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2. Nombres complexes conjugués
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COURS 2


2
Nombres complexes conjugués




A
Définition et propriétés algébriques


Définition
Le conjugué d’un nombre complexe zz est le nombre complexe noté z‾\overline z défini par :
z‾=Re⁡(z)−i×Im⁡(z)\overline{z}=\operatorname{Re}(z)-\mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).

Remarque

Si zz est un nombre complexe et si aa et bb sont les réels tels que z=a+ibz=a+\mathrm{i}b, alors z‾=a−ib\overline{z}=a-\mathrm{i} b.

Exemples
1. i‾=−i\overline{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}
2. Pour tout (a ;b)∈R2(a ; b) \in \mathbb{R}^{2}, aˉ=a\bar{a}=a et ib‾=−ib\overline{\mathrm{i} b}=-\mathrm{i} b.
3. Si z=3+2iz=3+2 \mathrm{i}, alors z‾=3−2i\overline{z}=3-2 \mathrm{i}.

Remarque

En notant z=a+ibz=a+\mathrm{i} b avec aa et bb réels, on a zz‾=a2+b2∈R+z \overline{z}=a^{2}+b^{2} \in \mathbb{R}^{+}.

Propriétés
Pour tout nombre complexe zz, on a :
1. z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z ;
2. z+z‾=2Re⁡(z)z+\overline{z}=2 \operatorname{Re}(z) ;
3. z−z‾=2i×Im⁡(z)z-\overline{z}=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z) ;
4. z∈R⇔z‾=zz \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z}=z ;
5. r∈iR⇔z‾=−zr \in \mathrm{i} \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z}=-z ;
6. z×z‾=(Re⁡(z))2+(Im⁡(z))2z \times \overline{z}=(\operatorname{Re}(z))^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}.

DÉMONSTRATION

Soient zz un nombre complexe et aa et bb les deux réels tels que z=a+ib.z=a+\mathrm{i} b.
1. z‾‾=a+ib‾‾=a−ib‾=a−(−ib)=a+ib=z\overline{\overline{z}}=\overline{\overline{a+\mathrm{i} b}}=\overline{a-\mathrm{i} b}=a-(-\mathrm{i} b)=a+\mathrm{i} b=z.
2. z+z‾=a+ib+a−ib=2a=2Re⁡(z)z+\overline{z}=a+\mathrm{i} b+a-\mathrm{i} b=2 a=2 \operatorname{Re}(z).
3. z−z‾=a+ib−(a−ib)=a+ib−a+ib=2ib=2i×Im⁡(z).z-\overline{z}=a+\mathrm{i} b-(a-\mathrm{i} b)=a+\mathrm{i} b-a+\mathrm{i} b=2 \mathrm{i} b=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).
4. z‾=z⇔z−z‾=0⇔2i×Im⁡(z)=0⇔Im⁡(z)=0\overline{z}=z \Leftrightarrow z-\overline{z}=0 \Leftrightarrow 2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z)=0 \Leftrightarrow \operatorname{Im}(z)=0 (car 2i≠02 \mathrm{i} \neq 0). D'où z=z‾⇔z∈Rz=\overline{z} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}.
5. z‾=−z⇔z+z‾=0⇔2Re⁡(z)=0⇔z∈iR\overline{z}=-z \Leftrightarrow z+\overline{z}=0 \Leftrightarrow 2 \operatorname{Re}(z)=0 \Leftrightarrow z \in \mathrm{i} \mathbb{R}.
6. z×z‾=(Re⁡(z)+iIm⁡(z))(Re⁡(z)−iIm⁡(z))=Re⁡(z)2+Im⁡(z)2z \times \overline{z}=(\operatorname{Re}(z)+\mathrm{i} \operatorname{Im}(z))(\operatorname{Re}(z)-\mathrm{i} \operatorname{Im}(z))=\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}.

Application et méthode - 3

Énoncé

Résoudre dans C\mathbb{C} les équations suivantes.

