Géométrie et nombres complexes

Parcours 1 : exercices

50

 ;

61

 ;

65

 ;

67

 ;

75

 ;

88

 ;

112

 ;

126

et

128

Parcours 2 : exercices

55

 ;

64

 ;

69

 ;

76

 ;

79

 ;

92

 ;

113

et

130

Parcours 3 : exercices

56

 ;

83

 ;

84

 ;

97

 ;

103

 ;

115

 ;

123

et

127

46

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux points du plan complexe d'affixe respective $a=\frac{2}{3}-5\mathrm{i}$ et $b=3\mathrm{i}-3$.
Déterminer l'affixe du milieu $\text{I}$ du segment $[\mathrm{AB}]$.

47

Soit $z$ le nombre complexe $z=(1-2\mathrm{i})(5+3\mathrm{i})$.
Déterminer de deux manières différentes le module de $z$.

51

[Représenter.]
Donner l'affixe des points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$ et $\text{E}$.

52

[Calculer.]
Calculer le module de l'affixe de chaque point représenté dans le repère.

53

[Calculer.]
1. Déterminer l'affixe des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

2. En déduire l'affixe du vecteur $3\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

3. Déterminer l'affixe du point $\text{F}$ tel que $\text{B}$ est le milieu du segment $[\mathrm{FC}]$.

54

[Chercher.]
1. Déterminer l'affixe du point $\text{G}$ tel que $\text{AGED}$ est un parallélogramme.

Insérer une formule mathématique

2. Déterminer l'affixe du centre du parallélogramme $\text{AGED}$.

Insérer une formule mathématique

57

[Chercher.]
1. $\text{H}$ est appelé barycentre des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ affectés des coefficients respectifs $1$ ; $-1$ et $3$, lorsque :

$1\overrightarrow{\mathrm{HA}}-1\overrightarrow{\mathrm{HB}}+3\overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{0}$.

Déterminer l'affixe de $\text{H}$ en fonction de celle des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$.

2. Le centre de gravité du triangle $\text{ABC}$ est le barycentre des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ affectés chacun du coefficient $1$.
Déterminer l'affixe du centre de gravité du triangle $\text{ABC}$ en fonction de celle des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$.

58

[Calculer.]
Vérifier le résultat suivant obtenu avec une calculatrice.

63

[Raisonner.]
Dans le plan complexe, on considère deux nombres complexes $z=x+\mathrm{i}y$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+\mathrm{i}{y}^{\prime }$ avec $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ des nombres réels. 1. Démontrer que $|\overline{z}|=|z|$ et $|-z|=|z|$.

2. a. Démontrer que $\left|z\times z^{\prime }\right|=|z|\times \left|z^{\prime }\right|$.

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, $\left|z^n\right|=|z{|}^n$.

3. On suppose dans cette question que $z^{\prime }\ne 0$.
a. Exprimer la forme algébrique de $\frac{z}{z^{\prime }}$ en fonction de $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$.

b. En déduire que $\left|\frac{z}{z^{\prime }}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime }\right|}$.

c. En déduire alors que, pour tout $n\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$, $\left|z^n\right|=|z{|}^n$.

64

[Calculer.]
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants, puis vérifier le résultat à l'aide d'une calculatrice. 1. $z_1=(7-4\mathrm{i})(1+5\mathrm{i})$

2. $z_2=(\sqrt{7}+3\mathrm{i}{)}^4$

3. $z_3=\frac{5}{2+3\mathrm{i}}$

4. $z_4=\frac{-\mathrm{i}}{3-3\mathrm{i}}$

5. $z_5=\frac{5+3\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$

6. $z_6=\frac{(2\mathrm{i}-4{)}^2}{-1+2\mathrm{i}}$

66

[Calculer.]
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Dans chaque cas, on donne une mesure en radian de l'angle orienté $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{OM}})$, où $\text{M}$ est le point d'affixe $z$. Déterminer la mesure principale de $\arg (z)$. 1. $\pi$

2. $2\pi$

3. $\frac{3\pi }{2}$

4. $-\frac{17\pi }{3}$

5. $\frac{23\pi }{6}$

6. $-\frac{7\pi }{4}$

7. $\frac{12\pi }{3}$

8. $-\frac{9\pi }{2}$

68

[Représenter.]
On considère le graphique suivant dans lequel le triangle $\text{OFD}$ est équilatéral.


En utilisant les données de la figure, déterminer, lorsque cela a un sens, l'argument principal de l'affixe de chaque point.