L'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes

On admet que l'on peut construire un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté \mathbb{C}, contenant \mathbb{R} et vérifiant les propriétés suivantes :
1. \mathbb{C} est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles définies sur \mathbb{R} et qui ont les mêmes propriétés algébriques (la distributivité, par exemple) ;
2. \mathbb{C} contient un élément noté \text{i} vérifiant \mathrm{i}^{2}=-1 ;
3. pour tout élément z de \mathbb{C}, il existe un unique couple de réels (a\,; b) tel que : z=a+\mathrm{i} b.

Il n'y a pas d'ordre dans l'ensemble \mathbb{C}. En particulier, un nombre complexe quelconque n'est ni positif, ni négatif.

L'écriture d'un nombre complexe z sous la forme z=a+\mathrm{i} b où a et b sont deux réels est appelée forme algébrique de \boldsymbol{z}.
Le nombre a est appelé partie réelle de \boldsymbol{z} et on note a=\operatorname{Re}(z).
Le nombre b est appelé partie imaginaire de \boldsymbol{z} et on note b=\operatorname{Im}(z).

Si b = 0, alors z = a est un réel. Si a = 0, alors z = \mathrm{i}b est un imaginaire pur.

3+2 \mathrm{i} un nombre complexe avec a = 3 et b = 2.
Les nombres -4 ; 0 et 2\mathrm{i} sont aussi des nombres complexes.

On note \mathrm{i}\mathbb{R} l'ensemble des imaginaires purs.

Soient z et z^\prime deux nombres complexes.
1. z=0 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z)=0 et \operatorname{Im}(z)=0.
2. z=z^{\prime} \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) et \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right).

Attention ! La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel.

La propriété 2. entraîne l'unicité de la forme algébrique pour un nombre complexe.

1. Soient z \in \mathbb{C} et a et b les réels tels que z=a+\mathrm{i} b.
Si z = 0, alors a+\mathrm{i} b=0.
On raisonne par l'absurde et on suppose que a et b ne sont pas tous les deux nuls.
Si b = 0, l'égalité donne a+0 \times\mathrm{i}=0 soit a = 0, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Sinon, b \neq 0.
Alors a+\mathrm{i} b=0 \Leftrightarrow \mathrm{i}=-\frac{a}{b}. Comme a et b sont des réels alors -\frac{a}{b} \in \mathbb{R} et donc \mathrm{i} \in \mathbb{R}.
Ce qui est impossible puisque \text{i} n'est pas un réel.
Par conséquent, b = 0, ce qui entraîne a = 0.
Réciproquement, si a = b = 0 alors, z=a+\mathrm{i} b=0+\mathrm{i} \times 0=0. D'où l'équivalence.

2. Soient z=a+\mathrm{i} b et z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} deux nombres complexes où a, b, a^\prime et b^\prime sont réels.
Alors z=z^{\prime} \Leftrightarrow a+\mathrm{i} b=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} \Leftrightarrow\left(a-a^{\prime}\right)+\mathrm{i}\left(b-b^{\prime}\right)=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a-a^{\prime}=0 \\ b-b^{\prime}=0\end{array}\right. d'après 1.
Autrement dit, a = a^{\prime} et b = b^{\prime}, d'où l'équivalence.

Soit x un réel. On considère les nombres complexes z et z^\prime définis par z=x^{2}-x-2+3 \mathrm{i} x et z^{\prime}=-2 x+\mathrm{i}\left(x^{2}+x+1\right). Déterminer les éventuelles valeurs de x telles que :
1. z soit un imaginaire pur. Calculer z le cas échéant.
2. z^\prime soit un réel. Calculer z^\prime le cas échéant.
3. z et z^\prime soient égaux. Calculer z et z^\prime le cas échéant.

1. z est imaginaire pur si, et seulement si, \operatorname{Re}(z)=0.
2. z^\prime est réel si, et seulement si, \operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)=0.
3. On utilise que z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right. et on résout le système obtenu.

