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P.18-19

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A
Introduction aux nombres complexes : équation de Bombelli



Objectif
On souhaite utiliser une formule permettant de déterminer une solution de l’équation (1):x315x4=0(1): x^{3}-15 x-4=0, appelée équation de Bombelli.


MAT.T.1.Act.livre_bombelli_retoucheok

Couverture de L’Algebra de Rafael Bombelli
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Partie A : Résolution graphique

1
À l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra, conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l’équation (1)(1).

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2
Déterminer graphiquement la solution entière obtenue et vérifier ce résultat par le calcul.


Partie B : Résolution algébrique

1
On s’intéresse au cas général.
Soient pp et qq deux nombres réels et l’équation (2):x3+px+q=0(2): x^{3}+p x+q=0 (appelée équation de Cardan).

a) Pour cette question uniquement, on pose q=0q = 0.
Résoudre dans R\mathbb{R} l’équation x3+px=0x^{3}+p x=0 en fonction de pp.


Aide
Factoriser l’expression x3+pxx^{3}+p x et utiliser la propriété A×B=0A=0\mathrm{A} \times \mathrm{B}=0 \Leftrightarrow \mathrm{A}=0 ou B=0\mathrm{B}=0.


b) On reprend le cas général.
Déterminer les limites en ++\infty et en -\infty de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x3+px+qf(x)=x^{3}+p x+q.


c) En déduire que l’équation de Cardan admet au moins une solution réelle.


2
Cardan a démontré que lorsque q24+p3270\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27} \geqslant 0, toute équation de la forme x3+px+q=0x^{3}+p x+q=0 admet au moins une solution réelle de la forme :
x0=q2q24+p3273+q2+q24+p3273x_{0}=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}}.

a) Dans le cas de l’équation (1)(1), quelles sont les valeurs de pp et qq ?
Quel problème survient lors de l’application de la formule de Cardan ?


b) Pour résoudre cette équation, Bombelli a imaginé un nombre qui n’est ni un nombre positif, ni un nombre négatif, mais dont le carré est égal à 1-1. Il le nomma « plus de moins » (en italien più di meno). On le note provisoirement 1\sqrt {-1}. On a ainsi, (1)2=1(\sqrt{-1})^{2}=-1.
Exprimer la solution x0x_0 obtenue dans la question précédente en fonction de 1\sqrt {-1}.


c) Après avoir développé (21)3(2-\sqrt{-1})^{3} puis (2+1)3(2+\sqrt{-1})^{3}, déterminer une solution entière de l’équation de Bombelli.


Aide
Développer en utilisant (1)2=1(\sqrt{-1})^{2}=-1.
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Bilan

En calculant (1)2\boldsymbol{(\sqrt{-1})^{2} } de deux manières différentes et en utilisant les propriétés usuelles de calcul, justifier que cette écriture conduit à une absurdité.
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Histoire des maths

Raffaele Bombelli (1526‑1573) et Girolamo Cardano (1501‑1576), mathématiciens italiens de la Renaissance, se sont risqués à percer le « mystère et les secrets des équations du troisième degré ».
Bien des notations ont été proposées pour la quantité « imaginaire » 1\sqrt {-1}. Euler décidera en 1777 d’introduire pour lui‑même le symbole i\text{i} (comme imaginaire) et donc d’écrire i×i=1\mathrm{i} \times \mathrm{i}=-1. En 1831, Gauss reprendra la notation pour conforter son idée d’en faire des « nombres complexes » et Cauchy fera plus tard de même.

B
Résolution dans C\boldsymbol{\mathbb{C}} d’une équation du second degré à coefficients réels



Objectif
On souhaite déterminer les racines dans C\mathbb{C} du polynôme P\text{P} défini, pour tout zCz \in \mathbb{C}, par P(z)=z24z+13\mathrm{P}(z)=z^{2}-4 z+13.

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1
Le polynôme P\text{P} admet‑il des racines réelles ? Justifier.


2
a)
Justifier que l’on peut écrire, pour tout nombre complexe zz, P(z)=(z2)2+9\mathrm{P}(z)=(z-2)^{2}+9.


b) Calculer (3i)2(3 \mathrm{i})^{2} et en déduire une factorisation dans C\mathbb{C} du polynôme P\text{P} en produit de polynômes du premier degré.


Aide
On utilise l’identité remarquable a2b2=(ab)(a+b)a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) valable pour tous complexes aa et bb.


c) Déterminer dans C\mathbb{C} les racines du polynôme P\text{P}.
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Bilan

1. Pour trois réels a\boldsymbol{a}, b\boldsymbol{b} et c\boldsymbol{c} avec a0\boldsymbol{a \neq 0}, déterminer une méthode de résolution des équations de la forme az2+bz+c=0\boldsymbol{a z^{2}+b z+c=0} pour lesquelles le discriminant Δ\boldsymbol{\mathrm{\Delta}} est strictement négatif.


2. Que peut‑on en conclure pour les équations du second degré à coefficients réels dans C\boldsymbol{\mathbb{C}} ?
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C
Équation polynomiale de degré 4



Objectif
Factoriser dans C\mathbb{C} un polynôme de degré nn.

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Notons P\text{P} le polynôme défini, pour tout zCz \in \mathbb{C}, par P(z)=z43z39z2+63z52\mathrm{P}(z)=z^{4}-3 z^{3}-9 z^{2}+63 z-52.
Pour atteindre l’objectif de cette activité, il faut d’abord déterminer les racines de P\text{P}.

1
a)
Vérifier que 11 est une racine de P\text{P}.


b) Justifier qu’il existe un polynôme Q\text{Q} de degré 33 tel que, pour tout zCz \in \mathbb{C}, P(z)=(z1)Q(z)\mathrm{P}(z)=(z-1) \mathrm{Q}(z).


c) Vérifier que, pour tout zCz \in \mathbb{C}, on a Q(z)=z32z211z+52\mathrm{Q}(z)=z^{3}-2 z^{2}-11 z+52.


2
Montrer que si le nombre complexe α\alpha est une racine de Q\text{Q}, alors son conjugué α\overline \alpha est aussi une racine de Q\text{Q}.


Aide
On suppose que Q(α)=0\mathrm{Q}(\alpha)=0 et on calcule Q(α)\mathrm{Q}(\overline \alpha) en utilisant les propriétés du conjugué.


3
a)
À l’aide de la calculatrice, déterminer un entier kk tel que Q(k)=0\mathrm{Q}(k)=0.


b) Déterminer le polynôme R\text{R} de degré 22 tel que, pour tout zCz \in \mathbb{C}, Q(z)=(zk)R(z)\mathrm{Q}(z)=(z-k) \mathrm{R}(z).


Aide
On pourra écrire R\text{R} sous la forme R(z)=az2+bz+c\mathrm{R}(z)=a z^{2}+b z+c puis développer (zk)R(z)(z-k) \mathrm{R}(z) et procéder à une identification des coefficients.


4
a)
Déterminer les racines de R\text{R} puis factoriser ce polynôme.


b) En déduire une factorisation de P\text{P} uniquement en produit de polynômes de degré 11.
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Bilan

Dans C\boldsymbol{\mathbb{C}}, un polynôme P\boldsymbol{\mathrm{P}} de degré n\boldsymbol{n} non nul peut toujours être factorisé en produit de facteurs de degré 1\boldsymbol{1}. Conjecturer le nombre de facteurs d’un tel polynôme P\boldsymbol{\mathrm{P}}. Quel est le nombre maximal de racines distinctes que peut avoir P\boldsymbol{\mathrm{P}} ?
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