Pour
n∈N, on note
Rn la proposition « Un polynôme de degré
n admet au plus
n racines. » On souhaite démontrer que
Rn est vraie pour tout
n∈N.
Initialisation : Un polynôme de degré
0 est une constante non nulle.
Ce polynôme n’a donc pas de racine, c’est‑à‑dire qu’il a au plus
0 racine.
On en déduit que
R0 est vraie.
Hérédité : On considère un entier naturel
k quelconque tel que
Rk est vraie (hypothèse de récurrence), autrement dit vérifiant « Un polynôme de degré
k admet au plus
k racines. » On souhaite démontrer que
Rk+1 est vraie, autrement dit que « Un polynôme de degré
k+1 admet au plus
k+1 racines. »
Soit
P un polynôme de degré
k+1.
Si
P n’a pas de racine, il en compte alors
0 et
0<k+1, donc
Rk+1 est vraie.
Si
P admet au moins une racine
a, alors, d’après la propriété précédente, il se factorise par
z−a : il existe donc un polynôme
Q de degré
k tel que, pour tout nombre complexe
z,
P(z)=(z−a)Q(z).
D’après l’hypothèse de récurrence,
Q a au plus
k racines, ce qui fait que
P en a au plus
k+1.
Ainsi,
R0 est vraie et, pour tout entier naturel
k, si
Rk est vraie, alors
Rk+1 est vraie aussi. D’après le principe de récurrence, on déduit que, pour tout
n∈N,
Rn est vraie. Un polynôme de degré
n∈N admet donc au plus
n racines.