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2. Nombres complexes conjugués

P.23-25

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COURS 2

2
Nombres complexes conjugués

A
Définition et propriétés algébriques

Définition

Le conjugué d’un nombre complexe

z

est le nombre complexe noté

\overline{z}

défini par :

\overline{z} = R e (z) - i \times I m (z)

Remarque

z

est un nombre complexe et si

a

b

sont les réels tels que

z = a + i b

, alors

\overline{z} = a - i b

Exemples

1.

\overline{i} = - i

2. Pour tout

(a; b) \in R^{2}

\overset{a}{ˉ} = a

\overline{i b} = - i b

.
3. Si

z = 3 + 2 i

, alors

\overline{z} = 3 - 2 i

Remarque

En notant

z = a + i b

avec

a

b

réels, on a

z \overline{z} = a^{2} + b^{2} \in R^{+}

Propriétés

Pour tout nombre complexe

z

, on a :
1.

\overline{\overline{z}} = z

;
2.

z + \overline{z} = 2 R e (z)

;
3.

z - \overline{z} = 2 i \times I m (z)

;
4.

z \in R \Leftrightarrow \overline{z} = z

;
5.

r \in i R \Leftrightarrow \overline{z} = - z

;
6.

z \times \overline{z} = (R e (z))^{2} + (I m (z))^{2}

DÉMONSTRATION

Soient

z

un nombre complexe et

a

b

les deux réels tels que

z = a + i b .

\overline{\overline{z}} = \overline{\overline{a + i b}} = \overline{a - i b} = a - (- i b) = a + i b = z

.
2.

z + \overline{z} = a + i b + a - i b = 2 a = 2 R e (z)

.
3.

z - \overline{z} = a + i b - (a - i b) = a + i b - a + i b = 2 i b = 2 i \times I m (z) .

\overline{z} = z \Leftrightarrow z - \overline{z} = 0 \Leftrightarrow 2 i \times I m (z) = 0 \Leftrightarrow I m (z) = 0

(car

2 i \neq = 0

). D'où

z = \overline{z} \Leftrightarrow z \in R

.
5.

\overline{z} = - z \Leftrightarrow z + \overline{z} = 0 \Leftrightarrow 2 R e (z) = 0 \Leftrightarrow z \in i R

.
6.

z \times \overline{z} = (R e (z) + i I m (z)) (R e (z) - i I m (z)) = R e (z)^{2} + I m (z)^{2}

Application et méthode - 3

Énoncé

Résoudre dans

C

les équations suivantes.

1.

2 \overline{z} + 5 - 2 i = 4 + i + 3 \overline{z}

2 z + i \overline{z} = 5 - 2 i

Solution

2 \overline{z} + 5 - 2 i = 4 + i + 3 \overline{z} \Leftrightarrow \overline{z} = 1 - 3 i \Leftrightarrow z = 1 + 3 i

2. On pose

z = a + i b

avec

a

b

réels.
On a ainsi

\overline{z} = a - i b

. L’équation s’écrit alors :

2 (a + i b) + i (a - i b) = 5 - 2 i

\Leftrightarrow 2 a + b + i (a + 2 b) = 5 - 2 i

\Leftrightarrow {2 a + b = 5 a + 2 b = - 2

\Leftrightarrow {a = 4 b = - 3

\Leftrightarrow z = 4 - 3 i

Pour s'entraîner : exercices 33 p. 34 et 34 p. 35

Méthode

1. Pour les équations où

\overline{z}

intervient seul, on résout de la même manière que pour les équations du premier degré dans

R

en isolant

\overline{z}

.
On utilise ensuite

\overline{\overline{z}} = z

pour conclure.

2. Pour les équations où

z

\overline{z}

interviennent simultanément, on pose

z = a + i b

avec

a

b

réels et on utilise

z = z^{'} \Leftrightarrow {R e (z) = R e (z^{'}) I m (z) = I m (z^{'})

B
Inverse et quotient

Définition

Soit

z = a + i b

un nombre complexe non nul.
L’inverse de $z$ est le nombre complexe

z^{'}

tel que

z z^{'} = 1

et on le note

\frac{1}{z}

. On a alors :

\frac{1}{z} = \frac{1}{a + i b} = \frac{a - i b}{( a + i b ) ( a - i b )} = \frac{a - i b}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{z ˉ}{a ^{2} + b ^{2}}

Exemples

1.

