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Vers le supérieur - Nombres complexes

P.82-85

Vers le supérieur

1
Les groupes

A
Loi de composition interne

Soit

E

un ensemble non vide.

Définitions

On appelle loi de composition interne $*$ sur $E$ , une application qui, à tout couple $(a; b)$ d’éléments de $E$ , associe un unique élément de $E$ , que l’on note $a * b$ .
Une loi de composition interne $*$ est dite associative lorsque, pour tout $(a, b, c) \in E^{3}$ :
$(a * b) * c = a * (b * c)$ .
Une loi de composition interne $*$ est dite commutative lorsque, pour tout $(a, b) \in E^{2}$ :
$a * b = b * a$ .

Exemples

1. La soustraction

-

ne définit pas une loi de composition interne sur

N

. En effet, en choisissant

3 \in N

5 \in N

, on a

3 - 5 = - 2 \in / N

.

2. La soustraction

-

définit en revanche une loi de composition interne sur

Z

.
Pour tous

a \in Z

b \in Z

, on a bien

a - b \in Z

Cette loi n’est pas commutative sur $Z$ .
On a $3 - 2 = 1$ et $2 - 3 = - 1$ et donc $3 - 2 \neq = 2 - 3$ .
Cette loi n’est pas associative sur $Z$ .
On a $(3 - 2) - 1 = 1 - 1 = 0$ et $3 - (2 - 1) = 3 - 1 = 2$ et donc $(3 - 2) - 1 \neq = 3 - (2 - 1)$ .

On considère l’application

f_{1}

définie pour tous nombres complexes

z

z^{'}

par

f_{1} (z; z^{'}) = z + z^{'}

.

1. Justifier que

f_{1}

définit une loi de composition interne sur

C

2. Montrer que cette loi est commutative et associative.

On considère l’application

f_{2}

définie pour tous nombres complexes

z

z^{'}

par

f_{2} (z; z^{'}) = z \times z^{'}

.

1. Justifier que

f_{2}

définit une loi de composition interne sur

C

2. Montrer que cette loi est commutative et associative.

1. Justifier que la soustraction est une loi de composition interne sur

R

2. Est‑elle associative ? Commutative ?

Soit

*

la loi de composition interne définie, pour tous

x

x^{'}

réels, par

x * x^{'} = x^{x^{'}}

.

1. Cette loi est‑elle commutative ?

2. Cette loi est‑elle associative ?

1. La division définit‑elle une loi de composition interne sur

R

? Sur

R^{*}

2. Justifier que la division n’est ni associative, ni commutative sur

R^{*}

3. On admet que la division définit une loi de composition interne sur

E = {- 1; 1}

. Est‑elle associative sur

E

? Commutative ?

1. On désigne par

M_{2} (R)

l’ensemble des matrices carrées d’ordre

2

à coefficients réels.
a. Montrer que le produit matriciel définit une loi de composition interne sur

M_{2} (R)

b. Montrer que le produit matriciel est associatif sur

M_{2} (R)

c. Est‑il commutatif ?

2. Pour tout entier

n

supérieur ou égal à

2

, on désigne par

M_{n} (R)

l’ensemble des matrices carrées d’ordre

n

à coefficients réels.
Justifier que le produit matriciel définit une loi de composition interne sur

M_{n} (R)

B
Notion de groupe

Définitions

On dit que $e \in E$ est un élément neutre pour la loi $*$ lorsque, pour tout $x \in E$ , $e * x = x * e = x$ .
Si $E$ possède un élément neutre $e$ pour la loi $*$ , un élément $x \in E$ est inversible s’il existe $y \in E$ tel que $x * y = y * x = e$ . On dit que $y$ est l’inverse de $x$ .
On dit que $(E, *)$ est un groupe lorsque la loi $*$ est une loi de composition interne associative sur $E$ , qu’il existe un élément neutre pour cette loi et que tout élément de $E$ est inversible pour cette loi.
Lorsque la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif ou abélien.

Exemple

(Z, +)

est un groupe :

$+$ définit une loi de composition interne associative sur $Z$ ;
il existe un élément neutre $e = 0$ pour cette loi : pour tout $a \in Z$ , $a + 0 = 0 + a = a$ ;
tout élément $a \in Z$ admet un inverse pour la loi $+$ : $- a$ .

On souhaite montrer que

(U, \times)

est un groupe.

1. a. Soient

z

z^{'}

deux nombres complexes de module

1

.
Montrer que

z \times z^{'}

est un nombre complexe de module

1

b. Justifier que

\times

est une loi de composition interne associative sur

U

2. a. Montrer que

U

possède un élément neutre pour

\times

2. b. Soit

z \in U

. Montrez que

\frac{1}{z} \in U

3. Conclure quant à l’objectif de l’exercice.

1. Montrer que la multiplication

\times

est une loi de composition interne sur

R^{*}

. Est‑elle associative ?

