Chapitre 1
Cours 1
L'ensemble C des nombres complexes
A
Définitions et propriétés
On admet que l'on peut construire un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté C, contenant R et vérifiant les propriétés suivantes :
1. C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles définies sur R et qui ont les mêmes propriétés algébriques (la distributivité, par exemple) ;
2. C contient un élément noté i vérifiant i2=−1 ;
3. pour tout élément z de C, il existe un unique couple de réels (a;b) tel que : z=a+ib.
Il n'y a pas d'ordre dans l'ensemble C. En particulier, un nombre complexe quelconque n'est ni positif, ni négatif.
L'écriture d'un nombre complexe z sous la forme z=a+ib où a et b sont deux réels est appelée forme algébrique de z.
Le nombre a est appelé partie réelle de z et on note a=Re(z).
Le nombre b est appelé partie imaginaire de z et on note b=Im(z).
Si b=0, alors z=a est un réel.
Si a=0, alors z=ib est un imaginaire pur.
On note iR
l'ensemble des
imaginaires purs.
3+2i un nombre complexe avec a=3 et b=2.
Les nombres −4 ; 0 et 2i sont aussi des nombres complexes.
Soient z et z′ deux nombres complexes.
1. z=0⇔Re(z)=0 et Im(z)=0.
2. z=z′⇔Re(z)=Re(z′) et Im(z)=Im(z′).
Attention ! La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel.
La propriété 2. entraîne l'unicité de la forme algébrique pour un nombre complexe.
1. Soient z∈C et a et b les réels tels que z=a+ib.
Si z=0, alors a+ib=0.
On raisonne par l'absurde et on suppose que a et b ne sont pas tous les deux nuls.
Si b=0, l'égalité donne a+0×i=0 soit a=0, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Sinon, b=0.
Alors a+ib=0⇔i=−ba. Comme a et b sont des réels alors −ba∈R et donc i∈R.
Ce qui est impossible puisque i n'est pas un réel.
Par conséquent, b=0, ce qui entraîne a=0.
Réciproquement, si a=b=0 alors, z=a+ib=0+i×0=0. D'où l'équivalence.
2. Soient z=a+ib et z′=a′+ib′ deux nombres complexes où a, b, a′ et b′ sont réels.
Alors z=z′⇔a+ib=a′+ib′⇔(a−a′)+i(b−b′)=0⇔{a−a′=0b−b′=0 d'après 1.
Autrement dit, a=a′ et b=b′, d'où l'équivalence.
La différence de deux nombres complexes est définie dans la partie B.
Application et méthode - 1
Soit x un réel. On considère les nombres complexes z et z′ définis par z=x2−x−2+3ix et z′=−2x+i(x2+x+1).
Déterminer les éventuelles valeurs de x telles que :
1. z soit un imaginaire pur. Calculer z le cas échéant.
2. z′ soit un imaginaire pur. Calculer z′ le cas échéant.
3. z et z′ soient égaux. Calculer z et z′ le cas échéant.
1. z est imaginaire pur si, et seulement si, Re(z)=0.
2. z′ est réel si, et seulement si, Im(z′)=0.
3. On utilise que z=z′⇔{Re(z)=Re(z′)Im(z)=Im(z′) et on
résout le système obtenu.
1. z∈iR⇔Re(z)=0⇔x2−x−2=0⇔x=−1 ou
x=2.
Si
x=−1, alors
z=−3i et si
x=2, alors
z=6i.
2. z′∈R⇔Im(z′)=0⇔x2+x+1=0. Or ce trinôme a pour discriminant
Δ=12−4×1×1=−3 et
Δ<0 donc le trinôme n'admet pas de racine réelle. Ainsi, il n'existe pas de valeur de
x pour laquelle
z′ est un réel.
3. z=z′⇔{x2−x−2=−2xx2+x+1=3x
⇔{x2+x−2=0x2−2x+1=0
⇔{x2+x−2(x−1)2=0=0
⇔{x=1 ou x=−2x=1 donc
x=1.
