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2. Formes trigonométriques et exponentielles
P.70-74

Entraînement


2
Formes trigonométriques et exponentielles





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

70
FLASH

Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes suivants :

1.


2.


3.


4.

71
FLASH

En déduire une forme exponentielle des nombres complexes de l’exercice précédent.

72
FLASH

On considère le nombre complexe .
Déterminer de deux manières différentes l’argument principal de .

73
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct . Sans calculer la forme algébrique, placer les points suivants dont l’affixe est écrite sous une forme trigonométrique.

1. d’affixe .

2. d’affixe .

3. d’affixe .

4. d’affixe .

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74
[Représenter.]
Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module et l’argument principal.

1.


2.


3.


4.

75
[Calculer.] ◉◉
Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.

76
[Calculer.] ◉◉
Déterminer une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.

77
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme trigonométrique de l’affixe de chaque point. Le triangle est équilatéral.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 77


78
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient et deux réels strictement positifs et et deux réels. Dans le plan complexe, on considère les deux nombres complexes et .

1. a. Déterminer une forme trigonométrique de et .


b. En déduire que () et que ().


2. a. Déterminer une forme trigonométrique de .


b. En déduire que ().


c. Démontrer par récurrence que, pour tout , ().


3. a. Déterminer une forme trigonométrique de .


b. En déduire que ().


c. Démontrer que ().


d. Exprimer alors, pour tout , en fonction de et de .

79
[Calculer.] ◉◉
Soient et deux nombres complexes non nuls tels que () et
().
Déterminer l’argument principal de :

1.


2.


3.


4.

80
ALGO
[Chercher.]
Soit un nombre complexe non nul tel que avec et des réels. On note .
On définit, pour tout , comme l’unique nombre réel appartenant à l’intervalle vérifiant .

1. Déterminer et .


2. Compléter l’algorithme suivant permettant d’obtenir l’argument principal de .



81
[Communiquer.]
Les nombres complexes suivants ne sont pas écrits sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi puis, lorsque cela est possible, écrire ces nombres sous forme trigonométrique.

1.


2.


3.


4.


5.


6.

82
[Raisonner.]
[DÉMO]

1. En utilisant les formules d’addition, démontrer que, pour tout réel , on a :
a.


b.


2. En déduire une expression de et de en fonction de et de .

83
[Calculer.] ◉◉◉
1.Calculer la valeur exacte des nombres suivants.
a. et .


b. et .


c. et .


d. et .


2. En déduire une forme trigonométrique du nombre suivant : .

84
[Calculer.] ◉◉◉
1. Exprimer et en fonction de , où .


2. En déduire la valeur exacte de et .

85
[Calculer.]
Factoriser, pour tout , l’expression .

86
[Communiquer.]
En utilisant l’écran de calculatrice suivant, donner une forme trigonométrique, puis une forme exponentielle de .
Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 86

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 86


87
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct . Placer les points suivants dont on donne l’affixe sous une forme exponentielle.

1. d’affixe .

2. d’affixe .

3. d’affixe .

4. d’affixe .

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88
[Calculer.] ◉◉
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.

89
[Raisonner.]
Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le module et l’argument principal.

1.


2.


3.


4.

90
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit un nombre réel.

1. Rappeler la définition du nombre complexe .


2. En déduire que .


3. Justifier que , .

91
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme exponentielle de l’affixe de chaque point. Le codage indique .

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 91


92
[Calculer.] ◉◉
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.

93
[Calculer.]
Déterminer une forme trigonométrique, puis la forme algébrique des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.

94
[Raisonner.]
[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel , on a : .

Démontrer que, pour tous réels et , .


Cette relation est appelée relation fonctionnelle de l’exponentielle imaginaire.

95
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient et deux réels strictement positifs et et deux nombres réels.
On considère les nombres complexes non nuls et .

1. a. Démontrer que .


b. Démontrer que, pour tout entier naturel , .


2. Démontrer que .

96
[Calculer.]
Soient et deux nombres complexes définis par et .
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.

97
[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer la forme algébrique des nombres suivants.

1.


2.


3.


4.

98
[Calculer, Raisonner.]
1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique du produit .


2. En déduire la valeur exacte de et .

99
EN ÉLECTRICITÉ
[Modéliser.]
En électricité, on utilise la notion d’impédance complexe, notée . L’impédance du circuit est .

1. Dans un circuit RLC (composé d’une résistance , d’un condensateur et d’une bobine d’inductance ) en série, s’exprime par .
Écrire l’impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l’impédance du circuit pour , et .


2. Dans un circuit RLC en parallèle, s’exprime par :
.

Écrire l’impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l’impédance du circuit pour , et .


Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 99

100
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient et deux nombres réels. On considère les nombres complexes non nuls et .
En calculant de deux manières différentes , puis , retrouver les formules d’addition.

101
[Raisonner.]
[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel , on a : .
Démontrer les formules d’Euler.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Leonhard Euler

Histoire des maths

Leonhard Euler (1707-1783) est un mathématicien suisse. Ses domaines de recherches sont vastes : analyse (il introduit le calcul différentiel et intégral), théorie des nombres, etc. Son nom est associé à plusieurs objets mathématiques : fonction indicatrice d’Euler, constante d’Euler, droite d’Euler, etc.

102
[Calculer.]
En utilisant les formules d’Euler, démontrer que, pour tout réel  :

1.


2.

103
[Calculer.] ◉◉◉
Linéariser les expressions suivantes, où est un réel.

1.


2.


3.


4.

104
[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel , on a : .

Démontrer par récurrence les formules de Moivre.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Abraham De Moivre

Histoire des maths

Abraham De Moivre (1667‑1754) est un mathématicien français exilé à Londres. Son étude des racines ‑ièmes d’un nombre le mettent sur la voie des relations qui portent son nom.

105
[Calculer.]
Soit un nombre réel.

1. Développer .


2. À l’aide de la formule de Moivre, exprimer en fonction de et .


3. Démontrer que :
a.


b.

106
[Chercher.]
En utilisant la méthode de l’exercice précédent, exprimer, pour tout réel , en fonction de puis en fonction de .

107
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par .

1. Linéariser l’expression .


2. En déduire la valeur exacte de .

108
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par .

1. Linéariser l’expression .


2. En déduire la valeur exacte de .
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