Géométrie et nombres complexes

Parcours 1 : exercices

50

 ;

61

 ;

65

 ;

67

 ;

75

 ;

88

 ;

112

 ;

126

et

128

Parcours 2 : exercices

55

 ;

64

 ;

69

 ;

76

 ;

79

 ;

92

 ;

113

et

130

Parcours 3 : exercices

56

 ;

83

 ;

84

 ;

97

 ;

103

 ;

115

 ;

123

et

127

46

Soient \text{A} et \text{B} deux points du plan complexe d'affixe respective a=\frac{2}{3}-5 \mathrm{i} et b=3 \mathrm{i}-3.
Déterminer l'affixe du milieu \text{I} du segment [\mathrm{AB}].

47

Soit z le nombre complexe z=(1-2 \mathrm{i})(5+3 \mathrm{i}).
Déterminer de deux manières différentes le module de z.

51

[Représenter.]
Donner l'affixe des points \text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D} et \text{E}.

52

[Calculer.]
Calculer le module de l'affixe de chaque point représenté dans le repère.

53

[Calculer.]
1. Déterminer l'affixe des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

2. En déduire l'affixe du vecteur 3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}.

3. Déterminer l'affixe du point \text{F} tel que \text{B} est le milieu du segment [\mathrm{FC}].

54

[Chercher.]
1. Déterminer l'affixe du point \text{G} tel que \text{AGED} est un parallélogramme.

2. Déterminer l'affixe du centre du parallélogramme \text{AGED}.

57

[Chercher.]
1. \text{H} est appelé barycentre des points \text{A}, \text{B} et \text{C} affectés des coefficients respectifs 1 ; -1 et 3, lorsque :

1 \overrightarrow{\mathrm{HA}}-1 \overrightarrow{\mathrm{HB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{0}.

Déterminer l'affixe de \text{H} en fonction de celle des points \text{A}, \text{B} et \text{C}.

2. Le centre de gravité du triangle \text{ABC} est le barycentre des points \text{A}, \text{B} et \text{C} affectés chacun du coefficient 1.
Déterminer l'affixe du centre de gravité du triangle \text{ABC} en fonction de celle des points \text{A}, \text{B} et \text{C}.

58

[Calculer.]
Vérifier le résultat suivant obtenu avec une calculatrice.

63

[Raisonner.]
Dans le plan complexe, on considère deux nombres complexes z=x+\mathrm{i} y et z^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime} avec x, y, x^{\prime} et y^{\prime} des nombres réels. 1. Démontrer que |\overline{z}|=|z| et |-z|=|z|.

2. a. Démontrer que \left|z \times z^{\prime}\right|=|z| \times\left|z^{\prime}\right|.

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, \left|z^{n}\right|=|z|^{n}.

3. On suppose dans cette question que z^{\prime} \neq 0.
a. Exprimer la forme algébrique de \frac{z}{z^{\prime}} en fonction de x, y, x^{\prime} et y^{\prime}.

b. En déduire que \left|\frac{z}{z^{\prime}}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}.

c. En déduire alors que, pour tout n \in \mathbb{Z}^{*}, \left|z^{n}\right|=|z|^{n}.

64

[Calculer.]
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants, puis vérifier le résultat à l'aide d'une calculatrice. 1. z_{1}=(7-4 \mathrm{i})(1+5 \mathrm{i})

2. z_{2}=(\sqrt{7}+3 \mathrm{i})^{4}

3. z_{3}=\frac{5}{2+3 \mathrm{i}}

4. z_{4}=\frac{-\mathrm{i}}{3-3 \mathrm{i}}

5. z_{5}=\frac{5+3 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}

6. z_{6}=\frac{(2 \mathrm{i}-4)^{2}}{-1+2 \mathrm{i}}

66

[Calculer.]
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v}). Dans chaque cas, on donne une mesure en radian de l'angle orienté (\overrightarrow{u}\,;\overrightarrow{\mathrm{OM}}), où \text{M} est le point d'affixe z. Déterminer la mesure principale de \arg (z). 1. \pi

2. 2\pi

3. \frac{3 \pi}{2}

4. -\frac{17 \pi}{3}

5. \frac{23 \pi}{6}

6. -\frac{7 \pi}{4}

7. \frac{12 \pi}{3}

8. -\frac{9 \pi}{2}

68

[Représenter.]
On considère le graphique suivant dans lequel le triangle \text{OFD} est équilatéral.


En utilisant les données de la figure, déterminer, lorsque cela a un sens, l'argument principal de l'affixe de chaque point.