Soit $c$ un nombre complexe. On considère une suite de nombres complexes $(z_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $z_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=z_n^2+c$. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n=\left|z_n\right|$.
L'ensemble de Mandelbrot, noté $\mathcal{M}$, est l'ensemble des nombres complexes $c$ tels que la suite $(u_n)$ est bornée.

Question préliminaire :
On note, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $z_n=x_n+\mathrm{i}{y}_n$ et $c=a+\mathrm{i}b$, où $a$, $b$, $x_n$ et $y_n$ sont des réels.

Exprimer les termes $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $a$, $b$, $x_n$ et $y_n$.