1. 2z‾+5−2i=4+i+3z‾2 \overline{z}+5-2 \mathrm{i}=4+\mathrm{i}+3 \overline{z}
2. 2z+iz‾=5−2i2 z+\mathrm{i} \overline{z}=5-2 \mathrm{i}

Solution

1. 2z‾+5−2i=4+i+3z‾⇔z‾=1−3i⇔z=1+3i2 \overline{z}+5-2 \mathrm{i}=4+\mathrm{i}+3 \overline{z} \Leftrightarrow \overline{z}=1-3 \mathrm{i} \Leftrightarrow z=1+3 \mathrm{i}

2. On pose z=a+ibz=a+\mathrm{i} b avec aa et bb réels.
On a ainsi z‾=a−ib\overline{z}=a-\mathrm{i} b. L’équation s’écrit alors :
2(a+ib)+i(a−ib)=5−2i2(a+\mathrm{i} b)+\mathrm{i}(a-\mathrm{i} b)=5-2 \mathrm{i}
⇔2a+b+i(a+2b)=5−2i\Leftrightarrow 2 a+b+\mathrm{i}(a+2 b)=5-2 \mathrm{i}
⇔{2a+b=5a+2b=−2\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 a+b=5 \\ a+2 b=-2\end{array}\right.
⇔{a=4b=−3\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=-3\end{array}\right.
⇔z=4−3i\Leftrightarrow z=4-3 \mathrm{i}.

Pour s'entraîner : exercices 33 p. 34 et 34 p. 35

Méthode

1. Pour les équations où z‾\overline{z} intervient seul, on résout de la même manière que pour les équations du premier degré dans R\mathbb{R} en isolant z‾\overline{z}.
On utilise ensuite z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z pour conclure.

2. Pour les équations où zz et z‾\overline{z} interviennent simultanément, on pose z=a+ibz=a+\mathrm{i} b avec aa et bb réels et on utilise z=z′⇔{Re⁡(z)=Re⁡(z′)Im⁡(z)=Im⁡(z′)z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right..

B
Inverse et quotient


Définition
Soit z=a+ibz=a+\mathrm{i} b un nombre complexe non nul.
L’inverse de z\boldsymbol{z} est le nombre complexe z′z^{\prime} tel que zz′=1z z^{\prime}=1 et on le note 1z\dfrac{1}{z}. On a alors :
1z=1a+ib=a−ib(a+ib)(a−ib)=a−iba2+b2=zˉa2+b2\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a+\mathrm{i} b}=\dfrac{a-\mathrm{i} b}{(a+\mathrm{i} b)(a-\mathrm{i} b)}=\dfrac{a-\mathrm{i} b}{a^{2}+b^{2}}=\dfrac{\bar{z}}{a^{2}+b^{2}}.

Exemples
1. 1i=−i\dfrac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}
2. 11+2i=1−2i12+22=1−2i5=15−25i\dfrac{1}{1+2 \mathrm{i}}=\dfrac{1-2 \mathrm{i}}{1^{2}+2^{2}}=\dfrac{1-2 \mathrm{i}}{5}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{5} \mathrm{i}

Remarque

L’égalité 1i=−i\dfrac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i} est souvent utilisée pour simplifier des quotients dont le dénominateur est un imaginaire pur.

Définition
Soient z=a+ibz=a+\mathrm{i} b et z′=a′+ib′z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} deux nombres complexes avec z′≠0z^{\prime} \neq 0.
Le quotient de z\boldsymbol{z} par z′\boldsymbol{z^{\prime}} est le nombre complexe noté zz′\dfrac{z}{z^{\prime}} tel que zz′=z×1z′\dfrac{z}{z^{\prime}}=z \times \dfrac{1}{z^{\prime}}. On a :
zz′=a+iba′+ib′=(a+ib)(a′−ib′)a′2+b′2=z×z′‾a′2+b′2\dfrac{z}{z^{\prime}}=\dfrac{a+\mathrm{i} b}{a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}}=\dfrac{(a+\mathrm{i} b)\left(a^{\prime}-\mathrm{i} b^{\prime}\right)}{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}=\dfrac{\mathrm{z} \times \overline{\mathrm{z}^{\prime}}}{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}.

Remarque

Pour déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe zz′\dfrac{z}{z^{\prime}}, on multiplie le numérateur et le dénominateur par z′‾\overline{z^{\prime}}.

Exemple
1+i2i−3=1+i−3+2i=(1+i)(−3−2i)(−3)2+22=−3+2+i(−2−3)13=−1−5i13=−113−513i\dfrac{1+\mathrm{i}}{2 \mathrm{i}-3}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{-3+2 \mathrm{i}}=\dfrac{(1+\mathrm{i})(-3-2 \mathrm{i})}{(-3)^{2}+2^{2}}=\dfrac{-3+2+\mathrm{i}(-2-3)}{13}=\dfrac{-1-5 \mathrm{i}}{13}=-\dfrac{1}{13}-\dfrac{5}{13} \mathrm{i}

Application et méthode - 4

Énoncé

Résoudre dans C\mathbb{C} les équations suivantes.

