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TP2 : Ensemble de Mandelbrot
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2
Ensemble de Mandelbrot




Énoncé

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Soit un nombre complexe. On considère une suite de nombres complexes définie sur par et, pour tout entier naturel , .
Pour tout entier naturel , on note .
L’ensemble de Mandelbrot, noté , est l’ensemble des nombres complexes tels que la suite est bornée.

Question préliminaire :
On note, pour tout , et , où , , et sont des réels.
Exprimer les termes et en fonction de , , et .
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Ensemble de Mandelbrot

Objectif

Étudier quelques propriétés de l’ensemble de Mandelbrot à l’aide d’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR
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1. a. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous. (Fichier téléchargeable ici).

TP2 : Ensemble de Mandelbrot, méthode de résolution 1, tableur

b. Quelles formules faut‑il saisir dans les cellules B4, C4, B5, C5 et D4 pour obtenir les valeurs de la suite dans la colonne D ?


c. Obtenir les 30 premières valeurs de la suite .

2. Conjecturer l’éventuelle convergence de la suite pour .


3. Déterminer trois valeurs de qui appartiennent à , puis trois valeurs de qui ne lui appartiennent pas.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
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Les mathématiciens ont prouvé que, dès qu’il existe un terme de la suite dépassant strictement , alors cette suite n’est pas bornée.

1. Reproduire et compléter l’algorithme suivant et expliquer l’affichage obtenu.




2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour les valeurs et .
Quelles conclusions concernant l’ensemble peut‑on obtenir à l’aide de ce programme ?




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Histoire des maths

En 1980, pour la première fois, Benoît Mandelbrot parvient à représenter cet ensemble à l’aide d’un ordinateur.

Benoît Mandelbrot
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