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TP1 : Ensembles de Julia
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1
Ensembles de Julia




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Soit ω\omega et cc deux nombres complexes. On considère une suite de nombres complexes (zn)(z_n) définie sur N\mathbb{N} par z0=ωz_{0}=\omega et, pour tout entier naturel nn, zn+1=zn2+cz_{n+1}=z_{n}^{2}+c.
Pour tout entier naturel nn, on note un=znu_{n}=\left|z_{n}\right|.
L’ensemble de Julia, noté Jc\text{J}_c, est l’ensemble des nombres complexes ω\omega tels que la suite (un)(u_n) est bornée.

Questions préliminaires :
On pose c=0c=0.
1. Quelle est la nature de la suite (un)(u_n) lorsque ω=0\omega=0 ? Lorsque ω=1|\omega|=1 ?


2. Quels nombres complexes appartiennent alors précisément à l’ensemble de Julia J0\mathrm{J}_0 ?
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TP Ensemble de Julia

Objectif

Étudier des propriétés de l’ensemble de Julia J0\mathrm{J}_{0}, c’est‑à‑dire lorsque c=0c = 0, à l’aide d’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
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1. a. Construire le cercle de centre A(0;0)\mathrm{A}(0\,; 0) et de rayon 11 et choisir une fenêtre graphique comprise entre 3-3 et 33 en abscisse et en ordonnée.

b. Placer un nombre complexe z0z_0 de manière aléatoire dans le plan en utilisant l’outil correspondant.

Geogebra

c. Construire alors les points z1z_1 à z9z_9 puis déplacer z0z_0.
Que peut‑on observer en fonction de la position de z0z_0 ?

2. Démontrer que, si 0<ω<10\lt|\omega|\lt1, alors la suite (un)(u_n) est décroissante et converge, et que si ω>1|\omega|>1, alors la suite (un)(u_n) est croissante et diverge.


3. Que vient‑on de démontrer pour l’ensemble J0\mathrm{J}_0 ?
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
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On note, pour tout entier naturel nn, zn=xn+iynz_{n}=x_{n}+\mathrm{i} y_{n} et ω=α+iβ\omega=\alpha+\mathrm{i} \beta, où α\alpha, β\beta, xnx_n et yny_n sont des réels.

1. Exprimer les termes xn+1x_{n+1} et yn+1y_{n+1} en fonction des termes xnx_n et yny_n.


2. a. Reproduire et compléter l’algorithme suivant, qui permet d’obtenir les valeurs successives de (un)(u_n) pour nn allant de 11 à 1010 pour α\alpha et β\beta donnés.

Fonction Julia (α,β):xαyβPour k allant de 1 aˋ 10 faire :axbyxyUAfficher UFin Pour  \boxed{ \begin{array} { l } \text {Fonction Julia } (\alpha , \beta) :\\ \quad {x} \leftarrow \alpha \\ \quad {y} \leftarrow \beta \\ \quad \text {Pour } k \text { allant de 1 à 10 faire :} \\ \quad \quad {a} \leftarrow {x} \\ \quad \quad {b} \leftarrow {y} \\ \quad \quad {x} \leftarrow \ldots \\ \quad \quad {y} \leftarrow \ldots \\ \quad \quad {\mathrm{U}} \leftarrow \ldots \\ \quad \quad \text {Afficher } \mathrm{U} \\ \quad \text {Fin Pour } \\ \end{array} }



b. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour des valeurs ω\omega telles que 0<ω<10\lt|\omega|\lt1 et ω>1|\omega|>1.
Que peut‑on en conjecturer pour l’ensemble de Julia J0\mathrm{J}_0 ?




3. Démontrer que si 0<ω<10\lt|\omega|\lt1, alors la suite (un)(u_n) est décroissante et converge, et que si ω>1|\omega|>1, alors la suite (un)(u_n) est croissante et diverge.


4. Que vient‑on de démontrer pour l’ensemble J0\mathrm{J}_0 ?
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