1. z \in \mathrm{i} \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z)=0 \Leftrightarrow x^{2}-x-2=0 \Leftrightarrow x=-1 ou x = 2.
Si x = -1, alors z = -3\mathrm{i} et si x = 2, alors z = 6\mathrm{i}.
2. z^{\prime} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)=0 \Leftrightarrow x^{2}+x+1=0. Or ce trinôme a pour discriminant \Delta=1^{2}-4 \times 1 \times 1=-3 et \Delta\lt0 donc le trinôme n'admet pas de racine réelle. Ainsi, il n'existe pas de valeur de x pour laquelle z^{\prime} est un réel.
3. z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^{2}-x-2=-2 x \\ x^{2}+x+1=3 x\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{r}x^{2}+x-2=0 \\ x^{2}-2 x+1=0\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} x^{2}+x-2 &=0 \\(x-1)^{2} &=0 \end{aligned}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1 \text { ou } x=-2 \\ x=1\end{array}\right. donc x = 1.
En effet, si x = 1 alors z=-2+3 \mathrm{i}=z^{\prime}.

Exercices

31

et

32

p. 34

On a défini dans \mathbb{C} une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles que l'addition et la multiplication dans \mathbb{R}.
Quels que soient les réels k, a, b, a^\prime et b^\prime, on a donc :
1. (a+\mathrm{i} b)+\left(a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}\right)=\left(a+a^{\prime}\right)+\mathrm{i}\left(b+b^{\prime}\right) ;
2. (a+\mathrm{i} b)-\left(a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}\right)=\left(a-a^{\prime}\right)+\mathrm{i}\left(b-b^{\prime}\right) ;
3. k(a+\mathrm{i} b)=(k a)+\mathrm{i}(k b) ;
4. (a+\mathrm{i} b)\left(a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}\right)=\left(a a^{\prime}-b b^{\prime}\right)+\mathrm{i}\left(a b^{\prime}+a^{\prime} b\right).

Pour tous nombres complexes z et z^\prime et pour tout réel k, on a : \operatorname{Re}\left(z+z^{\prime}\right) =\operatorname{Re}(z)+\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) ; \operatorname{Im}\left(z+z^{\prime}\right)=\operatorname{Im}(z)+\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right) ;
\operatorname{Re}(k z)=k \operatorname{Re}(z) ;
\operatorname{Im}(k z)=k \operatorname{Im}(z).
On parle de linéarité des parties réelle et imaginaire.

Pour tous nombres complexes z, z^\prime et z^{\prime\prime}, on a :

• Commutativité : z+z^{\prime}=z^{\prime}+z et z z^{\prime}=z^{\prime} z.
• Associativité : \left(z+z^{\prime}\right)+z^{\prime \prime}=z+\left(z^{\prime}+z^{\prime \prime}\right)=z+z^{\prime}+z^{\prime \prime} et \left(z z^{\prime}\right) \times z^{\prime \prime}=z \times\left(z^{\prime} z^{\prime \prime}\right)=z z^{\prime} z^{\prime \prime}.
• Éléments neutres : z+0=z, z+(-z)=0 et z \times 1=z.
• Règles de calculs : z\left(z^{\prime}+z^{\prime \prime}\right)=z z^{\prime}+z z^{\prime \prime} et z z^{\prime}=0 \Leftrightarrow z=0 ou z^{\prime}=0.

Ces propriétés traduisent la commutativité et l'associativité de l'addition et de la multiplication, ainsi que la distributivité de la multiplication sur l'addition dans \mathbb{C}. L'égalité z z^{\prime}=z^{\prime} z permet de définir z^n avec n \in \mathbb{N}.

