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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Cours 2
Nombres complexes conjugués
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ADéfinition et propriétés algébriques
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Définition
Le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe noté \overline z défini par :
\overline{z}=\operatorname{Re}(z)-\mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).
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Remarque
Si z est un nombre complexe et si a et b sont les réels tels que z=a+\mathrm{i}b, alors \overline{z}=a-\mathrm{i} b.
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Exemples
1. \overline{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}
2. Pour tout (a ; b) \in \mathbb{R}^{2}, \bar{a}=a et \overline{\mathrm{i} b}=-\mathrm{i} b.
3. Si z=3+2 \mathrm{i}, alors \overline{z}=3-2 \mathrm{i}.
2. Pour tout (a ; b) \in \mathbb{R}^{2}, \bar{a}=a et \overline{\mathrm{i} b}=-\mathrm{i} b.
3. Si z=3+2 \mathrm{i}, alors \overline{z}=3-2 \mathrm{i}.
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Remarque
En notant z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels, on a z \overline{z}=a^{2}+b^{2} \in \mathbb{R}^{+}.
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Propriétés
Pour tout nombre complexe z, on a :
1. \overline{\overline{z}}=z ;
2. z+\overline{z}=2 \operatorname{Re}(z) ;
3. z-\overline{z}=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z) ;
4. z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z}=z ;
5. z \in \mathrm{i} \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z}=-z ;
6. z \times \overline{z}=(\operatorname{Re}(z))^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}.
1. \overline{\overline{z}}=z ;
2. z+\overline{z}=2 \operatorname{Re}(z) ;
3. z-\overline{z}=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z) ;
4. z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z}=z ;
5. z \in \mathrm{i} \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z}=-z ;
6. z \times \overline{z}=(\operatorname{Re}(z))^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}.
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Démonstration
Soient z un nombre complexe et a et b les deux réels tels que z=a+\mathrm{i} b.
1. \overline{\overline{z}}=\overline{\overline{a+\mathrm{i} b}}=\overline{a-\mathrm{i} b}=a-(-\mathrm{i} b)=a+\mathrm{i} b=z.
2. z+\overline{z}=a+\mathrm{i} b+a-\mathrm{i} b=2 a=2 \operatorname{Re}(z).
3. z-\overline{z}=a+\mathrm{i} b-(a-\mathrm{i} b)=a+\mathrm{i} b-a+\mathrm{i} b=2 \mathrm{i} b=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).
4. \overline{z}=z \Leftrightarrow z-\overline{z}=0 \Leftrightarrow 2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z)=0 \Leftrightarrow \operatorname{Im}(z)=0 (car 2 \mathrm{i} \neq 0). D'où z=\overline{z} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}.
5. \overline{z}=-z \Leftrightarrow z+\overline{z}=0 \Leftrightarrow 2 \operatorname{Re}(z)=0 \Leftrightarrow z \in \mathrm{i} \mathbb{R}.
6. z \times \overline{z}=(\operatorname{Re}(z)+\mathrm{i} \operatorname{Im}(z))(\operatorname{Re}(z)-\mathrm{i} \operatorname{Im}(z))=\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}.
1. \overline{\overline{z}}=\overline{\overline{a+\mathrm{i} b}}=\overline{a-\mathrm{i} b}=a-(-\mathrm{i} b)=a+\mathrm{i} b=z.
2. z+\overline{z}=a+\mathrm{i} b+a-\mathrm{i} b=2 a=2 \operatorname{Re}(z).
3. z-\overline{z}=a+\mathrm{i} b-(a-\mathrm{i} b)=a+\mathrm{i} b-a+\mathrm{i} b=2 \mathrm{i} b=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).
4. \overline{z}=z \Leftrightarrow z-\overline{z}=0 \Leftrightarrow 2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z)=0 \Leftrightarrow \operatorname{Im}(z)=0 (car 2 \mathrm{i} \neq 0). D'où z=\overline{z} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}.
5. \overline{z}=-z \Leftrightarrow z+\overline{z}=0 \Leftrightarrow 2 \operatorname{Re}(z)=0 \Leftrightarrow z \in \mathrm{i} \mathbb{R}.
