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2. Formes trigonométriques et exponentielles
P.70-74

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Entraînement


2
Formes trigonométriques et exponentielles





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

70
FLASH

Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes suivants :

1. z1=3iz_{1}=3 \mathrm{i}


2. z2=2z_{2}=-2


3. z3=5iz_{3}=-5 \mathrm{i}


4. z4=12+i32z_{4}=\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}
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71
FLASH

En déduire une forme exponentielle des nombres complexes de l’exercice précédent.
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72
FLASH

On considère le nombre complexe z=5i(1i)z=5 \mathrm{i}(1-\mathrm{i}).
Déterminer de deux manières différentes l’argument principal de zz.
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73
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Sans calculer la forme algébrique, placer les points suivants dont l’affixe est écrite sous une forme trigonométrique.

1. A\text{A} d’affixe zA=3[cos(0)+isin(0)]z_{\mathrm{A}}=3[\cos (0)+\mathrm{i} \sin (0)].

2. B\text{B} d’affixe zB=2[cos(2π3)+isin(2π3)]z_{\mathrm{B}}=2\left[\cos \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)\right].

3. C\text{C} d’affixe zC=[cos(5π6)+isin(5π6)]z_{\mathrm{C}}=\left[\cos \left(\dfrac{5 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{5 \pi}{6}\right)\right].

4. D\text{D} d’affixe zD=4[cos(11π4)+isin(11π4)]z_{\mathrm{D}}=4\left[\cos \left(\dfrac{11 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{11 \pi}{4}\right)\right].

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74
[Représenter.]
Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module et l’argument principal.

1. z1=2[cos(4π3)+isin(4π3)]z_{1}=\sqrt{2}\left[\cos \left(-\dfrac{4 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{4 \pi}{3}\right)\right]


2. z2=2[cos(5π3)+isin(5π3)]z_{2}=2\left[\cos \left(-\dfrac{5 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{5 \pi}{3}\right)\right]


3. z3=5[cos(π3)+isin(π3)]z_{3}=5\left[\cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right]


4. z4=[cos(π3)+isin(π3)]z_{4}=-\left[\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right]
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75
[Calculer.] ◉◉
Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants.

1. z1=3[cos(2π3)+isin(2π3)]z_{1}=3\left[\cos \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)\right]


2. z2=5[cos(5π6)+isin(5π6)]z_{2}=5\left[\cos \left(\dfrac{5 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{5 \pi}{6}\right)\right]


3. z3=5[cos(4π3)+isin(4π3)]z_{3}=5\left[\cos \left(-\dfrac{4 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{4 \pi}{3}\right)\right]


4. z4=3[cos(3π4)+isin(3π4)]z_{4}=3\left[\cos \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)\right]
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76
[Calculer.] ◉◉
Déterminer une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants.

1. z1=32+332iz_{1}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \mathrm{i}


2. z2=πiz_{2}=\pi \mathrm{i}


3. z3=6+63iz_{3}=6+6 \sqrt{3} \mathrm{i}


4. z4=2+2iz_{4}=-2+2 \mathrm{i}
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77
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme trigonométrique de l’affixe de chaque point. Le triangle OFD\text{OFD} est équilatéral.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 77

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78
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient rr et rr^\prime deux réels strictement positifs et θ\theta et θ\theta^\prime deux réels. Dans le plan complexe, on considère les deux nombres complexes z=r(cos(θ)+isin(θ))z=r(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta)) et z=r(cos(θ)+isin(θ))z^{\prime}=r^{\prime}\left(\cos \left(\theta^{\prime}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta^{\prime}\right)\right).

1. a. Déterminer une forme trigonométrique de z\overline z et z-z.


b. En déduire que arg(z)=arg(z)+k×2π\arg (\overline{z})=-\arg (z)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) et que arg(z)=π+arg(z)+k×2π\arg (-z)=\pi+\arg (z)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).


