1

Géométrie et nombres complexes

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

46

Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux points du plan complexe d’affixe respective $a=\frac{2}{3}-5\mathrm{i}$ et $b=3\mathrm{i}-3$.
Déterminer l’affixe du milieu $\text{I}$ du segment $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$.

47

Soit $z$ le nombre complexe $z=(1-2\mathrm{i})(5+3\mathrm{i})$.
Déterminer de deux manières différentes le module de $z$.

48

Donner l’argument principal des nombres complexes suivants.

1. $z_1=5$


2. $z_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$


3. $z_3=\frac{5}{3}\mathrm{i}$


4. $z_4=-\frac{1}{6}\mathrm{i}$

49

[Raisonner.]

[DÉMO]

Dans le plan complexe, on considère un point $\text{M}$ d’affixe $z=x+\mathrm{i}y$, où $x$ et $y$ sont deux réels.
Soient ${\mathrm{M}}_1$, ${\mathrm{M}}_2$ et ${\mathrm{M}}_3$ les points d’affixe respective $\overline{z}$, $-z$ et $-\overline{z}$. On pourra s’aider d’une figure.

1. a. Démontrer que, pour tout point $\text{A}$ de l’axe des réels, $\mathrm{A}\mathrm{M}={\mathrm{A}\mathrm{M}}_1$.
Que peut-on en conclure pour l’axe des abscisses par rapport au segment $\left[{\mathrm{M}\mathrm{M}}_1\right]$ ?


b. On considère la transformation du plan qui, à tout point $\text{M}$, associe le point ${\mathrm{M}}_1$.
Quelle est la nature de cette transformation ?


2. a. Démontrer que le point $\text{O}$ d’affixe $0$ est le milieu du segment $\left[{\mathrm{M}\mathrm{M}}_2\right]$


b. On considère la transformation du plan qui, à tout point $\text{M}$, associe le point ${\mathrm{M}}_2$.
Quelle est la nature de cette transformation ?


3. a. Démontrer que, pour tout point $\text{B}$ de l’axe des imaginaires purs, $\mathrm{B}\mathrm{M}={\mathrm{B}\mathrm{M}}_3$.
Que peut-on en conclure pour l’axe des ordonnées par rapport au segment $\left[{\mathrm{M}\mathrm{M}}_3\right]$ ?


b. On considère la transformation du plan qui, à tout point $\text{M}$, associe le point ${\mathrm{M}}_3$.
Quelle est la nature de cette transformation ?


4. Si$\text{ A}$ a pour affixe $3+2\mathrm{i}$, expliquer comment construire ses symétriques par rapport à chaque axe du repère.

50

[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
Soit $\text{A}$ le point d’affixe $a=3-7\mathrm{i}$.

1. Déterminer l’affixe de ${\mathrm{A}}_1$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à l’axe des imaginaires purs.


2. Déterminer l’affixe de ${\mathrm{A}}_2$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à $\text{O}$.


3. Déterminer l’affixe de ${\mathrm{A}}_3$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à l’axe des réels.

Pour les exercices

51

à 

54

On considère le repère orthonormé et les points suivants.

51

[Représenter.]
Donner l’affixe des points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$ et $\text{E}$.

52

[Calculer.]
Calculer le module de l’affixe de chaque point représenté dans le repère.

53

[Calculer.]
1. Déterminer l’affixe des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$.


2. En déduire l’affixe du vecteur $3\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$.


3. Déterminer l’affixe du point $\text{F}$ tel que $\text{B}$ est le milieu du segment $[\mathrm{F}\mathrm{C}]$.

54

[Chercher.]
1. Déterminer l’affixe du point $\text{G}$ tel que $\text{AGED}$ est un parallélogramme.


2. Déterminer l’affixe du centre du parallélogramme $\text{AGED}$.

55

[Calculer.] ◉◉◉
On considère le plan complexe. Démontrer de deux façons différentes que le quadrilatère $\text{ABCD}$ est un parallélogramme avec $\mathrm{A}(5+2\mathrm{i})$, $\mathrm{B}(-1+3\mathrm{i})$, $\mathrm{C}(-2-\mathrm{i})$ et $\mathrm{D}(4-2\mathrm{i})$.

56

[Chercher.] ◉◉◉
Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points du plan complexe d’affixe respective $a=3\mathrm{i}-1$, $b=2+\mathrm{i}$ et $c=8-3\mathrm{i}$.

1. Démontrer que les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ sont alignés.


2. Soit $\text{D}$ le point d’affixe $3-\mathrm{i}$.
Déterminer l’affixe du point $\text{E}$ de l’axe des imaginaires purs tel que les droites $(\mathrm{E}\mathrm{D})$ et $(\mathrm{B}\mathrm{C})$ sont parallèles.

57

[Chercher.]
1. $\text{H}$ est appelé barycentre des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ affectés des coefficients respectifs $1$ ; $-1$ et $3$, lorsque :
$1\overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{A}}-1\overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{B}}+3\overrightarrow{\mathrm{H}\mathrm{C}}=\overrightarrow{0}$. Déterminer l’affixe de $\text{H}$ en fonction de celle des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$.


2. Le centre de gravité du triangle $\text{ABC}$ est le barycentre des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ affectés chacun du coefficient $1$.
Déterminer l’affixe du centre de gravité du triangle $\text{ABC}$ en fonction de celle des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$.

58

[Calculer.]
Vérifier le résultat suivant obtenu avec une calculatrice.

59

[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
Soit $\text{A}$ un point d’affixe $a$ vérifiant $\mathrm{O}\mathrm{A}=4$.

1. Déterminer le module de l’affixe de ${\mathrm{A}}_1$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à l’axe des imaginaires purs.


2. Déterminer le module de l’affixe de ${\mathrm{A}}_2$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à $\text{O}$.


