Auto-évaluation

9

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points d’affixe respective $z_{\mathrm{A}}=3+2\mathrm{i}$, $z_{\mathrm{B}}=-1+5\mathrm{i}$ et $z_{\mathrm{C}}=\mathrm{i}-1$.
Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}-2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ a pour affixe :
a. $-8+2\mathrm{i}$
b. $-4-5\mathrm{i}$
c. $4+5\mathrm{i}$
d. $8-2\mathrm{i}$

10

Le module de $4-3\mathrm{i}$ est égal à :
a. $7$
b. $\sqrt{7}$
c. $5$
d. $25$

11

Une forme trigonométrique de $-\frac{3}{2}+3\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ est :
a. $-3\left[\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\right]$
b. $3\left[\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)\right]$
c. $3\left[\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)-\mathrm{i}\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)\right]$
d. $3\left[\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\right]$

12

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $(\cos (x)+\mathrm{i}\sin (x){)}^5$ est égal à :
a. ${\cos }^5(x)+\mathrm{i}{\sin }^5(x)$
b. $5\cos (x)+5\mathrm{i}\sin (x)$
c. $\cos (5x)+\sin (5x)$
d. $\cos (5x)+\mathrm{i}\sin (5x)$

13

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois points distincts d’affixe respective $a$, $b$ et $c$ tels que $\frac{b-a}{c-a}=-\mathrm{i}$. Alors :

×

a. $\text{ABC}$ est équilatéral.

×

b. $\text{ABC}$ est isocèle en $\text{A}$.

×

c. $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A}$.

×

d. $\text{ABC}$ est scalène (triangle dont les trois côtés sont de mesures différentes).

14

Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes vérifiant $z=3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$ et $z^{\prime }=-\sqrt{2}+\sqrt{2}\mathrm{i}$. Alors :

×

a. $z^3=27{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}$

b. $\frac{z}{z^{\prime }}=\frac{3}{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{7\pi }{12}}$

×

c. $z\times z^{\prime }=6{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{7\pi }{12}}$

×

d. $z\times z^{\prime }=\frac{3(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}+\frac{3(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}\mathrm{i}$

15

On considère le nombre complexe $z=-3\sqrt{3}-3\mathrm{i}$. Alors :

×

a. une forme trigonométrique de $z$ est $z=6\left[\cos \left(-\frac{5\pi }{6}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{5\pi }{6}\right)\right]$.

×

b. une forme exponentielle de $z$ est $z=6{\mathrm{e}}^{-\frac{5\mathrm{i}\pi }{6}}$.

c. une forme exponentielle de $z$ est $z=-6{\mathrm{e}}^{\frac{5\mathrm{i}\pi }{6}}$.

×

d. une forme exponentielle de $\mathrm{i}z$ est $z=6{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}\pi }{3}}$.

16

Pour tout réel $x$, on a ${\sin }^3(x)=$

×

a. $\frac{1}{8}\mathrm{i}{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}\right)}^3$

b. $-\frac{\sin (3x)+3\sin (x)}{4}$

×

c. $-\frac{1}{8}\mathrm{i}{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}\right)}^3$

×

d. $-\frac{\sin (3x)-3\sin (x)}{4}$

17

On se place dans un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
On considère le point $\text{C}$ d’affixe $c=\sqrt{3}-1+(2+3\sqrt{3})\mathrm{i}$.

1. Déterminer graphiquement les affixes des points $\text{A}$ et $\text{B}$.


2. Déterminer la nature du triangle $\text{ABC}$.


3. Déterminer l’affixe du pied de sa hauteur issue de $\text{C}$.


4. Déterminer l’affixe du centre de gravité de $\text{ABC}$.

A

On s'intéresse à la figure ci-dessous.

Quelle affirmation est correcte ?
a. $\text{A}$ a pour affixe $z_{\text{A}}=3+\mathrm{i}$.
b. Le vecteur $\overrightarrow{\text{CB}}$ a pour affixe $3-3\mathrm{i}$.
c. Le module de l’affixe du point $\text{B}$ est $-2\sqrt{2}$.
d. Un argument de l’affixe du point $\text{D}$ est $5\pi$.

B

$\text{M}$ est un point du plan complexe d’affixe $z$. Quelle affirmation est correcte ?
a. ${\text{M}}_1$ d’affixe $\overline{z}$ est le symétrique de $\text{M}$ par rapport à l’axe des ordonnées et $\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$.
b. ${\text{M}}_2$ d’affixe $-z$ est le symétrique de $\text{M}$ par rapport à l’origine du repère et $\arg (-z)=-\arg (z)$.
c. ${\text{M}}_3$ d’affixe $-\overline{z}$ est le symétrique de $\text{M}$ par rapport à l’axe des abscisses et $\left|-\overline{z}\right|=\left|z\right|$.
d. $M_4$ d’affixe $-\overline{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à l’axe des ordonnées.

C

Vrai ou faux ? Le triangle $\text{ABC}$ avec $\text{A}$ d’affixe $z_{\text{A}}=2+\text{i}$, $\text{B}$ d’affixe $z_{\text{B}}=4+3\text{i}$ et $\text{C}$ d’affixe $z_{\text{C}}=4-\text{i}$ est isocèle.

a. Vrai
b. Faux

D

Le nombre complexe $z=2\times \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right)$ :

a. est écrit sous forme algébrique.
b. est écrit sous forme exponentielle.
c. est écrit sous forme trigonométrique.
d. a un module égal à $\sqrt{3}$.

E

Soient $\text{P}$, $\text{Q}$ et $\text{R}$ trois points d'affixe respective $z_{\text{P}}=2+2\mathrm{i}$, $z_{\text{Q}}=-3+\mathrm{i}$ et $z_{\text{R}}=\frac{9}{2}+\frac{5}{2}\mathrm{i}$. Que peut-on en déduire ?

a. $\text{PQR}$ est un triangle isocèle.
b. $\text{P}$, $\text{Q}$ et $\text{R}$ sont alignés.
c. $\text{PQR}$ forment un triangle équilatéral.
d. $\text{P}$, $\text{Q}$ et $\text{R}$ ne sont pas alignés.

F

L'ensemble des points $\text{M}$ d'affixe $z$, vérifiant $\left|z-\mathrm{i}\right|=2$ est :
a. le cercle de centre $\Omega \left(\mathrm{i}\right)$ de rayon $2$.
b. le cercle de centre $\Omega \left(-\mathrm{i}\right)$ de rayon $2$.
c. l’ensemble vide.
d. la médiatrice du segment $[\text{AB}]$ où $\text{A}\left(\mathrm{i}\right)$ et $\text{B}\left(2\right)$.

G

Pour tout réel $x$, ${\cos }^3(x)$ est égal à :

×

a. $\frac{\cos (3x)+3\cos (x)}{4}$

×

b. ${\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}\right)}^3$.

c. $1-{\sin }^3(x)$.

×

d. ${\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2}\right)}^3$.

H

Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont des écritures possibles du nombre complexe $z=3-3\text{i}$ ?

a. $3{\text{e}}^{-\frac{\pi }{4}\text{i}}$

×

b. $3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right)$

c. $3\sqrt{2}{\text{e}}^{-\frac{\pi }{4}}$

×

d. $3\sqrt{2}{\text{e}}^{\frac{23\pi }{4}\text{i}}$