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Nombres complexes

Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3
Divisibilité dans Z

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 4
PGCD et applications

Ch. 5
Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7
Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Présentation du Grand Oral

Conseils pour le Grand Oral

Cahier d'algorithmique et de programmation

/ 243

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Chapitre 2

Auto-évaluation

Exercices d'auto-évaluation

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QCM
Réponse unique

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9
Soient

A

,

B

et

C

trois points d'affixe respective

z_{A} = 3 + 2 i

,

z_{B} = - 1 + 5 i

et

z_{C} = i - 1

.
Le vecteur

AB - 2 AC

a pour affixe :

a.

- 8 + 2 i

b.

- 4 - 5 i

c.

4 + 5 i

d.

8 - 2 i

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10
Le module de

4 - 3 i

est égal à :

a.

7

b.

7

c.

5

d.

25

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11
Une forme trigonométrique de

- \frac{3}{2} + 3 i \frac{3}{2}

est :

a.

- 3 [cos (- \frac{2 π}{3}) + i sin (- \frac{2 π}{3})]

b.

3 [cos (\frac{2 π}{3}) + i sin (\frac{2 π}{3})]

c.

3 [cos (\frac{2 π}{3}) - i sin (\frac{2 π}{3})]

d.

3 [cos (- \frac{2 π}{3}) + i sin (- \frac{2 π}{3})]

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12
Pour tout

x \in R

,

(cos (x) + i sin (x))^{5}

est égal à :

a.

cos^{5} (x) + i sin^{5} (x)

b.

5 cos (x) + 5 i sin (x)

c.

cos (5 x) + sin (5 x)

d.

cos (5 x) + i sin (5 x)

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QCM
Réponses multiples

Une ou plusieurs bonnes réponses par question

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13

Soient

A

,

B

et

C

trois points distincts d'affixe respective

a

,

b

et

c

tels que

\frac{b - a}{c - a} = - i

. Alors :

a.

ABC

est équilatéral.

b.

ABC

est isocèle en

A

.

c.

ABC

est rectangle en

A

.

d.

ABC

est scalène (triangle dont les trois côtés sont de mesures différentes).

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14

Soient

z

et

z^{'}

deux nombres complexes vérifiant

z = 3 e^{- i \frac{π}{6}}

et

z^{'} = - 2 + 2 i

. Alors :

a.

z^{3} = 27 e^{- i \frac{π}{2}}

b.

\frac{z}{z ^{'}} = \frac{3}{2} e^{i \frac{7 π}{12}}

c.

z \times z^{'} = 6 e^{i \frac{7 π}{12}}

d.

z \times z^{'} = \frac{3 ( 2 - 6 )}{2} + \frac{3 ( 2 + 6 )}{2} i

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15

On considère le nombre complexe

z = - 33 - 3 i

. Alors :

a. une forme trigonométrique de

z

est

z = 6 [cos (- \frac{5 π}{6}) + i sin (- \frac{5 π}{6})]

.

b. une forme exponentielle de

z

est

z = 6 e^{- \frac{5 i π}{6}}

.

c. une forme exponentielle de

z

est

z = - 6 e^{\frac{5 i π}{6}}

.

d. une forme exponentielle de

i z

est

z = 6 e^{- \frac{i π}{3}}

.

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16

Pour tout réel

x

, on a

sin^{3} (x) =

a.

\frac{1}{8} i (e^{i x} - e^{- i x})^{3}

b.

- \frac{sin ( 3 x ) + 3 sin ( x )}{4}

c.

- \frac{1}{8} i (e^{i x} - e^{- i x})^{3}

d.

- \frac{sin ( 3 x ) - 3 sin ( x )}{4}

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Problème

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17

On se place dans un repère orthonormé direct

(O; u, v)

.
On considère le point

C

d'affixe

c = 3 - 1 + (2 + 33) i

.

Auto-évaluation

1. Déterminer graphiquement les affixes des points

A

et

B

.

2. Déterminer la nature du triangle

ABC

.

3. Déterminer l'affixe du pied de sa hauteur issue de

C

.

4. Déterminer l'affixe du centre de gravité de

ABC

.

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QCM
supplémentaires

Une ou plusieurs bonnes réponses par question

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A
On s'intéresse à la figure ci-dessous.

QCM spé - Plan complexe

Quelle affirmation est correcte ?

a.

A

a pour affixe

z_{A} = 3 + i

.

b. Le vecteur

CB

a pour affixe

3 - 3 i

.

c. Le module de l'affixe du point

B

est

- 22

.

d. Un argument de l'affixe du point

D

est

5 π

.

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B

M

est un point du plan complexe d'affixe

z

. Quelle affirmation est correcte ?

a.

M_{1}

d'affixe

z

est le symétrique de

M

par rapport à l'axe des ordonnées et

∣ z ∣ = ∣ z ∣

.

b.

M_{2}

d'affixe

- z

est le symétrique de

M

par rapport à l'origine du repère et

ar g (- z) = - ar g (z)

.

c.

M_{3}

d'affixe

- z

est le symétrique de

M

par rapport à l'axe des abscisses et

∣ - z ∣ = ∣ z ∣

.

d.

M_{4}

d'affixe

- z

est le symétrique de

M

par rapport à l'axe des ordonnées.

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C

Vrai ou faux ? Le triangle

ABC

avec

A

d'affixe

z_{A} = 2 + i

,

B

d'affixe

z_{B} = 4 + 3 i

et

C

d'affixe

z_{C} = 4 - i

est isocèle.

a. Vrai

b. Faux

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D

Le nombre complexe

z = 2 \times (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} i)

:

a. est écrit sous forme algébrique.

b. est écrit sous forme exponentielle.

c. est écrit sous forme trigonométrique.

d. a un module égal à

3

.

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E

Soient

P

,

Q

et

R

trois points d'affixe respective

z_{P} = 2 + 2 i

,

z_{Q} = - 3 + i

et

z_{R} = \frac{9}{2} + \frac{5}{2} i

. Que peut-on en déduire ?

a.

PQR

est un triangle isocèle.

b.

P

,

Q

et

R

sont alignés.

c.

PQR

forment un triangle équilatéral.

d.

P

,

Q

et

R

ne sont pas alignés.

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F
L'ensemble des points

M

d'affixe

z

, vérifiant

∣ z - i ∣ = 2

est :

a. le cercle de centre

Ω (i)

de rayon

2

.

b. le cercle de centre

Ω (- i)

de rayon

2

.

c. l'ensemble vide.

d. la médiatrice du segment

[AB]

où

A (i)

et

B (2)

.

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G
Pour tout réel

x

,

cos^{3} (x)

est égal à :

a.

\frac{cos ( 3 x ) + 3 cos ( x )}{4}

b.

(\frac{e ^{i x} - e ^{- i x}}{2 i})^{3}

.

c.

1 - sin^{3} (x)

.

d.

(\frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2})^{3}

.

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H
Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont des écritures possibles du nombre complexe

z = 3 - 3 i

?

a.

3 e^{- \frac{π}{4} i}

b.

32 (\frac{2}{2} - \frac{2}{2} i)

c.

32 e^{- \frac{π}{4}}

d.

32 e^{\frac{23 π}{4} i}

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