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3. Applications géométriques des nombres complexes
P.74-75

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Entraînement


3
Applications géométriques des nombres complexes





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

109
FLASH

Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points distincts du plan complexe d’affixe respective aa, bb et cc.
Expliciter deux méthodes permettant de démontrer que ces points sont alignés.
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110
FLASH

Soient A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} quatre points du plan complexe d’affixe respective aa, bb, cc et dd.
On suppose que ABCD\text{ABCD} est un trapèze de base [AB][\mathrm{AB}] et [CD][\mathrm{CD}] vérifiant AB=3CD\mathrm{AB}=3 \mathrm{CD}.
Traduire les données de l’énoncé en utilisant les affixes des quatre points.
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111
FLASH

1. Écrire sous forme exponentielle et algébrique les racines quatrièmes de l’unité.


2. Les nombres complexes obtenus correspondent à l’affixe de points formant un polygone particulier. Lequel ?
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112
[Calculer.] ◉◉
Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points du plan complexe d’affixe respective a=4+ia=4+\mathrm{i}, b=1+3ib=1+3\mathrm{i} et c=452ic=4-\dfrac{5}{2} \mathrm{i}.

1. Calculer la longueur AB\text{AB}.


2.Le point C\text{C} appartient‑il au cercle de centre A\text{A} passant par B\text{B} ?
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113
[Calculer.] ◉◉
Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points du plan complexe d’affixe respective a=2+i2a=\sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{2}, b=22i3b=2-2 \mathrm{i} \sqrt{3} et c=2622+(2+6223)ic=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}-2+\left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}-2 \sqrt{3}\right)\mathrm{i}.

Déterminer la nature du triangle ABC\text{ABC}.


Aide
On calculera des longueurs avant d’essayer de calculer des angles.
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114
[Communiquer.]
Soient A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} quatre points du plan complexe d’affixe respective a=32ia=3-2 \mathrm{i}, b=i1b=\mathrm{i}-1, c=12ic=-1-2 \mathrm{i} et d=112id=1-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}.

1. Calculer les longueurs AD,\text{AD,} BD\text{BD} et CD\text{CD}.


2. Que représente D\text{D} pour le triangle ABC\text{ABC} ?
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115
[Communiquer.] ◉◉◉
Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points du plan complexe d’affixe respective a=8332+116ia=\dfrac{8}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{11}{6} \mathrm{i}, b=33232ib=\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2} \mathrm{i} et c=2+ic=2+\mathrm{i}.

1. Calculer bcac\dfrac{b-c}{a-c}.


2. Que peut‑on en conclure concernant les points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} ?
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116
[Chercher.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2018
On considère dans C\mathbb{C} l’équation suivante : (4z220z+37)(2z7+2i)=0\left(4 z^{2}-20 z+37\right)(2 z-7+2 \mathrm{i})=0.
Démontrer que les solutions de cette équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle, dont le centre est le point P\text{P} d’affixe 22.


Aide
Commencer par résoudre l’équation.
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117
[Chercher.]
1. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation (E):z223z+4=0(\mathrm{E}): z^{2}-2 \sqrt{3} z+4=0.


2. Déterminer la nature du triangle OAB\text{OAB}, où O\text{O}, A\text{A} et B\text{B} sont respectivement le point d’affixe 00 et les deux solutions de (E)(\mathrm{E}).
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118
[Calculer.]
Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points du plan complexe d’affixe respective a=2+ia=2+\mathrm{i}, b=4ib=4-\mathrm{i} et c=23ic=-2-3 \mathrm{i}.

1. Calculer abca\dfrac{a-b}{c-a}.


2. Que peut‑on en conclure concernant les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (AC)(\mathrm{AC}) ?
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119
[Calculer.]
Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points du plan complexe d’affixe respective aa, bb et c=3+5(13)ic=3+5(1-\sqrt{3}) \mathrm{i}.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 119

1. Déterminer graphiquement les affixes aa et bb.


2. Déterminer une mesure en radian des angles (BC ; BA)(\overrightarrow{\mathrm{BC}} ; \overrightarrow{\mathrm{BA}}) et (AB ; AC)(\overrightarrow{\mathrm{AB}} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}}).


3. En déduire une mesure en radian de l’angle géométrique BCA^\widehat{\mathrm{BCA}}.
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120
[Calculer.]
Soient A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} quatre points du plan complexe d’affixe respective a=4+2ia=4+2 \mathrm{i}, b=22ib=2-2 \mathrm{i}, c=1+2ic=1+2 \mathrm{i} et d=24id=-2-4 \mathrm{i}.

1. Calculer abcd\dfrac{a-b}{c-d}.


2. Que peut‑on en conclure concernant les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (CD)(\mathrm{CD}) ?
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121
[Chercher.]
Relier chaque ensemble (E)(\text{E}) à la relation correspondante.