2. Montrer que

R^{*}

possède un élément neutre pour

\times

. Donner sa valeur.

3. Tout élément de

R^{*}

possède‑t‑il un inverse pour

\times

4. Que peut‑on déduire des questions précédentes ?

Les couples suivants sont‑ils des groupes ?

1.

(N, +)

(C, \times)

(Z^{*}, \times)

C
Notion de sous‑groupe

Définitions

Soit

(G, *)

un groupe. On dit que

(H, *)

est un sous-groupe de

(G, *)

lorsque :
1.

H

est inclus dans

G

;
2.

H

l’élément neutre de

(G, *)

appartient à

H

;
3. pour tous

x

y

H

x * y \in H

;
4. pour tout

x

H

, l’inverse de

x

pour

*

appartient à

H

1. Montrer que

({- 1; 1}, \times)

est un sous‑groupe de

(R^{*}, \times)

({- 1; 1}, +)

est‑il un sous‑groupe de

(Z, +)

(N, +)

est‑il un sous‑groupe de

(Z, +)

(Q^{*}, \times)

est‑il un sous‑groupe de

(R^{*}, \times)

Pour

n \in N

, on note

n Z = {n k, k \in Z}

.
Montrer que

(n Z, +)

est un sous‑groupe de

(Z, +)

Soit

(G, *)

un groupe dont on note

e

l’élément neutre.
Montrer que

({e}, *)

est un sous‑groupe de

(G, *)

Vers le supérieur

2
Similitudes

Dans toute cette partie, on considère un repère orthonormé direct

(O; u, v)

Définitions

1. On appelle transformation du plan toute fonction qui, à tout point

M

du plan, associe un unique point

M^{'}

du plan, et telle que tout point du plan possède un, et un seul, antécédent par cette fonction.
2. Soit

t

un vecteur. La translation de vecteur

t

est la transformation du plan qui, à tout point

M

, associe le point

M^{'}

tel que

M M^{'} = t

.
3. Soient

Ω

un point du plan et

k

un réel non nul. L’homothétie de centre

Ω

et de rapport

k

est une transformation du plan qui, à tout point

M

du plan, associe le point

M^{'}

tel que

Ω M^{'} = k Ω M

.
4. Soient

Ω

un point du plan et

θ

un réel. La rotation de centre

Ω

et d’angle

θ

est une transformation du plan qui, à tout point

M

du plan, associe le point

M^{'}

tel que

Ω M = Ω M^{'}

(Ω M; Ω M^{'}) = θ + k \times 2 π

k \in Z

.
5. Une fonction

f : C \to C

est une similitude directe lorsqu’il existe deux nombres complexes

a \neq = 0

b

tels que, pour tout

z \in C

f (z) = a z + b

Exemple

Soit

f

la fonction définie, pour tout

z \in C

f (z) = (3 + i) z + 2 + i

f

est une similitude directe. Cette application n’a qu’un point fixe, c’est‑à‑dire un complexe vérifiant

f (z_{0}) = z_{0}

(avec

z_{0} = - 1

On considère une similitude directe qui transforme le point

A

d’affixe

4

en le point

A^{'}

d’affixe

1 - 6 i

et le point

B

d’affixe

2 + 4 i

en le point

B^{'}

d’affixe

7 - 3 i

.

1. Justifier que, pour tout point

M

d’affixe

z

, l’image

M^{'}

par cette similitude directe est

z^{'} = a z + b

, où

a

b

sont deux nombres à déterminer.

2. A‑t‑on

A A^{'} = B B^{'}

3. Cette transformation du plan est‑elle une translation ? Une rotation ? Une homothétie ? Justifier.

Dans cet exercice,

M

désigne un point du plan d’affixe

z \in C

. Le point

M^{'}

d’affixe

z^{'} \in C

est l’image du point

M

par une transformation du plan.

1. On suppose que la transformation du plan est une translation de vecteur

t

d’affixe

b

.
Montrer que

z^{'} = z + b

2. On suppose que la transformation du plan est une homothétie de centre

Ω

, d’affixe

ω

, et de rapport

k

.
Montrer que

z^{'} = ω + k (z - ω)

3. On suppose que la transformation du plan est une rotation de centre

Ω

, d’affixe

ω

, et d’angle

θ

.
Montrer que

z^{'} = ω + e^{i θ} (z - ω)

4. Justifier que les transformations précédentes sont toutes des similitudes directes.

D’après bac S, Antilles - Guyane, juin 2012
Soit la transformation

f

qui, à tout point

M

d’affixe

z

, associe le point

M^{'}

d’affixe

z^{'}

tel que :

z^{'} = \frac{3}{2} (1 - i) z + 4 - 2 i

1. Montrer que cette transformation admet un unique point fixe

Ω

d’affixe

ω = - 2 - 2 i

2. Montrer qu’il existe

a \in C

tel que, pour tout

z \in C

, on a

z^{'} - ω = a (z - ω)

. On précisera la valeur de

a .