Pour tous réels a et b, on a :
(a+\mathrm{i} b)^{2}=a^{2}-b^{2}+2 \mathrm{i} a b ; (a-\mathrm{i} b)^{2}=a^{2}-b^{2}-2 \mathrm{i} a b ; (a+\mathrm{i} b)(a-\mathrm{i} b)=a^{2}+b^{2}.

De manière générale, \operatorname{Re}\left(z^{2}\right) \neq(\operatorname{Re}(z))^{2} et \operatorname{Im}\left(z^{2}\right) \neq(\operatorname{Im}(z))^{2}.

Pour tous nombres complexes u et v et pour tout entier naturel n, on a :

Pour tout entier \text{k} compris entre 0 et n, le coefficient \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) a été défini dans le chapitre « Combinatoire et dénombrement » de mathématiques spécialité.

On démontre la formule du binôme de Newton par récurrence.
Voir exercice

68

p. 37.

Dans ce chapitre, on utilise la convention 0^0=1.

• (2+\mathrm{i})^{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0\end{array}\right) 2^{3} \mathrm{i}^{0}+\left(\begin{array}{l}3 \\ 1\end{array}\right) 2^{2} \mathrm{i}^{1}+\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right) 2^{1} \mathrm{i}^{2}+\left(\begin{array}{l}3 \\ 3\end{array}\right) 2^{0} \mathrm{i}^{3}=8+12 \mathrm{i}-6-\mathrm{i}=2+11 \mathrm{i} ;


• (1-\mathrm{i})^{5}=\left(\begin{array}{l}5 \\ 0\end{array}\right) 1^{5} \mathrm{i}^{0}-\left(\begin{array}{l}5 \\ 1\end{array}\right) 1^{4} \mathrm{i}^{1}+\left(\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right) 1^{3} \mathrm{i}^{2}-\left(\begin{array}{l}5 \\ 3\end{array}\right) 1^{2} \mathrm{i}^{3}+\left(\begin{array}{l}5 \\ 4\end{array}\right) 1^{1} \mathrm{i}^{4}-\left(\begin{array}{l}5 \\ 5\end{array}\right) 1^{0} \mathrm{i}^{5}
  =1-5 \mathrm{i}-10+10 \mathrm{i}+5-\mathrm{i}=-4+4 \mathrm{i}.

On considère les nombres complexes z_{1}=1+\mathrm{i} ; z_{2}=2-3 \mathrm{i}. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : z=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}, z^{\prime}=z_{1}^{5} et z^{\prime \prime}=z_{2}^{4}.

• Pour calculer z, on utilise les identités remarquables.
• Pour calculer z^\prime et z^{\prime\prime}, on applique la formule du binôme de Newton valable pour tous complexes u et v et tout n \in \mathbb{N}:
  (u+v)^{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) u^{n-k} v^{k}.
  
  
• Pour trouver facilement les coefficients binomiaux, on peut utiliser le triangle de Pascal basé sur la propriété :
  \left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}k \\ p-1\end{array}\right).

z=(1+\mathrm{i})^{2}+(2-3 \mathrm{i})^{2}=1-1+2 \mathrm{i}+4-9-12 \mathrm{i}=-5-10 \mathrm{i} ;

z^{\prime}=(1+\mathrm{i})^{5}=1+5 \mathrm{i}+10 \mathrm{i}^{2}+10 \mathrm{i}^{3}+5 \mathrm{i}^{4}+\mathrm{i}^{5}=1+5 \mathrm{i}-10-10 \mathrm{i}+5+\mathrm{i}=-4-4 \mathrm{i} ;

z^{\prime \prime}=(2-3 \mathrm{i})^{4}=2^{4}-4 \times 2^{3} \times 3 \mathrm{i}+6 \times 2^{2} \times(3 \mathrm{i})^{2}-4 \times 2 \times(3 \mathrm{i})^{3}+(3 \mathrm{i})^{4}=16-96 \mathrm{i}-216+216 \mathrm{i}+81=-119+120 \mathrm{i}.

Exercices

29

et

30

p. 34.