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3. Applications géométriques des nombres complexes
P.74-75

Entraînement


3
Applications géométriques des nombres complexes





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 50 ; 61 ; 65 ; 67 ; 75 ; 88 ; 112 ; 126 et 128
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 64 ; 69 ; 76 ; 79 ; 92 ; 113 et 130
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 56 ; 83 ; 84 ; 97 ; 103 ; 115 ; 123 et 127

109
FLASH

Soient , et trois points distincts du plan complexe d’affixe respective , et .
Expliciter deux méthodes permettant de démontrer que ces points sont alignés.
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110
FLASH

Soient , , et quatre points du plan complexe d’affixe respective , , et .
On suppose que est un trapèze de base et vérifiant .
Traduire les données de l’énoncé en utilisant les affixes des quatre points.
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111
FLASH

1. Écrire sous forme exponentielle et algébrique les racines quatrièmes de l’unité.


2. Les nombres complexes obtenus correspondent à l’affixe de points formant un polygone particulier. Lequel ?
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112
[Calculer.] ◉◉
Soient , et trois points du plan complexe d’affixe respective , et .

1. Calculer la longueur .


2.Le point appartient‑il au cercle de centre passant par  ?
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113
[Calculer.] ◉◉
Soient , et trois points du plan complexe d’affixe respective , et .

Déterminer la nature du triangle .


Aide
On calculera des longueurs avant d’essayer de calculer des angles.
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114
[Communiquer.]
Soient , , et quatre points du plan complexe d’affixe respective , , et .

1. Calculer les longueurs et .


2. Que représente pour le triangle  ?
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115
[Communiquer.] ◉◉◉
Soient , et trois points du plan complexe d’affixe respective , et .

1. Calculer .


2. Que peut‑on en conclure concernant les points , et  ?
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116
[Chercher.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2018
On considère dans l’équation suivante : .
Démontrer que les solutions de cette équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle, dont le centre est le point d’affixe .


Aide
Commencer par résoudre l’équation.
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117
[Chercher.]
1. Résoudre dans l’équation .


2. Déterminer la nature du triangle , où , et sont respectivement le point d’affixe et les deux solutions de .
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118
[Calculer.]
Soient , et trois points du plan complexe d’affixe respective , et .

1. Calculer .


2. Que peut‑on en conclure concernant les droites et  ?
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119
[Calculer.]
Soient , et trois points du plan complexe d’affixe respective , et .

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - exercice 119

1. Déterminer graphiquement les affixes et .


2. Déterminer une mesure en radian des angles et .


3. En déduire une mesure en radian de l’angle géométrique .
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120
[Calculer.]
Soient , , et quatre points du plan complexe d’affixe respective , , et .

1. Calculer .


2. Que peut‑on en conclure concernant les droites et  ?
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121
[Chercher.]
Relier chaque ensemble à la relation correspondante.

    Ensemble Relation
    1. Médiatrice de avec et .
    2. Cercle de centre et de rayon .
    3. Médiatrice de avec et .
    4. Point d’affixe .
    5. Cercle de centre et de rayon .
    6. Cercle de centre et de rayon .
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    122
    [Représenter.]
    Déterminer puis représenter graphiquement l’ensemble des points du plan complexe d’affixe vérifiant :

    1.


    2.


    3.


    4.


    5.


    6.


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    Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
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    123
    [Représenter.] ◉◉◉
    Déterminer puis représenter graphiquement l’ensemble des points du plan complexe d’affixe vérifiant :

    1.


    2.


    3.


    4.


    Lancer le module Geogebra
    Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
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    124
    [Raisonner.]
    [DÉMO]

    Soient et deux nombres complexes appartenant à .

    1. Montrer que appartient à .


    2. Justifier que et ne peuvent pas être nuls puis montrer que appartient à .
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    125
    [Représenter.]
    On considère dans le plan complexe les points d’affixe , où entier compris entre et .
    Quelle est la nature du polygone  ?
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    126
    [Calculer.] ◉◉
    On considère le nombre complexe .
    Démontrer que et sont des racines troisièmes de l’unité.
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    127
    [Raisonner.] ◉◉◉
    1. Résoudre dans l’équation .


    2. a. Montrer que résoudre dans l’équation revient à résoudre l’équation , où est à exprimer en fonction de .


    b. Résoudre dans l’équation .
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    128
    [Raisonner.] ◉◉
    Montrer que appartient à si, et seulement si, .
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    129
    [Raisonner.]
    Soient , et trois nombres complexes appartenant à .
    Montrer que .
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    130
    [Raisonner.] ◉◉
    Soit un nombre complexe appartenant à .
    Calculer .
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