2

Formes trigonométriques et exponentielles

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

70

Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes suivants :

1. $z_1=3\mathrm{i}$


2. $z_2=-2$


3. $z_3=-5\mathrm{i}$


4. $z_4=\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$

71

En déduire une forme exponentielle des nombres complexes de l’exercice précédent.

72

On considère le nombre complexe $z=5\mathrm{i}(1-\mathrm{i})$.
Déterminer de deux manières différentes l’argument principal de $z$.

73

[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Sans calculer la forme algébrique, placer les points suivants dont l’affixe est écrite sous une forme trigonométrique.

1. $\text{A}$ d’affixe $z_{\mathrm{A}}=3[\cos (0)+\mathrm{i}\sin (0)]$.

2. $\text{B}$ d’affixe $z_{\mathrm{B}}=2\left[\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\right]$.

3. $\text{C}$ d’affixe $z_{\mathrm{C}}=\left[\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)\right]$.

4. $\text{D}$ d’affixe $z_{\mathrm{D}}=4\left[\cos \left(\frac{11\pi }{4}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{11\pi }{4}\right)\right]$.

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74

[Représenter.]
Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module et l’argument principal.

1. $z_1=\sqrt{2}\left[\cos \left(-\frac{4\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{4\pi }{3}\right)\right]$


2. $z_2=2\left[\cos \left(-\frac{5\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{5\pi }{3}\right)\right]$


3. $z_3=5\left[\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right]$


4. $z_4=-\left[\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\right]$

75

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants.

1. $z_1=3\left[\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\right]$


2. $z_2=5\left[\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)\right]$


3. $z_3=5\left[\cos \left(-\frac{4\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{4\pi }{3}\right)\right]$


4. $z_4=3\left[\cos \left(\frac{3\pi }{4}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{3\pi }{4}\right)\right]$

76

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants.

1. $z_1=\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$


2. $z_2=\pi \mathrm{i}$


3. $z_3=6+6\sqrt{3}\mathrm{i}$


4. $z_4=-2+2\mathrm{i}$

77

[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme trigonométrique de l’affixe de chaque point. Le triangle $\text{OFD}$ est équilatéral.

78

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $r$ et $r^{\prime }$ deux réels strictement positifs et $\theta$ et ${\theta }^{\prime }$ deux réels. Dans le plan complexe, on considère les deux nombres complexes $z=r(\cos (\theta )+\mathrm{i}\sin (\theta ))$ et $z^{\prime }=r^{\prime }\left(\cos \left({\theta }^{\prime }\right)+\mathrm{i}\sin \left({\theta }^{\prime }\right)\right)$.

1. a. Déterminer une forme trigonométrique de $\overline{z}$ et $-z$.


b. En déduire que $\arg (\overline{z})=-\arg (z)+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) et que $\arg (-z)=\pi +\arg (z)+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).


2. a. Déterminer une forme trigonométrique de $z\times z^{\prime }$.


b. En déduire que $\arg \left(z\times z^{\prime }\right)=\arg (z)+\arg \left(z^{\prime }\right)+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).


c. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $\arg \left(z^n\right)=n\arg (z)+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).


3. a. Déterminer une forme trigonométrique de $\frac{1}{z^{\prime }}$.


b. En déduire que $\arg \left(\frac{1}{z^{\prime }}\right)=-\arg \left(z^{\prime }\right)+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).


c. Démontrer que $\arg \left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)=\arg (z)-\arg \left(z^{\prime }\right)+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).


d. Exprimer alors, pour tout $n\in \mathbb{Z}$, $\arg \left(z^n\right)$ en fonction de $\arg \left(z\right)$ et de $n$.

