Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 2

Entraînement 1

Géométrie et nombres complexes

Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

112

;

126

128

Parcours 2 : exercices

;

113

130

Parcours 3 : exercices

;

103

;

115

;

123

127

Flash

Soient

A

B

deux points du plan complexe d'affixe respective

a = \frac{2}{3} - 5 i

b = 3 i - 3

.
Déterminer l'affixe du milieu

I

du segment

[A B]

Flash

Soit

z

le nombre complexe

z = (1 - 2 i) (5 + 3 i)

.
Déterminer de deux manières différentes le module de

z

Flash

Donner l'argument principal des nombres complexes suivants.

z_{1} = 5

z_{2} = - \frac{2}{2}

z_{3} = \frac{5}{3} i

z_{4} = - \frac{1}{6} i

Démo

[Raisonner.]
Dans le plan complexe, on considère un point

M

d'affixe

z = x + i y

, où

x

y

sont deux réels.
Soient

M_{1}

M_{2}

M_{3}

les points d'affixe respective

\overline{z}

- z

- \overline{z}

. On pourra s'aider d'une figure.

1. a. Démontrer que, pour tout point

A

de l'axe des réels,

A M = A M_{1}

.
Que peut-on en conclure pour l'axe des abscisses par rapport au segment

[M M_{1}]

b. On considère la transformation du plan qui, à tout point

M

, associe le point

M_{1}

.
Quelle est la nature de cette transformation ?

2. a. Démontrer que le point

O

d'affixe

0

est le milieu du segment

[M M_{2}]

b. On considère la transformation du plan qui, à tout point

M

, associe le point

M_{2}

.
Quelle est la nature de cette transformation ?

3. a. Démontrer que, pour tout point

B

de l'axe des imaginaires purs,

B M = B M_{3}

.
Que peut-on en conclure pour l'axe des ordonnées par rapport au segment

[M M_{3}]

b. On considère la transformation du plan qui, à tout point

M

, associe le point

M_{3}

.
Quelle est la nature de cette transformation ?

4. Si

A

a pour affixe

3 + 2 i

, expliquer comment construire ses symétriques par rapport à chaque axe du repère.

50
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct

(O; u, v)

.
Soit

A

le point d'affixe

a = 3 - 7 i

1. Déterminer l'affixe de

A_{1}

, symétrique de

A

par rapport à l'axe des imaginaires purs.

2. Déterminer l'affixe de

A_{2}

, symétrique de

A

par rapport à

O

3. Déterminer l'affixe de

A_{3}

, symétrique de

A

par rapport à l'axe des réels.

Pour les exercices
51
à
54

On considère le repère orthonormé et les points suivants.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

51
[Représenter.]
Donner l'affixe des points

A

B

C

D

E

52
[Calculer.]
Calculer le module de l'affixe de chaque point représenté dans le repère.

53
[Calculer.]
1. Déterminer l'affixe des vecteurs

A B

A C

2. En déduire l'affixe du vecteur

3 A B - A C

3. Déterminer l'affixe du point

F

tel que

B

est le milieu du segment

[F C]

54
[Chercher.]
1. Déterminer l'affixe du point

G

tel que

AGED

est un parallélogramme.

2. Déterminer l'affixe du centre du parallélogramme

AGED

55
[Calculer.]

On considère le plan complexe. Démontrer de deux façons différentes que le quadrilatère

ABCD

est un parallélogramme avec

A (5 + 2 i)

B (- 1 + 3 i)

C (- 2 - i)

D (4 - 2 i)

56
[Chercher.]

Soient

A

B

C

trois points du plan complexe d'affixe respective

a = 3 i - 1

b = 2 + i

c = 8 - 3 i

1. Démontrer que les points

A

B

C

sont alignés.

2. Soit

D

le point d'affixe

3 - i

.
Déterminer l'affixe du point

E

de l'axe des imaginaires purs tel que les droites

(E D)

(B C)

sont parallèles.

57
[Chercher.]
1.

H

est appelé barycentre des points

A

B

C

affectés des coefficients respectifs

1

;

- 1

3

, lorsque :

1 H A - 1 H B + 3 H C = 0

Déterminer l'affixe de

H

en fonction de celle des points

A

B

C

2. Le centre de gravité du triangle

ABC

est le barycentre des points

A

B

C

affectés chacun du coefficient

1

.
Déterminer l'affixe du centre de gravité du triangle

ABC

en fonction de celle des points

A

B

C

58
[Calculer.]
Vérifier le résultat suivant obtenu avec une calculatrice.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

59
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct

(O; u, v)

.
Soit

A

un point d'affixe

a

vérifiant

O A = 4

1. Déterminer le module de l'affixe de

A_{1}

, symétrique de

A

par rapport à l'axe des imaginaires purs.

2. Déterminer le module de l'affixe de

A_{2}

, symétrique de

A

par rapport à

O

3. Déterminer le module de l'affixe de

A_{3}

, symétrique de

A

par rapport à l'axe des réels.

