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Vers le supérieur - Nombres complexes
P.82-85

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Vers le supérieur


1
Les groupes




A
Loi de composition interne


Soit E\text{E} un ensemble non vide.

Définitions

  • On appelle loi de composition interne * sur E\text{E}, une application qui, à tout couple (a;b)(a\,; b) d’éléments de E\text{E}, associe un unique élément de E\text{E}, que l’on note aba * b.
  • Une loi de composition interne * est dite associative lorsque, pour tout (a,b,c)E3(a\,, b\,, c) \in \mathrm{E}^{3} :
    (ab)c=a(bc)(a * b) * c=a *(b * c).
  • Une loi de composition interne * est dite commutative lorsque, pour tout (a,b)E2(a\,, b) \in \mathrm{E}^{2} :
    ab=baa * b=b * a.

Exemples

1. La soustraction - ne définit pas une loi de composition interne sur N\mathbb{N}. En effet, en choisissant 3N3 \in \mathbb{N} et 5N5 \in \mathbb{N}, on a 35=2N3-5=-2 \notin \mathbb{N}.

2. La soustraction - définit en revanche une loi de composition interne sur Z\mathbb{Z}.
Pour tous aZa \in \mathbb{Z} et bZb \in \mathbb{Z}, on a bien abZa-b \in \mathbb{Z}.
  • Cette loi n’est pas commutative sur Z\mathbb{Z}.
    On a 32=13-2=1 et 23=12-3=-1 et donc 32233-2 \neq 2-3.
  • Cette loi n’est pas associative sur Z\mathbb{Z}.
    On a (32)1=11=0(3-2)-1=1-1=0 et 3(21)=31=23-(2-1)=3-1=2 et donc (32)13(21)(3-2)-1 \neq 3-(2-1).

1

On considère l’application f1f_1 définie pour tous nombres complexes zz et zz^\prime par f1(z;z)=z+zf_{1}\left(z\,; z^{\prime}\right)=z+z^{\prime}.

1. Justifier que f1f_1 définit une loi de composition interne sur C\mathbb{C}.


2. Montrer que cette loi est commutative et associative.
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2

On considère l’application f2f_2 définie pour tous nombres complexes zz et zz^\prime par f2(z;z)=z×zf_{2}\left(z\,; z^{\prime}\right)=z \times z^{\prime}.

1. Justifier que f2f_2 définit une loi de composition interne sur C\mathbb{C}.


2. Montrer que cette loi est commutative et associative.
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3

1. Justifier que la soustraction est une loi de composition interne sur R\mathbb{R}.


2. Est‑elle associative ? Commutative ?
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4

Soit * la loi de composition interne définie, pour tous xx et xx^\prime réels, par xx=xxx * x^{\prime}=x^{x^{\prime}}.

1. Cette loi est‑elle commutative ?


2. Cette loi est‑elle associative ?
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5

1. La division définit‑elle une loi de composition interne sur R\mathbb{R} ? Sur R\mathbb{R}^{*} ?


2. Justifier que la division n’est ni associative, ni commutative sur R\mathbb{R}^{*}.


3. On admet que la division définit une loi de composition interne sur E={1;1}\mathrm{E}=\{-1\,; 1\}. Est‑elle associative sur E\text{E} ? Commutative ?
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6

1. On désigne par M2(R)\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 22 à coefficients réels.
a. Montrer que le produit matriciel définit une loi de composition interne sur M2(R)\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}).


b. Montrer que le produit matriciel est associatif sur M2(R)\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}).


c. Est‑il commutatif ?


2. Pour tout entier nn supérieur ou égal à 22, on désigne par Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) l’ensemble des matrices carrées d’ordre nn à coefficients réels.
Justifier que le produit matriciel définit une loi de composition interne sur Mn(R)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
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B
Notion de groupe


Définitions

  • On dit que eEe \in \mathrm{E} est un élément neutre pour la loi * lorsque, pour tout xEx \in \mathrm{E}, ex=xe=xe * x=x * e=x.
  • Si E\mathrm{E} possède un élément neutre ee pour la loi *, un élément xEx \in \mathrm{E} est inversible s’il existe yEy \in \mathrm{E} tel que xy=yx=ex * y=y * x=e. On dit que yy est l’inverse de xx.
  • On dit que (E,)(\mathrm{E}\,, *) est un groupe lorsque la loi * est une loi de composition interne associative sur E\mathrm{E}, qu’il existe un élément neutre pour cette loi et que tout élément de E\mathrm{E} est inversible pour cette loi.
  • Lorsque la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif ou abélien.

