Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 1

Activités

Nombres complexes, point de vue algébrique

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A
Introduction aux nombres complexes : équation de Bombelli

Objectif : On souhaite utiliser une formule permettant de déterminer une solution de l'équation

(1) : x^{3} - 15 x - 4 = 0

, appelée équation de Bombelli.

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Crédits : Biblioteca Europea di Informazione e Cultura / Wikimedia

Couverture de L'Algebra de Rafael Bombelli

Partie A : Résolution graphique
1
À l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra, conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l'équation

(1)

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

2
Déterminer graphiquement la solution entière obtenue et vérifier ce résultat par le calcul.

Partie B : Résolution algébrique

1
On s'intéresse au cas général.
Soient

p

q

deux nombres réels et l'équation

(2) : x^{3} + p x + q = 0

(appelée équation de Cardan).

a) Pour cette question uniquement, on pose

q = 0

.
Résoudre dans

R

l'équation

x^{3} + p x = 0

en fonction de

p

Factoriser l'expression

x^{3} + p x

et utiliser la propriété

A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0

B = 0

Aide

b) On reprend le cas général.
Déterminer les limites en

+ \infty

et en

- \infty

de la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = x^{3} + p x + q

c) En déduire que l'équation de Cardan admet au moins une solution réelle.

2
Cardan a démontré que lorsque

\frac{q ^{2}}{4} + \frac{p ^{3}}{2 7} ⩾ 0

, toute équation de la forme

x^{3} + p x + q = 0

admet au moins une solution réelle de la forme :

x_{0} = 3 - \frac{q}{2} - \frac{q ^{2}}{4} + \frac{p ^{3}}{2 7} + 3 - \frac{q}{2} + \frac{q ^{2}}{4} + \frac{p ^{3}}{2 7}

a) Dans le cas de l'équation

(1)

, quelles sont les valeurs de

p

q

?
Quel problème survient lors de l'application de la formule de Cardan ?

b) Pour résoudre cette équation, Bombelli a imaginé un nombre qui n'est ni un nombre positif, ni un nombre négatif, mais dont le carré est égal à

- 1

. Il le nomma « plus de moins » (en italien più di meno). On le note provisoirement

- 1

. On a ainsi,

(- 1)^{2} = - 1

.
Exprimer la solution

x_{0}

obtenue dans la question précédente en fonction de

- 1

c) Après avoir développé

(2 - - 1)^{3}

puis

(2 + - 1)^{3}

, déterminer une solution entière de l'équation de Bombelli.

Développer en utilisant

(- 1)^{2} = - 1

Aide

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Bilan

En calculant $(- 1)^{2}$ de deux manières différentes et en utilisant les propriétés usuelles de calcul, justifier que cette écriture conduit à une absurdité.

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Histoire des maths

Raffaele Bombelli (1526‑1573) et Girolamo Cardano (1501‑1576), mathématiciens italiens de la Renaissance, se sont risqués à percer le « mystère et les secrets des équations du troisième degré ». Bien des notations ont été proposées pour la quantité « imaginaire »

- 1

. Euler décidera en 1777 d'introduire pour lui‑même le symbole

i

(comme imaginaire) et donc d'écrire

i \times i = - 1

. En 1831, Gauss reprendra la notation pour conforter son idée d'en faire des « nombres complexes » et Cauchy fera plus tard de même.

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B
Résolution dans $C$ d'une équation du second degré à coefficients réels

Objectif : On souhaite déterminer les racines dans

C

du polynôme

P

défini, pour tout

z \in C

, par

P (z) = z^{2} - 4 z + 13

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1
Le polynôme

P

admet‑il des racines réelles ? Justifier.

2
a) Justifier que l'on peut écrire, pour tout nombre complexe

z

P (z) = (z - 2)^{2} + 9

b) Calculer

(3 i)^{2}

et en déduire une factorisation dans

C

du polynôme

P

en produit de polynômes du premier degré.

On utilise l'identité remarquable

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

valable pour tous complexes

a

b

Aide

c) Déterminer dans

C

les racines du polynôme

P

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Bilan

1. Pour trois réels $a$ , $b$ et $c$ avec $a \neq = 0$ , déterminer une méthode de résolution des équations de la forme $a z^{2} + b z + c = 0$ pour lesquelles le discriminant $Δ$ est strictement négatif.

2. Que peut‑on en conclure pour les équations du second degré à coefficients réels dans $C$ ?

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C
Équation polynomiale de degré 4

Objectif : Factoriser dans

C

un polynôme de degré

n

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Notons

P

le polynôme défini, pour tout

z \in C

, par

P (z) = z^{4} - 3 z^{3} - 9 z^{2} + 63 z - 52

. Pour atteindre l'objectif de cette activité, il faut d'abord déterminer les racines de

P

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1
a) Vérifier que

1

est une racine de

P

b) Justifier qu'il existe un polynôme

Q

de degré

3

tel que, pour tout

z \in C

P (z) = (z - 1) Q (z)

c) Vérifier que, pour tout

z \in C

, on a

Q (z) = z^{3} - 2 z^{2} - 11 z + 52

2
Montrer que si le nombre complexe

α

est une racine de

Q

, alors son conjugué

\overline{α}

est aussi une racine de

Q

On suppose que

Q (α) = 0

et on calcule

Q (\overline{α})

en utilisant les propriétés du conjugué.

Aide

3
a) À l'aide de la calculatrice, déterminer un entier

k

tel que

Q (k) = 0

b) Déterminer le polynôme

R

de degré

2

tel que, pour tout

z \in C

Q (z) = (z - k) R (z)

On pourra écrire

R

sous la forme

R (z) = a z^{2} + b z + c

puis développer

(z - k) R (z)

et procéder à une identification des coefficients.

Aide

4
a) Déterminer les racines de

R

puis factoriser ce polynôme.

b) En déduire une factorisation de

P

uniquement en produit de polynômes de degré

1

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Bilan

Dans $C$ , un polynôme $P$ de degré $n$ non nul peut toujours être factorisé en produit de facteurs de degré $1$ . Conjecturer le nombre de facteurs d'un tel polynôme $P$ . Quel est le nombre maximal de racines distinctes que peut avoir $P$ ?

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