3. Déterminer une forme exponentielle de

a

4. En déduire que

f

est la composée d’une rotation et d’une homothétie. On précisera ses éléments caractéristiques.

D’après bac S, La Réunion, juin 2011
Soit la transformation

f

qui, à tout point

M

d’affixe

z

, associe le point

M^{'}

d’affixe

z^{'}

tel que :

z^{'} = \frac{2}{2} (- 1 + i) z

Montrer que

f

est une rotation dont on précisera ses éléments caractéristiques.

On dit qu’une transformation du plan

f

conserve les longueurs lorsque, pour tous points

A

B

du plan, si

A^{'}

B^{'}

désignent les images respectives de

A

B

par

f

, on a

A^{'} B^{'} = A B

.
Quelles sont les conditions pour qu’une similitude directe conserve les longueurs ?

Problème de concours

D’après ENSTIM MPSI, 2004
On désigne par

E

l’ensemble des matrices carrées d’ordre

2

de la forme

(a 0 c b)

, où

a

b

c

sont des nombres réels.

1. Démontrer que

E

, muni de l’addition des matrices, est un groupe commutatif.

2. a. Si

A

B

sont deux éléments de

E

AB

appartient‑il à

E

b. Si

A

B

sont deux éléments de

E

, a‑t‑on

A B = B A

c. Tout élément non nul de

E

est‑il inversible pour le produit ?

3. On désigne par

G

l’ensemble des matrices de

E

telles que

a > 0

b > 0

.
Démontrer que

G

est un groupe multiplicatif.

D’après concours des écoles des mines, 2006
Soit

f

la fonction qui à un complexe

z

associe, lorsque c’est possible,

f (z) = \frac{z ^{2}}{z - 2 i}

.

1. Déterminer le domaine de définition

D

f

2. a. Déterminer les racines carrées complexes de

8 - 6 i

b. En déduire tous les antécédents de

1 + i

par

f

3. Soit

h

un nombre complexe. Discuter, suivant les valeurs de

h

, le nombre d’antécédents de

h

par

f

4. On désigne par

f (D)

l’ensemble des éléments de

z^{'}

C

tel qu’il existe

z \in D

vérifiant

z^{'} = f (z)

.
Si

f (D) = C

, on dit que

f

est surjective.
a. Déterminer l’ensemble

f (D)

b. La fonction

f

est‑elle surjective ?

5. On dit que

f

est injective lorsque, pour tous nombres

z

z^{'}

D

, si

f (z) = f (z^{'})

alors

z = z^{'}

.
La fonction

f

est‑elle injective ?

Soit

g

la fonction définie sur

D

à valeurs dans

C

et telle que, pour tout

z \in D

g (z) = ∣ z - 2 i ∣^{2} \frac{z ^{2}}{z - 2 i} + z^{3}

6. Soit

z = x + i y

un nombre complexe appartenant à

D

.
a. Montrer que la partie réelle de

g (z)

est

2 x^{3} - 2 x y^{2} - 4 x y

b. Déterminer la partie imaginaire de

z

D’après ENAC, 2018
Soit

a

un paramètre réel. On considère l’équation :

2 (1 + i) z^{2} + 2 (a + i) z + i a (1 - i) = 0

Déterminer les solutions de cette équation.

Aide
Soient

a

b

c

trois nombres complexes avec

a \neq = 0

.
On admet que l’équation du second degré à coefficients complexes

a z^{2} + b z + c = 0

se résout de la même manière que les équations à coefficients réels :

on calcule $Δ = b^{2} - 4 a c$ ;
on détermine $δ \in C$ tel que $Δ = δ^{2}$ ;
on en déduit les solutions données par $z_{1} = \frac{- b - δ}{2 a}$ et $z_{2} = \frac{- b + δ}{2 a}$ .

Avant	Maintenant	Après
Les ensembles de nombres usuels : $N$ , $Z$ , $D$ , $Q$ et $R$ . Propriétés sur les nombres réels.	Les nombres complexes $C$ . Utilisation des nombres complexes en géométrie plane. Résolution d’équations polynomiales.	Étude des similitudes directes. Étude des structures algébriques particulières : les groupes, les anneaux, les corps, les algèbres, les espaces vectoriels.

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