79

[Calculer.] ◉◉◉
Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes non nuls tels que $\arg (z)=\frac{\pi }{5}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) et
$\arg \left(z^{\prime }\right)=-\frac{3\pi }{7}+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
Déterminer l’argument principal de :

1. $z{z}^{\prime }$


2. $\frac{z^{\prime }}{z}$


3. $z^4$


4. $\frac{z^3}{z^{\prime }}$

80

ALGO

[Chercher.]
Soit $z$ un nombre complexe non nul tel que $z=x+\mathrm{i}y$ avec $x$ et $y$ des réels. On note $r=|z|$.
On définit, pour tout $a\in [-1;1]$, $\arccos (a)$ comme l’unique nombre réel appartenant à l’intervalle $[0;\pi ]$ vérifiant $\cos (x)=a$.

1. Déterminer $\arccos (1)$ et $\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.


2. Compléter l’algorithme suivant permettant d’obtenir l’argument principal $a$ de $z$.

$\boxed{\begin{array}{l}r\leftarrow \dots \\ c\leftarrow \frac{x}{r}\\ \text{Si }\dots :\\ a\leftarrow \arccos (c)\\ \text{Sinon :}\\ a\leftarrow \dots \\ \text{Retourner }a\end{array}}$

81

[Communiquer.]
Les nombres complexes suivants ne sont pas écrits sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi puis, lorsque cela est possible, écrire ces nombres sous forme trigonométrique.

1. $z_1=-\left[\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\right]$


2. $z_2=6\left[\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)-\mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right]$


3. $z_3=2\mathrm{i}\left[\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)\right]$


4. $z_4=\left[-\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\right]$


5. $z_5=2\left[\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)-\mathrm{i}\sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)\right]$


6. $z_6=0[\cos (\pi )+\mathrm{i}\sin (\pi )]$

82

[Raisonner.]

[DÉMO]

1. En utilisant les formules d’addition, démontrer que, pour tout réel $a$, on a :
a. $\cos (2a)={\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)=2{\cos }^2(a)-1=1-2{\sin }^2(a)$


b. $\sin (2a)=2\cos (a)\sin (a)$


2. En déduire une expression de $\cos (a)$ et de $\sin (a)$ en fonction de $\cos \left(\frac{a}{2}\right)$ et de $\sin \left(\frac{a}{2}\right)$.

83

[Calculer.] ◉◉◉
1.Calculer la valeur exacte des nombres suivants.
a. $\cos \left(\frac{7\pi }{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{7\pi }{12}\right)$.


b. $\cos \left(\frac{\pi }{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{\pi }{12}\right)$.


c. $\cos \left(\frac{5\pi }{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{5\pi }{12}\right)$.


d. $\cos \left(\frac{11\pi }{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{11\pi }{12}\right)$.


2. En déduire une forme trigonométrique du nombre suivant : $z=3(\sqrt{2}-\sqrt{6})+3\mathrm{i}(\sqrt{2}+\sqrt{6})$.

84

[Calculer.] ◉◉◉
1. Exprimer ${\cos }^2(x)$ et ${\sin }^2(x)$ en fonction de $\cos (2x)$, où $x\in \mathbb{R}$.


2. En déduire la valeur exacte de ${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\cos }^2(x)\mathrm{d}x$ et ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\sin }^2(x)\mathrm{d}x$.

85

[Calculer.]
Factoriser, pour tout $x\in \mathbb{R}$, l’expression ${\cos }^2(x)-\sin (2x)$.

86

[Communiquer.]
En utilisant l’écran de calculatrice suivant, donner une forme trigonométrique, puis une forme exponentielle de $\frac{\sqrt{6}}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}$.

87

[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Placer les points suivants dont on donne l’affixe sous une forme exponentielle.

1. $\text{A}$ d’affixe $z_{\mathrm{A}}=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }$.

2. $\text{B}$ d’affixe $z_{\mathrm{B}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$.

3. $\text{C}$ d’affixe $z_{\mathrm{C}}=3{\mathrm{e}}^{-\frac{5\mathrm{i}\pi }{4}}$.

4. $\text{C}$ d’affixe $z_{\mathrm{D}}=2{\mathrm{e}}^{\frac{4\mathrm{i}\pi }{3}}$.

