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Chapitre 2


Nombres complexes, point de vue géométrique





Maths expertes - chapitre 2 - Nombres complexes, point de vue géométrique - ouverture

Les nombres complexes ont, après leur apparition, eu différentes utilisations et ont ainsi permis des avancées dans plusieurs domaines des mathématiques : calcul intégral, suites, écriture complexe des transformations du plan, transformation de Fourier discrète, fonctions holomorphes...
L’électricité, les trajectoires des planètes et la navigation, par exemple, sont autant de domaines dans lesquels les nombres complexes ont permis de grandes découvertes.

Capacités attendues - chapitre 2

1. Représenter un nombre complexe par un point.

2. Déterminer le module et les arguments d’un nombre complexe.

3. Passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique ou exponentielle et inversement.

4. Utiliser les nombres complexes pour étudier des configurations du plan dans le cadre de la résolution de problèmes.

5. Utiliser les formules d’Euler et de Moivre pour transformer des expressions trigonométriques dans des contextes divers (intégration, suites, etc.).

6. Utiliser les racines de l’unité dans l’étude de configurations liées aux polygones réguliers.

Avant de commencer

Prérequis

1. Déterminer la forme algébrique et conjuguée d’un nombre complexe.
2. Savoir résoudre des équations ou systèmes d’équations faisant intervenir zz et z\overline{z} .
3. Savoir résoudre des équations polynomiales.
4. Maitriser la fonction exponentielle.
5. Connaître les relations trigonométriques et les valeurs trigonométriques remarquables.
6. Savoir étudier des situations de parallélisme et d’orthogonalité dans le plan.

1
Écrire un nombre complexe sous forme algébrique

1. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.
a. z1=(5+i)(3i2)z_{1}=(5+\mathrm{i})(3 \mathrm{i}-2)


b. z2=26i1+iz_{2}=\dfrac{2-6 i}{1+i}


2. Déterminer la forme algébrique du conjugué du nombre complexe z3=1+3ii5+1z_{3}=\dfrac{1+3 i}{i-5}+1.
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2
Résoudre des équations dans C\mathbb{C}

Résoudre dans C\mathbb{C} les équations suivantes.

1. 3z2i=03 z-2 i=0


2. (83i)z+2i=z(8-3 i) z+2 i=z


3. 4z+i+7=35i4 \overline{z}+\mathrm{i}+7=3-5 \mathrm{i}


4. 8iz+2z+1=3+4i8 i z+2 \overline{z}+1=3+4 i
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3
Résoudre une équation du second degré

Résoudre dans C\mathbb{C} les équations suivantes.

1. 3z25z+1=03 z^{2}-5 z+1=0


2. z2+z+1=0z^{2}+z+1=0


3. z22z+3=2z^{2}-\sqrt{2} z+3=2


4. (z24z+2)(z2z+1)=0\left(z^{2}-4 z+2\right)\left(z^{2}-z+1\right)=0
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4
Résoudre une équation polynomiale

1.On considère le polynôme P\text{P} défini sur C\mathbb{C} par P(z)=z35z2+11z10\mathrm{P}(z)=z^{3}-5 z^{2}+11 z-10.
a. Montrer que 22 est une racine de P\text{P}.


b. En déduire une factorisation du polynôme P\text{P}.


c. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation P(z)=0\mathrm{P}(z)=0.


2. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation (E):2z3+7z2+9z+4=0(\mathrm{E}): 2 z^{3}+7 z^{2}+9 z+4=0.
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5
Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle

Soit xx un nombre réel.
Simplifier les écritures suivantes.

1. e3x×e2x1\mathrm{e}^{3 x} \times \mathrm{e}^{2 x-1}


2. ex2ex3\dfrac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x-3}}


3. (ex+2)2\left(\mathrm{e}^{x+2}\right)^{2}


4. (ex1)3×e35xe2x+6\dfrac{\left(\mathrm{e}^{x-1}\right)^{3} \times \mathrm{e}^{3-5 x}}{\mathrm{e}^{-2 x+6}}
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6
Utiliser les fonctions trigonométriques

1. À l’aide d’un cercle trigonométrique, déterminer le cosinus et le sinus des angles suivants exprimés en radian.
a. 2π3\dfrac{-2 \pi}{3}


b. 23π6\dfrac{23 \pi}{6}


c. 25π4\dfrac{25 \pi}{4}


d. 11π2\dfrac{-11 \pi}{2}


2. Pour chaque cas, déterminer une valeur de xx vérifiant les conditions données :
a. cos(x)=1\cos (x)=-1 et sin(x)=0\sin (x)=0.


b. cos(x)=22\cos (x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} et sin(x)=22\sin (x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.


3. Résoudre dans R\mathbb{R} le système {cos(x)=32sin(x)=12\left\{\begin{array}{l}\cos (x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin (x)=-\dfrac{1}{2}\end{array}\right..
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7
Utiliser des propriétés géométriques

On considère un plan muni d’un repère orthonormé (O ; I ; J)(\mathrm{O} ; \mathrm{I} ; \mathrm{J}), d’unité le centimètre.
1. Placer le point A\text{A} tel que IOA^=5π6\widehat{\mathrm{IOA}}=\dfrac{5 \pi}{6} rad et OA=3\mathrm{OA}=3 cm.

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2. Déterminer la nature du triangle BCD\text{BCD} tel que B(1;3)\mathrm{B}(1\,; 3), C(1;1)\mathrm{C}(-1\,; 1) et D(1;1)\mathrm{D}(1\,;-1).
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8
Problème

On considère un plan muni d’un repère orthonormé (O ; I ; J)(\mathrm{O} ; \mathrm{I} ; \mathrm{J}).
Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois points définis par :
  • IOA^=3π4\widehat{\mathrm{IOA}}=\dfrac{3 \pi}{4} rad et OA=22\mathrm{OA}=2 \sqrt{2} ;
  • B\text{B} appartient au cercle trigonométrique de centre O\text{O} tel que IOB^=3π2\widehat{\mathrm{IOB}}=\dfrac{3 \pi}{2} rad ;
  • C\text{C} a pour coordonnées C(3;1)\mathrm{C}(3\,;1).

Déterminer la nature du triangle ABC\text{ABC}.
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Anecdote

Il a fallu plus de deux siècles pour que les nombres « imaginaires », qui ne sont au départ que des fictions utiles aux calculs algébriques, prennent un statut nouveau, qu’il soit algébrique ou géométrique. C’est Gauss qui, en 1831, introduit les « nombres complexes » en lien avec leur représentation dans un plan.
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