Mathématiques Expertes Terminale
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Cours 1

L'ensemble des nombres complexes

A
Définitions et propriétés

Définition
On admet que l'on peut construire un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté , contenant et vérifiant les propriétés suivantes :
1. est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles définies sur et qui ont les mêmes propriétés algébriques (la distributivité, par exemple) ;
2. contient un élément noté vérifiant  ;
3. pour tout élément de , il existe un unique couple de réels tel que : .

Remarque

Il n'y a pas d'ordre dans l'ensemble . En particulier, un nombre complexe quelconque n'est ni positif, ni négatif.
Définitions
L'écriture d'un nombre complexe sous la forme et sont deux réels est appelée forme algébrique de .
Le nombre est appelé partie réelle de et on note .
Le nombre est appelé partie imaginaire de et on note .

Remarque

Si , alors est un réel. Si , alors est un imaginaire pur.

Notation

On note l'ensemble des imaginaires purs.
Exemples
un nombre complexe avec et .
Les nombres  ; et sont aussi des nombres complexes.
Propriétés
Soient et deux nombres complexes.
1. et .
2. et .

Remarque

Attention ! La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel.

Remarque

La propriété 2. entraîne l'unicité de la forme algébrique pour un nombre complexe.


Démonstration
1. Soient et et les réels tels que .
Si , alors .
On raisonne par l'absurde et on suppose que et ne sont pas tous les deux nuls.
Si , l'égalité donne soit , ce qui est contraire à notre hypothèse.
Sinon, .
Alors . Comme et sont des réels alors et donc .
Ce qui est impossible puisque n'est pas un réel.
Par conséquent, , ce qui entraîne .
Réciproquement, si alors, . D'où l'équivalence.

2. Soient et deux nombres complexes où , , et sont réels.
Alors d'après 1.
Autrement dit, et , d'où l'équivalence.

Remarque

La différence de deux nombres complexes est définie dans la partie B.
Application et méthode - 1
Énoncé
Soit un réel. On considère les nombres complexes et définis par et . Déterminer les éventuelles valeurs de telles que :
1. soit un imaginaire pur. Calculer le cas échéant.
2. soit un imaginaire pur. Calculer le cas échéant.
3. et soient égaux. Calculer et le cas échéant.

Méthode

1. est imaginaire pur si, et seulement si, .
2. est réel si, et seulement si, .
3. On utilise que et on résout le système obtenu.
Solution
1. ou .
Si , alors et si , alors .
2. . Or ce trinôme a pour discriminant et donc le trinôme n'admet pas de racine réelle. Ainsi, il n'existe pas de valeur de pour laquelle est un réel.
3.


donc .
En effet, si alors .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 34

B
Opérations sur les nombres complexes

Propriétés
On a défini dans une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles que l'addition et la multiplication dans .
Quels que soient les réels , , , et , on a donc :
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4. .

Remarque

Pour tous nombres complexes et et pour tout réel , on a :  ;  ;
 ;
.
On parle de linéarité des parties réelle et imaginaire.
Exemples
1.
2.
3.
Propriétés
Pour tous nombres complexes , et , on a :
  • Commutativité : et .
  • Associativité : et .
  • Éléments neutres : , et .
  • Règles de calculs : et ou .

Remarque

Ces propriétés traduisent la commutativité et l'associativité de l'addition et de la multiplication, ainsi que la distributivité de la multiplication sur l'addition dans . L'égalité permet de définir avec .
Démonstration
On écrit , et avec , , , , et des réels.
Les démonstrations découlent de la définition et des propriétés de l'addition et de la multiplication dans .
Conséquences
Pour tous réels et , on a :
 ;  ; .

Remarque

De manière générale, et .
Démonstration
On développe comme dans en utilisant .
Binôme de Newton
Pour tous nombres complexes et et pour tout entier naturel , on a :
.

Remarque

Pour tout entier compris entre et , le coefficient a été défini dans le chapitre « Combinatoire et dénombrement » de mathématiques spécialité.
Démonstration
On démontre la formule du binôme de Newton par récurrence.
Voir exercice p. 37.
Exemples
  •  ;


  • .

Remarque

Dans ce chapitre, on utilise la convention .
Application et méthode - 2
Énoncé
On considère les nombres complexes  ; . Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : , et .
Solution
 ;

 ;

.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 34.

Méthode

  • Pour calculer , on utilise les identités remarquables.
  • Pour calculer et , on applique la formule du binôme de Newton valable pour tous complexes et et tout
    .

  • Pour trouver facilement les coefficients binomiaux, on peut utiliser le triangle de Pascal basé sur la propriété :
    .

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah

Premium activé


5
essais restants
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.