Le conjugué d’un nombre complexe z est le nombre complexe noté z défini par :
z=Re(z)−i×Im(z).
Remarque
Si z est un nombre complexe et si a et b sont les réels tels que z=a+ib, alors z=a−ib.
Exemples
1.i=−i 2. Pour tout (a;b)∈R2, aˉ=a et ib=−ib.
3. Si z=3+2i, alors z=3−2i.
Remarque
En notant z=a+ib avec a et b réels, on a zz=a2+b2∈R+.
Propriétés
Pour tout nombre complexe z, on a :
1.z=z ;
2.z+z=2Re(z) ;
3.z−z=2i×Im(z) ;
4.z∈R⇔z=z ;
5.r∈iR⇔z=−z ;
6.z×z=(Re(z))2+(Im(z))2.
DÉMONSTRATION
Soient z un nombre complexe et a et b les deux réels tels que z=a+ib. 1.z=a+ib=a−ib=a−(−ib)=a+ib=z.
2.z+z=a+ib+a−ib=2a=2Re(z).
3.z−z=a+ib−(a−ib)=a+ib−a+ib=2ib=2i×Im(z). 4.z=z⇔z−z=0⇔2i×Im(z)=0⇔Im(z)=0 (car 2i=0). D'où z=z⇔z∈R.
5.z=−z⇔z+z=0⇔2Re(z)=0⇔z∈iR.
6.z×z=(Re(z)+iIm(z))(Re(z)−iIm(z))=Re(z)2+Im(z)2.
Application et méthode - 3
Énoncé
Résoudre dans C les équations suivantes.
1.2z+5−2i=4+i+3z 2.2z+iz=5−2i
B
Inverse et quotient
Définition
Soit z=a+ib un nombre complexe non nul.
L’inverse de z est le nombre complexe z′ tel que zz′=1 et on le note z1. On a alors :
z1=a+ib1=(a+ib)(a−ib)a−ib=a2+b2a−ib=a2+b2zˉ.
Exemples
1.i1=−i 2.1+2i1=12+221−2i=51−2i=51−52i
Remarque
L’égalité i1=−i est souvent utilisée pour simplifier des quotients dont le dénominateur est un imaginaire pur.
Définition
Soient z=a+ib et z′=a′+ib′ deux nombres complexes avec z′=0.
Le quotient de z par z′ est le nombre complexe noté z′z tel que z′z=z×z′1. On a :
Pour tous nombres complexes z et z′ et pour tout entier relatif n, on a :
1.z+z′=z+z′ ;
2.(zz′)=z×z′ ;
3. Si z=0, alors (z1)=z1 ;
4. Si z′=0, alors(z′z)=z′z ;
5.(zn)=(z)n (avec z=0 et si n<0).
Remarque
Ces propriétés traduisent la compatibilité de la conjugaison avec les opérations dans C.
DÉMONSTRATION
Soient z=a+ib et z′=a′+ib′ deux nombres complexes avec a, b, a′ et b′ réels.
3. Soit z=0. Dans ce cas, on a également z=0.
Par définition des inverses, on a z×z1=1⇔(z×z1)=1=1 car 1 est réel.
D’après 2., on obtient z×(z1)=1⇔(z1)=z1 car z=0.
D’où l’égalité, pour tout z∈C∗, (z1)=z1.
5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour n entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour n entier négatif. Voir exercice