Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Activités
Nombres complexes, point de vue algébrique
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AIntroduction aux nombres complexes : équation de Bombelli
Objectif : On souhaite utiliser une formule permettant de déterminer une solution de l'équation (1): x^{3}-15 x-4=0, appelée équation de Bombelli.
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Partie A : Résolution graphique
1
À l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra, conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l'équation (1).
GeoGebra
2
Déterminer graphiquement la solution entière obtenue et vérifier ce résultat par le calcul.1
On s'intéresse au cas général.Soient p et q deux nombres réels et l'équation (2): x^{3}+p x+q=0 (appelée équation de Cardan).
a) Pour cette question uniquement, on pose q = 0.
Résoudre dans \mathbb{R} l'équation x^{3}+p x=0 en fonction de p.
Aide
Factoriser l'expression x^{3}+p x et utiliser la propriété \mathrm{A} \times \mathrm{B}=0 \Leftrightarrow \mathrm{A}=0 ou \mathrm{B}=0.
b) On reprend le cas général.
Déterminer les limites en +\infty et en -\infty de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{3}+p x+q.
c) En déduire que l'équation de Cardan admet au moins une solution réelle.
2
Cardan a démontré que lorsque \frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27} \geqslant 0, toute équation de la forme x^{3}+p x+q=0 admet au moins une solution réelle de la forme :
x_{0}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}.
a) Dans le cas de l'équation (1), quelles sont les valeurs de p et q ?
Quel problème survient lors de l'application de la formule de Cardan ?
b) Pour résoudre cette équation, Bombelli a imaginé un nombre qui n'est ni un nombre positif, ni un nombre négatif, mais dont le carré est égal à -1. Il le nomma « plus de moins » (en italien più di meno). On le note provisoirement \sqrt {-1}. On a ainsi, (\sqrt{-1})^{2}=-1.
Exprimer la solution x_0 obtenue dans la question précédente en fonction de \sqrt {-1}.
c) Après avoir développé (2-\sqrt{-1})^{3} puis (2+\sqrt{-1})^{3}, déterminer une solution entière de l'équation de Bombelli.
Aide
Développer en
utilisant (\sqrt{-1})^{2}=-1.
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Bilan
En calculant \boldsymbol{(\sqrt{-1})^{2} } de deux manières différentes et en utilisant les propriétés usuelles de calcul, justifier que cette écriture conduit à une absurdité.
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Raffaele Bombelli (1526‑1573) et Girolamo Cardano (1501‑1576), mathématiciens italiens de la Renaissance, se sont risqués à percer le « mystère et les secrets des équations du troisième degré ».
Bien des notations ont été proposées pour la quantité « imaginaire » \sqrt {-1}. Euler décidera en 1777 d'introduire pour lui‑même le symbole \text{i} (comme imaginaire) et donc d'écrire \mathrm{i} \times \mathrm{i}=-1. En 1831, Gauss reprendra la notation pour conforter son idée d'en faire des « nombres complexes » et Cauchy fera plus tard de même.
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BRésolution dans \boldsymbol{\mathbb{C}} d'une équation du second degré à coefficients réels
Objectif : On souhaite déterminer les racines dans \mathbb{C} du polynôme \text{P} défini, pour tout z \in \mathbb{C}, par \mathrm{P}(z)=z^{2}-4 z+13.
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1
Le polynôme \text{P} admet‑il des racines réelles ? Justifier.
2
a) Justifier que l'on peut écrire, pour tout nombre complexe z, \mathrm{P}(z)=(z-2)^{2}+9.b) Calculer (3 \mathrm{i})^{2} et en déduire une factorisation dans \mathbb{C} du polynôme \text{P} en produit de polynômes du premier degré.
Aide
On utilise l'identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) valable pour tous complexes a et b.
c) Déterminer dans \mathbb{C} les racines du polynôme \text{P}.
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Bilan
1. Pour trois réels \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} et \boldsymbol{c} avec \boldsymbol{a \neq 0}, déterminer une méthode de résolution des équations de la forme \boldsymbol{a z^{2}+b z+c=0} pour lesquelles le discriminant \boldsymbol{\mathrm{\Delta}} est strictement négatif.
2. Que peut‑on en conclure pour les équations du second degré à coefficients réels dans \boldsymbol{\mathbb{C}} ?
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CÉquation polynomiale de degré 4
Objectif : Factoriser dans \mathbb{C} un polynôme de degré n.
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Notons \text{P} le polynôme défini, pour tout z \in \mathbb{C}, par \mathrm{P}(z)=z^{4}-3 z^{3}-9 z^{2}+63 z-52.
Pour atteindre l'objectif de cette activité, il faut d'abord déterminer les racines de \text{P}.
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1
a) Vérifier que 1 est une racine de \text{P}.b) Justifier qu'il existe un polynôme \text{Q} de degré 3 tel que, pour tout z \in \mathbb{C}, \mathrm{P}(z)=(z-1) \mathrm{Q}(z).
c) Vérifier que, pour tout z \in \mathbb{C}, on a \mathrm{Q}(z)=z^{3}-2 z^{2}-11 z+52.
2
Montrer que si le nombre complexe \alpha est une racine de \text{Q}, alors son conjugué \overline \alpha est aussi une racine de \text{Q}.Aide
On suppose que \mathrm{Q}(\alpha)=0 et on calcule \mathrm{Q}(\overline \alpha) en utilisant les propriétés du conjugué.
3
a) À l'aide de la calculatrice, déterminer un entier k tel que \mathrm{Q}(k)=0.b) Déterminer le polynôme \text{R} de degré 2 tel que, pour tout z \in \mathbb{C}, \mathrm{Q}(z)=(z-k) \mathrm{R}(z).
Aide
On pourra écrire \text{R} sous la forme \mathrm{R}(z)=a z^{2}+b z+c puis développer (z-k) \mathrm{R}(z) et procéder à une identification des coefficients.
4
a) Déterminer les racines de \text{R} puis factoriser ce polynôme.b) En déduire une factorisation de \text{P} uniquement en produit de polynômes de degré 1.
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Bilan
Dans \boldsymbol{\mathbb{C}}, un polynôme \boldsymbol{\mathrm{P}} de degré \boldsymbol{n} non nul peut toujours être factorisé en produit de facteurs de degré \boldsymbol{1}. Conjecturer le nombre de facteurs d'un tel polynôme \boldsymbol{\mathrm{P}}. Quel est le nombre maximal de racines distinctes que peut avoir \boldsymbol{\mathrm{P}} ?
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
