Déterminer une forme trigonométrique des
nombres complexes suivants :
1.z1=3i
2.z2=−2
3.z3=−5i
4.z4=21+i23
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71
FLASH
En déduire une forme exponentielle des nombres complexes de l’exercice précédent.
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72
FLASH
On considère le nombre complexe z=5i(1−i).
Déterminer de deux manières différentes l’argument principal de z.
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73
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v). Sans calculer la forme algébrique, placer les points suivants dont l’affixe est écrite sous une forme trigonométrique.
1.A d’affixe zA=3[cos(0)+isin(0)].
2.B d’affixe zB=2[cos(−32π)+isin(−32π)].
3.C d’affixe zC=[cos(65π)+isin(65π)].
4.D d’affixe zD=4[cos(411π)+isin(411π)].
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74
[Représenter.]
Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module et l’argument principal.
1.z1=2[cos(−34π)+isin(−34π)]
2.z2=2[cos(−35π)+isin(−35π)]
3.z3=5[cos(−3π)+isin(−3π)]
4.z4=−[cos(3π)+isin(3π)]
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75
[Calculer.]◉◉◉
Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants.
1.z1=3[cos(−32π)+isin(−32π)]
2.z2=5[cos(65π)+isin(65π)]
3.z3=5[cos(−34π)+isin(−34π)]
4.z4=3[cos(43π)+isin(43π)]
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76
[Calculer.]◉◉◉
Déterminer une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants.
1.z1=23+233i
2.z2=πi
3.z3=6+63i
4.z4=−2+2i
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77
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme trigonométrique de l’affixe de chaque point. Le triangle OFD est équilatéral.
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78
[Raisonner.]
[DÉMO]
Soient r et r′ deux réels strictement positifs et θ et θ′ deux réels. Dans le plan complexe, on considère les deux nombres complexes z=r(cos(θ)+isin(θ)) et z′=r′(cos(θ′)+isin(θ′)).
1.a. Déterminer une forme trigonométrique de z et −z.
b. En déduire que arg(z)=−arg(z)+k×2π (k∈Z) et que arg(−z)=π+arg(z)+k×2π (k∈Z).
2.a. Déterminer une forme trigonométrique de z×z′.
b. En déduire que
arg(z×z′)=arg(z)+arg(z′)+k×2π (k∈Z).
c. Démontrer par récurrence que, pour tout n∈N, arg(zn)=narg(z)+k×2π (k∈Z).
3.a. Déterminer une forme trigonométrique de z′1.
b. En déduire que arg(z′1)=−arg(z′)+k×2π (k∈Z).
c. Démontrer que arg(z′z)=arg(z)−arg(z′)+k×2π (k∈Z).
d. Exprimer alors, pour tout n∈Z, arg(zn) en fonction de arg(z) et de n.
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79
[Calculer.]◉◉◉
Soient z et z′ deux nombres complexes non nuls tels que arg(z)=5π+k×2π (k∈Z) et arg(z′)=−73π+k×2π (k∈Z).
Déterminer l’argument principal de :
1.zz′
2.zz′
3.z4
4.z′z3
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80
ALGO
[Chercher.]
Soit z un nombre complexe non nul tel que z=x+iy avec x et y des réels. On note r=∣z∣.
On définit, pour tout a∈[−1;1], arccos(a) comme l’unique nombre réel appartenant à l’intervalle [0;π] vérifiant cos(x)=a.
1. Déterminer arccos(1) et arccos(22).
2. Compléter l’algorithme suivant permettant d’obtenir l’argument principal a de z.
r←…c←rxSi …:a←arccos(c)Sinon :a←…Retourner a
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81
[Communiquer.]
Les nombres complexes suivants ne sont pas écrits sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi puis, lorsque cela est possible, écrire ces nombres sous forme trigonométrique.
1.z1=−[cos(−32π)+isin(−32π)]
2.z2=6[cos(−3π)−isin(−3π)]
3.z3=2i[cos(32π)+isin(32π)]
4.z4=[−cos(4π)+isin(4π)]
5.z5=2[cos(35π)−isin(35π)]
6.z6=0[cos(π)+isin(π)]
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82
[Raisonner.]
[DÉMO]
1. En utilisant les formules d’addition, démontrer que, pour tout réel a, on a :
a.cos(2a)=cos2(a)−sin2(a)=2cos2(a)−1=1−2sin2(a)
b.sin(2a)=2cos(a)sin(a)
2. En déduire une expression de cos(a) et de sin(a) en fonction de cos(2a) et de sin(2a).
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83
[Calculer.]◉◉◉ 1.Calculer la valeur exacte des nombres suivants.
a.cos(127π) et sin(127π).
b.cos(12π) et sin(12π).
c.cos(125π) et sin(125π).
d.cos(1211π) et sin(1211π).
2. En déduire une forme trigonométrique du nombre suivant : z=3(2−6)+3i(2+6).
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84
[Calculer.]◉◉◉ 1. Exprimer cos2(x) et sin2(x) en fonction de cos(2x), où x∈R.
2. En déduire la valeur exacte de ∫03πcos2(x)dx et ∫04πsin2(x)dx.
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85
[Calculer.]
Factoriser, pour tout x∈R, l’expression cos2(x)−sin(2x).
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86
[Communiquer.]
En utilisant l’écran de calculatrice suivant, donner une forme trigonométrique, puis une forme exponentielle de 26−i22.
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87
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v). Placer les points suivants dont on donne l’affixe sous une forme exponentielle.
1.A d’affixe zA=2eiπ.
2.B d’affixe zB=e−i6π.
3.C d’affixe zC=3e−45iπ.
4.C d’affixe zD=2e34iπ.
