Sommaire

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Ouverture

p. 1-11

Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 2

Entraînement 2

Formes trigonométriques et exponentielles

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

112

;

126

128

Parcours 2 : exercices

;

113

130

Parcours 3 : exercices

;

103

;

115

;

123

127

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Flash

Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes suivants :

z_{1} = 3 i

z_{2} = - 2

z_{3} = - 5 i

z_{4} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

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Flash

En déduire une forme exponentielle des nombres complexes de l'exercice précédent.

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Flash

On considère le nombre complexe

z = 5 i (1 - i)

.
Déterminer de deux manières différentes l'argument principal de

z .

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73
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct

(O; u, v)

. Sans calculer la forme algébrique, placer les points suivants dont l'affixe est écrite sous une forme trigonométrique. 1.

A

d'affixe

z_{A} = 3 [cos (0) + i sin (0)]

.

2.

B

d'affixe

z_{B} = 2 [cos (- \frac{2 π}{3}) + i sin (- \frac{2 π}{3})]

.

3.

C

d'affixe

z_{C} = [cos (\frac{5 π}{6}) + i sin (\frac{5 π}{6})]

.

4.

D

d'affixe

z_{D} = 4 [cos (\frac{11 π}{4}) + i sin (\frac{11 π}{4})]

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74
[Représenter.]
Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module et l'argument principal. 1.

z_{1} = 2 [cos (- \frac{4 π}{3}) + i sin (- \frac{4 π}{3})]

z_{2} = 2 [cos (- \frac{5 π}{3}) + i sin (- \frac{5 π}{3})]

z_{3} = 5 [cos (- \frac{π}{3}) + i sin (- \frac{π}{3})]

z_{4} = - [cos (\frac{π}{3}) + i sin (\frac{π}{3})]

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75
[Calculer.]

Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants. 1.

z_{1} = 3 [cos (- \frac{2 π}{3}) + i sin (- \frac{2 π}{3})]

z_{2} = 5 [cos (\frac{5 π}{6}) + i sin (\frac{5 π}{6})]

z_{3} = 5 [cos (- \frac{4 π}{3}) + i sin (- \frac{4 π}{3})]

z_{4} = 3 [cos (\frac{3 π}{4}) + i sin (\frac{3 π}{4})]

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76
[Calculer.]

Déterminer une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants. 1.

z_{1} = \frac{3}{2} + \frac{3 3}{2} i

z_{2} = π i

z_{3} = 6 + 63 i

z_{4} = - 2 + 2 i

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77
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme trigonométrique de l'affixe de chaque point. Le triangle

OFD

est équilatéral.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 77

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Démo

[Raisonner.] Soient

r

r^{'}

deux réels strictement positifs et

θ

θ^{'}

deux réels. Dans le plan complexe, on considère les deux nombres complexes

z = r (cos (θ) + i sin (θ))

z^{'} = r^{'} (cos (θ^{'}) + i sin (θ^{'}))

. 1. a. Déterminer une forme trigonométrique de

z

- z

b. En déduire que

ar g (z) = - ar g (z) + k \times 2 π

(

k \in Z

) et que

ar g (- z) = π + ar g (z) + k \times 2 π

(

k \in Z

2. a. Déterminer une forme trigonométrique de

z \times z^{'}

b. En déduire que

ar g (z \times z^{'}) = ar g (z) + ar g (z^{'}) + k \times 2 π

(

k \in Z

c. Démontrer par récurrence que, pour tout

n \in N

ar g (z^{n}) = n ar g (z) + k \times 2 π

(

k \in Z

3. a. Déterminer une forme trigonométrique de

\frac{1}{z ^{'}}

b. En déduire que

ar g (\frac{1}{z ^{'}}) = - ar g (z^{'}) + k \times 2 π

(

k \in Z

c. Démontrer que

ar g (\frac{z}{z ^{'}}) = ar g (z) - ar g (z^{'}) + k \times 2 π

(

k \in Z

d. Exprimer alors, pour tout

n \in Z

ar g (z^{n})

en fonction de

ar g (z)

et de

n

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79
[Calculer.]

