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1. L’ensemble C des nombres complexes
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COURS 1


1
L’ensemble C\mathbb{C} des nombres complexes




A
Définitions et propriétés


Définition
On admet que l’on peut construire un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté C\mathbb{C}, contenant R\mathbb{R} et vérifiant les propriétés suivantes :
1. C\mathbb{C} est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles définies sur R\mathbb{R} et qui ont les mêmes propriétés algébriques (la distributivité, par exemple) ;
2. C\mathbb{C} contient un élément noté i\text{i} vérifiant i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1 ;
3. pour tout élément zz de C\mathbb{C}, il existe un unique couple de réels (a ;b)(a\,; b) tel que : z=a+ibz=a+\mathrm{i} b.

Remarques

Il n’y a pas d’ordre dans l’ensemble C\mathbb{C}. En particulier, un nombre complexe quelconque n’est ni positif, ni négatif.

Remarque

Si b=0b = 0, alors z=az = a est un réel.
Si a=0a = 0, alors z=ibz = \mathrm{i}b est un imaginaire pur.

Définitions
L’écriture d’un nombre complexe zz sous la forme z=a+ibz=a+\mathrm{i} b où aa et bb sont deux réels est appelée forme algébrique de z\boldsymbol{z}.
Le nombre aa est appelé partie réelle de z\boldsymbol{z} et on note a=Re⁡(z)a=\operatorname{Re}(z).
Le nombre bb est appelé partie imaginaire de z\boldsymbol{z} et on note b=Im⁡(z)b=\operatorname{Im}(z).

NOTATIONS
On note iR\mathrm{i}\mathbb{R} l’ensemble des imaginaires purs.

Exemple
3+2i3+2 \mathrm{i} un nombre complexe avec a=3a = 3 et b=2b = 2.
Les nombres −4-4 ; 00 et 2i2\mathrm{i} sont aussi des nombres complexes.

Remarque

Attention ! La partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel.

Propriétés
Soient zz et z′z^\prime deux nombres complexes.
1. z=0⇔Re⁡(z)=0z=0 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z)=0 et Im⁡(z)=0\operatorname{Im}(z)=0.
2. z=z′⇔Re⁡(z)=Re⁡(z′)z=z^{\prime} \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) et Im⁡(z)=Im⁡(z′)\operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right).

Remarque

La propriété 2. entraîne l’unicité de la forme algébrique pour un nombre complexe.

DÉMONSTRATION

1. Soient z∈Cz \in \mathbb{C} et aa et bb les réels tels que z=a+ibz=a+\mathrm{i} b.
Si z=0z = 0, alors a+ib=0a+\mathrm{i} b=0.
On raisonne par l’absurde et on suppose que aa et bb ne sont pas tous les deux nuls.
Si b=0b = 0, l’égalité donne a+0×i=0a+0 \times\mathrm{i}=0 soit a=0a = 0, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Sinon, b≠0b \neq 0.
Alors a+ib=0⇔i=−aba+\mathrm{i} b=0 \Leftrightarrow \mathrm{i}=-\dfrac{a}{b}. Comme aa et bb sont des réels alors −ab∈R-\dfrac{a}{b} \in \mathbb{R} et donc i∈R\mathrm{i} \in \mathbb{R}.
Ce qui est impossible puisque i\text{i} n’est pas un réel.
Par conséquent, b=0b = 0, ce qui entraîne a=0a = 0.
Réciproquement, si a=b=0a = b = 0 alors, z=a+ib=0+i×0=0z=a+\mathrm{i} b=0+\mathrm{i} \times 0=0. D’où l’équivalence.

2. Soient z=a+ibz=a+\mathrm{i} b et z′=a′+ib′z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} deux nombres complexes où aa, bb, a′a^\prime et b′b^\prime sont réels.
Alors z=z′⇔a+ib=a′+ib′⇔(a−a′)+i(b−b′)=0⇔{a−a′=0b−b′=0z=z^{\prime} \Leftrightarrow a+\mathrm{i} b=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} \Leftrightarrow\left(a-a^{\prime}\right)+\mathrm{i}\left(b-b^{\prime}\right)=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a-a^{\prime}=0 \\ b-b^{\prime}=0\end{array}\right. d’après 1.
Autrement dit, a=a′a = a^{\prime} et b=b′b = b^{\prime}, d’où l’équivalence.

Remarque

La différence de deux nombres complexes est définie dans la partie B.

