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1. L’ensemble C des nombres complexes
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COURS 1


1
L’ensemble des nombres complexes




A
Définitions et propriétés


Définition

On admet que l’on peut construire un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté , contenant et vérifiant les propriétés suivantes :
1. est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles définies sur et qui ont les mêmes propriétés algébriques (la distributivité, par exemple) ;
2. contient un élément noté vérifiant  ;
3. pour tout élément de , il existe un unique couple de réels tel que : .

Remarques

Il n’y a pas d’ordre dans l’ensemble . En particulier, un nombre complexe quelconque n’est ni positif, ni négatif.

Remarque

Si , alors est un réel.
Si , alors est un imaginaire pur.

Définitions

L’écriture d’un nombre complexe sous la forme et sont deux réels est appelée forme algébrique de .
Le nombre est appelé partie réelle de et on note .
Le nombre est appelé partie imaginaire de et on note .

NOTATIONS

On note l’ensemble des imaginaires purs.

Exemple

un nombre complexe avec et .
Les nombres  ; et sont aussi des nombres complexes.

Remarque

Attention ! La partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel.

Propriétés

Soient et deux nombres complexes.
1. et .
2. et .

Remarque

La propriété 2. entraîne l’unicité de la forme algébrique pour un nombre complexe.

DÉMONSTRATION

1. Soient et et les réels tels que .
Si , alors .
On raisonne par l’absurde et on suppose que et ne sont pas tous les deux nuls.
Si , l’égalité donne soit , ce qui est contraire à notre hypothèse.
Sinon, .
Alors . Comme et sont des réels alors et donc .
Ce qui est impossible puisque n’est pas un réel.
Par conséquent, , ce qui entraîne .
Réciproquement, si alors, . D’où l’équivalence.

2. Soient et deux nombres complexes où , , et sont réels.
Alors d’après 1.
Autrement dit, et , d’où l’équivalence.

Remarque

La différence de deux nombres complexes est définie dans la partie B.

Application et méthode - 1

Énoncé

Soit un réel. On considère les nombres complexes et définis par et .
Déterminer les éventuelles valeurs de telles que :
1. soit un imaginaire pur. Calculer le cas échéant.
2. soit un imaginaire pur. Calculer le cas échéant.
3. et soient égaux. Calculer et le cas échéant.

Solution


1. ou .
Si , alors et si , alors .
2. . Or ce trinôme a pour discriminant et donc le trinôme n’admet pas de racine réelle. Ainsi, il n’existe pas de valeur de pour laquelle est un réel.
3.


donc .
En effet, si alors .

Pour s'entraîner : exercices 31 et 32 p. 34

Méthode

1. est imaginaire pur si, et seulement si, .
2. est réel si, et seulement si, .
3. On utilise que et on résout le système obtenu.

B
Opérations sur les nombres complexes


Propriétés

On a défini dans une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles que l’addition et la multiplication dans .
Quels que soient les réels , , , et , on a donc :
1.  ;
2.  ;
3.  ;
4. .

Remarque

Pour tous nombres complexes et et pour tout réel , on a :  ;
 ;
 ;
.
On parle de linéarité des parties réelle et imaginaire.

Exemples

1.
2.
3.

Propriétés

Pour tous nombres complexes , et , on a :
  • Commutativité : et .
  • Associativité : et .
  • Éléments neutres : , et .
  • Règles de calculs : et ou .

Remarque

Ces propriétés traduisent la commutativité et l’associativité de l’addition et de la multiplication, ainsi que la distributivité de la multiplication sur l’addition dans . L’égalité permet de définir avec .

DÉMONSTRATION

On écrit , et avec , , , , et des réels.
Les démonstrations découlent de la définition et des propriétés de l’addition et de la multiplication dans .

Conséquences

Pour tous réels et , on a :
 ;  ; .

Remarque

De manière générale, et .

DÉMONSTRATION

On développe comme dans en utilisant .

Binôme de Newton

Pour tous nombres complexes et et pour tout entier naturel , on a :
.

Remarque

Pour tout entier compris entre et , le coefficient a été défini dans le chapitre « Combinatoire et dénombrement » de mathématiques spécialité.

DÉMONSTRATION

On démontre la formule du binôme de Newton par récurrence.
Voir exercice
68
p. 37
.

Exemples

  •  ;


  • .

Remarque

Dans ce chapitre, on utilise la convention .

Application et méthode - 2

Énoncé

On considère les nombres complexes  ; .
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : , et .

Solution


 ;

 ;

.

Pour s'entraîner : exercices 29 et 30 p. 34

Méthode

  • Pour calculer , on utilise les identités remarquables.
  • Pour calculer et , on applique la formule du binôme de Newton valable pour tous complexes et et tout
    .

    Pour trouver facilement les coefficients binomiaux, on peut utiliser le triangle de Pascal basé sur la propriété :
    .

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