On admet que l'on peut construire un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$, contenant $\mathbb{R}$ et vérifiant les propriétés suivantes :
1. $\mathbb{C}$ est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles définies sur $\mathbb{R}$ et qui ont les mêmes propriétés algébriques (la distributivité, par exemple) ;
2. $\mathbb{C}$ contient un élément noté $\text{i}$ vérifiant ${\mathrm{i}}^2=-1$ ;
3. pour tout élément $z$ de $\mathbb{C}$, il existe un unique couple de réels $(a;b)$ tel que : $z=a+\mathrm{i}b$.

Il n'y a pas d'ordre dans l'ensemble $\mathbb{C}$. En particulier, un nombre complexe quelconque n'est ni positif, ni négatif.

L'écriture d'un nombre complexe $z$ sous la forme $z=a+\mathrm{i}b$ où $a$ et $b$ sont deux réels est appelée forme algébrique de $\mathbf{z}$.
Le nombre $a$ est appelé partie réelle de $\mathbf{z}$ et on note $a=\mathrm{Re}(z)$.
Le nombre $b$ est appelé partie imaginaire de $\mathbf{z}$ et on note $b=\mathrm{Im}(z)$.

Si $b=0$, alors $z=a$ est un réel. Si $a=0$, alors $z=\mathrm{i}b$ est un imaginaire pur.

On note $\mathrm{i}\mathbb{R}$ l'ensemble des imaginaires purs.

$3+2\mathrm{i}$ un nombre complexe avec $a=3$ et $b=2$.
Les nombres $-4$ ; $0$ et $2\mathrm{i}$ sont aussi des nombres complexes.

Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes.
1. $z=0\iff \mathrm{Re}(z)=0$ et $\mathrm{Im}(z)=0$.
2. $z=z^{\prime }\iff \mathrm{Re}(z)=\mathrm{Re}\left(z^{\prime }\right)$ et $\mathrm{Im}(z)=\mathrm{Im}\left(z^{\prime }\right)$.

Attention ! La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel.

La propriété 2. entraîne l'unicité de la forme algébrique pour un nombre complexe.

1. Soient $z\in \mathbb{C}$ et $a$ et $b$ les réels tels que $z=a+\mathrm{i}b$.
Si $z=0$, alors $a+\mathrm{i}b=0$.
On raisonne par l'absurde et on suppose que $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls.
Si $b=0$, l'égalité donne $a+0\times \mathrm{i}=0$ soit $a=0$, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Sinon, $b\ne 0$.
Alors $a+\mathrm{i}b=0\iff \mathrm{i}=-\frac{a}{b}$. Comme $a$ et $b$ sont des réels alors $-\frac{a}{b}\in \mathbb{R}$ et donc $\mathrm{i}\in \mathbb{R}$.
Ce qui est impossible puisque $\text{i}$ n'est pas un réel.
Par conséquent, $b=0$, ce qui entraîne $a=0$.
Réciproquement, si $a=b=0$ alors, $z=a+\mathrm{i}b=0+\mathrm{i}\times 0=0$. D'où l'équivalence.

2. Soient $z=a+\mathrm{i}b$ et $z^{\prime }=a^{\prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime }$ deux nombres complexes où $a$, $b$, $a^{\prime }$ et $b^{\prime }$ sont réels.
Alors $z=z^{\prime }\iff a+\mathrm{i}b=a^{\prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime }\iff \left(a-a^{\prime }\right)+\mathrm{i}\left(b-b^{\prime }\right)=0\iff \{\begin{array}{l}a-a^{\prime }=0\\ b-b^{\prime }=0\end{array}$ d'après 1.
Autrement dit, $a=a^{\prime }$ et $b=b^{\prime }$, d'où l'équivalence.

Soit $x$ un réel. On considère les nombres complexes $z$ et $z^{\prime }$ définis par $z=x^2-x-2+3\mathrm{i}x$ et $z^{\prime }=-2x+\mathrm{i}\left(x^2+x+1\right)$. Déterminer les éventuelles valeurs de $x$ telles que :
1. $z$ soit un imaginaire pur. Calculer $z$ le cas échéant.
2. $z^{\prime }$ soit un imaginaire pur. Calculer $z^{\prime }$ le cas échéant.
3. $z$ et $z^{\prime }$ soient égaux. Calculer $z$ et $z^{\prime }$ le cas échéant.

