Mathématiques Expertes Terminale
Mes Pages
Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Entraînement 3
Applications géométriques des nombres complexes
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
109
Flash
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points distincts du plan complexe d'affixe respective a, b et c.
Expliciter deux méthodes permettant de démontrer que ces points sont alignés.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
110
Flash
Soient \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} quatre points du plan complexe d'affixe respective a, b, c et d.
On suppose que \text{ABCD} est un trapèze de base [\mathrm{AB}] et [\mathrm{CD}] vérifiant \mathrm{AB}=3 \mathrm{CD}.
Traduire les données de l'énoncé en utilisant les affixes des quatre points.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
111
Flash
1. Écrire sous forme exponentielle et algébrique les racines quatrièmes de l'unité.
2. Les nombres complexes obtenus correspondent à l'affixe de points formant un polygone particulier. Lequel ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
112
[Calculer.]
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan complexe d'affixe respective a=4+\mathrm{i}, b=1+3\mathrm{i} et c=4-\frac{5}{2} \mathrm{i}. 1. Calculer la longueur \text{AB}.
2.Le point \text{C} appartient‑il au cercle de centre \text{A} passant par \text{B} ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
113
[Calculer.]
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan complexe d'affixe respective a=\sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{2}, b=2-2 \mathrm{i} \sqrt{3} et c=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}-2+\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}-2 \sqrt{3}\right)\mathrm{i}. Déterminer la nature du triangle \text{ABC}.
Aide
On calculera des longueurs avant d'essayer de calculer des angles.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
114
[Communiquer.]Soient \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} quatre points du plan complexe d'affixe respective a=3-2 \mathrm{i}, b=\mathrm{i}-1, c=-1-2 \mathrm{i} et d=1-\frac{1}{2} \mathrm{i}. 1. Calculer les longueurs \text{AD,} \text{BD} et \text{CD}.
2. Que représente \text{D} pour le triangle \text{ABC} ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
115
[Communiquer.]
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan complexe d'affixe respective a=\frac{8}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{11}{6} \mathrm{i}, b=\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i} et c=2+\mathrm{i}. 1. Calculer \frac{b-c}{a-c}.
2. Que peut‑on en conclure concernant les points \text{A}, \text{B} et \text{C} ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
116
[Chercher.]D'après bac S, Centres étrangers, juin 2018
On considère dans \mathbb{C} l'équation suivante : \left(4 z^{2}-20 z+37\right)(2 z-7+2 \mathrm{i})=0.
Démontrer que les solutions de cette équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle, dont le centre est le point \text{P} d'affixe 2.
Aide
Commencer par résoudre l'équation.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
117
[Chercher.]
1. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation (\mathrm{E}): z^{2}-2 \sqrt{3} z+4=0.2. Déterminer la nature du triangle \text{OAB}, où \text{O}, \text{A} et \text{B} sont respectivement le point d'affixe 0 et les deux solutions de (\mathrm{E}).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
118
[Calculer.]Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan complexe d'affixe respective a=2+\mathrm{i}, b=4-\mathrm{i} et c=-2-3 \mathrm{i}. 1. Calculer \frac{a-b}{c-a}.
2. Que peut‑on en conclure concernant les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{AC}) ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
120
[Calculer.]Soient \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} quatre points du plan complexe d'affixe respective a=4+2 \mathrm{i}, b=2-2 \mathrm{i}, c=1+2 \mathrm{i} et d=-2-4 \mathrm{i}. 1. Calculer \frac{a-b}{c-d}.
2. Que peut‑on en conclure concernant les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
119
[Calculer.]
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan complexe d'affixe respective a, b et c=3+5(1-\sqrt{3}) \mathrm{i}.
1. Déterminer graphiquement les affixes a et b.
2. Déterminer une mesure en radian des angles (\overrightarrow{\mathrm{BC}} ; \overrightarrow{\mathrm{BA}}) et (\overrightarrow{\mathrm{AB}} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}}).
3. En déduire une mesure en radian de l'angle géométrique \widehat{\mathrm{BCA}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
121
[Chercher.]
