Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
TP INFO 1

Ensembles de Julia

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Soit et deux nombres complexes. On considère une suite de nombres complexes définie sur par et, pour tout entier naturel , . Pour tout entier naturel , on note .
L'ensemble de Julia, noté , est l'ensemble des nombres complexes tels que la suite est bornée.

TP Ensemble de Julia
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : Simpsons contributor / Anders Kaseorg / Wikimedia

Questions préliminaires :
On pose .
1. Quelle est la nature de la suite lorsque  ? Lorsque  ?

2. Quels nombres complexes appartiennent alors précisément à l'ensemble de Julia  ?
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Objectif

Étudier des propriétés de l'ensemble de Julia , c'est‑à‑dire lorsque , à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode 1
GeoGebra

1. a. Construire le cercle de centre et de rayon et choisir une fenêtre graphique comprise entre et en abscisse et en ordonnée.

Logo Geogebra

GeoGebra

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b. Placer un nombre complexe de manière aléatoire dans le plan en utilisant l'outil correspondant.

Geogebra
Le zoom est accessible dans la version Premium.

c. Construire alors les points à puis déplacer .
Que peut‑on observer en fonction de la position de  ?

2. Démontrer que, si , alors la suite est décroissante et converge, et que si , alors la suite est croissante et diverge.

3. Que vient‑on de démontrer pour l'ensemble  ?
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Méthode 2
Python

On note, pour tout entier naturel , et , où , , et sont des réels.

1. Exprimer les termes et en fonction des termes et .

2. a. Reproduire et compléter l'algorithme suivant, qui permet d'obtenir les valeurs successives de pour allant de à pour et donnés.



b. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour des valeurs telles que et .
Que peut‑on en conjecturer pour l'ensemble de Julia  ?



3. Démontrer que si , alors la suite est décroissante et converge, et que si , alors la suite est croissante et diverge.

4. Que vient‑on de démontrer pour l'ensemble  ?

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collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
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collaborateurFatima
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