1. (1+2i)z=3+i(1+2 \mathrm{i}) z=3+\mathrm{i}
2. (3+i)z‾−2+4i=0(3+ \mathrm{i}) \overline{z}-2+4 \mathrm{i}=0
3. (1+i)z+(3−i)z‾=2−6i(1+\mathrm{i}) z+(3-\mathrm{i}) \overline{z}=2-6 \mathrm{i}

Solution

1. (1+2i)z=3+i⇔z=3+i1+2i⇔z=(3+i)(1−2i)12+22⇔z=5−5i5⇔z=1−i(1+2 \mathrm{i}) z=3+\mathrm{i} \Leftrightarrow z=\dfrac{3+\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}} \Leftrightarrow z=\dfrac{(3+\mathrm{i})(1-2 \mathrm{i})}{1^{2}+2^{2}} \Leftrightarrow z=\dfrac{5-5 \mathrm{i}}{5} \Leftrightarrow z=1-\mathrm{i}

2. (3+i)z‾−2+4i=0⇔(3+i)z‾=2−4i(3+\mathrm{i}) \overline{z}-2+4 \mathrm{i}=0 \Leftrightarrow(3+\mathrm{i}) \overline{z}=2-4 \mathrm{i}
⇔z‾=2−4i3+i⇔z‾=(2−4i)(3−i)32+12\Leftrightarrow \overline{z}=\dfrac{2-4 \mathrm{i}}{3+\mathrm{i}} \Leftrightarrow \overline{z}=\dfrac{(2-4 \mathrm{i})(3-\mathrm{i})}{3^{2}+1^{2}}
⇔z‾=6−4+i(−2−12)10⇔z‾=2−14i10\Leftrightarrow \overline{z}=\dfrac{6-4+\mathrm{i}(-2-12)}{10} \Leftrightarrow \overline{z}=\dfrac{2-14 \mathrm{i}}{10}
⇔z‾=15−75i⇔z=15+75i\Leftrightarrow \overline{z}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{5} \mathrm{i} \Leftrightarrow z=\dfrac{1}{5}+\dfrac{7}{5} \mathrm{i}

3. (1+i)z+(3−i)z‾=2−6i(1+\mathrm{i}) z+(3-\mathrm{i}) \overline{z}=2-6 \mathrm{i}
On pose z=a+ibz=a+\mathrm{i} b. On a donc z‾=a−ib\overline{z}=a-\mathrm{i} b.
L’équation s’écrit alors :
(1+i)(a+ib)+(3−i)(a−ib)=2−6i(1+\mathrm{i})(a+\mathrm{i} b)+(3-\mathrm{i})(a-\mathrm{i} b)=2-6\mathrm{i}
⇔(a−b)+i(b+a)+(3a−b)+i(−3b−a)=2−6i\Leftrightarrow(a-b)+\mathrm{i}(b+a)+(3 a-b)+\mathrm{i}(-3 b-a)=2-6 \mathrm{i}
⇔(4a−2b)−2ib=2−6i⇔{4a−2b=2−2b=−6\Leftrightarrow(4 a-2 b)-2 \mathrm{i} b=2-6 \mathrm{i} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}4 a-2 b=2 \\ -2 b=-6\end{array}\right.
⇔{a=2b=3⇔z=2+3i\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=3\end{array} \Leftrightarrow z=2+3 \mathrm{i}\right..

Pour s'entraîner : exercice 36 p. 35

Méthode

1. Pour les équations où zz intervient seul, on se ramène à une équation de la forme az=baz=b avec aa et bb complexes, puis on calcule z=baz=\dfrac{b}{a} lorsque a≠0a \neq 0.
Pour déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe écrit sous la forme d’un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

2. On procède de même si z‾\overline z intervient seul. On utilise ensuite z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z pour obtenir la solution cherchée.

3. Pour les équations où zz et z‾\overline z interviennent simultanément, on pose z=a+ibz=a+\mathrm{i} b avec aa et bb réels et on utilise z=z′⇔{Re⁡(z)=Re⁡(z′)Im⁡(z)=Im⁡(z′)z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right..

C
Conjugués et opérations


Propriétés
Pour tous nombres complexes zz et z′z^\prime et pour tout entier relatif nn, on a :
1. z+z′‾=z‾+z′‾\overline{z+z^{\prime}}=\overline{z}+\overline{z^{\prime}} ;
2. (zz′)‾=z‾×z′‾\overline{\left(z z^{\prime}\right)}=\overline{z} \times \overline{z^{\prime}} ;
3. Si z≠0z \neq 0, alors (1z)‾=1z‾\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}} ;
4. Si z′≠0z^\prime \neq 0, alors(zz′)‾=z‾z′‾\overline{\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} ;
5. (zn)‾=(z‾)n\overline{\left(z^{n}\right)}=(\overline{z})^{n} (avec z≠0z \neq 0 et si n<0n\lt0).

