Déterminer une forme trigonométrique des
nombres complexes suivants :
1.z1=3i
2.z2=−2
3.z3=−5i
4.z4=21+i23
71
Flash
En déduire une forme exponentielle des nombres complexes de l'exercice précédent.
72
Flash
On considère le nombre complexe z=5i(1−i).
Déterminer de deux manières différentes l'argument principal de z.
73
[Représenter.] On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v). Sans calculer la forme algébrique, placer les points suivants dont l'affixe est écrite sous une forme trigonométrique.
1.A d'affixe zA=3[cos(0)+isin(0)].
2.B d'affixe zB=2[cos(−32π)+isin(−32π)].
3.C d'affixe zC=[cos(65π)+isin(65π)].
4.D d'affixe zD=4[cos(411π)+isin(411π)].
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74
[Représenter.]
Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module et l'argument principal.
1.z1=2[cos(−34π)+isin(−34π)]
2.z2=2[cos(−35π)+isin(−35π)]
3.z3=5[cos(−3π)+isin(−3π)]
4.z4=−[cos(3π)+isin(3π)]
75
[Calculer.]
Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants.
1.z1=3[cos(−32π)+isin(−32π)]
2.z2=5[cos(65π)+isin(65π)]
3.z3=5[cos(−34π)+isin(−34π)]
4.z4=3[cos(43π)+isin(43π)]
76
[Calculer.]
Déterminer une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants.
1.z1=23+233i
2.z2=πi
3.z3=6+63i
4.z4=−2+2i
77
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme trigonométrique de l'affixe de chaque point. Le triangle OFD est équilatéral.
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78
Démo
[Raisonner.]
Soient r et r′ deux réels strictement positifs et θ et θ′ deux réels. Dans le plan complexe, on considère les deux nombres complexes z=r(cos(θ)+isin(θ)) et z′=r′(cos(θ′)+isin(θ′)).
1.a. Déterminer une forme trigonométrique de z et −z.
b. En déduire que arg(z)=−arg(z)+k×2π (k∈Z) et que arg(−z)=π+arg(z)+k×2π (k∈Z).
2.a. Déterminer une forme trigonométrique de z×z′.
b. En déduire que
arg(z×z′)=arg(z)+arg(z′)+k×2π (k∈Z).
c. Démontrer par récurrence que, pour tout n∈N, arg(zn)=narg(z)+k×2π (k∈Z).
3.a. Déterminer une forme trigonométrique de z′1.
b. En déduire que arg(z′1)=−arg(z′)+k×2π (k∈Z).
c. Démontrer que arg(z′z)=arg(z)−arg(z′)+k×2π (k∈Z).
d. Exprimer alors, pour tout n∈Z, arg(zn) en fonction de arg(z) et de n.
79
[Calculer.]
Soient z et z′ deux nombres complexes non nuls tels que arg(z)=5π+k×2π (k∈Z) et arg(z′)=−73π+k×2π (k∈Z).
Déterminer l'argument principal de :
1.zz′
2.zz′
3.z4
4.z′z3
80
Algo
[Chercher.]
Soit z un nombre complexe non nul tel que z=x+iy avec x et y des réels. On note r=∣z∣.
On définit, pour tout a∈[−1;1], arccos(a) comme l'unique nombre réel appartenant à l'intervalle [0;π] vérifiant cos(x)=a.
1. Déterminer arccos(1) et arccos(22).
2. Compléter l'algorithme suivant permettant d'obtenir l'argument principal a de z.
r←…c←rxSi …:a←arccos(c)Sinon :a←…Retourner a
81
[Communiquer.]
Les nombres complexes suivants ne sont pas écrits sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi puis, lorsque cela est possible, écrire ces nombres sous forme trigonométrique.
1.z1=−[cos(−32π)+isin(−32π)]
2.z2=6[cos(−3π)−isin(−3π)]
3.z3=2i[cos(32π)+isin(32π)]
4.z4=[−cos(4π)+isin(4π)]
5.z5=2[cos(35π)−isin(35π)]
6.z6=0[cos(π)+isin(π)]
82
Démo
[Raisonner.] 1. En utilisant les formules d'addition, démontrer que, pour tout réel a, on a :
a.cos(2a)=cos2(a)−sin2(a)=2cos2(a)−1=1−2sin2(a)
b.sin(2a)=2cos(a)sin(a)
2. En déduire une expression de cos(a) et de sin(a) en fonction de cos(2a) et de sin(2a).
83
[Calculer.]
1.Calculer la valeur exacte des nombres suivants.
a.cos(127π) et sin(127π).
b.cos(12π) et sin(12π).
c.cos(125π) et sin(125π).
d.cos(1211π) et sin(1211π).
2. En déduire une forme trigonométrique du nombre suivant : z=3(2−6)+3i(2+6).
84
[Calculer.]
1. Exprimer cos2(x) et sin2(x) en fonction de cos(2x), où x∈R.
2. En déduire la valeur exacte de ∫03πcos2(x)dx et ∫04πsin2(x)dx.
85
[Calculer.] Factoriser, pour tout x∈R, l'expression cos2(x)−sin(2x).
86
[Communiquer.]
En utilisant l'écran de calculatrice suivant, donner une forme trigonométrique, puis une forme exponentielle de 26−i22.
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Crédits :
87
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v). Placer les points suivants dont on donne l'affixe sous une forme exponentielle.
1.A d'affixe zA=2eiπ.
2.B d'affixe zB=e−i6π.
3.C d'affixe zC=3e−45iπ.
4.C d'affixe zD=2e34iπ.
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88
[Calculer.]
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.
1.z1=23+23i3
2.z2=iπ
3.z3=6+6i3
4.z4=−2+2i
89
[Raisonner.]
Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le
module et l'argument principal.
1.z1=21e35iπ
2.z2=43e−i6π
3.z3=−2e2iπ
4.z4=e−45iπ
90
Démo
[Raisonner.]
Soit θ un nombre réel.
1. Rappeler la définition du nombre complexe eiθ.
2. En déduire que ∣∣∣eiθ∣∣∣=1.
3. Justifier que arg(eiθ)=θ+k×2π, k∈Z.
91
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme exponentielle de l'affixe de chaque point. Le codage indique DF=OF=OD=OC.
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92
[Calculer.]
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.