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TP1 : Ensembles de Julia
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TP INFO


1
Ensembles de Julia




Énoncé

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Soit et deux nombres complexes. On considère une suite de nombres complexes définie sur par et, pour tout entier naturel , .
Pour tout entier naturel , on note .
L’ensemble de Julia, noté , est l’ensemble des nombres complexes tels que la suite est bornée.

Questions préliminaires :
On pose .
1. Quelle est la nature de la suite lorsque  ? Lorsque  ?


2. Quels nombres complexes appartiennent alors précisément à l’ensemble de Julia  ?
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TP Ensemble de Julia

Objectif

Étudier des propriétés de l’ensemble de Julia , c’est‑à‑dire lorsque , à l’aide d’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
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1. a. Construire le cercle de centre et de rayon et choisir une fenêtre graphique comprise entre et en abscisse et en ordonnée.

b. Placer un nombre complexe de manière aléatoire dans le plan en utilisant l’outil correspondant.

Geogebra

c. Construire alors les points à puis déplacer .
Que peut‑on observer en fonction de la position de  ?

2. Démontrer que, si , alors la suite est décroissante et converge, et que si , alors la suite est croissante et diverge.


3. Que vient‑on de démontrer pour l’ensemble  ?
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
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On note, pour tout entier naturel , et , où , , et sont des réels.

1. Exprimer les termes et en fonction des termes et .


2. a. Reproduire et compléter l’algorithme suivant, qui permet d’obtenir les valeurs successives de pour allant de à pour et donnés.




b. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour des valeurs telles que et .
Que peut‑on en conjecturer pour l’ensemble de Julia  ?




3. Démontrer que si , alors la suite est décroissante et converge, et que si , alors la suite est croissante et diverge.


4. Que vient‑on de démontrer pour l’ensemble  ?
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