2

Formes trigonométriques et exponentielles

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

70

Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes suivants :

1. $z_{1}=3 \mathrm{i}$


2. $z_{2}=-2$


3. $z_{3}=-5 \mathrm{i}$


4. $z_{4}=\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

71

En déduire une forme exponentielle des nombres complexes de l’exercice précédent.

72

On considère le nombre complexe $z=5 \mathrm{i}(1-\mathrm{i})$.
Déterminer de deux manières différentes l’argument principal de $z$.

73

[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v})$. Sans calculer la forme algébrique, placer les points suivants dont l’affixe est écrite sous une forme trigonométrique.

1. $\text{A}$ d’affixe $z_{\mathrm{A}}=3[\cos (0)+\mathrm{i} \sin (0)]$.

2. $\text{B}$ d’affixe $z_{\mathrm{B}}=2\left[\cos \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)\right]$.

3. $\text{C}$ d’affixe $z_{\mathrm{C}}=\left[\cos \left(\dfrac{5 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{5 \pi}{6}\right)\right]$.

4. $\text{D}$ d’affixe $z_{\mathrm{D}}=4\left[\cos \left(\dfrac{11 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{11 \pi}{4}\right)\right]$.

Lancer le module Geogebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

74

[Représenter.]
Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer le module et l’argument principal.

1. $z_{1}=\sqrt{2}\left[\cos \left(-\dfrac{4 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{4 \pi}{3}\right)\right]$


2. $z_{2}=2\left[\cos \left(-\dfrac{5 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{5 \pi}{3}\right)\right]$


3. $z_{3}=5\left[\cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right]$


4. $z_{4}=-\left[\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right]$

75

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants.

1. $z_{1}=3\left[\cos \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)\right]$


2. $z_{2}=5\left[\cos \left(\dfrac{5 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{5 \pi}{6}\right)\right]$


3. $z_{3}=5\left[\cos \left(-\dfrac{4 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{4 \pi}{3}\right)\right]$


4. $z_{4}=3\left[\cos \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)\right]$

76

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer une forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants.

1. $z_{1}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$


2. $z_{2}=\pi \mathrm{i}$


3. $z_{3}=6+6 \sqrt{3} \mathrm{i}$


4. $z_{4}=-2+2 \mathrm{i}$

77

[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme trigonométrique de l’affixe de chaque point. Le triangle $\text{OFD}$ est équilatéral.

78

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $r$ et $r^\prime$ deux réels strictement positifs et $\theta$ et $\theta^\prime$ deux réels. Dans le plan complexe, on considère les deux nombres complexes $z=r(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta))$ et $z^{\prime}=r^{\prime}\left(\cos \left(\theta^{\prime}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\theta^{\prime}\right)\right)$.

1. a. Déterminer une forme trigonométrique de $\overline z$ et $-z$.


b. En déduire que $\arg (\overline{z})=-\arg (z)+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) et que $\arg (-z)=\pi+\arg (z)+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).


2. a. Déterminer une forme trigonométrique de $z \times z^{\prime}$.


b. En déduire que $\arg \left(z \times z^{\prime}\right)=\arg (z)+\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).


c. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\arg \left(z^{n}\right)=n \arg (z)+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).


3. a. Déterminer une forme trigonométrique de $\dfrac{1}{z^{\prime}}$.


b. En déduire que $\arg \left(\dfrac{1}{z^{\prime}}\right)=-\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).


c. Démontrer que $\arg \left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)=\arg (z)-\arg \left(z^{\prime}\right)+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).


d. Exprimer alors, pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $\arg \left(z^{n}\right)$ en fonction de $\arg \left(z\right)$ et de $n$.

