Mathématiques Expertes Terminale
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Mes Pages
Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
TP INFO 1
Ensembles de Julia
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
L'ensemble de Julia, noté \text{J}_c, est l'ensemble des nombres complexes \omega tels que la suite (u_n) est bornée.
Questions préliminaires :
On pose c=0.
1. Quelle est la nature de la suite (u_n) lorsque \omega=0 ? Lorsque |\omega|=1 ?
2. Quels nombres complexes appartiennent alors précisément à l'ensemble de Julia \mathrm{J}_0 ?
On pose c=0.
1. Quelle est la nature de la suite (u_n) lorsque \omega=0 ? Lorsque |\omega|=1 ?
2. Quels nombres complexes appartiennent alors précisément à l'ensemble de Julia \mathrm{J}_0 ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Objectif
Étudier des propriétés de l'ensemble de Julia \mathrm{J}_{0}, c'est‑à‑dire lorsque c = 0, à l'aide d'une des deux méthodes.
Objectif
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Méthode 1GeoGebra
1. a. Construire le cercle de centre \mathrm{A}(0\,; 0) et de rayon 1 et choisir une fenêtre graphique comprise entre -3 et 3 en abscisse et en ordonnée.
b. Placer un nombre complexe z_0 de manière aléatoire dans le plan en utilisant l'outil correspondant.
c. Construire alors les points z_1 à z_9 puis déplacer z_0.
Que peut‑on observer en fonction de la position de z_0 ?
2. Démontrer que, si 0\lt|\omega|\lt1, alors la suite (u_n) est décroissante et converge, et que si |\omega|>1, alors la suite (u_n) est croissante et diverge.
3. Que vient‑on de démontrer pour l'ensemble \mathrm{J}_0 ?
GeoGebra
b. Placer un nombre complexe z_0 de manière aléatoire dans le plan en utilisant l'outil correspondant.
c. Construire alors les points z_1 à z_9 puis déplacer z_0.
Que peut‑on observer en fonction de la position de z_0 ?
2. Démontrer que, si 0\lt|\omega|\lt1, alors la suite (u_n) est décroissante et converge, et que si |\omega|>1, alors la suite (u_n) est croissante et diverge.
3. Que vient‑on de démontrer pour l'ensemble \mathrm{J}_0 ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Méthode 2Python
On note, pour tout entier naturel n, z_{n}=x_{n}+\mathrm{i} y_{n} et \omega=\alpha+\mathrm{i} \beta, où \alpha, \beta, x_n et y_n sont des réels.
1. Exprimer les termes x_{n+1} et y_{n+1} en fonction des termes x_n et y_n.
2. a. Reproduire et compléter l'algorithme suivant, qui permet d'obtenir les valeurs successives de (u_n) pour n allant de 1 à 10 pour \alpha et \beta donnés.
b. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour des valeurs \omega telles que 0\lt|\omega|\lt1 et |\omega|>1.
Que peut‑on en conjecturer pour l'ensemble de Julia \mathrm{J}_0 ?
3. Démontrer que si 0\lt|\omega|\lt1, alors la suite (u_n) est décroissante et converge, et que si |\omega|>1, alors la suite (u_n) est croissante et diverge.
4. Que vient‑on de démontrer pour l'ensemble \mathrm{J}_0 ?
1. Exprimer les termes x_{n+1} et y_{n+1} en fonction des termes x_n et y_n.
2. a. Reproduire et compléter l'algorithme suivant, qui permet d'obtenir les valeurs successives de (u_n) pour n allant de 1 à 10 pour \alpha et \beta donnés.
\boxed{
\begin{array} { l }
\text {Fonction Julia } (\alpha , \beta) :\\
\quad {x} \leftarrow \alpha \\
\quad {y} \leftarrow \beta \\
\quad \text {Pour } k \text { allant de 1 à 10 faire :} \\
\quad \quad {a} \leftarrow {x} \\
\quad \quad {b} \leftarrow {y} \\
\quad \quad {x} \leftarrow \ldots \\
\quad \quad {y} \leftarrow \ldots \\
\quad \quad {\mathrm{U}} \leftarrow \ldots \\
\quad \quad \text {Afficher } \mathrm{U} \\
\quad \text {Fin Pour } \\
\end{array}
}
b. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour des valeurs \omega telles que 0\lt|\omega|\lt1 et |\omega|>1.
Que peut‑on en conjecturer pour l'ensemble de Julia \mathrm{J}_0 ?
3. Démontrer que si 0\lt|\omega|\lt1, alors la suite (u_n) est décroissante et converge, et que si |\omega|>1, alors la suite (u_n) est croissante et diverge.
4. Que vient‑on de démontrer pour l'ensemble \mathrm{J}_0 ?
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
