Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe d’affixe respective a, b et c.
Expliciter deux méthodes permettant de démontrer que ces points sont alignés.
110
FLASH
Soient A, B, C et D quatre points du plan complexe d’affixe respective a, b, c et d.
On suppose que ABCD est un trapèze de base [AB] et [CD] vérifiant AB=3CD.
Traduire les données de l’énoncé en utilisant les
affixes des quatre points.
111
FLASH
1. Écrire sous forme exponentielle et algébrique les racines quatrièmes de l’unité.
2. Les nombres complexes obtenus correspondent à l’affixe de points formant un polygone particulier. Lequel ?
112
[Calculer.]◉◉◉
Soient A, B et C trois points du plan complexe d’affixe respective a=4+i, b=1+3i et c=4−25i.
1. Calculer la longueur AB.
2.Le point C appartient‑il au cercle de centre A passant par B ?
113
[Calculer.]◉◉◉
Soient A, B et C trois points du plan complexe d’affixe respective a=2+i2, b=2−2i3 et c=22−6−2+(22+6−23)i.
Déterminer la nature du triangle ABC.
Aide
On calculera des longueurs avant d’essayer de calculer des angles.
114
[Communiquer.]
Soient A, B, C et D quatre points du plan complexe d’affixe respective a=3−2i, b=i−1, c=−1−2i et d=1−21i.
1. Calculer les longueurs AD,BD et CD.
2. Que représente D pour le triangle ABC ?
115
[Communiquer.]◉◉◉
Soient A, B et C trois points du plan complexe d’affixe respective a=38−23+611i, b=233−23i et c=2+i.
1. Calculer a−cb−c.
2. Que peut‑on en conclure concernant les points A, B et C ?
116
[Chercher.] D’après bac S, Centres étrangers, juin 2018
On considère dans C l’équation suivante : (4z2−20z+37)(2z−7+2i)=0.
Démontrer que les solutions de cette équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle, dont le centre est le point P d’affixe 2.
Aide
Commencer par résoudre l’équation.
117
[Chercher.] 1. Résoudre dans C l’équation (E):z2−23z+4=0.
2. Déterminer la nature du triangle OAB, où O, A et B sont respectivement le point d’affixe 0 et les deux solutions de (E).
118
[Calculer.]
Soient A, B et C trois points du plan complexe d’affixe respective a=2+i, b=4−i et c=−2−3i.
1. Calculer c−aa−b.
2. Que peut‑on en conclure concernant les droites (AB) et (AC) ?
119
[Calculer.]
Soient A, B et C trois points du plan complexe d’affixe respective a, b et c=3+5(1−3)i.
1. Déterminer graphiquement les affixes a et b.
2. Déterminer une mesure en radian des angles (BC;BA) et (AB;AC).
3. En déduire une mesure en radian de l’angle géométrique BCA.
120
[Calculer.]
Soient A, B, C et D quatre points du plan complexe d’affixe respective a=4+2i, b=2−2i, c=1+2i et d=−2−4i.
1. Calculer c−da−b.
2. Que peut‑on en conclure concernant les droites (AB) et (CD) ?
121
[Chercher.]
Relier chaque ensemble (E) à la relation correspondante.
Ensemble (E)
Relation
1. Médiatrice de [AB] avec A(−1−3i) et B(2+i).
2. Cercle de centre A(3−4i) et de rayon 3.
3. Médiatrice de [AB] avec A(1+3i) et B(−2−i).
4. Point d’affixe −3+4i.
5. Cercle de centre A(−3+4i) et de rayon 3.
6. Cercle de centre A(0) et de rayon 3.
122
[Représenter.]
Déterminer puis représenter graphiquement l’ensemble (E) des points M du plan complexe d’affixe z vérifiant :
1.∣∣∣∣∣z−2+43i∣∣∣∣∣=3
2.∣z+4−3i∣=∣z−i∣
3.∣z+i−3∣=−2
4.∣z+1−3i∣=∣2−4i−z∣
5.∣z+5−2i∣=0
6.∣z−3i−2∣=∣1−5i∣
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123
[Représenter.]◉◉◉
Déterminer puis représenter graphiquement l’ensemble (E) des points M du plan complexe d’affixe z vérifiant :
1.∣∣∣∣∣z−2+43i∣∣∣∣∣=3
2.∣iz−2i∣=1
3.∣3iz∣=∣3iz+3−9i∣
4.∣z−1+i∣=∣z−5+i∣
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124
[Raisonner.]
[DÉMO]
Soient z et z′ deux nombres complexes appartenant à U.
1. Montrer que zz′ appartient à U.
2. Justifier que z et z′ ne peuvent pas être nuls puis montrer que z′z appartient à U.
125
[Représenter.]
On considère dans le plan complexe les points Ak d’affixe e72ikπ, où k entier compris entre 0 et 6.
Quelle est la nature du polygone A0A1A2A3A4A5A6 ?
126
[Calculer.]◉◉◉
On considère le nombre complexe j=−21+2i3.
Démontrer que j et j2 sont des racines troisièmes de l’unité.
127
[Raisonner.]◉◉◉ 1. Résoudre dans C l’équation z5=1.
2.a. Montrer que résoudre dans C l’équation z5=(1+i)5 revient à résoudre l’équation Z5=1, où Z est à exprimer en fonction de z.
b. Résoudre dans C l’équation z5=(1+i)5.
128
[Raisonner.]◉◉◉
Montrer que z appartient à U si, et seulement si, z=z1.
129
[Raisonner.]
Soient a, b et c trois nombres complexes appartenant à U.
Montrer que ∣ab+bc+ca∣=∣a+b+c∣.
130
[Raisonner.]◉◉◉
Soit z un nombre complexe appartenant à U.
Calculer ∣1+z∣2+∣1−z∣2.
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