1. $z$ est imaginaire pur si, et seulement si, $\mathrm{Re}(z)=0$.
2. $z^{\prime }$ est réel si, et seulement si, $\mathrm{Im}\left(z^{\prime }\right)=0$.
3. On utilise que $z=z^{\prime }\iff \{\begin{array}{l}\mathrm{Re}(z)=\mathrm{Re}\left(z^{\prime }\right)\\ \mathrm{Im}(z)=\mathrm{Im}\left(z^{\prime }\right)\end{array}$ et on résout le système obtenu.

1. $z\in \mathrm{i}\mathbb{R}\iff \mathrm{Re}(z)=0\iff x^2-x-2=0\iff x=-1$ ou $x=2$.
Si $x=-1$, alors $z=-3\mathrm{i}$ et si $x=2$, alors $z=6\mathrm{i}$.
2. $z^{\prime }\in \mathbb{R}\iff \mathrm{Im}\left(z^{\prime }\right)=0\iff x^2+x+1=0$. Or ce trinôme a pour discriminant $\Delta =1^2-4\times 1\times 1=-3$ et $\Delta <0$ donc le trinôme n'admet pas de racine réelle. Ainsi, il n'existe pas de valeur de $x$ pour laquelle $z^{\prime }$ est un réel.
3. $z=z^{\prime }\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-x-2=-2x\\ x^2+x+1=3x\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{r}{x}^2+x-2=0\\ x^2-2x+1=0\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{rl}{x}^2+x-2& =0\\ (x-1{)}^2& =0\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}x=1\text{ ou }x=-2\\ x=1\end{array}$ donc $x=1$.
En effet, si $x=1$ alors $z=-2+3\mathrm{i}=z^{\prime }$.

Exercices

31

et

32

p. 34

On a défini dans $\mathbb{C}$ une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles que l'addition et la multiplication dans $\mathbb{R}$.
Quels que soient les réels $k$, $a$, $b$, $a^{\prime }$ et $b^{\prime }$, on a donc :
1. $(a+\mathrm{i}b)+\left(a^{\prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime }\right)=\left(a+a^{\prime }\right)+\mathrm{i}\left(b+b^{\prime }\right)$ ;
2. $(a+\mathrm{i}b)-\left(a^{\prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime }\right)=\left(a-a^{\prime }\right)+\mathrm{i}\left(b-b^{\prime }\right)$ ;
3. $k(a+\mathrm{i}b)=(ka)+\mathrm{i}(kb)$ ;
4. $(a+\mathrm{i}b)\left(a^{\prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime }\right)=\left(a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime }\right)+\mathrm{i}\left(a{b}^{\prime }+a^{\prime }b\right)$.

Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\prime }$ et pour tout réel $k$, on a : $\mathrm{Re}\left(z+z^{\prime }\right)=\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Re}\left(z^{\prime }\right)$ ; $\mathrm{Im}\left(z+z^{\prime }\right)=\mathrm{Im}(z)+\mathrm{Im}\left(z^{\prime }\right)$ ;
$\mathrm{Re}(kz)=k\mathrm{Re}(z)$ ;
$\mathrm{Im}(kz)=k\mathrm{Im}(z)$.
On parle de linéarité des parties réelle et imaginaire.

Pour tous nombres complexes $z$, $z^{\prime }$ et $z^{\prime \prime }$, on a :

• Commutativité : $z+z^{\prime }=z^{\prime }+z$ et $z{z}^{\prime }=z^{\prime }z$.
• Associativité : $\left(z+z^{\prime }\right)+z^{\prime \prime }=z+\left(z^{\prime }+z^{\prime \prime }\right)=z+z^{\prime }+z^{\prime \prime }$ et $\left(z{z}^{\prime }\right)\times z^{\prime \prime }=z\times \left(z^{\prime }{z}^{\prime \prime }\right)=z{z}^{\prime }{z}^{\prime \prime }$.
• Éléments neutres : $z+0=z$, $z+(-z)=0$ et $z\times 1=z$.
• Règles de calculs : $z\left(z^{\prime }+z^{\prime \prime }\right)=z{z}^{\prime }+z{z}^{\prime \prime }$ et $z{z}^{\prime }=0\iff z=0$ ou $z^{\prime }=0$.