Application et méthode - 1

Énoncé

Soit xx un réel. On considère les nombres complexes zz et z′z^\prime définis par z=x2−x−2+3ixz=x^{2}-x-2+3 \mathrm{i} x et z′=−2x+i(x2+x+1)z^{\prime}=-2 x+\mathrm{i}\left(x^{2}+x+1\right).
Déterminer les éventuelles valeurs de xx telles que :
1. zz soit un imaginaire pur. Calculer zz le cas échéant.
2. z′z^\prime soit un imaginaire pur. Calculer z′z^\prime le cas échéant.
3. zz et z′z^\prime soient égaux. Calculer zz et z′z^\prime le cas échéant.

Solution


1. z∈iR⇔Re⁡(z)=0⇔x2−x−2=0⇔x=−1z \in \mathrm{i} \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z)=0 \Leftrightarrow x^{2}-x-2=0 \Leftrightarrow x=-1 ou x=2x = 2.
Si x=−1x = -1, alors z=−3iz = -3\mathrm{i} et si x=2x = 2, alors z=6iz = 6\mathrm{i}.
2. z′∈R⇔Im⁡(z′)=0⇔x2+x+1=0z^{\prime} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)=0 \Leftrightarrow x^{2}+x+1=0. Or ce trinôme a pour discriminant Δ=12−4×1×1=−3\Delta=1^{2}-4 \times 1 \times 1=-3 et Δ<0\Delta\lt0 donc le trinôme n’admet pas de racine réelle. Ainsi, il n’existe pas de valeur de xx pour laquelle z′z^{\prime} est un réel.
3. z=z′⇔{x2−x−2=−2xx2+x+1=3xz=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^{2}-x-2=-2 x \\ x^{2}+x+1=3 x\end{array}\right.
⇔{x2+x−2=0x2−2x+1=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{r}x^{2}+x-2=0 \\ x^{2}-2 x+1=0\end{array}\right.
⇔{x2+x−2=0(x−1)2=0\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} x^{2}+x-2 &=0 \\(x-1)^{2} &=0 \end{aligned}\right.
⇔{x=1 ou x=−2x=1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1 \text { ou } x=-2 \\ x=1\end{array}\right. donc x=1x = 1.
En effet, si x=1x = 1 alors z=−2+3i=z′z=-2+3 \mathrm{i}=z^{\prime}.

Pour s'entraîner : exercices 31 et 32 p. 34

Méthode

1. zz est imaginaire pur si, et seulement si, Re⁡(z)=0\operatorname{Re}(z)=0.
2. z′z^\prime est réel si, et seulement si, Im⁡(z′)=0\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)=0.
3. On utilise que z=z′⇔{Re⁡(z)=Re⁡(z′)Im⁡(z)=Im⁡(z′)z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right. et on résout le système obtenu.

B
Opérations sur les nombres complexes


Propriétés
On a défini dans C\mathbb{C} une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles que l’addition et la multiplication dans R\mathbb{R}.
Quels que soient les réels kk, aa, bb, a′a^\prime et b′b^\prime, on a donc :
1. (a+ib)+(a′+ib′)=(a+a′)+i(b+b′)(a+\mathrm{i} b)+\left(a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}\right)=\left(a+a^{\prime}\right)+\mathrm{i}\left(b+b^{\prime}\right) ;
2. (a+ib)−(a′+ib′)=(a−a′)+i(b−b′)(a+\mathrm{i} b)-\left(a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}\right)=\left(a-a^{\prime}\right)+\mathrm{i}\left(b-b^{\prime}\right) ;
3. k(a+ib)=(ka)+i(kb)k(a+\mathrm{i} b)=(k a)+\mathrm{i}(k b) ;
4. (a+ib)(a′+ib′)=(aa′−bb′)+i(ab′+a′b)(a+\mathrm{i} b)\left(a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}\right)=\left(a a^{\prime}-b b^{\prime}\right)+\mathrm{i}\left(a b^{\prime}+a^{\prime} b\right).

Remarque

Pour tous nombres complexes zz et z′z^\prime et pour tout réel kk, on a : Re⁡(z+z′)=Re⁡(z)+Re⁡(z′)\operatorname{Re}\left(z+z^{\prime}\right) =\operatorname{Re}(z)+\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) ;
Im⁡(z+z′)=Im⁡(z)+Im⁡(z′)\operatorname{Im}\left(z+z^{\prime}\right)=\operatorname{Im}(z)+\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right) ;
Re⁡(kz)=kRe⁡(z)\operatorname{Re}(k z)=k \operatorname{Re}(z) ;
Im⁡(kz)=kIm⁡(z)\operatorname{Im}(k z)=k \operatorname{Im}(z).
On parle de linéarité des parties réelle et imaginaire.

