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2. Nombres complexes conjugués
P.23-25

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COURS 2


2
Nombres complexes conjugués




A
Définition et propriétés algébriques


Définition

Le conjugué d’un nombre complexe est le nombre complexe noté défini par :
.

Remarque

Si est un nombre complexe et si et sont les réels tels que , alors .

Exemples

1.
2. Pour tout , et .
3. Si , alors .

Remarque

En notant avec et réels, on a .

Propriétés

Pour tout nombre complexe , on a :
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6. .

DÉMONSTRATION

Soient un nombre complexe et et les deux réels tels que
1. .
2. .
3.
4. (car ). D'où .
5. .
6. .

Application et méthode - 3

Énoncé

Résoudre dans les équations suivantes.

1.
2.

B
Inverse et quotient


Définition

Soit un nombre complexe non nul.
L’inverse de est le nombre complexe tel que et on le note . On a alors :
.

Exemples

1.
2.

Remarque

L’égalité est souvent utilisée pour simplifier des quotients dont le dénominateur est un imaginaire pur.

Définition

Soient et deux nombres complexes avec .
Le quotient de par est le nombre complexe noté tel que . On a :
.

Remarque

Pour déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe , on multiplie le numérateur et le dénominateur par .

Exemple

Application et méthode - 4

Énoncé

Résoudre dans les équations suivantes.

1.
2.
3.

C
Conjugués et opérations


Propriétés

Pour tous nombres complexes et et pour tout entier relatif , on a :
1.  ;
2.  ;
3. Si , alors  ;
4. Si , alors ;
5. (avec et si ).

Remarque

Ces propriétés traduisent la compatibilité de la conjugaison avec les opérations dans .

DÉMONSTRATION

Soient et deux nombres complexes avec , , et réels.

1. et 2. : Voir exercice
88
p. 39
.

3. Soit . Dans ce cas, on a également .
Par définition des inverses, on a car est réel.
D’après 2., on obtient car .
D’où l’égalité, pour tout , .

4. Voir exercice
89
p. 39
.

5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour entier négatif. Voir exercice
90
p. 39
.

Exemples

1.
2.
3.

Application et méthode - 5

Énoncé

Calculer sous forme algébrique le conjugué de .