2. a. Déterminer une forme trigonométrique de z×zz \times z^{\prime}.


b. En déduire que arg(z×z)=arg(z)+arg(z)+k×2π\arg \left(z \times z^{\prime}\right)=\arg (z)+\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).


c. Démontrer par récurrence que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, arg(zn)=narg(z)+k×2π\arg \left(z^{n}\right)=n \arg (z)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).


3. a. Déterminer une forme trigonométrique de 1z\dfrac{1}{z^{\prime}}.


b. En déduire que arg(1z)=arg(z)+k×2π\arg \left(\dfrac{1}{z^{\prime}}\right)=-\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).


c. Démontrer que arg(zz)=arg(z)arg(z)+k×2π\arg \left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\arg (z)-\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).


d. Exprimer alors, pour tout nZn \in \mathbb{Z}, arg(zn)\arg \left(z^{n}\right) en fonction de arg(z)\arg \left(z\right) et de nn.
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79
[Calculer.] ◉◉
Soient zz et zz^\prime deux nombres complexes non nuls tels que arg(z)=π5+k×2π\arg (z)=\dfrac{\pi}{5}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}) et
arg(z)=3π7+k×2π\arg \left(z^{\prime}\right)=-\dfrac{3 \pi}{7}+k \times 2 \pi (kZk \in \mathbb{Z}).
Déterminer l’argument principal de :

1. zzz z^{\prime}


2. zz\dfrac{z^{\prime}}{z}


3. z4z^4


4. z3z\dfrac{z^{3}}{z^{\prime}}
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80
ALGO
[Chercher.]
Soit zz un nombre complexe non nul tel que z=x+iyz=x+\mathrm{i} y avec xx et yy des réels. On note r=zr=|z|.
On définit, pour tout a[1 ; 1]a \in[-1 ; 1], arccos(a)\arccos (a) comme l’unique nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; π][0 ; \pi] vérifiant cos(x)=a\cos (x)=a.

1. Déterminer arccos(1)\arccos (1) et arccos(22)\arccos \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).


2. Compléter l’algorithme suivant permettant d’obtenir l’argument principal aa de zz.

rcxrSi :aarccos(c)Sinon :aRetourner a \boxed{ \begin{array} { l } {r} \leftarrow \ldots \\ {c} \leftarrow \dfrac{x}{r} \\ \text {Si } \ldots : \\ \quad {a} \leftarrow \arccos (c) \\ \text {Sinon :} \\ \quad {a} \leftarrow \ldots \\ \text {Retourner } {a} \\ \end{array} }

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81
[Communiquer.]
Les nombres complexes suivants ne sont pas écrits sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi puis, lorsque cela est possible, écrire ces nombres sous forme trigonométrique.

1. z1=[cos(2π3)+isin(2π3)]z_{1}=-\left[\cos \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)\right]


2. z2=6[cos(π3)isin(π3)]z_{2}=6\left[\cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)-\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right]


3. z3=2i[cos(2π3)+isin(2π3)]z_{3}=2 \mathrm{i}\left[\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)\right]


4. z4=[cos(π4)+isin(π4)]z_{4}=\left[-\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right]


5. z5=2[cos(5π3)isin(5π3)]z_{5}=2\left[\cos \left(\dfrac{5 \pi}{3}\right)-\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{5 \pi}{3}\right)\right]


6. z6=0[cos(π)+isin(π)]z_{6}=0[\cos (\pi)+\mathrm{i} \sin (\pi)]
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82
[Raisonner.]
[DÉMO]

1. En utilisant les formules d’addition, démontrer que, pour tout réel aa, on a :
a. cos(2a)=cos2(a)sin2(a)=2cos2(a)1=12sin2(a)\cos (2 a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=2 \cos ^{2}(a)-1=1-2 \sin ^{2}(a)


b. sin(2a)=2cos(a)sin(a)\sin (2 a)=2 \cos (a) \sin (a)