3. Déterminer le module de l’affixe de ${\mathrm{A}}_3$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à l’axe des réels.

60

[Calculer.]
Soient les nombres complexes $z=-\frac{2}{5}+\frac{1}{3}\mathrm{i}$ et $z^{\prime }=3-5\mathrm{i}$.
Calculer, puis vérifier à l’aide d’une calculatrice, le module des nombres complexes suivants.

1. $z$


2. $z^{\prime }$


3. $-\mathrm{i}z$


4. $\bar{z}$


5. $-z^{\prime }\times \overline{z}$


6. $z+2z^{\prime }$

61

[Calculer.] ◉◉◉
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants.

1. $z_1=9+5\mathrm{i}$


2. $z_2=\frac{2}{3}-\sqrt{2}\mathrm{i}$


3. $z_3=2+\sqrt{3}+3\mathrm{i}$


4. $z_4=5\mathrm{i}-\frac{\sqrt{5}}{3}$

62

PYTHON

[Modéliser.]
Voici un programme écrit en Python.

1. À quoi cet algorithme sert‑il ?


2. Que l’algorithme retourne‑t‑il lorsque l’utilisateur entre les valeurs $x=-4$ et $y=3$ ?

63

[Raisonner.]

[DÉMO]

Dans le plan complexe, on considère deux nombres complexes $z=x+\mathrm{i}y$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+\mathrm{i}{y}^{\prime }$ avec $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ des nombres réels.

1. Démontrer que $|\overline{z}|=|z|$ et $|-z|=|z|$.


2. a. Démontrer que $\left|z\times z^{\prime }\right|=|z|\times \left|z^{\prime }\right|$.


b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, $\left|z^n\right|=|z{|}^n$.


3. On suppose dans cette question que $z^{\prime }\ne 0$.
a. Exprimer la forme algébrique de $\frac{z}{z^{\prime }}$ en fonction de $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$.


b. En déduire que $\left|\frac{z}{z^{\prime }}\right|=\frac{|z|}{\left|z^{\prime }\right|}$.


c. En déduire alors que, pour tout $n\in {\mathbb{Z}}^{\ast }$, $\left|z^n\right|=|z{|}^n$.

64

[Calculer.] ◉◉◉
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants, puis vérifier le résultat à l’aide d’une calculatrice.

1. $z_1=(7-4\mathrm{i})(1+5\mathrm{i})$


2. $z_2=(\sqrt{7}+3\mathrm{i}{)}^4$


3. $z_3=\frac{5}{2+3\mathrm{i}}$


4. $z_4=\frac{-\mathrm{i}}{3-3\mathrm{i}}$


5. $z_5=\frac{5+3\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$


6. $z_6=\frac{(2\mathrm{i}-4{)}^2}{-1+2\mathrm{i}}$

65

[Représenter.] ◉◉◉
Dans un plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, placer les points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$, $\text{E}$ et $\text{F}$ d’affixe respective $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ et vérifiant les conditions suivantes, où $k$ désigne un entier relatif.

1. $|a|=2$ et $\arg (a)=0+k\times 2\pi$.


2. $|b|=3$ et $\arg (b)=-\frac{\pi }{2}+k\times 2\pi$.


3. $|c|=\frac{1}{2}$ et $\arg (c)=-\frac{\pi }{3}+k\times 2\pi$.


4. $|d|=5$ et $\arg (d)=\frac{3\pi }{4}+k\times 2\pi$.


5. $|e|=1$ et $\arg (e)=-\frac{5\pi }{6}+k\times 2\pi$.


6. $|f|=\frac{5}{4}$ et $\arg (f)=\pi +k\times 2\pi$.

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66

[Calculer.]
On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Dans chaque cas, on donne une mesure en radian de l’angle orienté $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})$, où $\text{M}$ est le point d’affixe $z$. Déterminer la mesure principale de $\arg (z)$.

1. $\pi$


2. $2\pi$


3. $\frac{3\pi }{2}$


4. $-\frac{17\pi }{3}$


5. $\frac{23\pi }{6}$


6. $-\frac{7\pi }{4}$


7. $\frac{12\pi }{3}$


8. $-\frac{9\pi }{2}$

67

[Raisonner.] ◉◉◉
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Soit $\text{A}$ le point d’affixe $a$ vérifiant $|a|=4$ et $\arg (a)=-\frac{\pi }{6}+k\times 2\pi$, où $k\in \mathbb{Z}$.

1. Déterminer le module et un argument de l’affixe de ${\mathrm{A}}_1$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à l’axe des ordonnées.


2. Déterminer le module et un argument de l’affixe de ${\mathrm{A}}_2$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à $\text{O}$.


3. Déterminer le module et un argument de l’affixe de ${\mathrm{A}}_3$, symétrique de $\text{A}$ par rapport à l’axe des abscisses.

68

[Représenter.]
On considère le graphique suivant dans lequel le triangle $\text{OFD}$ est équilatéral.

En utilisant les données de la figure, déterminer, lorsque cela a un sens, l’argument principal de l’affixe de chaque point.

69

[Calculer.] ◉◉◉
Soient $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ quatre points du plan complexe d’affixe respective $a$, $b$, $c$ et $d$.
On donne, avec $k\in \mathbb{Z}$, $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}})=\frac{23\pi }{3}+k\times 2\pi$, $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}})=-\frac{7\pi }{2}+k\times 2\pi$, $\arg (c)=\frac{5\pi }{6}+k\times 2\pi$ et $\arg (d)=-\frac{3\pi }{4}+k\times 2\pi$.

1. Déterminer la mesure principale de $\arg (a)$ puis de $\arg (b)$.


2. Donner une mesure en radian des angles orientés $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}})$ et $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{D}})$.