Le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe noté \overline z défini par : \overline{z}=\operatorname{Re}(z)-\mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).

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Remarque

Si z est un nombre complexe et si a et b sont les réels tels que z=a+\mathrm{i}b, alors \overline{z}=a-\mathrm{i} b.

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Exemples

1. \overline{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}
2. Pour tout (a ; b) \in \mathbb{R}^{2}, \bar{a}=a et \overline{\mathrm{i} b}=-\mathrm{i} b.
3. Si z=3+2 \mathrm{i}, alors \overline{z}=3-2 \mathrm{i}.

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Remarque

En notant z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels, on a z \overline{z}=a^{2}+b^{2} \in \mathbb{R}^{+}.

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Propriétés

Pour tout nombre complexe z, on a :
1. \overline{\overline{z}}=z ;
2. z+\overline{z}=2 \operatorname{Re}(z) ;
3. z-\overline{z}=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z) ;
4. z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z}=z ;
5. z \in \mathrm{i} \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z}=-z ;
6. z \times \overline{z}=(\operatorname{Re}(z))^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}.

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Démonstration

Soient z un nombre complexe et a et b les deux réels tels que z=a+\mathrm{i} b.
1. \overline{\overline{z}}=\overline{\overline{a+\mathrm{i} b}}=\overline{a-\mathrm{i} b}=a-(-\mathrm{i} b)=a+\mathrm{i} b=z.
2. z+\overline{z}=a+\mathrm{i} b+a-\mathrm{i} b=2 a=2 \operatorname{Re}(z).
3. z-\overline{z}=a+\mathrm{i} b-(a-\mathrm{i} b)=a+\mathrm{i} b-a+\mathrm{i} b=2 \mathrm{i} b=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).
4. \overline{z}=z \Leftrightarrow z-\overline{z}=0 \Leftrightarrow 2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z)=0 \Leftrightarrow \operatorname{Im}(z)=0 (car 2 \mathrm{i} \neq 0). D'où z=\overline{z} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}.
5. \overline{z}=-z \Leftrightarrow z+\overline{z}=0 \Leftrightarrow 2 \operatorname{Re}(z)=0 \Leftrightarrow z \in \mathrm{i} \mathbb{R}.
6. z \times \overline{z}=(\operatorname{Re}(z)+\mathrm{i} \operatorname{Im}(z))(\operatorname{Re}(z)-\mathrm{i} \operatorname{Im}(z))=\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}.

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Application et méthode - 3

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Énoncé

Résoudre dans \mathbb{C} les équations suivantes.
1. 2 \overline{z}+5-2 \mathrm{i}=4+\mathrm{i}+3 \overline{z}
2. 2 z+\mathrm{i} \overline{z}=5-2 \mathrm{i}

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Méthode

1. Pour les équations où \overline{z} intervient seul, on résout de la même manière que pour les équations du premier degré dans \mathbb{R} en isolant \overline{z}.
On utilise ensuite \overline{\overline{z}}=z pour conclure.

2. Pour les équations où z et \overline{z} interviennent simultanément, on pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels et on utilise z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right..

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Solution

1. 2 \overline{z}+5-2 \mathrm{i}=4+\mathrm{i}+3 \overline{z} \Leftrightarrow \overline{z}=1-3 \mathrm{i} \Leftrightarrow z=1+3 \mathrm{i}

2. On pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels.
On a ainsi \overline{z}=a-\mathrm{i} b. L'équation s'écrit alors :
2(a+\mathrm{i} b)+\mathrm{i}(a-\mathrm{i} b)=5-2 \mathrm{i}
\Leftrightarrow 2 a+b+\mathrm{i}(a+2 b)=5-2 \mathrm{i}
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 a+b=5 \\ a+2 b=-2\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=-3\end{array}\right.
\Leftrightarrow z=4-3 \mathrm{i}.

Pour s'entraîner

Exercices

p. 34 et

p. 35

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B
Inverse et quotient

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Définition

Soit z=a+\mathrm{i} b un nombre complexe non nul.
L'inverse de \boldsymbol{z} est le nombre complexe z^{\prime} tel que z z^{\prime}=1 et on le note \frac{1}{z}. On a alors : \frac{1}{z}=\frac{1}{a+\mathrm{i} b}=\frac{a-\mathrm{i} b}{(a+\mathrm{i} b)(a-\mathrm{i} b)}=\frac{a-\mathrm{i} b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{a^{2}+b^{2}}.