6. z \times \overline{z}=(\operatorname{Re}(z)+\mathrm{i} \operatorname{Im}(z))(\operatorname{Re}(z)-\mathrm{i} \operatorname{Im}(z))=\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}.
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Application et méthode - 3
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Énoncé
Résoudre dans \mathbb{C} les équations suivantes.
1. 2 \overline{z}+5-2 \mathrm{i}=4+\mathrm{i}+3 \overline{z}
2. 2 z+\mathrm{i} \overline{z}=5-2 \mathrm{i}
1. 2 \overline{z}+5-2 \mathrm{i}=4+\mathrm{i}+3 \overline{z}
2. 2 z+\mathrm{i} \overline{z}=5-2 \mathrm{i}
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Méthode
1. Pour les équations où \overline{z} intervient seul, on résout de la même manière que pour les équations du premier degré dans \mathbb{R} en isolant \overline{z}.
On utilise ensuite \overline{\overline{z}}=z pour conclure.
2. Pour les équations où z et \overline{z} interviennent simultanément, on pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels et on utilise z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right..
On utilise ensuite \overline{\overline{z}}=z pour conclure.
2. Pour les équations où z et \overline{z} interviennent simultanément, on pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels et on utilise z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right..
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Solution
1. 2 \overline{z}+5-2 \mathrm{i}=4+\mathrm{i}+3 \overline{z} \Leftrightarrow \overline{z}=1-3 \mathrm{i} \Leftrightarrow z=1+3 \mathrm{i}
2. On pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels.
On a ainsi \overline{z}=a-\mathrm{i} b. L'équation s'écrit alors :
2(a+\mathrm{i} b)+\mathrm{i}(a-\mathrm{i} b)=5-2 \mathrm{i}
\Leftrightarrow 2 a+b+\mathrm{i}(a+2 b)=5-2 \mathrm{i}
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 a+b=5 \\ a+2 b=-2\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=-3\end{array}\right.
\Leftrightarrow z=4-3 \mathrm{i}.
2. On pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels.
On a ainsi \overline{z}=a-\mathrm{i} b. L'équation s'écrit alors :
2(a+\mathrm{i} b)+\mathrm{i}(a-\mathrm{i} b)=5-2 \mathrm{i}
\Leftrightarrow 2 a+b+\mathrm{i}(a+2 b)=5-2 \mathrm{i}
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 a+b=5 \\ a+2 b=-2\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=-3\end{array}\right.
\Leftrightarrow z=4-3 \mathrm{i}.
Pour s'entraîner
Exercices p. 34 et p. 35
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BInverse et quotient
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Définition
Soit z=a+\mathrm{i} b un nombre complexe non nul.
L'inverse de \boldsymbol{z} est le nombre complexe z^{\prime} tel que z z^{\prime}=1 et on le note \frac{1}{z}. On a alors : \frac{1}{z}=\frac{1}{a+\mathrm{i} b}=\frac{a-\mathrm{i} b}{(a+\mathrm{i} b)(a-\mathrm{i} b)}=\frac{a-\mathrm{i} b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{a^{2}+b^{2}}.
L'inverse de \boldsymbol{z} est le nombre complexe z^{\prime} tel que z z^{\prime}=1 et on le note \frac{1}{z}. On a alors : \frac{1}{z}=\frac{1}{a+\mathrm{i} b}=\frac{a-\mathrm{i} b}{(a+\mathrm{i} b)(a-\mathrm{i} b)}=\frac{a-\mathrm{i} b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{a^{2}+b^{2}}.
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Exemples
1. \frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}
2. \frac{1}{1+2 \mathrm{i}}=\frac{1-2 \mathrm{i}}{1^{2}+2^{2}}=\frac{1-2 \mathrm{i}}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5} \mathrm{i}
2. \frac{1}{1+2 \mathrm{i}}=\frac{1-2 \mathrm{i}}{1^{2}+2^{2}}=\frac{1-2 \mathrm{i}}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5} \mathrm{i}
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Remarque
L'égalité \frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i} est souvent utilisée pour simplifier des quotients dont le dénominateur est un imaginaire pur.
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Définition
Soient z=a+\mathrm{i} b et z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} deux nombres complexes avec z^{\prime} \neq 0.
