Un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ est direct lorsque $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

On note le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ à la place de $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ pour éviter les confusions possibles avec le nombre $\text{i}$.

On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
On peut représenter les nombres complexes dans le plan en associant à chaque nombre complexe $z=x+\mathrm{i}y$ le point de coordonnées $(x;y)$.
On dit alors que $\text{M}$ est le point image de $z$ et inversement que $z$ est l’affixe du point $\text{M}$. On note $\mathrm{M}(z)$.
On considère les points $\text{A}$ et $\text{B}$ placés sur la figure ci‑contre et le point $\text{C}$ de coordonnées $(2;-2\sqrt{3})$.

1

a) Démontrer que $(\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}})=\frac{-\pi }{3}+2k\pi$ ; $k\in \mathbb{Z}$.


b) Reproduire la figure et placer précisément le point $\text{C}$.

2

Donner les nombres complexes associés à chacun des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$, notés respectivement $z_{\mathrm{A}}$, $z_{\mathrm{B}}$ et $z_{\mathrm{C}}$.

3

À quelle condition un nombre complexe est‑il représenté par un point de l’axe des abscisses ? Par un point de l’axe des ordonnées ?

4

Le nombre complexe $z$ associé à un point $\text{M}$ est aussi représenté par un vecteur $\overrightarrow{w}$ tel que $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}$. On dit que le vecteur $\overrightarrow{w}$ a pour affixe $z$, et on note $z_{\overrightarrow{w}}=z$.
a) Quelles sont les affixes des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}$, $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}$ ?


b) Déterminer le point $\text{D}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}$.


c) En déduire l’affixe du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}$.

5

Déterminer l’affixe du point $\text{I}$, milieu du segment $[\mathrm{B}\mathrm{C}]$.

On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
On considère les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{U}$ placés sur la figure ci‑contre et le point $\text{C}$ d’affixe $z_{\mathrm{C}}=-3+3\mathrm{i}$. On note $z_{\mathrm{A}}$ et $z_{\mathrm{B}}$ les affixes respectives de $\text{A}$ et $\text{B}$.

1

a) Reproduire la figure, placer $\text{C}$ et déterminer les affixes des points $\text{A}$ et $\text{B}$.
b) Calculer la longueur $\text{OA}$.


On appelle module de $z_{\mathrm{A}}$, que l’on note $\left|z_{\mathrm{A}}\right|$, la longueur $\text{OA}$.

c) Calculer $\left|z_{\mathrm{B}}\right|$ et $\left|z_{\mathrm{C}}\right|$.

2

a) Donner une mesure en radian des angles $(\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{U}};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}})$ et $(\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{U}};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}})$.


b) En utilisant les coordonnées de $\text{C}$, déterminer les valeurs de $\cos (\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{U}};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}})$ et $\sin (\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{U}};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}})$, puis en déduire une mesure $\alpha$ de l’angle $(\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{U}};\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}})$. Cette mesure est un argument du nombre complexe $z_{\mathrm{C}}$, affixe de $\text{C}$.


c) La mesure précédente est‑elle unique ? Justifier.


d) Qu’en conclure concernant la notion d’argument d’un nombre complexe ?


On note $\arg \left(z_{\mathrm{C}}\right)=\alpha +k\times 2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

3

a) Vérifier que $z_{\mathrm{C}}=\left|z_{\mathrm{C}}\right|\left[\cos (\alpha )+\mathrm{i}\sin (\alpha )\right]$.
Cette écriture de $z_{\mathrm{C}}$ est appelée forme trigonométrique du nombre complexe $z_{\mathrm{C}}$.


b) Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $z_{\mathrm{C}}$ en fonction de son module $\left|z_{\mathrm{C}}\right|$ et de $\alpha$.

4

a) Placer le point $\text{D}$ d’affixe $z_{\mathrm{D}}=3\left(\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Déterminer une forme trigonométrique de $z_{\mathrm{D}}$.


b) Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe $z=-4\sqrt{3}+4\mathrm{i}$.

Soit $n$ est un entier naturel non nul. On considère l’équation complexe $z^n=1$.
Les solutions de cette équation sont appelées racines $n$‑ièmes de l’unité. On note ${\mathbb{U}}_n$ l’ensemble de ces solutions.

1

Déterminer les ensembles ${\mathbb{U}}_1$ et ${\mathbb{U}}_2$.

2

a) Déterminer l’ensemble ${\mathbb{U}}_4$.


b) Démontrer que le polygone, dont les sommets ont pour affixes les racines quatrièmes de l’unité, est un carré.

3

On considère le repère orthonormé $(\mathrm{O};\mathrm{U},\mathrm{V})$ ci‑contre. On admet que le triangle $\text{UJK}$ est équilatéral.
a) Déterminer les affixes des points $\text{U}$, $\text{J}$ et $\text{K}$ sous forme exponentielle.


On note $\text{j}$ l’affixe du point $\text{J}$.

b) Démontrer que l’affixe de $\text{K}$ est ${\text{j}}^2$.


c) Justifier que $1$, $\text{j}$ et ${\text{j}}^2$ sont solutions de l’équation $z^3=1$.


d) Démontrer que $z$ est solution de $z^3=1$ si, et seulement si, $\{\begin{array}{rl}|z|& =1\\ \arg (z)& =\frac{2\pi }{3}k\end{array}$, où $k$ est un entier relatif. Pour quelles raisons peut‑on affirmer que l’équation admet exactement trois solutions ?

4

Pour $n=2$, $n=3$ puis $n=4$, démontrer que la somme des racines $n$‑ièmes de l’unité est égale à $0$.