2. En déduire une expression de cos(a)\cos (a) et de sin(a)\sin (a) en fonction de cos(a2)\cos \left(\dfrac{a}{2}\right) et de sin(a2)\sin \left(\dfrac{a}{2}\right).
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83
[Calculer.] ◉◉◉
1.Calculer la valeur exacte des nombres suivants.
a. cos(7π12)\cos \left(\dfrac{7 \pi}{12}\right) et sin(7π12)\sin \left(\dfrac{7 \pi}{12}\right).


b. cos(π12)\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) et sin(π12)\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right).


c. cos(5π12)\cos \left(\dfrac{5 \pi}{12}\right) et sin(5π12)\sin \left(\dfrac{5 \pi}{12}\right).


d. cos(11π12)\cos \left(\dfrac{11 \pi}{12}\right) et sin(11π12)\sin \left(\dfrac{11 \pi}{12}\right).


2. En déduire une forme trigonométrique du nombre suivant : z=3(26)+3i(2+6)z=3(\sqrt{2}-\sqrt{6})+3 \mathrm{i}(\sqrt{2}+\sqrt{6}).
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84
[Calculer.] ◉◉◉
1. Exprimer cos2(x)\cos ^{2}(x) et sin2(x)\sin ^{2}(x) en fonction de cos(2x)\cos (2 x), où xRx \in \mathbb{R}.


2. En déduire la valeur exacte de 0π3cos2(x)dx\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} \cos ^{2}(x) \mathrm{d} x et 0π4sin2(x)dx\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{4}}} \sin ^{2}(x) \mathrm{d} x.
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85
[Calculer.]
Factoriser, pour tout xRx \in \mathbb{R}, l’expression cos2(x)sin(2x)\cos ^{2}(x)-\sin (2 x).
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86
[Communiquer.]
En utilisant l’écran de calculatrice suivant, donner une forme trigonométrique, puis une forme exponentielle de 62i22\dfrac{\sqrt{6}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 86

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 86

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87
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Placer les points suivants dont on donne l’affixe sous une forme exponentielle.

1. A\text{A} d’affixe zA=2eiπz_{\mathrm{A}}=2 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi}.

2. B\text{B} d’affixe zB=eiπ6z_{\mathrm{B}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{6}}}.

3. C\text{C} d’affixe zC=3e5iπ4z_{\mathrm{C}}=3 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{4}}}.

4. C\text{C} d’affixe zD=2e4iπ3z_{\mathrm{D}}=2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{4 \mathrm{i} \pi}{3}}}.

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88
[Calculer.] ◉◉
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1. z1=32+3i32z_{1}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3 \mathrm{i} \sqrt{3}}{2}


2. z2=iπz_{2}=\mathrm{i} \pi


3. z3=6+6i3z_{3}=6+6 \mathrm{i} \sqrt{3}


4. z4=2+2iz_{4}=-2+2 \mathrm{i}
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89
[Raisonner.]
Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le module et l’argument principal.

1. z1=12e5iπ3z_{1}=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{3}}}


2. z2=34eiπ6z_{2}=\dfrac{3}{4} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{6}}}


3. z3=2eiπ2z_{3}=-2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{2}}}


4. z4=e5iπ4z_{4}=\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{4}}}
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90
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit θ\theta un nombre réel.

1. Rappeler la définition du nombre complexe eiθ\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}.


2. En déduire que eiθ=1\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right|=1.


3. Justifier que arg(eiθ)=θ+k×2π\arg \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)=\theta+k \times 2 \pi, kZk \in \mathbb{Z}.
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91
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme exponentielle de l’affixe de chaque point. Le codage indique DF=OF=OD=OC\mathrm{DF}=\mathrm{OF}=\mathrm{OD}=\mathrm{OC}.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 91

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92
[Calculer.] ◉◉
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1. z1=33iz_{1}=-3-3 \mathrm{i}


2. z2=72+7i32z_{2}=\dfrac{7}{2}+\dfrac{7 \mathrm{i} \sqrt{3}}{2}


3. z3=22z_{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}


4. z4=32i332z_{4}=\dfrac{3}{2} \mathrm{i}-\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}
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93
[Calculer.]
Déterminer une forme trigonométrique, puis la forme algébrique des nombres complexes suivants.