Le quotient de \boldsymbol{z} par \boldsymbol{z^{\prime}} est le nombre complexe noté \frac{z}{z^{\prime}} tel que \frac{z}{z^{\prime}}=z \times \frac{1}{z^{\prime}}. On a : \frac{z}{z^{\prime}}=\frac{a+\mathrm{i} b}{a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}}=\frac{(a+\mathrm{i} b)\left(a^{\prime}-\mathrm{i} b^{\prime}\right)}{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}=\frac{\mathrm{z} \times \overline{\mathrm{z}^{\prime}}}{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}.
Le quotient de \boldsymbol{z} par \boldsymbol{z^{\prime}} est le nombre complexe noté \frac{z}{z^{\prime}} tel que \frac{z}{z^{\prime}}=z \times \frac{1}{z^{\prime}}. On a : \frac{z}{z^{\prime}}=\frac{a+\mathrm{i} b}{a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}}=\frac{(a+\mathrm{i} b)\left(a^{\prime}-\mathrm{i} b^{\prime}\right)}{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}=\frac{\mathrm{z} \times \overline{\mathrm{z}^{\prime}}}{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}.
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Remarque
Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe \frac{z}{z^{\prime}}, on multiplie le numérateur et le dénominateur par \overline{z^{\prime}}.
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Exemple
\frac{1+\mathrm{i}}{2 \mathrm{i}-3}=\frac{1+\mathrm{i}}{-3+2 \mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i})(-3-2 \mathrm{i})}{(-3)^{2}+2^{2}}=\frac{-3+2+\mathrm{i}(-2-3)}{13}=\frac{-1-5 \mathrm{i}}{13}=-\frac{1}{13}-\frac{5}{13} \mathrm{i}
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Application et méthode - 4
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Énoncé
Résoudre dans \mathbb{C} les équations suivantes.
1. (1+2 \mathrm{i}) z=3+\mathrm{i}
2. (3+ \mathrm{i}) \overline{z}-2+4 \mathrm{i}=0
3. (1+\mathrm{i}) z+(3-\mathrm{i}) \overline{z}=2-6 \mathrm{i}
1. (1+2 \mathrm{i}) z=3+\mathrm{i}
2. (3+ \mathrm{i}) \overline{z}-2+4 \mathrm{i}=0
3. (1+\mathrm{i}) z+(3-\mathrm{i}) \overline{z}=2-6 \mathrm{i}
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Méthode
1. Pour les équations où z intervient seul, on se ramène à une équation de la forme az=b avec a et b complexes, puis on calcule z=\frac{b}{a} lorsque a \neq 0.
Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe écrit sous la forme d'un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
2. On procède de même si \overline z intervient seul. On utilise ensuite \overline{\overline{z}}=z pour obtenir la solution cherchée.
3. Pour les équations où z et \overline z interviennent simultanément, on pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels et on utilise z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right..
Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe écrit sous la forme d'un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
2. On procède de même si \overline z intervient seul. On utilise ensuite \overline{\overline{z}}=z pour obtenir la solution cherchée.
3. Pour les équations où z et \overline z interviennent simultanément, on pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels et on utilise z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right..
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Solution
1. (1+2 \mathrm{i}) z=3+\mathrm{i} \Leftrightarrow z=\frac{3+\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}} \Leftrightarrow z=\frac{(3+\mathrm{i})(1-2 \mathrm{i})}{1^{2}+2^{2}} \Leftrightarrow z=\frac{5-5 \mathrm{i}}{5} \Leftrightarrow z=1-\mathrm{i}
2. (3+\mathrm{i}) \overline{z}-2+4 \mathrm{i}=0 \Leftrightarrow(3+\mathrm{i}) \overline{z}=2-4 \mathrm{i}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{2-4 \mathrm{i}}{3+\mathrm{i}} \Leftrightarrow \overline{z}=\frac{(2-4 \mathrm{i})(3-\mathrm{i})}{3^{2}+1^{2}}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{6-4+\mathrm{i}(-2-12)}{10} \Leftrightarrow \overline{z}=\frac{2-14 \mathrm{i}}{10}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{1}{5}-\frac{7}{5} \mathrm{i} \Leftrightarrow z=\frac{1}{5}+\frac{7}{5} \mathrm{i}
3. (1+\mathrm{i}) z+(3-\mathrm{i}) \overline{z}=2-6 \mathrm{i}
On pose z=a+\mathrm{i} b. On a donc \overline{z}=a-\mathrm{i} b.
