Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Entraînement 3
Applications géométriques des nombres complexes
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109
Flash
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points distincts du plan complexe d'affixe respective a, b et c.
Expliciter deux méthodes permettant de démontrer que ces points sont alignés.
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110
Flash
Soient \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} quatre points du plan complexe d'affixe respective a, b, c et d.
On suppose que \text{ABCD} est un trapèze de base [\mathrm{AB}] et [\mathrm{CD}] vérifiant \mathrm{AB}=3 \mathrm{CD}.
Traduire les données de l'énoncé en utilisant les affixes des quatre points.
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111
Flash
1. Écrire sous forme exponentielle et algébrique les racines quatrièmes de l'unité.
2. Les nombres complexes obtenus correspondent à l'affixe de points formant un polygone particulier. Lequel ?
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112
[Calculer.]
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan complexe d'affixe respective a=4+\mathrm{i}, b=1+3\mathrm{i} et c=4-\frac{5}{2} \mathrm{i}. 1. Calculer la longueur \text{AB}.
2.Le point \text{C} appartient‑il au cercle de centre \text{A} passant par \text{B} ?
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113
[Calculer.]
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan complexe d'affixe respective a=\sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{2}, b=2-2 \mathrm{i} \sqrt{3} et c=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}-2+\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}-2 \sqrt{3}\right)\mathrm{i}. Déterminer la nature du triangle \text{ABC}.
Aide
On calculera des longueurs avant d'essayer de calculer des angles.
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114
[Communiquer.]Soient \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} quatre points du plan complexe d'affixe respective a=3-2 \mathrm{i}, b=\mathrm{i}-1, c=-1-2 \mathrm{i} et d=1-\frac{1}{2} \mathrm{i}. 1. Calculer les longueurs \text{AD,} \text{BD} et \text{CD}.
2. Que représente \text{D} pour le triangle \text{ABC} ?
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115
[Communiquer.]
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan complexe d'affixe respective a=\frac{8}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{11}{6} \mathrm{i}, b=\frac{3 \sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i} et c=2+\mathrm{i}. 1. Calculer \frac{b-c}{a-c}.
2. Que peut‑on en conclure concernant les points \text{A}, \text{B} et \text{C} ?
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116
[Chercher.]D'après bac S, Centres étrangers, juin 2018
On considère dans \mathbb{C} l'équation suivante : \left(4 z^{2}-20 z+37\right)(2 z-7+2 \mathrm{i})=0.
Démontrer que les solutions de cette équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle, dont le centre est le point \text{P} d'affixe 2.
Aide
Commencer par résoudre l'équation.
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117
[Chercher.]
1. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation (\mathrm{E}): z^{2}-2 \sqrt{3} z+4=0.2. Déterminer la nature du triangle \text{OAB}, où \text{O}, \text{A} et \text{B} sont respectivement le point d'affixe 0 et les deux solutions de (\mathrm{E}).
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118
[Calculer.]Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan complexe d'affixe respective a=2+\mathrm{i}, b=4-\mathrm{i} et c=-2-3 \mathrm{i}. 1. Calculer \frac{a-b}{c-a}.
2. Que peut‑on en conclure concernant les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{AC}) ?
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120
[Calculer.]Soient \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} quatre points du plan complexe d'affixe respective a=4+2 \mathrm{i}, b=2-2 \mathrm{i}, c=1+2 \mathrm{i} et d=-2-4 \mathrm{i}. 1. Calculer \frac{a-b}{c-d}.
2. Que peut‑on en conclure concernant les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) ?
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119
[Calculer.]
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points du plan complexe d'affixe respective a, b et c=3+5(1-\sqrt{3}) \mathrm{i}.
1. Déterminer graphiquement les affixes a et b.
2. Déterminer une mesure en radian des angles (\overrightarrow{\mathrm{BC}} ; \overrightarrow{\mathrm{BA}}) et (\overrightarrow{\mathrm{AB}} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}}).
3. En déduire une mesure en radian de l'angle géométrique \widehat{\mathrm{BCA}}.
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121
[Chercher.]
