Chapitre 2
Entraînement 1
Géométrie et nombres complexes
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46
Flash
Soient \text{A} et \text{B} deux points du plan complexe d'affixe respective a=\frac{2}{3}-5 \mathrm{i} et b=3 \mathrm{i}-3.
Déterminer l'affixe du milieu \text{I} du segment [\mathrm{AB}].
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47
Flash
Soit z le nombre complexe z=(1-2 \mathrm{i})(5+3 \mathrm{i}).
Déterminer de deux manières différentes le module de z.
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48
Flash
Donner l'argument principal des nombres complexes suivants.
1. z_{1}=5
2. z_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
2. z_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
3. z_{3}=\frac{5}{3} \mathrm{i}
4. z_{4}=-\frac{1}{6} \mathrm{i}
4. z_{4}=-\frac{1}{6} \mathrm{i}
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49
Démo
[Raisonner.]
Dans le plan complexe, on considère un point \text{M} d'affixe z=x+\mathrm{i} y, où x et y sont deux réels.
Soient \mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2} et \mathrm{M}_{3} les points d'affixe respective \overline z, -z et - \overline z. On pourra s'aider d'une figure.
1. a. Démontrer que, pour tout point \text{A} de l'axe des réels, \mathrm{AM}=\mathrm{AM}_{1}.
Que peut-on en conclure pour l'axe des abscisses par rapport au segment \left[\mathrm{MM}_{1}\right] ?
b. On considère la transformation du plan qui, à tout point \text{M}, associe le point \mathrm{M}_{1}.
Quelle est la nature de cette transformation ?
2. a. Démontrer que le point \text{O} d'affixe 0 est le milieu du segment \left[\mathrm{MM}_{2}\right]
b. On considère la transformation du plan qui, à tout point \text{M}, associe le point \mathrm{M}_{2}.
Quelle est la nature de cette transformation ?
Que peut-on en conclure pour l'axe des abscisses par rapport au segment \left[\mathrm{MM}_{1}\right] ?
b. On considère la transformation du plan qui, à tout point \text{M}, associe le point \mathrm{M}_{1}.
Quelle est la nature de cette transformation ?
2. a. Démontrer que le point \text{O} d'affixe 0 est le milieu du segment \left[\mathrm{MM}_{2}\right]
b. On considère la transformation du plan qui, à tout point \text{M}, associe le point \mathrm{M}_{2}.
Quelle est la nature de cette transformation ?
3. a. Démontrer que, pour tout point \text{B} de l'axe des imaginaires purs, \mathrm{BM}=\mathrm{BM}_{3}.
Que peut-on en conclure pour l'axe des ordonnées par rapport au segment \left[\mathrm{MM}_{3}\right] ?
b. On considère la transformation du plan qui, à tout point \text{M}, associe le point \mathrm{M}_{3}.
Quelle est la nature de cette transformation ?
4. Si\text{ A} a pour affixe 3+2 \mathrm{i}, expliquer comment construire ses symétriques par rapport à chaque axe du repère.
Que peut-on en conclure pour l'axe des ordonnées par rapport au segment \left[\mathrm{MM}_{3}\right] ?
b. On considère la transformation du plan qui, à tout point \text{M}, associe le point \mathrm{M}_{3}.
Quelle est la nature de cette transformation ?
4. Si\text{ A} a pour affixe 3+2 \mathrm{i}, expliquer comment construire ses symétriques par rapport à chaque axe du repère.
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50
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}).
Soit \text{A} le point d'affixe a=3-7\mathrm{i}.
1. Déterminer l'affixe de \mathrm{A}_1, symétrique de \text{A} par rapport à l'axe des imaginaires purs.
2. Déterminer l'affixe de \mathrm{A}_2, symétrique de \text{A} par rapport à \text{O}.
2. Déterminer l'affixe de \mathrm{A}_2, symétrique de \text{A} par rapport à \text{O}.
3. Déterminer l'affixe de \mathrm{A}_3, symétrique de \text{A} par rapport à l'axe des réels.
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On considère le repère orthonormé et les points suivants.
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51
[Représenter.]
Donner l'affixe des points \text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D} et \text{E}.
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52
[Calculer.]
Calculer le module de l'affixe de chaque point représenté dans le repère.
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53
[Calculer.]