1. z1=4eiπ4z_{1}=4 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}


2. z2=3e3iπ2z_{2}=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{3 \mathrm{i} \pi}{2}}}


3. z3=6e2iπz_{3}=6 \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} \pi}


4. z4=e2iπ3z_{4}=\mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}}
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94
[Raisonner.]
[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel α\alpha, on a : eiα=cos(α)+isin(α)\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}=\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha).

Démontrer que, pour tous réels α\alpha et α\alpha^\prime, ei(α+α)=eiα×eiα\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}.


Cette relation est appelée relation fonctionnelle de l’exponentielle imaginaire.
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95
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient rr et rr^\prime deux réels strictement positifs et α\alpha et α\alpha^\prime deux nombres réels.
On considère les nombres complexes non nuls z=reiαz=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} et z=reiαz^{\prime}=r^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}.

1. a. Démontrer que z×z=r×rei(α+α)z \times z^{\prime}=r \times r^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}.


b. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, zn=rneniαz^{n}=r^{n} \mathrm{e}^{n \mathrm{i} \alpha}.


2. Démontrer que zz=rrei(αα)\dfrac{z}{z^{\prime}}=\dfrac{r}{r^{\prime}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)}.
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96
[Calculer.]
Soient zz et zz^\prime deux nombres complexes définis par z=3e3iπ5z=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{3 \mathrm{i} \pi}{5}}} et z=25e2iπ7z^{\prime}=\dfrac{2}{5} \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{7}}}.
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1. z×zz \times z^{\prime}


2. zz\dfrac{z^{\prime}}{z}


3. z5z^{\prime 5}


4. zz3\dfrac{z}{z^{\prime 3}}
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97
[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer la forme algébrique des nombres suivants.

1. z1=3eiπ6×e5iπ3z_{1}=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{6}}} \times \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{3}}}


2. z2=(3e5iπ2)4z_{2}=\left(\sqrt{3} \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{2}}}\right)^{4}


3. z3=e2iπ3+e3iπ4z_{3}=\mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}}+\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{3 \mathrm{i} \pi}{4}}}


4. z4=4e4iπ32eiπ6z_{4}=4 \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{4 \mathrm{i} \pi}{3}}}-2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{6}}}
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98
[Calculer, Raisonner.]
1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique du produit e2iπ3×eiπ4\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}.


2. En déduire la valeur exacte de cos(11π12)\cos \left(\dfrac{11 \pi}{12}\right) et sin(11π12)\sin \left(\dfrac{11 \pi}{12}\right).
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99
EN ÉLECTRICITÉ
[Modéliser.]
En électricité, on utilise la notion d’impédance complexe, notée Z\underline{\mathrm{Z}}. L’impédance du circuit est Z|\underline{\mathrm{Z}}|.

1. Dans un circuit RLC (composé d’une résistance R\text{R}, d’un condensateur C\text{C} et d’une bobine d’inductance L\text{L}) en série, Z\underline{\mathrm{Z}} s’exprime par Z=R+(Lω1Cω)eiπ2\underline{\mathrm{Z}}=\mathrm{R}+\left(\mathrm{L} \omega-\dfrac{1}{\mathrm{C} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}.
Écrire l’impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l’impédance du circuit pour R=90 Ω\mathrm{R}=90 \Omega, Lω=10 Ω\mathrm{L}\omega=10 \Omega et Cω=20 Ω1\mathrm{C}\omega=20 \Omega^{-1}.


2. Dans un circuit RLC en parallèle, Z\underline{\mathrm{Z}} s’exprime par :
1Z=1R+1eiπ2Lω+Cωeiπ2\dfrac{1}{\underline{\mathrm{Z}}}=\dfrac{1}{\mathrm{R}}+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}} \mathrm{L} \omega}+\mathrm{C} \omega \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}.

