Soient

a

b

c

des réels tels que

a\neq 0

et soit l'équation

\left(1\right):az^2+bz+c=0

Comme  $a \neq = 0$  , alors

(1)\Leftrightarrow a\left(z^2+\dfrac{b}{a}z\right)+c=0\Leftrightarrow a\left[\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right]+c=0

\Leftrightarrow a\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+\dfrac{4ac}{4a}=0\Leftrightarrow a\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=0

\Leftrightarrow a\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta }{4a}=0

avec

\Delta =b^2-4ac<0\Leftrightarrow \left|\Delta \right|=-\Delta >0

On écrit alors  $Δ = - (- Δ) = - 1 \times ∣ Δ ∣ = i^{2} \times (∣ Δ ∣)^{2} = (i ∣ Δ ∣)^{2}$

Et alors

(1)\Leftrightarrow a\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta }{4a}\Leftrightarrow \left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta }{4a^2}

\Leftrightarrow \left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\left(\dfrac{\mathrm{i}\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2a}\right)^2\Leftrightarrow z+\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\mathrm{i}\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2a}\text{ ou }z+\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\mathrm{i}\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2a}

\Leftrightarrow z=\dfrac{-b+\mathrm{i}\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2a}\text{ ou }z=\dfrac{-b-\mathrm{i}\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2a}

Ainsi, si

\Delta <0

alors

az^2+bz+c=0

admet deux solutions complexes conjuguées :

z_1=\dfrac{-b+\mathrm{i}\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2a}

z_2=\dfrac{-b-\mathrm{i}\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2a}=\overline{z_1}