Soient

z

z^{'}

deux nombres complexes non nuls tels que

ar g (z) = \frac{π}{5} + k \times 2 π

(

k \in Z

) et

ar g (z^{'}) = - \frac{3 π}{7} + k \times 2 π

(

k \in Z

).
Déterminer l'argument principal de : 1.

z z^{'}

\frac{z ^{'}}{z}

z^{4}

\frac{z ^{3}}{z ^{'}}

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Algo

[Chercher.]
Soit

z

un nombre complexe non nul tel que

z = x + i y

avec

x

y

des réels. On note

r = ∣ z ∣

.
On définit, pour tout

a \in [- 1; 1]

arccos (a)

comme l'unique nombre réel appartenant à l'intervalle

[0; π]

vérifiant

cos (x) = a

. 1. Déterminer

arccos (1)

arccos (\frac{2}{2})

2. Compléter l'algorithme suivant permettant d'obtenir l'argument principal

a

z

r \leftarrow \dots c \leftarrow \frac{x}{r} Si \dots : a \leftarrow arccos (c) Sinon : a \leftarrow \dots Retourner a

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81
[Communiquer.]
Les nombres complexes suivants ne sont pas écrits sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi puis, lorsque cela est possible, écrire ces nombres sous forme trigonométrique.

1.

z_{1} = - [cos (- \frac{2 π}{3}) + i sin (- \frac{2 π}{3})]

z_{2} = 6 [cos (- \frac{π}{3}) - i sin (- \frac{π}{3})]

z_{3} = 2 i [cos (\frac{2 π}{3}) + i sin (\frac{2 π}{3})]

z_{4} = [- cos (\frac{π}{4}) + i sin (\frac{π}{4})]

z_{5} = 2 [cos (\frac{5 π}{3}) - i sin (\frac{5 π}{3})]

z_{6} = 0 [cos (π) + i sin (π)]

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84
[Calculer.]

1. Exprimer

cos^{2} (x)

sin^{2} (x)

en fonction de

cos (2 x)

, où

x \in R

2. En déduire la valeur exacte de

\int_{0}^{\frac{π}{3}} cos^{2} (x) d x

\int_{0}^{\frac{π}{4}} sin^{2} (x) d x

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Démo

[Raisonner.]
1. En utilisant les formules d'addition, démontrer que, pour tout réel

a

, on a :
a.

cos (2 a) = cos^{2} (a) - sin^{2} (a) = 2 cos^{2} (a) - 1 = 1 - 2 sin^{2} (a)

sin (2 a) = 2 cos (a) sin (a)

2. En déduire une expression de

cos (a)

et de

sin (a)

en fonction de

cos (\frac{a}{2})

et de

sin (\frac{a}{2})

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83
[Calculer.]

1.Calculer la valeur exacte des nombres suivants.
a.

cos (\frac{7 π}{12})

sin (\frac{7 π}{12})

cos (\frac{π}{12})

sin (\frac{π}{12})

cos (\frac{5 π}{12})

sin (\frac{5 π}{12})

cos (\frac{11 π}{12})

sin (\frac{11 π}{12})

2. En déduire une forme trigonométrique du nombre suivant :

z = 3 (2 - 6) + 3 i (2 + 6)

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85
[Calculer.]
Factoriser, pour tout

x \in R

, l'expression

cos^{2} (x) - sin (2 x)

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86
[Communiquer.]
En utilisant l'écran de calculatrice suivant, donner une forme trigonométrique, puis une forme exponentielle de

\frac{6}{2} - i \frac{2}{2}

Image d'un exercice de mathématiques montrant le nombre complexe -√6/2 + √2/2 i.

Calcul de l'argument d'un nombre complexe : résultat 5π/6 ≈ 2.617994

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87
[Représenter.]

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct

(O; u, v)

. Placer les points suivants dont on donne l'affixe sous une forme exponentielle. 1.

A

d'affixe

z_{A} = 2 e^{i π}

.

