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L’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes

Il n’y a pas d’ordre dans l’ensemble $\mathbb{C}$. En particulier, un nombre complexe quelconque n’est ni positif, ni négatif.

Si $b=0$, alors $z=a$ est un réel.
Si $a=0$, alors $z=\mathrm{i}b$ est un imaginaire pur.

Exemple

$3+2\mathrm{i}$ un nombre complexe avec $a=3$ et $b=2$.
Les nombres $-4$ ; $0$ et $2\mathrm{i}$ sont aussi des nombres complexes.

Attention ! La partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel.

La propriété 2. entraîne l’unicité de la forme algébrique pour un nombre complexe.

DÉMONSTRATION

1. Soient $z\in \mathbb{C}$ et $a$ et $b$ les réels tels que $z=a+\mathrm{i}b$.
Si $z=0$, alors $a+\mathrm{i}b=0$.
On raisonne par l’absurde et on suppose que $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls.
Si $b=0$, l’égalité donne $a+0\times \mathrm{i}=0$ soit $a=0$, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Sinon, $b\ne 0$.
Alors $a+\mathrm{i}b=0\iff \mathrm{i}=-\frac{a}{b}$. Comme $a$ et $b$ sont des réels alors $-\frac{a}{b}\in \mathbb{R}$ et donc $\mathrm{i}\in \mathbb{R}$.
Ce qui est impossible puisque $\text{i}$ n’est pas un réel.
Par conséquent, $b=0$, ce qui entraîne $a=0$.
Réciproquement, si $a=b=0$ alors, $z=a+\mathrm{i}b=0+\mathrm{i}\times 0=0$. D’où l’équivalence.

2. Soient $z=a+\mathrm{i}b$ et $z^{\prime }=a^{\prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime }$ deux nombres complexes où $a$, $b$, $a^{\prime }$ et $b^{\prime }$ sont réels.
Alors $z=z^{\prime }\iff a+\mathrm{i}b=a^{\prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime }\iff \left(a-a^{\prime }\right)+\mathrm{i}\left(b-b^{\prime }\right)=0\iff \{\begin{array}{l}a-a^{\prime }=0\\ b-b^{\prime }=0\end{array}$ d’après 1.
Autrement dit, $a=a^{\prime }$ et $b=b^{\prime }$, d’où l’équivalence.

La différence de deux nombres complexes est définie dans la partie B.

Soit $x$ un réel. On considère les nombres complexes $z$ et $z^{\prime }$ définis par $z=x^2-x-2+3\mathrm{i}x$ et $z^{\prime }=-2x+\mathrm{i}\left(x^2+x+1\right)$.
Déterminer les éventuelles valeurs de $x$ telles que :
1. $z$ soit un imaginaire pur. Calculer $z$ le cas échéant.
2. $z^{\prime }$ soit un imaginaire pur. Calculer $z^{\prime }$ le cas échéant.
3. $z$ et $z^{\prime }$ soient égaux. Calculer $z$ et $z^{\prime }$ le cas échéant.

Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\prime }$ et pour tout réel $k$, on a : $\mathrm{Re}\left(z+z^{\prime }\right)=\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Re}\left(z^{\prime }\right)$ ;
$\mathrm{Im}\left(z+z^{\prime }\right)=\mathrm{Im}(z)+\mathrm{Im}\left(z^{\prime }\right)$ ;
$\mathrm{Re}(kz)=k\mathrm{Re}(z)$ ;
$\mathrm{Im}(kz)=k\mathrm{Im}(z)$.
On parle de linéarité des parties réelle et imaginaire.

Exemples

1. ${\mathrm{i}}^3={\mathrm{i}}^2\times \mathrm{i}=-1\times \mathrm{i}=-\mathrm{i}$
2. $3+2\mathrm{i}-(3\mathrm{i}-2)=3+2\mathrm{i}-3\mathrm{i}+2=5-\mathrm{i}$
3. $(3-2\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})=3\times 2+3\times 3\mathrm{i}-2\mathrm{i}\times 2-2\times 3{\mathrm{i}}^2=12+5\mathrm{i}$

Ces propriétés traduisent la commutativité et l’associativité de l’addition et de la multiplication, ainsi que la distributivité de la multiplication sur l’addition dans $\mathbb{C}$. L’égalité $z{z}^{\prime }=z^{\prime }z$ permet de définir $z^n$ avec $n\in \mathbb{N}$.

DÉMONSTRATION

On écrit $z=a+\mathrm{i}b$, $z^{\prime }=a^{\prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime }$ et $z^{\prime \prime }=a^{\prime \prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime \prime }$ avec $a$, $b$, $a^{\prime }$, $b^{\prime }$, $a^{\prime \prime }$ et $b^{\prime \prime }$ des réels.
Les démonstrations découlent de la définition et des propriétés de l’addition et de la multiplication dans $\mathbb{R}$.

De manière générale, $\mathrm{Re}\left(z^2\right)\ne (\mathrm{Re}(z){)}^2$ et $\mathrm{Im}\left(z^2\right)\ne (\mathrm{Im}(z){)}^2$.

DÉMONSTRATION

On développe comme dans $\mathbb{R}$ en utilisant ${\mathrm{i}}^2=-1$.

Pour tout entier $\text{k}$ compris entre $0$ et $n$, le coefficient $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)$ a été défini dans le chapitre « Combinatoire et dénombrement » de mathématiques spécialité.

DÉMONSTRATION

On démontre la formule du binôme de Newton par récurrence.
Voir exercice

68

p. 37.

Exemples

• $(2+\mathrm{i}{)}^3=\left(\begin{array}{l}3\\ 0\end{array}\right)2^3{\mathrm{i}}^0+\left(\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right)2^2{\mathrm{i}}^1+\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)2^1{\mathrm{i}}^2+\left(\begin{array}{l}3\\ 3\end{array}\right)2^0{\mathrm{i}}^3=8+12\mathrm{i}-6-\mathrm{i}=2+11\mathrm{i}$ ;


• $(1-\mathrm{i}{)}^5=\left(\begin{array}{l}5\\ 0\end{array}\right)1^5{\mathrm{i}}^0-\left(\begin{array}{l}5\\ 1\end{array}\right)1^4{\mathrm{i}}^1+\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)1^3{\mathrm{i}}^2-\left(\begin{array}{l}5\\ 3\end{array}\right)1^2{\mathrm{i}}^3+\left(\begin{array}{l}5\\ 4\end{array}\right)1^1{\mathrm{i}}^4-\left(\begin{array}{l}5\\ 5\end{array}\right)1^0{\mathrm{i}}^5$
  $=1-5\mathrm{i}-10+10\mathrm{i}+5-\mathrm{i}=-4+4\mathrm{i}$.

Dans ce chapitre, on utilise la convention $0^0=1$.

On considère les nombres complexes $z_1=1+\mathrm{i}$ ; $z_2=2-3\mathrm{i}$.
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : $z=z_1^2+z_2^2$, $z^{\prime }=z_1^5$ et $z^{\prime \prime }=z_2^4$.