Exemple

(Z,+)(\mathbb{Z}\,,+) est un groupe :
  • ++ définit une loi de composition interne associative sur Z\mathbb{Z} ;
  • il existe un élément neutre e=0e=0 pour cette loi : pour tout aZa \in \mathbb{Z}, a+0=0+a=aa+0=0+a=a ;
  • tout élément aZa \in \mathbb{Z} admet un inverse pour la loi ++ : a-a.

7

On souhaite montrer que (U,×)(\mathbb{U}\,, \times) est un groupe.

1. a. Soient zz et zz^\prime deux nombres complexes de module 11.
Montrer que z×zz \times z^\prime est un nombre complexe de module 11.


b. Justifier que ×\times est une loi de composition interne associative sur U\mathbb{U}.


2. a. Montrer que U\mathbb{U} possède un élément neutre pour ×\times.


3. Conclure quant à l’objectif de l’exercice.
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8

1. Montrer que la multiplication ×\times est une loi de composition interne sur R\mathbb{R}^{*}. Est‑elle associative ?


2. Montrer que R\mathbb{R}^{*} possède un élément neutre pour ×\times. Donner sa valeur.


3. Tout élément de R\mathbb{R}^{*} possède‑t‑il un inverse pour ×\times ?


4. Que peut‑on déduire des questions précédentes ?
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9

Les couples suivants sont‑ils des groupes ?

1. (N,+)(\mathbb{N}\,,+)


2. (C,×)(\mathbb{C}\,, \times)


3. (Z,×)\left(\mathbb{Z}^{*}\,, \times\right)
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C
Notion de sous‑groupe


Définitions

Soit (G,)(\mathrm{G}\,, *) un groupe. On dit que (H,)(\mathrm{H}\,, *) est un sous-groupe de (G,)(\mathrm{G}\,, *) lorsque :
1. H\text{H} est inclus dans G\text{G} ;
2. H\text{H} l’élément neutre de (G,)(\mathrm{G}\,, *) appartient à H\text{H} ;
3. pour tous xx et yy de H\text{H}, xyHx * y \in \mathrm{H} ;
4. pour tout xx de H\text{H}, l’inverse de xx pour * appartient à H\text{H}.

10

1. Montrer que ({1;1},×)(\{-1\,; 1\}\,, \times) est un sous‑groupe de (R,×)\left(\mathbb{R}^{*}, \times\right).


2. ({1;1},+)(\{-1\,; 1\}\,,+) est‑il un sous‑groupe de (Z,+)(\mathbb{Z}\,,+) ?


3. (N,+)(\mathrm{N}\,,+) est‑il un sous‑groupe de (Z,+)(\mathbb{Z}\,,+) ?


4. (Q,×)\left(\mathbb{Q}^{*}, \times\right) est‑il un sous‑groupe de (R,×)\left(\mathbb{R}^{*}, \times\right) ?
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11

Pour nNn \in \mathbb{N}, on note nZ={nk,kZ}n \mathbb{Z}=\{n k\,, k \in \mathbb{Z}\}.
Montrer que (nZ,+)(n \mathbb{Z}\,,+) est un sous‑groupe de (Z,+)(\mathbb{Z}\,,+).
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12

Soit (G,)(\mathrm{G}\,, *) un groupe dont on note ee l’élément neutre.
Montrer que ({e},)(\{e\}\,, *) est un sous‑groupe de (G,)(\mathrm{G}\,,*).
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Vers le supérieur


2
Similitudes





Dans toute cette partie, on considère un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}).

Définitions

1. On appelle transformation du plan toute fonction qui, à tout point M\text{M} du plan, associe un unique point M\mathrm{M}^{\prime} du plan, et telle que tout point du plan possède un, et un seul, antécédent par cette fonction.
2. Soit t\overrightarrow{t} un vecteur. La translation de vecteur t\overrightarrow{t} est la transformation du plan qui, à tout point M\text{M}, associe le point M\mathrm{M}^{\prime} tel que MM=t\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}=\overrightarrow{t}.
3. Soient Ω\Omega un point du plan et kk un réel non nul. L’homothétie de centre Ω\Omega et de rapport kk est une transformation du plan qui, à tout point M\text{M} du plan, associe le point M\mathrm{M}^{\prime} tel que ΩM=kΩM\overrightarrow{\Omega \mathrm{M}^{\prime}}=k \overrightarrow{\Omega \mathrm{M}}.
4. Soient Ω\Omega un point du plan et θ\theta un réel. La rotation de centre Ω\Omega et d’angle θ\theta est une transformation du plan qui, à tout point M\mathrm{M} du plan, associe le point M\mathrm{M}^{\prime} tel que ΩM=ΩM\Omega \mathrm{M}=\Omega \mathrm{M}^{\prime} et (ΩM;ΩM)=θ+k×2π(\overrightarrow{\Omega \mathrm{M}}\,; \overrightarrow{\Omega \mathrm{M}^{\prime}})=\theta+k \times 2 \pi, kZk \in \mathbb{Z}.
5. Une fonction f:CCf: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} est une similitude directe lorsqu’il existe deux nombres complexes a0a \neq 0 et bb tels que, pour tout zCz \in \mathbb{C}, f(z)=az+bf(z)=a z+b.

