Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Cours 2

Nombres complexes conjugués

A
Définition et propriétés algébriques

Définition
Le conjugué d'un nombre complexe est le nombre complexe noté défini par : .

Remarque

Si est un nombre complexe et si et sont les réels tels que , alors .
Exemples
1.
2. Pour tout , et .
3. Si , alors .

Remarque

En notant avec et réels, on a .
Propriétés
Pour tout nombre complexe , on a :
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6. .
Démonstration
Soient un nombre complexe et et les deux réels tels que
1. .
2. .
3.
4. (car ). D'où .
5. .
6. .
Application et méthode - 3
Énoncé
Résoudre dans les équations suivantes.
1.
2.

Méthode

1. Pour les équations où intervient seul, on résout de la même manière que pour les équations du premier degré dans en isolant .
On utilise ensuite pour conclure.

2. Pour les équations où et interviennent simultanément, on pose avec et réels et on utilise .
Solution
1.

2. On pose avec et réels.
On a ainsi . L'équation s'écrit alors :




.

Pour s'entraîner
Exercices p. 34 et p. 35

B
Inverse et quotient

Définition
Soit un nombre complexe non nul.
L'inverse de est le nombre complexe tel que et on le note . On a alors : .
Exemples
1.
2.

Remarque

L'égalité est souvent utilisée pour simplifier des quotients dont le dénominateur est un imaginaire pur.
Définition
Soient et deux nombres complexes avec .
Le quotient de par est le nombre complexe noté tel que . On a : .

Remarque

Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe , on multiplie le numérateur et le dénominateur par .
Exemple
Application et méthode - 4
Énoncé
Résoudre dans les équations suivantes.
1.
2.
3.

Méthode

1. Pour les équations où intervient seul, on se ramène à une équation de la forme avec et complexes, puis on calcule lorsque .
Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe écrit sous la forme d'un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

2. On procède de même si intervient seul. On utilise ensuite pour obtenir la solution cherchée.

3. Pour les équations où et interviennent simultanément, on pose avec et réels et on utilise .
Solution
1.

2.




3.
On pose . On a donc .
L'équation s'écrit alors :



.

Pour s'entraîner
Exercices p. 35

C
Conjugués et opérations

Propriétés
Pour tous nombres complexes et et pour tout entier relatif , on a :
1.  ;
2.  ;
3. Si , alors  ;
4. Si , alors ;
5. (avec et si ).

Remarque

Ces propriétés traduisent la compatibilité de la conjugaison avec les opérations dans .
Démonstration
Soient et deux nombres complexes avec , , et réels.

1. et 2. : Voir exercice p. 39.

3. Soit . Dans ce cas, on a également .
Par définition des inverses, on a car est réel.
D'après 2., on obtient car .
D'où l'égalité, pour tout , .
4. Voir exercice p. 39.

5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour entier négatif. Voir exercice p. 39.
Exemples
1.

2.

3.
Application et méthode - 5
Énoncé
Calculer sous forme algébrique le conjugué de .

Méthode

  • On utilise les propriétés de la conjugaison :
     ;  ; .
  • On applique les propriétés de distributivité pour réduire le numérateur et le dénominateur.
  • On obtient la forme algébrique de en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Solution





Pour s'entraîner
Exercices  ; et p. 35.

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