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2. Nombres complexes conjugués
P.23-25

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COURS 2


2
Nombres complexes conjugués




A
Définition et propriétés algébriques


Définition

Le conjugué d’un nombre complexe est le nombre complexe noté défini par :
.

Remarque

Si est un nombre complexe et si et sont les réels tels que , alors .

Exemples

1.
2. Pour tout , et .
3. Si , alors .

Remarque

En notant avec et réels, on a .

Propriétés

Pour tout nombre complexe , on a :
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4.  ;
5.  ;
6. .

DÉMONSTRATION

Soient un nombre complexe et et les deux réels tels que
1. .
2. .
3.
4. (car ). D'où .
5. .
6. .

Application et méthode - 3

Énoncé

Résoudre dans les équations suivantes.

1.
2.

Solution

1.

2. On pose avec et réels.
On a ainsi . L’équation s’écrit alors :




.

Pour s'entraîner : exercices 33 p. 34 et 34 p. 35

Méthode

1. Pour les équations où intervient seul, on résout de la même manière que pour les équations du premier degré dans en isolant .
On utilise ensuite pour conclure.

2. Pour les équations où et interviennent simultanément, on pose avec et réels et on utilise .

B
Inverse et quotient


Définition

Soit un nombre complexe non nul.
L’inverse de est le nombre complexe tel que et on le note . On a alors :
.

Exemples

1.
2.

Remarque

L’égalité est souvent utilisée pour simplifier des quotients dont le dénominateur est un imaginaire pur.

Définition

Soient et deux nombres complexes avec .
Le quotient de par est le nombre complexe noté tel que . On a :
.

Remarque

Pour déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe , on multiplie le numérateur et le dénominateur par .

Exemple

Application et méthode - 4

Énoncé

Résoudre dans les équations suivantes.

1.
2.
3.

Solution

1.

2.




3.
On pose . On a donc .
L’équation s’écrit alors :



.

Pour s'entraîner : exercice 36 p. 35

Méthode

1. Pour les équations où intervient seul, on se ramène à une équation de la forme avec et complexes, puis on calcule lorsque .
Pour déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe écrit sous la forme d’un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

2. On procède de même si intervient seul. On utilise ensuite pour obtenir la solution cherchée.

3. Pour les équations où et interviennent simultanément, on pose avec et réels et on utilise .

C
Conjugués et opérations


Propriétés

Pour tous nombres complexes et et pour tout entier relatif , on a :
1.  ;
2.  ;
3. Si , alors  ;
4. Si , alors ;
5. (avec et si ).

Remarque

Ces propriétés traduisent la compatibilité de la conjugaison avec les opérations dans .

DÉMONSTRATION

Soient et deux nombres complexes avec , , et réels.

1. et 2. : Voir exercice
88
p. 39
.

3. Soit . Dans ce cas, on a également .
Par définition des inverses, on a car est réel.
D’après 2., on obtient car .
D’où l’égalité, pour tout , .

4. Voir exercice
89
p. 39
.

5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour entier négatif. Voir exercice
90
p. 39
.

Exemples

1.
2.
3.

Application et méthode - 5

Énoncé

Calculer sous forme algébrique le conjugué de .

Solution






Pour s'entraîner : exercices 37 ; 38 et 39 p. 35

Méthode

  • On utilise les propriétés de la conjugaison :
     ;  ; .
  • On applique les propriétés de distributivité pour réduire le numérateur et le dénominateur.
  • On obtient la forme algébrique de en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

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