Écrire l’impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l’impédance du circuit pour R=15 Ω\mathrm{R}=15 \Omega, Lω=80 Ω\mathrm{L}\omega=80 \Omega et Cω=100 Ω1\mathrm{C}\omega=100 \Omega^{-1}.


Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 99
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100
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient aa et bb deux nombres réels. On considère les nombres complexes non nuls z=eiaz=\mathrm{e}^{\mathrm{i} a} et z=eibz^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} b}.
En calculant de deux manières différentes z×zz \times z^{\prime}, puis zz\dfrac{z}{z^{\prime}}, retrouver les formules d’addition.
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101
[Raisonner.]
[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel θ\theta, on a : eiθ=cos(θ)+isin(θ)\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta).
Démontrer les formules d’Euler.
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Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Leonhard Euler

Histoire des maths

Leonhard Euler (1707-1783) est un mathématicien suisse. Ses domaines de recherches sont vastes : analyse (il introduit le calcul différentiel et intégral), théorie des nombres, etc. Son nom est associé à plusieurs objets mathématiques : fonction indicatrice d’Euler, constante d’Euler, droite d’Euler, etc.

102
[Calculer.]
En utilisant les formules d’Euler, démontrer que, pour tout réel xx :

1. cos(2x)=2cos2(x)1\cos (2 x)=2 \cos ^{2}(x)-1


2. sin(2x)=2cos(x)sin(x)\sin (2 x)=2 \cos (x) \sin (x)
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103
[Calculer.] ◉◉◉
Linéariser les expressions suivantes, où xx est un réel.

1. cos4(x)\cos ^{4}(x)


2. sin5(x)\sin ^{5}(x)


3. cos2(x)sin3(x)\cos ^{2}(x) \sin ^{3}(x)


4. cos3(x)+2sin3(x)\cos ^{3}(x)+2 \sin ^{3}(x)
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104
[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel θ\theta, on a : eiθ=cos(θ)+isin(θ)\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta).

Démontrer par récurrence les formules de Moivre.
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Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Abraham De Moivre

Histoire des maths

Abraham De Moivre (1667‑1754) est un mathématicien français exilé à Londres. Son étude des racines nn‑ièmes d’un nombre le mettent sur la voie des relations qui portent son nom.

105
[Calculer.]
Soit xx un nombre réel.

1. Développer (cos(x)+isin(x))3(\cos (x)+\mathrm{i} \sin (x))^{3}.


2. À l’aide de la formule de Moivre, exprimer cos(3x)+isin(3x)\cos (3 x)+\mathrm{i} \sin (3 x) en fonction de cos(x)\cos (x) et sin(x)\sin (x).


3. Démontrer que :
a. cos(3x)=4cos3(x)3cos(x)\cos (3 x)=4 \cos ^{3}(x)-3 \cos (x)


b. sin(3x)=4sin3(x)+3sin(x)\sin (3 x)=-4 \sin ^{3}(x)+3 \sin (x)
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106
[Chercher.]
En utilisant la méthode de l’exercice précédent, exprimer, pour tout réel xx, cos(5x)\cos (5 x) en fonction de cos(x)\cos (x) puis sin(5x)\sin (5 x) en fonction de sin(x)\sin (x).
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107
[Calculer.]
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=cos5(x)f(x)=\cos ^{5}(x).

1. Linéariser l’expression cos5(x)\cos ^{5}(x).


2. En déduire la valeur exacte de 05π6f(x)dx\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{5 \pi}{6}}} f(x) \mathrm{d} x.
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108
[Calculer.]
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=sin2(x)cos3(x)f(x)=\sin ^{2}(x) \cos ^{3}(x).

1. Linéariser l’expression sin2(x)cos3(x)\sin ^{2}(x) \cos ^{3}(x).


2. En déduire la valeur exacte de 0π3f(x)dx\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} f(x) \mathrm{d} x.
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