Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Entraînement 1

Géométrie et nombres complexes

Différenciation
Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; et
Parcours 2 : exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et
Parcours 3 : exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et
46
Flash

Soient et deux points du plan complexe d'affixe respective et .
Déterminer l'affixe du milieu du segment .
47
Flash

Soit le nombre complexe .
Déterminer de deux manières différentes le module de .
48
Flash

Donner l'argument principal des nombres complexes suivants.

1.

2.

3.

4.
49
Démo
[Raisonner.]
Dans le plan complexe, on considère un point d'affixe , où et sont deux réels.
Soient , et les points d'affixe respective , et . On pourra s'aider d'une figure.

1. a. Démontrer que, pour tout point de l'axe des réels, .
Que peut-on en conclure pour l'axe des abscisses par rapport au segment  ?

b. On considère la transformation du plan qui, à tout point , associe le point .
Quelle est la nature de cette transformation ?

2. a. Démontrer que le point d'affixe est le milieu du segment

b. On considère la transformation du plan qui, à tout point , associe le point .
Quelle est la nature de cette transformation ?

3. a. Démontrer que, pour tout point de l'axe des imaginaires purs, .
Que peut-on en conclure pour l'axe des ordonnées par rapport au segment  ?

b. On considère la transformation du plan qui, à tout point , associe le point .
Quelle est la nature de cette transformation ?

4. Si a pour affixe , expliquer comment construire ses symétriques par rapport à chaque axe du repère.
50
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct .
Soit le point d'affixe .

1. Déterminer l'affixe de , symétrique de par rapport à l'axe des imaginaires purs.

2. Déterminer l'affixe de , symétrique de par rapport à .

3. Déterminer l'affixe de , symétrique de par rapport à l'axe des réels.

Pour les exercices
51
à
54

On considère le repère orthonormé et les points suivants.

Géométrie et nombres complexes
Le zoom est accessible dans la version Premium.
51
[Représenter.]
Donner l'affixe des points , , , et .
52
[Calculer.]
Calculer le module de l'affixe de chaque point représenté dans le repère.
53
[Calculer.]
1. Déterminer l'affixe des vecteurs et .

2. En déduire l'affixe du vecteur .

3. Déterminer l'affixe du point tel que est le milieu du segment .
54
[Chercher.]
1. Déterminer l'affixe du point tel que est un parallélogramme.

2. Déterminer l'affixe du centre du parallélogramme .
55
[Calculer.]

On considère le plan complexe. Démontrer de deux façons différentes que le quadrilatère est un parallélogramme avec , , et .
56
[Chercher.]

Soient , et trois points du plan complexe d'affixe respective , et .

1. Démontrer que les points , et sont alignés.

2. Soit le point d'affixe .
Déterminer l'affixe du point de l'axe des imaginaires purs tel que les droites et sont parallèles.
57
[Chercher.]
1. est appelé barycentre des points , et affectés des coefficients respectifs  ; et , lorsque :
.
Déterminer l'affixe de en fonction de celle des points , et .

2. Le centre de gravité du triangle est le barycentre des points , et affectés chacun du coefficient .
Déterminer l'affixe du centre de gravité du triangle en fonction de celle des points , et .
58
[Calculer.]
Vérifier le résultat suivant obtenu avec une calculatrice.

Géométrie et nombres complexes
Le zoom est accessible dans la version Premium.

59
[Représenter.]
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct .
Soit un point d'affixe vérifiant .

1. Déterminer le module de l'affixe de , symétrique de par rapport à l'axe des imaginaires purs.

2. Déterminer le module de l'affixe de , symétrique de par rapport à .

3. Déterminer le module de l'affixe de , symétrique de par rapport à l'axe des réels.
60
[Calculer.]
Soient les nombres complexes et .
Calculer, puis vérifier à l'aide d'une calculatrice, le module des nombres complexes suivants.

1.

2.

3.

4.

5.

6.
61
[Calculer.]

Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants.

1.

2.

3.

4.
62
Python
[Modéliser.]
Voici un programme écrit en Python.

Géométrie et nombres complexes
Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. À quoi cet algorithme sert‑il ?

2. Que l'algorithme retourne‑t‑il lorsque l'utilisateur entre les valeurs et  ?
63
Démo
[Raisonner.]
Dans le plan complexe, on considère deux nombres complexes et avec , , et des nombres réels.

1. Démontrer que et .

2. a. Démontrer que .


b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul , .

3. On suppose dans cette question que .
a. Exprimer la forme algébrique de en fonction de , , et .

b. En déduire que .

c. En déduire alors que, pour tout , .
64
[Calculer.]

Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants, puis vérifier le résultat à l'aide d'une calculatrice.

1.

2.

3.

4.

5.

6.
65
[Représenter.]

Dans un plan complexe muni d'un repère orthonormé direct , placer les points , , , , et d'affixe respective , , , , et et vérifiant les conditions suivantes, où désigne un entier relatif.

1. et .

2. et .

3. et .

4. et .

5. et .

6. et .

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66
[Calculer.]
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct . Dans chaque cas, on donne une mesure en radian de l'angle orienté , où est le point d'affixe . Déterminer la mesure principale de .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.
67
[Raisonner.]

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct . Soit le point d'affixe vérifiant et , où .

1. Déterminer le module et un argument de l'affixe de , symétrique de par rapport à l'axe des ordonnées.

2. Déterminer le module et un argument de l'affixe de , symétrique de par rapport à .

3. Déterminer le module et un argument de l'affixe de , symétrique de par rapport à l'axe des abscisses.
68
[Représenter.]
On considère le graphique suivant dans lequel le triangle est équilatéral.

Géométrie et nombres complexes
Le zoom est accessible dans la version Premium.

En utilisant les données de la figure, déterminer, lorsque cela a un sens, l'argument principal de l'affixe de chaque point.
69
[Calculer.]

Soient , , et quatre points du plan complexe d'affixe respective , , et .
On donne, avec , , , et .

1. Déterminer la mesure principale de puis de .

2. Donner une mesure en radian des angles orientés et .

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