Remarque

Ces propriétés traduisent la compatibilité de la conjugaison avec les opérations dans C\mathbb{C}.

DÉMONSTRATION

Soient z=a+ibz=a+\mathrm{i} b et z′=a′+ib′z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} deux nombres complexes avec aa, bb, a′a^{\prime} et b′b^{\prime} réels.

1. et 2. : Voir exercice
88
p. 39.

3. Soit z≠0z \neq 0. Dans ce cas, on a également z‾≠0\overline{z} \neq 0.
Par définition des inverses, on a z×1z=1⇔(z×1z)‾=1‾=1z \times \dfrac{1}{z}=1 \Leftrightarrow \overline{\left(z \times \dfrac{1}{z}\right)}=\overline{1}=1 car 11 est réel.
D’après 2., on obtient z‾×(1z)‾=1⇔(1z)‾=1z‾\overline{z} \times \overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=1 \Leftrightarrow \overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}} car z‾≠0\overline{z} \neq 0.
D’où l’égalité, pour tout z∈C∗z \in \mathbb{C}^{*}, (1z)‾=1z‾\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}.

4. Voir exercice
89
p. 39.

5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour nn entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour nn entier négatif. Voir exercice
90
p. 39.

Exemples
1. z1=(1−2i)(2+3i)‾=(1−2i)‾×(2+3i)‾=(1+2i)(2−3i)=2+6+i(−3+4)=8+iz_{1}=\overline{(1-2 \mathrm{i})(2+3 \mathrm{i})}=\overline{(1-2 \mathrm{i})} \times \overline{(2+3 \mathrm{i})}=(1+2 \mathrm{i})(2-3 \mathrm{i})=2+6+\mathrm{i}(-3+4)=8+\mathrm{i}
2. z2=(i1+i)‾=i‾1+i‾=−i1−i=−i(1+i)12+(−1)2=−i+12=12−12iz_{2}=\overline{\left(\dfrac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}=\dfrac{\overline{\mathrm{i}}}{\overline{1+\mathrm{i}}}=\dfrac{-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\dfrac{-\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{1^{2}+(-1)^{2}}=\dfrac{-\mathrm{i}+1}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}
3. z3=(i3)‾=(i‾)3=(−i)3=iz_{3}=\overline{\left(\mathrm{i}^{3}\right)}=\left(\overline{\mathrm{i}}\right)^{3}=(-\mathrm{i})^{3}=\mathrm{i}

Application et méthode - 5

Énoncé

Calculer sous forme algébrique le conjugué de z=(3+2i)(1−i)(1+2i)2z=\dfrac{(3+2 \mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+2 \mathrm{i})^{2}}.

Solution

z‾=((3+2i)(1−i)(1+2i)2)‾=(3+2i)(1−i)‾(1+2i)2‾\overline{z}=\overline{\left(\dfrac{(3+2 \mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+2 \mathrm{i})^{2}}\right)}=\dfrac{\overline{(3+2 \mathrm{i})(1-\mathrm{i})}}{\overline{(1+2 \mathrm{i})^{2}}}
z‾=(3−2i)(1+i)(1−2i)2=3+2+i(3−2)1−4−4i=5+i−3−4i\overline{z}=\dfrac{(3-2 \mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-2 \mathrm{i})^{2}}=\dfrac{3+2+\mathrm{i}(3-2)}{1-4-4 \mathrm{i}}=\dfrac{5+\mathrm{i}}{-3-4 \mathrm{i}}
z‾=(5+i)(−3+4i)(−3)2+(−4)2=−15−4+i(20−3)25\overline{z}=\dfrac{(5+\mathrm{i})(-3+4 \mathrm{i})}{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\dfrac{-15-4+\mathrm{i}(20-3)}{25}
z‾=−19+17i25=−1925+1725i\overline{z}=\dfrac{-19+17 \mathrm{i}}{25}=-\dfrac{19}{25}+\dfrac{17}{25} \mathrm{i}

Pour s'entraîner : exercices 37 ; 38 et 39 p. 35

Méthode

  • On utilise les propriétés de la conjugaison :
    (zz′)‾=z‾z′‾\overline{\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} ; (zz′)‾=z‾×z′‾ \overline{\left(z z^{\prime}\right)}=\overline{z} \times \overline{z^{\prime}} ; (zn)‾=(z‾)n \overline{\left(z^{n}\right)}=(\overline{z})^{n}.
  • On applique les propriétés de distributivité pour réduire le numérateur et le dénominateur.
  • On obtient la forme algébrique de zz en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

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