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Applications géométriques des nombres complexes

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

109

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points distincts du plan complexe d’affixe respective $a$, $b$ et $c$.
Expliciter deux méthodes permettant de démontrer que ces points sont alignés.

110

Soient $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ quatre points du plan complexe d’affixe respective $a$, $b$, $c$ et $d$.
On suppose que $\text{ABCD}$ est un trapèze de base $[\mathrm{AB}]$ et $[\mathrm{CD}]$ vérifiant $\mathrm{AB}=3 \mathrm{CD}$.
Traduire les données de l’énoncé en utilisant les affixes des quatre points.

111

1. Écrire sous forme exponentielle et algébrique les racines quatrièmes de l’unité.


2. Les nombres complexes obtenus correspondent à l’affixe de points formant un polygone particulier. Lequel ?

112

[Calculer.] ◉◉◉
Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points du plan complexe d’affixe respective $a=4+\mathrm{i}$, $b=1+3\mathrm{i}$ et $c=4-\dfrac{5}{2} \mathrm{i}$.

1. Calculer la longueur $\text{AB}$.


2.Le point $\text{C}$ appartient‑il au cercle de centre $\text{A}$ passant par $\text{B}$ ?

113

[Calculer.] ◉◉◉
Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points du plan complexe d’affixe respective $a=\sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{2}$, $b=2-2 \mathrm{i} \sqrt{3}$ et $c=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}-2+\left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}-2 \sqrt{3}\right)\mathrm{i}$.

Déterminer la nature du triangle $\text{ABC}$.

114

[Communiquer.]
Soient $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ quatre points du plan complexe d’affixe respective $a=3-2 \mathrm{i}$, $b=\mathrm{i}-1$, $c=-1-2 \mathrm{i}$ et $d=1-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}$.

1. Calculer les longueurs $\text{AD,}$ $\text{BD}$ et $\text{CD}$.


2. Que représente $\text{D}$ pour le triangle $\text{ABC}$ ?

115

[Communiquer.] ◉◉◉
Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points du plan complexe d’affixe respective $a=\dfrac{8}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{11}{6} \mathrm{i}$, $b=\dfrac{3 \sqrt{3}}{2}-\dfrac{3}{2} \mathrm{i}$ et $c=2+\mathrm{i}$.

1. Calculer $\dfrac{b-c}{a-c}$.


2. Que peut‑on en conclure concernant les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ ?

116

[Chercher.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2018
On considère dans $\mathbb{C}$ l’équation suivante : $\left(4 z^{2}-20 z+37\right)(2 z-7+2 \mathrm{i})=0$.
Démontrer que les solutions de cette équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle, dont le centre est le point $\text{P}$ d’affixe $2$.

117

[Chercher.]
1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(\mathrm{E}): z^{2}-2 \sqrt{3} z+4=0$.


2. Déterminer la nature du triangle $\text{OAB}$, où $\text{O}$, $\text{A}$ et $\text{B}$ sont respectivement le point d’affixe $0$ et les deux solutions de $(\mathrm{E})$.

118

[Calculer.]
Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points du plan complexe d’affixe respective $a=2+\mathrm{i}$, $b=4-\mathrm{i}$ et $c=-2-3 \mathrm{i}$.

1. Calculer $\dfrac{a-b}{c-a}$.


2. Que peut‑on en conclure concernant les droites $(\mathrm{AB})$ et $(\mathrm{AC})$ ?

119

[Calculer.]
Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points du plan complexe d’affixe respective $a$, $b$ et $c=3+5(1-\sqrt{3}) \mathrm{i}$.

1. Déterminer graphiquement les affixes $a$ et $b$.


2. Déterminer une mesure en radian des angles $(\overrightarrow{\mathrm{BC}} ; \overrightarrow{\mathrm{BA}})$ et $(\overrightarrow{\mathrm{AB}} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})$.


3. En déduire une mesure en radian de l’angle géométrique $\widehat{\mathrm{BCA}}$.

120

[Calculer.]
Soient $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ quatre points du plan complexe d’affixe respective $a=4+2 \mathrm{i}$, $b=2-2 \mathrm{i}$, $c=1+2 \mathrm{i}$ et $d=-2-4 \mathrm{i}$.

1. Calculer $\dfrac{a-b}{c-d}$.


2. Que peut‑on en conclure concernant les droites $(\mathrm{AB})$ et $(\mathrm{CD})$ ?

121

[Chercher.]
Relier chaque ensemble $(\text{E})$ à la relation correspondante.

122

[Représenter.]
Déterminer puis représenter graphiquement l’ensemble $(\mathrm{E})$ des points $\text{M}$ du plan complexe d’affixe $z$ vérifiant :

1. $\left|z-2+\dfrac{3}{4} \mathrm{i}\right|=3$


2. $|z+4-\sqrt{3} \mathrm{i}|=|z-\mathrm{i}|$


3. $|z+\mathrm{i}-3|=-2$


4. $|z+1-3 \mathrm{i}|=|2-4 \mathrm{i}-z|$


5. $|z+5-2 \mathrm{i}|=0$


6. $|z-3 \mathrm{i}-2|=|1-5 \mathrm{i}|$

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123

[Représenter.] ◉◉◉
Déterminer puis représenter graphiquement l’ensemble $(\mathrm{E})$ des points $\text{M}$ du plan complexe d’affixe $z$ vérifiant :

1. $\left|\overline{z}-2+\dfrac{3}{4} \mathrm{i}\right|=3$


2. $|\mathrm{i} z-2 \mathrm{i}|=1$


3. $|3 \mathrm{i} z|=|3 \mathrm{i} z+3-9 \mathrm{i}|$


4. $|\overline{z}-1+\mathrm{i}|=|\overline{z}-5+\mathrm{i}|$

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124

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $z$ et $z^\prime$ deux nombres complexes appartenant à $\mathbb{U}$.

1. Montrer que $z z^\prime$ appartient à $\mathbb{U}$.


2. Justifier que $z$ et $z^\prime$ ne peuvent pas être nuls puis montrer que $\dfrac{z}{z^{\prime}}$ appartient à $\mathbb{U}$.

125

[Représenter.]
On considère dans le plan complexe les points $\mathrm{A}_k$ d’affixe $\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{2 \mathrm{i} k \pi}{7}}}$, où $k$ entier compris entre $0$ et $6$.
Quelle est la nature du polygone $\mathrm{A}_0 \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6$ ?

126

[Calculer.] ◉◉◉
On considère le nombre complexe $j=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\mathrm{i} \sqrt{3}}{2}$.
Démontrer que $j$ et $j^2$ sont des racines troisièmes de l’unité.

127

[Raisonner.] ◉◉◉
1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^5 = 1$.


2. a. Montrer que résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^{5}=(1+\mathrm{i})^{5}$ revient à résoudre l’équation $\mathrm{Z}^{5}=1$, où $\mathrm{Z}$ est à exprimer en fonction de $z$.


b. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^{5}=(1+\mathrm{i})^{5}$.

128

[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que $z$ appartient à $\mathbb{U}$ si, et seulement si, $\overline{z}=\dfrac{1}{z}$.

129

[Raisonner.]
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres complexes appartenant à $\mathbb{U}$.
Montrer que $|a b+b c+c a|=|a+b+c|$.

130

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $z$ un nombre complexe appartenant à $\mathbb{U}$.
Calculer $|1+z|^{2}+|1-z|^{2}$.