D’après concours des écoles des mines, 2006
Soit
f la fonction qui à un complexe
z associe, lorsque c’est possible,
f(z)=z−2iz2.
1. Déterminer le domaine de définition
D de
f.
2. a. Déterminer les racines carrées complexes de
8−6i.
b. En déduire tous les antécédents de
1+i par
f.
3. Soit
h un nombre complexe. Discuter, suivant les valeurs de
h, le nombre d’antécédents de
h par
f.
4. On désigne par
f(D) l’ensemble des éléments de
z′ de
C tel qu’il existe
z∈D vérifiant
z′=f(z).
Si
f(D)=C, on dit que
f est surjective.
a. Déterminer l’ensemble
f(D).
b. La fonction
f est‑elle surjective ?
5. On dit que
f est injective lorsque, pour tous nombres
z et
z′ de
D, si
f(z)=f(z′) alors
z=z′.
La fonction
f est‑elle injective ?
Soit
g la fonction définie sur
D à valeurs dans
C et telle que, pour tout
z∈D,
g(z)=∣z−2i∣2z−2iz2+z3.
6. Soit
z=x+iy un nombre complexe appartenant à
D.
a. Montrer que la partie réelle de
g(z) est
2x3−2xy2−4xy.
b. Déterminer la partie imaginaire de
z.