Soit c un nombre complexe. On considère une suite de nombres complexes (zn) définie sur N par z0=0 et, pour tout entier naturel n, zn+1=zn2+c.
Pour tout entier naturel n, on note un=∣zn∣.
L'ensemble de Mandelbrot, noté M, est l'ensemble des nombres complexes c tels que la suite (un) est bornée.
Question préliminaire :
On note, pour tout n∈N, zn=xn+iyn et c=a+ib, où a, b, xn et yn sont des réels.
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Exprimer les termes xn+1 et yn+1 en fonction de a, b, xn et yn.
Objectif
Étudier quelques propriétés de l'ensemble de Mandelbrot à l'aide d'une des deux méthodes.
Méthode 1
Tableur
1.a. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous. (Fichier téléchargeable
b. Quelles formules faut‑il saisir dans les cellules B4, C4, B5, C5 et D4 pour obtenir les valeurs de la suite (un) dans la colonne D ?
c. Obtenir les 30 premières valeurs de la suite (un).
2. Conjecturer l'éventuelle convergence de la suite (un) pour c=−0,2+0,3i.
3. Déterminer trois valeurs de c qui appartiennent à M, puis trois valeurs de c qui ne lui appartiennent pas.
Méthode 2
Python
Les mathématiciens ont prouvé que, dès qu'il existe un terme de la suite (un) dépassant strictement 2, alors cette suite n'est pas bornée.
1. Reproduire et compléter l'algorithme suivant et expliquer l'affichage obtenu.
Fonction Mandelbrot (a,b):x←0y←0n←0U←…Tant que U⩽2 et n⩽30:X←xY←yx←…y←…U←…n←n+1Si n=31:Afficher « oui »Sinon :Afficher « non »
2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour les valeurs c=−0,2+0,3i et c=0,6+0,6i.
Quelles conclusions concernant l'ensemble M peut‑on obtenir à l'aide de ce programme ?
Histoire des maths
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En 1980, pour la première fois, Benoît Mandelbrot parvient à représenter cet ensemble à l'aide d'un ordinateur.
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