  • c. z+34i=3|z+3-4 \mathrm{i}|=\sqrt{3}
  • d. z2i=z+1+3i|z-2-\mathrm{i}|=|z+1+3 \mathrm{i}|
  • f. z13i=z+2+i|z-1-3 \mathrm{i}|=|z+2+\mathrm{i}|
  • a. z3+4i=3|z-3+4 \mathrm{i}|=\sqrt{3}
  • b. z+34i=0|z+3-4 \mathrm{i}|=0
  • e. z=3|z|=\sqrt{3}
Ensemble (E)(\text{E}) Relation
1. Médiatrice de [AB][\mathrm{AB}] avec A(13i)\mathrm{A}(-1-3 \mathrm{i}) et B(2+i)\mathrm{B}(2+\mathrm{i}).
2. Cercle de centre A(34i)\mathrm{A}(3-4 \mathrm{i}) et de rayon 3\sqrt3.
3. Médiatrice de [AB][\mathrm{AB}] avec A(1+3i)\mathrm{A}(1+3 \mathrm{i}) et B(2i)\mathrm{B}(-2-\mathrm{i}).
4. Point d’affixe 3+4i-3+4 \mathrm{i}.
5. Cercle de centre A(3+4i)\mathrm{A}(-3+4 \mathrm{i}) et de rayon 3\sqrt3.
6. Cercle de centre A(0)\mathrm{A}(0) et de rayon 3\sqrt3.
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122
[Représenter.]
Déterminer puis représenter graphiquement l’ensemble (E)(\mathrm{E}) des points M\text{M} du plan complexe d’affixe zz vérifiant :

1. z2+34i=3\left|z-2+\dfrac{3}{4} \mathrm{i}\right|=3


2. z+43i=zi|z+4-\sqrt{3} \mathrm{i}|=|z-\mathrm{i}|


3. z+i3=2|z+\mathrm{i}-3|=-2


4. z+13i=24iz|z+1-3 \mathrm{i}|=|2-4 \mathrm{i}-z|


5. z+52i=0|z+5-2 \mathrm{i}|=0


6. z3i2=15i|z-3 \mathrm{i}-2|=|1-5 \mathrm{i}|


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123
[Représenter.] ◉◉◉
Déterminer puis représenter graphiquement l’ensemble (E)(\mathrm{E}) des points M\text{M} du plan complexe d’affixe zz vérifiant :

1. z2+34i=3\left|\overline{z}-2+\dfrac{3}{4} \mathrm{i}\right|=3


2. iz2i=1|\mathrm{i} z-2 \mathrm{i}|=1


3. 3iz=3iz+39i|3 \mathrm{i} z|=|3 \mathrm{i} z+3-9 \mathrm{i}|


4. z1+i=z5+i|\overline{z}-1+\mathrm{i}|=|\overline{z}-5+\mathrm{i}|


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124
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient zz et zz^\prime deux nombres complexes appartenant à U\mathbb{U}.

1. Montrer que zzz z^\prime appartient à U\mathbb{U}.


2. Justifier que zz et zz^\prime ne peuvent pas être nuls puis montrer que zz\dfrac{z}{z^{\prime}} appartient à U\mathbb{U}.
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125
[Représenter.]
On considère dans le plan complexe les points Ak\mathrm{A}_k d’affixe e2ikπ7\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} k \pi}{7}}}, où kk entier compris entre 00 et 66.
Quelle est la nature du polygone A0A1A2A3A4A5A6\mathrm{A}_0 \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6 ?
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126
[Calculer.] ◉◉
On considère le nombre complexe j=12+i32j=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\mathrm{i} \sqrt{3}}{2}.
Démontrer que jj et j2j^2 sont des racines troisièmes de l’unité.
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127
[Raisonner.] ◉◉◉
1. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation z5=1z^5 = 1.


2. a. Montrer que résoudre dans C\mathbb{C} l’équation z5=(1+i)5z^{5}=(1+\mathrm{i})^{5} revient à résoudre l’équation Z5=1\mathrm{Z}^{5}=1, où Z\mathrm{Z} est à exprimer en fonction de zz.


b. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation z5=(1+i)5z^{5}=(1+\mathrm{i})^{5}.
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128
[Raisonner.] ◉◉
Montrer que zz appartient à U\mathbb{U} si, et seulement si, z=1z\overline{z}=\dfrac{1}{z}.
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129
[Raisonner.]
Soient aa, bb et cc trois nombres complexes appartenant à U\mathbb{U}.
Montrer que ab+bc+ca=a+b+c|a b+b c+c a|=|a+b+c|.
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130
[Raisonner.] ◉◉
Soit zz un nombre complexe appartenant à U\mathbb{U}.
Calculer 1+z2+1z2|1+z|^{2}+|1-z|^{2}.
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