Exemples
1. i3=i2×i=−1×i=−i\mathrm{i}^{3}=\mathrm{i}^{2} \times \mathrm{i}=-1 \times \mathrm{i}=-\mathrm{i}
2. 3+2i−(3i−2)=3+2i−3i+2=5−i3+2 \mathrm{i}-(3 \mathrm{i}-2)=3+2 \mathrm{i}-3 \mathrm{i}+2=5-\mathrm{i}
3. (3−2i)(2+3i)=3×2+3×3i−2i×2−2×3i2=12+5i(3-2 \mathrm{i})(2+3 \mathrm{i})=3 \times 2+3 \times 3 \mathrm{i}-2 \mathrm{i} \times 2-2 \times 3 \mathrm{i}^{2}=12+5 \mathrm{i}

Propriétés
Pour tous nombres complexes zz, z′z^\prime et z′′z^{\prime\prime}, on a :
  • Commutativité : z+z′=z′+zz+z^{\prime}=z^{\prime}+z et zz′=z′zz z^{\prime}=z^{\prime} z.
  • Associativité : (z+z′)+z′′=z+(z′+z′′)=z+z′+z′′\left(z+z^{\prime}\right)+z^{\prime \prime}=z+\left(z^{\prime}+z^{\prime \prime}\right)=z+z^{\prime}+z^{\prime \prime} et (zz′)×z′′=z×(z′z′′)=zz′z′′\left(z z^{\prime}\right) \times z^{\prime \prime}=z \times\left(z^{\prime} z^{\prime \prime}\right)=z z^{\prime} z^{\prime \prime}.
  • Éléments neutres : z+0=zz+0=z, z+(−z)=0z+(-z)=0 et z×1=zz \times 1=z.
  • Règles de calculs : z(z′+z′′)=zz′+zz′′z\left(z^{\prime}+z^{\prime \prime}\right)=z z^{\prime}+z z^{\prime \prime} et zz′=0⇔z=0z z^{\prime}=0 \Leftrightarrow z=0 ou z′=0z^{\prime}=0.

Remarque

Ces propriétés traduisent la commutativité et l’associativité de l’addition et de la multiplication, ainsi que la distributivité de la multiplication sur l’addition dans C\mathbb{C}. L’égalité zz′=z′zz z^{\prime}=z^{\prime} z permet de définir znz^n avec n∈Nn \in \mathbb{N}.

DÉMONSTRATION

On écrit z=a+ibz=a+\mathrm{i} b, z′=a′+ib′z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} et z′′=a′′+ib′′z^{\prime \prime}=a^{\prime \prime}+\mathrm{i} b^{\prime \prime} avec aa, bb, a′a^{\prime}, b′b^{\prime}, a′′a^{\prime \prime} et b′′b^{\prime \prime} des réels.
Les démonstrations découlent de la définition et des propriétés de l’addition et de la multiplication dans R\mathbb{R}.

Conséquences
Pour tous réels aa et bb, on a :
(a+ib)2=a2−b2+2iab(a+\mathrm{i} b)^{2}=a^{2}-b^{2}+2 \mathrm{i} a b ; (a−ib)2=a2−b2−2iab(a-\mathrm{i} b)^{2}=a^{2}-b^{2}-2 \mathrm{i} a b ; (a+ib)(a−ib)=a2+b2(a+\mathrm{i} b)(a-\mathrm{i} b)=a^{2}+b^{2}.

Remarque

De manière générale, Re⁡(z2)≠(Re⁡(z))2\operatorname{Re}\left(z^{2}\right) \neq(\operatorname{Re}(z))^{2} et Im⁡(z2)≠(Im⁡(z))2\operatorname{Im}\left(z^{2}\right) \neq(\operatorname{Im}(z))^{2}.

DÉMONSTRATION

On développe comme dans R\mathbb{R} en utilisant i2=−1\mathrm{i}^{2}=-1.

Binôme de Newton
Pour tous nombres complexes uu et vv et pour tout entier naturel nn, on a :
(u+v)n=∑k=0n(nk)un−kvk(u+v)^{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) u^{n-k} v^{k}.

