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A
Des nombres complexes à la géométrie
Objectif : Découvrir les notions d'affixes de points et de vecteurs.
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On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v).
Remarque
Un repère orthonormé (O;u,v) est direct lorsque (u;v)=2π+2kπ avec k∈Z.
On peut représenter les nombres complexes dans le plan en associant à chaque nombre complexe z=x+iy le point de coordonnées (x;y).
On dit alors que M est le point image de z et inversement que z est l'affixe du point M. On note M(z).
On considère les points A et B placés sur la figure ci‑contre et le point C de coordonnées (2;−23).
Remarque
On note le repère (O;u,v) à la place de (O;i,j) pour éviter les confusions possibles
avec le nombre i.
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1
a) Démontrer que (OA;OC)=3−π+2kπ ; k∈Z.
b) Reproduire la figure et placer précisément le point C.
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2
Donner les nombres complexes associés à chacun des points A, B et C, notés respectivement zA, zB et zC.
3
À quelle condition un nombre complexe est‑il représenté par un point de l'axe des abscisses ? Par un point de l'axe des ordonnées ?
4
Le nombre complexe z associé à un point M est aussi représenté par un vecteur w tel que w=OM. On dit que le vecteur w a pour affixe z, et on note zw=z.
a) Quelles sont les affixes des vecteurs OA, OB et OC ?
b) Déterminer le point D tel que OD=BC.
c) En déduire l'affixe du vecteur BC.
5
Déterminer l'affixe du point I, milieu du segment [BC].
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Bilan
Si A et B sont deux points d'affixe respective zA et zB, exprimer l'affixe du vecteur AB en fonction de zA et zB, puis celle du milieu du segment [AB].
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B
Forme algébrique et formes trigonométriques
Objectif : Déterminer une forme trigonométrique d'un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique.
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On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v).
On considère les points A, B et U placés sur la figure ci‑contre et le point C d'affixe zC=−3+3i. On note zA et zB les affixes respectives de A et B.
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1
a) Reproduire la figure, placer C et déterminer les affixes des points A et B.
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b) Calculer la longueur OA.
On appelle module de zA, que l'on note ∣zA∣, la longueur OA.
c) Calculer ∣zB∣ et ∣zC∣.
2
a) Donner une mesure en radian des angles (OU;OA) et (OU;OB).
b) En utilisant les coordonnées de C, déterminer les valeurs de cos(OU;OC) et sin(OU;OC), puis en déduire une mesure α de l'angle (OU;OC). Cette mesure est un argument du nombre complexe zC, affixe de C.
c) La mesure précédente est‑elle unique ? Justifier.
d) Qu'en conclure concernant la notion d'argument d'un nombre complexe ?
On note arg(zC)=α+k×2π avec k∈Z.
3
a) Vérifier que zC=∣zC∣[cos(α)+isin(α)].
Cette écriture de zC est appelée forme trigonométrique du nombre complexe zC.
b) Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de zC en fonction de son module ∣zC∣ et de α.
4
a) Placer le point D d'affixe zD=3(21−i23). Déterminer une forme trigonométrique de zD.
b) Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe z=−43+4i.
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Bilan
Proposer une méthode permettant de déterminer le module et un argument de z=x+iy.
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C
n‑ièmes de l'unité
Objectif : Découvrir l'ensemble Un des racines n‑ièmes de l'unité.
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Soit n est un entier naturel non nul. On considère l'équation complexe zn=1.
Les solutions de cette équation sont appelées racines n‑ièmes de l'unité. On note Un l'ensemble de ces solutions.
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1
Déterminer les ensembles U1 et U2.
2
a) Déterminer l'ensemble U4.
b) Démontrer que le polygone, dont les sommets ont pour affixes les racines quatrièmes de l'unité, est un carré.
3
On considère le repère orthonormé (O;U,V) ci‑contre. On admet que le triangle UJK est équilatéral.
a) Déterminer les affixes des points U, J et K sous forme exponentielle.
On note j l'affixe du point J.
b) Démontrer que l'affixe de K est j2.
c) Justifier que 1, j et j2 sont solutions de l'équation z3=1.
d) Démontrer que z est solution de z3=1 si, et seulement si, ⎩⎪⎨⎪⎧∣z∣arg(z)=1=32πk, où k est un entier relatif. Pour quelles raisons peut‑on affirmer que l'équation admet exactement trois solutions ?
4
Pour n=2, n=3 puis n=4, démontrer que la somme des racines n‑ièmes de l'unité est égale à 0.
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Bilan
Déterminer l'ensemble Un en précisant le nombre d'éléments le constituant, puis démontrer que la somme des racines n‑ièmes de l'unité est égale à 0.
Conjecturer une propriété du polygone dont les n sommets correspondent à l'ensemble des racines n‑ièmes de l'unité.
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