Activités

Couverture de L’Algebra de Rafael Bombelli

Partie A : Résolution graphique

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À l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra, conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l’équation $(1)$.

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2

Déterminer graphiquement la solution entière obtenue et vérifier ce résultat par le calcul.


Partie B : Résolution algébrique

1

On s’intéresse au cas général.
Soient $p$ et $q$ deux nombres réels et l’équation $(2): x^{3}+p x+q=0$ (appelée équation de Cardan).

a) Pour cette question uniquement, on pose $q = 0$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^{3}+p x=0$ en fonction de $p$.




b) On reprend le cas général.
Déterminer les limites en $+\infty$ et en $-\infty$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}+p x+q$.


c) En déduire que l’équation de Cardan admet au moins une solution réelle.

2

Cardan a démontré que lorsque $\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27} \geqslant 0$, toute équation de la forme $x^{3}+p x+q=0$ admet au moins une solution réelle de la forme :
$x_{0}=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}}$.
a) Dans le cas de l’équation $(1)$, quelles sont les valeurs de $p$ et $q$ ?
Quel problème survient lors de l’application de la formule de Cardan ?


b) Pour résoudre cette équation, Bombelli a imaginé un nombre qui n’est ni un nombre positif, ni un nombre négatif, mais dont le carré est égal à $-1$. Il le nomma « plus de moins » (en italien più di meno). On le note provisoirement $\sqrt {-1}$. On a ainsi, $(\sqrt{-1})^{2}=-1$.
Exprimer la solution $x_0$ obtenue dans la question précédente en fonction de $\sqrt {-1}$.


c) Après avoir développé $(2-\sqrt{-1})^{3}$ puis $(2+\sqrt{-1})^{3}$, déterminer une solution entière de l’équation de Bombelli.

1

Le polynôme $\text{P}$ admet‑il des racines réelles ? Justifier.

2

a) Justifier que l’on peut écrire, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z-2)^{2}+9$.


b) Calculer $(3 \mathrm{i})^{2}$ et en déduire une factorisation dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ en produit de polynômes du premier degré.




c) Déterminer dans $\mathbb{C}$ les racines du polynôme $\text{P}$.

Notons $\text{P}$ le polynôme défini, pour tout $z \in \mathbb{C}$, par $\mathrm{P}(z)=z^{4}-3 z^{3}-9 z^{2}+63 z-52$.
Pour atteindre l’objectif de cette activité, il faut d’abord déterminer les racines de $\text{P}$.

1

a) Vérifier que $1$ est une racine de $\text{P}$.


b) Justifier qu’il existe un polynôme $\text{Q}$ de degré $3$ tel que, pour tout $z \in \mathbb{C}$, $\mathrm{P}(z)=(z-1) \mathrm{Q}(z)$.


c) Vérifier que, pour tout $z \in \mathbb{C}$, on a $\mathrm{Q}(z)=z^{3}-2 z^{2}-11 z+52$.

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Montrer que si le nombre complexe $\alpha$ est une racine de $\text{Q}$, alors son conjugué $\overline \alpha$ est aussi une racine de $\text{Q}$.

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a) À l’aide de la calculatrice, déterminer un entier $k$ tel que $\mathrm{Q}(k)=0$.


b) Déterminer le polynôme $\text{R}$ de degré $2$ tel que, pour tout $z \in \mathbb{C}$, $\mathrm{Q}(z)=(z-k) \mathrm{R}(z)$.

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a) Déterminer les racines de $\text{R}$ puis factoriser ce polynôme.


b) En déduire une factorisation de $\text{P}$ uniquement en produit de polynômes de degré $1$.