1

Géométrie et nombres complexes

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

46

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux points du plan complexe d’affixe respective $a=\dfrac{2}{3}-5 \mathrm{i}$ et $b=3 \mathrm{i}-3$.
Déterminer l’affixe du milieu $\text{I}$ du segment $[\mathrm{AB}]$.

47

Soit $z$ le nombre complexe $z=(1-2 \mathrm{i})(5+3 \mathrm{i})$.
Déterminer de deux manières différentes le module de $z$.

48

Donner l’argument principal des nombres complexes suivants.

1. $z_{1}=5$


2. $z_{2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$


3. $z_{3}=\dfrac{5}{3} \mathrm{i}$


4. $z_{4}=-\dfrac{1}{6} \mathrm{i}$

49

[Raisonner.]

[DÉMO]

Dans le plan complexe, on considère un point $\text{M}$ d’affixe $z=x+\mathrm{i} y$, où $x$ et $y$ sont deux réels.
Soient $\mathrm{M}_{1}$, $\mathrm{M}_{2}$ et $\mathrm{M}_{3}$ les points d’affixe respective $\overline z$, $-z$ et $- \overline z$. On pourra s’aider d’une figure.

1. a. Démontrer que, pour tout point $\text{A}$ de l’axe des réels, $\mathrm{AM}=\mathrm{AM}_{1}$.
Que peut-on en conclure pour l’axe des abscisses par rapport au segment $\left[\mathrm{MM}_{1}\right]$ ?


b. On considère la transformation du plan qui, à tout point $\text{M}$, associe le point $\mathrm{M}_{1}$.
Quelle est la nature de cette transformation ?


2. a. Démontrer que le point $\text{O}$ d’affixe $0$ est le milieu du segment $\left[\mathrm{MM}_{2}\right]$


b. On considère la transformation du plan qui, à tout point $\text{M}$, associe le point $\mathrm{M}_{2}$.
Quelle est la nature de cette transformation ?


3. a. Démontrer que, pour tout point $\text{B}$ de l’axe des imaginaires purs, $\mathrm{BM}=\mathrm{BM}_{3}$.
Que peut-on en conclure pour l’axe des ordonnées par rapport au segment $\left[\mathrm{MM}_{3}\right]$ ?


b. On considère la transformation du plan qui, à tout point $\text{M}$, associe le point $\mathrm{M}_{3}$.
Quelle est la nature de cette transformation ?


4. Si$\text{ A}$ a pour affixe $3+2 \mathrm{i}$, expliquer comment construire ses symétriques par rapport à chaque axe du repère.

50

[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v})$.
Soit $\text{A}$ le point d’affixe $a=3-7\mathrm{i}$.

1. Déterminer l’affixe de $\mathrm{A}_1$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à l’axe des imaginaires purs.


2. Déterminer l’affixe de $\mathrm{A}_2$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à $\text{O}$.


3. Déterminer l’affixe de $\mathrm{A}_3$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à l’axe des réels.

Pour les exercices

51

à 

54

On considère le repère orthonormé et les points suivants.

51

[Représenter.]
Donner l’affixe des points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$ et $\text{E}$.

52

[Calculer.]
Calculer le module de l’affixe de chaque point représenté dans le repère.

53

[Calculer.]
1. Déterminer l’affixe des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.


2. En déduire l’affixe du vecteur $3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.


3. Déterminer l’affixe du point $\text{F}$ tel que $\text{B}$ est le milieu du segment $[\mathrm{FC}]$.

54

[Chercher.]
1. Déterminer l’affixe du point $\text{G}$ tel que $\text{AGED}$ est un parallélogramme.


2. Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme $\text{AGED}$.

55

[Calculer.] ◉◉◉
On considère le plan complexe. Démontrer de deux façons différentes que le quadrilatère $\text{ABCD}$ est un parallélogramme avec $\mathrm{A}(5+2 \mathrm{i})$, $\mathrm{B}(-1+3 \mathrm{i})$, $\mathrm{C}(-2-\mathrm{i})$ et $\mathrm{D}(4-2 \mathrm{i})$.

56

[Chercher.] ◉◉◉
Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points du plan complexe d’affixe respective $a=3 \mathrm{i}-1$, $b=2+ \mathrm{i}$ et $c=8-3 \mathrm{i}$.

1. Démontrer que les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ sont alignés.


2. Soit $\text{D}$ le point d’affixe $3- \mathrm{i}$.
Déterminer l’affixe du point $\text{E}$ de l’axe des imaginaires purs tel que les droites $(\mathrm{ED})$ et $(\mathrm{BC})$ sont parallèles.

57

[Chercher.]
1. $\text{H}$ est appelé barycentre des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ affectés des coefficients respectifs $1$ ; $-1$ et $3$, lorsque :
$1 \overrightarrow{\mathrm{HA}}-1 \overrightarrow{\mathrm{HB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{0}$. Déterminer l’affixe de $\text{H}$ en fonction de celle des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$.


2. Le centre de gravité du triangle $\text{ABC}$ est le barycentre des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ affectés chacun du coefficient $1$.
Déterminer l’affixe du centre de gravité du triangle $\text{ABC}$ en fonction de celle des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$.

58

[Calculer.]
Vérifier le résultat suivant obtenu avec une calculatrice.

59

[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v})$.
Soit $\text{A}$ un point d’affixe $a$ vérifiant $\mathrm{OA}=4$.

1. Déterminer le module de l’affixe de $\mathrm{A}_1$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à l’axe des imaginaires purs.


2. Déterminer le module de l’affixe de $\mathrm{A}_2$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à $\text{O}$.


3. Déterminer le module de l’affixe de $\mathrm{A}_3$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à l’axe des réels.

