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A
Des nombres complexes à la géométrie



Objectif
Découvrir les notions d’affixes de points et de vecteurs.

Remarque

Un repère orthonormé (O ; u , v)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}) est direct lorsque (u ; v)=π2+2kπ(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})=\dfrac{\pi}{2}+2 k \pi avec kZk \in \mathbb{Z}.

Remarque

On note le repère (O ; u , v)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}) à la place de (O ; i , j)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}) pour éviter les confusions possibles avec le nombre i\text{i}.

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Activité A - Des nombres complexes à la géométrie
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On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct (O ; u ,v)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
On peut représenter les nombres complexes dans le plan en associant à chaque nombre complexe z=x+iyz=x+\mathrm{i} y le point de coordonnées (x ; y)(x ; y).
On dit alors que M\text{M} est le point image de zz et inversement que zz est l’affixe du point M\text{M}. On note M(z)\mathrm{M}(z).
On considère les points A\text{A} et B\text{B} placés sur la figure ci‑contre et le point C\text{C} de coordonnées (2 ;23)(2 ;-2 \sqrt{3}).

1
a)
Démontrer que (OA;OC)=π3+2kπ(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\,; \overrightarrow{\mathrm{OC}})=\dfrac{-\pi}{3}+2 k \pi ; kZk \in \mathbb{Z}.


b) Reproduire la figure et placer précisément le point C\text{C}.

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2
Donner les nombres complexes associés à chacun des points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C}, notés respectivement zAz_{\mathrm{A}}, zBz_{\mathrm{B}} et zCz_{\mathrm{C}}.


3
À quelle condition un nombre complexe est‑il représenté par un point de l’axe des abscisses ? Par un point de l’axe des ordonnées ?


4
Le nombre complexe zz associé à un point M\text{M} est aussi représenté par un vecteur w\overrightarrow{w} tel que w=OM\overrightarrow{w}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}. On dit que le vecteur w\overrightarrow{w} a pour affixe zz, et on note zw=zz_{\overrightarrow{w}}=z.
a) Quelles sont les affixes des vecteurs OA\overrightarrow{\mathrm{OA}}, OB\overrightarrow{\mathrm{OB}} et OC\overrightarrow{\mathrm{OC}} ?


b) Déterminer le point D\text{D} tel que OD=BC\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}.


c) En déduire l’affixe du vecteur BC\overrightarrow{\mathrm{BC}}.


5
Déterminer l’affixe du point I\text{I}, milieu du segment [BC][\mathrm{BC}].
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Bilan

Si A\mathbf{A} et B\mathbf{B} sont deux points d’affixe respective zA\boldsymbol{z_\mathrm{A}} et zB\boldsymbol{z_\mathrm{B}}, exprimer l’affixe du vecteur AB\boldsymbol{\overrightarrow{\mathrm{AB}}} en fonction de zA\boldsymbol{z_\mathrm{A}} et zB\boldsymbol{z_\mathrm{B}}, puis celle du milieu du segment [AB]\boldsymbol{[\mathrm{A B}]}.
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B
Forme algébrique et formes trigonométriques



Objectif
Déterminer une forme trigonométrique d’un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique.


Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Activité B - Forme algébrique et formes trigonométriques
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On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct (O ; u ,v)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
On considère les points A\text{A}, B\text{B} et U\text{U} placés sur la figure ci‑contre et le point C\text{C} d’affixe zC=3+3iz_{\mathrm{C}}=-3+3 \mathrm{i}. On note zAz_{\mathrm{A}} et zBz_{\mathrm{B}} les affixes respectives de A\text{A} et B\text{B}.

1
a)
Reproduire la figure, placer C\text{C} et déterminer les affixes des points A\text{A} et B\text{B}.
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b) Calculer la longueur OA\text{OA}.


On appelle module de zAz_{\mathrm{A}}, que l’on note zA\left|z_{\mathrm{A}}\right|, la longueur OA\text{OA}.

c) Calculer zB\left|z_{\mathrm{B}}\right| et zC\left|z_{\mathrm{C}}\right|.


