Chapitre 1
Cours 2
Nombres complexes conjugués
A
Définition et propriétés algébriques
Le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe noté z défini par :
z=Re(z)−i×Im(z).
Si z est un nombre complexe et si a et b sont les réels tels que z=a+ib, alors z=a−ib.
1. i=−i
2. Pour tout (a ;b)∈R2, aˉ=a et ib=−ib.
3. Si z=3+2i, alors z=3−2i.
En notant z=a+ib avec a et b réels, on a zz=a2+b2∈R+.
Pour tout nombre complexe z, on a :
1. z=z ;
2. z+z=2Re(z) ;
3. z−z=2i×Im(z) ;
4. z∈R⇔z=z ;
5. r∈iR⇔z=−z ;
6. z×z=(Re(z))2+(Im(z))2.
Soient z un nombre complexe et a et b les deux réels tels que z=a+ib.
1. z=a+ib=a−ib=a−(−ib)=a+ib=z.
2. z+z=a+ib+a−ib=2a=2Re(z).
3. z−z=a+ib−(a−ib)=a+ib−a+ib=2ib=2i×Im(z).
4. z=z⇔z−z=0⇔2i×Im(z)=0⇔Im(z)=0 (car 2i=0). D'où z=z⇔z∈R.
5. z=−z⇔z+z=0⇔2Re(z)=0⇔z∈iR.
6. z×z=(Re(z)+iIm(z))(Re(z)−iIm(z))=Re(z)2+Im(z)2.
Application et méthode - 3
Résoudre dans C les équations suivantes.
1. 2z+5−2i=4+i+3z
2. 2z+iz=5−2i
1. Pour les équations où z intervient seul, on résout de la même manière que pour les équations du premier degré dans R en isolant z.
On utilise ensuite z=z pour conclure.
2. Pour les équations où z et z interviennent simultanément, on pose z=a+ib avec a et b réels et on utilise z=z′⇔{Re(z)=Re(z′)Im(z)=Im(z′).
1. 2z+5−2i=4+i+3z⇔z=1−3i⇔z=1+3i
2. On pose
z=a+ib avec
a et
b réels.
On a ainsi
z=a−ib. L'équation s'écrit alors :
2(a+ib)+i(a−ib)=5−2i
⇔2a+b+i(a+2b)=5−2i
⇔{2a+b=5a+2b=−2
⇔{a=4b=−3
⇔z=4−3i.
Pour s'entraîner
Exercices
p. 34 et
p. 35
Soit z=a+ib un nombre complexe non nul.
L'inverse de z est le nombre complexe z′ tel que zz′=1 et on le note z1. On a alors :
z1=a+ib1=(a+ib)(a−ib)a−ib=a2+b2a−ib=a2+b2zˉ.
1. i1=−i
2. 1+2i1=12+221−2i=51−2i=51−52i
L'égalité i1=−i est souvent utilisée pour simplifier des quotients dont le dénominateur est un imaginaire pur.
Soient z=a+ib et z′=a′+ib′ deux nombres complexes avec z′=0.
Le quotient de z par z′ est le nombre complexe noté z′z tel que z′z=z×z′1. On a :
z′z=a′+ib′a+ib=a′2+b′2(a+ib)(a′−ib′)=a′2+b′2z×z′.
Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe z′z, on multiplie le numérateur et le dénominateur par z′.
2i−31+i=−3+2i1+i=(−3)2+22(1+i)(−3−2i)=13−3+2+i(−2−3)=13−1−5i=−131−135i
Application et méthode - 4
Résoudre dans C les équations suivantes.
1. (1+2i)z=3+i
2. (3+i)z−2+4i=0
3. (1+i)z+(3−i)z=2−6i
1. Pour les équations où z intervient seul, on se ramène à une équation de la forme az=b avec a et b complexes, puis on calcule z=ab lorsque a=0.
Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe écrit sous la forme d'un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
2. On procède de même si z intervient seul. On utilise ensuite z=z pour obtenir la solution cherchée.
3. Pour les équations où z et z interviennent simultanément, on pose z=a+ib avec a et b réels et on utilise z=z′⇔{Re(z)=Re(z′)Im(z)=Im(z′).
1. (1+2i)z=3+i⇔z=1+2i3+i⇔z=12+22(3+i)(1−2i)⇔z=55−5i⇔z=1−i
2. (3+i)z−2+4i=0⇔(3+i)z=2−4i
⇔z=3+i2−4i⇔z=32+12(2−4i)(3−i)
⇔z=106−4+i(−2−12)⇔z=102−14i
⇔z=51−57i⇔z=51+57i
3. (1+i)z+(3−i)z=2−6i
On pose
z=a+ib. On a donc
z=a−ib.
L'équation s'écrit alors :
(1+i)(a+ib)+(3−i)(a−ib)=2−6i
⇔(a−b)+i(b+a)+(3a−b)+i(−3b−a)=2−6i
⇔(4a−2b)−2ib=2−6i⇔{4a−2b=2−2b=−6
⇔{a=2b=3⇔z=2+3i.
Pour s'entraîner
Exercices
p. 35
Pour tous nombres complexes z et z′ et pour tout entier relatif n, on a :
1. z+z′=z+z′ ;
2. (zz′)=z×z′ ;
3. Si z=0, alors (z1)=z1 ;
4. Si z′=0, alors(z′z)=z′z ;
5. (zn)=(z)n (avec z=0 et si n<0).
Ces propriétés traduisent la compatibilité de la conjugaison avec les opérations dans C.
Soient
z=a+ib et
z′=a′+ib′ deux nombres complexes avec
a,
b,
a′ et
b′ réels.
1. et
2. : Voir exercice
p. 39.
3. Soit
z=0. Dans ce cas, on a également
z=0.
Par définition des inverses, on a
z×z1=1⇔(z×z1)=1=1 car
1 est réel.
D'après
2., on obtient
z×(z1)=1⇔(z1)=z1 car
z=0.
D'où l'égalité, pour tout
z∈C∗,
(z1)=z1.
4. Voir exercice
p. 39.
5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour
n entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour
n entier négatif. Voir exercice
p. 39.
1. z1=(1−2i)(2+3i)=(1−2i)×(2+3i)=(1+2i)(2−3i)=2+6+i(−3+4)=8+i
2. z2=(1+ii)=1+ii=1−i−i=12+(−1)2−i(1+i)=2−i+1=21−21i
3. z3=(i3)=(i)3=(−i)3=i
Application et méthode - 5
Calculer sous forme algébrique le conjugué de z=(1+2i)2(3+2i)(1−i).
- On utilise les propriétés de la conjugaison :
(z′z)=z′z ; (zz′)=z×z′ ; (zn)=(z)n.
- On applique les propriétés de distributivité pour réduire le numérateur et le dénominateur.
- On obtient la forme algébrique de z en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
z=((1+2i)2(3+2i)(1−i))=(1+2i)2(3+2i)(1−i)
z=(1−2i)2(3−2i)(1+i)=1−4−4i3+2+i(3−2)=−3−4i5+i
z=(−3)2+(−4)2(5+i)(−3+4i)=25−15−4+i(20−3)
z=25−19+17i=−2519+2517i
Pour s'entraîner
Exercices
;
et
p. 35.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.