Relier chaque ensemble (\text{E}) à la relation correspondante.
| Ensemble (\text{E}) | Relation |
|---|---|
| 1. Médiatrice de [\mathrm{AB}] avec \mathrm{A}(-1-3 \mathrm{i}) et \mathrm{B}(2+\mathrm{i}). | |
| 2. Cercle de centre \mathrm{A}(3-4 \mathrm{i}) et de rayon \sqrt3. | |
| 3. Médiatrice de [\mathrm{AB}] avec \mathrm{A}(1+3 \mathrm{i}) et \mathrm{B}(-2-\mathrm{i}). | |
| 4. Point d'affixe -3+4 \mathrm{i}. | |
| 5. Cercle de centre \mathrm{A}(-3+4 \mathrm{i}) et de rayon \sqrt3. | |
| 6. Cercle de centre \mathrm{A}(0) et de rayon \sqrt3. |
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
122
[Représenter.]Déterminer puis représenter graphiquement l'ensemble (\mathrm{E}) des points \text{M} du plan complexe d'affixe z vérifiant :
1. \left|z-2+\frac{3}{4} \mathrm{i}\right|=3
2. |z+4-\sqrt{3} \mathrm{i}|=|z-\mathrm{i}|
3. |z+\mathrm{i}-3|=-2
4. |z+1-3 \mathrm{i}|=|2-4 \mathrm{i}-z|
5. |z+5-2 \mathrm{i}|=0
6. |z-3 \mathrm{i}-2|=|1-5 \mathrm{i}|
2. |z+4-\sqrt{3} \mathrm{i}|=|z-\mathrm{i}|
3. |z+\mathrm{i}-3|=-2
4. |z+1-3 \mathrm{i}|=|2-4 \mathrm{i}-z|
5. |z+5-2 \mathrm{i}|=0
6. |z-3 \mathrm{i}-2|=|1-5 \mathrm{i}|
GeoGebra
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
123
[Représenter.]
Déterminer puis représenter graphiquement l'ensemble (\mathrm{E}) des points \text{M} du plan complexe d'affixe z vérifiant :
1. \left|\overline{z}-2+\frac{3}{4} \mathrm{i}\right|=3
2. |\mathrm{i} z-2 \mathrm{i}|=1
3. |3 \mathrm{i} z|=|3 \mathrm{i} z+3-9 \mathrm{i}|
4. |\overline{z}-1+\mathrm{i}|=|\overline{z}-5+\mathrm{i}|
2. |\mathrm{i} z-2 \mathrm{i}|=1
3. |3 \mathrm{i} z|=|3 \mathrm{i} z+3-9 \mathrm{i}|
4. |\overline{z}-1+\mathrm{i}|=|\overline{z}-5+\mathrm{i}|
GeoGebra
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
124
Flash
[Raisonner.]
Soient z et z^\prime deux nombres complexes appartenant à \mathbb{U}. 1. Montrer que z z^\prime appartient à \mathbb{U}.
2. Justifier que z et z^\prime ne peuvent pas être nuls puis montrer que \frac{z}{z^{\prime}} appartient à \mathbb{U}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
127
[Raisonner.]
1. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation z^5 = 1.
2. a. Montrer que résoudre dans \mathbb{C} l'équation z^{5}=(1+\mathrm{i})^{5} revient à résoudre l'équation \mathrm{Z}^{5}=1, où \mathrm{Z} est à exprimer en fonction de z.
b. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation z^{5}=(1+\mathrm{i})^{5}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
125
[Représenter.]On considère dans le plan complexe les points \mathrm{A}_k d'affixe \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} k \pi}{7}}}, où k entier compris entre 0 et 6.
Quelle est la nature du polygone \mathrm{A}_0 \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6 ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
126
[Calculer.]
On considère le nombre complexe j=-\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i} \sqrt{3}}{2}.
Démontrer que j et j^2 sont des racines troisièmes de l'unité.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
128
[Raisonner.]
Montrer que z appartient à \mathbb{U} si, et seulement si, \overline{z}=\frac{1}{z}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
129
[Raisonner.]
Soient a, b et c trois nombres complexes appartenant à \mathbb{U}.Montrer que |a b+b c+c a|=|a+b+c|.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
130
[Raisonner.]
Soit z un nombre complexe appartenant à \mathbb{U}.
Calculer |1+z|^{2}+|1-z|^{2}.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
