Dans toute cette partie, on considère un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

Soit $f$ la fonction définie, pour tout $z\in \mathbb{C}$, $f(z)=(3+\mathrm{i})z+2+\mathrm{i}$. $f$ est une similitude directe. Cette application n’a qu’un point fixe, c’est‑à‑dire un complexe vérifiant $f\left(z_0\right)=z_0$ (avec $z_0=-1$).

On considère une similitude directe qui transforme le point $\text{A}$ d’affixe $4$ en le point ${\mathrm{A}}^{\prime }$ d’affixe $1-6\mathrm{i}$ et le point $\text{B}$ d’affixe $2+4\mathrm{i}$ en le point ${\mathrm{B}}^{\prime }$ d’affixe $7-3\mathrm{i}$.

1. Justifier que, pour tout point $\text{M}$ d’affixe $z$, l’image ${\mathrm{M}}^{\prime }$ par cette similitude directe est $z^{\prime }=az+b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres à déterminer.


2. A‑t‑on ${\mathrm{A}\mathrm{A}}^{\prime }={\mathrm{B}\mathrm{B}}^{\prime }$ ?


3. Cette transformation du plan est‑elle une translation ? Une rotation ? Une homothétie ? Justifier.

Dans cet exercice, $\text{M}$ désigne un point du plan d’affixe $z\in \mathbb{C}$. Le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ d’affixe $z^{\prime }\in \mathbb{C}$ est l’image du point $\text{M}$ par une transformation du plan.

1. On suppose que la transformation du plan est une translation de vecteur $\overrightarrow{t}$ d’affixe $b$.
Montrer que $z^{\prime }=z+b$.


2. On suppose que la transformation du plan est une homothétie de centre $\Omega$, d’affixe $\omega$, et de rapport $k$.
Montrer que $z^{\prime }=\omega +k(z-\omega )$.


3. On suppose que la transformation du plan est une rotation de centre $\Omega$, d’affixe $\omega$, et d’angle $\theta$.
Montrer que $z^{\prime }=\omega +e^{\mathrm{i}\theta }(z-\omega )$.


4. Justifier que les transformations précédentes sont toutes des similitudes directes.

D’après bac S, Antilles - Guyane, juin 2012
Soit la transformation $f$ qui, à tout point $\text{M}$ d’affixe $z$, associe le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ d’affixe $z^{\prime }$ tel que :
1. Montrer que cette transformation admet un unique point fixe $\Omega$ d’affixe $\omega =-2-2\mathrm{i}$.


2. Montrer qu’il existe $a\in \mathbb{C}$ tel que, pour tout $z\in \mathbb{C}$, on a $z^{\prime }-\omega =a(z-\omega )$. On précisera la valeur de $a.$


3. Déterminer une forme exponentielle de $a$.


4. En déduire que $f$ est la composée d’une rotation et d’une homothétie. On précisera ses éléments caractéristiques.

D’après bac S, La Réunion, juin 2011
Soit la transformation $f$ qui, à tout point $\text{M}$ d’affixe $z$, associe le point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ d’affixe $z^{\prime }$ tel que : Montrer que $f$ est une rotation dont on précisera ses éléments caractéristiques.

On dit qu’une transformation du plan $f$ conserve les longueurs lorsque, pour tous points $\text{A}$ et $\text{B}$ du plan, si ${\mathrm{A}}^{\prime }$ et ${\mathrm{B}}^{\prime }$ désignent les images respectives de $\text{A}$ et $\text{B}$ par $f$, on a ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }=\mathrm{A}\mathrm{B}$.
Quelles sont les conditions pour qu’une similitude directe conserve les longueurs ?

D’après ENSTIM MPSI, 2004
On désigne par $\text{E}$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre $2$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a& c\\ 0& b\end{array}\right)$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.

1. Démontrer que $\text{E}$, muni de l’addition des matrices, est un groupe commutatif.


2. a. Si $\text{A}$ et $\text{B}$ sont deux éléments de $\text{E}$, $\text{AB}$ appartient‑il à $\text{E}$ ?


b. Si $\text{A}$ et $\text{B}$ sont deux éléments de $\text{E}$, a‑t‑on $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{B}\mathrm{A}$ ?


c. Tout élément non nul de $\text{E}$ est‑il inversible pour le produit ?


3. On désigne par $\text{G}$ l’ensemble des matrices de $\text{E}$ telles que $a>0$ et $b>0$.
Démontrer que $\text{G}$ est un groupe multiplicatif.

D’après concours des écoles des mines, 2006
Soit $f$ la fonction qui à un complexe $z$ associe, lorsque c’est possible, $f(z)=\frac{z^2}{z-2\mathrm{i}}$.

1. Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}$ de $f$.


2. a. Déterminer les racines carrées complexes de $8-6\mathrm{i}$.


b. En déduire tous les antécédents de $1+\mathrm{i}$ par $f$.


3. Soit $h$ un nombre complexe. Discuter, suivant les valeurs de $h$, le nombre d’antécédents de $h$ par $f$.


4. On désigne par $f(\mathcal{D})$ l’ensemble des éléments de $z^{\prime }$ de $\mathbb{C}$ tel qu’il existe $z\in \mathcal{D}$ vérifiant $z^{\prime }=f(z)$.
Si $f(\mathcal{D})=\mathbb{C}$, on dit que $f$ est surjective.
a. Déterminer l’ensemble $f(\mathcal{D})$.


b. La fonction $f$ est‑elle surjective ?


5. On dit que $f$ est injective lorsque, pour tous nombres $z$ et $z^{\prime }$ de $\mathcal{D}$, si $f(z)=f\left(z^{\prime }\right)$ alors $z=z^{\prime }$.
La fonction $f$ est‑elle injective ?


Soit $g$ la fonction définie sur $\mathcal{D}$ à valeurs dans $\mathbb{C}$ et telle que, pour tout $z\in \mathcal{D}$,
6. Soit $z=x+\mathrm{i}y$ un nombre complexe appartenant à $\mathcal{D}$.
a. Montrer que la partie réelle de $g(z)$ est $2x^3-2x{y}^2-4xy$.


b. Déterminer la partie imaginaire de $z$.

D’après ENAC, 2016
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Soit $\theta \in ]-\pi ;\pi [$. On considère le nombre complexe $z=1+\cos (\theta )+\mathrm{i}\sin (\theta )$.

1. Le module de $z$ vaut :

a. $|z|=\sqrt{2+2\cos \theta }$.

b. $|z|=2$.

c. $|z|=2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$.

d. $|z|=\sqrt{2}+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)$.



2. Un argument de $z$ vérifie :

a. $\alpha =\frac{\theta }{2}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

b. $\alpha =\frac{\theta }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

c. $\tan \alpha =\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)$.

d. $\tan \alpha =\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.



3. On obtient alors :

a. $z=2\cos \left(\frac{\theta }{2}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}$.

b. $z=2\left|\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\right|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\theta }{2}}$.

c. $z=2\left|\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)\right|\left(\cos \left|\frac{\theta }{2}\right|+\mathrm{i}\sin \left|\frac{\theta }{2}\right|\right)$.

d. $z=2{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)\left(1+\mathrm{i}\tan \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)$.

D’après ENAC, 2018
Soit $a$ un paramètre réel. On considère l’équation : Déterminer les solutions de cette équation.