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1. Géométrie et nombres complexes
P.68-70

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Entraînement


1
Géométrie et nombres complexes





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

46
FLASH

Soient et deux points du plan complexe d’affixe respective et .
Déterminer l’affixe du milieu du segment .
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47
FLASH

Soit le nombre complexe .
Déterminer de deux manières différentes le module de .
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48
FLASH

Donner l’argument principal des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.
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49
[Raisonner.]
[DÉMO]

Dans le plan complexe, on considère un point d’affixe , où et sont deux réels.
Soient , et les points d’affixe respective , et . On pourra s’aider d’une figure.

1. a. Démontrer que, pour tout point de l’axe des réels, .
Que peut-on en conclure pour l’axe des abscisses par rapport au segment  ?


b. On considère la transformation du plan qui, à tout point , associe le point .
Quelle est la nature de cette transformation ?


2. a. Démontrer que le point d’affixe est le milieu du segment


b. On considère la transformation du plan qui, à tout point , associe le point .
Quelle est la nature de cette transformation ?


3. a. Démontrer que, pour tout point de l’axe des imaginaires purs, .
Que peut-on en conclure pour l’axe des ordonnées par rapport au segment  ?


b. On considère la transformation du plan qui, à tout point , associe le point .
Quelle est la nature de cette transformation ?


4. Si a pour affixe , expliquer comment construire ses symétriques par rapport à chaque axe du repère.
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50
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct .
Soit le point d’affixe .

1. Déterminer l’affixe de , symétrique de par rapport à l’axe des imaginaires purs.


2. Déterminer l’affixe de , symétrique de par rapport à .


3. Déterminer l’affixe de , symétrique de par rapport à l’axe des réels.
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Pour les exercices
51
à 
54


On considère le repère orthonormé et les points suivants.

Géométrie et nombres complexes

51
[Représenter.]
Donner l’affixe des points , , , et .
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52
[Calculer.]
Calculer le module de l’affixe de chaque point représenté dans le repère.
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53
[Calculer.]
1. Déterminer l’affixe des vecteurs et .


2. En déduire l’affixe du vecteur .


3. Déterminer l’affixe du point tel que est le milieu du segment .
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54
[Chercher.]
1. Déterminer l’affixe du point tel que est un parallélogramme.


2. Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme .
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55
[Calculer.] ◉◉
On considère le plan complexe. Démontrer de deux façons différentes que le quadrilatère est un parallélogramme avec , , et .
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56
[Chercher.] ◉◉◉
Soient , et trois points du plan complexe d’affixe respective , et .

1. Démontrer que les points , et sont alignés.


2. Soit le point d’affixe .
Déterminer l’affixe du point de l’axe des imaginaires purs tel que les droites et sont parallèles.
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57
[Chercher.]
1. est appelé barycentre des points , et affectés des coefficients respectifs  ; et , lorsque :
.
Déterminer l’affixe de en fonction de celle des points , et .


2. Le centre de gravité du triangle est le barycentre des points , et affectés chacun du coefficient .
Déterminer l’affixe du centre de gravité du triangle en fonction de celle des points , et .
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58
[Calculer.]
Vérifier le résultat suivant obtenu avec une calculatrice.

Géométrie et nombres complexes

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59
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct .
Soit un point d’affixe vérifiant .

1. Déterminer le module de l’affixe de , symétrique de par rapport à l’axe des imaginaires purs.


2. Déterminer le module de l’affixe de , symétrique de par rapport à .


3. Déterminer le module de l’affixe de , symétrique de par rapport à l’axe des réels.
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60
[Calculer.]
Soient les nombres complexes et .
Calculer, puis vérifier à l’aide d’une calculatrice, le module des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.


5.


6.
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61
[Calculer.] ◉◉
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants.

1.


2.


3.


4.
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62
PYTHON
[Modéliser.]
Voici un programme écrit en Python.

Géométrie et nombres complexes

1. À quoi cet algorithme sert‑il ?


2. Que l’algorithme retourne‑t‑il lorsque l’utilisateur entre les valeurs et  ?
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63
[Raisonner.]
[DÉMO]

Dans le plan complexe, on considère deux nombres complexes et avec , , et des nombres réels.

1. Démontrer que et .


2. a. Démontrer que .


b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul , .


3. On suppose dans cette question que .
a. Exprimer la forme algébrique de en fonction de , , et .


b. En déduire que .


c. En déduire alors que, pour tout , .
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64
[Calculer.] ◉◉
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants, puis vérifier le résultat à l’aide d’une calculatrice.

1.


2.


3.


4.


5.


6.
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65
[Représenter.] ◉◉
Dans un plan complexe muni d’un repère orthonormé direct , placer les points , , , , et d’affixe respective , , , , et et vérifiant les conditions suivantes, où désigne un entier relatif.

1. et .


2. et .


3. et .


4. et .


5. et .


6. et .


Lancer le module Geogebra
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66
[Calculer.]
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct . Dans chaque cas, on donne une mesure en radian de l’angle orienté , où est le point d’affixe . Déterminer la mesure principale de .

1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.
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67
[Raisonner.] ◉◉
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct . Soit le point d’affixe vérifiant et , où .

1. Déterminer le module et un argument de l’affixe de , symétrique de par rapport à l’axe des ordonnées.


2. Déterminer le module et un argument de l’affixe de , symétrique de par rapport à .


3. Déterminer le module et un argument de l’affixe de , symétrique de par rapport à l’axe des abscisses.
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68
[Représenter.]
On considère le graphique suivant dans lequel le triangle est équilatéral.

Géométrie et nombres complexes
En utilisant les données de la figure, déterminer, lorsque cela a un sens, l’argument principal de l’affixe de chaque point.
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69
[Calculer.] ◉◉
Soient , , et quatre points du plan complexe d’affixe respective , , et .
On donne, avec , , , et .

1. Déterminer la mesure principale de puis de .


2. Donner une mesure en radian des angles orientés et .
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