Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2

On appelle discriminant du trinôme a z^{2}+b z+c le nombre réel, noté \Delta, défini par : \Delta=b^{2}-4 a c.

Soit (\mathrm{E}): a z^{2}+b z+c=0 une équation du second degré d'inconnue z \in \mathbb{C}.

1. Si \Delta>0, alors (\mathrm{E}) admet deux solutions réelles distinctes :
z_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} et z_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.
2. Si \Delta=0, alors (\mathrm{E}) admet une solution réelle : z_{0}=\frac{-b}{2 a}.

3. Si \Delta \lt 0, alors (\mathrm{E}) admet deux solutions complexes conjuguées :
z_{1}=\frac{-b-\mathrm{i} \sqrt{|\Delta|}}{2 a} et z_{2}=\overline{z_{1}}=\frac{-b+\mathrm{i} \sqrt{|\Delta|}}{2 a}.

Si \Delta \lt 0, on calcule la première solution z_1 avec une des deux formules et la deuxième solution z_2 en utilisant z_{2}=\overline{z_{1}}.

Les points 1. et 2. ont déjà été démontrés dans \mathbb{R} en classe de première.

3. On écrit le trinôme sous forme canonique :
a \neq 0 donc a z^{2}+b z+c=a\left(z+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4 a c}{4 a}=a\left(z+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4 a}.
Comme \Delta \lt 0, alors -\Delta>0 donc \Delta=-(-\Delta)=\mathrm{i}^{2} \times(-\Delta).
Alors (\mathrm{E}) \Leftrightarrow\left(z+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\mathrm{i}^{2} \frac{-\Delta}{4 a^{2}}=0 (en divisant par a \neq 0)
\Leftrightarrow\left(z+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\mathrm{i} \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2 a}\right)^{2}=0
\Leftrightarrow\left(z+\frac{b}{2 a}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2 a}\right)\left(z+\frac{b}{2 a}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2 a}\right)=0 (d'après les identités remarquables)
\Leftrightarrow z+\frac{b}{2 a}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2 a}=0 ou z+\frac{b}{2 a}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2 a}=0
\Leftrightarrow z+\frac{b}{2 a}=\mathrm{i} \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2 a} ou z+\frac{b}{2 a}=-\mathrm{i} \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2 a}
\Leftrightarrow z=-\frac{b}{2 a}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2 a} ou z=-\frac{b}{2 a}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2 a} (ces solutions sont conjuguées)
\Leftrightarrow z=\frac{-b+\mathrm{i} \sqrt{|\Delta|}}{2 a} ou z=\frac{-b-\mathrm{i} \sqrt{|\Delta|}}{2 a}.

Dans l'exercice

150

p. 47, on explicite une méthode permettant de résoudre l'équation à coefficients complexes a z^{2}+b z+c=0.

1. \Delta=(-6)^{2}-4 \times 9 \times 5=-144 \lt 0 donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées.
On a \Delta=-144 donc \sqrt{|\Delta|}=12.
Les solutions sont donc z_{1}=\frac{-(-6)-12 \mathrm{i}}{2 \times 9}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3} \mathrm{i} et z_{2}=\overline{z_{1}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \mathrm{i}.
2. Pour z \neq 0, z=2-\frac{2}{z} \Leftrightarrow z^{2}-2 z+2=0.
\Delta=(-2)^{2}-4 \times 1 \times 2=-4 \lt 0 donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées. On a \sqrt{|\Delta|}=2 donc les solutions sont
z_{1}=\frac{-(-2)-2 \mathrm{i}}{2}=1-\mathrm{i} et z_{2}=\overline{z_{1}}=1+\mathrm{i}.

Exercices

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et

44

p. 35

Un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

La propriété 1. donne que, pour tout entier naturel n non nul, z^n - a^n se factorise par z - a.

