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P.18-19

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A
Introduction aux nombres complexes : équation de Bombelli



Objectif
On souhaite utiliser une formule permettant de déterminer une solution de l’équation , appelée équation de Bombelli.


MAT.T.1.Act.livre_bombelli_retoucheok

Couverture de L’Algebra de Rafael Bombelli
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Partie A : Résolution graphique

1
À l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra, conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l’équation .

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2
Déterminer graphiquement la solution entière obtenue et vérifier ce résultat par le calcul.


Partie B : Résolution algébrique

1
On s’intéresse au cas général.
Soient et deux nombres réels et l’équation (appelée équation de Cardan).

a) Pour cette question uniquement, on pose .
Résoudre dans l’équation en fonction de .


Aide
Factoriser l’expression et utiliser la propriété ou .


b) On reprend le cas général.
Déterminer les limites en et en de la fonction définie sur par .


c) En déduire que l’équation de Cardan admet au moins une solution réelle.


2
Cardan a démontré que lorsque , toute équation de la forme admet au moins une solution réelle de la forme :
.

a) Dans le cas de l’équation , quelles sont les valeurs de et  ?
Quel problème survient lors de l’application de la formule de Cardan ?


b) Pour résoudre cette équation, Bombelli a imaginé un nombre qui n’est ni un nombre positif, ni un nombre négatif, mais dont le carré est égal à . Il le nomma « plus de moins » (en italien più di meno). On le note provisoirement . On a ainsi, .
Exprimer la solution obtenue dans la question précédente en fonction de .


c) Après avoir développé puis , déterminer une solution entière de l’équation de Bombelli.


Aide
Développer en utilisant .
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Bilan

En calculant de deux manières différentes et en utilisant les propriétés usuelles de calcul, justifier que cette écriture conduit à une absurdité.
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Histoire des maths

Raffaele Bombelli (1526‑1573) et Girolamo Cardano (1501‑1576), mathématiciens italiens de la Renaissance, se sont risqués à percer le « mystère et les secrets des équations du troisième degré ».
Bien des notations ont été proposées pour la quantité « imaginaire » . Euler décidera en 1777 d’introduire pour lui‑même le symbole (comme imaginaire) et donc d’écrire . En 1831, Gauss reprendra la notation pour conforter son idée d’en faire des « nombres complexes » et Cauchy fera plus tard de même.

B
Résolution dans d’une équation du second degré à coefficients réels



Objectif
On souhaite déterminer les racines dans du polynôme défini, pour tout , par .

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1
Le polynôme admet‑il des racines réelles ? Justifier.


2
a)
Justifier que l’on peut écrire, pour tout nombre complexe , .


b) Calculer et en déduire une factorisation dans du polynôme en produit de polynômes du premier degré.


Aide
On utilise l’identité remarquable valable pour tous complexes et .


c) Déterminer dans les racines du polynôme .
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Bilan

1. Pour trois réels , et avec , déterminer une méthode de résolution des équations de la forme pour lesquelles le discriminant est strictement négatif.


2. Que peut‑on en conclure pour les équations du second degré à coefficients réels dans  ?
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C
Équation polynomiale de degré 4



Objectif
Factoriser dans un polynôme de degré .

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Notons le polynôme défini, pour tout , par .
Pour atteindre l’objectif de cette activité, il faut d’abord déterminer les racines de .

1
a)
Vérifier que est une racine de .


b) Justifier qu’il existe un polynôme de degré tel que, pour tout , .


c) Vérifier que, pour tout , on a .


2
Montrer que si le nombre complexe est une racine de , alors son conjugué est aussi une racine de .


Aide
On suppose que et on calcule en utilisant les propriétés du conjugué.


3
a)
À l’aide de la calculatrice, déterminer un entier tel que .


b) Déterminer le polynôme de degré tel que, pour tout , .


Aide
On pourra écrire sous la forme puis développer et procéder à une identification des coefficients.


4
a)
Déterminer les racines de puis factoriser ce polynôme.


b) En déduire une factorisation de uniquement en produit de polynômes de degré .
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Bilan

Dans , un polynôme de degré non nul peut toujours être factorisé en produit de facteurs de degré . Conjecturer le nombre de facteurs d’un tel polynôme . Quel est le nombre maximal de racines distinctes que peut avoir  ?
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