Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2

On appelle discriminant du trinôme $a{z}^2+bz+c$ le nombre réel, noté $\Delta$, défini par : $\Delta =b^2-4ac$.

Soit $(\mathrm{E}):a{z}^2+bz+c=0$ une équation du second degré d'inconnue $z\in \mathbb{C}$.

1. Si $\Delta >0$, alors $(\mathrm{E})$ admet deux solutions réelles distinctes :
$z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $z_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$.
2. Si $\Delta =0$, alors $(\mathrm{E})$ admet une solution réelle : $z_0=\frac{-b}{2a}$.

3. Si $\Delta <0$, alors $(\mathrm{E})$ admet deux solutions complexes conjuguées :
$z_1=\frac{-b-\mathrm{i}\sqrt{|\Delta |}}{2a}$ et $z_2=\overline{z_1}=\frac{-b+\mathrm{i}\sqrt{|\Delta |}}{2a}$.

Si $\Delta <0$, on calcule la première solution $z_1$ avec une des deux formules et la deuxième solution $z_2$ en utilisant $z_2=\overline{z_1}$.

Les points 1. et 2. ont déjà été démontrés dans $\mathbb{R}$ en classe de première.

3. On écrit le trinôme sous forme canonique :
$a\ne 0$ donc $a{z}^2+bz+c=a{\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=a{\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a}$.
Comme $\Delta <0$, alors $-\Delta >0$ donc $\Delta =-(-\Delta )={\mathrm{i}}^2\times (-\Delta )$.
Alors $(\mathrm{E})\iff {\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-{\mathrm{i}}^2\frac{-\Delta }{4a^2}=0$ (en divisant par $a\ne 0$)
$\iff {\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\mathrm{i}\frac{\sqrt{|\Delta |}}{2a}\right)}^2=0$
$\iff \left(z+\frac{b}{2a}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{|\Delta |}}{2a}\right)\left(z+\frac{b}{2a}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{|\Delta |}}{2a}\right)=0$ (d'après les identités remarquables)
$\iff z+\frac{b}{2a}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{|\Delta |}}{2a}=0$ ou $z+\frac{b}{2a}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{|\Delta |}}{2a}=0$
$\iff z+\frac{b}{2a}=\mathrm{i}\frac{\sqrt{|\Delta |}}{2a}$ ou $z+\frac{b}{2a}=-\mathrm{i}\frac{\sqrt{|\Delta |}}{2a}$
$\iff z=-\frac{b}{2a}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{|\Delta |}}{2a}$ ou $z=-\frac{b}{2a}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{|\Delta |}}{2a}$ (ces solutions sont conjuguées)
$\iff z=\frac{-b+\mathrm{i}\sqrt{|\Delta |}}{2a}$ ou $z=\frac{-b-\mathrm{i}\sqrt{|\Delta |}}{2a}$.

Dans l'exercice

150

p. 47, on explicite une méthode permettant de résoudre l'équation à coefficients complexes $a{z}^2+bz+c=0$.

1. $\Delta =(-6{)}^2-4\times 9\times 5=-144<0$ donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées.
On a $\Delta =-144$ donc $\sqrt{|\Delta |}=12$.
Les solutions sont donc $z_1=\frac{-(-6)-12\mathrm{i}}{2\times 9}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\mathrm{i}$ et $z_2=\overline{z_1}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\mathrm{i}$.
2. Pour $z\ne 0$, $z=2-\frac{2}{z}\iff z^2-2z+2=0$.
$\Delta =(-2{)}^2-4\times 1\times 2=-4<0$ donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées. On a $\sqrt{|\Delta |}=2$ donc les solutions sont
$z_1=\frac{-(-2)-2\mathrm{i}}{2}=1-\mathrm{i}$ et $z_2=\overline{z_1}=1+\mathrm{i}$.