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88
[Calculer.]◉◉◉
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.
1.z1=23+23i3
2.z2=iπ
3.z3=6+6i3
4.z4=−2+2i
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89
[Raisonner.]
Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le
module et l’argument principal.
1.z1=21e35iπ
2.z2=43e−i6π
3.z3=−2e2iπ
4.z4=e−45iπ
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90
[Raisonner.]
[DÉMO]
Soit θ un nombre réel.
1. Rappeler la définition du nombre complexe eiθ.
2. En déduire que ∣∣∣eiθ∣∣∣=1.
3. Justifier que arg(eiθ)=θ+k×2π, k∈Z.
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91
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme exponentielle de l’affixe de chaque point. Le codage indique DF=OF=OD=OC.
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92
[Calculer.]◉◉◉
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.
1.z1=−3−3i
2.z2=27+27i3
3.z3=22
4.z4=23i−233
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93
[Calculer.]
Déterminer une forme trigonométrique, puis la forme algébrique des nombres complexes suivants.
1.z1=4e−i4π
2.z2=3e23iπ
3.z3=6e2iπ
4.z4=e−32iπ
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94
[Raisonner.]
[DÉMO]
On rappelle que, pour tout réel α, on a : eiα=cos(α)+isin(α).
Démontrer que, pour tous réels α et α′, ei(α+α′)=eiα×eiα′.
Cette relation est appelée relation fonctionnelle de l’exponentielle imaginaire.
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95
[Raisonner.]
[DÉMO]
Soient r et r′ deux réels strictement positifs et α et α′ deux nombres réels.
On considère les nombres complexes non nuls z=reiα et z′=r′eiα′.
1.a. Démontrer que z×z′=r×r′ei(α+α′).
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn=rneniα.
2. Démontrer que z′z=r′rei(α−α′).
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96
[Calculer.]
Soient z et z′ deux nombres complexes définis par z=3e53iπ et z′=52e−72iπ.
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.
1.z×z′
2.zz′
3.z′5
4.z′3z
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97
[Calculer.]◉◉◉
Déterminer la forme algébrique des nombres suivants.
1.z1=3e6iπ×e35iπ
2.z2=(3e−25iπ)4
3.z3=e−32iπ+e43iπ
4.z4=4e−34iπ−2e6iπ
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98
[Calculer, Raisonner.] 1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique du produit e32iπ×ei4π.
2. En déduire la valeur exacte de cos(1211π) et sin(1211π).
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99
EN ÉLECTRICITÉ
[Modéliser.]
En électricité, on utilise la notion d’impédance complexe, notée Z. L’impédance du circuit est ∣Z∣.
1. Dans un circuit RLC (composé d’une résistance R, d’un condensateur C et d’une bobine d’inductance L) en série, Z s’exprime par Z=R+(Lω−Cω1)ei2π.
Écrire l’impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l’impédance du circuit pour R=90Ω, Lω=10Ω et Cω=20Ω−1.
2. Dans un circuit RLC en parallèle, Z s’exprime par :
Z1=R1+ei2πLω1+Cωei2π.
Écrire l’impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l’impédance du circuit pour R=15Ω, Lω=80Ω et Cω=100Ω−1.
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100
[Raisonner.]
[DÉMO]
Soient a et b deux nombres réels. On considère les nombres complexes non nuls z=eia et z′=eib.
En calculant de deux manières différentes z×z′, puis z′z, retrouver les formules d’addition.
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101
[Raisonner.]
[DÉMO]
On rappelle que, pour tout réel θ, on a : eiθ=cos(θ)+isin(θ).
Démontrer les formules d’Euler.
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Histoire des maths
Leonhard Euler (1707-1783) est un mathématicien suisse. Ses domaines de recherches sont vastes : analyse (il introduit le calcul différentiel et intégral), théorie des nombres, etc. Son nom est associé à plusieurs objets mathématiques : fonction indicatrice d’Euler, constante d’Euler, droite d’Euler, etc.
102
[Calculer.]
En utilisant les formules d’Euler, démontrer que, pour tout réel x :
1.cos(2x)=2cos2(x)−1
2.sin(2x)=2cos(x)sin(x)
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103
[Calculer.]◉◉◉
Linéariser les expressions suivantes, où x est un réel.
1.cos4(x)
2.sin5(x)
3.cos2(x)sin3(x)
4.cos3(x)+2sin3(x)
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104
[DÉMO]
On rappelle que, pour tout réel θ, on a : eiθ=cos(θ)+isin(θ).
Démontrer par récurrence les formules de Moivre.
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Histoire des maths
Abraham De Moivre (1667‑1754) est un mathématicien français exilé à Londres. Son étude des racines n‑ièmes d’un nombre le mettent sur la voie des relations qui portent son nom.
105
[Calculer.]
Soit x un nombre réel.
1. Développer (cos(x)+isin(x))3.
2. À l’aide de la formule de Moivre, exprimer cos(3x)+isin(3x) en fonction de cos(x) et sin(x).
3. Démontrer que :
a.cos(3x)=4cos3(x)−3cos(x)
b.sin(3x)=−4sin3(x)+3sin(x)
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106
[Chercher.]
En utilisant la méthode de l’exercice précédent, exprimer, pour tout réel x, cos(5x) en fonction de cos(x) puis sin(5x) en fonction de sin(x).
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107
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=cos5(x).
1. Linéariser l’expression cos5(x).
2. En déduire la valeur exacte de ∫065πf(x)dx.
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108
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=sin2(x)cos3(x).
1. Linéariser l’expression sin2(x)cos3(x).
2. En déduire la valeur exacte de ∫03πf(x)dx.
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