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TP2 : Ensemble de Mandelbrot
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2
Ensemble de Mandelbrot




Énoncé

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Soit cc un nombre complexe. On considère une suite de nombres complexes (zn)(z_n) définie sur N\mathbb{N} par z0=0z_0=0 et, pour tout entier naturel nn, zn+1=zn2+cz_{n+1}=z_{n}^{2}+c.
Pour tout entier naturel nn, on note un=znu_{n}=\left|z_{n}\right|.
L’ensemble de Mandelbrot, noté M\mathcal{M}, est l’ensemble des nombres complexes cc tels que la suite (un)(u_n) est bornée.

Question préliminaire :
On note, pour tout nNn \in \mathbb{N}, zn=xn+iynz_{n}=x_{n}+\mathrm{i} y_{n} et c=a+ibc=a+\mathrm{i} b, où aa, bb, xnx_n et yny_n sont des réels.
Exprimer les termes xn+1x_{n+1} et yn+1y_{n+1} en fonction de aa, bb, xnx_n et yny_n.
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Ensemble de Mandelbrot

Objectif

Étudier quelques propriétés de l’ensemble de Mandelbrot à l’aide d’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR
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1. a. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous. (Fichier téléchargeable ici).

TP2 : Ensemble de Mandelbrot, méthode de résolution 1, tableur

b. Quelles formules faut‑il saisir dans les cellules B4, C4, B5, C5 et D4 pour obtenir les valeurs de la suite (un)(u_n) dans la colonne D ?


c. Obtenir les 30 premières valeurs de la suite (un)(u_n).

2. Conjecturer l’éventuelle convergence de la suite (un)(u_n) pour c=0,2+0,3ic=-0{,}2+0{,}3 \mathrm{i}.


3. Déterminer trois valeurs de cc qui appartiennent à M\mathcal{M}, puis trois valeurs de cc qui ne lui appartiennent pas.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
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Les mathématiciens ont prouvé que, dès qu’il existe un terme de la suite (un)(u_n) dépassant strictement 22, alors cette suite n’est pas bornée.

1. Reproduire et compléter l’algorithme suivant et expliquer l’affichage obtenu.

Fonction Mandelbrot (a,b):x0y0n0UTant que U2 et n30:XxYyxyUnn+1Si n=31:Afficher « oui »Sinon :Afficher « non » \boxed{ \begin{array} { l } \text {Fonction Mandelbrot } (a , b) : \\ \quad {x} \leftarrow {0} \\ \quad {y} \leftarrow {0} \\ \quad {n} \leftarrow {0} \\ \quad {\mathrm{U}} \leftarrow \ldots \\ \quad \text {Tant que } \mathrm{U} \leqslant 2 \text { et } n \leqslant 30 :\\ \quad \quad \mathrm{X} \leftarrow {x} \\ \quad \quad \mathrm{Y} \leftarrow {y} \\ \quad \quad {x} \leftarrow \ldots \\ \quad \quad {y} \leftarrow \ldots \\ \quad \quad {\mathrm{U}} \leftarrow \ldots \\ \quad \quad {n} \leftarrow {n+1} \\ \quad \text {Si } n=31 : \\ \quad \quad \text {Afficher « oui »} \\ \quad \text {Sinon :} \\ \quad \quad \text {Afficher « non »} \\ \end{array} }



2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour les valeurs c=0,2+0,3ic=-0{,}2+0{,}3 \mathrm{i} et c=0,6+0,6ic=0{,}6+0{,}6 \mathrm{i}.
Quelles conclusions concernant l’ensemble M\mathcal{M} peut‑on obtenir à l’aide de ce programme ?




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Histoire des maths

En 1980, pour la première fois, Benoît Mandelbrot parvient à représenter cet ensemble à l’aide d’un ordinateur.

Benoît Mandelbrot
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