Exemple

Soit ff la fonction définie, pour tout zCz \in \mathbb{C}, f(z)=(3+i)z+2+if(z)=(3+\mathrm{i}) z+2+\mathrm{i}. ff est une similitude directe. Cette application n’a qu’un point fixe, c’est‑à‑dire un complexe vérifiant f(z0)=z0f\left(z_{0}\right)=z_{0} (avec z0=1z_{0}=-1).

13

On considère une similitude directe qui transforme le point A\text{A} d’affixe 44 en le point A\mathrm{A}^\prime d’affixe 16i1-6 \mathrm{i} et le point B\text{B} d’affixe 2+4i2+4 \mathrm{i} en le point B\mathrm{B}^\prime d’affixe 73i7-3 \mathrm{i}.

1. Justifier que, pour tout point M\text{M} d’affixe zz, l’image M\mathrm{M}^\prime par cette similitude directe est z=az+b\text{}z^{\prime}=a z+b, où aa et bb sont deux nombres à déterminer.


2. A‑t‑on AA=BB\mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{BB}^{\prime} ?


3. Cette transformation du plan est‑elle une translation ? Une rotation ? Une homothétie ? Justifier.
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14

Dans cet exercice, M\text{M} désigne un point du plan d’affixe zCz \in \mathbb{C}. Le point M\mathrm{M}^\prime d’affixe zCz^{\prime} \in \mathbb{C} est l’image du point M\text{M} par une transformation du plan.

1. On suppose que la transformation du plan est une translation de vecteur t\overrightarrow{t} d’affixe bb.
Montrer que z=z+bz^{\prime}=z+b.


2. On suppose que la transformation du plan est une homothétie de centre Ω\Omega, d’affixe ω\omega, et de rapport kk.
Montrer que z=ω+k(zω)z^{\prime}=\omega+k(z-\omega).


3. On suppose que la transformation du plan est une rotation de centre Ω\Omega, d’affixe ω\omega, et d’angle θ\theta.
Montrer que z=ω+eiθ(zω)z^{\prime}=\omega+e^{\mathrm{i} \theta}(z-\omega).


4. Justifier que les transformations précédentes sont toutes des similitudes directes.
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15
D’après bac S, Antilles - Guyane, juin 2012
Soit la transformation ff qui, à tout point M\text{M} d’affixe zz, associe le point M\mathrm{M}^\prime d’affixe zz^\prime tel que :
z=32(1i)z+42iz^{\prime}=\dfrac{3}{2}(1-\mathrm{i}) z+4-2 \mathrm{i}.

1. Montrer que cette transformation admet un unique point fixe Ω\Omega d’affixe ω=22i\omega=-2-2 \mathrm{i}.


2. Montrer qu’il existe aCa \in \mathbb{C} tel que, pour tout zCz \in \mathbb{C}, on a zω=a(zω)z^{\prime}-\omega=a(z-\omega). On précisera la valeur de a.a.


3. Déterminer une forme exponentielle de aa.


4. En déduire que ff est la composée d’une rotation et d’une homothétie. On précisera ses éléments caractéristiques.
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16
D’après bac S, La Réunion, juin 2011
Soit la transformation ff qui, à tout point M\text{M} d’affixe zz, associe le point M\mathrm{M}^\prime d’affixe zz^\prime tel que :
z=22(1+i)zz^{\prime}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(-1+\mathrm{i}) z.
Montrer que ff est une rotation dont on précisera ses éléments caractéristiques.
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17

On dit qu’une transformation du plan ff conserve les longueurs lorsque, pour tous points A\text{A} et B\text{B} du plan, si A\mathrm{A}^\prime et B\mathrm{B}^\prime désignent les images respectives de A\text{A} et B\text{B} par ff, on a AB=AB\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}=\mathrm{AB}.
Quelles sont les conditions pour qu’une similitude directe conserve les longueurs ?
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Problème de concours


18
D’après ENSTIM MPSI, 2004
On désigne par E\text{E} l’ensemble des matrices carrées d’ordre 22 de la forme (ac0b)\left(\begin{array}{ll}a & c \\ 0 & b\end{array}\right), où aa, bb et cc sont des nombres réels.

