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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
Activité
Nombres complexes, point de vue géométrique
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ADes nombres complexes à la géométrie
Objectif : Découvrir les notions d'affixes de points et de vecteurs.
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On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
On peut représenter les nombres complexes dans le plan en associant à chaque nombre complexe z=x+\mathrm{i} y le point de coordonnées (x ; y).
On dit alors que \text{M} est le point image de z et inversement que z est l'affixe du point \text{M}. On note \mathrm{M}(z).
On considère les points \text{A} et \text{B} placés sur la figure ci‑contre et le point \text{C} de coordonnées (2 ;-2 \sqrt{3}).
Remarque
Un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}) est direct lorsque (\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})=\frac{\pi}{2}+2 k \pi avec k \in \mathbb{Z}.On peut représenter les nombres complexes dans le plan en associant à chaque nombre complexe z=x+\mathrm{i} y le point de coordonnées (x ; y).
On dit alors que \text{M} est le point image de z et inversement que z est l'affixe du point \text{M}. On note \mathrm{M}(z).
On considère les points \text{A} et \text{B} placés sur la figure ci‑contre et le point \text{C} de coordonnées (2 ;-2 \sqrt{3}).
Remarque
On note le repère (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}) à la place de (\mathrm{O} ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}) pour éviter les confusions possibles avec le nombre \text{i}.
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1
a) Démontrer que (\overrightarrow{\mathrm{OA}}\,; \overrightarrow{\mathrm{OC}})=\frac{-\pi}{3}+2 k \pi ; k \in \mathbb{Z}.b) Reproduire la figure et placer précisément le point \text{C}.
GeoGebra
2
Donner les nombres complexes associés à chacun des points \text{A}, \text{B} et \text{C}, notés respectivement z_{\mathrm{A}}, z_{\mathrm{B}} et z_{\mathrm{C}}.3
À quelle condition un nombre complexe est‑il représenté par un point de l'axe des abscisses ? Par un point de l'axe des ordonnées ?4
Le nombre complexe z associé à un point \text{M} est aussi représenté par un vecteur \vec{w} tel que \vec{w}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}. On dit que le vecteur \vec{w} a pour affixe z, et on note z_{\overrightarrow{w}}=z.
a) Quelles sont les affixes des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} et \overrightarrow{\mathrm{OC}} ?
b) Déterminer le point \text{D} tel que \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}.
c) En déduire l'affixe du vecteur \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
5
Déterminer l'affixe du point \text{I}, milieu du segment [\mathrm{BC}].Ressource affichée de l'autre côté.
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Bilan
Si \mathbf{A} et \mathbf{B} sont deux points d'affixe respective \boldsymbol{z_\mathrm{A}} et \boldsymbol{z_\mathrm{B}}, exprimer l'affixe du vecteur \boldsymbol{\overrightarrow{\mathrm{AB}}} en fonction de \boldsymbol{z_\mathrm{A}} et \boldsymbol{z_\mathrm{B}}, puis celle du milieu du segment \boldsymbol{[\mathrm{A B}]}.
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BForme algébrique et formes trigonométriques
Objectif : Déterminer une forme trigonométrique d'un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique.
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On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
On considère les points \text{A}, \text{B} et \text{U} placés sur la figure ci‑contre et le point \text{C} d'affixe z_{\mathrm{C}}=-3+3 \mathrm{i}. On note z_{\mathrm{A}} et z_{\mathrm{B}} les affixes respectives de \text{A} et \text{B}.
On considère les points \text{A}, \text{B} et \text{U} placés sur la figure ci‑contre et le point \text{C} d'affixe z_{\mathrm{C}}=-3+3 \mathrm{i}. On note z_{\mathrm{A}} et z_{\mathrm{B}} les affixes respectives de \text{A} et \text{B}.
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1
a) Reproduire la figure, placer \text{C} et déterminer les affixes des points \text{A} et \text{B}.
GeoGebra
b) Calculer la longueur \text{OA}.
On appelle module de z_{\mathrm{A}}, que l'on note \left|z_{\mathrm{A}}\right|, la longueur \text{OA}.
c) Calculer \left|z_{\mathrm{B}}\right| et \left|z_{\mathrm{C}}\right|.
