Mathématiques Expertes Terminale
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Mes Pages
Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Activités
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
AIntroduction aux nombres complexes : équation de Bombelli
Objectif : On souhaite utiliser une formule permettant de déterminer une solution de l'équation (1): x^{3}-15 x-4=0, appelée équation de Bombelli.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Partie A : Résolution graphique
1
À l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra, conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l'équation (1).
GeoGebra
2
Déterminer graphiquement la solution entière obtenue et vérifier ce résultat par le calcul.1
On s'intéresse au cas général.Soient p et q deux nombres réels et l'équation (2): x^{3}+p x+q=0 (appelée équation de Cardan).
a) Pour cette question uniquement, on pose q = 0.
Résoudre dans \mathbb{R} l'équation x^{3}+p x=0 en fonction de p.
Aide
Factoriser l'expression x^{3}+p x et utiliser la propriété \mathrm{A} \times \mathrm{B}=0 \Leftrightarrow \mathrm{A}=0 ou \mathrm{B}=0.
b) On reprend le cas général.
Déterminer les limites en +\infty et en -\infty de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{3}+p x+q.
c) En déduire que l'équation de Cardan admet au moins une solution réelle.
2
Cardan a démontré que lorsque \frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27} \geqslant 0, toute équation de la forme x^{3}+p x+q=0 admet au moins une solution réelle de la forme :
x_{0}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}.
a) Dans le cas de l'équation (1), quelles sont les valeurs de p et q ?
Quel problème survient lors de l'application de la formule de Cardan ?
b) Pour résoudre cette équation, Bombelli a imaginé un nombre qui n'est ni un nombre positif, ni un nombre négatif, mais dont le carré est égal à -1. Il le nomma « plus de moins » (en italien più di meno). On le note provisoirement \sqrt {-1}. On a ainsi, (\sqrt{-1})^{2}=-1.
Exprimer la solution x_0 obtenue dans la question précédente en fonction de \sqrt {-1}.
c) Après avoir développé (2-\sqrt{-1})^{3} puis (2+\sqrt{-1})^{3}, déterminer une solution entière de l'équation de Bombelli.
Aide
Développer en
utilisant (\sqrt{-1})^{2}=-1.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Bilan
En calculant \boldsymbol{(\sqrt{-1})^{2} } de deux manières différentes et en utilisant les propriétés usuelles de calcul, justifier que cette écriture conduit à une absurdité.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Raffaele Bombelli (1526‑1573) et Girolamo Cardano (1501‑1576), mathématiciens italiens de la Renaissance, se sont risqués à percer le « mystère et les secrets des équations du troisième degré ».
Bien des notations ont été proposées pour la quantité « imaginaire » \sqrt {-1}. Euler décidera en 1777 d'introduire pour lui‑même le symbole \text{i} (comme imaginaire) et donc d'écrire \mathrm{i} \times \mathrm{i}=-1. En 1831, Gauss reprendra la notation pour conforter son idée d'en faire des « nombres complexes » et Cauchy fera plus tard de même.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
BRésolution dans \boldsymbol{\mathbb{C}} d'une équation du second degré à coefficients réels
Objectif : On souhaite déterminer les racines dans \mathbb{C} du polynôme \text{P} défini, pour tout z \in \mathbb{C}, par \mathrm{P}(z)=z^{2}-4 z+13.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1
Le polynôme \text{P} admet‑il des racines réelles ? Justifier.
2
a) Justifier que l'on peut écrire, pour tout nombre complexe z, \mathrm{P}(z)=(z-2)^{2}+9.b) Calculer (3 \mathrm{i})^{2} et en déduire une factorisation dans \mathbb{C} du polynôme \text{P} en produit de polynômes du premier degré.
Aide
On utilise l'identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) valable pour tous complexes a et b.
c) Déterminer dans \mathbb{C} les racines du polynôme \text{P}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Bilan
1. Pour trois réels \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} et \boldsymbol{c} avec \boldsymbol{a \neq 0}, déterminer une méthode de résolution des équations de la forme \boldsymbol{a z^{2}+b z+c=0} pour lesquelles le discriminant \boldsymbol{\mathrm{\Delta}} est strictement négatif.
2. Que peut‑on en conclure pour les équations du second degré à coefficients réels dans \boldsymbol{\mathbb{C}} ?
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
CÉquation polynomiale de degré 4
Objectif : Factoriser dans \mathbb{C} un polynôme de degré n.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Notons \text{P} le polynôme défini, pour tout z \in \mathbb{C}, par \mathrm{P}(z)=z^{4}-3 z^{3}-9 z^{2}+63 z-52.
Pour atteindre l'objectif de cette activité, il faut d'abord déterminer les racines de \text{P}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1
a) Vérifier que 1 est une racine de \text{P}.b) Justifier qu'il existe un polynôme \text{Q} de degré 3 tel que, pour tout z \in \mathbb{C}, \mathrm{P}(z)=(z-1) \mathrm{Q}(z).
c) Vérifier que, pour tout z \in \mathbb{C}, on a \mathrm{Q}(z)=z^{3}-2 z^{2}-11 z+52.
2
Montrer que si le nombre complexe \alpha est une racine de \text{Q}, alors son conjugué \overline \alpha est aussi une racine de \text{Q}.Aide
On suppose que \mathrm{Q}(\alpha)=0 et on calcule \mathrm{Q}(\overline \alpha) en utilisant les propriétés du conjugué.
3
a) À l'aide de la calculatrice, déterminer un entier k tel que \mathrm{Q}(k)=0.b) Déterminer le polynôme \text{R} de degré 2 tel que, pour tout z \in \mathbb{C}, \mathrm{Q}(z)=(z-k) \mathrm{R}(z).
Aide
On pourra écrire \text{R} sous la forme \mathrm{R}(z)=a z^{2}+b z+c puis développer (z-k) \mathrm{R}(z) et procéder à une identification des coefficients.
4
a) Déterminer les racines de \text{R} puis factoriser ce polynôme.b) En déduire une factorisation de \text{P} uniquement en produit de polynômes de degré 1.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Bilan
Dans \boldsymbol{\mathbb{C}}, un polynôme \boldsymbol{\mathrm{P}} de degré \boldsymbol{n} non nul peut toujours être factorisé en produit de facteurs de degré \boldsymbol{1}. Conjecturer le nombre de facteurs d'un tel polynôme \boldsymbol{\mathrm{P}}. Quel est le nombre maximal de racines distinctes que peut avoir \boldsymbol{\mathrm{P}} ?
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
