Nombres complexes conjugués

1. $2\overline{z}+5-2\mathrm{i}=4+\mathrm{i}+3\overline{z}\iff \overline{z}=1-3\mathrm{i}\iff z=1+3\mathrm{i}$

2. On pose $z=a+\mathrm{i}b$ avec $a$ et $b$ réels.
On a ainsi $\overline{z}=a-\mathrm{i}b$. L'équation s'écrit alors :
$2(a+\mathrm{i}b)+\mathrm{i}(a-\mathrm{i}b)=5-2\mathrm{i}$
$\iff 2a+b+\mathrm{i}(a+2b)=5-2\mathrm{i}$
$\iff \{\begin{array}{l}2a+b=5\\ a+2b=-2\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}a=4\\ b=-3\end{array}$
$\iff z=4-3\mathrm{i}$.

Exercices

33

p. 34 et

34

p. 35

Soit $z=a+\mathrm{i}b$ un nombre complexe non nul.
L'inverse de $\mathbf{z}$ est le nombre complexe $z^{\prime }$ tel que $z{z}^{\prime }=1$ et on le note $\frac{1}{z}$. On a alors : $\frac{1}{z}=\frac{1}{a+\mathrm{i}b}=\frac{a-\mathrm{i}b}{(a+\mathrm{i}b)(a-\mathrm{i}b)}=\frac{a-\mathrm{i}b}{a^2+b^2}=\frac{\bar{z}}{a^2+b^2}$.

$\frac{1+\mathrm{i}}{2\mathrm{i}-3}=\frac{1+\mathrm{i}}{-3+2\mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i})(-3-2\mathrm{i})}{(-3{)}^2+2^2}=\frac{-3+2+\mathrm{i}(-2-3)}{13}=\frac{-1-5\mathrm{i}}{13}=-\frac{1}{13}-\frac{5}{13}\mathrm{i}$

1. Pour les équations où $z$ intervient seul, on se ramène à une équation de la forme $az=b$ avec $a$ et $b$ complexes, puis on calcule $z=\frac{b}{a}$ lorsque $a\ne 0$.
Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe écrit sous la forme d'un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

2. On procède de même si $\overline{z}$ intervient seul. On utilise ensuite $\overline{\overline{z}}=z$ pour obtenir la solution cherchée.

3. Pour les équations où $z$ et $\overline{z}$ interviennent simultanément, on pose $z=a+\mathrm{i}b$ avec $a$ et $b$ réels et on utilise $z=z^{\prime }\iff \{\begin{array}{l}\mathrm{Re}(z)=\mathrm{Re}\left(z^{\prime }\right)\\ \mathrm{Im}(z)=\mathrm{Im}\left(z^{\prime }\right)\end{array}$.

1. $(1+2\mathrm{i})z=3+\mathrm{i}\iff z=\frac{3+\mathrm{i}}{1+2\mathrm{i}}\iff z=\frac{(3+\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})}{1^2+2^2}\iff z=\frac{5-5\mathrm{i}}{5}\iff z=1-\mathrm{i}$

2. $(3+\mathrm{i})\overline{z}-2+4\mathrm{i}=0\iff (3+\mathrm{i})\overline{z}=2-4\mathrm{i}$
$\iff \overline{z}=\frac{2-4\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}\iff \overline{z}=\frac{(2-4\mathrm{i})(3-\mathrm{i})}{3^2+1^2}$
$\iff \overline{z}=\frac{6-4+\mathrm{i}(-2-12)}{10}\iff \overline{z}=\frac{2-14\mathrm{i}}{10}$
$\iff \overline{z}=\frac{1}{5}-\frac{7}{5}\mathrm{i}\iff z=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}\mathrm{i}$

3. $(1+\mathrm{i})z+(3-\mathrm{i})\overline{z}=2-6\mathrm{i}$
On pose $z=a+\mathrm{i}b$. On a donc $\overline{z}=a-\mathrm{i}b$.
L'équation s'écrit alors :
$(1+\mathrm{i})(a+\mathrm{i}b)+(3-\mathrm{i})(a-\mathrm{i}b)=2-6\mathrm{i}$
$\iff (a-b)+\mathrm{i}(b+a)+(3a-b)+\mathrm{i}(-3b-a)=2-6\mathrm{i}$
$\iff (4a-2b)-2\mathrm{i}b=2-6\mathrm{i}\iff \{\begin{array}{c}4a-2b=2\\ -2b=-6\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}\iff z=2+3\mathrm{i}$.

Exercices

36

p. 35

Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\prime }$ et pour tout entier relatif $n$, on a :
1. $\overline{z+z^{\prime }}=\overline{z}+\overline{z^{\prime }}$ ;
2. $\overline{\left(z{z}^{\prime }\right)}=\overline{z}\times \overline{z^{\prime }}$ ;
3. Si $z\ne 0$, alors $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}$ ;
4. Si $z^{\prime }\ne 0$, alors$\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime }}}$ ;
5. $\overline{\left(z^n\right)}=(\overline{z}{)}^n$ (avec $z\ne 0$ et si $n<0$).

Ces propriétés traduisent la compatibilité de la conjugaison avec les opérations dans $\mathbb{C}$.

• On utilise les propriétés de la conjugaison :
  $\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime }}}$ ; $\overline{\left(z{z}^{\prime }\right)}=\overline{z}\times \overline{z^{\prime }}$ ; $\overline{\left(z^n\right)}=(\overline{z}{)}^n$.
• On applique les propriétés de distributivité pour réduire le numérateur et le dénominateur.
• On obtient la forme algébrique de $z$ en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

$\overline{z}=\overline{\left(\frac{(3+2\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+2\mathrm{i}{)}^2}\right)}=\frac{\overline{(3+2\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}}{\overline{(1+2\mathrm{i}{)}^2}}$
$\overline{z}=\frac{(3-2\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-2\mathrm{i}{)}^2}=\frac{3+2+\mathrm{i}(3-2)}{1-4-4\mathrm{i}}=\frac{5+\mathrm{i}}{-3-4\mathrm{i}}$
$\overline{z}=\frac{(5+\mathrm{i})(-3+4\mathrm{i})}{(-3{)}^2+(-4{)}^2}=\frac{-15-4+\mathrm{i}(20-3)}{25}$
$\overline{z}=\frac{-19+17\mathrm{i}}{25}=-\frac{19}{25}+\frac{17}{25}\mathrm{i}$

Exercices

37

 ;

38

et

39

p. 35.