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Pas si complexe que ça
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TRAVAILLER ENSEMBLE


Pas si complexe que ça





Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct , on associe, à tout point d’affixe , le point d’affixe .
On note cette transformation du plan et on cherche à déterminer quelques propriétés de cette transformation.

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

1. Exprimer sous forme algébrique l’affixe de :
a. , l’image par du point d’affixe .


b. , l’unique antécédent par du point d’affixe .


2. On considère une solution de l’équation , où et sont des réels.
a. Montrer alors que .


Aide
On rappelle que .


b. En déduire une solution de .


3. Un point d’affixe est dit invariant par lorsque .
a. Montrer que si est l’affixe d’un point invariant, alors est solution de :
.


b. À l’aide de la question 2., en déduire les affixes des points fixes de .


Remarque : Pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes  :
  • on calcule  ;
  • on détermine tel que  ;
  • les solutions sont alors données par et .
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PARTIE 2 ★★

1. Soit , où et sont réels.
Montrer alors que :
.


2. Décrire précisément l’ensemble des points lorsque :
a. appartient à l’axe des abscisses.


b. appartient à l’axe des ordonnées.


c. .
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PARTIE 3 ★★

1. Déterminer les complexes et tels que :
.


2. Interpréter géométriquement le module et un argument de .


3. Décrire précisément l’ensemble des points , dans les cas où appartient :
a. à l’axe des abscisses.


b. à l’axe des ordonnées.


c. au cercle de centre et de rayon .
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Mise en commun

1. Déterminer sous forme exponentielle les affixes des points fixes de cette transformation.


2. Caractériser l’ensemble des points tels que :
a. .


b. .


c. .
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