Introduction aux nombres complexes : équation de Bombelli
Objectif
On souhaite utiliser une formule permettant de déterminer une solution de l’équation (1):x3−15x−4=0, appelée équation de Bombelli.
Couverture de L’Algebra de Rafael Bombelli
Partie A : Résolution graphique
1
À l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra, conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l’équation (1).
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2
Déterminer graphiquement la solution entière obtenue et vérifier ce résultat par le calcul.
Partie B : Résolution algébrique
1
On s’intéresse au cas général.
Soient p et q deux nombres réels et l’équation (2):x3+px+q=0 (appelée équation de Cardan).
a) Pour cette question uniquement, on pose q=0.
Résoudre dans R l’équation x3+px=0 en fonction de p.
Aide
Factoriser l’expression x3+px et utiliser la propriété A×B=0⇔A=0 ou B=0.
b) On reprend le cas général.
Déterminer les limites en +∞ et en −∞ de la fonction f définie sur R par f(x)=x3+px+q.
c) En déduire que l’équation de Cardan admet au moins une solution réelle.
2
Cardan a démontré que lorsque 4q2+27p3⩾0, toute équation de la forme x3+px+q=0 admet au moins une solution réelle de la forme :
x0=3−2q−4q2+27p3+3−2q+4q2+27p3.
a) Dans le cas de l’équation (1), quelles sont les valeurs de p et q ?
Quel problème survient lors de l’application de la formule de Cardan ?
b) Pour résoudre cette équation, Bombelli a imaginé un nombre qui n’est ni un nombre positif, ni un nombre négatif, mais dont le carré est égal à −1. Il le nomma « plus de moins » (en italien più di meno). On le note
provisoirement −1. On a ainsi, (−1)2=−1.
Exprimer la solution x0 obtenue dans la question précédente en fonction de −1.
c) Après avoir développé (2−−1)3 puis (2+−1)3, déterminer une solution entière de l’équation de Bombelli.
Aide
Développer en
utilisant (−1)2=−1.
Bilan
En calculant (−1)2 de deux manières différentes et en utilisant les propriétés usuelles de calcul, justifier que cette écriture conduit à une absurdité.
Histoire des maths
Raffaele Bombelli (1526‑1573) et Girolamo Cardano (1501‑1576), mathématiciens italiens de la Renaissance, se sont risqués à percer le « mystère et les secrets des équations du troisième degré ».
Bien des notations ont été proposées pour la quantité « imaginaire » −1. Euler décidera en 1777 d’introduire pour lui‑même le symbole i (comme imaginaire) et donc d’écrire i×i=−1. En 1831, Gauss reprendra la notation pour conforter son idée d’en faire des « nombres complexes » et Cauchy fera plus tard de même.
B
Résolution dans C d’une équation du second degré à coefficients réels
Objectif
On souhaite déterminer les racines dans C du polynôme P défini, pour tout z∈C, par P(z)=z2−4z+13.
1
Le polynôme P admet‑il des racines réelles ? Justifier.
2
a) Justifier que l’on peut écrire, pour tout nombre complexe z, P(z)=(z−2)2+9.
b) Calculer (3i)2 et en déduire une factorisation dans C du polynôme P en produit de polynômes du premier degré.
Aide
On utilise l’identité remarquable a2−b2=(a−b)(a+b) valable pour tous complexes a et b.
c) Déterminer dans C les racines du polynôme P.
Bilan
1. Pour trois réels a, b et c avec a=0, déterminer une méthode de résolution des équations de la forme az2+bz+c=0 pour lesquelles le discriminant Δ est strictement négatif.
2. Que peut‑on en conclure pour les équations du second degré à coefficients réels dans C ?
C
Équation polynomiale de degré 4
Objectif
Factoriser dans C un polynôme de degré n.
Notons P le polynôme défini, pour tout z∈C, par P(z)=z4−3z3−9z2+63z−52.
Pour atteindre l’objectif de cette activité, il faut d’abord déterminer les racines de P.
1
a) Vérifier que 1 est une racine de P.
b) Justifier qu’il existe un polynôme Q de degré 3 tel que, pour tout z∈C, P(z)=(z−1)Q(z).
c) Vérifier que, pour tout z∈C, on a Q(z)=z3−2z2−11z+52.
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Montrer que si le nombre complexe α est une racine de Q, alors son conjugué α est aussi une racine de Q.
Aide
On suppose que Q(α)=0 et on calcule Q(α) en utilisant les propriétés du conjugué.
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a) À l’aide de la calculatrice, déterminer un entier k tel que Q(k)=0.
b) Déterminer le polynôme R de degré 2 tel que, pour tout z∈C, Q(z)=(z−k)R(z).