On considère un polynôme complexe \text{P} de degré n \geqslant 1 à coefficients réels.
Il existe alors n +1 réels notés \alpha_0 ; … ; \alpha_n avec \alpha_n \neq 0 tels que, pour tout nombre complexe z, \mathrm{P}(z)=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n} \alpha_{p} z^{p}.
Soit a \in \mathbb{C} tel que \mathrm{P}(a)=0.
Alors, d'après la propriété précédente, pour tout entier naturel non nul p : z^{p}-a^{p}=(z-a) \mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{p-1} z^{p-1-k} a^{k}. Comme \mathrm{P}(a)=0, alors, pour tout nombre complexe z,
\mathrm{P}(z)=\mathrm{P}(z)-\mathrm{P}(a)=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n} \alpha_{p} z^{p}-\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n} \alpha_{p} a^{p}
\Leftrightarrow \mathrm{P}(z)=\mathop{\sum}\limits_{p=1}\limits^{n} \alpha_{p}\left(z^{p}-a^{p}\right)=(z-a) \mathop{\sum}\limits_{p=1}\limits^{n} \alpha_{p}\left(\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{p-1} z^{p-1-k} a^{k}\right)
=(z-a) \mathop{\sum}\limits_{p=1}\limits^{n} \alpha_{p}\left(z^{p-1}+a z^{p-2}+\ldots+a^{p-2} z+a^{p-1}\right)=(z-a) \mathrm{Q}(z).
Puisque \alpha_n est non nul, \text{Q} est un polynôme de degré n - 1, d'où le résultat.

Pour n \in \mathbb{N}, on note \mathrm{R}_n la proposition « Un polynôme de degré n admet au plus n racines. » On souhaite démontrer que \mathrm{R}_n est vraie pour tout n \in \mathbb{N}.
Initialisation : Un polynôme de degré 0 est une constante non nulle.
Ce polynôme n'a donc pas de racine, c'est‑à‑dire qu'il a au plus 0 racine.
On en déduit que \mathrm{R}_0 est vraie.
Hérédité : On considère un entier naturel k quelconque tel que \mathrm{R}_k est vraie (hypothèse de récurrence), autrement dit vérifiant « Un polynôme de degré k admet au plus k racines. » On souhaite démontrer que \mathrm{R}_{k+1} est vraie, autrement dit que « Un polynôme de degré k + 1 admet au plus k + 1 racines. »
Soit \text{P} un polynôme de degré k + 1.
Si \text{P} n'a pas de racine, il en compte alors 0 et 0 \lt k + 1, donc \mathrm{R}_{k+1} est vraie.
Si \text{P} admet au moins une racine a, alors, d'après la propriété précédente, il se factorise par z - a : il existe donc un polynôme \text{Q} de degré k tel que, pour tout nombre complexe z, \mathrm{P}(z)=(z-a) \mathrm{Q}(z).
D'après l'hypothèse de récurrence, \text{Q} a au plus k racines, ce qui fait que \text{P} en a au plus k + 1.
Ainsi, \mathrm{R}_0 est vraie et, pour tout entier naturel k, si \mathrm{R}_k est vraie, alors \mathrm{R}_{k+1} est vraie aussi. D'après le principe de récurrence, on déduit que, pour tout n \in \mathbb{N}, \mathrm{R}_n est vraie. Un polynôme de degré n \in \mathbb{N} admet donc au plus n racines.

1. \mathrm{P}(1)=2 \times 1^{3}+3 \times 1-5=2+3-5=0 donc 1 est bien une racine de \text{P}.
2. Pour tout z \in \mathbb{C}, \mathrm{P}(z)=(z-1)\left(a z^{2}+b z+c\right)
\Leftrightarrow \mathrm{P}(z)=a z^{3}+(b-a) z^{2}+(c-b) z-c
\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} a &=2 \\ b-a &=0 \\ c-b &=3 \\-c &=-5 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=a=2 \\ c=3+b=5 \\ c=5\end{array}\right., donc, pour tout z \in \mathbb{C}, \mathrm{P}(z)=(z-1)\left(2 z^{2}+2 z+5\right).
3. \mathrm{P}(z)=0 \Leftrightarrow z=1 ou 2 z^{2}+2 z+5=0.
On calcule le discriminant de 2 z^{2}+2 z+5 :
\Delta=2^{2}-4 \times 2 \times 5=-36 donc 2 z^{2}+2 z+5=0 admet deux solutions complexes conjuguées : z_{1}=\frac{-2-6 \mathrm{i}}{4}=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i} et z_{2}=\overline{z_{1}}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}.
Conclusion : \mathrm{S}_{\mathbb{C}}=\left\{1 ;-\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i} ;-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}\right\}.

Exercices

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et

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p. 35.