\dfrac{\mathrm{i} z+3+3 \mathrm{i}}{z+2}$.
On note $f: z \mapsto z^{\prime}$ cette transformation du plan et on cherche à déterminer quelques propriétés de cette transformation.

1. Exprimer sous forme algébrique l’affixe de :
a. $\mathrm{A}^\prime$, l’image par $f$ du point $\mathrm{A}$ d’affixe $z_{\mathrm{A}}=4-2 \mathrm{i}$.


b. $\text{B}$, l’unique antécédent par $f$ du point $\mathrm{B}^\prime$ d’affixe $z_{\mathrm{B}^{\prime}}=2-4 \mathrm{i}$.


2. On considère $z=x+\mathrm{i} y$ une solution de l’équation $(\mathrm{G}): z^{2}=15+8 \mathrm{i}$, où $x$ et $y$ sont des réels.
a. Montrer alors que $\left\{\begin{aligned} x^{2}-y^{2} &=15 \\ x y &=4 \\ x^{2}+y^{2} &=17 \end{aligned}\right.$.




b. En déduire une solution de $(\mathrm{G})$.


3. Un point $\text{M}$ d’affixe $z$ est dit invariant par $f$ lorsque $f(z)=z$.
a. Montrer que si $z$ est l’affixe d’un point invariant, alors $z$ est solution de : $(\mathrm{F}): z^{2}+(2-\mathrm{i}) z-3-3 \mathrm{i}=0$.

b. À l’aide de la question 2., en déduire les affixes des points fixes de $f$.

1. Soit $z=x+\mathrm{i} y$, où $x$ et $y$ sont réels.
Montrer alors que : $z^{\prime}=\dfrac{3 x+y+6}{(x+2)^{2}+y^{2}}+\mathrm{i} \dfrac{x^{2}+5 x+y^{2}-3 y+6}{(x+2)^{2}+y^{2}}$.

2. Décrire précisément l’ensemble des points $\text{M}$ lorsque :
a. $\mathrm{M}^\prime$ appartient à l’axe des abscisses.


b. $\mathrm{M}^\prime$ appartient à l’axe des ordonnées.


c. $\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)$.

1. Déterminer les complexes $z_{\mathrm{C}}$ et $z_{\mathrm{D}}$ tels que : $z^{\prime}=\dfrac{\mathrm{i}\left(z-z_{\mathrm{C}}\right)}{z-z_{\mathrm{D}}}$.

2. Interpréter géométriquement le module et un argument de $\dfrac{\mathrm{i}\left(z-z_{\mathrm{C}}\right)}{z-z_{\mathrm{D}}}$.


3. Décrire précisément l’ensemble des points $\text{M}$, dans les cas où $\mathrm{M}^\prime$ appartient :
a. à l’axe des abscisses.


b. à l’axe des ordonnées.


c. au cercle de centre $\text{O}$ et de rayon $1$.