1. Démontrer que E\text{E}, muni de l’addition des matrices, est un groupe commutatif.


2. a. Si A\text{A} et B\text{B} sont deux éléments de E\text{E}, AB\text{AB} appartient‑il à E\text{E} ?


b. Si A\text{A} et B\text{B} sont deux éléments de E\text{E}, a‑t‑on AB=BA\mathrm{AB}=\mathrm{BA} ?


c. Tout élément non nul de E\text{E} est‑il inversible pour le produit ?


3. On désigne par G\text{G} l’ensemble des matrices de E\text{E} telles que a>0a>0 et b>0b>0.
Démontrer que G\text{G} est un groupe multiplicatif.
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19
D’après concours des écoles des mines, 2006
Soit ff la fonction qui à un complexe zz associe, lorsque c’est possible, f(z)=z2z2if(z)=\dfrac{z^{2}}{z-2 \mathrm{i}}.

1. Déterminer le domaine de définition D\mathcal{D} de ff.


2. a. Déterminer les racines carrées complexes de 86i8-6 \mathrm{i}.


b. En déduire tous les antécédents de 1+i1 + \mathrm{i} par ff.


3. Soit hh un nombre complexe. Discuter, suivant les valeurs de hh, le nombre d’antécédents de hh par ff.


4. On désigne par f(D)f(\mathcal{D}) l’ensemble des éléments de zz^\prime de C\mathbb{C} tel qu’il existe zDz \in \mathcal{D} vérifiant z=f(z)z^{\prime}=f(z).
Si f(D)=Cf(\mathcal{D})=\mathbb{C}, on dit que ff est surjective.
a. Déterminer l’ensemble f(D)f(\mathcal{D}).


b. La fonction ff est‑elle surjective ?


5. On dit que ff est injective lorsque, pour tous nombres zz et zz^\prime de D\mathcal{D}, si f(z)=f(z)f(z)=f\left(z^{\prime}\right) alors z=zz=z^{\prime}.
La fonction ff est‑elle injective ?


Soit gg la fonction définie sur D\mathcal{D} à valeurs dans C\mathbb{C} et telle que, pour tout zDz \in \mathcal{D},
g(z)=z2i2z2z2i+z3g(z)=|z-2 \mathrm{i}|^{2} \dfrac{z^{2}}{z-2 \mathrm{i}}+z^{3}.

6. Soit z=x+iyz=x+\mathrm{i} y un nombre complexe appartenant à D\mathcal{D}.
a. Montrer que la partie réelle de g(z)g(z) est 2x32xy24xy2 x^{3}-2 x y^{2}-4 x y.


b. Déterminer la partie imaginaire de zz.
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20
D’après ENAC, 2016
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Soit θ]π;π[\theta \in]-\pi\,; \pi[. On considère le nombre complexe z=1+cos(θ)+isin(θ)z=1+\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta).

1. Le module de zz vaut :







2. Un argument de zz vérifie :







3. On obtient alors :





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21
D’après ENAC, 2018
Soit aa un paramètre réel. On considère l’équation :
2(1+i)z2+2(a+i)z+ia(1i)=02(1+\mathrm{i}) z^{2}+2(a+\mathrm{i}) z+\mathrm{i} a(1-\mathrm{i})=0.
Déterminer les solutions de cette équation.


Aide
Soient aa, bb et cc trois nombres complexes avec a0a \neq 0.
On admet que l’équation du second degré à coefficients complexes az2+bz+c=0a z^{2}+b z+c=0 se résout de la même manière que les équations à coefficients réels :
  • on calcule Δ=b24ac\Delta=b^{2}-4 a c ;
  • on détermine δC\delta \in \mathbb{C} tel que Δ=δ2\Delta=\delta^{2} ;
  • on en déduit les solutions données par z1=bδ2az_{1}=\dfrac{-b-\delta}{2 a} et z2=b+δ2az_{2}=\dfrac{-b+\delta}{2 a}.

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Avant Maintenant Après
Les ensembles de nombres usuels : N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, D\mathbb{D}, Q\mathbb{Q} et R\mathbb{R}.
Propriétés sur les nombres réels.
Les nombres complexes C\mathbb{C}.
Utilisation des nombres complexes en géométrie plane.
Résolution d’équations polynomiales.
Étude des similitudes directes.
Étude des structures algébriques particulières : les groupes, les anneaux, les corps, les algèbres, les espaces vectoriels.
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