L'équation s'écrit alors :
(1+\mathrm{i})(a+\mathrm{i} b)+(3-\mathrm{i})(a-\mathrm{i} b)=2-6\mathrm{i}
\Leftrightarrow(a-b)+\mathrm{i}(b+a)+(3 a-b)+\mathrm{i}(-3 b-a)=2-6 \mathrm{i}
\Leftrightarrow(4 a-2 b)-2 \mathrm{i} b=2-6 \mathrm{i} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}4 a-2 b=2 \\ -2 b=-6\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=3\end{array} \Leftrightarrow z=2+3 \mathrm{i}\right..
2. (3+\mathrm{i}) \overline{z}-2+4 \mathrm{i}=0 \Leftrightarrow(3+\mathrm{i}) \overline{z}=2-4 \mathrm{i}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{2-4 \mathrm{i}}{3+\mathrm{i}} \Leftrightarrow \overline{z}=\frac{(2-4 \mathrm{i})(3-\mathrm{i})}{3^{2}+1^{2}}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{6-4+\mathrm{i}(-2-12)}{10} \Leftrightarrow \overline{z}=\frac{2-14 \mathrm{i}}{10}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{1}{5}-\frac{7}{5} \mathrm{i} \Leftrightarrow z=\frac{1}{5}+\frac{7}{5} \mathrm{i}
3. (1+\mathrm{i}) z+(3-\mathrm{i}) \overline{z}=2-6 \mathrm{i}
On pose z=a+\mathrm{i} b. On a donc \overline{z}=a-\mathrm{i} b.
L'équation s'écrit alors :
(1+\mathrm{i})(a+\mathrm{i} b)+(3-\mathrm{i})(a-\mathrm{i} b)=2-6\mathrm{i}
\Leftrightarrow(a-b)+\mathrm{i}(b+a)+(3 a-b)+\mathrm{i}(-3 b-a)=2-6 \mathrm{i}
\Leftrightarrow(4 a-2 b)-2 \mathrm{i} b=2-6 \mathrm{i} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}4 a-2 b=2 \\ -2 b=-6\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=3\end{array} \Leftrightarrow z=2+3 \mathrm{i}\right..
Pour s'entraîner
Exercices p. 35
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CConjugués et opérations
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Propriétés
Pour tous nombres complexes z et z^\prime et pour tout entier relatif n, on a :
1. \overline{z+z^{\prime}}=\overline{z}+\overline{z^{\prime}} ;
2. \overline{\left(z z^{\prime}\right)}=\overline{z} \times \overline{z^{\prime}} ;
3. Si z \neq 0, alors \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}} ;
4. Si z^\prime \neq 0, alors\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} ;
5. \overline{\left(z^{n}\right)}=(\overline{z})^{n} (avec z \neq 0 et si n\lt0).
1. \overline{z+z^{\prime}}=\overline{z}+\overline{z^{\prime}} ;
2. \overline{\left(z z^{\prime}\right)}=\overline{z} \times \overline{z^{\prime}} ;
3. Si z \neq 0, alors \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}} ;
4. Si z^\prime \neq 0, alors\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} ;
5. \overline{\left(z^{n}\right)}=(\overline{z})^{n} (avec z \neq 0 et si n\lt0).
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Remarque
Ces propriétés traduisent la compatibilité de la conjugaison avec les opérations dans \mathbb{C}.
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Démonstration
Soient z=a+\mathrm{i} b et z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} deux nombres complexes avec a, b, a^{\prime} et b^{\prime} réels.
1. et 2. : Voir exercice p. 39.
3. Soit z \neq 0. Dans ce cas, on a également \overline{z} \neq 0.
Par définition des inverses, on a z \times \frac{1}{z}=1 \Leftrightarrow \overline{\left(z \times \frac{1}{z}\right)}=\overline{1}=1 car 1 est réel.
D'après 2., on obtient \overline{z} \times \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=1 \Leftrightarrow \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}} car \overline{z} \neq 0.