2
a) Donner une mesure en radian des angles (\overrightarrow{\mathrm{OU}} ; \overrightarrow{\mathrm{OA}}) et (\overrightarrow{\mathrm{OU}} ; \overrightarrow{\mathrm{OB}}).b) En utilisant les coordonnées de \text{C}, déterminer les valeurs de \cos (\overrightarrow{\mathrm{OU}} ; \overrightarrow{\mathrm{OC}}) et \sin (\overrightarrow{\mathrm{OU}} ; \overrightarrow{\mathrm{OC}}), puis en déduire une mesure \alpha de l'angle (\overrightarrow{\mathrm{OU}} ; \overrightarrow{\mathrm{OC}}). Cette mesure est un argument du nombre complexe z_{\mathrm{C}}, affixe de \text{C}.
c) La mesure précédente est‑elle unique ? Justifier.
d) Qu'en conclure concernant la notion d'argument d'un nombre complexe ?
On note \arg \left(z_{\mathrm{C}}\right)=\alpha+k \times 2 \pi avec k \in \mathbb{Z}.
3
a) Vérifier que z_{\mathrm{C}}=\left|z_{\mathrm{C}}\right|\left[\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)\right].Cette écriture de z_{\mathrm{C}} est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z_{\mathrm{C}}.
b) Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de z_{\mathrm{C}} en fonction de son module \left|z_{\mathrm{C}}\right| et de \alpha.
4
a) Placer le point \text{D} d'affixe z_{\mathrm{D}}=3\left(\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right). Déterminer une forme trigonométrique de z_{\mathrm{D}}.b) Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe z=-4 \sqrt{3}+4\mathrm{i}.
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Bilan
Proposer une méthode permettant de déterminer le module et un argument de \boldsymbol{z=x+\mathrm{i}y}.
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Cn‑ièmes de l'unité
Objectif : Découvrir l'ensemble \mathbb{U}_n des racines n‑ièmes de l'unité.
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Soit n est un entier naturel non nul. On considère l'équation complexe z^{n}=1.
Les solutions de cette équation sont appelées racines n‑ièmes de l'unité. On note \mathbb{U}_n l'ensemble de ces solutions.
Les solutions de cette équation sont appelées racines n‑ièmes de l'unité. On note \mathbb{U}_n l'ensemble de ces solutions.
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1
Déterminer les ensembles \mathbb{U}_1 et \mathbb{U}_2.2
a) Déterminer l'ensemble \mathbb{U}_4.b) Démontrer que le polygone, dont les sommets ont pour affixes les racines quatrièmes de l'unité, est un carré.
3
On considère le repère orthonormé (\mathrm{O} ; \mathrm{U} , \mathrm{V}) ci‑contre. On admet que le triangle \text{UJK} est équilatéral.
a) Déterminer les affixes des points \text{U}, \text{J} et \text{K} sous forme exponentielle.
On note \text{j} l'affixe du point \text{J}.
b) Démontrer que l'affixe de \text{K} est \text{j}^2.
On note \text{j} l'affixe du point \text{J}.
b) Démontrer que l'affixe de \text{K} est \text{j}^2.
c) Justifier que 1, \text{j} et \text{j}^2 sont solutions de l'équation z^{3}=1.
d) Démontrer que z est solution de z^{3}=1 si, et seulement si, \left\{\begin{aligned}|z| &=1 \\ \arg (z) &=\frac{2 \pi}{3} k \end{aligned}\right., où k est un entier relatif. Pour quelles raisons peut‑on affirmer que l'équation admet exactement trois solutions ?
d) Démontrer que z est solution de z^{3}=1 si, et seulement si, \left\{\begin{aligned}|z| &=1 \\ \arg (z) &=\frac{2 \pi}{3} k \end{aligned}\right., où k est un entier relatif. Pour quelles raisons peut‑on affirmer que l'équation admet exactement trois solutions ?
4
Pour n = 2, n = 3 puis n = 4, démontrer que la somme des racines n‑ièmes de l'unité est égale à 0.Ressource affichée de l'autre côté.
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Bilan
Déterminer l'ensemble \boldsymbol{\mathbb{U}_n} en précisant le nombre d'éléments le constituant, puis démontrer que la somme des racines \boldsymbol{n}‑ièmes de l'unité est égale à \boldsymbol{0}.
Conjecturer une propriété du polygone dont les \boldsymbol{n} sommets correspondent à l'ensemble des racines \boldsymbol{n}‑ièmes de l'unité.
Conjecturer une propriété du polygone dont les \boldsymbol{n} sommets correspondent à l'ensemble des racines \boldsymbol{n}‑ièmes de l'unité.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
