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Les groupes

• On appelle loi de composition interne $\ast$ sur $\text{E}$, une application qui, à tout couple $(a;b)$ d'éléments de $\text{E}$, associe un unique élément de $\text{E}$, que l'on note $a\ast b$.
• Une loi de composition interne $\ast$ est dite associative lorsque, pour tout $(a,b,c)\in {\mathrm{E}}^3$ : $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$.
• Une loi de composition interne $\ast$ est dite commutative lorsque, pour tout $(a,b)\in {\mathrm{E}}^2$ : $a\ast b=b\ast a$.

1. La soustraction $-$ ne définit pas une loi de composition interne sur $\mathbb{N}$. En effet, en choisissant $3\in \mathbb{N}$ et $5\in \mathbb{N}$, on a $3-5=-2\notin \mathbb{N}$.

2. La soustraction $-$ définit en revanche une loi de composition interne sur $\mathbb{Z}$.
Pour tous $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in \mathbb{Z}$, on a bien $a-b\in \mathbb{Z}$.

• Cette loi n'est pas commutative sur $\mathbb{Z}$.
  On a $3-2=1$ et $2-3=-1$ et donc $3-2\ne 2-3$.
• Cette loi n'est pas associative sur $\mathbb{Z}$.
  On a $(3-2)-1=1-1=0$ et $3-(2-1)=3-1=2$ et donc $(3-2)-1\ne 3-(2-1)$.

On considère l'application $f_1$ définie pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\prime }$ par $f_1\left(z;z^{\prime }\right)=z+z^{\prime }$. 1. Justifier que $f_1$ définit une loi de composition interne sur $\mathbb{C}$.

2. Montrer que cette loi est commutative et associative.

On considère l'application $f_2$ définie pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\prime }$ par $f_2\left(z;z^{\prime }\right)=z\times z^{\prime }$. 1. Justifier que $f_2$ définit une loi de composition interne sur $\mathbb{C}$.

2. Montrer que cette loi est commutative et associative.

1. Justifier que la soustraction est une loi de composition interne sur $\mathbb{R}$.

2. Est‑elle associative ? Commutative ?

Soit $\ast$ la loi de composition interne définie, pour tous $x$ et $x^{\prime }$ réels, par $x\ast x^{\prime }=x^{x^{\prime }}$. 1. Cette loi est‑elle commutative ?

2. Cette loi est‑elle associative ?

• On dit que $e\in \mathrm{E}$ est un élément neutre pour la loi $\ast$ lorsque, pour tout $x\in \mathrm{E}$, $e\ast x=x\ast e=x$.
• Si $\mathrm{E}$ possède un élément neutre $e$ pour la loi $\ast$, un élément $x\in \mathrm{E}$ est inversible s'il existe $y\in \mathrm{E}$ tel que $x\ast y=y\ast x=e$. On dit que $y$ est l'inverse de $x$.
• On dit que $(\mathrm{E},\ast )$ est un groupe lorsque la loi $\ast$ est une loi de composition interne associative sur $\mathrm{E}$, qu'il existe un élément neutre pour cette loi et que tout élément de $\mathrm{E}$ est inversible pour cette loi.
• Lorsque la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif ou abélien.

$(\mathbb{Z},+)$ est un groupe :

• $+$ définit une loi de composition interne associative sur $\mathbb{Z}$ ;
• il existe un élément neutre $e=0$ pour cette loi : pour tout $a\in \mathbb{Z}$, $a+0=0+a=a$ ;
• tout élément $a\in \mathbb{Z}$ admet un inverse pour la loi $+$ : $-a$.

On souhaite montrer que $(\mathbb{U},\times )$ est un groupe.

1. a. Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes de module $1$.
Montrer que $z\times z^{\prime }$ est un nombre complexe de module $1$.

b. Justifier que $\times$ est une loi de composition interne associative sur $\mathbb{U}$.

2. a. Montrer que $\mathbb{U}$ possède un élément neutre pour $\times$.

b. Soit $z\in \mathbb{U}$. Montrez que $\frac{1}{z}\in \mathbb{U}$

3. Conclure quant à l'objectif de l'exercice.

1. Montrer que la multiplication $\times$ est une loi de composition interne sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Est‑elle associative ?

2. Montrer que ${\mathbb{R}}^{\ast }$ possède un élément neutre pour $\times$. Donner sa valeur.

3. Tout élément de ${\mathbb{R}}^{\ast }$ possède‑t‑il un inverse pour $\times$ ?

4. Que peut‑on déduire des questions précédentes ?

1. Montrer que $(\{-1;1\},\times )$ est un sous‑groupe de $\left({\mathbb{R}}^{\ast },\times \right)$.

2. $(\{-1;1\},+)$ est‑il un sous‑groupe de $(\mathbb{Z},+)$ ?

3. $(\mathrm{N},+)$ est‑il un sous‑groupe de $(\mathbb{Z},+)$ ?

4. $\left({\mathbb{Q}}^{\ast },\times \right)$ est‑il un sous‑groupe de $\left({\mathbb{R}}^{\ast },\times \right)$ ?

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $n\mathbb{Z}=\{nk,k\in \mathbb{Z}\}$.
Montrer que $(n\mathbb{Z},+)$ est un sous‑groupe de $(\mathbb{Z},+)$.

Soit $(\mathrm{G},\ast )$ un groupe dont on note $e$ l'élément neutre.
Montrer que $(\{e\},\ast )$ est un sous‑groupe de $(\mathrm{G},\ast )$.