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88

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1. $z_1=\frac{3}{2}+\frac{3\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$


2. $z_2=\mathrm{i}\pi$


3. $z_3=6+6\mathrm{i}\sqrt{3}$


4. $z_4=-2+2\mathrm{i}$

89

[Raisonner.]
Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le module et l’argument principal.

1. $z_1=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\frac{5\mathrm{i}\pi }{3}}$


2. $z_2=\frac{3}{4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$


3. $z_3=-2{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\pi }{2}}$


4. $z_4={\mathrm{e}}^{-\frac{5\mathrm{i}\pi }{4}}$

90

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soit $\theta$ un nombre réel.

1. Rappeler la définition du nombre complexe ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$.


2. En déduire que $\left|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right|=1$.


3. Justifier que $\arg \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right)=\theta +k\times 2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

91

[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme exponentielle de l’affixe de chaque point. Le codage indique $\mathrm{D}\mathrm{F}=\mathrm{O}\mathrm{F}=\mathrm{O}\mathrm{D}=\mathrm{O}\mathrm{C}$.

92

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1. $z_1=-3-3\mathrm{i}$


2. $z_2=\frac{7}{2}+\frac{7\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$


3. $z_3=\frac{\sqrt{2}}{2}$


4. $z_4=\frac{3}{2}\mathrm{i}-\frac{3\sqrt{3}}{2}$

93

[Calculer.]
Déterminer une forme trigonométrique, puis la forme algébrique des nombres complexes suivants.

1. $z_1=4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$


2. $z_2=3{\mathrm{e}}^{\frac{3\mathrm{i}\pi }{2}}$


3. $z_3=6{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi }$


4. $z_4={\mathrm{e}}^{-\frac{2\mathrm{i}\pi }{3}}$

94

[Raisonner.]

[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel $\alpha$, on a : ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }=\cos (\alpha )+\mathrm{i}\sin (\alpha )$.

Démontrer que, pour tous réels $\alpha$ et ${\alpha }^{\prime }$, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\alpha +{\alpha }^{\prime }\right)}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\alpha }^{\prime }}$.


Cette relation est appelée relation fonctionnelle de l’exponentielle imaginaire.

95

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $r$ et $r^{\prime }$ deux réels strictement positifs et $\alpha$ et ${\alpha }^{\prime }$ deux nombres réels.
On considère les nombres complexes non nuls $z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }$ et $z^{\prime }=r^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\alpha }^{\prime }}$.

1. a. Démontrer que $z\times z^{\prime }=r\times r^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\alpha +{\alpha }^{\prime }\right)}$.


b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $z^n=r^n{\mathrm{e}}^{n\mathrm{i}\alpha }$.


2. Démontrer que $\frac{z}{z^{\prime }}=\frac{r}{r^{\prime }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\alpha -{\alpha }^{\prime }\right)}$.

96

[Calculer.]
Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes définis par $z=3{\mathrm{e}}^{\frac{3\mathrm{i}\pi }{5}}$ et $z^{\prime }=\frac{2}{5}{\mathrm{e}}^{-\frac{2\mathrm{i}\pi }{7}}$.
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1. $z\times z^{\prime }$


2. $\frac{z^{\prime }}{z}$


3. $z^{\prime 5}$


4. $\frac{z}{z^{\prime 3}}$

97

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer la forme algébrique des nombres suivants.

1. $z_1=3{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\pi }{6}}\times {\mathrm{e}}^{\frac{5\mathrm{i}\pi }{3}}$


2. $z_2={\left(\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{-\frac{5\mathrm{i}\pi }{2}}\right)}^4$


3. $z_3={\mathrm{e}}^{-\frac{2\mathrm{i}\pi }{3}}+{\mathrm{e}}^{\frac{3\mathrm{i}\pi }{4}}$


4. $z_4=4{\mathrm{e}}^{-\frac{4\mathrm{i}\pi }{3}}-2{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\pi }{6}}$

98

[Calculer, Raisonner.]
1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique du produit ${\mathrm{e}}^{\frac{2\mathrm{i}\pi }{3}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$.