Ces propriétés traduisent la commutativité et l'associativité de l'addition et de la multiplication, ainsi que la distributivité de la multiplication sur l'addition dans $\mathbb{C}$. L'égalité $z{z}^{\prime }=z^{\prime }z$ permet de définir $z^n$ avec $n\in \mathbb{N}$.

Pour tous réels $a$ et $b$, on a :
$(a+\mathrm{i}b{)}^2=a^2-b^2+2\mathrm{i}ab$ ; $(a-\mathrm{i}b{)}^2=a^2-b^2-2\mathrm{i}ab$ ; $(a+\mathrm{i}b)(a-\mathrm{i}b)=a^2+b^2$.

De manière générale, $\mathrm{Re}\left(z^2\right)\ne (\mathrm{Re}(z){)}^2$ et $\mathrm{Im}\left(z^2\right)\ne (\mathrm{Im}(z){)}^2$.

Pour tous nombres complexes $u$ et $v$ et pour tout entier naturel $n$, on a :

Pour tout entier $\text{k}$ compris entre $0$ et $n$, le coefficient $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)$ a été défini dans le chapitre « Combinatoire et dénombrement » de mathématiques spécialité.

On démontre la formule du binôme de Newton par récurrence.
Voir exercice

68

p. 37.

• $(2+\mathrm{i}{)}^3=\left(\begin{array}{l}3\\ 0\end{array}\right)2^3{\mathrm{i}}^0+\left(\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right)2^2{\mathrm{i}}^1+\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)2^1{\mathrm{i}}^2+\left(\begin{array}{l}3\\ 3\end{array}\right)2^0{\mathrm{i}}^3=8+12\mathrm{i}-6-\mathrm{i}=2+11\mathrm{i}$ ;


• $(1-\mathrm{i}{)}^5=\left(\begin{array}{l}5\\ 0\end{array}\right)1^5{\mathrm{i}}^0-\left(\begin{array}{l}5\\ 1\end{array}\right)1^4{\mathrm{i}}^1+\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)1^3{\mathrm{i}}^2-\left(\begin{array}{l}5\\ 3\end{array}\right)1^2{\mathrm{i}}^3+\left(\begin{array}{l}5\\ 4\end{array}\right)1^1{\mathrm{i}}^4-\left(\begin{array}{l}5\\ 5\end{array}\right)1^0{\mathrm{i}}^5$
  $=1-5\mathrm{i}-10+10\mathrm{i}+5-\mathrm{i}=-4+4\mathrm{i}$.

Dans ce chapitre, on utilise la convention $0^0=1$.

On considère les nombres complexes $z_1=1+\mathrm{i}$ ; $z_2=2-3\mathrm{i}$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : $z=z_1^2+z_2^2$, $z^{\prime }=z_1^5$ et $z^{\prime \prime }=z_2^4$.

$z=(1+\mathrm{i}{)}^2+(2-3\mathrm{i}{)}^2=1-1+2\mathrm{i}+4-9-12\mathrm{i}=-5-10\mathrm{i}$ ;

$z^{\prime }=(1+\mathrm{i}{)}^5=1+5\mathrm{i}+10{\mathrm{i}}^2+10{\mathrm{i}}^3+5{\mathrm{i}}^4+{\mathrm{i}}^5=1+5\mathrm{i}-10-10\mathrm{i}+5+\mathrm{i}=-4-4\mathrm{i}$ ;

$z^{\prime \prime }=(2-3\mathrm{i}{)}^4=2^4-4\times 2^3\times 3\mathrm{i}+6\times 2^2\times (3\mathrm{i}{)}^2-4\times 2\times (3\mathrm{i}{)}^3+(3\mathrm{i}{)}^4=16-96\mathrm{i}-216+216\mathrm{i}+81=-119+120\mathrm{i}$.

Exercices

29

et

30

p. 34.

• Pour calculer $z$, on utilise les identités remarquables.
• Pour calculer $z^{\prime }$ et $z^{\prime \prime }$, on applique la formule du binôme de Newton valable pour tous complexes $u$ et $v$ et tout $n\in \mathbb{N}:$
  $(u+v{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)u^{n-k}{v}^k$.
  
  
• Pour trouver facilement les coefficients binomiaux, on peut utiliser le triangle de Pascal basé sur la propriété :
  $\left(\begin{array}{c}k+1\\ p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}k\\ p-1\end{array}\right)$.