Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
TP Info 2

Ensemble de Mandelbrot

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Énoncé
Soit un nombre complexe. On considère une suite de nombres complexes définie sur par et, pour tout entier naturel , . Pour tout entier naturel , on note .
L'ensemble de Mandelbrot, noté , est l'ensemble des nombres complexes tels que la suite est bornée.

Question préliminaire :
On note, pour tout , et , où , , et sont des réels.

Ensemble de Mandelbrot
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : Georg - Johann Lay / Wikimedia

Exprimer les termes et en fonction de , , et .
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Objectif
Étudier quelques propriétés de l'ensemble de Mandelbrot à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode 1
Tableur

1. a. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous. (Fichier téléchargeable ).

TP2 : Ensemble de Mandelbrot, méthode de résolution 1, tableur
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b. Quelles formules faut‑il saisir dans les cellules B4, C4, B5, C5 et D4 pour obtenir les valeurs de la suite dans la colonne D ?

c. Obtenir les 30 premières valeurs de la suite .

2. Conjecturer l'éventuelle convergence de la suite pour .

3. Déterminer trois valeurs de qui appartiennent à , puis trois valeurs de qui ne lui appartiennent pas.
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Méthode 2
Python

Les mathématiciens ont prouvé que, dès qu'il existe un terme de la suite dépassant strictement , alors cette suite n'est pas bornée.

1. Reproduire et compléter l'algorithme suivant et expliquer l'affichage obtenu.



2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour les valeurs et .
Quelles conclusions concernant l'ensemble peut‑on obtenir à l'aide de ce programme ?



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Histoire des maths

Benoît Mandelbrot
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : Rama / Wikimedia

En 1980, pour la première fois, Benoît Mandelbrot parvient à représenter cet ensemble à l'aide d'un ordinateur.

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