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TP2 : Ensemble de Mandelbrot

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TP INFO

2
Ensemble de Mandelbrot

Énoncé

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Soit

c

un nombre complexe. On considère une suite de nombres complexes

(z_{n})

définie sur

N

par

z_{0} = 0

et, pour tout entier naturel

n

z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c

.
Pour tout entier naturel

n

, on note

u_{n} = ∣ z_{n} ∣

.
L’ensemble de Mandelbrot, noté

M

, est l’ensemble des nombres complexes

c

tels que la suite

(u_{n})

est bornée.

Question préliminaire :
On note, pour tout

n \in N

z_{n} = x_{n} + i y_{n}

c = a + i b

, où

a

b

x_{n}

y_{n}

sont des réels.
Exprimer les termes

x_{n + 1}

y_{n + 1}

en fonction de

a

b

x_{n}

y_{n}

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Objectif

Étudier quelques propriétés de l’ensemble de Mandelbrot à l’aide d’une des deux méthodes.

MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1

TABLEUR

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1. a. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous. (Fichier téléchargeable ici).

TP2 : Ensemble de Mandelbrot, méthode de résolution 1, tableur

b. Quelles formules faut‑il saisir dans les cellules B4, C4, B5, C5 et D4 pour obtenir les valeurs de la suite

(u_{n})

dans la colonne D ?

c. Obtenir les 30 premières valeurs de la suite

(u_{n})

2. Conjecturer l’éventuelle convergence de la suite

(u_{n})

pour

c = - 0, 2 + 0, 3 i

3. Déterminer trois valeurs de

c

qui appartiennent à

M

, puis trois valeurs de

c

qui ne lui appartiennent pas.

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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2

PYTHON

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Les mathématiciens ont prouvé que, dès qu’il existe un terme de la suite

(u_{n})

dépassant strictement

2

, alors cette suite n’est pas bornée.

1. Reproduire et compléter l’algorithme suivant et expliquer l’affichage obtenu.

Fonction Mandelbrot (a, b) : x \leftarrow 0 y \leftarrow 0 n \leftarrow 0 U \leftarrow \dots Tant que U ⩽ 2 et n ⩽ 30 : X \leftarrow x Y \leftarrow y x \leftarrow \dots y \leftarrow \dots U \leftarrow \dots n \leftarrow n + 1 Si n = 31 : Afficher « oui » Sinon : Afficher « non »

2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour les valeurs

c = - 0, 2 + 0, 3 i

c = 0, 6 + 0, 6 i

.
Quelles conclusions concernant l’ensemble

M

peut‑on obtenir à l’aide de ce programme ?

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Histoire des maths

En 1980, pour la première fois, Benoît Mandelbrot parvient à représenter cet ensemble à l’aide d’un ordinateur.

2 Ensemble de Mandelbrot

Énoncé

Objectif

Histoire des maths

2
Ensemble de Mandelbrot