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1. Géométrie et nombres complexes
P.68-70

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Entraînement


1
Géométrie et nombres complexes





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

46
FLASH

Soient A\text{A} et B\text{B} deux points du plan complexe d’affixe respective a=235ia=\dfrac{2}{3}-5 \mathrm{i} et b=3i3b=3 \mathrm{i}-3.
Déterminer l’affixe du milieu I\text{I} du segment [AB][\mathrm{AB}].
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47
FLASH

Soit zz le nombre complexe z=(12i)(5+3i)z=(1-2 \mathrm{i})(5+3 \mathrm{i}).
Déterminer de deux manières différentes le module de zz.
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48
FLASH

Donner l’argument principal des nombres complexes suivants.

1. z1=5z_{1}=5


2. z2=22z_{2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}


3. z3=53iz_{3}=\dfrac{5}{3} \mathrm{i}


4. z4=16iz_{4}=-\dfrac{1}{6} \mathrm{i}
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49
[Raisonner.]
[DÉMO]

Dans le plan complexe, on considère un point M\text{M} d’affixe z=x+iyz=x+\mathrm{i} y, où xx et yy sont deux réels.
Soient M1\mathrm{M}_{1}, M2\mathrm{M}_{2} et M3\mathrm{M}_{3} les points d’affixe respective z\overline z, z-z et z- \overline z. On pourra s’aider d’une figure.

1. a. Démontrer que, pour tout point A\text{A} de l’axe des réels, AM=AM1\mathrm{AM}=\mathrm{AM}_{1}.
Que peut-on en conclure pour l’axe des abscisses par rapport au segment [MM1]\left[\mathrm{MM}_{1}\right] ?


b. On considère la transformation du plan qui, à tout point M\text{M}, associe le point M1\mathrm{M}_{1}.
Quelle est la nature de cette transformation ?


2. a. Démontrer que le point O\text{O} d’affixe 00 est le milieu du segment [MM2]\left[\mathrm{MM}_{2}\right]


b. On considère la transformation du plan qui, à tout point M\text{M}, associe le point M2\mathrm{M}_{2}.
Quelle est la nature de cette transformation ?


3. a. Démontrer que, pour tout point B\text{B} de l’axe des imaginaires purs, BM=BM3\mathrm{BM}=\mathrm{BM}_{3}.
Que peut-on en conclure pour l’axe des ordonnées par rapport au segment [MM3]\left[\mathrm{MM}_{3}\right] ?


b. On considère la transformation du plan qui, à tout point M\text{M}, associe le point M3\mathrm{M}_{3}.
Quelle est la nature de cette transformation ?


4. Si A\text{ A} a pour affixe 3+2i3+2 \mathrm{i}, expliquer comment construire ses symétriques par rapport à chaque axe du repère.
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50
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}).
Soit A\text{A} le point d’affixe a=37ia=3-7\mathrm{i}.

1. Déterminer l’affixe de A1\mathrm{A}_1, symétrique de A\text{A} par rapport à l’axe des imaginaires purs.


2. Déterminer l’affixe de A2\mathrm{A}_2, symétrique de A\text{A} par rapport à O\text{O}.


3. Déterminer l’affixe de A3\mathrm{A}_3, symétrique de A\text{A} par rapport à l’axe des réels.
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Pour les exercices
51
à 
54


On considère le repère orthonormé et les points suivants.

Géométrie et nombres complexes

51
[Représenter.]
Donner l’affixe des points A\text{A}, B\text{B}, C\text{C}, D\text{D} et E\text{E}.
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52
[Calculer.]
Calculer le module de l’affixe de chaque point représenté dans le repère.
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53
[Calculer.]
1. Déterminer l’affixe des vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}.


2. En déduire l’affixe du vecteur 3ABAC3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.


3. Déterminer l’affixe du point F\text{F} tel que B\text{B} est le milieu du segment [FC][\mathrm{FC}].
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54
[Chercher.]
1. Déterminer l’affixe du point G\text{G} tel que AGED\text{AGED} est un parallélogramme.


2. Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme AGED\text{AGED}.
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55
[Calculer.] ◉◉
On considère le plan complexe. Démontrer de deux façons différentes que le quadrilatère ABCD\text{ABCD} est un parallélogramme avec A(5+2i)\mathrm{A}(5+2 \mathrm{i}), B(1+3i)\mathrm{B}(-1+3 \mathrm{i}), C(2i)\mathrm{C}(-2-\mathrm{i}) et D(42i)\mathrm{D}(4-2 \mathrm{i}).
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56
[Chercher.] ◉◉◉
Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points du plan complexe d’affixe respective a=3i1a=3 \mathrm{i}-1, b=2+ib=2+ \mathrm{i} et c=83ic=8-3 \mathrm{i}.

1. Démontrer que les points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} sont alignés.


2. Soit D\text{D} le point d’affixe 3i3- \mathrm{i}.
Déterminer l’affixe du point E\text{E} de l’axe des imaginaires purs tel que les droites (ED)(\mathrm{ED}) et (BC)(\mathrm{BC}) sont parallèles.
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57
[Chercher.]
1. H\text{H} est appelé barycentre des points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} affectés des coefficients respectifs 11 ; 1-1 et 33, lorsque :
1HA1HB+3HC=01 \overrightarrow{\mathrm{HA}}-1 \overrightarrow{\mathrm{HB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{0}.
Déterminer l’affixe de H\text{H} en fonction de celle des points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C}.


2. Le centre de gravité du triangle ABC\text{ABC} est le barycentre des points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} affectés chacun du coefficient 11.
Déterminer l’affixe du centre de gravité du triangle ABC\text{ABC} en fonction de celle des points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C}.
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58
[Calculer.]
Vérifier le résultat suivant obtenu avec une calculatrice.

Géométrie et nombres complexes

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59
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}).
Soit A\text{A} un point d’affixe aa vérifiant OA=4\mathrm{OA}=4.

1. Déterminer le module de l’affixe de A1\mathrm{A}_1, symétrique de A\text{A} par rapport à l’axe des imaginaires purs.


2. Déterminer le module de l’affixe de A2\mathrm{A}_2, symétrique de A\text{A} par rapport à O\text{O}.


3. Déterminer le module de l’affixe de A3\mathrm{A}_3, symétrique de A\text{A} par rapport à l’axe des réels.
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60
[Calculer.]
Soient les nombres complexes z=25+13iz=-\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3} \mathrm{i} et z=35iz^{\prime}=3-5 \mathrm{i}.
Calculer, puis vérifier à l’aide d’une calculatrice, le module des nombres complexes suivants.

1. zz


2. zz^\prime


3. iz-\mathrm{i}z


4. zˉ\bar z


5. z×z-z^{\prime} \times \overline{z}


6. z+2zz+2 z^{\prime}
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61
[Calculer.] ◉◉
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants.

1. z1=9+5iz_{1}=9+5 \mathrm{i}


2. z2=232iz_{2}=\dfrac{2}{3}-\sqrt{2} \mathrm{i}


3. z3=2+3+3iz_{3}=2+\sqrt{3}+3 \mathrm{i}


4. z4=5i53z_{4}=5 \mathrm{i}-\dfrac{\sqrt{5}}{3}
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62
PYTHON
[Modéliser.]
Voici un programme écrit en Python.

Géométrie et nombres complexes

1. À quoi cet algorithme sert‑il ?


2. Que l’algorithme retourne‑t‑il lorsque l’utilisateur entre les valeurs x=4x = -4 et y=3y = 3 ?
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63
[Raisonner.]
[DÉMO]

Dans le plan complexe, on considère deux nombres complexes z=x+iyz=x+\mathrm{i} y et z=x+iyz^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime} avec xx, yy, xx^{\prime} et yy^{\prime} des nombres réels.

1. Démontrer que z=z|\overline{z}|=|z| et z=z|-z|=|z|.


2. a. Démontrer que z×z=z×z\left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right|.


b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul nn, zn=zn\left|z^{n}\right|=|z|^{n}.


3. On suppose dans cette question que z0z^{\prime} \neq 0.
a. Exprimer la forme algébrique de zz\dfrac{z}{z^{\prime}} en fonction de xx, yy, xx^{\prime} et yy^{\prime}.


b. En déduire que zz=zz\left|\dfrac{z}{z^{\prime}}\right|=\dfrac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}.


c. En déduire alors que, pour tout nZn \in \mathbb{Z}^{*}, zn=zn\left|z^{n}\right|=|z|^{n}.
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64
[Calculer.] ◉◉
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants, puis vérifier le résultat à l’aide d’une calculatrice.