En effet, si
x=1 alors
z=−2+3i=z′.
Pour s'entraîner
Exercices
et
p. 34
B
Opérations sur les nombres complexes
On a défini dans C une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles que l'addition et la multiplication dans R.
Quels que soient les réels k, a, b, a′ et b′, on a donc :
1. (a+ib)+(a′+ib′)=(a+a′)+i(b+b′) ;
2. (a+ib)−(a′+ib′)=(a−a′)+i(b−b′) ;
3. k(a+ib)=(ka)+i(kb) ;
4. (a+ib)(a′+ib′)=(aa′−bb′)+i(ab′+a′b).
Pour tous nombres complexes z et z′ et pour tout réel k, on a : Re(z+z′)=Re(z)+Re(z′) ;
Im(z+z′)=Im(z)+Im(z′) ;
Re(kz)=kRe(z) ;
Im(kz)=kIm(z).
On parle de linéarité des parties réelle et imaginaire.
1. i3=i2×i=−1×i=−i
2. 3+2i−(3i−2)=3+2i−3i+2=5−i
3. (3−2i)(2+3i)=3×2+3×3i−2i×2−2×3i2=12+5i
Pour tous nombres complexes
z,
z′ et
z′′, on a :
- Commutativité : z+z′=z′+z et zz′=z′z.
- Associativité : (z+z′)+z′′=z+(z′+z′′)=z+z′+z′′ et (zz′)×z′′=z×(z′z′′)=zz′z′′.
- Éléments neutres : z+0=z, z+(−z)=0 et z×1=z.
- Règles de calculs : z(z′+z′′)=zz′+zz′′ et zz′=0⇔z=0 ou z′=0.
Ces propriétés traduisent la commutativité et l'associativité de l'addition et de la multiplication, ainsi que la distributivité de la multiplication sur l'addition dans C.
L'égalité zz′=z′z permet de définir zn avec n∈N.
On écrit z=a+ib, z′=a′+ib′ et z′′=a′′+ib′′ avec a, b, a′, b′, a′′ et b′′ des réels.
Les démonstrations découlent de la définition et des propriétés de l'addition et de la multiplication dans R.
Pour tous réels a et b, on a :
(a+ib)2=a2−b2+2iab ;
(a−ib)2=a2−b2−2iab ;
(a+ib)(a−ib)=a2+b2.
De manière générale, Re(z2)=(Re(z))2 et Im(z2)=(Im(z))2.
On développe comme dans R en utilisant i2=−1.
Pour tous nombres complexes
u et
v et pour tout entier naturel
n, on a :
(u+v)n=k=0∑n(nk)un−kvk.
Pour tout entier k compris entre 0 et n, le coefficient (nk) a été défini dans le chapitre « Combinatoire
et dénombrement » de mathématiques spécialité.
On démontre la formule du binôme de Newton par récurrence.
Voir exercice
p. 37.
- (2+i)3=(30)23i0+(31)22i1+(32)21i2+(33)20i3=8+12i−6−i=2+11i ;
- (1−i)5=(50)15i0−(51)14i1+(52)13i2−(53)12i3+(54)11i4−(55)10i5
=1−5i−10+10i+5−i=−4+4i.
Dans ce chapitre, on utilise la convention 00=1.
Application et méthode - 2
On considère les nombres complexes z1=1+i ; z2=2−3i.
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : z=z12+z22, z′=z15 et z′′=z24.
z=(1+i)2+(2−3i)2=1−1+2i+4−9−12i=−5−10i ;
z′=(1+i)5=1+5i+10i2+10i3+5i4+i5=1+5i−10−10i+5+i=−4−4i ;
z′′=(2−3i)4=24−4×23×3i+6×22×(3i)2−4×2×(3i)3+(3i)4=16−96i−216+216i+81=−119+120i.
Pour s'entraîner
Exercices
et
p. 34.
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