2.

B

d'affixe

z_{B} = e^{- i \frac{π}{6}}

.

3.

C

d'affixe

z_{C} = 3 e^{- \frac{5 i π}{4}}

.

4.

C

d'affixe

z_{D} = 2 e^{\frac{4 i π}{3}}

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88
[Calculer.]

Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants. 1.

z_{1} = \frac{3}{2} + \frac{3 i 3}{2}

z_{2} = i π

z_{3} = 6 + 6 i 3

z_{4} = - 2 + 2 i

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89
[Raisonner.]
Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le module et l'argument principal. 1.

z_{1} = \frac{1}{2} e^{\frac{5 i π}{3}}

z_{2} = \frac{3}{4} e^{- i \frac{π}{6}}

z_{3} = - 2 e^{\frac{i π}{2}}

z_{4} = e^{- \frac{5 i π}{4}}

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Démo

[Raisonner.]
Soit

θ

un nombre réel. 1. Rappeler la définition du nombre complexe

e^{i θ}

2. En déduire que

e^{i θ} = 1

3. Justifier que

ar g (e^{i θ}) = θ + k \times 2 π

k \in Z

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91
[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme exponentielle de l'affixe de chaque point. Le codage indique

DF = OF = OD = OC

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 91

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92
[Calculer.]

Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants. 1.

z_{1} = - 3 - 3 i

z_{2} = \frac{7}{2} + \frac{7 i 3}{2}

z_{3} = \frac{2}{2}

z_{4} = \frac{3}{2} i - \frac{3 3}{2}

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93
[Calculer.]
Déterminer une forme trigonométrique, puis la forme algébrique des nombres complexes suivants. 1.

z_{1} = 4 e^{- i \frac{π}{4}}

z_{2} = 3 e^{\frac{3 i π}{2}}

z_{3} = 6 e^{2 i π}

z_{4} = e^{- \frac{2 i π}{3}}

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Démo

[Raisonner.]
On rappelle que, pour tout réel

α

, on a :

e^{i α} = cos (α) + i sin (α)

. Démontrer que, pour tous réels

α

α^{'}

e^{i (α + α^{'})} = e^{i α} \times e^{i α^{'}}

Cette relation est appelée relation fonctionnelle de l'exponentielle imaginaire.

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96
[Calculer.]
Soient

z

z^{'}

deux nombres complexes définis par

z = 3 e^{\frac{3 i π}{5}}

z^{'} = \frac{2}{5} e^{- \frac{2 i π}{7}}

.
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants. 1.

z \times z^{'}

\frac{z ^{'}}{z}

z^{'5}

\frac{z}{z ^{'3}}

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Démo

[Raisonner.]
Soient

r

r^{'}

deux réels strictement positifs et

α

α^{'}

deux nombres réels.
On considère les nombres complexes non nuls

z = r e^{i α}

z^{'} = r^{'} e^{i α^{'}}

. 1. a. Démontrer que

z \times z^{'} = r \times r^{'} e^{i (α + α^{'})}

b. Démontrer que, pour tout entier naturel

n

z^{n} = r^{n} e^{n i α}

2. Démontrer que

\frac{z}{z ^{'}} = \frac{r}{r ^{'}} e^{i (α - α^{'})}

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97
[Calculer.]

Déterminer la forme algébrique des nombres suivants. 1.

z_{1} = 3 e^{\frac{i π}{6}} \times e^{\frac{5 i π}{3}}

z_{2} = (3 e^{- \frac{5 i π}{2}})^{4}

z_{3} = e^{- \frac{2 i π}{3}} + e^{\frac{3 i π}{4}}

z_{4} = 4 e^{- \frac{4 i π}{3}} - 2 e^{\frac{i π}{6}}

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98
[Calculer, Raisonner.]

