Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Vers le supérieur - Nombres complexes
P.82-85

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

Vers le supérieur


1
Les groupes




A
Loi de composition interne


Soit un ensemble non vide.

Définitions

  • On appelle loi de composition interne sur , une application qui, à tout couple d’éléments de , associe un unique élément de , que l’on note .
  • Une loi de composition interne est dite associative lorsque, pour tout  :
    .
  • Une loi de composition interne est dite commutative lorsque, pour tout  :
    .

Exemples

1. La soustraction ne définit pas une loi de composition interne sur . En effet, en choisissant et , on a .

2. La soustraction définit en revanche une loi de composition interne sur .
Pour tous et , on a bien .
  • Cette loi n’est pas commutative sur .
    On a et et donc .
  • Cette loi n’est pas associative sur .
    On a et et donc .

1

On considère l’application définie pour tous nombres complexes et par .

1. Justifier que définit une loi de composition interne sur .


2. Montrer que cette loi est commutative et associative.
Voir les réponses

2

On considère l’application définie pour tous nombres complexes et par .

1. Justifier que définit une loi de composition interne sur .


2. Montrer que cette loi est commutative et associative.
Voir les réponses

3

1. Justifier que la soustraction est une loi de composition interne sur .


2. Est‑elle associative ? Commutative ?
Voir les réponses

4

Soit la loi de composition interne définie, pour tous et réels, par .

1. Cette loi est‑elle commutative ?


2. Cette loi est‑elle associative ?
Voir les réponses

5

1. La division définit‑elle une loi de composition interne sur  ? Sur  ?


2. Justifier que la division n’est ni associative, ni commutative sur .


3. On admet que la division définit une loi de composition interne sur . Est‑elle associative sur  ? Commutative ?
Voir les réponses

6

1. On désigne par l’ensemble des matrices carrées d’ordre à coefficients réels.
a. Montrer que le produit matriciel définit une loi de composition interne sur .


b. Montrer que le produit matriciel est associatif sur .


c. Est‑il commutatif ?


2. Pour tout entier supérieur ou égal à , on désigne par l’ensemble des matrices carrées d’ordre à coefficients réels.
Justifier que le produit matriciel définit une loi de composition interne sur .
Voir les réponses

B
Notion de groupe


Définitions

  • On dit que est un élément neutre pour la loi lorsque, pour tout , .
  • Si possède un élément neutre pour la loi , un élément est inversible s’il existe tel que . On dit que est l’inverse de .
  • On dit que est un groupe lorsque la loi est une loi de composition interne associative sur , qu’il existe un élément neutre pour cette loi et que tout élément de est inversible pour cette loi.
  • Lorsque la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif ou abélien.

Exemple

est un groupe :
  • définit une loi de composition interne associative sur  ;
  • il existe un élément neutre pour cette loi : pour tout ,  ;
  • tout élément admet un inverse pour la loi  : .

7

On souhaite montrer que est un groupe.

1. a. Soient et deux nombres complexes de module .
Montrer que est un nombre complexe de module .


b. Justifier que est une loi de composition interne associative sur .


2. a. Montrer que possède un élément neutre pour .


3. Conclure quant à l’objectif de l’exercice.
Voir les réponses

8

1. Montrer que la multiplication est une loi de composition interne sur . Est‑elle associative ?


2. Montrer que possède un élément neutre pour . Donner sa valeur.


3. Tout élément de possède‑t‑il un inverse pour  ?


4. Que peut‑on déduire des questions précédentes ?
Voir les réponses

9

Les couples suivants sont‑ils des groupes ?

1.


2.


3.
Voir les réponses

C
Notion de sous‑groupe


Définitions

Soit un groupe. On dit que est un sous-groupe de lorsque :
1. est inclus dans  ;
2. l’élément neutre de appartient à  ;
3. pour tous et de ,  ;
4. pour tout de , l’inverse de pour appartient à .

10

1. Montrer que est un sous‑groupe de .


2. est‑il un sous‑groupe de  ?


3. est‑il un sous‑groupe de  ?


4. est‑il un sous‑groupe de  ?
Voir les réponses

11

Pour , on note .
Montrer que est un sous‑groupe de .
Voir les réponses

12

Soit un groupe dont on note l’élément neutre.
Montrer que est un sous‑groupe de .
Voir les réponses
Vers le supérieur


2
Similitudes





Dans toute cette partie, on considère un repère orthonormé direct .

Définitions

1. On appelle transformation du plan toute fonction qui, à tout point du plan, associe un unique point du plan, et telle que tout point du plan possède un, et un seul, antécédent par cette fonction.
2. Soit un vecteur. La translation de vecteur est la transformation du plan qui, à tout point , associe le point tel que .
3. Soient un point du plan et un réel non nul. L’homothétie de centre et de rapport est une transformation du plan qui, à tout point du plan, associe le point tel que .
4. Soient un point du plan et un réel. La rotation de centre et d’angle est une transformation du plan qui, à tout point du plan, associe le point tel que et , .
5. Une fonction est une similitude directe lorsqu’il existe deux nombres complexes et tels que, pour tout , .