1. Déterminer l'affixe des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
2. En déduire l'affixe du vecteur 3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.
3. Déterminer l'affixe du point \text{F} tel que \text{B} est le milieu du segment [\mathrm{FC}].
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54
[Chercher.]
1. Déterminer l'affixe du point \text{G} tel que \text{AGED} est un parallélogramme.
2. Déterminer l'affixe du centre du parallélogramme \text{AGED}.
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55
[Calculer.]
On considère le plan complexe. Démontrer de deux façons différentes que le quadrilatère \text{ABCD} est un parallélogramme avec \mathrm{A}(5+2 \mathrm{i}), \mathrm{B}(-1+3 \mathrm{i}), \mathrm{C}(-2-\mathrm{i}) et \mathrm{D}(4-2 \mathrm{i}).
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57
[Chercher.]
1. \text{H} est appelé barycentre des points \text{A}, \text{B} et \text{C} affectés des coefficients respectifs 1 ; -1 et 3, lorsque :
1 \overrightarrow{\mathrm{HA}}-1 \overrightarrow{\mathrm{HB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{0}.
Déterminer l'affixe de \text{H} en fonction de celle des points \text{A}, \text{B} et \text{C}.2. Le centre de gravité du triangle \text{ABC} est le barycentre des points \text{A}, \text{B} et \text{C} affectés chacun du coefficient 1.
Déterminer l'affixe du centre de gravité du triangle \text{ABC} en fonction de celle des points \text{A}, \text{B} et \text{C}.
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56
[Chercher.]
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan complexe d'affixe respective a=3 \mathrm{i}-1, b=2+ \mathrm{i} et c=8-3 \mathrm{i}. 1. Démontrer que les points \text{A}, \text{B} et \text{C} sont alignés.
2. Soit \text{D} le point d'affixe 3- \mathrm{i}.
Déterminer l'affixe du point \text{E} de l'axe des imaginaires purs tel que les droites (\mathrm{ED}) et (\mathrm{BC}) sont parallèles.
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58
[Calculer.]
Vérifier le résultat suivant obtenu avec une calculatrice.
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59
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}).
Soit \text{A} un point d'affixe a vérifiant \mathrm{OA}=4.
1. Déterminer le module de l'affixe de \mathrm{A}_1, symétrique de \text{A} par rapport à l'axe des imaginaires purs.
2. Déterminer le module de l'affixe de \mathrm{A}_2, symétrique de \text{A} par rapport à \text{O}.
2. Déterminer le module de l'affixe de \mathrm{A}_2, symétrique de \text{A} par rapport à \text{O}.
3. Déterminer le module de l'affixe de \mathrm{A}_3, symétrique de \text{A} par rapport à l'axe des réels.
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60
[Calculer.]
Soient les nombres complexes z=-\frac{2}{5}+\frac{1}{3} \mathrm{i} et z^{\prime}=3-5 \mathrm{i}.
Calculer, puis vérifier à l'aide d'une calculatrice, le module des nombres complexes suivants.
1. z
2. z^\prime
3. -\mathrm{i}z
2. z^\prime
3. -\mathrm{i}z
4. \bar z
5. -z^{\prime} \times \overline{z}
6. z+2 z^{\prime}
5. -z^{\prime} \times \overline{z}
6. z+2 z^{\prime}
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61
[Calculer.]
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants.
1. z_{1}=9+5 \mathrm{i}
2. z_{2}=\frac{2}{3}-\sqrt{2} \mathrm{i}
2. z_{2}=\frac{2}{3}-\sqrt{2} \mathrm{i}
3. z_{3}=2+\sqrt{3}+3 \mathrm{i}
4. z_{4}=5 \mathrm{i}-\frac{\sqrt{5}}{3}
4. z_{4}=5 \mathrm{i}-\frac{\sqrt{5}}{3}
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62
Python
[Modéliser.]
Voici un programme écrit en Python.
1. À quoi cet algorithme sert‑il ?
2. Que l'algorithme retourne‑t‑il lorsque l'utilisateur entre les valeurs x = -4 et y = 3 ?
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63
Démo
[Raisonner.]
Dans le plan complexe, on considère deux nombres complexes z=x+\mathrm{i} y et z^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime} avec x, y, x^{\prime} et y^{\prime} des nombres réels. 1. Démontrer que |\overline{z}|=|z| et |-z|=|z|.
2. a. Démontrer que \left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right|.