2. En déduire la valeur exacte de $\cos \left(\frac{11\pi }{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{11\pi }{12}\right)$.

99

EN ÉLECTRICITÉ

[Modéliser.]
En électricité, on utilise la notion d’impédance complexe, notée $\underline{\mathrm{Z}}$. L’impédance du circuit est $|\underline{\mathrm{Z}}|$.

1. Dans un circuit RLC (composé d’une résistance $\text{R}$, d’un condensateur $\text{C}$ et d’une bobine d’inductance $\text{L}$) en série, $\underline{\mathrm{Z}}$ s’exprime par $\underline{\mathrm{Z}}=\mathrm{R}+\left(\mathrm{L}\omega -\frac{1}{\mathrm{C}\omega }\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}$.
Écrire l’impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l’impédance du circuit pour $\mathrm{R}=90\Omega$, $\mathrm{L}\omega =10\Omega$ et $\mathrm{C}\omega =20{\Omega }^{-1}$.


2. Dans un circuit RLC en parallèle, $\underline{\mathrm{Z}}$ s’exprime par :
$\frac{1}{\underline{\mathrm{Z}}}=\frac{1}{\mathrm{R}}+\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}\mathrm{L}\omega }+\mathrm{C}\omega {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}$.
Écrire l’impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l’impédance du circuit pour $\mathrm{R}=15\Omega$, $\mathrm{L}\omega =80\Omega$ et $\mathrm{C}\omega =100{\Omega }^{-1}$.

100

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On considère les nombres complexes non nuls $z={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a}$ et $z^{\prime }={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}b}$.
En calculant de deux manières différentes $z\times z^{\prime }$, puis $\frac{z}{z^{\prime }}$, retrouver les formules d’addition.

101

[Raisonner.]

[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel $\theta$, on a : ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }=\cos (\theta )+\mathrm{i}\sin (\theta )$.
Démontrer les formules d’Euler.

102

[Calculer.]
En utilisant les formules d’Euler, démontrer que, pour tout réel $x$ :

1. $\cos (2x)=2{\cos }^2(x)-1$


2. $\sin (2x)=2\cos (x)\sin (x)$

103

[Calculer.] ◉◉◉
Linéariser les expressions suivantes, où $x$ est un réel.

1. ${\cos }^4(x)$


2. ${\sin }^5(x)$


3. ${\cos }^2(x){\sin }^3(x)$


4. ${\cos }^3(x)+2{\sin }^3(x)$

104

[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel $\theta$, on a : ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }=\cos (\theta )+\mathrm{i}\sin (\theta )$.

Démontrer par récurrence les formules de Moivre.

105

[Calculer.]
Soit $x$ un nombre réel.

1. Développer $(\cos (x)+\mathrm{i}\sin (x){)}^3$.


2. À l’aide de la formule de Moivre, exprimer $\cos (3x)+\mathrm{i}\sin (3x)$ en fonction de $\cos (x)$ et $\sin (x)$.


3. Démontrer que :
a. $\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$


b. $\sin (3x)=-4{\sin }^3(x)+3\sin (x)$

106

[Chercher.]
En utilisant la méthode de l’exercice précédent, exprimer, pour tout réel $x$, $\cos (5x)$ en fonction de $\cos (x)$ puis $\sin (5x)$ en fonction de $\sin (x)$.

107

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\cos }^5(x)$.

1. Linéariser l’expression ${\cos }^5(x)$.


2. En déduire la valeur exacte de ${\int }_0^{\frac{5\pi }{6}}f(x)\mathrm{d}x$.

108

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\sin }^2(x){\cos }^3(x)$.

1. Linéariser l’expression ${\sin }^2(x){\cos }^3(x)$.


2. En déduire la valeur exacte de ${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(x)\mathrm{d}x$.