79

[Calculer.] ◉◉◉
Soient $z$ et $z^\prime$ deux nombres complexes non nuls tels que $\arg (z)=\dfrac{\pi}{5}+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) et
$\arg \left(z^{\prime}\right)=-\dfrac{3 \pi}{7}+k \times 2 \pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Déterminer l’argument principal de :

1. $z z^{\prime}$


2. $\dfrac{z^{\prime}}{z}$


3. $z^4$


4. $\dfrac{z^{3}}{z^{\prime}}$

80

ALGO

[Chercher.]
Soit $z$ un nombre complexe non nul tel que $z=x+\mathrm{i} y$ avec $x$ et $y$ des réels. On note $r=|z|$.
On définit, pour tout $a \in[-1 ; 1]$, $\arccos (a)$ comme l’unique nombre réel appartenant à l’intervalle $[0 ; \pi]$ vérifiant $\cos (x)=a$.

1. Déterminer $\arccos (1)$ et $\arccos \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.


2. Compléter l’algorithme suivant permettant d’obtenir l’argument principal $a$ de $z$.

$\boxed{ \begin{array} { l } {r} \leftarrow \ldots \\ {c} \leftarrow \dfrac{x}{r} \\ \text {Si } \ldots : \\ \quad {a} \leftarrow \arccos (c) \\ \text {Sinon :} \\ \quad {a} \leftarrow \ldots \\ \text {Retourner } {a} \\ \end{array} }$

81

[Communiquer.]
Les nombres complexes suivants ne sont pas écrits sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi puis, lorsque cela est possible, écrire ces nombres sous forme trigonométrique.

1. $z_{1}=-\left[\cos \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)\right]$


2. $z_{2}=6\left[\cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)-\mathrm{i} \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right]$


3. $z_{3}=2 \mathrm{i}\left[\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)\right]$


4. $z_{4}=\left[-\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right]$


5. $z_{5}=2\left[\cos \left(\dfrac{5 \pi}{3}\right)-\mathrm{i} \sin \left(\dfrac{5 \pi}{3}\right)\right]$


6. $z_{6}=0[\cos (\pi)+\mathrm{i} \sin (\pi)]$

82

[Raisonner.]

[DÉMO]

1. En utilisant les formules d’addition, démontrer que, pour tout réel $a$, on a :
a. $\cos (2 a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=2 \cos ^{2}(a)-1=1-2 \sin ^{2}(a)$


b. $\sin (2 a)=2 \cos (a) \sin (a)$


2. En déduire une expression de $\cos (a)$ et de $\sin (a)$ en fonction de $\cos \left(\dfrac{a}{2}\right)$ et de $\sin \left(\dfrac{a}{2}\right)$.

83

[Calculer.] ◉◉◉
1.Calculer la valeur exacte des nombres suivants.
a. $\cos \left(\dfrac{7 \pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{7 \pi}{12}\right)$.


b. $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.


c. $\cos \left(\dfrac{5 \pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{5 \pi}{12}\right)$.


d. $\cos \left(\dfrac{11 \pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{11 \pi}{12}\right)$.


2. En déduire une forme trigonométrique du nombre suivant : $z=3(\sqrt{2}-\sqrt{6})+3 \mathrm{i}(\sqrt{2}+\sqrt{6})$.

84

[Calculer.] ◉◉◉
1. Exprimer $\cos ^{2}(x)$ et $\sin ^{2}(x)$ en fonction de $\cos (2 x)$, où $x \in \mathbb{R}$.


2. En déduire la valeur exacte de $\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} \cos ^{2}(x) \mathrm{d} x$ et $\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{4}}} \sin ^{2}(x) \mathrm{d} x$.

85

[Calculer.]
Factoriser, pour tout $x \in \mathbb{R}$, l’expression $\cos ^{2}(x)-\sin (2 x)$.

86

[Communiquer.]
En utilisant l’écran de calculatrice suivant, donner une forme trigonométrique, puis une forme exponentielle de $\dfrac{\sqrt{6}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

87

[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v})$. Placer les points suivants dont on donne l’affixe sous une forme exponentielle.

1. $\text{A}$ d’affixe $z_{\mathrm{A}}=2 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi}$.