1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique du produit

e^{\frac{2 i π}{3}} \times e^{i \frac{π}{4}}

2. En déduire la valeur exacte de

cos (\frac{11 π}{12})

sin (\frac{11 π}{12})

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En électricité

[Modéliser.]
En électricité, on utilise la notion d'impédance complexe, notée

Z

. L'impédance du circuit est

∣ Z ∣

1. Dans un circuit RLC (composé d'une résistance

R

, d'un condensateur

C

et d'une bobine d'inductance

L

) en série,

Z

s'exprime par

Z = R + (L ω - \frac{1}{C ω}) e^{i \frac{π}{2}}

.
Écrire l'impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l'impédance du circuit pour

R = 90 Ω

L ω = 10 Ω

C ω = 20 Ω^{- 1}

2. Dans un circuit RLC en parallèle,

Z

s'exprime par :

\frac{1}{Z} = \frac{1}{R} + \frac{1}{e ^{i \frac{π}{2}} L ω} + C ω e^{i \frac{π}{2}}

Écrire l'impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l'impédance du circuit pour

R = 15 Ω

L ω = 80 Ω

C ω = 100 Ω^{- 1}

Photographie gros plan d'une bobine et de condensateurs sur circuit électronique. Composants électroniques cuivre et vert.

g0d4ather / Shutterstock

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100

Démo

[Raisonner.]
Soient

a

b

deux nombres réels. On considère les nombres complexes non nuls

z = e^{i a}

z^{'} = e^{i b}

.
En calculant de deux manières différentes

z \times z^{'}

, puis

\frac{z}{z ^{'}}

, retrouver les formules d'addition.

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101

Démo

[Raisonner.]
On rappelle que, pour tout réel

θ

, on a :

e^{i θ} = cos (θ) + i sin (θ)

.
Démontrer les formules d'Euler.

Histoire des maths

Leonhard Euler (1707-1783) est un mathématicien suisse. Ses domaines de recherches sont vastes : analyse (il introduit le calcul différentiel et intégral), théorie des nombres, etc. Son nom est associé à plusieurs objets mathématiques : fonction indicatrice d'Euler, constante d'Euler, droite d'Euler, etc.

Portrait peint de Leonhard Euler, mathématicien du XVIIIe siècle, assis à son bureau.

Deutsches Museum Munich / Wikimedia

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102
[Calculer.]
En utilisant les formules d'Euler, démontrer que, pour tout réel

x

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

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103
[Calculer.]

Linéariser les expressions suivantes, où

x

est un réel.

cos^{4} (x)

sin^{5} (x)

cos^{2} (x) sin^{3} (x)

cos^{3} (x) + 2 sin^{3} (x)

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104

Démo

On rappelle que, pour tout réel

θ

, on a :

e^{i θ} = cos (θ) + i sin (θ)

. Démontrer par récurrence les formules de Moivre.

Histoire des maths

Abraham De Moivre (1667‑1754) est un mathématicien français exilé à Londres. Son étude des racines

n

‑ièmes d'un nombre le mettent sur la voie des relations qui portent son nom.

Gravure en noir et blanc d'Abraham de Moivre, mathématicien français du XVIIIe siècle.

University of York / Wikimedia

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105
[Calculer.]
Soit

x

un nombre réel. 1. Développer

(cos (x) + i sin (x))^{3}

2. À l'aide de la formule de Moivre, exprimer

cos (3 x) + i sin (3 x)

en fonction de

cos (x)

sin (x)

3. Démontrer que :
a.

cos (3 x) = 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

sin (3 x) = - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

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106
[Chercher.]
En utilisant la méthode de l'exercice précédent, exprimer, pour tout réel

x

cos (5 x)

en fonction de

cos (x)

puis

sin (5 x)

en fonction de

sin (x)

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107
[Calculer.]
Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = cos^{5} (x)

. 1. Linéariser l'expression

cos^{5} (x)

2. En déduire la valeur exacte de

\int_{0}^{\frac{5 π}{6}} f (x) d x

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108
[Calculer.]
Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = sin^{2} (x) cos^{3} (x)

1. Linéariser l'expression

sin^{2} (x) cos^{3} (x)

2. En déduire la valeur exacte de

\int_{0}^{\frac{π}{3}} f (x) d x

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