Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 2
TP Info 2

Ensemble de Mandelbrot

Énoncé
Soit un nombre complexe. On considère une suite de nombres complexes définie sur par et, pour tout entier naturel , . Pour tout entier naturel , on note .
L'ensemble de Mandelbrot, noté , est l'ensemble des nombres complexes tels que la suite est bornée.

Question préliminaire :
On note, pour tout , et , où , , et sont des réels.

Ensemble de Mandelbrot
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : Georg - Johann Lay / Wikimedia

Exprimer les termes et en fonction de , , et .
Objectif
Étudier quelques propriétés de l'ensemble de Mandelbrot à l'aide d'une des deux méthodes.

Méthode 1
Tableur

1. a. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous. (Fichier téléchargeable ).

TP2 : Ensemble de Mandelbrot, méthode de résolution 1, tableur
Le zoom est accessible dans la version Premium.

b. Quelles formules faut‑il saisir dans les cellules B4, C4, B5, C5 et D4 pour obtenir les valeurs de la suite dans la colonne D ?

c. Obtenir les 30 premières valeurs de la suite .

2. Conjecturer l'éventuelle convergence de la suite pour .

3. Déterminer trois valeurs de qui appartiennent à , puis trois valeurs de qui ne lui appartiennent pas.

Méthode 2
Python

Les mathématiciens ont prouvé que, dès qu'il existe un terme de la suite dépassant strictement , alors cette suite n'est pas bornée.

1. Reproduire et compléter l'algorithme suivant et expliquer l'affichage obtenu.



2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour les valeurs et .
Quelles conclusions concernant l'ensemble peut‑on obtenir à l'aide de ce programme ?



Histoire des maths

Benoît Mandelbrot
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : Rama / Wikimedia

En 1980, pour la première fois, Benoît Mandelbrot parvient à représenter cet ensemble à l'aide d'un ordinateur.

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