Relier chaque ensemble (\text{E}) à la relation correspondante.
| Ensemble (\text{E}) | Relation |
|---|---|
| 1. Médiatrice de [\mathrm{AB}] avec \mathrm{A}(-1-3 \mathrm{i}) et \mathrm{B}(2+\mathrm{i}). | |
| 2. Cercle de centre \mathrm{A}(3-4 \mathrm{i}) et de rayon \sqrt3. | |
| 3. Médiatrice de [\mathrm{AB}] avec \mathrm{A}(1+3 \mathrm{i}) et \mathrm{B}(-2-\mathrm{i}). | |
| 4. Point d'affixe -3+4 \mathrm{i}. | |
| 5. Cercle de centre \mathrm{A}(-3+4 \mathrm{i}) et de rayon \sqrt3. | |
| 6. Cercle de centre \mathrm{A}(0) et de rayon \sqrt3. |
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122
[Représenter.]Déterminer puis représenter graphiquement l'ensemble (\mathrm{E}) des points \text{M} du plan complexe d'affixe z vérifiant :
1. \left|z-2+\frac{3}{4} \mathrm{i}\right|=3
2. |z+4-\sqrt{3} \mathrm{i}|=|z-\mathrm{i}|
3. |z+\mathrm{i}-3|=-2
4. |z+1-3 \mathrm{i}|=|2-4 \mathrm{i}-z|
5. |z+5-2 \mathrm{i}|=0
6. |z-3 \mathrm{i}-2|=|1-5 \mathrm{i}|
2. |z+4-\sqrt{3} \mathrm{i}|=|z-\mathrm{i}|
3. |z+\mathrm{i}-3|=-2
4. |z+1-3 \mathrm{i}|=|2-4 \mathrm{i}-z|
5. |z+5-2 \mathrm{i}|=0
6. |z-3 \mathrm{i}-2|=|1-5 \mathrm{i}|
GeoGebra
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123
[Représenter.]
Déterminer puis représenter graphiquement l'ensemble (\mathrm{E}) des points \text{M} du plan complexe d'affixe z vérifiant :
1. \left|\overline{z}-2+\frac{3}{4} \mathrm{i}\right|=3
2. |\mathrm{i} z-2 \mathrm{i}|=1
3. |3 \mathrm{i} z|=|3 \mathrm{i} z+3-9 \mathrm{i}|
4. |\overline{z}-1+\mathrm{i}|=|\overline{z}-5+\mathrm{i}|
2. |\mathrm{i} z-2 \mathrm{i}|=1
3. |3 \mathrm{i} z|=|3 \mathrm{i} z+3-9 \mathrm{i}|
4. |\overline{z}-1+\mathrm{i}|=|\overline{z}-5+\mathrm{i}|
GeoGebra
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124
Flash
[Raisonner.]
Soient z et z^\prime deux nombres complexes appartenant à \mathbb{U}. 1. Montrer que z z^\prime appartient à \mathbb{U}.
2. Justifier que z et z^\prime ne peuvent pas être nuls puis montrer que \frac{z}{z^{\prime}} appartient à \mathbb{U}.
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127
[Raisonner.]
1. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation z^5 = 1.
2. a. Montrer que résoudre dans \mathbb{C} l'équation z^{5}=(1+\mathrm{i})^{5} revient à résoudre l'équation \mathrm{Z}^{5}=1, où \mathrm{Z} est à exprimer en fonction de z.
b. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation z^{5}=(1+\mathrm{i})^{5}.
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125
[Représenter.]On considère dans le plan complexe les points \mathrm{A}_k d'affixe \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} k \pi}{7}}}, où k entier compris entre 0 et 6.
Quelle est la nature du polygone \mathrm{A}_0 \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6 ?
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126
[Calculer.]
On considère le nombre complexe j=-\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i} \sqrt{3}}{2}.
Démontrer que j et j^2 sont des racines troisièmes de l'unité.
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128
[Raisonner.]
Montrer que z appartient à \mathbb{U} si, et seulement si, \overline{z}=\frac{1}{z}.
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129
[Raisonner.]
Soient a, b et c trois nombres complexes appartenant à \mathbb{U}.Montrer que |a b+b c+c a|=|a+b+c|.
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130
[Raisonner.]
Soit z un nombre complexe appartenant à \mathbb{U}.
Calculer |1+z|^{2}+|1-z|^{2}.
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