Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Entraînement 2

Formes trigonométriques et exponentielles

Différenciation
Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; et
Parcours 2 : exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et
Parcours 3 : exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et
70
Flash

Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes suivants :

1.

2.

3.

4.
71
Flash

En déduire une forme exponentielle des nombres complexes de l'exercice précédent.
72
Flash

On considère le nombre complexe .
Déterminer de deux manières différentes l'argument principal de
73
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct . Sans calculer la forme algébrique, placer les points suivants dont l'affixe est écrite sous une forme trigonométrique.

1. d'affixe .

2. d'affixe .

3. d'affixe .

4. d'affixe .
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74
[Représenter.]
Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module et l'argument principal.

1.

2.

3.

4.
75
[Calculer.]

Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants.

1.

2.

3.

4.
76
[Calculer.]

Déterminer une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants.

1.

2.

3.

4.
77
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme trigonométrique de l'affixe de chaque point. Le triangle est équilatéral.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 77
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78
Démo

[Raisonner.] Soient et deux réels strictement positifs et et deux réels. Dans le plan complexe, on considère les deux nombres complexes et .

1. a. Déterminer une forme trigonométrique de et .

b. En déduire que () et que ().

2. a. Déterminer une forme trigonométrique de .

b. En déduire que ().

c. Démontrer par récurrence que, pour tout , ().

3. a. Déterminer une forme trigonométrique de .

b. En déduire que ().

c. Démontrer que ().

d. Exprimer alors, pour tout , en fonction de et de .
79
[Calculer.]

Soient et deux nombres complexes non nuls tels que () et
().
Déterminer l'argument principal de :

1.

2.

3.

4.
80
Algo
[Chercher.]
Soit un nombre complexe non nul tel que avec et des réels. On note .
On définit, pour tout , comme l'unique nombre réel appartenant à l'intervalle vérifiant .

1. Déterminer et .

2. Compléter l'algorithme suivant permettant d'obtenir l'argument principal de .

81
[Communiquer.]
Les nombres complexes suivants ne sont pas écrits sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi puis, lorsque cela est possible, écrire ces nombres sous forme trigonométrique.

1.

2.

3.

4.

5.

6.
82
Démo
[Raisonner.]
1. En utilisant les formules d'addition, démontrer que, pour tout réel , on a :
a.

b.

2. En déduire une expression de et de en fonction de et de .
83
[Calculer.]

1.Calculer la valeur exacte des nombres suivants.
a. et .

b. et .

c. et .

d. et .

2. En déduire une forme trigonométrique du nombre suivant : .
84
[Calculer.]

1. Exprimer et en fonction de , où .

2. En déduire la valeur exacte de et .
85
[Calculer.]
Factoriser, pour tout , l'expression .
86
[Communiquer.]
En utilisant l'écran de calculatrice suivant, donner une forme trigonométrique, puis une forme exponentielle de .

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 86
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Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 86
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Crédits :
87
[Représenter.]

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct . Placer les points suivants dont on donne l'affixe sous une forme exponentielle.

1. d'affixe .

2. d'affixe .

3. d'affixe .

4. d'affixe .
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88
[Calculer.]

Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1.

2.

3.

4.
89
[Raisonner.]
Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le module et l'argument principal.

1.

2.

3.

4.
90
Démo
[Raisonner.]
Soit un nombre réel.

1. Rappeler la définition du nombre complexe .

2. En déduire que .

3. Justifier que , .
91
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme exponentielle de l'affixe de chaque point. Le codage indique .

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 91
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92
[Calculer.]

Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1.

2.