2. $\text{B}$ d’affixe $z_{\mathrm{B}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{6}}}$.

3. $\text{C}$ d’affixe $z_{\mathrm{C}}=3 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{4}}}$.

4. $\text{C}$ d’affixe $z_{\mathrm{D}}=2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{4 \mathrm{i} \pi}{3}}}$.

Lancer le module Geogebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

88

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1. $z_{1}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3 \mathrm{i} \sqrt{3}}{2}$


2. $z_{2}=\mathrm{i} \pi$


3. $z_{3}=6+6 \mathrm{i} \sqrt{3}$


4. $z_{4}=-2+2 \mathrm{i}$

89

[Raisonner.]
Pour chaque nombre complexe suivant, déterminer le module et l’argument principal.

1. $z_{1}=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{3}}}$


2. $z_{2}=\dfrac{3}{4} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{6}}}$


3. $z_{3}=-2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{2}}}$


4. $z_{4}=\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{4}}}$

90

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soit $\theta$ un nombre réel.

1. Rappeler la définition du nombre complexe $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$.


2. En déduire que $\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right|=1$.


3. Justifier que $\arg \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)=\theta+k \times 2 \pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

91

[Représenter.]
En utilisant les données de ce graphique, déterminer, lorsque cela a un sens, une forme exponentielle de l’affixe de chaque point. Le codage indique $\mathrm{DF}=\mathrm{OF}=\mathrm{OD}=\mathrm{OC}$.

92

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1. $z_{1}=-3-3 \mathrm{i}$


2. $z_{2}=\dfrac{7}{2}+\dfrac{7 \mathrm{i} \sqrt{3}}{2}$


3. $z_{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$


4. $z_{4}=\dfrac{3}{2} \mathrm{i}-\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}$

93

[Calculer.]
Déterminer une forme trigonométrique, puis la forme algébrique des nombres complexes suivants.

1. $z_{1}=4 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}$


2. $z_{2}=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{3 \mathrm{i} \pi}{2}}}$


3. $z_{3}=6 \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} \pi}$


4. $z_{4}=\mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}}$

94

[Raisonner.]

[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel $\alpha$, on a : $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}=\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)$.

Démontrer que, pour tous réels $\alpha$ et $\alpha^\prime$, $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}$.


Cette relation est appelée relation fonctionnelle de l’exponentielle imaginaire.

95

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $r$ et $r^\prime$ deux réels strictement positifs et $\alpha$ et $\alpha^\prime$ deux nombres réels.
On considère les nombres complexes non nuls $z=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha}$ et $z^{\prime}=r^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha^{\prime}}$.

1. a. Démontrer que $z \times z^{\prime}=r \times r^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\alpha^{\prime}\right)}$.


b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $z^{n}=r^{n} \mathrm{e}^{n \mathrm{i} \alpha}$.


2. Démontrer que $\dfrac{z}{z^{\prime}}=\dfrac{r}{r^{\prime}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha-\alpha^{\prime}\right)}$.

96

[Calculer.]
Soient $z$ et $z^\prime$ deux nombres complexes définis par $z=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{3 \mathrm{i} \pi}{5}}}$ et $z^{\prime}=\dfrac{2}{5} \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{7}}}$.
Déterminer une forme exponentielle des nombres complexes suivants.

1. $z \times z^{\prime}$


2. $\dfrac{z^{\prime}}{z}$


3. $z^{\prime 5}$


4. $\dfrac{z}{z^{\prime 3}}$

97

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer la forme algébrique des nombres suivants.

1. $z_{1}=3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{6}}} \times \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{3}}}$


2. $z_{2}=\left(\sqrt{3} \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{2}}}\right)^{4}$


3. $z_{3}=\mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}}+\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{3 \mathrm{i} \pi}{4}}}$


4. $z_{4}=4 \mathrm{e}^{\normalsize{-\tfrac{4 \mathrm{i} \pi}{3}}}-2 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{6}}}$

98

[Calculer, Raisonner.]
1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique du produit $\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} \pi}{3}}} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}$.