2
a)
Donner une mesure en radian des angles (OU ; OA)(\overrightarrow{\mathrm{OU}} ; \overrightarrow{\mathrm{OA}}) et (OU ; OB)(\overrightarrow{\mathrm{OU}} ; \overrightarrow{\mathrm{OB}}).


b) En utilisant les coordonnées de C\text{C}, déterminer les valeurs de cos(OU ; OC)\cos (\overrightarrow{\mathrm{OU}} ; \overrightarrow{\mathrm{OC}}) et sin(OU ; OC)\sin (\overrightarrow{\mathrm{OU}} ; \overrightarrow{\mathrm{OC}}), puis en déduire une mesure α\alpha de l’angle (OU ; OC)(\overrightarrow{\mathrm{OU}} ; \overrightarrow{\mathrm{OC}}). Cette mesure est un argument du nombre complexe zCz_{\mathrm{C}}, affixe de C\text{C}.


c) La mesure précédente est‑elle unique ? Justifier.


d) Qu’en conclure concernant la notion d’argument d’un nombre complexe ?


On note arg(zC)=α+k×2π\arg \left(z_{\mathrm{C}}\right)=\alpha+k \times 2 \pi avec kZk \in \mathbb{Z}.

3
a)
Vérifier que zC=zC[cos(α)+isin(α)]z_{\mathrm{C}}=\left|z_{\mathrm{C}}\right|\left[\cos (\alpha)+\mathrm{i} \sin (\alpha)\right].
Cette écriture de zCz_{\mathrm{C}} est appelée forme trigonométrique du nombre complexe zCz_{\mathrm{C}}.


b) Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de zCz_{\mathrm{C}} en fonction de son module zC\left|z_{\mathrm{C}}\right| et de α\alpha.


4
a)
Placer le point D\text{D} d’affixe zD=3(12i32)z_{\mathrm{D}}=3\left(\dfrac{1}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Déterminer une forme trigonométrique de zDz_{\mathrm{D}}.


b) Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe z=43+4iz=-4 \sqrt{3}+4\mathrm{i}.
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Bilan

Proposer une méthode permettant de déterminer le module et un argument de z=x+iy\boldsymbol{z=x+\mathrm{i}y}.
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C
Racines nn‑ièmes de l’unité



Objectif
Découvrir l’ensemble Un\mathbb{U}_n des racines nn‑ièmes de l’unité.

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Soit nn est un entier naturel non nul. On considère l’équation complexe zn=1z^{n}=1.
Les solutions de cette équation sont appelées racines nn‑ièmes de l’unité. On note Un\mathbb{U}_n l’ensemble de ces solutions.

1
Déterminer les ensembles U1\mathbb{U}_1 et U2\mathbb{U}_2.


2
a)
Déterminer l’ensemble U4\mathbb{U}_4.


b) Démontrer que le polygone, dont les sommets ont pour affixes les racines quatrièmes de l’unité, est un carré.


3
On considère le repère orthonormé (O ; U , V)(\mathrm{O} ; \mathrm{U} , \mathrm{V}) ci‑contre. On admet que le triangle UJK\text{UJK} est équilatéral.
a) Déterminer les affixes des points U\text{U}, J\text{J} et K\text{K} sous forme exponentielle.


On note j\text{j} l’affixe du point J\text{J}.

b) Démontrer que l’affixe de K\text{K} est j2\text{j}^2.


c) Justifier que 11, j\text{j} et j2\text{j}^2 sont solutions de l’équation z3=1z^{3}=1.


d) Démontrer que zz est solution de z3=1z^{3}=1 si, et seulement si, {z=1arg(z)=2π3k\left\{\begin{aligned}|z| &=1 \\ \arg (z) &=\dfrac{2 \pi}{3} k \end{aligned}\right., où kk est un entier relatif. Pour quelles raisons peut‑on affirmer que l’équation admet exactement trois solutions ?


4
Pour n=2n = 2, n=3n = 3 puis n=4n = 4, démontrer que la somme des racines nn‑ièmes de l’unité est égale à 00.
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Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Activité C - Racines n‑ièmes de l’unité
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Bilan

Déterminer l’ensemble Un\boldsymbol{\mathbb{U}_n} en précisant le nombre d’éléments le constituant, puis démontrer que la somme des racines n\boldsymbol{n}‑ièmes de l’unité est égale à 0\boldsymbol{0}.
Conjecturer une propriété du polygone dont les n\boldsymbol{n} sommets correspondent à l’ensemble des racines n\boldsymbol{n}‑ièmes de l’unité.

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