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Ensemble de Mandelbrot

1. a. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous. (Fichier téléchargeable ici).

b. Quelles formules faut‑il saisir dans les cellules B4, C4, B5, C5 et D4 pour obtenir les valeurs de la suite $(u_n)$ dans la colonne D ?


c. Obtenir les 30 premières valeurs de la suite $(u_n)$.

2. Conjecturer l’éventuelle convergence de la suite $(u_n)$ pour $c=-0{,}2+0{,}3 \mathrm{i}$.


3. Déterminer trois valeurs de $c$ qui appartiennent à $\mathcal{M}$, puis trois valeurs de $c$ qui ne lui appartiennent pas.

Les mathématiciens ont prouvé que, dès qu’il existe un terme de la suite $(u_n)$ dépassant strictement $2$, alors cette suite n’est pas bornée.

1. Reproduire et compléter l’algorithme suivant et expliquer l’affichage obtenu.

$\boxed{ \begin{array} { l } \text {Fonction Mandelbrot } (a , b) : \\ \quad {x} \leftarrow {0} \\ \quad {y} \leftarrow {0} \\ \quad {n} \leftarrow {0} \\ \quad {\mathrm{U}} \leftarrow \ldots \\ \quad \text {Tant que } \mathrm{U} \leqslant 2 \text { et } n \leqslant 30 :\\ \quad \quad \mathrm{X} \leftarrow {x} \\ \quad \quad \mathrm{Y} \leftarrow {y} \\ \quad \quad {x} \leftarrow \ldots \\ \quad \quad {y} \leftarrow \ldots \\ \quad \quad {\mathrm{U}} \leftarrow \ldots \\ \quad \quad {n} \leftarrow {n+1} \\ \quad \text {Si } n=31 : \\ \quad \quad \text {Afficher « oui »} \\ \quad \text {Sinon :} \\ \quad \quad \text {Afficher « non »} \\ \end{array} }$

2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour les valeurs $c=-0{,}2+0{,}3 \mathrm{i}$ et $c=0{,}6+0{,}6 \mathrm{i}$.
Quelles conclusions concernant l’ensemble $\mathcal{M}$ peut‑on obtenir à l’aide de ce programme ?