\frac{1}{i} = - i

\frac{1}{1 + 2 i} = \frac{1 - 2 i}{1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{1 - 2 i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i

Remarque

L’égalité

\frac{1}{i} = - i

est souvent utilisée pour simplifier des quotients dont le dénominateur est un imaginaire pur.

Définition

Soient

z = a + i b

z^{'} = a^{'} + i b^{'}

deux nombres complexes avec

z^{'} \neq = 0

.
Le quotient de $z$ par $z^{'}$ est le nombre complexe noté

\frac{z}{z ^{'}}

tel que

\frac{z}{z ^{'}} = z \times \frac{1}{z ^{'}}

. On a :

\frac{z}{z ^{'}} = \frac{a + i b}{a ^{'} + i b ^{'}} = \frac{( a + i b ) ( a ^{'} - i b ^{'} )}{a ^{' 2} + b ^{' 2}} = \frac{z \times z ^{'}}{a ^{' 2} + b ^{' 2}}

Remarque

Pour déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe

\frac{z}{z ^{'}}

, on multiplie le numérateur et le dénominateur par

\overline{z^{'}}

Exemple

\frac{1 + i}{2 i - 3} = \frac{1 + i}{- 3 + 2 i} = \frac{( 1 + i ) ( - 3 - 2 i )}{( - 3 ) ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{- 3 + 2 + i ( - 2 - 3 )}{1 3} = \frac{- 1 - 5 i}{1 3} = - \frac{1}{1 3} - \frac{5}{1 3} i

Application et méthode - 4

Énoncé

Résoudre dans

C

les équations suivantes.

1.

(1 + 2 i) z = 3 + i

(3 + i) \overline{z} - 2 + 4 i = 0

(1 + i) z + (3 - i) \overline{z} = 2 - 6 i

Solution

(1 + 2 i) z = 3 + i \Leftrightarrow z = \frac{3 + i}{1 + 2 i} \Leftrightarrow z = \frac{( 3 + i ) ( 1 - 2 i )}{1 ^{2} + 2 ^{2}} \Leftrightarrow z = \frac{5 - 5 i}{5} \Leftrightarrow z = 1 - i

(3 + i) \overline{z} - 2 + 4 i = 0 \Leftrightarrow (3 + i) \overline{z} = 2 - 4 i

\Leftrightarrow \overline{z} = \frac{2 - 4 i}{3 + i} \Leftrightarrow \overline{z} = \frac{( 2 - 4 i ) ( 3 - i )}{3 ^{2} + 1 ^{2}}

\Leftrightarrow \overline{z} = \frac{6 - 4 + i ( - 2 - 1 2 )}{1 0} \Leftrightarrow \overline{z} = \frac{2 - 1 4 i}{1 0}

\Leftrightarrow \overline{z} = \frac{1}{5} - \frac{7}{5} i \Leftrightarrow z = \frac{1}{5} + \frac{7}{5} i

(1 + i) z + (3 - i) \overline{z} = 2 - 6 i

On pose

z = a + i b

. On a donc

\overline{z} = a - i b

.
L’équation s’écrit alors :

(1 + i) (a + i b) + (3 - i) (a - i b) = 2 - 6 i

\Leftrightarrow (a - b) + i (b + a) + (3 a - b) + i (- 3 b - a) = 2 - 6 i

\Leftrightarrow (4 a - 2 b) - 2 i b = 2 - 6 i \Leftrightarrow {4 a - 2 b = 2 - 2 b = - 6

\Leftrightarrow {a = 2 b = 3 \Leftrightarrow z = 2 + 3 i

Pour s'entraîner : exercice 36 p. 35

Méthode

1. Pour les équations où

z

intervient seul, on se ramène à une équation de la forme

a z = b

avec

a

b

complexes, puis on calcule

z = \frac{b}{a}

lorsque

a \neq = 0

.
Pour déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe écrit sous la forme d’un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

2. On procède de même si

\overline{z}

intervient seul. On utilise ensuite

\overline{\overline{z}} = z

pour obtenir la solution cherchée.

3. Pour les équations où

z

\overline{z}

interviennent simultanément, on pose

z = a + i b

avec

a

b

réels et on utilise

z = z^{'} \Leftrightarrow {R e (z) = R e (z^{'}) I m (z) = I m (z^{'})

C
Conjugués et opérations

Propriétés

Pour tous nombres complexes

z

z^{'}

et pour tout entier relatif

n

, on a :
1.