60

[Calculer.]
Soient les nombres complexes $z=-\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3} \mathrm{i}$ et $z^{\prime}=3-5 \mathrm{i}$.
Calculer, puis vérifier à l’aide d’une calculatrice, le module des nombres complexes suivants.

1. $z$


2. $z^\prime$


3. $-\mathrm{i}z$


4. $\bar z$


5. $-z^{\prime} \times \overline{z}$


6. $z+2 z^{\prime}$

61

[Calculer.] ◉◉◉
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants.

1. $z_{1}=9+5 \mathrm{i}$


2. $z_{2}=\dfrac{2}{3}-\sqrt{2} \mathrm{i}$


3. $z_{3}=2+\sqrt{3}+3 \mathrm{i}$


4. $z_{4}=5 \mathrm{i}-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

62

PYTHON

[Modéliser.]
Voici un programme écrit en Python.

1. À quoi cet algorithme sert‑il ?


2. Que l’algorithme retourne‑t‑il lorsque l’utilisateur entre les valeurs $x = -4$ et $y = 3$ ?

63

[Raisonner.]

[DÉMO]

Dans le plan complexe, on considère deux nombres complexes $z=x+\mathrm{i} y$ et $z^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime}$ avec $x$, $y$, $x^{\prime}$ et $y^{\prime}$ des nombres réels.

1. Démontrer que $|\overline{z}|=|z|$ et $|-z|=|z|$.


2. a. Démontrer que $\left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right|$.


b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, $\left|z^{n}\right|=|z|^{n}$.


3. On suppose dans cette question que $z^{\prime} \neq 0$.
a. Exprimer la forme algébrique de $\dfrac{z}{z^{\prime}}$ en fonction de $x$, $y$, $x^{\prime}$ et $y^{\prime}$.


b. En déduire que $\left|\dfrac{z}{z^{\prime}}\right|=\dfrac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}$.


c. En déduire alors que, pour tout $n \in \mathbb{Z}^{*}$, $\left|z^{n}\right|=|z|^{n}$.

64

[Calculer.] ◉◉◉
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants, puis vérifier le résultat à l’aide d’une calculatrice.

1. $z_{1}=(7-4 \mathrm{i})(1+5 \mathrm{i})$


2. $z_{2}=(\sqrt{7}+3 \mathrm{i})^{4}$


3. $z_{3}=\dfrac{5}{2+3 \mathrm{i}}$


4. $z_{4}=\dfrac{-\mathrm{i}}{3-3 \mathrm{i}}$


5. $z_{5}=\dfrac{5+3 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$


6. $z_{6}=\dfrac{(2 \mathrm{i}-4)^{2}}{-1+2 \mathrm{i}}$

65

[Représenter.] ◉◉◉
Dans un plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v})$, placer les points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$, $\text{E}$ et $\text{F}$ d’affixe respective $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ et vérifiant les conditions suivantes, où $k$ désigne un entier relatif.

1. $|a|=2$ et $\arg (a)=0+k \times 2 \pi$.


2. $|b|=3$ et $\arg (b)=-\dfrac{\pi}{2}+k \times 2 \pi$.


3. $|c|=\dfrac{1}{2}$ et $\arg (c)=-\dfrac{\pi}{3}+k \times 2 \pi$.


4. $|d|=5$ et $\arg (d)=\dfrac{3\pi}{4}+k \times 2 \pi$.


5. $|e|=1$ et $\arg (e)=-\dfrac{5\pi}{6}+k \times 2 \pi$.


6. $|f|=\dfrac{5}{4}$ et $\arg (f)=\pi+k \times 2 \pi$.

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66

[Calculer.]
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v})$. Dans chaque cas, on donne une mesure en radian de l’angle orienté $(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OM}})$, où $\text{M}$ est le point d’affixe $z$. Déterminer la mesure principale de $\arg (z)$.

1. $\pi$


2. $2\pi$


3. $\dfrac{3 \pi}{2}$


4. $-\dfrac{17 \pi}{3}$


5. $\dfrac{23 \pi}{6}$


6. $-\dfrac{7 \pi}{4}$


7. $\dfrac{12 \pi}{3}$


8. $-\dfrac{9 \pi}{2}$

67

[Raisonner.] ◉◉◉
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v})$. Soit $\text{A}$ le point d’affixe $a$ vérifiant $|a|=4$ et $\arg (a)=-\dfrac{\pi}{6}+k \times 2 \pi$, où $k \in \mathbb{Z}$.

1. Déterminer le module et un argument de l’affixe de $\mathrm{A}_1$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à l’axe des ordonnées.


2. Déterminer le module et un argument de l’affixe de $\mathrm{A}_2$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à $\text{O}$.


3. Déterminer le module et un argument de l’affixe de $\mathrm{A}_3$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à l’axe des abscisses.

68

[Représenter.]
On considère le graphique suivant dans lequel le triangle $\text{OFD}$ est équilatéral.

En utilisant les données de la figure, déterminer, lorsque cela a un sens, l’argument principal de l’affixe de chaque point.

69

[Calculer.] ◉◉◉
Soient $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ quatre points du plan complexe d’affixe respective $a$, $b$, $c$ et $d$.
$$ On donne, avec $k \in \mathbb{Z}$, $(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OA}})=\dfrac{23 \pi}{3}+k \times 2 \pi$, $(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OB}})=-\dfrac{7 \pi}{2}+k \times 2 \pi$, $\arg (c)=\dfrac{5 \pi}{6}+k \times 2 \pi$ et $\arg (d)=-\dfrac{3 \pi}{4}+k \times 2 \pi$.

1. Déterminer la mesure principale de $\arg (a)$ puis de $\arg (b)$.


2. Donner une mesure en radian des angles orientés $(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OC}})$ et $(\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OD}})$.