1. z1=(74i)(1+5i)z_{1}=(7-4 \mathrm{i})(1+5 \mathrm{i})


2. z2=(7+3i)4z_{2}=(\sqrt{7}+3 \mathrm{i})^{4}


3. z3=52+3iz_{3}=\dfrac{5}{2+3 \mathrm{i}}


4. z4=i33iz_{4}=\dfrac{-\mathrm{i}}{3-3 \mathrm{i}}


5. z5=5+3i1+iz_{5}=\dfrac{5+3 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}


6. z6=(2i4)21+2iz_{6}=\dfrac{(2 \mathrm{i}-4)^{2}}{-1+2 \mathrm{i}}
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65
[Représenter.] ◉◉
Dans un plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}), placer les points A\text{A}, B\text{B}, C\text{C}, D\text{D}, E\text{E} et F\text{F} d’affixe respective aa, bb, cc, dd, ee et ff et vérifiant les conditions suivantes, où kk désigne un entier relatif.

1. a=2|a|=2 et arg(a)=0+k×2π\arg (a)=0+k \times 2 \pi.


2. b=3|b|=3 et arg(b)=π2+k×2π\arg (b)=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi.


3. c=12|c|=\dfrac{1}{2} et arg(c)=π3+k×2π\arg (c)=-\dfrac{\pi}{3}+k \times 2 \pi.


4. d=5|d|=5 et arg(d)=3π4+k×2π\arg (d)=\dfrac{3\pi}{4}+k \times 2 \pi.


5. e=1|e|=1 et arg(e)=5π6+k×2π\arg (e)=-\dfrac{5\pi}{6}+k \times 2 \pi.


6. f=54|f|=\dfrac{5}{4} et arg(f)=π+k×2π\arg (f)=\pi+k \times 2 \pi.


Lancer le module Geogebra
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66
[Calculer.]
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Dans chaque cas, on donne une mesure en radian de l’angle orienté (u;OM)(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OM}}), où M\text{M} est le point d’affixe zz. Déterminer la mesure principale de arg(z)\arg (z).

1. π\pi


2. 2π2\pi


3. 3π2\dfrac{3 \pi}{2}


4. 17π3-\dfrac{17 \pi}{3}


5. 23π6\dfrac{23 \pi}{6}


6. 7π4-\dfrac{7 \pi}{4}


7. 12π3\dfrac{12 \pi}{3}


8. 9π2-\dfrac{9 \pi}{2}
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67
[Raisonner.] ◉◉
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Soit A\text{A} le point d’affixe aa vérifiant a=4|a|=4 et arg(a)=π6+k×2π\arg (a)=-\dfrac{\pi}{6}+k \times 2 \pi, où kZk \in \mathbb{Z}.

1. Déterminer le module et un argument de l’affixe de A1\mathrm{A}_1, symétrique de A\text{A} par rapport à l’axe des ordonnées.


2. Déterminer le module et un argument de l’affixe de A2\mathrm{A}_2, symétrique de A\text{A} par rapport à O\text{O}.


3. Déterminer le module et un argument de l’affixe de A3\mathrm{A}_3, symétrique de A\text{A} par rapport à l’axe des abscisses.
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68
[Représenter.]
On considère le graphique suivant dans lequel le triangle OFD\text{OFD} est équilatéral.

Géométrie et nombres complexes
En utilisant les données de la figure, déterminer, lorsque cela a un sens, l’argument principal de l’affixe de chaque point.
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69
[Calculer.] ◉◉
Soient A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} quatre points du plan complexe d’affixe respective aa, bb, cc et dd.
On donne, avec kZk \in \mathbb{Z}, (u;OA)=23π3+k×2π(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OA}})=\dfrac{23 \pi}{3}+k \times 2 \pi, (u;OB)=7π2+k×2π(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OB}})=-\dfrac{7 \pi}{2}+k \times 2 \pi, arg(c)=5π6+k×2π\arg (c)=\dfrac{5 \pi}{6}+k \times 2 \pi et arg(d)=3π4+k×2π\arg (d)=-\dfrac{3 \pi}{4}+k \times 2 \pi.

1. Déterminer la mesure principale de arg(a)\arg (a) puis de arg(b)\arg (b).


2. Donner une mesure en radian des angles orientés (u;OC)(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OC}}) et (u;OD)(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OD}}).
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