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Nombres complexes conjugués

Si $z$ est un nombre complexe et si $a$ et $b$ sont les réels tels que $z=a+\mathrm{i}b$, alors $\overline{z}=a-\mathrm{i}b$.

Exemples

1. $\overline{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$
2. Pour tout $(a;b)\in {\mathbb{R}}^2$, $\bar{a}=a$ et $\overline{\mathrm{i}b}=-\mathrm{i}b$.
3. Si $z=3+2\mathrm{i}$, alors $\overline{z}=3-2\mathrm{i}$.

En notant $z=a+\mathrm{i}b$ avec $a$ et $b$ réels, on a $z\overline{z}=a^2+b^2\in {\mathbb{R}}^{+}$.

DÉMONSTRATION

Soient $z$ un nombre complexe et $a$ et $b$ les deux réels tels que $z=a+\mathrm{i}b.$
1. $\overline{\overline{z}}=\overline{\overline{a+\mathrm{i}b}}=\overline{a-\mathrm{i}b}=a-(-\mathrm{i}b)=a+\mathrm{i}b=z$.
2. $z+\overline{z}=a+\mathrm{i}b+a-\mathrm{i}b=2a=2\mathrm{Re}(z)$.
3. $z-\overline{z}=a+\mathrm{i}b-(a-\mathrm{i}b)=a+\mathrm{i}b-a+\mathrm{i}b=2\mathrm{i}b=2\mathrm{i}\times \mathrm{Im}(z).$
4. $\overline{z}=z\iff z-\overline{z}=0\iff 2\mathrm{i}\times \mathrm{Im}(z)=0\iff \mathrm{Im}(z)=0$ (car $2\mathrm{i}\ne 0$). D'où $z=\overline{z}\iff z\in \mathbb{R}$.
5. $\overline{z}=-z\iff z+\overline{z}=0\iff 2\mathrm{Re}(z)=0\iff z\in \mathrm{i}\mathbb{R}$.
6. $z\times \overline{z}=(\mathrm{Re}(z)+\mathrm{i}\mathrm{Im}(z))(\mathrm{Re}(z)-\mathrm{i}\mathrm{Im}(z))=\mathrm{Re}(z{)}^2+\mathrm{Im}(z{)}^2$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes.

1. $2\overline{z}+5-2\mathrm{i}=4+\mathrm{i}+3\overline{z}$
2. $2z+\mathrm{i}\overline{z}=5-2\mathrm{i}$

Exemples

1. $\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$
2. $\frac{1}{1+2\mathrm{i}}=\frac{1-2\mathrm{i}}{1^2+2^2}=\frac{1-2\mathrm{i}}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\mathrm{i}$

L’égalité $\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$ est souvent utilisée pour simplifier des quotients dont le dénominateur est un imaginaire pur.

Pour déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe $\frac{z}{z^{\prime }}$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\overline{z^{\prime }}$.

Exemple

$\frac{1+\mathrm{i}}{2\mathrm{i}-3}=\frac{1+\mathrm{i}}{-3+2\mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i})(-3-2\mathrm{i})}{(-3{)}^2+2^2}=\frac{-3+2+\mathrm{i}(-2-3)}{13}=\frac{-1-5\mathrm{i}}{13}=-\frac{1}{13}-\frac{5}{13}\mathrm{i}$

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes.

1. $(1+2\mathrm{i})z=3+\mathrm{i}$
2. $(3+\mathrm{i})\overline{z}-2+4\mathrm{i}=0$
3. $(1+\mathrm{i})z+(3-\mathrm{i})\overline{z}=2-6\mathrm{i}$

Ces propriétés traduisent la compatibilité de la conjugaison avec les opérations dans $\mathbb{C}$.

DÉMONSTRATION

Soient $z=a+\mathrm{i}b$ et $z^{\prime }=a^{\prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime }$ deux nombres complexes avec $a$, $b$, $a^{\prime }$ et $b^{\prime }$ réels.

1. et 2. : Voir exercice

88

p. 39.

3. Soit $z\ne 0$. Dans ce cas, on a également $\overline{z}\ne 0$.
Par définition des inverses, on a $z\times \frac{1}{z}=1\iff \overline{\left(z\times \frac{1}{z}\right)}=\overline{1}=1$ car $1$ est réel.
D’après 2., on obtient $\overline{z}\times \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=1\iff \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}$ car $\overline{z}\ne 0$.
D’où l’égalité, pour tout $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}$.

4. Voir exercice

89

p. 39.

5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour $n$ entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour $n$ entier négatif. Voir exercice

90

p. 39.

Exemples

1. $z_1=\overline{(1-2\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})}=\overline{(1-2\mathrm{i})}\times \overline{(2+3\mathrm{i})}=(1+2\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})=2+6+\mathrm{i}(-3+4)=8+\mathrm{i}$
2. $z_2=\overline{\left(\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}=\frac{\overline{\mathrm{i}}}{\overline{1+\mathrm{i}}}=\frac{-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{-\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{1^2+(-1{)}^2}=\frac{-\mathrm{i}+1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$
3. $z_3=\overline{\left({\mathrm{i}}^3\right)}={\left(\overline{\mathrm{i}}\right)}^3=(-\mathrm{i}{)}^3=\mathrm{i}$

Calculer sous forme algébrique le conjugué de $z=\frac{(3+2\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+2\mathrm{i}{)}^2}$.