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P.50-51

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A
Des nombres complexes à la géométrie



Objectif
Découvrir les notions d’affixes de points et de vecteurs.

Remarque

Un repère orthonormé est direct lorsque avec .

Remarque

On note le repère à la place de pour éviter les confusions possibles avec le nombre .

Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Activité A - Des nombres complexes à la géométrie
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On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct .
On peut représenter les nombres complexes dans le plan en associant à chaque nombre complexe le point de coordonnées .
On dit alors que est le point image de et inversement que est l’affixe du point . On note .
On considère les points et placés sur la figure ci‑contre et le point de coordonnées .

1
a)
Démontrer que  ; .


b) Reproduire la figure et placer précisément le point .

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2
Donner les nombres complexes associés à chacun des points , et , notés respectivement , et .


3
À quelle condition un nombre complexe est‑il représenté par un point de l’axe des abscisses ? Par un point de l’axe des ordonnées ?


4
Le nombre complexe associé à un point est aussi représenté par un vecteur tel que . On dit que le vecteur a pour affixe , et on note .
a) Quelles sont les affixes des vecteurs , et  ?


b) Déterminer le point tel que .


c) En déduire l’affixe du vecteur .


5
Déterminer l’affixe du point , milieu du segment .
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Bilan

Si et sont deux points d’affixe respective et , exprimer l’affixe du vecteur en fonction de et , puis celle du milieu du segment .
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B
Forme algébrique et formes trigonométriques



Objectif
Déterminer une forme trigonométrique d’un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique.


Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Activité B - Forme algébrique et formes trigonométriques
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On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct .
On considère les points , et placés sur la figure ci‑contre et le point d’affixe . On note et les affixes respectives de et .

1
a)
Reproduire la figure, placer et déterminer les affixes des points et .
Lancer le module Geogebra
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b) Calculer la longueur .


On appelle module de , que l’on note , la longueur .

c) Calculer et .


2
a)
Donner une mesure en radian des angles et .


b) En utilisant les coordonnées de , déterminer les valeurs de et , puis en déduire une mesure de l’angle . Cette mesure est un argument du nombre complexe , affixe de .


c) La mesure précédente est‑elle unique ? Justifier.


d) Qu’en conclure concernant la notion d’argument d’un nombre complexe ?


On note avec .

3
a)
Vérifier que .
Cette écriture de est appelée forme trigonométrique du nombre complexe .


b) Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de en fonction de son module et de .


4
a)
Placer le point d’affixe . Déterminer une forme trigonométrique de .


b) Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe .
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Bilan

Proposer une méthode permettant de déterminer le module et un argument de .
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C
Racines ‑ièmes de l’unité



Objectif
Découvrir l’ensemble des racines ‑ièmes de l’unité.

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Soit est un entier naturel non nul. On considère l’équation complexe .
Les solutions de cette équation sont appelées racines ‑ièmes de l’unité. On note l’ensemble de ces solutions.

1
Déterminer les ensembles et .


2
a)
Déterminer l’ensemble .


b) Démontrer que le polygone, dont les sommets ont pour affixes les racines quatrièmes de l’unité, est un carré.


3
On considère le repère orthonormé ci‑contre. On admet que le triangle est équilatéral.
a) Déterminer les affixes des points , et sous forme exponentielle.


On note l’affixe du point .

b) Démontrer que l’affixe de est .


c) Justifier que , et sont solutions de l’équation .


d) Démontrer que est solution de si, et seulement si, , où est un entier relatif. Pour quelles raisons peut‑on affirmer que l’équation admet exactement trois solutions ?


4
Pour , puis , démontrer que la somme des racines ‑ièmes de l’unité est égale à .
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Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - Activité C - Racines n‑ièmes de l’unité
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Bilan

Déterminer l’ensemble en précisant le nombre d’éléments le constituant, puis démontrer que la somme des racines ‑ièmes de l’unité est égale à .
Conjecturer une propriété du polygone dont les sommets correspondent à l’ensemble des racines ‑ièmes de l’unité.

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