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9
Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points d'affixe respective z_{\mathrm{A}}=3+2 \mathrm{i}, z_{\mathrm{B}}=-1+5 \mathrm{i} et z_{\mathrm{C}}=\mathrm{i}-1.
Le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AC}} a pour affixe :

a. -8+2 \mathrm{i}

b. -4-5 \mathrm{i}

c. 4+5 \mathrm{i}

d. 8-2 \mathrm{i}

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10
Le module de 4-3 \mathrm{i} est égal à :

a. 7

b. \sqrt{7}

c. 5

d. 25

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11
Une forme trigonométrique de -\frac{3}{2}+3 \mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2} est :

a. -3\left[\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right]

b. 3\left[\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right]

c. 3\left[\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)-\mathrm{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right]

d. 3\left[\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right]

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12
Pour tout x \in \mathbb{R}, (\cos (x)+\mathrm{i} \sin (x))^{5} est égal à :

a. \cos ^{5}(x)+\mathrm{i} \sin ^{5}(x)

b. 5 \cos (x)+5 \mathrm{i} \sin (x)

c. \cos (5 x)+\sin (5 x)

d. \cos (5 x)+\mathrm{i} \sin (5 x)

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QCM
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Une ou plusieurs bonnes réponses par question

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13

Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points distincts d'affixe respective a, b et c tels que \frac{b-a}{c-a}=-\mathrm{i}. Alors :

a. \text{ABC} est équilatéral.

b. \text{ABC} est isocèle en \text{A}.

c. \text{ABC} est rectangle en \text{A}.

d. \text{ABC} est scalène (triangle dont les trois côtés sont de mesures différentes).

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14

Soient z et z^\prime deux nombres complexes vérifiant z=3 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{6}}} et z^{\prime}=-\sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i}. Alors :

a. z^{3}=27 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}

b. \frac{z}{z^{\prime}}=\frac{3}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{7 \pi}{12}}}

c. z \times z^{\prime}=6 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \normalsize{\tfrac{7 \pi}{12}}}

d. z \times z^{\prime}=\frac{3(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}+\frac{3(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2} \mathrm{i}

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15

On considère le nombre complexe z=-3 \sqrt{3}-3 \mathrm{i}. Alors :

a. une forme trigonométrique de z est z=6\left[\cos \left(-\frac{5 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{5 \pi}{6}\right)\right].

b. une forme exponentielle de z est z=6 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{6}}}.

c. une forme exponentielle de z est z=-6 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{5 \mathrm{i} \pi}{6}}}.

d. une forme exponentielle de \mathrm{i}z est z=6 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{\mathrm{i} \pi}{3}}}.

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16

Pour tout réel x, on a \sin ^{3}(x)=

a. \frac{1}{8} \mathrm{i}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)^{3}

b. -\frac{\sin (3 x)+3 \sin (x)}{4}

c. -\frac{1}{8} \mathrm{i}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\right)^{3}

d. -\frac{\sin (3 x)-3 \sin (x)}{4}

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Problème

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On se place dans un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{u}\,, \overrightarrow{v}).
On considère le point \text{C} d'affixe c=\sqrt{3}-1+(2+3 \sqrt{3}) \mathrm{i}.

1. Déterminer graphiquement les affixes des points \text{A} et \text{B}.

2. Déterminer la nature du triangle \text{ABC}.

3. Déterminer l'affixe du pied de sa hauteur issue de \text{C}.

4. Déterminer l'affixe du centre de gravité de \text{ABC}.

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QCM
supplémentaires

Une ou plusieurs bonnes réponses par question

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A
On s'intéresse à la figure ci-dessous.

Quelle affirmation est correcte ?

a. \text{A} a pour affixe z_{\text{A}}=3+\mathrm{i}.

b. Le vecteur \overrightarrow{\text{CB}} a pour affixe 3-3\mathrm{i}.

c. Le module de l'affixe du point \text{B} est -2\sqrt{2}.

d. Un argument de l'affixe du point \text D est 5\pi.

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B

\text M est un point du plan complexe d'affixe z. Quelle affirmation est correcte ?

a. \text M_1 d'affixe \overline{z} est le symétrique de \text M par rapport à l'axe des ordonnées et \left|\overline{z}\right|=\left|z\right|.

b. \text M_2 d'affixe -z est le symétrique de \text M par rapport à l'origine du repère et \arg{(-z)}=-\arg{(z)}.

c. \text M_3 d'affixe -\overline{z} est le symétrique de \text M par rapport à l'axe des abscisses et \left|-\overline{z}\right|=\left|z\right|.

d. M_4 d'affixe -\overline{z} est le symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées.

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C

Vrai ou faux ? Le triangle \text{ABC} avec \text{A} d'affixe z_{\text{A}} = 2 + \text{i}, \text{B} d'affixe z_{\text{B}} = 4 + 3 \text{i} et \text{C} d'affixe z_{\text{C}} = 4 - \text{i} est isocèle.

a. Vrai

b. Faux

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D

Le nombre complexe z = 2 \times \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{i}\right) :

a. est écrit sous forme algébrique.

b. est écrit sous forme exponentielle.

c. est écrit sous forme trigonométrique.

d. a un module égal à \sqrt{3}.

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E

Soient \text P, \text Q et \text R trois points d'affixe respective z_{\text P}=2+2\mathrm{i}, z_{\text Q}=-3+\mathrm{i} et z_{\text R}=\dfrac{9}{2}+\dfrac{5}{2}\mathrm{i}. Que peut-on en déduire ?

a. \text{PQR} est un triangle isocèle.

b. \text P, \text Q et \text R sont alignés.

c. \text{PQR} forment un triangle équilatéral.

d. \text P, \text Q et \text R ne sont pas alignés.

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F
L'ensemble des points \text M d'affixe z, vérifiant \left|z-\mathrm{i}\right|=2 est :

a. le cercle de centre \Omega \left(\mathrm{i}\right) de rayon 2.

b. le cercle de centre \Omega \left(-\mathrm{i}\right) de rayon 2.

c. l'ensemble vide.

d. la médiatrice du segment [\text{AB}] où \text{A} \left(\mathrm{i}\right) et \text{B} \left(2\right).

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G
Pour tout réel x, \cos^3{(x)} est égal à :

a. \dfrac{\cos(3x)+3\cos(x)}{4}

b. \left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{\mathrm{-i}x}}{2\mathrm{i}}\right)^3.

c. 1-\sin^3(x).

d. \left(\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{\mathrm{-i}x}}{2}\right)^3.

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H
Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont des écritures possibles du nombre complexe z = 3 - 3 \text{i} ?

a. 3 \text{e}^{- \dfrac{\pi}{4} \text{i}}

b. 3 \sqrt{2} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{i} \right)

c. 3 \sqrt{2} \text{e}^{- \dfrac{\pi}{4}}

d. 3 \sqrt{2} \text{e}^{\dfrac{23 \pi}{4} \text{i}}

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