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, \left|z^{n}\right|=|z|^{n}.
3. On suppose dans cette question que z^{\prime} \neq 0.
a. Exprimer la forme algébrique de \frac{z}{z^{\prime}} en fonction de x, y, x^{\prime} et y^{\prime}.
b. En déduire que \left|\frac{z}{z^{\prime}}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}.
c. En déduire alors que, pour tout n \in \mathbb{Z}^{*}, \left|z^{n}\right|=|z|^{n}.
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64
[Calculer.]
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants, puis vérifier le résultat à l'aide d'une calculatrice. 1. z_{1}=(7-4 \mathrm{i})(1+5 \mathrm{i})
2. z_{2}=(\sqrt{7}+3 \mathrm{i})^{4}
3. z_{3}=\frac{5}{2+3 \mathrm{i}}
4. z_{4}=\frac{-\mathrm{i}}{3-3 \mathrm{i}}
5. z_{5}=\frac{5+3 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}
6. z_{6}=\frac{(2 \mathrm{i}-4)^{2}}{-1+2 \mathrm{i}}
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65
[Représenter.]
Dans un plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}), placer les points \text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}, \text{E} et \text{F} d'affixe respective a, b, c, d, e et f et vérifiant les conditions suivantes, où k désigne un entier relatif.
1. |a|=2 et \arg (a)=0+k \times 2 \pi.
2. |b|=3 et \arg (b)=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi.
3. |c|=\frac{1}{2} et \arg (c)=-\frac{\pi}{3}+k \times 2 \pi.
4. |d|=5 et \arg (d)=\frac{3\pi}{4}+k \times 2 \pi.
5. |e|=1 et \arg (e)=-\frac{5\pi}{6}+k \times 2 \pi.
6. |f|=\frac{5}{4} et \arg (f)=\pi+k \times 2 \pi.
2. |b|=3 et \arg (b)=-\frac{\pi}{2}+k \times 2 \pi.
3. |c|=\frac{1}{2} et \arg (c)=-\frac{\pi}{3}+k \times 2 \pi.
4. |d|=5 et \arg (d)=\frac{3\pi}{4}+k \times 2 \pi.
5. |e|=1 et \arg (e)=-\frac{5\pi}{6}+k \times 2 \pi.
6. |f|=\frac{5}{4} et \arg (f)=\pi+k \times 2 \pi.
GeoGebra
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66
[Calculer.]
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Dans chaque cas, on donne une mesure en radian de l'angle orienté (\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OM}}), où \text{M} est le point d'affixe z. Déterminer la mesure principale de \arg (z). 1. \pi
2. 2\pi
3. \frac{3 \pi}{2}
4. -\frac{17 \pi}{3}
5. \frac{23 \pi}{6}
6. -\frac{7 \pi}{4}
7. \frac{12 \pi}{3}
8. -\frac{9 \pi}{2}
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67
[Raisonner.]
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Soit \text{A} le point d'affixe a vérifiant |a|=4 et \arg (a)=-\frac{\pi}{6}+k \times 2 \pi, où k \in \mathbb{Z}. 1. Déterminer le module et un argument de l'affixe de \mathrm{A}_1, symétrique de \text{A} par rapport à l'axe des ordonnées.
2. Déterminer le module et un argument de l'affixe de \mathrm{A}_2, symétrique de \text{A} par rapport à \text{O}.
3. Déterminer le module et un argument de l'affixe de \mathrm{A}_3, symétrique de \text{A} par rapport à l'axe des abscisses.
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[Représenter.]
On considère le graphique suivant dans lequel le triangle \text{OFD} est équilatéral.
En utilisant les données de la figure, déterminer, lorsque cela a un sens, l'argument principal de l'affixe de chaque point.
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69
[Calculer.]
Soient \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} quatre points du plan complexe d'affixe respective a, b, c et d.
On donne, avec k \in \mathbb{Z}, (\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OA}})=\frac{23 \pi}{3}+k \times 2 \pi, (\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OB}})=-\frac{7 \pi}{2}+k \times 2 \pi, \arg (c)=\frac{5 \pi}{6}+k \times 2 \pi et \arg (d)=-\frac{3 \pi}{4}+k \times 2 \pi.
1. Déterminer la mesure principale de \arg (a) puis de \arg (b).
2. Donner une mesure en radian des angles orientés (\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OC}}) et (\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OD}}).
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