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2. Formes trigonométriques et exponentielles
P.70-74

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Entraînement


2
Formes trigonométriques et exponentielles





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

70
FLASH

Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes suivants :

1.


2.


3.


4.
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71
FLASH

En déduire une forme exponentielle des nombres complexes de l’exercice précédent.
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72
FLASH

On considère le nombre complexe .
Déterminer de deux manières différentes l’argument principal de .
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73
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct . Sans calculer la forme algébrique, placer les points suivants dont l’affixe est écrite sous une forme trigonométrique.

1. d’affixe .

2. d’affixe .

3. d’affixe .

4. d’affixe .

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74
[Représenter.]
Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module et l’argument principal.

1.


2.


3.


4.
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75
[Calculer.] ◉◉
Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.
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76
[Calculer.] ◉◉
Déterminer une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.
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77
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme trigonométrique de l’affixe de chaque point. Le triangle est équilatéral.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 77

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78
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient et deux réels strictement positifs et et deux réels. Dans le plan complexe, on considère les deux nombres complexes et .

1. a. Déterminer une forme trigonométrique de et .


b. En déduire que () et que ().


2. a. Déterminer une forme trigonométrique de .


b. En déduire que ().


c. Démontrer par récurrence que, pour tout , ().


3. a. Déterminer une forme trigonométrique de .


b. En déduire que ().


c. Démontrer que ().


d. Exprimer alors, pour tout , en fonction de et de .
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79
[Calculer.] ◉◉
Soient et deux nombres complexes non nuls tels que () et
().
Déterminer l’argument principal de :

1.


2.


3.


4.
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80
ALGO
[Chercher.]
Soit un nombre complexe non nul tel que avec et des réels. On note .
On définit, pour tout , comme l’unique nombre réel appartenant à l’intervalle vérifiant .

1. Déterminer et .


2. Compléter l’algorithme suivant permettant d’obtenir l’argument principal de .


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81
[Communiquer.]
Les nombres complexes suivants ne sont pas écrits sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi puis, lorsque cela est possible, écrire ces nombres sous forme trigonométrique.

1.


2.


3.


4.


5.


6.
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82
[Raisonner.]
[DÉMO]

1. En utilisant les formules d’addition, démontrer que, pour tout réel , on a :
a.


b.


2. En déduire une expression de et de en fonction de et de .
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83
[Calculer.] ◉◉◉
1.Calculer la valeur exacte des nombres suivants.
a. et .


b. et .


c. et .


d. et .


2. En déduire une forme trigonométrique du nombre suivant : .
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84
[Calculer.] ◉◉◉
1. Exprimer et en fonction de , où .


2. En déduire la valeur exacte de et .
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85
[Calculer.]
Factoriser, pour tout , l’expression .
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86
[Communiquer.]
En utilisant l’écran de calculatrice suivant, donner une forme trigonométrique, puis une forme exponentielle de .
Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 86

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 86

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87
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct . Placer les points suivants dont on donne l’affixe sous une forme exponentielle.

1. d’affixe .

2. d’affixe .

3. d’affixe .

4. d’affixe .

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88
[Calculer.] ◉◉
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.
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89
[Raisonner.]
Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le module et l’argument principal.

1.


2.


3.


4.
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90
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit un nombre réel.

1. Rappeler la définition du nombre complexe .


2. En déduire que .


3. Justifier que , .
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91
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme exponentielle de l’affixe de chaque point. Le codage indique .

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 91

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92
[Calculer.] ◉◉
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.
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93
[Calculer.]
Déterminer une forme trigonométrique, puis la forme algébrique des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.
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94
[Raisonner.]
[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel , on a : .

Démontrer que, pour tous réels et , .


Cette relation est appelée relation fonctionnelle de l’exponentielle imaginaire.
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95
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient et deux réels strictement positifs et et deux nombres réels.
On considère les nombres complexes non nuls et .

1. a. Démontrer que .


b. Démontrer que, pour tout entier naturel , .


2. Démontrer que .
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96
[Calculer.]
Soient et deux nombres complexes définis par et .
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.
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97
[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer la forme algébrique des nombres suivants.

1.


2.


3.


4.
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98
[Calculer, Raisonner.]
1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique du produit .


2. En déduire la valeur exacte de et .
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99
EN ÉLECTRICITÉ
[Modéliser.]
En électricité, on utilise la notion d’impédance complexe, notée . L’impédance du circuit est .

1. Dans un circuit RLC (composé d’une résistance , d’un condensateur et d’une bobine d’inductance ) en série, s’exprime par .
Écrire l’impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l’impédance du circuit pour , et .


2. Dans un circuit RLC en parallèle, s’exprime par :
.

Écrire l’impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l’impédance du circuit pour , et .


Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 99
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100
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient et deux nombres réels. On considère les nombres complexes non nuls et .
En calculant de deux manières différentes , puis , retrouver les formules d’addition.
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101
[Raisonner.]
[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel , on a : .
Démontrer les formules d’Euler.
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Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Leonhard Euler

Histoire des maths

Leonhard Euler (1707-1783) est un mathématicien suisse. Ses domaines de recherches sont vastes : analyse (il introduit le calcul différentiel et intégral), théorie des nombres, etc. Son nom est associé à plusieurs objets mathématiques : fonction indicatrice d’Euler, constante d’Euler, droite d’Euler, etc.

102
[Calculer.]
En utilisant les formules d’Euler, démontrer que, pour tout réel  :

1.


2.
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103
[Calculer.] ◉◉◉
Linéariser les expressions suivantes, où est un réel.

1.


2.


3.


4.
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104
[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel , on a : .

Démontrer par récurrence les formules de Moivre.
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Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Abraham De Moivre

Histoire des maths

Abraham De Moivre (1667‑1754) est un mathématicien français exilé à Londres. Son étude des racines ‑ièmes d’un nombre le mettent sur la voie des relations qui portent son nom.

105
[Calculer.]
Soit un nombre réel.

1. Développer .


2. À l’aide de la formule de Moivre, exprimer en fonction de et .


3. Démontrer que :
a.


b.
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106
[Chercher.]
En utilisant la méthode de l’exercice précédent, exprimer, pour tout réel , en fonction de puis en fonction de .
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107
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par .

1. Linéariser l’expression .


2. En déduire la valeur exacte de .
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108
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par .

1. Linéariser l’expression .


2. En déduire la valeur exacte de .
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