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Exemples

1. \frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}
2. \frac{1}{1+2 \mathrm{i}}=\frac{1-2 \mathrm{i}}{1^{2}+2^{2}}=\frac{1-2 \mathrm{i}}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5} \mathrm{i}

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Remarque

L'égalité \frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i} est souvent utilisée pour simplifier des quotients dont le dénominateur est un imaginaire pur.

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Définition

Soient z=a+\mathrm{i} b et z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} deux nombres complexes avec z^{\prime} \neq 0.
Le quotient de \boldsymbol{z} par \boldsymbol{z^{\prime}} est le nombre complexe noté \frac{z}{z^{\prime}} tel que \frac{z}{z^{\prime}}=z \times \frac{1}{z^{\prime}}. On a : \frac{z}{z^{\prime}}=\frac{a+\mathrm{i} b}{a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}}=\frac{(a+\mathrm{i} b)\left(a^{\prime}-\mathrm{i} b^{\prime}\right)}{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}=\frac{\mathrm{z} \times \overline{\mathrm{z}^{\prime}}}{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}.

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Remarque

Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe \frac{z}{z^{\prime}}, on multiplie le numérateur et le dénominateur par \overline{z^{\prime}}.

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Exemple

\frac{1+\mathrm{i}}{2 \mathrm{i}-3}=\frac{1+\mathrm{i}}{-3+2 \mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i})(-3-2 \mathrm{i})}{(-3)^{2}+2^{2}}=\frac{-3+2+\mathrm{i}(-2-3)}{13}=\frac{-1-5 \mathrm{i}}{13}=-\frac{1}{13}-\frac{5}{13} \mathrm{i}

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Application et méthode - 4

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Énoncé

Résoudre dans \mathbb{C} les équations suivantes.
1. (1+2 \mathrm{i}) z=3+\mathrm{i}
2. (3+ \mathrm{i}) \overline{z}-2+4 \mathrm{i}=0
3. (1+\mathrm{i}) z+(3-\mathrm{i}) \overline{z}=2-6 \mathrm{i}

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Méthode

1. Pour les équations où z intervient seul, on se ramène à une équation de la forme az=b avec a et b complexes, puis on calcule z=\frac{b}{a} lorsque a \neq 0.
Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe écrit sous la forme d'un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

2. On procède de même si \overline z intervient seul. On utilise ensuite \overline{\overline{z}}=z pour obtenir la solution cherchée.

3. Pour les équations où z et \overline z interviennent simultanément, on pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels et on utilise z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right..

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Solution

1. (1+2 \mathrm{i}) z=3+\mathrm{i} \Leftrightarrow z=\frac{3+\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}} \Leftrightarrow z=\frac{(3+\mathrm{i})(1-2 \mathrm{i})}{1^{2}+2^{2}} \Leftrightarrow z=\frac{5-5 \mathrm{i}}{5} \Leftrightarrow z=1-\mathrm{i}

2. (3+\mathrm{i}) \overline{z}-2+4 \mathrm{i}=0 \Leftrightarrow(3+\mathrm{i}) \overline{z}=2-4 \mathrm{i}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{2-4 \mathrm{i}}{3+\mathrm{i}} \Leftrightarrow \overline{z}=\frac{(2-4 \mathrm{i})(3-\mathrm{i})}{3^{2}+1^{2}}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{6-4+\mathrm{i}(-2-12)}{10} \Leftrightarrow \overline{z}=\frac{2-14 \mathrm{i}}{10}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{1}{5}-\frac{7}{5} \mathrm{i} \Leftrightarrow z=\frac{1}{5}+\frac{7}{5} \mathrm{i}

3. (1+\mathrm{i}) z+(3-\mathrm{i}) \overline{z}=2-6 \mathrm{i}
On pose z=a+\mathrm{i} b. On a donc \overline{z}=a-\mathrm{i} b.
L'équation s'écrit alors :
(1+\mathrm{i})(a+\mathrm{i} b)+(3-\mathrm{i})(a-\mathrm{i} b)=2-6\mathrm{i}
\Leftrightarrow(a-b)+\mathrm{i}(b+a)+(3 a-b)+\mathrm{i}(-3 b-a)=2-6 \mathrm{i}
\Leftrightarrow(4 a-2 b)-2 \mathrm{i} b=2-6 \mathrm{i} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}4 a-2 b=2 \\ -2 b=-6\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=3\end{array} \Leftrightarrow z=2+3 \mathrm{i}\right..

