Dans toute cette partie, on considère un repère orthonormé direct $(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v})$.

Soit $f$ la fonction définie, pour tout $z \in \mathbb{C}$, $f(z)=(3+\mathrm{i}) z+2+\mathrm{i}$. $f$ est une similitude directe. Cette application n’a qu’un point fixe, c’est‑à‑dire un complexe vérifiant $f\left(z_{0}\right)=z_{0}$ (avec $z_{0}=-1$).

On considère une similitude directe qui transforme le point $\text{A}$ d’affixe $4$ en le point $\mathrm{A}^\prime$ d’affixe $1-6 \mathrm{i}$ et le point $\text{B}$ d’affixe $2+4 \mathrm{i}$ en le point $\mathrm{B}^\prime$ d’affixe $7-3 \mathrm{i}$.

1. Justifier que, pour tout point $\text{M}$ d’affixe $z$, l’image $\mathrm{M}^\prime$ par cette similitude directe est $\text{}z^{\prime}=a z+b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres à déterminer.


2. A‑t‑on $\mathrm{AA}^{\prime}=\mathrm{BB}^{\prime}$ ?


3. Cette transformation du plan est‑elle une translation ? Une rotation ? Une homothétie ? Justifier.

Dans cet exercice, $\text{M}$ désigne un point du plan d’affixe $z \in \mathbb{C}$. Le point $\mathrm{M}^\prime$ d’affixe $z^{\prime} \in \mathbb{C}$ est l’image du point $\text{M}$ par une transformation du plan.

1. On suppose que la transformation du plan est une translation de vecteur $\overrightarrow{t}$ d’affixe $b$.
Montrer que $z^{\prime}=z+b$.


2. On suppose que la transformation du plan est une homothétie de centre $\Omega$, d’affixe $\omega$, et de rapport $k$.
Montrer que $z^{\prime}=\omega+k(z-\omega)$.


3. On suppose que la transformation du plan est une rotation de centre $\Omega$, d’affixe $\omega$, et d’angle $\theta$.
Montrer que $z^{\prime}=\omega+e^{\mathrm{i} \theta}(z-\omega)$.


4. Justifier que les transformations précédentes sont toutes des similitudes directes.

D’après bac S, Antilles - Guyane, juin 2012
Soit la transformation $f$ qui, à tout point $\text{M}$ d’affixe $z$, associe le point $\mathrm{M}^\prime$ d’affixe $z^\prime$ tel que : $z^{\prime}=\dfrac{3}{2}(1-\mathrm{i}) z+4-2 \mathrm{i}$.
1. Montrer que cette transformation admet un unique point fixe $\Omega$ d’affixe $\omega=-2-2 \mathrm{i}$.


2. Montrer qu’il existe $a \in \mathbb{C}$ tel que, pour tout $z \in \mathbb{C}$, on a $z^{\prime}-\omega=a(z-\omega)$. On précisera la valeur de $a.$


3. Déterminer une forme exponentielle de $a$.


4. En déduire que $f$ est la composée d’une rotation et d’une homothétie. On précisera ses éléments caractéristiques.

D’après bac S, La Réunion, juin 2011
Soit la transformation $f$ qui, à tout point $\text{M}$ d’affixe $z$, associe le point $\mathrm{M}^\prime$ d’affixe $z^\prime$ tel que : $z^{\prime}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(-1+\mathrm{i}) z$. Montrer que $f$ est une rotation dont on précisera ses éléments caractéristiques.

On dit qu’une transformation du plan $f$ conserve les longueurs lorsque, pour tous points $\text{A}$ et $\text{B}$ du plan, si $\mathrm{A}^\prime$ et $\mathrm{B}^\prime$ désignent les images respectives de $\text{A}$ et $\text{B}$ par $f$, on a $\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}=\mathrm{AB}$.
Quelles sont les conditions pour qu’une similitude directe conserve les longueurs ?

D’après ENSTIM MPSI, 2004
On désigne par $\text{E}$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre $2$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a & c \\ 0 & b\end{array}\right)$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.