D'où l'égalité, pour tout z \in \mathbb{C}^{*}, \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}.
4. Voir exercice p. 39.
5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour n entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour n entier négatif. Voir exercice p. 39.
1. et 2. : Voir exercice p. 39.
3. Soit z \neq 0. Dans ce cas, on a également \overline{z} \neq 0.
Par définition des inverses, on a z \times \frac{1}{z}=1 \Leftrightarrow \overline{\left(z \times \frac{1}{z}\right)}=\overline{1}=1 car 1 est réel.
D'après 2., on obtient \overline{z} \times \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=1 \Leftrightarrow \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}} car \overline{z} \neq 0.
D'où l'égalité, pour tout z \in \mathbb{C}^{*}, \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}.
4. Voir exercice p. 39.
5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour n entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour n entier négatif. Voir exercice p. 39.
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Exemples
1. z_{1}=\overline{(1-2 \mathrm{i})(2+3 \mathrm{i})}=\overline{(1-2 \mathrm{i})} \times \overline{(2+3 \mathrm{i})}=(1+2 \mathrm{i})(2-3 \mathrm{i})=2+6+\mathrm{i}(-3+4)=8+\mathrm{i}
2. z_{2}=\overline{\left(\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}=\frac{\overline{\mathrm{i}}}{\overline{1+\mathrm{i}}}=\frac{-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{-\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{1^{2}+(-1)^{2}}=\frac{-\mathrm{i}+1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}
3. z_{3}=\overline{\left(\mathrm{i}^{3}\right)}=\left(\overline{\mathrm{i}}\right)^{3}=(-\mathrm{i})^{3}=\mathrm{i}
2. z_{2}=\overline{\left(\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}=\frac{\overline{\mathrm{i}}}{\overline{1+\mathrm{i}}}=\frac{-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{-\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{1^{2}+(-1)^{2}}=\frac{-\mathrm{i}+1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}
3. z_{3}=\overline{\left(\mathrm{i}^{3}\right)}=\left(\overline{\mathrm{i}}\right)^{3}=(-\mathrm{i})^{3}=\mathrm{i}
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Application et méthode - 5
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Énoncé
Calculer sous forme algébrique le conjugué de z=\frac{(3+2 \mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+2 \mathrm{i})^{2}}.
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Méthode
- On utilise les propriétés de la conjugaison :
\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} ; \overline{\left(z z^{\prime}\right)}=\overline{z} \times \overline{z^{\prime}} ; \overline{\left(z^{n}\right)}=(\overline{z})^{n}. - On applique les propriétés de distributivité pour réduire le numérateur et le dénominateur.
- On obtient la forme algébrique de z en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
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Solution
\overline{z}=\overline{\left(\frac{(3+2 \mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+2 \mathrm{i})^{2}}\right)}=\frac{\overline{(3+2 \mathrm{i})(1-\mathrm{i})}}{\overline{(1+2 \mathrm{i})^{2}}}
\overline{z}=\frac{(3-2 \mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-2 \mathrm{i})^{2}}=\frac{3+2+\mathrm{i}(3-2)}{1-4-4 \mathrm{i}}=\frac{5+\mathrm{i}}{-3-4 \mathrm{i}}
\overline{z}=\frac{(5+\mathrm{i})(-3+4 \mathrm{i})}{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\frac{-15-4+\mathrm{i}(20-3)}{25}
\overline{z}=\frac{-19+17 \mathrm{i}}{25}=-\frac{19}{25}+\frac{17}{25} \mathrm{i}
\overline{z}=\frac{(3-2 \mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-2 \mathrm{i})^{2}}=\frac{3+2+\mathrm{i}(3-2)}{1-4-4 \mathrm{i}}=\frac{5+\mathrm{i}}{-3-4 \mathrm{i}}
\overline{z}=\frac{(5+\mathrm{i})(-3+4 \mathrm{i})}{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\frac{-15-4+\mathrm{i}(20-3)}{25}
\overline{z}=\frac{-19+17 \mathrm{i}}{25}=-\frac{19}{25}+\frac{17}{25} \mathrm{i}
Pour s'entraîner
Exercices ; et p. 35.
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