Exemple

Soit la fonction définie, pour tout , . est une similitude directe. Cette application n’a qu’un point fixe, c’est‑à‑dire un complexe vérifiant (avec ).

13

On considère une similitude directe qui transforme le point d’affixe en le point d’affixe et le point d’affixe en le point d’affixe .

1. Justifier que, pour tout point d’affixe , l’image par cette similitude directe est , où et sont deux nombres à déterminer.


2. A‑t‑on  ?


3. Cette transformation du plan est‑elle une translation ? Une rotation ? Une homothétie ? Justifier.
Voir les réponses

14

Dans cet exercice, désigne un point du plan d’affixe . Le point d’affixe est l’image du point par une transformation du plan.

1. On suppose que la transformation du plan est une translation de vecteur d’affixe .
Montrer que .


2. On suppose que la transformation du plan est une homothétie de centre , d’affixe , et de rapport .
Montrer que .


3. On suppose que la transformation du plan est une rotation de centre , d’affixe , et d’angle .
Montrer que .


4. Justifier que les transformations précédentes sont toutes des similitudes directes.
Voir les réponses

15
D’après bac S, Antilles - Guyane, juin 2012
Soit la transformation qui, à tout point d’affixe , associe le point d’affixe tel que :
.

1. Montrer que cette transformation admet un unique point fixe d’affixe .


2. Montrer qu’il existe tel que, pour tout , on a . On précisera la valeur de


3. Déterminer une forme exponentielle de .


4. En déduire que est la composée d’une rotation et d’une homothétie. On précisera ses éléments caractéristiques.
Voir les réponses

16
D’après bac S, La Réunion, juin 2011
Soit la transformation qui, à tout point d’affixe , associe le point d’affixe tel que :
.
Montrer que est une rotation dont on précisera ses éléments caractéristiques.
Voir les réponses

17

On dit qu’une transformation du plan conserve les longueurs lorsque, pour tous points et du plan, si et désignent les images respectives de et par , on a .
Quelles sont les conditions pour qu’une similitude directe conserve les longueurs ?
Voir les réponses

Problème de concours


18
D’après ENSTIM MPSI, 2004
On désigne par l’ensemble des matrices carrées d’ordre de la forme , où , et sont des nombres réels.

1. Démontrer que , muni de l’addition des matrices, est un groupe commutatif.


2. a. Si et sont deux éléments de , appartient‑il à  ?


b. Si et sont deux éléments de , a‑t‑on  ?


c. Tout élément non nul de est‑il inversible pour le produit ?


3. On désigne par l’ensemble des matrices de telles que et .
Démontrer que est un groupe multiplicatif.
Voir les réponses

19
D’après concours des écoles des mines, 2006
Soit la fonction qui à un complexe associe, lorsque c’est possible, .

1. Déterminer le domaine de définition de .


2. a. Déterminer les racines carrées complexes de .


b. En déduire tous les antécédents de par .


3. Soit un nombre complexe. Discuter, suivant les valeurs de , le nombre d’antécédents de par .


4. On désigne par l’ensemble des éléments de de tel qu’il existe vérifiant .
Si , on dit que est surjective.
a. Déterminer l’ensemble .


b. La fonction est‑elle surjective ?


5. On dit que est injective lorsque, pour tous nombres et de , si alors .
La fonction est‑elle injective ?


Soit la fonction définie sur à valeurs dans et telle que, pour tout ,
.

6. Soit un nombre complexe appartenant à .
a. Montrer que la partie réelle de est .


b. Déterminer la partie imaginaire de .
Voir les réponses

20
D’après ENAC, 2016
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Soit . On considère le nombre complexe .

1. Le module de vaut :







2. Un argument de vérifie :







3. On obtient alors :





Voir les réponses

21
D’après ENAC, 2018
Soit un paramètre réel. On considère l’équation :
.
Déterminer les solutions de cette équation.


Aide
Soient , et trois nombres complexes avec .
On admet que l’équation du second degré à coefficients complexes se résout de la même manière que les équations à coefficients réels :
  • on calcule  ;
  • on détermine tel que  ;
  • on en déduit les solutions données par et .

Voir les réponses

Avant Maintenant Après
Les ensembles de nombres usuels : , , , et .
Propriétés sur les nombres réels.
Les nombres complexes .
Utilisation des nombres complexes en géométrie plane.
Résolution d’équations polynomiales.
Étude des similitudes directes.
Étude des structures algébriques particulières : les groupes, les anneaux, les corps, les algèbres, les espaces vectoriels.
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.