On admet que l’on peut construire un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté C, contenant R et vérifiant les propriétés suivantes :
1.C est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles définies sur R et qui ont les mêmes propriétés algébriques (la distributivité, par exemple) ;
2.C contient un élément noté i vérifiant i2=−1 ;
3. pour tout élément z de C, il existe un unique couple de réels (a;b) tel que : z=a+ib.
Remarques
Il n’y a pas d’ordre dans l’ensemble C. En particulier, un nombre complexe quelconque n’est ni positif, ni négatif.
Remarque
Si b=0, alors z=a est un réel.
Si a=0, alors z=ib est un imaginaire pur.
Définitions
L’écriture d’un nombre complexe z sous la forme z=a+ib où a et b sont deux réels est appelée forme algébrique de z.
Le nombre a est appelé partie réelle de z et on note a=Re(z).
Le nombre b est appelé partie imaginaire de z et on note b=Im(z).
NOTATIONS
On note iR
l’ensemble des
imaginaires purs.
Exemple
3+2i un nombre complexe avec a=3 et b=2.
Les nombres −4 ; 0 et 2i sont aussi des nombres complexes.
Remarque
Attention ! La partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel.
Propriétés
Soient z et z′ deux nombres complexes.
1.z=0⇔Re(z)=0 et Im(z)=0.
2.z=z′⇔Re(z)=Re(z′) et Im(z)=Im(z′).
Remarque
La propriété 2. entraîne l’unicité de la forme algébrique pour un nombre complexe.
DÉMONSTRATION
1. Soient z∈C et a et b les réels tels que z=a+ib.
Si z=0, alors a+ib=0.
On raisonne par l’absurde et on suppose que a et b ne sont pas tous les deux nuls.
Si b=0, l’égalité donne a+0×i=0 soit a=0, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Sinon, b=0.
Alors a+ib=0⇔i=−ba. Comme a et b sont des réels alors −ba∈R et donc i∈R.
Ce qui est impossible puisque i n’est pas un réel.
Par conséquent, b=0, ce qui entraîne a=0.
Réciproquement, si a=b=0 alors, z=a+ib=0+i×0=0. D’où l’équivalence.
2. Soient z=a+ib et z′=a′+ib′ deux nombres complexes où a, b, a′ et b′ sont réels.
Alors z=z′⇔a+ib=a′+ib′⇔(a−a′)+i(b−b′)=0⇔{a−a′=0b−b′=0 d’après 1.
Autrement dit, a=a′ et b=b′, d’où l’équivalence.
Remarque
La différence de deux nombres complexes est définie dans la partie B.
Application et méthode - 1
Énoncé
Soit x un réel. On considère les nombres complexes z et z′ définis par z=x2−x−2+3ix et z′=−2x+i(x2+x+1).
Déterminer les éventuelles valeurs de x telles que : 1.z soit un imaginaire pur. Calculer z le cas échéant.
2.z′ soit un imaginaire pur. Calculer z′ le cas échéant.
3.z et z′ soient égaux. Calculer z et z′ le cas échéant.
Solution
1.z∈iR⇔Re(z)=0⇔x2−x−2=0⇔x=−1 ou x=2.
Si x=−1, alors z=−3i et si x=2, alors z=6i.
2.z′∈R⇔Im(z′)=0⇔x2+x+1=0. Or ce trinôme a pour discriminant Δ=12−4×1×1=−3 et Δ<0 donc le trinôme n’admet pas de racine réelle. Ainsi, il n’existe pas de valeur de x pour laquelle z′ est un réel.
3.z=z′⇔{x2−x−2=−2xx2+x+1=3x ⇔{x2+x−2=0x2−2x+1=0 ⇔{x2+x−2(x−1)2=0=0 ⇔{x=1 ou x=−2x=1 donc x=1.
En effet, si x=1 alors z=−2+3i=z′.
1.z est imaginaire pur si, et seulement si, Re(z)=0.
2.z′ est réel si, et seulement si, Im(z′)=0.
3. On utilise que z=z′⇔{Re(z)=Re(z′)Im(z)=Im(z′) et on
résout le système obtenu.
B
Opérations sur les nombres complexes
Propriétés
On a défini dans C une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles que l’addition et la multiplication dans R.
Quels que soient les réels k, a, b, a′ et b′, on a donc :
1.(a+ib)+(a′+ib′)=(a+a′)+i(b+b′) ;
2.(a+ib)−(a′+ib′)=(a−a′)+i(b−b′) ;
3.k(a+ib)=(ka)+i(kb) ;
4.(a+ib)(a′+ib′)=(aa′−bb′)+i(ab′+a′b).
Remarque
Pour tous nombres complexes z et z′ et pour tout réel k, on a : Re(z+z′)=Re(z)+Re(z′) ; Im(z+z′)=Im(z)+Im(z′) ; Re(kz)=kRe(z) ; Im(kz)=kIm(z).
On parle de linéarité des parties réelle et imaginaire.
Associativité :(z+z′)+z′′=z+(z′+z′′)=z+z′+z′′ et (zz′)×z′′=z×(z′z′′)=zz′z′′.
Éléments neutres :z+0=z, z+(−z)=0 et z×1=z.
Règles de calculs :z(z′+z′′)=zz′+zz′′ et zz′=0⇔z=0 ou z′=0.
Remarque
Ces propriétés traduisent la commutativité et l’associativité de l’addition et de la multiplication, ainsi que la distributivité de la multiplication sur l’addition dans C.
L’égalité zz′=z′z permet de définir zn avec n∈N.
DÉMONSTRATION
On écrit z=a+ib, z′=a′+ib′ et z′′=a′′+ib′′ avec a, b, a′, b′, a′′ et b′′ des réels.
Les démonstrations découlent de la définition et des propriétés de l’addition et de la multiplication dans R.
Conséquences
Pour tous réels a et b, on a : (a+ib)2=a2−b2+2iab ;
(a−ib)2=a2−b2−2iab ;
(a+ib)(a−ib)=a2+b2.
Remarque
De manière générale, Re(z2)=(Re(z))2 et Im(z2)=(Im(z))2.
DÉMONSTRATION
On développe comme dans R en utilisant i2=−1.
Binôme de Newton
Pour tous nombres complexes u et v et pour tout entier naturel n, on a :
(u+v)n=k=0∑n(nk)un−kvk.
Remarque
Pour tout entier k compris entre 0 et n, le coefficient (nk) a été défini dans le chapitre « Combinatoire
et dénombrement » de mathématiques spécialité.
DÉMONSTRATION
On démontre la formule du binôme de Newton par récurrence.
Voir exercice
On considère les nombres complexes z1=1+i ; z2=2−3i.
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : z=z12+z22, z′=z15 et z′′=z24.
Pour calculer z, on utilise les identités remarquables.
Pour calculer z′ et z′′, on applique la formule du binôme de Newton valable pour tous complexes u et v et tout n∈N:
(u+v)n=k=0∑n(nk)un−kvk.
Pour trouver facilement les coefficients binomiaux, on peut utiliser le triangle de Pascal basé sur la propriété :
(k+1p)=(kp)+(kp−1).
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