Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 2

Activité

Nombres complexes, point de vue géométrique

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A
Des nombres complexes à la géométrie

Objectif : Découvrir les notions d'affixes de points et de vecteurs.

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On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct

(O; u, v)

Remarque

Un repère orthonormé

(O; u, v)

est direct lorsque

(u; v) = \frac{π}{2} + 2 k π

avec

k \in Z

On peut représenter les nombres complexes dans le plan en associant à chaque nombre complexe

z = x + i y

le point de coordonnées

(x; y)

.
On dit alors que

M

est le point image de

z

et inversement que

z

est l'affixe du point

M

. On note

M (z)

.
On considère les points

A

B

placés sur la figure ci‑contre et le point

C

de coordonnées

(2; - 23)

Remarque

On note le repère

(O; u, v)

à la place de

(O; i, j)

pour éviter les confusions possibles avec le nombre

i

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Activité A - Des nombres complexes à la géométrie

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1
a) Démontrer que

(O A; O C) = \frac{- π}{3} + 2 k π

;

k \in Z

b) Reproduire la figure et placer précisément le point

C

GeoGebra

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2
Donner les nombres complexes associés à chacun des points

A

B

C

, notés respectivement

z_{A}

z_{B}

z_{C}

3
À quelle condition un nombre complexe est‑il représenté par un point de l'axe des abscisses ? Par un point de l'axe des ordonnées ?

4
Le nombre complexe

z

associé à un point

M

est aussi représenté par un vecteur

w

tel que

w = O M

. On dit que le vecteur

w

a pour affixe

z

, et on note

z_{w} = z

.
a) Quelles sont les affixes des vecteurs

O A

O B

O C

b) Déterminer le point

D

tel que

O D = B C

c) En déduire l'affixe du vecteur

B C

5
Déterminer l'affixe du point

I

, milieu du segment

[B C]

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Bilan

Si $A$ et $B$ sont deux points d'affixe respective $z_{A}$ et $z_{B}$ , exprimer l'affixe du vecteur $A B$ en fonction de $z_{A}$ et $z_{B}$ , puis celle du milieu du segment $[A B]$ .

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B
Forme algébrique et formes trigonométriques

Objectif : Déterminer une forme trigonométrique d'un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique.

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On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct

(O; u, v)

.
On considère les points

A

B

U

placés sur la figure ci‑contre et le point

C

d'affixe

z_{C} = - 3 + 3 i

. On note

z_{A}

z_{B}

les affixes respectives de

A

B

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Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Activité B - Forme algébrique et formes trigonométriques

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1
a) Reproduire la figure, placer

C

et déterminer les affixes des points

A

B

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b) Calculer la longueur

OA

On appelle module de

z_{A}

, que l'on note

∣ z_{A} ∣

, la longueur

OA

.

c) Calculer

∣ z_{B} ∣

∣ z_{C} ∣

2
a) Donner une mesure en radian des angles

(O U; O A)

(O U; O B)

b) En utilisant les coordonnées de

C

, déterminer les valeurs de

cos (O U; O C)

sin (O U; O C)

, puis en déduire une mesure

α

de l'angle

(O U; O C)

. Cette mesure est un argument du nombre complexe

z_{C}

, affixe de

C

c) La mesure précédente est‑elle unique ? Justifier.

d) Qu'en conclure concernant la notion d'argument d'un nombre complexe ?

On note

ar g (z_{C}) = α + k \times 2 π

avec

k \in Z

3
a) Vérifier que

z_{C} = ∣ z_{C} ∣ [cos (α) + i sin (α)]

.
Cette écriture de

z_{C}

est appelée forme trigonométrique du nombre complexe

z_{C}

b) Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de

z_{C}

en fonction de son module

∣ z_{C} ∣

et de

α

4
a) Placer le point

D

d'affixe

z_{D} = 3 (\frac{1}{2} - i \frac{3}{2})

. Déterminer une forme trigonométrique de

z_{D}

b) Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe

z = - 43 + 4 i

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Bilan

Proposer une méthode permettant de déterminer le module et un argument de $z = x + i y$ .

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C
$n$ ‑ièmes de l'unité

Objectif : Découvrir l'ensemble

U_{n}

des racines

n

‑ièmes de l'unité.

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Soit

n

est un entier naturel non nul. On considère l'équation complexe

z^{n} = 1

.
Les solutions de cette équation sont appelées racines

n

‑ièmes de l'unité. On note

U_{n}

l'ensemble de ces solutions.

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Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Activité C - Racines n‑ièmes de l'unité

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1
Déterminer les ensembles

U_{1}

U_{2}

2
a) Déterminer l'ensemble

U_{4}

b) Démontrer que le polygone, dont les sommets ont pour affixes les racines quatrièmes de l'unité, est un carré.

3
On considère le repère orthonormé

(O; U, V)

ci‑contre. On admet que le triangle

UJK

est équilatéral.

a) Déterminer les affixes des points

U

J

K

sous forme exponentielle.

On note

j

l'affixe du point

J

.

b) Démontrer que l'affixe de

K

est

j^{2}

c) Justifier que

1

j

j^{2}

sont solutions de l'équation

z^{3} = 1

d) Démontrer que

z

est solution de

z^{3} = 1

si, et seulement si,

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ∣ z ∣ ar g (z) = 1 = \frac{2 π}{3} k

, où

k

est un entier relatif. Pour quelles raisons peut‑on affirmer que l'équation admet exactement trois solutions ?

4
Pour

n = 2

n = 3

puis

n = 4

, démontrer que la somme des racines

n

‑ièmes de l'unité est égale à

0

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Bilan

Déterminer l'ensemble $U_{n}$ en précisant le nombre d'éléments le constituant, puis démontrer que la somme des racines $n$ ‑ièmes de l'unité est égale à $0$ .
Conjecturer une propriété du polygone dont les $n$ sommets correspondent à l'ensemble des racines $n$ ‑ièmes de l'unité.

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