Mathématiques Expertes Terminale

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3. Applications géométriques des nombres complexes
P.74-75

Entraînement


3
Applications géométriques des nombres complexes





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

109
FLASH

Soient , et trois points distincts du plan complexe d’affixe respective , et .
Expliciter deux méthodes permettant de démontrer que ces points sont alignés.

110
FLASH

Soient , , et quatre points du plan complexe d’affixe respective , , et .
On suppose que est un trapèze de base et vérifiant .
Traduire les données de l’énoncé en utilisant les affixes des quatre points.

111
FLASH

1. Écrire sous forme exponentielle et algébrique les racines quatrièmes de l’unité.


2. Les nombres complexes obtenus correspondent à l’affixe de points formant un polygone particulier. Lequel ?

112
[Calculer.] ◉◉
Soient , et trois points du plan complexe d’affixe respective , et .

1. Calculer la longueur .


2.Le point appartient‑il au cercle de centre passant par  ?

113
[Calculer.] ◉◉
Soient , et trois points du plan complexe d’affixe respective , et .

Déterminer la nature du triangle .


Aide
On calculera des longueurs avant d’essayer de calculer des angles.

114
[Communiquer.]
Soient , , et quatre points du plan complexe d’affixe respective , , et .

1. Calculer les longueurs et .


2. Que représente pour le triangle  ?

115
[Communiquer.] ◉◉◉
Soient , et trois points du plan complexe d’affixe respective , et .

1. Calculer .


2. Que peut‑on en conclure concernant les points , et  ?

116
[Chercher.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2018
On considère dans l’équation suivante : .
Démontrer que les solutions de cette équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle, dont le centre est le point d’affixe .


Aide
Commencer par résoudre l’équation.

117
[Chercher.]
1. Résoudre dans l’équation .


2. Déterminer la nature du triangle , où , et sont respectivement le point d’affixe et les deux solutions de .

118
[Calculer.]
Soient , et trois points du plan complexe d’affixe respective , et .

1. Calculer .


2. Que peut‑on en conclure concernant les droites et  ?

119
[Calculer.]
Soient , et trois points du plan complexe d’affixe respective , et .

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 119

1. Déterminer graphiquement les affixes et .


2. Déterminer une mesure en radian des angles et .


3. En déduire une mesure en radian de l’angle géométrique .

120
[Calculer.]
Soient , , et quatre points du plan complexe d’affixe respective , , et .

1. Calculer .


2. Que peut‑on en conclure concernant les droites et  ?

121
[Chercher.]
Relier chaque ensemble à la relation correspondante.

    Ensemble Relation
    1. Médiatrice de avec et .
    2. Cercle de centre et de rayon .
    3. Médiatrice de avec et .
    4. Point d’affixe .
    5. Cercle de centre et de rayon .
    6. Cercle de centre et de rayon .

    122
    [Représenter.]
    Déterminer puis représenter graphiquement l’ensemble des points du plan complexe d’affixe vérifiant :

    1.


    2.


    3.


    4.


    5.


    6.


    Lancer le module Geogebra
    Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

    123
    [Représenter.] ◉◉◉
    Déterminer puis représenter graphiquement l’ensemble des points du plan complexe d’affixe vérifiant :

    1.


    2.


    3.


    4.


    Lancer le module Geogebra
    Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

    124
    [Raisonner.]
    [DÉMO]

    Soient et deux nombres complexes appartenant à .

    1. Montrer que appartient à .


    2. Justifier que et ne peuvent pas être nuls puis montrer que appartient à .

    125
    [Représenter.]
    On considère dans le plan complexe les points d’affixe , où entier compris entre et .
    Quelle est la nature du polygone  ?

    126
    [Calculer.] ◉◉
    On considère le nombre complexe .
    Démontrer que et sont des racines troisièmes de l’unité.

    127
    [Raisonner.] ◉◉◉
    1. Résoudre dans l’équation .


    2. a. Montrer que résoudre dans l’équation revient à résoudre l’équation , où est à exprimer en fonction de .


    b. Résoudre dans l’équation .

    128
    [Raisonner.] ◉◉
    Montrer que appartient à si, et seulement si, .

    129
    [Raisonner.]
    Soient , et trois nombres complexes appartenant à .
    Montrer que .

    130
    [Raisonner.] ◉◉
    Soit un nombre complexe appartenant à .
    Calculer .
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