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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Travailler ensemble
Pas si complexe que ça
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}), on associe, à tout point \text{M} d'affixe z\neq-2, le point \mathrm{M}^\prime d'affixe z^{\prime}=\frac{\mathrm{i} z+3+3 \mathrm{i}}{z+2}.
On note f: z \mapsto z^{\prime} cette transformation du plan et on cherche à déterminer quelques propriétés de cette transformation.
On note f: z \mapsto z^{\prime} cette transformation du plan et on cherche à déterminer quelques propriétés de cette transformation.
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Partie 1
1. Exprimer sous forme algébrique l'affixe de :
a. \mathrm{A}^\prime, l'image par f du point \mathrm{A} d'affixe z_{\mathrm{A}}=4-2 \mathrm{i}.
b. \text{B}, l'unique antécédent par f du point \mathrm{B}^\prime d'affixe z_{\mathrm{B}^{\prime}}=2-4 \mathrm{i}.
2. On considère z=x+\mathrm{i} y une solution de l'équation (\mathrm{G}): z^{2}=15+8 \mathrm{i}, où x et y sont des réels.
a. Montrer alors que \left\{\begin{aligned} x^{2}-y^{2} &=15 \\ x y &=4 \\ x^{2}+y^{2} &=17 \end{aligned}\right..
b. En déduire une solution de (\mathrm{G}).
a. \mathrm{A}^\prime, l'image par f du point \mathrm{A} d'affixe z_{\mathrm{A}}=4-2 \mathrm{i}.
b. \text{B}, l'unique antécédent par f du point \mathrm{B}^\prime d'affixe z_{\mathrm{B}^{\prime}}=2-4 \mathrm{i}.
2. On considère z=x+\mathrm{i} y une solution de l'équation (\mathrm{G}): z^{2}=15+8 \mathrm{i}, où x et y sont des réels.
a. Montrer alors que \left\{\begin{aligned} x^{2}-y^{2} &=15 \\ x y &=4 \\ x^{2}+y^{2} &=17 \end{aligned}\right..
Aide
On rappelle que |z|^{2}=x^{2}+y^{2}.
b. En déduire une solution de (\mathrm{G}).
3. Un point \text{M} d'affixe z est dit invariant par f lorsque f(z)=z.
a. Montrer que si z est l'affixe d'un point invariant, alors z est solution de :
b. À l'aide de la question 2., en déduire les affixes des points fixes de f.
a. Montrer que si z est l'affixe d'un point invariant, alors z est solution de :
(\mathrm{F}): z^{2}+(2-\mathrm{i}) z-3-3 \mathrm{i}=0.
b. À l'aide de la question 2., en déduire les affixes des points fixes de f.
Remarque
Pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes a z^{2}+b z+c=0 :- on calcule \Delta=b^{2}-4 a c ;
- on détermine \delta \in \mathbb{C} tel que \delta^{2}=\Delta ;
- les solutions sont alors données par z_{1}=\frac{-b-\delta}{2 a} et z_{2}=\frac{-b+\delta}{2 a}.
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Partie 2
1. Soit z=x+\mathrm{i} y, où x et y sont réels.
Montrer alors que :
Montrer alors que :
z^{\prime}=\frac{3 x+y+6}{(x+2)^{2}+y^{2}}+\mathrm{i} \frac{x^{2}+5 x+y^{2}-3 y+6}{(x+2)^{2}+y^{2}}.
2. Décrire précisément l'ensemble des points \text{M} lorsque :
a. \mathrm{M}^\prime appartient à l'axe des abscisses.
b. \mathrm{M}^\prime appartient à l'axe des ordonnées.
c. \operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right).
a. \mathrm{M}^\prime appartient à l'axe des abscisses.
b. \mathrm{M}^\prime appartient à l'axe des ordonnées.
c. \operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right).
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Partie 3
1. Déterminer les complexes z_{\mathrm{C}} et z_{\mathrm{D}} tels que :
2. Interpréter géométriquement le module et un argument de \frac{\mathrm{i}\left(z-z_{\mathrm{C}}\right)}{z-z_{\mathrm{D}}}.
z^{\prime}=\frac{\mathrm{i}\left(z-z_{\mathrm{C}}\right)}{z-z_{\mathrm{D}}}.
2. Interpréter géométriquement le module et un argument de \frac{\mathrm{i}\left(z-z_{\mathrm{C}}\right)}{z-z_{\mathrm{D}}}.
3. Décrire précisément l'ensemble des points \text{M}, dans les cas où \mathrm{M}^\prime appartient :
a. à l'axe des abscisses.
b. à l'axe des ordonnées.
c. au cercle de centre \text{O} et de rayon 1.
a. à l'axe des abscisses.
b. à l'axe des ordonnées.
c. au cercle de centre \text{O} et de rayon 1.
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Mise en commun
1. Déterminer sous forme exponentielle les affixes des points fixes de cette transformation.
2. Caractériser l'ensemble des points \mathrm{M}(z) tels que :
a. z^{\prime}=\overline{z}.
2. Caractériser l'ensemble des points \mathrm{M}(z) tels que :
a. z^{\prime}=\overline{z}.
b. z^{\prime}=-\overline{z}.
c. \left|z^{\prime}\right|=1.
c. \left|z^{\prime}\right|=1.
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