1. Démontrer que $\text{E}$, muni de l’addition des matrices, est un groupe commutatif.


2. a. Si $\text{A}$ et $\text{B}$ sont deux éléments de $\text{E}$, $\text{AB}$ appartient‑il à $\text{E}$ ?


b. Si $\text{A}$ et $\text{B}$ sont deux éléments de $\text{E}$, a‑t‑on $\mathrm{AB}=\mathrm{BA}$ ?


c. Tout élément non nul de $\text{E}$ est‑il inversible pour le produit ?


3. On désigne par $\text{G}$ l’ensemble des matrices de $\text{E}$ telles que $a>0$ et $b>0$.
Démontrer que $\text{G}$ est un groupe multiplicatif.

D’après concours des écoles des mines, 2006
Soit $f$ la fonction qui à un complexe $z$ associe, lorsque c’est possible, $f(z)=\dfrac{z^{2}}{z-2 \mathrm{i}}$.

1. Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}$ de $f$.


2. a. Déterminer les racines carrées complexes de $8-6 \mathrm{i}$.


b. En déduire tous les antécédents de $1 + \mathrm{i}$ par $f$.


3. Soit $h$ un nombre complexe. Discuter, suivant les valeurs de $h$, le nombre d’antécédents de $h$ par $f$.


4. On désigne par $f(\mathcal{D})$ l’ensemble des éléments de $z^\prime$ de $\mathbb{C}$ tel qu’il existe $z \in \mathcal{D}$ vérifiant $z^{\prime}=f(z)$.
Si $f(\mathcal{D})=\mathbb{C}$, on dit que $f$ est surjective.
a. Déterminer l’ensemble $f(\mathcal{D})$.


b. La fonction $f$ est‑elle surjective ?


5. On dit que $f$ est injective lorsque, pour tous nombres $z$ et $z^\prime$ de $\mathcal{D}$, si $f(z)=f\left(z^{\prime}\right)$ alors $z=z^{\prime}$.
La fonction $f$ est‑elle injective ?


Soit $g$ la fonction définie sur $\mathcal{D}$ à valeurs dans $\mathbb{C}$ et telle que, pour tout $z \in \mathcal{D}$, $g(z)=|z-2 \mathrm{i}|^{2} \dfrac{z^{2}}{z-2 \mathrm{i}}+z^{3}$.
6. Soit $z=x+\mathrm{i} y$ un nombre complexe appartenant à $\mathcal{D}$.
a. Montrer que la partie réelle de $g(z)$ est $2 x^{3}-2 x y^{2}-4 x y$.


b. Déterminer la partie imaginaire de $z$.

D’après ENAC, 2016
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Soit $\theta \in]-\pi\,; \pi[$. On considère le nombre complexe $z=1+\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta)$.

1. Le module de $z$ vaut :

a. $|z|=\sqrt{2+2 \cos \theta}$.

b. $|z|=2$.

c. $|z|=2 \cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)$.

d. $|z|=\sqrt{2}+\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)$.



2. Un argument de $z$ vérifie :

a. $\alpha=\dfrac{\theta}{2}+2 k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

b. $\alpha=\dfrac{\theta}{2}+k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

c. $\tan \alpha=\tan \left(\dfrac{\theta}{2}\right)$.

d. $\tan \alpha=\tan \left(\dfrac{\theta}{2}\right)+k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$.



3. On obtient alors :

a. $z=2 \cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\theta}{2}}}$.

b. $z=2\left|\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)\right| \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\theta}{2}}}$.

c. $z=2\left|\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)\right|\left(\cos \left|\dfrac{\theta}{2}\right|+\mathrm{i} \sin \left|\dfrac{\theta}{2}\right|\right)$.

d. $z=2 \cos ^{2}\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\left(1+\mathrm{i}\operatorname{tan}\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\right)$.

D’après ENAC, 2018
Soit $a$ un paramètre réel. On considère l’équation : $2(1+\mathrm{i}) z^{2}+2(a+\mathrm{i}) z+\mathrm{i} a(1-\mathrm{i})=0$. Déterminer les solutions de cette équation.