\overline{z + z^{'}} = \overline{z} + \overline{z^{'}}

;
2.

\overline{(z z^{'})} = \overline{z} \times \overline{z^{'}}

;
3. Si

z \neq = 0

, alors

\overline{(\frac{1}{z})} = \frac{1}{z}

;
4. Si

z^{'} \neq = 0

, alors

\overline{(\frac{z}{z ^{'}})} = \frac{z}{z ^{'}}

;
5.

\overline{(z^{n})} = (\overline{z})^{n}

(avec

z \neq = 0

et si

n < 0

Remarque

Ces propriétés traduisent la compatibilité de la conjugaison avec les opérations dans

C

DÉMONSTRATION

Soient

z = a + i b

z^{'} = a^{'} + i b^{'}

deux nombres complexes avec

a

b

a^{'}

b^{'}

réels.

1. et 2. : Voir exercice

p. 39.

3. Soit

z \neq = 0

. Dans ce cas, on a également

\overline{z} \neq = 0

.
Par définition des inverses, on a

z \times \frac{1}{z} = 1 \Leftrightarrow \overline{(z \times \frac{1}{z})} = \overline{1} = 1

car

1

est réel.
D’après 2., on obtient

\overline{z} \times \overline{(\frac{1}{z})} = 1 \Leftrightarrow \overline{(\frac{1}{z})} = \frac{1}{z}

car

\overline{z} \neq = 0

.
D’où l’égalité, pour tout

z \in C^{*}

\overline{(\frac{1}{z})} = \frac{1}{z}

.

4. Voir exercice

p. 39.

5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour

n

entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour

n

entier négatif. Voir exercice

p. 39.

Exemples

1.

z_{1} = \overline{(1 - 2 i) (2 + 3 i)} = \overline{(1 - 2 i)} \times \overline{(2 + 3 i)} = (1 + 2 i) (2 - 3 i) = 2 + 6 + i (- 3 + 4) = 8 + i

z_{2} = \overline{(\frac{i}{1 + i})} = \frac{i}{1 + i} = \frac{- i}{1 - i} = \frac{- i ( 1 + i )}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{- i + 1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

z_{3} = \overline{(i^{3})} = (\overline{i})^{3} = (- i)^{3} = i

Application et méthode - 5

Énoncé

Calculer sous forme algébrique le conjugué de

z = \frac{( 3 + 2 i ) ( 1 - i )}{( 1 + 2 i ) ^{2}}

Solution

\overline{z} = \overline{(\frac{( 3 + 2 i ) ( 1 - i )}{( 1 + 2 i ) ^{2}})} = \frac{( 3 + 2 i ) ( 1 - i )}{( 1 + 2 i ) ^{2}}

\overline{z} = \frac{( 3 - 2 i ) ( 1 + i )}{( 1 - 2 i ) ^{2}} = \frac{3 + 2 + i ( 3 - 2 )}{1 - 4 - 4 i} = \frac{5 + i}{- 3 - 4 i}

\overline{z} = \frac{( 5 + i ) ( - 3 + 4 i )}{( - 3 ) ^{2} + ( - 4 ) ^{2}} = \frac{- 1 5 - 4 + i ( 2 0 - 3 )}{2 5}

\overline{z} = \frac{- 1 9 + 1 7 i}{2 5} = - \frac{1 9}{2 5} + \frac{1 7}{2 5} i

Pour s'entraîner : exercices 37 ; 38 et 39 p. 35

Méthode

On utilise les propriétés de la conjugaison :
$\overline{(\frac{z}{z ^{'}})} = \frac{z}{z ^{'}}$ ; $\overline{(z z^{'})} = \overline{z} \times \overline{z^{'}}$ ; $\overline{(z^{n})} = (\overline{z})^{n}$ .
On applique les propriétés de distributivité pour réduire le numérateur et le dénominateur.
On obtient la forme algébrique de $z$ en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

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2Nombres complexes conjugués

ADéfinition et propriétés algébriques

Remarque

Remarque

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 3

Énoncé

Solution

Méthode

BInverse et quotient

Remarque

Remarque

Application et méthode - 4

Énoncé

Solution

Méthode

CConjugués et opérations

Remarque

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 5

Énoncé

Solution

Méthode

2
Nombres complexes conjugués

A
Définition et propriétés algébriques

B
Inverse et quotient

C
Conjugués et opérations