Pour s'entraîner

Exercices

p. 35

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C
Conjugués et opérations

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Propriétés

Pour tous nombres complexes z et z^\prime et pour tout entier relatif n, on a :
1. \overline{z+z^{\prime}}=\overline{z}+\overline{z^{\prime}} ;
2. \overline{\left(z z^{\prime}\right)}=\overline{z} \times \overline{z^{\prime}} ;
3. Si z \neq 0, alors \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}} ;
4. Si z^\prime \neq 0, alors\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} ;
5. \overline{\left(z^{n}\right)}=(\overline{z})^{n} (avec z \neq 0 et si n\lt0).

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Remarque

Ces propriétés traduisent la compatibilité de la conjugaison avec les opérations dans \mathbb{C}.

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Démonstration

Soient z=a+\mathrm{i} b et z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} deux nombres complexes avec a, b, a^{\prime} et b^{\prime} réels.

1. et 2. : Voir exercice

p. 39.

3. Soit z \neq 0. Dans ce cas, on a également \overline{z} \neq 0.
Par définition des inverses, on a z \times \frac{1}{z}=1 \Leftrightarrow \overline{\left(z \times \frac{1}{z}\right)}=\overline{1}=1 car 1 est réel.
D'après 2., on obtient \overline{z} \times \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=1 \Leftrightarrow \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}} car \overline{z} \neq 0.
D'où l'égalité, pour tout z \in \mathbb{C}^{*}, \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}.
4. Voir exercice

p. 39.

5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour n entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour n entier négatif. Voir exercice

p. 39.

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Exemples

1. z_{1}=\overline{(1-2 \mathrm{i})(2+3 \mathrm{i})}=\overline{(1-2 \mathrm{i})} \times \overline{(2+3 \mathrm{i})}=(1+2 \mathrm{i})(2-3 \mathrm{i})=2+6+\mathrm{i}(-3+4)=8+\mathrm{i}

2. z_{2}=\overline{\left(\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}=\frac{\overline{\mathrm{i}}}{\overline{1+\mathrm{i}}}=\frac{-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{-\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{1^{2}+(-1)^{2}}=\frac{-\mathrm{i}+1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}

3. z_{3}=\overline{\left(\mathrm{i}^{3}\right)}=\left(\overline{\mathrm{i}}\right)^{3}=(-\mathrm{i})^{3}=\mathrm{i}

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Application et méthode - 5

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Énoncé

Calculer sous forme algébrique le conjugué de z=\frac{(3+2 \mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+2 \mathrm{i})^{2}}.

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Méthode

On utilise les propriétés de la conjugaison :
\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} ; \overline{\left(z z^{\prime}\right)}=\overline{z} \times \overline{z^{\prime}} ; \overline{\left(z^{n}\right)}=(\overline{z})^{n}.
On applique les propriétés de distributivité pour réduire le numérateur et le dénominateur.
On obtient la forme algébrique de z en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

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Solution

\overline{z}=\overline{\left(\frac{(3+2 \mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+2 \mathrm{i})^{2}}\right)}=\frac{\overline{(3+2 \mathrm{i})(1-\mathrm{i})}}{\overline{(1+2 \mathrm{i})^{2}}}
\overline{z}=\frac{(3-2 \mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-2 \mathrm{i})^{2}}=\frac{3+2+\mathrm{i}(3-2)}{1-4-4 \mathrm{i}}=\frac{5+\mathrm{i}}{-3-4 \mathrm{i}}
\overline{z}=\frac{(5+\mathrm{i})(-3+4 \mathrm{i})}{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\frac{-15-4+\mathrm{i}(20-3)}{25}
\overline{z}=\frac{-19+17 \mathrm{i}}{25}=-\frac{19}{25}+\frac{17}{25} \mathrm{i}

Pour s'entraîner

Exercices

;

p. 35.

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