Exercices

43

et

44

p. 35

Un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

La propriété 1. donne que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $z^n-a^n$ se factorise par $z-a.$

On considère un polynôme complexe $\text{P}$ de degré $n⩾1$ à coefficients réels.
Il existe alors $n+1$ réels notés ${\alpha }_0$ ; … ; ${\alpha }_n$ avec ${\alpha }_n\ne 0$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=\sum _{p=0}^n{\alpha }_p{z}^p$.
Soit $a\in \mathbb{C}$ tel que $\mathrm{P}(a)=0$.
Alors, d'après la propriété précédente, pour tout entier naturel non nul $p$ : $z^p-a^p=(z-a)\sum _{k=0}^{p-1}{z}^{p-1-k}{a}^k$. Comme $\mathrm{P}(a)=0$, alors, pour tout nombre complexe $z$,
$\mathrm{P}(z)=\mathrm{P}(z)-\mathrm{P}(a)=\sum _{p=0}^n{\alpha }_p{z}^p-\sum _{p=0}^n{\alpha }_p{a}^p$
$\iff \mathrm{P}(z)=\sum _{p=1}^n{\alpha }_p\left(z^p-a^p\right)=(z-a)\sum _{p=1}^n{\alpha }_p\left(\sum _{k=0}^{p-1}{z}^{p-1-k}{a}^k\right)$
$=(z-a)\sum _{p=1}^n{\alpha }_p\left(z^{p-1}+a{z}^{p-2}+\dots +a^{p-2}z+a^{p-1}\right)=(z-a)\mathrm{Q}(z)$.
Puisque ${\alpha }_n$ est non nul, $\text{Q}$ est un polynôme de degré $n-1$, d'où le résultat.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on note ${\mathrm{R}}_n$ la proposition « Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines. » On souhaite démontrer que ${\mathrm{R}}_n$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.
Initialisation : Un polynôme de degré $0$ est une constante non nulle.
Ce polynôme n'a donc pas de racine, c'est‑à‑dire qu'il a au plus $0$ racine.
On en déduit que ${\mathrm{R}}_0$ est vraie.
Hérédité : On considère un entier naturel $k$ quelconque tel que ${\mathrm{R}}_k$ est vraie (hypothèse de récurrence), autrement dit vérifiant « Un polynôme de degré $k$ admet au plus $k$ racines. » On souhaite démontrer que ${\mathrm{R}}_{k+1}$ est vraie, autrement dit que « Un polynôme de degré $k+1$ admet au plus $k+1$ racines. »
Soit $\text{P}$ un polynôme de degré $k+1$.
Si $\text{P}$ n'a pas de racine, il en compte alors $0$ et $0<k+1$, donc ${\mathrm{R}}_{k+1}$ est vraie.
Si $\text{P}$ admet au moins une racine $a$, alors, d'après la propriété précédente, il se factorise par $z-a$ : il existe donc un polynôme $\text{Q}$ de degré $k$ tel que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z-a)\mathrm{Q}(z)$.
D'après l'hypothèse de récurrence, $\text{Q}$ a au plus $k$ racines, ce qui fait que $\text{P}$ en a au plus $k+1$.
Ainsi, ${\mathrm{R}}_0$ est vraie et, pour tout entier naturel $k$, si ${\mathrm{R}}_k$ est vraie, alors ${\mathrm{R}}_{k+1}$ est vraie aussi. D'après le principe de récurrence, on déduit que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\mathrm{R}}_n$ est vraie. Un polynôme de degré $n\in \mathbb{N}$ admet donc au plus $n$ racines.

1. $\mathrm{P}(1)=2\times 1^3+3\times 1-5=2+3-5=0$ donc $1$ est bien une racine de $\text{P}$.
2. Pour tout $z\in \mathbb{C}$, $\mathrm{P}(z)=(z-1)\left(a{z}^2+bz+c\right)$
$\iff \mathrm{P}(z)=a{z}^3+(b-a)z^2+(c-b)z-c$
$\iff \{\begin{array}{rl}a& =2\\ b-a& =0\\ c-b& =3\\ -c& =-5\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=a=2\\ c=3+b=5\\ c=5\end{array}$, donc, pour tout $z\in \mathbb{C}$, $\mathrm{P}(z)=(z-1)\left(2z^2+2z+5\right)$.
3. $\mathrm{P}(z)=0\iff z=1$ ou $2z^2+2z+5=0$.
On calcule le discriminant de $2z^2+2z+5$ :
$\Delta =2^2-4\times 2\times 5=-36$ donc $2z^2+2z+5=0$ admet deux solutions complexes conjuguées : $z_1=\frac{-2-6\mathrm{i}}{4}=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\mathrm{i}$ et $z_2=\overline{z_1}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\mathrm{i}$.
Conclusion : ${\mathrm{S}}_{\mathbb{C}}=\left\{1;-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\mathrm{i};-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\mathrm{i}\right\}$.

Exercices

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et

47

p. 35.