Remarque

Pour tout entier k\text{k} compris entre 00 et nn, le coefficient (nk)\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) a été défini dans le chapitre « Combinatoire et dénombrement » de mathématiques spécialité.

DÉMONSTRATION

On démontre la formule du binôme de Newton par récurrence.
Voir exercice
68
p. 37.

Exemples
  • (2+i)3=(30)23i0+(31)22i1+(32)21i2+(33)20i3=8+12i−6−i=2+11i(2+\mathrm{i})^{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0\end{array}\right) 2^{3} \mathrm{i}^{0}+\left(\begin{array}{l}3 \\ 1\end{array}\right) 2^{2} \mathrm{i}^{1}+\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right) 2^{1} \mathrm{i}^{2}+\left(\begin{array}{l}3 \\ 3\end{array}\right) 2^{0} \mathrm{i}^{3}=8+12 \mathrm{i}-6-\mathrm{i}=2+11 \mathrm{i} ;

  • (1−i)5=(50)15i0−(51)14i1+(52)13i2−(53)12i3+(54)11i4−(55)10i5(1-\mathrm{i})^{5}=\left(\begin{array}{l}5 \\ 0\end{array}\right) 1^{5} \mathrm{i}^{0}-\left(\begin{array}{l}5 \\ 1\end{array}\right) 1^{4} \mathrm{i}^{1}+\left(\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right) 1^{3} \mathrm{i}^{2}-\left(\begin{array}{l}5 \\ 3\end{array}\right) 1^{2} \mathrm{i}^{3}+\left(\begin{array}{l}5 \\ 4\end{array}\right) 1^{1} \mathrm{i}^{4}-\left(\begin{array}{l}5 \\ 5\end{array}\right) 1^{0} \mathrm{i}^{5}
    =1−5i−10+10i+5−i=−4+4i=1-5 \mathrm{i}-10+10 \mathrm{i}+5-\mathrm{i}=-4+4 \mathrm{i}.

Remarque

Dans ce chapitre, on utilise la convention 00=10^0=1.

Application et méthode - 2

Énoncé

On considère les nombres complexes z1=1+iz_{1}=1+\mathrm{i} ; z2=2−3iz_{2}=2-3 \mathrm{i}.
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : z=z12+z22z=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}, z′=z15z^{\prime}=z_{1}^{5} et z′′=z24z^{\prime \prime}=z_{2}^{4}.

Solution


z=(1+i)2+(2−3i)2=1−1+2i+4−9−12i=−5−10iz=(1+\mathrm{i})^{2}+(2-3 \mathrm{i})^{2}=1-1+2 \mathrm{i}+4-9-12 \mathrm{i}=-5-10 \mathrm{i} ;

z′=(1+i)5=1+5i+10i2+10i3+5i4+i5=1+5i−10−10i+5+i=−4−4iz^{\prime}=(1+\mathrm{i})^{5}=1+5 \mathrm{i}+10 \mathrm{i}^{2}+10 \mathrm{i}^{3}+5 \mathrm{i}^{4}+\mathrm{i}^{5}=1+5 \mathrm{i}-10-10 \mathrm{i}+5+\mathrm{i}=-4-4 \mathrm{i} ;

z′′=(2−3i)4=24−4×23×3i+6×22×(3i)2−4×2×(3i)3+(3i)4=16−96i−216+216i+81=−119+120iz^{\prime \prime}=(2-3 \mathrm{i})^{4}=2^{4}-4 \times 2^{3} \times 3 \mathrm{i}+6 \times 2^{2} \times(3 \mathrm{i})^{2}-4 \times 2 \times(3 \mathrm{i})^{3}+(3 \mathrm{i})^{4}=16-96 \mathrm{i}-216+216 \mathrm{i}+81=-119+120 \mathrm{i}.

Pour s'entraîner : exercices 29 et 30 p. 34

Méthode

  • Pour calculer zz, on utilise les identités remarquables.
  • Pour calculer z′z^\prime et z′′z^{\prime\prime}, on applique la formule du binôme de Newton valable pour tous complexes uu et vv et tout n∈N:n \in \mathbb{N}:
    (u+v)n=∑k=0n(nk)un−kvk(u+v)^{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) u^{n-k} v^{k}.

    Pour trouver facilement les coefficients binomiaux, on peut utiliser le triangle de Pascal basé sur la propriété :
    (k+1p)=(kp)+(kp−1)\left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}k \\ p-1\end{array}\right).

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