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3. Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2
P.26-29

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COURS 3


3
Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2




A
Résolution des équations du second degré à coefficients réels


Dans cette partie, , et désignent trois nombres réels avec et est un nombre complexe. On cherche à résoudre dans l’équation .

Définition

On appelle discriminant du trinôme le nombre réel, noté , défini par : .

Théorème

Soit une équation du second degré d’inconnue .
1. Si , alors admet deux solutions réelles distinctes :
et .

2. Si , alors admet une solution réelle : .

3. Si , alors admet deux solutions complexes conjuguées :
et .

Remarque

Si , on calcule la première solution avec une des deux formules et la deuxième solution en utilisant .

Remarque

Dans l’exercice
150
p. 47
, on explicite une méthode permettant de résoudre l’équation à coefficients complexes .

DÉMONSTRATION

Les points 1. et 2. ont déjà été démontrés dans en classe de première.

3. On écrit le trinôme sous forme canonique :
donc .
Comme , alors donc .
Alors (en divisant par )

(d’après les identités remarquables)
ou
ou
ou (ces solutions sont conjuguées)
ou .

Exemple

Pour résoudre , on calcule le discriminant du trinôme  :
.
Puisque , alors l’équation admet deux solutions complexes :
et

Application et méthode - 6

Énoncé

Résoudre dans les équations suivantes.
1.
2.

B
Équations polynomiales à coefficients réels


Définitions

Soit un entier naturel et soient , , … , des nombres réels avec .
On appelle fonction polynôme de degré à coefficients réels (ou plus simplement polynôme de degré ), la fonction définie sur par .
L’équation est appelée équation polynomiale de degré .

Remarque

Un polynôme est nul si, et seulement si, tous ses coefficients sont nuls.

NOTATION

On note le degré du polynôme .

Propriété 1

Soient et deux nombres complexes.
Pour tout entier naturel non nul, .

Remarque

Lorsque , on dit que est unitaire.

DÉMONSTRATION

Soient et . On veut montrer que .
On développe : .
D’une part,
(car ).
D’autre part,
(car ).
Donc, par différence, les termes se simplifient deux à deux sauf le premier et le dernier, ce qui donne bien :
.

Remarque

La propriété 1. donne que, pour tout entier naturel non nul, se factorise par

Remarque

Une telle opération de simplification de la somme est appelée télescopage.

Propriété 2

Soit un nombre complexe.
Soit un polynôme de degré supérieur ou égal à .
Si , alors se factorise par . Autrement dit, si , alors il existe un polynôme avec tel que, pour tout , .

Remarque

Si , alors est appelé racine du polynôme .

DÉMONSTRATION

On considère un polynôme complexe de degré à coefficients réels.
Il existe alors réels notés  ; … ; avec tels que, pour tout nombre complexe , .
Soit tel que .
Alors, d’après la propriété précédente, pour tout entier naturel non nul  :
.
Comme , alors, pour tout nombre complexe ,


.
Puisque est non nul, est un polynôme de degré , d’où le résultat.

Propriété 3

Pour tout entier naturel , un polynôme de degré admet au plus racines.

DÉMONSTRATION

Pour , on note la proposition « Un polynôme de degré admet au plus racines. » On souhaite démontrer que est vraie pour tout .
Initialisation : Un polynôme de degré est une constante non nulle.
Ce polynôme n’a donc pas de racine, c’est‑à‑dire qu’il a au plus racine.
On en déduit que est vraie.
Hérédité : On considère un entier naturel quelconque tel que est vraie (hypothèse de récurrence), autrement dit vérifiant « Un polynôme de degré admet au plus racines. » On souhaite démontrer que est vraie, autrement dit que « Un polynôme de degré admet au plus racines. »
Soit un polynôme de degré .
Si n’a pas de racine, il en compte alors et , donc est vraie.
Si admet au moins une racine , alors, d’après la propriété précédente, il se factorise par  : il existe donc un polynôme de degré tel que, pour tout nombre complexe , .
D’après l’hypothèse de récurrence, a au plus racines, ce qui fait que en a au plus .
Ainsi, est vraie et, pour tout entier naturel , si est vraie, alors est vraie aussi. D’après le principe de récurrence, on déduit que, pour tout , est vraie. Un polynôme de degré admet donc au plus racines.

Exemples

1. Pour tout nombre complexe , on a .
2. Soit le polynôme complexe défini par .
est une racine de donc se factorise par et on a, pour tout , . On trouve exactement trois racines pour , et .

Application et méthode - 7

Énoncé

Soit le polynôme défini sur par .
1. Montrer que est une racine de .
2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout , .
3. Résoudre dans l’équation .

Propriétés (admises)

Soient et un polynôme de degré à coefficients réels (avec ).
Alors :
  • la somme de toutes ses racines est égale à  ;

  • le produit de toutes ses racines est égal à .

Remarque

Ce sont les formules de Viète. Elles sont démontrées dans l’exercice
148
p. 46
.

Remarque

« Toutes ses racines » signifie que si plusieurs racines sont égales (racines doubles ou triples par exemple), alors il faut toutes les considérer individuellement dans la somme et le produit.

Exemple

Soient et les racines d’un polynôme unitaire
Comme et , alors et sont les racines du trinôme défini sur par .