2. En déduire la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{11 \pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{11 \pi}{12}\right)$.

99

EN ÉLECTRICITÉ

[Modéliser.]
En électricité, on utilise la notion d’impédance complexe, notée $\underline{\mathrm{Z}}$. L’impédance du circuit est $|\underline{\mathrm{Z}}|$.

1. Dans un circuit RLC (composé d’une résistance $\text{R}$, d’un condensateur $\text{C}$ et d’une bobine d’inductance $\text{L}$) en série, $\underline{\mathrm{Z}}$ s’exprime par $\underline{\mathrm{Z}}=\mathrm{R}+\left(\mathrm{L} \omega-\dfrac{1}{\mathrm{C} \omega}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}$.
Écrire l’impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l’impédance du circuit pour $\mathrm{R}=90 \Omega$, $\mathrm{L}\omega=10 \Omega$ et $\mathrm{C}\omega=20 \Omega^{-1}$.


2. Dans un circuit RLC en parallèle, $\underline{\mathrm{Z}}$ s’exprime par :
$\dfrac{1}{\underline{\mathrm{Z}}}=\dfrac{1}{\mathrm{R}}+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}} \mathrm{L} \omega}+\mathrm{C} \omega \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}$.
Écrire l’impédance complexe sous forme algébrique, puis calculer l’impédance du circuit pour $\mathrm{R}=15 \Omega$, $\mathrm{L}\omega=80 \Omega$ et $\mathrm{C}\omega=100 \Omega^{-1}$.

100

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On considère les nombres complexes non nuls $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i} a}$ et $z^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} b}$.
En calculant de deux manières différentes $z \times z^{\prime}$, puis $\dfrac{z}{z^{\prime}}$, retrouver les formules d’addition.

101

[Raisonner.]

[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel $\theta$, on a : $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta)$.
Démontrer les formules d’Euler.

102

[Calculer.]
En utilisant les formules d’Euler, démontrer que, pour tout réel $x$ :

1. $\cos (2 x)=2 \cos ^{2}(x)-1$


2. $\sin (2 x)=2 \cos (x) \sin (x)$

103

[Calculer.] ◉◉◉
Linéariser les expressions suivantes, où $x$ est un réel.

1. $\cos ^{4}(x)$


2. $\sin ^{5}(x)$


3. $\cos ^{2}(x) \sin ^{3}(x)$


4. $\cos ^{3}(x)+2 \sin ^{3}(x)$

104

[DÉMO]

On rappelle que, pour tout réel $\theta$, on a : $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta)$.

Démontrer par récurrence les formules de Moivre.

105

[Calculer.]
Soit $x$ un nombre réel.

1. Développer $(\cos (x)+\mathrm{i} \sin (x))^{3}$.


2. À l’aide de la formule de Moivre, exprimer $\cos (3 x)+\mathrm{i} \sin (3 x)$ en fonction de $\cos (x)$ et $\sin (x)$.


3. Démontrer que :
a. $\cos (3 x)=4 \cos ^{3}(x)-3 \cos (x)$


b. $\sin (3 x)=-4 \sin ^{3}(x)+3 \sin (x)$

106

[Chercher.]
En utilisant la méthode de l’exercice précédent, exprimer, pour tout réel $x$, $\cos (5 x)$ en fonction de $\cos (x)$ puis $\sin (5 x)$ en fonction de $\sin (x)$.

107

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos ^{5}(x)$.

1. Linéariser l’expression $\cos ^{5}(x)$.


2. En déduire la valeur exacte de $\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{5 \pi}{6}}} f(x) \mathrm{d} x$.

108

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin ^{2}(x) \cos ^{3}(x)$.

1. Linéariser l’expression $\sin ^{2}(x) \cos ^{3}(x)$.


2. En déduire la valeur exacte de $\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} f(x) \mathrm{d} x$.