60
[Calculer.]
Soient les nombres complexes

z = - \frac{2}{5} + \frac{1}{3} i

z^{'} = 3 - 5 i

.
Calculer, puis vérifier à l'aide d'une calculatrice, le module des nombres complexes suivants.

z

z^{'}

- i z

\overset{z}{ˉ}

- z^{'} \times \overline{z}

z + 2 z^{'}

61
[Calculer.]

Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants.

z_{1} = 9 + 5 i

z_{2} = \frac{2}{3} - 2 i

z_{3} = 2 + 3 + 3 i

z_{4} = 5 i - \frac{5}{3}

Python

[Modéliser.]
Voici un programme écrit en Python.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. À quoi cet algorithme sert‑il ?

2. Que l'algorithme retourne‑t‑il lorsque l'utilisateur entre les valeurs

x = - 4

y = 3

Démo

[Raisonner.]
Dans le plan complexe, on considère deux nombres complexes

z = x + i y

z^{'} = x^{'} + i y^{'}

avec

x

y

x^{'}

y^{'}

des nombres réels.

1. Démontrer que

∣ \overline{z} ∣ = ∣ z ∣

∣ - z ∣ = ∣ z ∣

2. a. Démontrer que

∣ z \times z^{'} ∣ = ∣ z ∣ \times ∣ z^{'} ∣

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul

n

∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}

3. On suppose dans cette question que

z^{'} \neq = 0

.
a. Exprimer la forme algébrique de

\frac{z}{z ^{'}}

en fonction de

x

y

x^{'}

y^{'}

b. En déduire que

∣ ∣ ∣ ∣ \frac{z}{z ^{'}} ∣ ∣ ∣ ∣ = \frac{∣ z ∣}{∣ z ^{'} ∣}

c. En déduire alors que, pour tout

n \in Z^{*}

∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}

64
[Calculer.]

Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants, puis vérifier le résultat à l'aide d'une calculatrice.

z_{1} = (7 - 4 i) (1 + 5 i)

z_{2} = (7 + 3 i)^{4}

z_{3} = \frac{5}{2 + 3 i}

z_{4} = \frac{- i}{3 - 3 i}

z_{5} = \frac{5 + 3 i}{1 + i}

z_{6} = \frac{( 2 i - 4 ) ^{2}}{- 1 + 2 i}

65
[Représenter.]

Dans un plan complexe muni d'un repère orthonormé direct

(O; u, v)

, placer les points

A

B

C

D

E

F

d'affixe respective

a

b

c

d

e

f

et vérifiant les conditions suivantes, où

k

désigne un entier relatif.

∣ a ∣ = 2

ar g (a) = 0 + k \times 2 π

∣ b ∣ = 3

ar g (b) = - \frac{π}{2} + k \times 2 π

∣ c ∣ = \frac{1}{2}

ar g (c) = - \frac{π}{3} + k \times 2 π

∣ d ∣ = 5

ar g (d) = \frac{3 π}{4} + k \times 2 π

∣ e ∣ = 1

ar g (e) = - \frac{5 π}{6} + k \times 2 π

∣ f ∣ = \frac{5}{4}

ar g (f) = π + k \times 2 π

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66
[Calculer.]
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct

(O; u, v)

. Dans chaque cas, on donne une mesure en radian de l'angle orienté

(u; O M)

, où

M

est le point d'affixe

z

. Déterminer la mesure principale de

ar g (z)

π

2 π

\frac{3 π}{2}

- \frac{1 7 π}{3}

\frac{2 3 π}{6}

- \frac{7 π}{4}

\frac{1 2 π}{3}

- \frac{9 π}{2}

67
[Raisonner.]

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct

(O; u, v)

. Soit

A

le point d'affixe

a

vérifiant

∣ a ∣ = 4

ar g (a) = - \frac{π}{6} + k \times 2 π

, où

k \in Z

1. Déterminer le module et un argument de l'affixe de

A_{1}

, symétrique de

A

par rapport à l'axe des ordonnées.

2. Déterminer le module et un argument de l'affixe de

A_{2}

, symétrique de

A

par rapport à

O

3. Déterminer le module et un argument de l'affixe de

A_{3}

, symétrique de

A

par rapport à l'axe des abscisses.

68
[Représenter.]
On considère le graphique suivant dans lequel le triangle

OFD

est équilatéral.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

En utilisant les données de la figure, déterminer, lorsque cela a un sens, l'argument principal de l'affixe de chaque point.

69
[Calculer.]

Soient

A

B

C

D

quatre points du plan complexe d'affixe respective

a

b

c

d

On donne, avec

k \in Z

(u; O A) = \frac{2 3 π}{3} + k \times 2 π

(u; O B) = - \frac{7 π}{2} + k \times 2 π

ar g (c) = \frac{5 π}{6} + k \times 2 π

ar g (d) = - \frac{3 π}{4} + k \times 2 π

1. Déterminer la mesure principale de

ar g (a)

puis de

ar g (b)

2. Donner une mesure en radian des angles orientés

(u; O C)

(u; O D)

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